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  • 对角矩阵的-1/2

    2020-10-06 14:18:02
    如果矩阵是对角矩阵,那么是元素的-1/2。 如果是一般矩阵, 由于矩阵开方后,它的特征值会开方,但是特征向量不变。

    如果矩阵是对角矩阵,那么是元素的-1/2。
    如果是一般矩阵,
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    由于矩阵开方后,它的特征值会开方,但是特征向量不变。
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  •  最终得到了S和一个以特征值为对角线的对角矩阵的乘积,这个对角矩阵就是特征值矩阵,用Λ表示:  没有人关心线性相关的特征向量,上式有意义的前提是S由n个线性无关的特征向量组成,这意味着S可逆,等式两侧...

    特征值矩阵

      假设A有n个线性无关的特征向量x1,x2……xn,这些特征向量按列组成矩阵S,S称为特征向量矩阵。来看一下A乘以S会得到什么:

      最终得到了S和一个以特征值为对角线的对角矩阵的乘积,这个对角矩阵就是特征值矩阵,用Λ表示:

      没有人关心线性相关的特征向量,上式有意义的前提是S由n个线性无关的特征向量组成,这意味着S可逆,等式两侧可以同时左乘S-1:

      AS=SΛ和S-1AS=Λ就是对角化的两种方法。需要注意的是,并非所有矩阵A都存在n个线性无关的特征向量,这类矩阵不能对角化。

      矩阵对角化还有另一种表达:

      我们已经知道了矩阵的LU分解,A=LU;格拉姆-施密特正交化,A=QR;现在有多了一种对角化分解,A=SΛS-1

    矩阵的方幂

      如果A存在特征值和特征向量,即Ax = λx,那么A2的特征值和特征向量是什么?

      这在上一章的示例中出现过,将Ax = λx的等式两侧同时左乘A就可以表示A的特征向量:

      由于λ是标量,所以可以把λ单独提出来:

      现在可以得出结论了,A2的特征向量不变,特征值变成了λ2

      可以用同样的方式看看A2的对角化:

      按照这个思路可以继续计算Ak的对角化,Ak的特征向量不变,Ak的特征值矩阵是A的特征值矩阵的k次方:

      根据上式,如果k→∞,在所有特征值|λi|<0时,Ak→0,当然,前提是A有n个线性无关的特征向量。

    对角化的前提

      对角化的前提是A存在n个线性无关的特征向量,问题是怎样判断A存在n个线性无关的特征向量?一个判断方法是:当A的所有特征组互不相同时,A必然存在n个线性无关的特征向量;如果存在重复的特征值就不好说了,需要另行判断。

      n阶单位矩阵的所有特征值都是1,但是它仍然有n个线性无关的特征向量,因此单位矩阵可以对角化:

      再来看三角矩阵。三角矩阵A的各列是线性无关的,意味着它有唯一解,没有n个线性无关的特征向量,比如下面这个:

      先计算A的特征值:

      作为2×2矩阵,A只有一个特征向量,它无法完成对角化。

    使用对角化

      给定一个向量u0和一个能够对角化的矩阵A,如果uk+1=Auk,那么u100 = ?

      可以简单的向后推导一下:

      现在可以得到结论,u100=A100 u0,问题是如何求得A100?

      A有n个线性无关的特征向量x1,x2,……,xn,这意味着u0可以看成这些特征向量的线性组合:

      以单位矩阵为例,假设A是3×3的单位矩阵,则A的三个特征向量是:

      这三个特征向量可以通过线性组合成为任意的三维向量。

      现在可以将Au0写成下面的形式:

      由于Ci是标量,所以可以将Ci写到前面:

      x1,x2,……,xn都是A的特征向量,它们以特征值为媒介和A存在关联,Axi = λixi,因此:

      等式两侧同时左乘A:

      同样,可以把比标量Ciλi放到前面:

      无论等式两侧再左乘几个A都将得到类似的结果,因此:

      这就是最终的答案,如果真要计算A100 u0,可以先把u0展开成特征向量的线性组合,求出具体的C值,在使用SΛ100C求解。

    综合示例

      

      a,b都是0的时候没什么可算的,主要看ab≠0的情况。C看起来比较别扭,还是用A来说话。先来看一下特征值:

      特征值矩阵和特征向量矩阵是:

      当a=b=-1时:

     


       作者:我是8位的

      出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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  • 22_对角化和矩阵乘幂

    2021-05-01 20:21:39
    为这节矩阵对角化做准备 核心公式 S-1AS=Λ (其中S为特征向量矩阵还有S的逆必须存在) 假设A有n个线性无关特征向量,按列组成特征向量矩阵S 算一下AS=A[x1,x2,…xn]=[ λ1x1, λ2x2,… λnxn]=SΛ= 只要是n个...

    上一节讲了Ax= λx 我们可以解出特征值和特征向量 那我们解出来之后要干什么?-- 为这节矩阵对角化做准备

    本节 核心公式 S-1AS=Λ

    (其中S为特征向量矩阵还有S的逆必须存在)

    假设A有n个线性无关特征向量,按列组成特征向量矩阵S
    算一下AS=A[x1,x2,…xn]=[ λ1x1, λ2x2,… λnxn]=SΛ=下图

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    只要是n个线性无关特征向量就好

    现在我们得到AS=SΛ,又因为S可逆

    所以
    S-1AS=Λ;
    (为什么强调S可逆呢,因为是存在一部分矩阵,特征向量不够n个。)
    另一种表达方式
    A=SΛS-1
    新的分解方式!(LU,QRinGram-Schmidt)也是最重要的!
    分解为一个矩阵×对角矩阵×第一个矩阵的逆

    我们来使用它

    下面考虑一下A2的特征向量和特征值
    A2x=λAx=λ2x
    发现A2的特征值是λ2
    特征向量还是x
    我们可以采用另一种方法求解
    A2=SΛS-1S-1ΛS=SΛ2S-1
    S不变,Λ变为平方
    说明特征向量不变,λ变为平方
    当然我们可以得到
    Ak=SΛkS-1
    换句话说,特征值和特征向量提供了理解矩阵幂的一个好方法
    如果将矩阵100次方,用LU分解没法做,但是用SVD很简单
    特征值是计算矩阵幂的好方法。
    例如:什么条件下矩阵的幂趋于0,这样的矩阵称为稳定的
    Ak→0 as k→∞
    显然取决于Λk
    所以需要|λi|<1
    再强调一下,所有以上都有一个前提条件,存在n个线性无关的特征向量,如果没有,就不能对角化 。
    下面讲一个定理
    A必然存在n个线性无关的特征向量(而且可对角化),当特征值互不相同时。
    如果特征值重复,可能但不一定存在n个线性无关的特征向量。这不是个完全否定的,比如10×10单位矩阵,特征值都是1,但是任何向量都可以是n维非零向量都是单位矩阵特征向量。
    (Ax=λx→A为单位矩阵,x=λx→λ=1→x非零)
    单位矩阵本来就是对角矩阵,那么Λ=A

    再让我们讲一个三角矩阵的例子

    A=[2 1;0 2]
    这可能是个麻烦
    来分析它,首先要计算特征值和特征向量
    |A-λI|=0=|2-λ 1;0 2-λ|=(2-λ)2-1=0
    λ1=λ2=2;
    再求特征向量,就是这个矩阵的零空间
    带回特征值A-2I=[0 1;0 0]
    零空间是一维的,代数重度是2,说明重根。
    So特征向量仅有x1=[1;0],这也说明了A 无 法 对 角 化 \color{red}{无法对角化}

    差分方程

    我不打算深入讨论特征值出现重根的情况。
    现在还是围绕之前那个方程(前提是n个无关的特征向量,可以进行对角化)
    每个特征值对应一个特征向量,每个特征向量线性无关
    下面让我们求解这个方程 U k+1=A Uk
    题目给出Uo
    Uk=AkUo
    这就到了差分方程,一阶差分方程
    如何算出U100
    如何真正求解U100
    把Uo作为一个线性组合,然后乘以A
    Uo=c1x1+c2x2+…+cnxn
    AUo==c1λ1x1+c2x2λ2+…cnλnxn;

    A 100 Uo=c1λ1 100 x1+c2λ2 100 x2+…cn λn 100 xn;
    100 Sc
    因此,如果真需要计算A的100次方乘以Uo
    可以先把Uo展开成特征向量的线性组合
    这是我们接下来的公式,下面举个斐波那契数列的例子

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    现在我们开始实质性的计算,它非常简单并且在随后的几篇文章里都会用到。特征向量对角化一个矩阵:

    3、假设 n×n 矩阵有 n 个线性无关的特征向量,如果这些向量是矩阵S的列,那么 S1AS 是一个对角矩阵 Λ A 的特征值在Λ的对角线上:

    S1AS=Λ=λ1λ2λn(1)

    我们将 S 称作特征向量矩阵,Λ是特征值矩阵——这里使用大写的表示,因为小写的表示对角线上的特征值。

    证明:将特征向量 xi 放在 S 的列上,按列计算AS的:

    AS=A|x1||x2||xn||λ1x1||λ2x2||λnxn|

    然后技巧就是将最后一个矩阵分成两个矩阵的乘积 SΛ

    λ1x1λ2x2λnxn=x1x2xnλ1λ2λn

    这里关键的一点是矩阵要写在右侧,如果 Λ 写在 S 前面,那么λ1将和第一行进行乘积,但我们想 λ1 出现在第一列,鉴于此, SΛ 是正确的,所以

    AS=SΛ,orS1AS=Λ,orA=SΛS1(2)

    其中 S 是可逆的,因为假设它的列(特征向量)是无关的。

    在给出实例和应用之前,我们给出四点说明。

    注解1:如果矩阵A没有虫多特征值- λ1,,λn 是不同的,那么它的 n 个特征值自然是无关的,因此任何特征值不同的矩阵可以被对角化。

    注解2:对角化矩阵S不是唯一的。因为特征向量 x 乘以一个常数后依然是特征向量,于是用任何非零常数乘以S的列的到一个新的对角化矩阵 S ,多重特征值有更大的自由度。对于平凡的例子A=I,任何可逆矩阵 S 都能是S1IS是对角矩阵( λ 就是 I ),所有向量就是单位矩阵的特征向量。

    注解3:其他矩阵S不会得出对角矩阵 Λ 。假设 S 的第一列是y,那么 SΛ 的第一列是 λ1y ,如果它和 AS 的第一列相同,根据矩阵乘法它的第一列是 Ay ,那么 y 一定是特征向量,Ay=λ1y S 中特征向量的顺序和Λ中特征值的顺序自然是一样的。

    注解4:并非所有的矩阵都有 n 个线性无关的特征向量,所以并非所有的矩阵都可以对角化。考虑病态矩阵的一个标准例子

    A=[0010]

    特的特征值是 λ1=λ2=0 ,因为它是三角矩阵,并且对角元素为零:

    det(AλI)=det[λ01λ]=λ2

    A 的所有特征向量是向量(1,0)的倍数:

    [0010]x=[00],orx=[c0]

    λ=0 是二重特征值——它的代数重数是2,但是几何重数是1——只有一个无关的特征向量,所以我们不能构建 S

    对于A不能对角化,这里还有一个更直接的证明。因为 λ1=λ2=0 Λ 肯定是一个零矩阵,但是如果 S1AS=0 ,那么我们左乘 S ,右乘S1,便得到 A=0 。但是 A 不等于0,所以S不可逆。

    无法对角化的原因不是因为 λ=0 ,而是 λ1=λ2

    A=[3013]andA=[2110]

    他们的特征值是3,3和1,1,但是是奇异的!问题在于特征向量不完备,这里再强调一下:

    A 的对角化依赖于充分的特征向量。
    A的逆依赖于非零特征值。

    对角化和逆没有联系,由特征值给出的唯一信息是:只有在特征值重复的时候,对角化才会失败。但是不总是会失败, A=I 的特征值就是重复的1,1, ,1,但是它已经是对角矩阵!这时候特征向量是完备的。

    在特征值出现 p 次重复的时候,需要检验是否有p个无关的特征向量——也就是说,检验 AλI 的秩为 np ,为了完成所有的想法,我们必须说明特征值不同的情况。

    4、如果特征向量 x1,,xk 对应不同的特征值 λ1,,λk ,那么这些特征向量就是线性无关的。

    首先假设 k=2 ,并且 x1,x2 的组合是零: c1x1+c2x2=0 ,用 A 进行相乘,可以得到c1λ1x1+c2λ2x2=0,用此方程减去前面方程的 λ2 倍,可以消去向量 x2

    c1(λ1λ2)x1=0

    因为 λ1λ2 并且 x10 ,我们得出 c1=0 ,同样我们可以得到 c2=0 ,所以两个向量是无关的;因为只有平凡组合才能得出零。

    这个论证可以扩展到任意个特征向量的情况:如果某个组合产生零,那么用 A 去乘然后减去原组合的λk倍, xk 消失了,只留下 x1,,xk1 为零的组合。重复相同的步骤(这就是数学归纳法),最终我们会得到 x1 的倍数等于零,所以 c1=0 ,从而每个 ci=0 ,于是来自不同特征值的特征向量自然线性无关。

    n 个不同特征值的矩阵可以被对角化,下面给出一个典型的例子。

    对角化实例

    这部分主要是S1AS=A,特征向量矩阵 S A变成特征值矩阵 Λ (对角的),现在我们来看一下投影和旋转矩阵。

    例1:投影矩阵

    12121212

    特征值矩阵为

    Λ=[1000]

    将特征向量放入 S 的列中得:

    S=[1111]andAS=SΛ=[1100]

    因此 S1AS=Λ

    例2:对于旋转而言,特征值不是很明显:

    90K=[0110]

    可以得出 det(KλI)=λ2+1 。一个向量旋转后怎样才会保持方向不变呢?很显然,除了零向量外(然而它是没用的)不可能有向量如此,但是必须由特征值,我们必须求解 du/dt=Ku ,特征多项式 λ2+1 依然有两个根—— 但是这些根不是实值而已。

    基于上面的提示,我们找到了出路, K 的特征值是虚数,λ1=i,λ2=i,从而看出特征值可以是非实的。这似乎很神奇,旋转九十度后他们乘以 i 或者i

    (Kλ1I)x1=[i11i][yz]=[00]andx1=[1i](Kλ2I)x2=[i11i][yz]=[00]andx1=[1i]

    即便特征值是虚数,但他们是不同的并且特征值是无关的。将他们放到 S 中:

    S=[1i1i]andS1KS=[i00i]

    我们面临着一个不可避免的事实,即使是实数矩阵,依然需要复数。如果实特征值很少,那么总是存在 n 个复特征值。(当虚部为零时,复数包括实数)如果R3,Rn中实特征向量很少时,我们就考虑 C3,Cn Cn 空间包含有复元素的所有列向量并且长度,内积与正交有新的定义,但是确比 Rn 简单。

    幂和乘 : Ak,AB

    这里将解一个计算比较简单的情况。 A2 的特征值是 λ21,,λ2n ,并且 A 的特征向量也是A2的特征向量,我们先从 Ax=λx 开始,然后乘以 A

    A2x=Aλx=λAx=λ2x(3)

    因此 λ2 A2 的特征值,并且有相同的特征向量 x 。如果第一次乘以A后留下的 x 方向未变,那么第二次同样如此。

    利用对角化可以得到相同的结论,将S1AS=Λ平方:

    (S1AS)(S1AS)=Λ2orS1A2S=Λ2

    矩阵 A2 被相同的 S 对角化,所以特征向量不变。特征值是原来的进行平方,这个结论对任意A的幂次都成立:

    5、 Ak 的特征值是 λk1,,λkn 并且 A 的每个特征向量依然是Ak的特征向量。当 S 对角化A时,它也对角化 Ak

    λk=(S1AS)(S1AS)(S1AS)=S1AkS(4)

    除了第一个 S1 和最后一个 S 外,每一个S1都消掉一个 S

    如果A是可逆的,这个规则也可以应用到它的逆上(幂 k=1 ), A1 的特征值是 1/λi ,这个结果即使未对角化也能看出来:

    Ax=λxx=λA1x1λx=A1x

    例3:如果 K 表示旋转90,那么 K2 表示旋转 180 (也就是 I )并且 K1 表示旋转 90

    K=[0110],K2=[1001],K1=[0110]

    K 的特征值是i,i;他们的平方是-1和-1;他们的倒数是 1/i=i,1/(i)=i ,那么 K4 就是旋转 360 :

    K4=[1001],Λ4=[i400(i)4]=[1001]

    对于两个矩阵的乘积,我们可能希望它与 AB 的特征值有关—— 但是事与愿违,尝试用同样的推理似乎非常诱人,可是一般情况下这不是真的。如果 λ A 的特征值,μ B 的特征值,这里给出一个AB等于 μλ 的错误证明:

    ABx=Aμx=μAx=μλx

    错误的原因在于认为 A,B 有相同的特征向量 x ,一般情况下,他们是不相等的,这里我们给出两个特征值为0的矩阵:

    AB=[0010][0100]=[1000]

    A,B 的特征向量完全不同。同理, A+B 的特征值和 λ+μ 也没有关系。

    上面错误的表明了哪些是对的,如果 A,B 的特征向量一样,那么特征值就是他们的乘积 μλ 。但是还有更重要的,这提供了一种识别 A,B 是否共享同一特征向量集合的方法,这在量子力学中是非常关键的问题。

    6、当且仅当 AB=BA 时,对角化矩阵有相同的特征向量矩阵 S

    证明:如果同样的S对角化得 A=SΛ1S1,B=SΛ2S1 ,那么我们用两种顺序相乘得:

    AB=SΛ1S1SΛ2S1=SΛ1Λ2S1, BA=SΛ2S1SΛ1S1=SΛ2Λ1S1

    因为 Λ1Λ2=Λ2Λ1 (对角矩阵满足交换律),所以我们有 AB=BA

    反过来,假设 AB=BA ,从 Ax=λx 开始,我们有

    ABx=BAx=Bλx=λBx

    所以 x,Bx 都是 A 的特征向量,他们共享λ。为了方便如果我们假设 A 的特征值是不同的——特征空间总是一维的——那么Bx肯定是 x 的倍数,换句或说x B,A 的特征向量。对于有相同特征值得证明有点长,这里从略。

    海森伯格不确定性原则来非交换矩阵,像位置 P 和动量Q。 位置是对称的,动量是斜对称的并且他们都满足 QPPQ=I ,不确定性原则直接来此施瓦兹不等式 (Qx)T(Px)QxPx :

    x2=xTx=xT(QPPQ)x2QxPx

    Qx/x Px/x 的乘积——动量和位置误差(当波函数是 x 时)——最小是12,我们无法让两者误差都变小,因为当我们试着度量粒子的位置时我们已经改变了它的动量。

    最后我们回到 A=SΛS1 ,这个分解非常适合取 A 的幂,我们用最简单的例子A2进行说明,在平方的情况下 LU 分解完全没办法,但是 SΛS1 确非常完美,它的平方是 SΛ2S1 并且特征向量不变。利用这些特征向量,我们将解决微分方程与差分方程。

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空空如也

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对角矩阵的平方