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  • 首先考虑一个M乘N的矩阵H,其F范数的平方定义为矩阵...中间上尖矩阵是由奇异值组成的对角阵。(特征值=奇异值的平方) 接下来利用矩阵SVD分解和迹的循环等价性质,即可证明:矩阵F范数的平方等于特征值的和 ...

    首先考虑一个M乘N的矩阵H,其 F范数的平方 定义为矩阵所有元素的模平方的和

    \|\mathbf{H}\|_{F}^{2}=\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{M}[\mathbf{H}]_{m n}^{2}

    也可以等价表示为 H乘H的共轭转置的迹

    \begin{array}{l} \operatorname{Tr}\left\{\mathbf{H} \mathbf{H}^{H}\right\}=\sum_{m=1}^{M}[\mathbf{H}]_{m,:}\left[\mathbf{H}^{H}\right]_{:, m}=\sum_{m=1}^{M}[\mathbf{H}]_{m,:}[\mathbf{H}]_{m,:}^{H} \\ =\sum_{m=1}^{M}\left\|[\mathbf{H}]_{m,:}\right\|_{2}^{2}=\sum_{m=1}^{M} \sum_{n=1}^{N}[\mathbf{H}]_{m, n}^{2} \end{array}

     

    根据矩阵的SVD分解,矩阵H可以表示为

    \mathbf{H}=\mathrm{U} \Lambda \mathrm{V}^{H}

    其中 矩阵U和V是酉阵,即

    \mathrm{U}\mathrm{U}^{H}=\mathrm{V}\mathrm{V}^{H}=\mathbf{I},

    中间上尖矩阵是由奇异值组成的对角阵。(\mathbf{H} \mathbf{H}^{H}\mathbf{H}^{H}\mathbf{H}的特征值=H的奇异值的平方)

     

    接下来利用矩阵SVD分解和迹的循环等价性质,即可证明:矩阵F范数的平方等于奇异值平方的和

    \begin{array}{l} \|\mathbf{H}\|_{F}^{2}=T r\left\{\mathbf{H} \mathbf{H}^{H}\right\} \\ =\operatorname{Tr}\left\{\mathrm{U} \Lambda \mathrm{V}^{H} \mathrm{~V} \Lambda^{H} \mathrm{U}^{H}\right\} \\ =\operatorname{Tr}\left\{\mathrm{U} \Lambda \Lambda^{H} \mathrm{U}^{H}\right\} \\ =\operatorname{Tr}\left\{\Lambda \Lambda^{H} \mathrm{U}^{H} \mathrm{U}\right\} \\ =\operatorname{Tr}\left\{\Lambda \Lambda^{H}\right\} \\ =\sum_{i=1}^{\min (M, N)}[\Lambda]_{i}^{2} \\ =\sum_{i=1}^{\min (M, N)} \lambda_{i} \end{array}

     

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  • #include "stdio.h" void TestFunc(); int fun(int a[3][3]) { /**********Begin**********/ int sum; int i; sum=0; for(i=0;i<3;i++) sum=sum+a[i][i]*a[i][i]; return sum; /********** End *******...}
  • 规则:用数字1----n(n为奇数)的平方填充到一个n行n列的矩形数阵中,每个数出现一次,使这个矩阵的每行、每列、斜对角线的和都为一个值。 填法: 1.第一个要填的数字为1,接下来要填的数字为2,再接下来为3,...

    规则:用数字1----n(n为奇数)的平方填充到一个n行n列的矩形数阵中,每个数出现一次,使这个矩阵的每行、每列、斜对角线的和都为一个值。

    填法:
    1.第一个要填的数字为1,接下来要填的数字为2,再接下来为3,以此类推,1填在第一行的中间位置。
    2.每下一个数填在上一个数的“右上角”,将矩阵假想为右边界和左边界相邻,上边界与下边界相邻。
    3.每当要填的数是n的整倍数的下一个数时,将这个数填在上一个数的下面。

    以下为Java代码:

    public class solution{
    	public static void main(String[] args)
    	{
    		int n = 5;
    		int l = n * n;
    		int c = n / 2;
    		int[][] Array = new int[n][n];
    		for(int i = 0;i < n * n;i++)
    		{
    			if(i % n == 0 && i != 0)
    			{
    				l = l + 2;
    				c = c - 1;
    				if(c < 0)
    				{
    					c = n - 1;
    				}
    				int trueLine = l % n;
    				Array[trueLine][c] = i + 1;
    				l = l - 1;
    				c = (c + 1) % n;
    			}
    			else
    			{
    				int trueLine = l % n;
    				Array[trueLine][c] = i + 1;
    				l = l - 1;
    				c = (c + 1) % n;
    			}			
    		}
    		for(int i = 0;i < n;i++)
    		{
    			for(int j = 0;j < n;j++)
    			{
    				System.out.print(Array[i][j]);
    			}
    			System.out.println("");
    		}
    	}
    }
    
    
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    MATLAB_矩阵处理

    需要提到的数学知识

    这里只是简单的了解,不做太多性质上的解释,或者以后更新吧。

    名称

    定义

    对角阵

    只有对角线上有非零元素的矩阵

    数量矩阵

    对角线上的元素全相等的对角阵

    单位矩阵

    对角线上的元素都为1的对角矩阵

    上三角形矩阵

    对角线以下的元素全为零的矩阵

    下三角形矩阵

    对角线以上的元素全为零的矩阵

    零矩阵

    元素全为0的矩阵

    幺矩阵

    元素全为1的矩阵

    魔方矩阵

    组成元素为自然数1、2、…、n2的平方的n×n的方阵,其中每个元素值都不相等,且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。

    范德蒙矩阵

    最后一列全为1,倒数第二列为指定的V向量,其他列是其后列与倒数第二列的点乘积。(从最后一列是V的0次方,一次到第一列为V的n-1次方。

    希尔伯特矩阵

    H(i,j) = 1/(i+j-1)

    伴随矩阵

    矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵,再转置

    帕斯卡矩阵

    由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡矩阵,矩阵的第n行为三角左斜线的第n条。

    方阵的行列式

    把方阵按照行列式进行运算

    矩阵的秩

    线性无关的行数或列数成为矩阵的秩

    矩阵的迹

    等于矩阵对角线元素的和,也等于矩阵特征值的和

    向量和矩阵的范数

    用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度

    矩阵的条件数

    等于矩阵的范数与逆矩阵的范数的乘积

    矩阵的特征值

    设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是矩阵A的一个特征值,x是对应特征值的特征向量

    注:

    范德蒙矩阵常用于各种通信系统的纠错编码。

    希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵,阶数越高,病态越严重。

    奇数阶魔方矩阵为满秩矩阵,一重偶数阶的秩为n/2+2(n为2的倍数但不是4的倍数),二重偶数阶的秩都为3(阶数是4的倍数)。

    矩阵的条件数越接近于1,矩阵的性能越好。反之,矩阵的性能越差。

    相关的函数

    注:代码采用C描述

    零,幺矩阵

    zeros(m,n) // 产生m * n的全零矩阵

    ones(m,n) // 产生m * n的全1矩阵

    可以通过zeors(size(A))的方式产生和A一样形状的全零矩阵。

    单位矩阵

    eye(m,n) // 产生m * n的对角线为1其他为0的矩阵,当为方阵时产生单位矩阵

    魔方矩阵

    magic(n) //产生n阶的魔方矩阵

    范德蒙矩阵

    vander(V) //产生以V为向量的范德蒙矩阵

    希尔伯特矩阵

    hilb(n) // 产生n接希尔伯特矩阵

    伴随矩阵

    compan(p) //产生p向量的伴随矩阵

    帕斯卡矩阵

    pascal(n) //产生n阶帕斯卡矩阵

    提取矩阵的对角线元素

    diag(A,k) // 提取A矩阵的第k条对角线元素,主对角线元素为0,其上为1,其下为-1,以此类推

    构造对角矩阵

    diag(V,k) // 以V向量为第k条对角线元素,主对角线k值为0,其上为1,其下为-1,以此类推

    上,下三角形矩阵

    triu(A,k) // 提取A矩阵的第k条对角线以上的元素

    tril(A,k) // 提取A矩阵的第k条对角线以下的元素

    矩阵的旋转

    rot90(A,k) // 将矩阵A逆时针旋转90°的k倍,k为1时可省。

    矩阵的反转

    解释:对矩阵实施左右反转是将原矩阵的第一列与最后一列调换,第二列与倒数第二列调换。。。。以此类推

    fliplr(A) // 矩阵左右翻转

    flipud(A) // 矩阵上下反转

    矩阵求逆

    inv(A) 求A的逆矩阵

    方阵的行列式

    det(A) // 求方阵A的行列式

    矩阵的秩

    rank(A) // 求矩阵A的秩

    矩阵的迹

    trace(A) // 求矩阵A的迹

    矩阵的特征值与特征向量

    E = eig(A) // 求矩阵A的全部特征值,构成向量E

    [X,D] = eig(A) // 求矩阵A的全部特征值,构成向量D,并产生矩阵X,X的各列是对应的特征向量

    完全存储方式

    full(A) //将矩阵A转换为完全存储方式

    稀疏存储方式

    sparse(A) // 将矩阵A转换为稀疏存储方式

    sparse(m,n) // 生成一个m*n全是0的稀疏矩阵

    sparse(u,v,S) // 其中u,v,S是三个等长的向量,S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素,u(i) 和 v(i) 分别是S(i)的行,列下标。

    B = spconvert(A) // 直接建立稀疏存储矩阵

    带状稀疏存储矩阵

    是一种十分典型的有规则的稀疏存储矩阵,指所有非零元素集中在对角线上的矩阵

    [B,d] = spdiags(A) // 从带状稀疏存储矩阵矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置给向量d

    A = spdiags(B,d,m,n) //产生一个m×n稀疏矩阵A,其元素是B中的列元素放

    在由d指定的对角线位置上

    操作符

    A.’ 进行A矩阵的转置操作

    A’ 在A矩阵转置的基础上,复数还进行共轭

    某些技巧性代码

    生成[a,b]区间内均匀分布的随机整数。

    fix(a + (b-a+1)*x) %因为fix是靠0取整,故加1

    生成x阶均值为a,方差为b的正态均值随机矩阵

    a + sqrt(b) * randn(x)

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  • 单位向量 ...转置矩阵即将原矩阵按照对角线进行反转, [123456]\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array}\right]⎣⎡​135​246​⎦⎤​ 变为 [135246]\left[\begin{ar...

    单位向量

    模为1的向量,向量的模为向量各个位置元素平方和的正方根

    正交向量

    点积为0的两个向量

    转置矩阵

    转置矩阵即将原矩阵按照对角线进行反转,
    [123456]\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array}\right]
    变为
    [135246]\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right]
    转置矩阵一般用T表示, 矩阵M(mn)M(m*n)转置矩阵为MT(nm)M^T(n*m)

    共轭转置矩阵

    共轭指的是两个复数实数部分相同,虚数部分相反。共轭转置矩阵除了要对原矩阵做转置,同时也要将原矩阵中的每个元素变成其共轭复数。
    共轭转置矩阵一般用H表示,MHM^H
    如果矩阵值都为实数,那么其共轭转置矩阵和转置矩阵相同。

    正交矩阵

    方阵A满足AAT=IA A^{T}=I
    其中I是单位向量,该式说明矩阵A行向量和列向量都是相互正交的单位向量,正交矩阵的行列式为
    1=det(I)=det(ATA)=det(AT)det(A)=det(A)2det(A)=±1\begin{aligned} &1=\operatorname{det}(I)=\operatorname{det}\left(A^{T} A\right)=\operatorname{det}\left(A^{T}\right) \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A)^{2}\\ &\Rightarrow \operatorname{det}(A)=\pm 1 \end{aligned}

    正定矩阵

    首先是方阵,如果对于任意非零向量x都有xTAx>0x^{T} A x>0,那么称方阵A为正定矩阵
    判断:如果A的所有特征值都为正数或者所有顺序主子式都是正数,那么A是正定矩阵

    半正定矩阵

    首先是方阵,如果对于任意非零向量x都有xTAx>=0x^{T} A x>=0,那么称方阵A为正定矩阵
    判断:如果A的所有特征值都为非负数,或者A的所有主子式为非负数(注意这里不是顺序主子式),那么A是半正定矩阵。

    酉矩阵(yǒu)

    如果方阵A乘上其共轭转置矩阵为单位矩阵,称其为酉矩阵:
    AAH=AHA=I\mathbf{A A}^{\mathrm{H}}=\mathbf{A}^{\mathrm{H}} \mathbf{A}=I
    在实数范围内,酉矩阵即为正交矩阵

    正规矩阵

    如果方阵A与其共轭转置矩阵满足交换律,称其为正规矩阵
    AAH=AHA\mathbf{A} \mathbf{A}^{\mathrm{H}}=\mathbf{A}^{\mathrm{H}} \mathbf{A}

    参考资料

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/34897603
    https://liam.page/2017/11/22/SVD-for-Human-Beings/

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空空如也

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对角矩阵的平方