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    2021-11-07 17:02:40
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    假设矩阵AB都为方阵,且二者都可逆,则分块对角矩阵的逆矩阵为:

    \begin{bmatrix} A & \\ & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & \\ & B^{-1} \end{bmatrix}

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  • 解三对角矩阵

    2018-09-27 08:56:54
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    对称矩阵

    对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如:

    可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即:

    对角矩阵

    对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,例如:

    三角矩阵

    三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。

    上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)是指主对角线以下元素全为0的矩阵,如:

    下三角矩阵(Lower Triangular Matrix)是指主对角线以上元素全为0的矩阵,如:

    可以看到,对角矩阵一定是三角矩阵。

    对称矩阵对角化

    是实对称矩阵(元素都是实数),则一定存在正交矩阵
    ,对角矩阵
    ,使得下式成立:

    例子:

    证明暂且参考:为什么实对称矩阵一定能对角化?

    两边同时左乘

    ,右乘
    ,得:

    又因为

    是正交矩阵,所以:

    这就叫做对称矩阵的对角化

    对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积,所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解(Eigendecomposition)、谱分解(Spectral Decomposition),在上面的例子中,矩阵

    的特征值为4、1、-2,对应的特征向量为

    总结

    可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵,所以都是方阵

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    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    3f5c99b8c8cc29f83fbc33517acfa0e3.png

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    011821b2b1f59d812b9d40d3b904fc10.png

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

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    相似对角化是线性代数中最重要的知识点之一。如果一个方阵
    相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵
    使得
    是对角矩阵,则
    就被称为可以相似对角化的。

    下面,我们就通过矩阵

    的相似对角化:

    来简单从数学角度解释下面几个问题:

    • 为什么要进行矩阵的相似对角化?
    • 什么样的矩阵可以相似对角化?
    • 如何进行矩阵的相似对角化?
    • 矩阵的相似对角化的几何理解。

    在这之前你必须了解之前的推送内容:

    • 如何理解线性变换
    • 线性变换的矩阵
    • 如何理解等价关系?
    • 如何理解相似矩阵
    • 如何理解特征值与特征向量

    1 为什么要进行矩阵的相似对角化

    1.1 相似对角化使得同一个线性变换表达方式变的简单

    一个矩阵可以看作是一个线性变换在某组基下的矩阵(线性变换的矩阵 ),如果矩阵中非零元素过多,那么线性变换的表现形式就相对复杂。用本文开头的

    矩阵举例:

    f2d1d33451286e100e0615838ce90abd.png

    而如果能选取不同基,使线性变换的矩阵变成对角矩阵。那么,线性变换的形式就会变得相对简单。注意:相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表现(详情点击如何理解相似矩阵)。用本文开头的

    的对角矩阵举例:

    516fa79838ac495610e8c95e8ec6ca35.png

    是不是能感觉到在选择了对角矩阵之后,线性变换的表现形式变得更加简单了。用 (如何理解相似矩阵)推送中的语言来说的话,对角矩阵一定是观看演出时的“最佳视角”。

    1.2 一些特殊矩阵的对角化可以解决不同的实际问题。

    例如实对称矩阵的相似对角化,可以解决一些二次型的图像问题(后期会详细介绍,敬请期待)。在物理学、图像处理方面都有应用。让我们继续用开头的矩阵,看看实对称矩阵的相似对角化是如何帮助我们了解这个二次型的图像吧。

    一般情况下,是不容易确定一个带有交叉项的二次方程的图像的,例如

    的图像(注意这里的矩阵就是文章开头的矩阵哦)。但通过相似对角化(实际为坐标轴旋转)可以消去二次型中的交叉项,并得到新的坐标系(

    坐标系)。从而利用新的坐标系中对角矩阵所对应的二次型得到原方程的图像(更多详情,敬请期待):

    d41e35f24a5fa0859e7976910e4b9668.gif

    1.3 相似对角化是可对角化矩阵的方幂运算的工具

    计算一个对角矩阵的任意次方幂是简单的,只需要将对角元素做方幂运算即可。然而对于一般矩阵进行方幂运算并不是一件容易的事情。相似对角化给了一个可对角化矩阵算方幂的办法:

    从而,可以轻松得到:

    1.4 期待你的更多相似对角化的应用

    .....

    2、什么样的矩阵可以对角化

    并不是所有矩阵都可以对角化。一个

    阶矩阵
    可以对角化当且仅当
    个线性无关的特征向量。因此,最大可能多的找出这个矩阵的线性无关的特征向量,是能否使这个矩阵相似对角化的主要途径。来看看下面几个例子:

    2.1 可以对角化的例子

    继续用文章开头的矩阵为例,(其它更多例子可点击如何理解特征值与特征向量了解)。 下面两个矩阵所对应的线性变换都可以轻松找到两个线性无关的特征向量,因此是可以相似对角化的。

    d0081230b4adee9ec87d555a4bea6e25.gif

    4baa518595f4dfebbb30d04fc1754132.gif

    2.2 不能对角化的例子

    下面的线性变换中,仅仅有一个线性无关特征向量,从而不能相似对角化(更多详情,点击如何理解特征值与特征向量了解)。

    15025f7423e3ba1f821a41cf336621f7.png

    2.3 对角化还需要注意线性空间的基域的选择。

    考虑下面的线性变换:平面上的逆时针旋转90度的变换:

    87ed9a1bc0414a2a1be87905e61a0e73.png

    从图中可以看出这个旋转变换没有实特征向量,然而这个矩阵是可以对角化的。因为,它存在两个线性无关的复特征向量。因此,把这个矩阵看作复数域上的二维线性空间的变换,他是可以相似对角化的:

    3、如何进行矩阵的相似对角化

    如果一个

    矩阵
    可以对角化,这
    个线性无关的特征向量便构成了一个相似变换矩阵
    ,特征值按照相应的位置排列,即构成了相似对角矩阵

    需要注意的是,相似变换矩阵

    并不是唯一的,因为对应一个特征值的特征向量的选择有无数多个。而在实对称矩阵情况下,相似变换矩阵往往会选择为正交矩阵,因为正交矩阵有更好的性质(更多详情,敬请期待)。

    4 矩阵的相似对角化的几何理解

    如何理解相似矩阵中,我们已经讨论过相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的矩阵。而对角矩阵则是所有这些相似等价类中,最简单的代表(更多内容,点击如何理解等价关系?)

    下面我们用前面两个可对角化的矩阵所对应的线性变换为例,一起来从变换的角度看看,相似对角矩阵是如何使线性变换看起来更容易的:

    d0081230b4adee9ec87d555a4bea6e25.gif

    3fce52d7b6e0be75c1ee7e94d112d4a5.png

    4baa518595f4dfebbb30d04fc1754132.gif

    f32f2804c8c1bf3e5364606414fd9e3d.gif

    下面再把对角化前后放到一起来看看:

    f40ca5e16e6796dd7ea31bac66c89735.png

    其实,可以看到对角矩阵对应的线性变换就是将网格线做平行移动即可。 希望这篇文章能帮助你理解相似对角化的意义。

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对角矩阵的逆矩阵求法