对角矩阵行列式的计算方法

矩阵的行列式, 指正方矩阵的行列式.

计算方法参考 :

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

如图 :

det计算矩阵的行列式 - 德哥@Digoal - PostgreSQL research

对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。

2阶矩阵的行列式

3阶矩阵的行列式

在R中使用det可以迅速的得到矩阵的行列式的值.

需要注意矩阵必须是正方矩阵.

> x <- matrix(1:12,3,4)
> x
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    4    7   10
[2,]    2    5    8   11
[3,]    3    6    9   12
> det(x)
Error in determinant.matrix(x, logarithm = TRUE, ...) : 
  'x' must be a square matrix
> x <- matrix(1:16,4,4)
> det(x)
[1] 0
> x
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    5    9   13
[2,]    2    6   10   14
[3,]    3    7   11   15
[4,]    4    8   12   16
> det(t(x))
[1] 4.733165e-30
> t(x)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12
[4,]   13   14   15   16

[参考]

1. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

2. > help(det)

det                    package:base                    R Documentation

Calculate the Determinant of a Matrix

Description:

     ‘det’ calculates the determinant of a matrix.  ‘determinant’ is a
     generic function that returns separately the modulus of the
     determinant, optionally on the logarithm scale, and the sign of
     the determinant.

Usage:

     det(x, ...)
     determinant(x, logarithm = TRUE, ...)
     
Arguments:

       x: numeric matrix: logical matrices are coerced to numeric.

logarithm: logical; if ‘TRUE’ (default) return the logarithm of the
          modulus of the determinant.

     ...: Optional arguments.  At present none are used.  Previous
          versions of ‘det’ allowed an optional ‘method’ argument.
          This argument will be ignored but will not produce an error.

Details:

     The ‘determinant’ function uses an LU decomposition and the ‘det’
     function is simply a wrapper around a call to ‘determinant’.

     Often, computing the determinant is _not_ what you should be doing
     to solve a given problem.

Value:

     For ‘det’, the determinant of ‘x’.  For ‘determinant’, a list with
     components

 modulus: a numeric value.  The modulus (absolute value) of the
          determinant if ‘logarithm’ is ‘FALSE’; otherwise the
          logarithm of the modulus.

    sign: integer; either +1 or -1 according to whether the determinant
          is positive or negative.

Examples:

     (x <- matrix(1:4, ncol = 2))
     unlist(determinant(x))
     det(x)
     
     det(print(cbind(1, 1:3, c(2,0,1))))


	
矩阵的变换运算中行列式是一个不可缺少的过程，并且担当着举足轻重的角色。
行列式
行列式：是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。
二阶行列式
通常对矩阵而言二阶行列式可以算做是最最基础的行列式了。
也就常说的 ad - bc
计算示例有：
多阶行列式的计算方法
对于多阶的行列式，小菜知道的有两种方法。
降阶法。
对角线法。
降阶法
大学课程中的重点讲解就是这种方法。
把一个n阶行列式中的元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij。记Aij=(-1)i+jMij，叫做元素aij的代数余子式。例如：
给定的矩阵D，在划去a23后得到的余子式为M。元素a23的代数余子式为A23。
一个n×n矩阵的行列式等于其任意行(或列)的元素与对应的代数余子式乘积之和。即：
由上面公式的引导，故有：
1)三阶矩阵行列式
以划去第一行为例(划去任意一行或者一列都可以，其运算结果不变)：
可以看出利用降阶法，轻松的将一个三阶矩阵行列式的计算变换成了一个只有二阶矩阵的运算过程。
一个简单求解的例子：
2)四阶矩阵行列式
利用代数余子式最终都可以将高阶矩阵转换成二阶矩阵来计算。四阶矩阵行列式的求解也需要层层降阶。
对角线法
对角线法求解矩阵行列式，顾名思义是根据矩阵式子的正对角线和副对角线之差的运算法则。
再回头来看一开始给出的二阶矩阵的计算是不是就是满足对角线法则。
1)三阶矩阵行列式
用所有正对角线的乘积结果减去所有的副对角线的乘积结果。
2)四阶矩阵行列式
首先还是来仔细研究下三阶矩阵的行列式值的结构。
首先三阶行列式的值是6项式子的和，其中每一项都是不同行不同列上的3个数的乘积。其次，观察每一项的+ - 符号的决定，小菜定义数aij为行列式的第i行第j列元素，它的第1个足标称为行标，第2个足标称为列标，把每一项的3个元素依行由小到大的舒徐排列起来观察列标排列的特点。
在一个排列中如果大数t在小数r的前面，则称此排列有1个逆序。在上述各项列标的排列中，如排列231，2在1前面，有1个逆序；3在1前面，又有1个逆序。因此排列231共有2个逆序即逆序数是2，又如排列123没有逆序即逆序数为0。规定列标排列的逆序数为偶数时，该项取"+",为奇数时，取"-"。因此，a11a22a33,a12a23a31,a13a21a32等3项的符号为"+";而a13a22a31,a11a23a21,a12a21a33的符号为"-"。
根据对三阶行列式的分析，小菜进一步探讨利用对角线法则来计算四阶行列式。先将1个四阶行列式写成3种不同形式，分别求出他们的值。
(1)第1种形式。将第1、第2和第3列按顺序添加在原矩阵第4列的后面，其中每列上方标记"+"和"-"分别表示该列按箭头方向4个元素乘积的符号。
  (2) 第2种形式。将原四阶行列式的前3列进行1次轮换形成1个新的四阶行列式，再按照第1种形式的方法计算。
  (3) 第3种形式。将原四阶行列式的前3列进行2次轮换形成1个新的四阶行列式，再按照第1种形式的方法计算。
最后将这3种形式计算结果求和得到。
最终求得的便是四阶矩阵行列式的最终结果。
计算示例：
编码：
理论研究完成了，赶紧将这一成果应用到自己的矩阵类上。
行列式的几何意义
1)二阶行列式
二阶行列式的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。
1)三阶行列式
三阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。
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