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  • 对角行列式公式:
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    2019-11-03 23:27:59

     

    (-1)^([n*(n-1)]/2)

    冒泡排序对换。

     

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  • 对角线行列式计算

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    知识点:行列式列交换、上三角行列式计算

    定义

    1. 行列式次对角线:设 n n n阶行列式
      ∣ A ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ , \left| A \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|, A=a11a21an1a12a22an2a1na2nann,
      则元素 a 1 n ,   a 2 , n − 1 ,   ⋯   ,   a j , n − j ,   ⋯   ,   a n − 1 ,   2 ,   a n 1 {{a}_{1n}},\text{ }{{a}_{2,n-1}},\text{ }\cdots ,\text{ }{{a}_{j,n-j}},\text{ }\cdots ,\text{ }{{a}_{n-1,\text{ }2}},\text{ }{{a}_{n1}} a1n, a2,n1, , aj,nj, , an1, 2, an1所在的这条线称为行列式 ∣ A ∣ \left| A \right| A的次对角线。

    2. 次对角线行列式:次对角线元素不全为零,其余元素全为零的行列式。

    题目

      求证: n n n阶行列式 ∣ 0 0 ⋯ 0 b 1 0 0 ⋯ b 2 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 ∣ = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) b 1 b 2 ⋯ b n . \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}{{b}_{1}}{{b}_{2}}\cdots {{b}_{n}}. 000bn00bn100b200b1000=(1)21n(n1)b1b2bn.

    证明

    1. 先将行列式中 ( b 1 , 0 , 0 , ⋯   , 0 ) T {{\left( {{b}_{1}},0,0,\cdots ,0 \right)}^{T}} (b1,0,0,,0)T一列一步步交换到第 1 1 1列的位置:
      ∣ A 1 ∣ : = ∣ 0 0 ⋯ 0 0 b 1 0 0 ⋯ 0 b 2 0 0 0 ⋯ b 3 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ 0 0 ⋯ 0 b 1 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ b 3 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ 0 0 ⋯ b 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ 0 b 3 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ⋯ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ 0 b 3 0 0 0 ⋯ b 4 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ = : ∣ A 2 ∣ . \begin{aligned} & \left| {{A}_{1}} \right|:=\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{3}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{3}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}} \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & {{b}_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ \vdots& \vdots & & \vdots& \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\cdots \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|=:\left| {{A}_{2}} \right|. \\ \end{aligned} A1:=0000bn000bn1000b3000b2000b10000 0000bn000bn1000b300b100000b2000 0000bn000bn10b1000000b3000b2000 b100000000bn000b4000b3000b2000=:A2.
      共交换列次数为 n − 1 n-1 n1次。
    2. 接着将 ( 0 , b 2 , 0 , ⋯   , 0 ) T {{\left( 0,{{b}_{2}},0,\cdots ,0 \right)}^{T}} (0,b2,0,,0)T一列一步步交换到第 2 2 2列的位置:
      ∣ A 2 ∣ = ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ 0 b 3 0 0 0 ⋯ b 4 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 b 2 0 0 0 ⋯ 0 0 b 3 0 0 ⋯ b 4 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ b 2 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 3 0 0 ⋯ 0 b 4 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ → ⋯ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 b 2 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 3 0 0 ⋯ 0 b 4 0 0 0 ⋯ b 5 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 0 ∣ = : ∣ A 3 ∣ . \begin{aligned} & \left| {{A}_{2}} \right|=\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{4}} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\cdots \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {{b}_{2}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{5}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|=:\left| {{A}_{3}} \right|. \\ \end{aligned} A2=b100000000bn000b4000b3000b2000 b100000000bn000b400b200000b300 b100000000bn0b2000000b4000b300 b1000000b200000000b50000b40000b3000=:A3.
      共交换列次数为 n − 2 n-2 n2次。
    3. 重复以上操作,直到把 ( 0 , 0 , ⋯   , b n − 1 , 0 ) T {{\left( 0,0,\cdots ,{{b}_{n-1}},0 \right)}^{T}} (0,0,,bn1,0)T交换到第 n − 1 n-1 n1列的位置,此时 ( 0 , 0 , ⋯   , 0 , b n ) T {{\left( 0,0,\cdots ,0,{{b}_{n}} \right)}^{T}} (0,0,,0,bn)T刚好也就在第 n n n列的位置。注意到对于将 ( 0 , 0 , ⋯ 0 , b j , 0 , ⋯   , 0 ) T {{\left( 0,0,\cdots 0,{{b}_{j}},0,\cdots ,0 \right)}^{T}} (0,0,0,bj,0,,0)T交换到第 j ( = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 ) j\left( =1,2,\cdots ,n-1 \right) j(=1,2,,n1)列这个单独的步骤,共需交换列次数为 n − j n-j nj次。

    综上,一方面有
    ∣ A 1 ∣ = ( − 1 ) n − 1 ∣ A 2 ∣ = ( − 1 ) n − 1 × ( ( − 1 ) n − 2 ∣ A 3 ∣ ) = ⋯ = ∏ j = 1 n − 1 ( − 1 ) n − j ∣ A n ∣ = ( − 1 ) ∑ j = 1 n − 1 ( n − j ) ∣ A n ∣ = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) ∣ A n ∣ . (1) \left| {{A}_{1}} \right|={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left| {{A}_{2}} \right|={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\times \left( {{\left( -1 \right)}^{n-2}}\left| {{A}_{3}} \right| \right)=\cdots\\=\prod\limits_{j=1}^{n-1}{{{\left( -1 \right)}^{n-j}}}\left| {{A}_{n}} \right|={{\left( -1 \right)}^{\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\left( n-j \right)}}}\left| {{A}_{n}} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}\left| {{A}_{n}} \right|. \tag{1} A1=(1)n1A2=(1)n1×((1)n2A3)==j=1n1(1)njAn=(1)j=1n1(nj)An=(1)21n(n1)An.(1)
    另一方面注意到
    ∣ A n ∣ = ∣ b 1 b 2 ⋱ b n − 1 b n ∣ \left| {{A}_{n}} \right|=\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {{b}_{2}} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {{b}_{n-1}} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right| An=b1b2bn1bn
    是一个上三角不等式,于是有
    ∣ A n ∣ = ∏ j = 1 n b j . (2) \left| {{A}_{n}} \right|=\prod\limits_{j=1}^{n}{{{b}_{j}}}. \tag{2} An=j=1nbj.(2)
    由式(1),式(2),于是有
    ∣ 0 0 ⋯ 0 b 1 0 0 ⋯ b 2 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 ∣ = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) ∏ j = 1 n b j . \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}\prod\limits_{j=1}^{n}{{{b}_{j}}}. 000bn00bn100b200b1000=(1)21n(n1)j=1nbj.

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    2017 年 9 月 13 日 15:53:58 由于本人最近在学习线性代数,刚学,很多东西不懂。于是边学边总结经验。 三阶行列式比二阶行列式计算难一些。于是总结计算方法如下。 二阶行列式 要计算三阶行列式的前提条件是,你要会计算二阶行列式 如下就是一个二阶行列式

    a11 a12

    a21 a22

    二阶行列式的计算方法非常简单,就是对角线互乘. 然后主对角线乘积(a11a22)减去副对角线乘积(a12a21).

    a11 a12

    a21 a22

    =a11a22-a12a21

    会了二阶行列式之后, 你会发现二阶行列式其实不难。 但是三阶行列式其实跟二阶行列 式相比, 难度就不在一个等级。 我通过看书自学, 发现有两个比较好的办法去解决这个问题。 方法一:对角线 只不过这次对角线比较多,而且比较繁琐

    a11 a12

    a21 a22 a31 a32

    a13 a23 a33

    这个行列式中,我们计算,如果是用对角线去计算的话。方法如下 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32 例题

    1 2 3 2 3 1 =1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18 3 1 2

    理解对角线的关键在哪里呢??? 这里也是我做这个文档的原因。 因为我发现很多教材包括我看到的, 都是让你圈让 你找。 。 。其实都太繁琐。我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。那就是——位 移。 当然我发现更多的教材,对于基础问题,它都不怎么提及。你看吧。看得懂是你的 悟性。 看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你, 因为所有的东西都 涉及商业利益的时候,其实你看到的都不是真相,看到的只是教材编辑者想给你看到的。 是的。比如说 a12a21a33 的时候,你可以通过对角线找到 a12a21 但是你怎么确定 a31 的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。别的以此类推。 方法二:转换为二阶行列式 因为二阶行列式很简单, 非常容易计算, 虽然我们有了方法一可以解决大部分问题, 但是有的时候还是计算太麻烦了。于是我们要升级方法。让原本可以解决的问题,我们用更 简便的方法解决它。已达到省时省力的效果学习也事半

    2017-09-13

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对角矩阵行列式的计算方法