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2019-11-03 23:27:59
（-1）^([n*（n-1）]/2)
冒泡排序对换。
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2021-07-03 16:57:30知识点：行列式列交换、上三角行列式计算。展开全文定义
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行列式次对角线：设 n n n阶行列式
∣ A ∣ = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ , \left| A \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|, ∣A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣,
则元素 a 1 n , a 2 , n − 1 , ⋯ , a j , n − j , ⋯ , a n − 1 , 2 , a n 1 {{a}_{1n}},\text{ }{{a}_{2,n-1}},\text{ }\cdots ,\text{ }{{a}_{j,n-j}},\text{ }\cdots ,\text{ }{{a}_{n-1,\text{ }2}},\text{ }{{a}_{n1}} a1n, a2,n−1, ⋯, aj,n−j, ⋯, an−1, 2, an1所在的这条线称为行列式 ∣ A ∣ \left| A \right| ∣A∣的次对角线。 -
次对角线行列式：次对角线元素不全为零，其余元素全为零的行列式。
题目
求证： n n n阶行列式 ∣ 0 0 ⋯ 0 b 1 0 0 ⋯ b 2 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 ∣ = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) b 1 b 2 ⋯ b n . \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\\end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}{{b}_{1}}{{b}_{2}}\cdots {{b}_{n}}. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮0bn00⋮bn−10⋯⋯⋯⋯0b2⋮00b10⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)21n(n−1)b1b2⋯bn.
证明
- 先将行列式中
(
b
1
,
0
,
0
,
⋯
,
0
)
T
{{\left( {{b}_{1}},0,0,\cdots ,0 \right)}^{T}}
(b1,0,0,⋯,0)T一列一步步交换到第
1
1
1列的位置：
∣ A 1 ∣ : = ∣ 0 0 ⋯ 0 0 b 1 0 0 ⋯ 0 b 2 0 0 0 ⋯ b 3 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ 0 0 ⋯ 0 b 1 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ b 3 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ 0 0 ⋯ b 1 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ 0 b 3 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 0 ∣ → ⋯ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ 0 b 3 0 0 0 ⋯ b 4 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ = : ∣ A 2 ∣ . \begin{aligned} & \left| {{A}_{1}} \right|:=\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{3}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{3}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}} \\ & \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & {{b}_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ \vdots& \vdots & & \vdots& \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\cdots \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|=:\left| {{A}_{2}} \right|. \\ \end{aligned} ∣A1∣:=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣000⋮0bn000⋮bn−10⋯⋯⋯⋯⋯00b3⋮000b20⋮00b100⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣000⋮0bn000⋮bn−10⋯⋯⋯⋯⋯00b3⋮00b100⋮000b20⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣000⋮0bn000⋮bn−10⋯⋯⋯⋯⋯b100⋮0000b3⋮000b20⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⋯∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯000b4⋮000b30⋮00b200⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=:∣A2∣.
共交换列次数为 n − 1 n-1 n−1次。 - 接着将
(
0
,
b
2
,
0
,
⋯
,
0
)
T
{{\left( 0,{{b}_{2}},0,\cdots ,0 \right)}^{T}}
(0,b2,0,⋯,0)T一列一步步交换到第
2
2
2列的位置：
∣ A 2 ∣ = ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 2 0 0 ⋯ 0 b 3 0 0 0 ⋯ b 4 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 b 2 0 0 0 ⋯ 0 0 b 3 0 0 ⋯ b 4 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ b 2 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 3 0 0 ⋯ 0 b 4 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n ⋯ 0 0 0 ∣ → ⋯ → ∣ b 1 0 ⋯ 0 0 0 0 b 2 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 b 3 0 0 ⋯ 0 b 4 0 0 0 ⋯ b 5 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 0 0 ∣ = : ∣ A 3 ∣ . \begin{aligned} & \left| {{A}_{2}} \right|=\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{3}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{4}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| \\ & \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{4}} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|\xrightarrow[{}]{{}}\cdots \xrightarrow[{}]{{}}\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {{b}_{2}} & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & {{b}_{3}} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{4}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{5}} & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|=:\left| {{A}_{3}} \right|. \\ \end{aligned} ∣A2∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯000b4⋮000b30⋮00b200⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯000b4⋮00b200⋮000b30⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1000⋮00000⋮bn⋯⋯⋯⋯⋯0b200⋮0000b4⋮000b30⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣⋯∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b10000⋮00b2000⋮0⋯⋯⋯⋯⋯⋯0000b5⋮0000b40⋮000b300⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=:∣A3∣.
共交换列次数为 n − 2 n-2 n−2次。 - 重复以上操作，直到把 ( 0 , 0 , ⋯ , b n − 1 , 0 ) T {{\left( 0,0,\cdots ,{{b}_{n-1}},0 \right)}^{T}} (0,0,⋯,bn−1,0)T交换到第 n − 1 n-1 n−1列的位置，此时 ( 0 , 0 , ⋯ , 0 , b n ) T {{\left( 0,0,\cdots ,0,{{b}_{n}} \right)}^{T}} (0,0,⋯,0,bn)T刚好也就在第 n n n列的位置。注意到对于将 ( 0 , 0 , ⋯ 0 , b j , 0 , ⋯ , 0 ) T {{\left( 0,0,\cdots 0,{{b}_{j}},0,\cdots ,0 \right)}^{T}} (0,0,⋯0,bj,0,⋯,0)T交换到第 j ( = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 ) j\left( =1,2,\cdots ,n-1 \right) j(=1,2,⋯,n−1)列这个单独的步骤，共需交换列次数为 n − j n-j n−j次。
综上，一方面有
∣ A 1 ∣ = ( − 1 ) n − 1 ∣ A 2 ∣ = ( − 1 ) n − 1 × ( ( − 1 ) n − 2 ∣ A 3 ∣ ) = ⋯ = ∏ j = 1 n − 1 ( − 1 ) n − j ∣ A n ∣ = ( − 1 ) ∑ j = 1 n − 1 ( n − j ) ∣ A n ∣ = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) ∣ A n ∣ . (1) \left| {{A}_{1}} \right|={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\left| {{A}_{2}} \right|={{\left( -1 \right)}^{n-1}}\times \left( {{\left( -1 \right)}^{n-2}}\left| {{A}_{3}} \right| \right)=\cdots\\=\prod\limits_{j=1}^{n-1}{{{\left( -1 \right)}^{n-j}}}\left| {{A}_{n}} \right|={{\left( -1 \right)}^{\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\left( n-j \right)}}}\left| {{A}_{n}} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}\left| {{A}_{n}} \right|. \tag{1} ∣A1∣=(−1)n−1∣A2∣=(−1)n−1×((−1)n−2∣A3∣)=⋯=j=1∏n−1(−1)n−j∣An∣=(−1)j=1∑n−1(n−j)∣An∣=(−1)21n(n−1)∣An∣.(1)
另一方面注意到
∣ A n ∣ = ∣ b 1 b 2 ⋱ b n − 1 b n ∣ \left| {{A}_{n}} \right|=\left| \begin{matrix} {{b}_{1}} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {{b}_{2}} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {{b}_{n-1}} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {{b}_{n}} \\ \end{matrix} \right| ∣An∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b1b2⋱bn−1bn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
是一个上三角不等式，于是有
∣ A n ∣ = ∏ j = 1 n b j . (2) \left| {{A}_{n}} \right|=\prod\limits_{j=1}^{n}{{{b}_{j}}}. \tag{2} ∣An∣=j=1∏nbj.(2)
由式（1），式（2），于是有
∣ 0 0 ⋯ 0 b 1 0 0 ⋯ b 2 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 b n − 1 ⋯ 0 0 b n 0 ⋯ 0 0 ∣ = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) ∏ j = 1 n b j . \left| \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & {{b}_{1}} \\ 0 & 0 & \cdots & {{b}_{2}} & 0 \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots & \vdots \\ 0 & {{b}_{n-1}} & \cdots & 0 & 0 \\ {{b}_{n}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{\frac{1}{2}n\left( n-1 \right)}}\prod\limits_{j=1}^{n}{{{b}_{j}}}. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮0bn00⋮bn−10⋯⋯⋯⋯0b2⋮00b10⋮00∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)21n(n−1)j=1∏nbj.
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a11 a12
a21 a22
二阶行列式的计算方法非常简单，就是对角线互乘. 然后主对角线乘积(a11a22)减去副对角线乘积(a12a21).
a11 a12
a21 a22
=a11a22-a12a21
会了二阶行列式之后， 你会发现二阶行列式其实不难。 但是三阶行列式其实跟二阶行列 式相比， 难度就不在一个等级。 我通过看书自学， 发现有两个比较好的办法去解决这个问题。 方法一：对角线 只不过这次对角线比较多，而且比较繁琐
a11 a12
a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
这个行列式中，我们计算，如果是用对角线去计算的话。方法如下 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32 例题
1 2 3 2 3 1 =1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18 3 1 2
理解对角线的关键在哪里呢？？？ 这里也是我做这个文档的原因。 因为我发现很多教材包括我看到的， 都是让你圈让 你找。 。 。其实都太繁琐。我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。那就是——位 移。 当然我发现更多的教材，对于基础问题，它都不怎么提及。你看吧。看得懂是你的 悟性。 看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你， 因为所有的东西都 涉及商业利益的时候，其实你看到的都不是真相，看到的只是教材编辑者想给你看到的。 是的。比如说 a12a21a33 的时候，你可以通过对角线找到 a12a21 但是你怎么确定 a31 的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。别的以此类推。 方法二：转换为二阶行列式 因为二阶行列式很简单， 非常容易计算， 虽然我们有了方法一可以解决大部分问题， 但是有的时候还是计算太麻烦了。于是我们要升级方法。让原本可以解决的问题，我们用更 简便的方法解决它。已达到省时省力的效果学习也事半
2017-09-13
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【线性代数（5）】等和，三叉型，反对称行列式计算及python代码辅助验证
2020-07-04 10:29:13行列式计算例1：化为上三角（就硬算）例2：巧妙使用展开式例3：等和行列式例4：加边法 例1：化为上三角（就硬算） 计算下面行列式的值 D=∣217−1−1243210−13221∣D = \begin{vmatrix}2 & 1 & 7 & -1\... -
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2018-11-04 21:14:04N阶行列式的超平行多面体的几何图形是由行(或列)向量张成的，而且这个n维超平行多面体与一个n维超长方体等体积。 一、代数意义 矩阵乘法规则看起来比较复杂，不容易理解其乘法规则背后隐含的意义。现举一个...
