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  • 对角矩阵(diagonal matrix)

    万次阅读 2016-06-23 09:55:04
    1. 对角矩阵参与矩阵乘法 矩阵 A 左乘一个对角矩阵 D,是分别用 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一行; 相似地,矩阵 A 右乘一个对角矩阵 D,是分别将 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一列 对角矩阵之间的...

    1. 对角矩阵参与矩阵乘法

    • 矩阵 A 左乘一个对角矩阵 D,是分别用 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一行;

    • 相似地,矩阵 A 右乘一个对角矩阵 D,是分别将 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一列

    • 对角矩阵之间的矩阵乘法运算,对角线元素相乘,仍为对角矩阵,自然此时满足乘法的交换律;

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  • 矩阵对角

    万次阅读 2015-10-16 16:52:47
    一、矩阵对角化的理论 一个映射或者一个线性变换,都有一个矩阵和它相对应。矩阵或者映射是不是可以对角化,对工程应用来说比较重要,因为对角化后的矩阵,乘积简单,经过多次变换的话,相当于矩阵的多次方。矩阵...

    一、矩阵对角化的理论
    一个映射或者一个线性变换,都有一个矩阵和它相对应。矩阵或者映射是不是可以对角化,对工程应用来说比较重要,因为对角化后的矩阵,乘积简单,经过多次变换的话,相当于矩阵的多次方。矩阵能不能对角化,取决于它的特称向量能否构成矩阵的一个基。
    1.在域 F 上的 n × n 矩阵 A 是可对角化的,当且仅当它的特征空间的维度等于 n,它为真当且仅当存在由 A 的特征向量组成的Fn的基。如果找到了这样的基,可以形成有基向量作为纵列的矩阵 P,而 P-1AP 将是对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 A 的特征值。
    2. 线性映射 T : V → V 是可对角化的,当且仅当它的特征空间的维度等于 dim(V),它为真当且仅当存在由 T 的特征向量组成的 V 的基。T 关于这个基将表示为对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 T 的特征值。
    另一个特征化: 矩阵或线性映射在域 F 上可对角化的,当且仅当它的极小多项式在 F 上有不同的线性因子。

    下列充分(但非必要)条件经常是有用的。
    1. n × n 矩阵 A 只在域 F 上可对角化的,如果它在 F 中有 n 个不同的特征值,就是说,如果它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。
    2. 线性映射 T : V → V 带有 n=dim(V) 是可对角化的,如果它有 n 个不同的特征值,就是说它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。
    3. 在域 F 上的 n × n 矩阵 A,如果重根的维数等于其线性无关的特征向量的个数,则矩阵A可以对角化。
    4.
    二、矩阵对角化过程
    下面例子中,矩阵A是对称的,它可以进行对角化,虽然它只有2个不同的特征值,但是有4个线性无关的特征向量,所以能进行对角化。
    给定矩阵A,求它的特征值、特征向量,并对它进行对角化。
    (1)求特征多项式,matlab命令p= poly(A);
    (2)求解特征多项式,求出特征值,solve(P);
    (3)分别将特征值带入齐次方程组,求出基础解系
    (4)针对每个特征值下的基础解系,进行正交化。
    (5)对正交化后的向量单位化

    例子:已知这里写图片描述

    求出一正交矩阵 使 成对角形.
    解:先求出的 特征值.由这里写图片描述

    即得的特征值为 (三重), .
    其次,求属于1的特征向量.把 代入这里写图片描述
    (*)
    求得基础解系为

    把它们正交化,得这里写图片描述

    再单位化,得这里写图片描述
    这里写图片描述

    这是属于三重特征值 三个标准正交的特征向量.
    再求属于 的特征向量.用代入(*)式求得其基础解系为 .
    把它单位化,得.
    特征向量 构成的一组标准正交基,所求的正交矩阵为这里写图片描述
    .
    这里写图片描述
    .
    三、matlab实现过程
    (1)求特征多项式和特征值

    clc
    clear all
    A=[0 1 1 -1;1 0 -1 1 ;1 -1 0 1;-1 1 1 0]
    p=poly(A)
    % p = 1.0000 0 -6.0000 8.0000 -3.0000
    p1=poly2str(p,’x’)
    % p1 = x^4 - 6 x^2 + 8 x - 3
    p2=sym(‘x^4 - 6 x^2 + 8 x - 3’) %怎样引用前面的平p1
    s1=solve(p2) %查看 s1 =-3
    1
    1
    1
    (2)求1的特征向量
    B=1*eye(4,4)-A
    c=rref(B);

    % c =

    % 1 -1 -1 1
    % 0 0 0 0
    % 0 0 0 0
    % 0 0 0 0
    %相当于 x1-x2-x3+x4=0
    %4个未知数,一个方程,有三个自由变量,自行设置 x1=1 ,x2=1,x3=0,de x4=0
    x1=1 ,x2=0,x3=1,de x4=0
    x1=-1 ,x2=0,x3=0,de x4=1
    %得一个基础解系
    a1=[1 1 0 0];
    a2=[1 0 1 0];
    a3=[-1 0 0 1];
    %对上面的3个向量正交化
    b1=a1;
    b2=a2-a2.*b1/sqrt(b1.*b1);
    b3=a3-a3.*b1/sqrt(b1.*b1)-a3.*b2/sqrt(b2.*b2);
    format rat %分数显示
    jie=[b1;b2;b3]’

    %jie =

    1.0000    0.5000   -0.0000
    1.0000   -0.5000    1.0000
         0    0.5000    1.0000
         0   -0.5000    2.0000
    

    jie(abs(jie)<0.0001)=0;
    %单位化
    format short
    d1=jie(:,1)/norm(jie(:,1));
    d2=jie(:,2)/norm(jie(:,2));
    d3=jie(:,3)/norm(jie(:,3));

    format rat %分数显示

    D=[d1,d2,d3]
    format rat %分数显示
    D =

    0.7071    0.5000   -0.0000
    0.7071   -0.5000    0.4082
         0    0.5000    0.4082
         0   -0.5000    0.8165
    

    % D’*D

    ans =

    1.0000    0.0000    0.2887
    0.0000    1.0000   -0.4082
    0.2887   -0.4082    1.0000
    

    这时第1个列向量和第三个列向量内积不为0,有误差,难道前面的正交化过程有误?

    尝试改进一下
    b1=a1;
    b2=a2 -(a2*b1’/(b1*b1’))*b1;
    b3=a3-(a3*b1’/ (b1*b1’))*b1-(a3*b2’/ (b2*b2’))*b2;
    format rat %分数显示
    jie=[b1;b2;b3]’
    jie =

    1.0000    0.5000   -0.3333
    1.0000   -0.5000    0.3333
         0    1.0000    0.3333
         0         0    1.0000
    

    d1=jie(:,1)/norm(jie(:,1));
    d2=jie(:,2)/norm(jie(:,2));
    d3=jie(:,3)/norm(jie(:,3));
    D =

    0.7071    0.4082   -0.2887
    0.7071   -0.4082    0.2887
         0    0.8165    0.2887
         0         0    0.8660
    

    D’*D

    ans =

    1.0000         0         0
         0    1.0000   -0.0000
         0   -0.0000    1.0000
    

    (3)求-3的特征向量
    B2=(-3)*eye(4,4)-A
    C2=rref(B2)

    %C2 =

     1     0     0    -1
     0     1     0     1
     0     0     1     1
     0     0     0     0
    

    有1个自由变量,取x1=1 得x4=1;x2=-1;x3=-1;
    cc=[1 -1 -1 1]
    cc=cc/norm(cc);

    (4) T=[D,cc]
    (5) T=[D,cc’]

    T =

    0.7071 0.4082 -0.2887 0.5
    0.7071 -0.4082 0.2887 -0.5
    0 0.8165 0.2887 -0.5
    0 0 0.8660 0.5

    T’*A*T
    ans =

    1.0000         0         0         0
         0    1.0000   -0.0000         0
         0         0    1.0000    0.0000
         0         0         0   -3.0000
    

    三 使用matlab函数分解

    clc
    clear all
    A=[0 1 1 -1;1 0 -1 1 ;1 -1 0 1;-1 1 1 0]

    [U,S,V]=svd(A,0)
    U =

    0.5000         0    0.8660   -0.0000
    

    -0.5000 -0.0000 0.2887 0.8165
    -0.5000 0.7071 0.2887 -0.4082
    0.5000 0.7071 -0.2887 0.4082

    S =

    3.0000         0         0         0
         0    1.0000         0         0
         0         0    1.0000         0
         0         0         0    1.0000
    

    % 特征值前面是-3,在这是3;这个影响大不大?
    V =

    -0.5000 0 0.8660 0
    0.5000 0 0.2887 0.8165
    0.5000 0.7071 0.2887 -0.4082
    -0.5000 0.7071 -0.2887 0.4082

    [m,n] = size(A);
    if m > 1, s = diag(S);
    elseif m == 1, s = S(1);
    else s = 0;
    end
    tol = max(m,n) * max(s) * eps(class(A));
    r = sum(s > tol);
    Q = U(:,1:r);
    Q =

    0.5000         0    0.8660   -0.0000
    

    -0.5000 -0.0000 0.2887 0.8165
    -0.5000 0.7071 0.2887 -0.4082
    0.5000 0.7071 -0.2887 0.4082
    Q’*Q

    ans =

    1.0000         0   -0.0000   -0.0000
         0    1.0000         0   -0.0000
    

    -0.0000 0 1.0000 -0.0000
    -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000
    U*S*V’

    ans =

    0.0000    1.0000    1.0000   -1.0000
    1.0000   -0.0000   -1.0000    1.0000
    1.0000   -1.0000   -0.0000    1.0000
    

    -1.0000 1.0000 1.0000 -0.0000
    U-Q

    ans =

     0     0     0     0
     0     0     0     0
     0     0     0     0
     0     0     0     0
    

    Q*S*Q’

    ans =

    1.5000   -0.5000   -0.5000    0.5000
    

    -0.5000 1.5000 0.5000 -0.5000
    -0.5000 0.5000 1.5000 -0.5000
    0.5000 -0.5000 -0.5000 1.5000

    Q*S*V’

    ans =

    0.0000    1.0000    1.0000   -1.0000
    1.0000   -0.0000   -1.0000    1.0000
    1.0000   -1.0000   -0.0000    1.0000
    

    -1.0000 1.0000 1.0000 -0.0000
    Q*S*V’= U*S*V’,需要注意的是,U和V虽然十分相似,但符号不同,所以U和V不能互相代替。

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  • 矩阵对角线求和

    千次阅读 2019-11-01 12:44:09
    求一个3×3矩阵对角线元素之和。 【输入形式】 依次输入9个整数 【输出形式】 输出主对角线元素之和 【样例输入】 3 7 1 4 7 9 4 5 4 【样例输出】 14 【样例说明】 主对角线上的数为:3 、7、4,和为14。 ...

    【问题描述】

    求一个3×3矩阵主对角线元素之和。
    

    【输入形式】

    依次输入9个整数
    

    【输出形式】

    输出主对角线元素之和
    

    【样例输入】

    3 7 1
    
    4 7 9
    
    4 5 4
    

    【样例输出】

    14
    

    【样例说明】

    主对角线上的数为:3 、7、4,和为14。
    

    【评分标准】

    矩阵中的数都是不超过1000的非负整数。
    
    #include<iostream>
    using namespace std;
    int main()
    {
    	int a[3][3];
    	for(int i=0;i<3;i++)
    	{
    		for(int x=0;x<3;x++)
    		{
    			cin>>a[i][x];
    		}
    	}
    	cout<<a[0][0]+a[1][1]+a[2][2];
    	return 0;
    }
    
    展开全文
  • 线性代数笔记(5):矩阵对角

    千次阅读 2009-09-23 13:05:00
    根据台湾交通大学开放课程线性代数(莊重 特聘教授主讲)之授课内容整理的线性代数笔记,本文主要涉及教材第五章的内容,讨论特征值和特征向量的定义、矩阵(或算子)对角化有关的一些结论

    一、可对角化、特征值和特征向量的定义


    Defs: 1) A linear operator T: V→Von a finite-dimensional vector space V is called diagonalizable if ∃ an ordered basis β s.t.[T]β is a diagonal matrix.

    2) Let A  Mn×n(F), then A is said to be diagonalizable if Lis diagonalizable. Here LA: Fn→Fn, LA(x)=Ax, xF


    Defs: 1) Let T be a linear operator on a vector space V. If a 非零元素 v V and a scalar λF s.t. T(v)=λv,
    then λ is an eigenvalue(特征值) of T and v is its corresponding eigenvector(特征向量).

    2) Let  Mn×n(F), if a 非零元素 v Fn and a scalar λF s.t. A(v)=λv, then λ is an eigenvalue of A and v is its associated eigenvectors. 


    因为T是线性的,所以一个特征值所对应的特征向量有无穷多个,当我们找到一个特征向量,将其乘以一个非零的scalar,所得之结果仍为特征向量。


    二、可对角化的充分必要条件


    Thm5.1:

    1. A linear operator T on a finite-dimensional vector space V is diagonalizable an ordered basis β={v1, v2, ... , vn} for V, consisting of eigenvectors of T. In such case, let D=[T]β , then Djj is the eigenvalue corresponding to the
      eigenvector vj .
    2. Let  Mn×n(F), then A is diagonalizable an ordered basis β={v1, v2, ... , vn} for Fn with vj being eigenvalues.
    3. Assume T is diagonalizable. Let β' be be another ordered basis for V. Then . In particular, if T = LA and β' is the standard basis for Fn, then [T]β=Q-1AQ, where Q = (v1, v2, ... , vn).


    三、特征值和特征向量的计算


    Thm5.2 Let  Mn×n(F), Then λ is an eigenvalue of Adet(A-λI)=0.


    Def:

    1. Let  Mn×n(F), Then f(λ) = det(A-λI) is called the characteristic polynomial (特征多项式) of A (eigenvalues 即是 A的特征多项式之零根).
    2. Let T be a linear operator on an n-dimensional vector space V with ordered basis β. We define the characteristic polynomial f(λ) of T to be the characteristic polynomial of A= [T]β. That is, f(λ) = det(A-λI).


    Thm5.4 vV is an eigenvector of T corresponding to λ 非零元素 v 位于T -λI的零空间中,即 vN(T -λI) .


    四、可对角化的充分条件


    在Section2中,我们已经给出了可对角化的一个充要条件:一个线性算子(或一个矩阵)的特征值相对应的特征向量如果能构成向量空间的一个基底,那么这个线性算子(或矩阵)就是可对角化的。但是这个条件显然用起来并不那么方便,你要先算特征值,再计算对应的特征向量,然后还要检查特征向量是否线性独立。我们希望有一个更加简洁的条件来检验是否可对角化。为了得出这个更好用的条件,需要从下面这个Thm 5.5开始讨论。


    Thm 5.5 Let 是 λT的特征值,vi是对应的特征向量。如果λi 各不相同,其中i = 1,2,...,k,那么{v1v2, ... , vk}是线性独立的。(Hint:证明的方法主要是数学归纳法,这里不做详述)


    Remark:Thm 5.5的逆命题不成立。Thm 5.5说明一组各不相同的特征值所对应的特征向量彼此线性独立。但是如果有一组彼此线性独立的特征向量,其对应回去的特征值是否各不相同是无法保证的。

    一个简单的反例就是单位矩阵,例如 I = {1 0; 0 1},当λ=1时,任何不为0的向量都是对应的特征向量,但这些彼此独立的特征向量对应的特征值都是1。


    推论:Let dim(V) = n, and T: V→V是线性的,或者 Mn×n(F),如果T(或A)有n个不同的特征值, T(或A)是可对角线化的。

    这个推论是很显然的,因为T(或A)有n个不同的特征值,根据Thm5.5,它就有n个线性独立的特征向量。而dim(V) = n,所以这n个线性独立的特征向量就构成了一组基底。再由Thm5.1就可以得出T(或A)可对角线化的结论。

    当然,这个推论的逆命题仍然是不成立的,也就是说它不是可对角线化的充要条件。为了要得到一个更强的结论,我们还要讨论,如果特征多项式有重根,那么矩阵(或算子)还可以对角线化吗?


    五、几个重要的定义


    后面我们需要用到如下几个重要的定义。


    Def 1: A polynomial f(t) in P(F) splits over F, if f(t) can be factored as a product of the first degree polynomials in P(F)。

    F对于这个定义非常重要,必须要先指定。例如,F=R,那么(t2 + 1)(- 2) does not split over R. However, it does split over C。


    Thm 5.6:T: FF,或 Mn×n(F),是可对角化的 ⇒ T(或A)的特征多项式splits over F。


    Def 2: Let f(t) and λ 分别是T的特征多项式和特征值。那么λ 代数重数(algebraic multiplicity)是最大的正整数k for which (1-λ)k is the factor of f(t)。


    Def 3: 我们把Eλ = {v∈V: T(v) = λv} = {v∈V: (T - λI)(v) = 0} 定义为的eigenspace。

    也就是说Eλ 是个集合,这个集合收集了T的所有特征向量,以及零向量(把零向量也一同收进来的原因就在于使其形成一个子空间,这样才可以进一步去讨论维度的问题)。Remark: Eλ 是V的一个子空间。


    既然Eλ 是V的一个子空间,那么就可以定义它的维度。于是又有了如下定义。

    Def 4: 定义dim(Eλ) 是λ几何重数(geometric multiplicity),记为gm(λ)


    例如:对于单位矩阵 I = {1 0; 0 1} M2×2(R),它的特征多项式 f(t) = det(I-tI)=(1-t)2 ,所以λ = 1的am=2。

    另外,很容易发现任何二维向量都是2×2单位矩阵的特征向量(因为Ix=1x,x对于任意二维向量都成立),所以可以知道Eλ=1 = R2 ,即dim(Eλ=1)=2,所以λ = 1的gm=2。


    关于am和gm有如下一些结论(它在证明Section 6中的定理时会被用到):

    1)(Thm 5.7) 1 ≤ gm(λ≤ am(λ)

    2)(Thm 5.8) Let λbe distinct eigenvalues of T, where i = 1, 2, ..., k. Let Sbe a finite 线性独立 subset of eigenspace Eλi. Then S = S1S2∪...S3 是线性独立的。

    该定理的图形化解释如下图所示:


    六、可对角化的条件


    我们希望有一个更加简洁的条件来检验是否可对角化。而且是充分必要的条件。下面这个定理表明在某些条件下,只要检查特征值的一些情况就可以判断对角化的情况。



    注意k可以是小于等于n的,所以其实这定理是允许有重根的情况。这个定理的详细证明可以参考文献【1】。下面来看几个例子。首先,请问下面这个矩阵A可以对角化吗?


    为此要先来求它的特征多项式,即


    可以看到它有两个不同的特征值,当λ = 4 am =1 ,而且根据Thm 5.7可知其gm =1。当 λ = 3 am =2 ,根据dimenstion theroy还可以算得此时gm = 1。由于定理的要求是所有的几何重数都等于代数重数,显然这里无法满足,所以矩阵A是不能对角化的。


    再来看一个算子的例子。T : P2(R)P2(R), T(f(x))=f(1)+f'(0)x+(f'(0)+f''(0))x2.

    P2(R)P2(R)表示线性算子T的作用是把一个二次多项式转换到一个二次多项式,符号P2(R)表示定义在R上的2次多项式。现在问T可否对角化?(应该说明对于一个算子T而言,要利用定理5.9就必须要先求出它的矩阵表示。如果选择的基底不同,那么对应的矩阵表示其实也会不同,但是最终的特征多项式并不会有影响,所以其实对于算子而言,如果要检查其可否对角化,那么大可以随便选择一个基底来求其矩阵表示)

    对于二次多项式来说,可以选择标准基底 β = {1, x, x2},然后求算子T的矩阵表达,则有

    T(1) = 1, T(x) = 1+ x + x2, T(x2) = 1 + 2x2

    然后把系数依次摆成矩阵就得到了T的一个矩阵表示法,即


    在求出它的特征多项式为f(t) = (1-t)2(2-t), 于是可知当t=2时,am=gm=1,当t=1时,am=gm=2。所以根据Thm 5.9可知T是可对角线化的。


    既然算子T是可以对角线化的。根据定义其实就表明可以找到一个基底r,使得T的矩阵表示[T]r是一个对角线矩阵。上面我们使用的标准基底β所对应的矩阵表示不是一个对角矩阵。那么下面我们想问,如何找出那样一个基底r


    基本的找法可以总结为:由[T]β找Q,再找r。因为对于一个矩阵[T]β而言,说其实可以对角化的就意味着存在一个Q,使得Q-1[T]βQ=D,而D是一个对角线矩阵。根据定理5.1(3)可知首先要找的就是特征向量,然后由特征向量来把Q组出来。现在[T]β有两个特征值,当t=1时,其am=2,所以可以找出2个线性独立的特征向量,当t=2时,am=1,所以可以找出一个特征向量,用这三个向量就可以组成Q。


    当t=1时,就要先求[T]β-tI的零空间,即解下面这个方程组


    解得x2 + x3 = 0, 所以只有写出满足这个条件的两个线性独立的向量即可,例如(1, 0, 0)T和(0, -1, 1)T

    当t=2时,就要先求[T]β-tI的零空间,即解下面这个方程组


    解得-x1 + x2 + x3 = 0, x2 = 0, 所以可以写出向量为(1, 0, 1)T。把这三个向量合起来就得到了Q,即


    这也就得到了r = {1,  -x + x2, 1+ x2},用这个基底再来写T的矩阵表示,就会得到一个对角线矩阵。


    本文主要根据台湾交通大学开放课程线性代数(莊重 特聘教授主讲)之授课内容整理,并参考以下书籍:

    【1】S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E Spence, 4th edition, Linear Algebra, Prentice-Hall, 2003

    【2】David C. Lay. 刘深泉,等译. 线性代数及其应用(原书第3版),机械工业出版社,2005
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