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  • 根据分块三对角矩阵逆矩阵的特殊结构,利用其LU和UL分解,并使用Sheman-Morrison-Woodbury公式,得到一个分块周期三对角矩阵逆矩阵的新算法,并由该算法得到周期三对角矩阵和对称周期三对角矩阵逆矩阵的新算法。...
  • 利用递归方法,将高阶分块周期三对角矩阵逆转化为低阶分块周期三对角矩阵求逆,给出了分块周期三对角矩阵矩阵的一种新算法。通过算法的计算量的比较,新算法比直接求逆算法的计算量小。新算法的算法...
  • 本程序亲手编写 心酸血泪 不多说 只能计算100阶以下三对角矩阵求逆 截取于三次样条计算的一部分
  • 矩阵矩阵就是所有元素都是0的矩阵,一般记做O。可以在后面加 m,n表示其规模。 在前一章,我们讲到,矩阵就是映射。零矩阵,就表示了将所有的点都映到原点的映射...在一个方阵中,如果从左上到右下的对角元素...

    零矩阵

    零矩阵就是所有元素都是0的矩阵,一般记做O。可以在后面加 m,n 表示其规模。

    在前一章,我们讲到,矩阵就是映射。零矩阵,就表示了将所有的点都映到原点的映射。

    因此,对于任意向量 x,都有 Ox = o。对于任意矩阵 A,都有:

    • A + O = O + A = A

    • AO = OA = O

    • 0A = O

    单位矩阵

    在一个方阵中,如果从左上到右下的对角元素均为1,其余元素均为0,那么该矩阵被称为单位矩阵,常用 I 表示,用In来表示n阶单位矩阵。

    单位矩阵,是一个“什么都不做”的映射,对于任意向量 x,都有 Ix = x。对于任意矩阵 A,都有:AI = IA = A

    对角矩阵

    在方阵中,从左上向右下方向的对角线上的值称为对角元素,其他元素称为非对角元素。非对角元素全部为0的矩阵就是对角矩阵。对角矩阵也可以用 diag( a1,a2,a3...an ) 来表示,其中diag就代表diagonal,即对角线。

    对角矩阵表示的映射是“沿着坐标轴伸缩”,其中对角元素就是各轴伸缩的倍率,因此不难反过头理解单位矩阵“什么都不干”的映射。

    对角矩阵的乘法和乘方规则也非常简单:

    逆矩阵

    对于方阵A,它的逆映射对应的矩阵称为 逆矩阵,记为A^{-1}。直接一点说,是将出发点 转换至目标点 的映射,而 的逆矩阵,则是将目标点 转换至出发点 的映射。因此,A^{-1}A=AA^{-1}=I,因此,逆矩阵的定义也可以是,与 A 的乘积是单位矩阵 的矩阵就是 A 的逆矩阵。逆矩阵有以下这些有趣的性质:

    (A^{-1})^{-1}=A ; (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}; (A^{k})^{-1}=(A^{-1})^{k}

    其中,需要注意映射的前后顺序。

    在这里要注意,逆矩阵并不是一定存在的。比如,将向量扁平化为一点的映射所对应的逆矩阵就是不存在的。

    转置矩阵

    对于矩阵 A,将其行列互换得到的矩阵,就称为 A 的转置矩阵,记为A^{T},其中 T 代表Transpose。

    转置运算与乘方运算同级别,比如AB^{T}实际上是A(B^{T})的意思。转置的性质主要有:

    (A^{T})^{T}=A \\(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\\ (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}\\(A+B)^T=A^T+B^T\\(\lambda A)^T=\lambda A^T

    还有一点点关于共轭转置的内容,不想打了,就这么看吧:

    对称矩阵

    A为方阵,如果满足A^{T}=A也就是说,a_{ij}=a_{ji},则称A对称矩阵。对称矩阵的元素以主对角线为对称轴。

    类似的,如果方阵A满足A^{T}=-A,即 a_{ij}=-a_{ji},则称A反对称矩阵,显然,反对称矩阵的主对角元都是零。

    对称矩阵也有一些有趣的规则:

    • 对于n阶矩阵AA+A^{T}是对称矩阵,A-A^{T}是反对称矩阵;

    • 对于任意n阶矩阵A,都可以表示为对称矩阵与反对称矩阵之和

    • 对称矩阵的和是对称矩阵,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。


    参考:

    《程序员的数学3》

    https://jingyan.baidu.com/article/da1091fb69f0b7027849d612.html

     

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  • 讨论了对角因子循环矩阵逆矩阵求法,给出了求对角因子循环矩阵逆矩阵的几种算法,提出了一种新的对角因子循环矩阵逆矩阵表达式。
  • (追赶法求对角矩阵、LU分解)

    千次阅读 2020-08-08 16:08:02
    (追赶法求对角矩阵、LU分解) 应用场景 数模中的微分方程问题中偶尔回涉及到使用向后差分求解问题,不论是六点向后差分还是四点向后差分都会涉及到求解三对角矩阵的情况。 以四点向后差分为例 四点得到的...

    (追赶法求三对角矩阵、LU分解)

    应用场景

    数模中的微分方程问题中偶尔回涉及到使用向后差分法求解问题,不论是六点法向后差分还是四点法向后差分都会涉及到求解三对角矩阵的情况。

    以四点法向后差分为例

    四点法得到的代数矩阵为三对角线性方程组AU=b,一般可以用matlab求逆命令求解U,但因本题中系数矩阵规模较大,且主对角线和两个次对角线之外,其余元素均为0,因而求逆解方程组会导致浪费内存、程序运行缓慢。因此本文利用追赶法求解三对角线性方程组。三对角线性方程组的追赶法求解过程如下图。在这里插入图片描述

    计算过程

    三对角矩阵的形式如下:
    在这里插入图片描述
    需要将三对角阵分解成如下的形式:
    在这里插入图片描述
    求解Ax=d等价于求解Ly=d和Ux=y.
    在这里插入图片描述

    因而经过推导得到解三对角线性方程组的追赶法公式.
    在这里插入图片描述

    matlab代码如下

    % x为待求系数向量,d为右端已知常量向量,长度为n
    % a为-1对角向量,b为对角向量,c为1对角向量,ac长度为n-1,b长度为n 
    function x=machase(d,n,a,b,c)
    y=zeros(n,1);
    x=zeros(n,1);
    alpha=ones(n,1);
    beta=ones(n-1,1);
    alpha(1)=b(1);beta(1)=c(1)/b(1);
    for i=2:n-1
        alpha(i)=b(i)-a(i-1)*beta(i-1);
        beta(i)=c(i)/alpha(i);
    end
    alpha(n)=b(n)-a(n-1)*beta(n-1);
    y(1)=d(1)/b(1);
    for i=2:n
        y(i)=(d(i)-a(i-1)*y(i-1))/alpha(i);
    end
    x(n)=y(n);
    for i=(n-1):-1:1 
        x(i)=y(i)-beta(i)*x(i+1);
    end
    end
    

    测试命令

    a=-1*ones(4,1);
    b=2*ones(5,1);
    d=[1 0 0 0 0];
    machase(d,5,a,b,a)
    

    结果

        0.8333
        0.6667
        0.5000
        0.3333
        0.1667
    
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  • 线性代数之矩阵逆求法

    千次阅读 2021-03-14 12:56:02
    线性代数之矩阵逆求法 初等变换法 对矩阵(A,E)同时实施初等变换,当A变成E时,E变成的矩阵即是 。 已知矩阵A,求其逆矩阵矩阵法 已知矩阵A,求其逆矩阵 N阶矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0 ...

                                                             求矩阵的逆矩阵逆的求法详解

    矩阵的逆定义


    针对一个n阶的矩阵A,如果存在一个n阶的矩阵B满足AB=BA=E,则称A是可逆的, B是A的逆。这里记作B=。 矩阵的逆(inverse of a matrix)和数的逆即倒数(inverse of a number)类似即两个元素相乘等于“1”,只不过这里的“1”对应的是一个n阶的单位矩阵(对角线元素全为1,其它元素全为0)。

    如果|A|≠0,则A可逆,且= A*/|A| (由伴随矩阵定义得知)

    如果|A|=0,则成矩阵A是奇异矩阵,退化的,反之为非奇异矩阵。
     

    矩阵逆的性质

    • 如果A可逆,则A逆的逆是A,即 () =A,(类似矩阵的转置)
    • 如果A可逆,λ≠0,则(λA) =1/λ
    • 如果A、B是同阶的且均可逆,AB也可逆,且 (AB) = BA

    矩阵逆的求法

    初等变换法

    对矩阵(A,E)同时实施初等变换,当A变成E时,E变成的矩阵即是

    已知矩阵A,求其逆矩阵

    伴随矩阵法

    N阶矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0

    已知矩阵A,求其逆矩阵 

    注:求解伴随矩阵时,按行求代数余子式,按列形式摆放(构建)。

    定义法

    因为这种方法对矩阵阶数比较小的比较适合(比如2阶的),所以这种方法不是很常用。

    可以按照矩阵逆的定义,假设有个矩阵B(用未知量代替),那么根据AB=BA=E的定义会列出方程组,进而解出各未知量的值,得到最终的矩阵B即为A的逆。

    矩阵逆的意义

    我们知道当A的行列式不等于0时即|A|≠0是,那么方程Ax=b有唯一解,即

    x=b则

     这里即是矩阵A的伴随矩阵(即A的代数余子式按行求按列存放组成的新矩阵)

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  • 矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式...

    设A、B为n阶方阵,μ为A的特征值。

    相关结论

    1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

    2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

    3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

    4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。

    5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。

    6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

    7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式,则φ(A)=0。

    8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

    9.若A的n个特征值互不相同,则A可对角化。

    10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量,则A可对角化。

    11.若A有k重特征值μ,齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k,则A可对角化。

    12.若A有k重特征值,矩阵A−μE的秩为n−k,则A可对角化。

    13.若A是对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量正交。

    14.若A是对称矩阵,则A必可对角化。

    矩阵A对角化的步骤

    1.求可逆矩阵P,使得

    P^−1AP=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。

    2.若A对称,求正交矩阵Q,使得

    Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ12,⋯,μn)

    ①求A的特征值μ12,⋯,μn

    ②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn

    ③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化;

    ④将所有n个特征向量单位化;

    ⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn,写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。

    典型例子

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    df60c7cff9397e6c697e75c5420902ab.png
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  • 对角矩阵(特殊矩阵)

    千次阅读 多人点赞 2018-11-02 23:18:14
    特殊矩阵之三对角矩阵 一开始在网上搜了好多,结果题目和答案不对应,有的答案直接不对,没办法,看的书然后自己慢慢分析做的。具体如下: 一个三对角矩阵的非零系数在三条对角线上:主对角线、低对角线、高对角线。...
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    千次阅读 2016-11-21 16:10:59
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  • 对角矩阵

    千次阅读 2018-03-26 11:18:58
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  • 高斯消元法求矩阵

    千次阅读 2018-08-21 16:26:55
    矩阵求逆一般有两种方法,一个是伴随矩阵法,一个是初等变换,也就是高斯消元。这里主要讲高斯消元的编程方法。 由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知,矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的...
  • 当系数矩阵为三对角矩阵时,利用追赶求解矩阵方程组Ax=b,效率更高,里面附有详细的注释,新手阅读也没有任何问题
  • 1.tf.matrix_diag(dia):输入参数是dia,如果输入时一个向量,那就生成二维的对角矩阵,以此类推 2.tf.matrix_inverse(A):输入如果是一个矩阵,就是得到矩阵,依次类推,只是输入的A中的元素需要是浮点数,比如...
  • 复数矩阵求逆

    2014-03-19 11:48:51
    复数矩阵求逆 用伴随矩阵法即公式法对复数矩阵求逆
  • 矩阵求逆

    千次阅读 2017-01-09 23:43:00
    4.4 三阶矩阵求逆公式 高阶矩阵的求算法主要有归一和消元两种,现将三阶矩阵求逆公式总结如下: 若矩阵 可逆,即时, (4-14)
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  • Matlab对角矩阵

    千次阅读 2013-10-20 17:47:24
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  • 循环矩阵傅里叶对角

    万次阅读 多人点赞 2016-03-15 14:10:30
    “任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化”这个概念常常出现在论文中,本文对其做简单解释。
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    千次阅读 2021-01-29 20:30:26
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  • 对角矩阵_分块矩阵

    千次阅读 2015-09-24 15:20:00
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    千次阅读 2020-03-05 19:36:44
    可以看出来,追赶是高斯消元的特殊情况,通过变换可以把矩阵化为上三角形式,在求解上三角矩阵,这实际上就是一种LU分解。 对于笔算来说,这种算法仍然比较复杂,但是对于计算机数值计算来说,这是一种O(N)...
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    千次阅读 2020-10-08 08:31:38
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    千次阅读 2017-09-21 17:55:10
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空空如也

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对角矩阵逆矩阵的求法