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  • 对角矩阵逆矩阵的求法
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    2021-11-07 17:02:40

    假设矩阵AB都为方阵,且二者都可逆,则分块对角矩阵的逆矩阵为:

    \begin{bmatrix} A & \\ & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & \\ & B^{-1} \end{bmatrix}

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  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...

    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    3f5c99b8c8cc29f83fbc33517acfa0e3.png

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    011821b2b1f59d812b9d40d3b904fc10.png

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

    展开全文
  • 对称矩阵对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,...

    对称矩阵

    对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如:

    可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即:

    对角矩阵

    对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,例如:

    三角矩阵

    三角矩阵(Triangular Matrix)分为上三角矩阵和下三角矩阵。

    上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)是指主对角线以下元素全为0的矩阵,如:

    下三角矩阵(Lower Triangular Matrix)是指主对角线以上元素全为0的矩阵,如:

    可以看到,对角矩阵一定是三角矩阵。

    对称矩阵对角化

    是实对称矩阵(元素都是实数),则一定存在正交矩阵
    ,对角矩阵
    ,使得下式成立:

    例子:

    证明暂且参考:为什么实对称矩阵一定能对角化?

    两边同时左乘

    ,右乘
    ,得:

    又因为

    是正交矩阵,所以:

    这就叫做对称矩阵的对角化

    对称矩阵对角化的过程相当于将矩阵分解为特征值与特征向量的乘积,所以对称矩阵的对角化也叫做特征分解(Eigendecomposition)、谱分解(Spectral Decomposition),在上面的例子中,矩阵

    的特征值为4、1、-2,对应的特征向量为

    总结

    可以看到对称矩阵、对角矩阵和三角矩阵都是关于主对角线进行定义的矩阵,所以都是方阵

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  • 讨论了对角因子循环矩阵逆矩阵求法,给出了求对角因子循环矩阵逆矩阵的几种算法,提出了一种新的对角因子循环矩阵逆矩阵表达式。
  • 矩阵求逆操作的复杂度分析 矩阵的复杂度分析 1 背景 之前写过一篇关于矩阵复杂度分析的文章,没有想到阅读人数那么多。对于IT相关人士来说,从代码层次再结合基本数学知识,就能够很好地理解矩阵的复杂度如何计算...

    矩阵求逆操作的复杂度分析
    逆矩阵的复杂度分析

    1 背景

    之前写过一篇关于矩阵复杂度分析的文章,没有想到阅读人数那么多。对于IT相关人士来说,从代码层次再结合基本数学知识,就能够很好地理解矩阵的复杂度如何计算得到和分析。其中一位读者提出“矩阵求逆的复杂度如何分析”。今天就来一起共同探讨一下,笔者知道,矩阵求逆有多种方法,这里就来探讨最基本的方式,其他优化方式,读者可以看完本篇博客后,自行分析,因为原理基本上差不是很多。本篇博客仅仅是抛砖引玉。

    2 求逆操作分析

    2.1 求逆矩阵基本原理

    这里很多读者可以容易忽视掉,先复习一下。
    ( A ∣ E ) = ( E ∣ A − 1 ) (A|E) = (E| A^{-1}) (AE)=(EA1)
    相信大家对这个公式都比较熟悉,即把原矩阵和一个单位矩阵对齐后,进行行列变化,就得到了单位矩阵,右边部分就算逆矩阵。

    证明如下:
    A − 1 ( A ∣ E ) = ( A − 1 A ∣ A − 1 E ) A^{-1}(A|E) = (A^{-1}A| A^{-1}E) A1(AE)=(A1AA1E)
    = ( E ∣ A − 1 ) = (E| A^{-1}) =(EA1)
    思考为什么呢?

    因为:
    A − 1 A = E A^{-1}A=E A1A=E,右乘 A − 1 A^{-1} A1后:
    A − 1 E = A − 1 A^{-1}E=A^{-1} A1E=A1

    故变化的桥梁就是存在 A − 1 A^{-1} A1

    3 逆矩阵复杂度分析-高斯消元法

    3.1 代码层次

    /*
    函数说明:将原矩阵a和一个单位矩阵E作成一个大矩阵(A,E),
    用初等变换将大矩阵中的a变成E,则会得到(E,A^{-1})的形式
    * */
    void inverseMatrix(double arc[d][d], int n, double ans[d][d])//计算矩阵的逆
    {
        /*
          d = n : 表示维度
          arc[d][d] : 原始矩阵,dxd
          ans[d][d] :  变化后的结果矩阵,dxd ,一开始初始化为单位矩阵
       */
        
    	int i, j, k;//列
    	double max, tempA, tempB, P;
    	int max_num;
    	double arcCopy[d][d];
    	memcpy(arcCopy, arc, 288);
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		ans[i][i] = 1;
    	}
    	for (i = 0; i < n; i++)//第i列
    	{
    		max = fabs(arcCopy[i][i]);
    		max_num = i;
    		for (j = i + 1; j < n; j++)//选出主元
    		{
    			if (fabs(arcCopy[j][i]) > max)
    			{
    				max = fabs(arcCopy[j][i]);
    				max_num = j;
    			}
    		}
    
    		for (k = 0; k < n; k++)//交换行
    		{
    			tempA = arcCopy[i][k];
    			arcCopy[i][k] = arcCopy[max_num][k];
    			arcCopy[max_num][k] = tempA;
    			tempB = ans[i][k];
    			ans[i][k] = ans[max_num][k];
    			ans[max_num][k] = tempB;
    		}
    		for (k = i + 1; k < n; k++)
    		{
    			P = arcCopy[k][i] / arcCopy[i][i];
    			for (j = 0; j < n; j++)
    			{
    				arcCopy[k][j] = arcCopy[k][j] - arcCopy[i][j] * P;
    				ans[k][j] = ans[k][j] - ans[i][j] * P;
    			}
    		}
    	}
    	for (i = 0; i < n; i++)//行
    	{
    		P = arcCopy[i][i];
    		for (j = i; j < n; j++)
    		{
    			arcCopy[i][j] = arcCopy[i][j] / P;
    		}
    		for (j = 0; j < n; j++)
    		{
    			ans[i][j] = ans[i][j] / P;
    		}
    	}
    	for (i = n - 1; i > 0; i--)
    	{
    		for (j = i - 1; j >= 0; j--)
    		{
    			for (k = 0; k < n; k++)
    			{
    				ans[j][k] = ans[j][k] - ans[i][k] * arcCopy[j][i];
    			}
    		}
    	}
    }
    

    3.2 结果

    逆矩阵时间复杂为:O(n^3)

    开销代价最大是这里,

    	for (i = n - 1; i > 0; i--)
    	{
    		for (j = i - 1; j >= 0; j--)
    		{
    			for (k = 0; k < n; k++)
    			{
    				ans[j][k] = ans[j][k] - ans[i][k] * arcCopy[j][i];
    			}
    		}
    	}
    

    4 逆矩阵复杂度分析-伴随矩阵

    这个比较直接:
    A − 1 = A ∗ / d e t ( A ) A^{-1} = A^{*}/det(A) A1=A/det(A)
    先计算A的伴随矩阵,再计算A的行列式值。
    前者的复杂度为: N ∗ O ( N ! ) N*O ( N ! ) NO(N!)
    后者的复杂度为: N 2 ∗ O ( ( N − 1 ) ! ) N^2 ∗O((N−1)!) N2O((N1)!)

    故使用伴随矩阵求解方式的复杂度为:
    N ∗ O ( N ! ) + N 2 ∗ O ( ( N − 1 ) ! ) N*O ( N ! ) + N^2 ∗O((N−1)!) NO(N!)+N2O((N1)!)

    ps:本博客只考虑基本的操作,不考虑优化处理
    在这里插入图片描述

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