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  • 曲线以下的面积,和汽车行驶的距离,这两个问题有啥关系呢?我们将会看到,他们将在一类特殊的极限问题上殊途同归。面积问题的引出我们从解答如下面积问题开始,即找到位于曲线 下方自 到 的区域 的面积。由图...

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    欢迎光临我的专栏《微积分学习之旅》,一起学习,共同提高。

    从本篇起,我们将一起进入定积分的学习。

    求曲线以下的面积,和求汽车行驶的距离,这两个问题有啥关系呢?我们将会看到,他们将在一类特殊的极限问题上殊途同归。

    面积问题的引出

    我们从解答如下面积问题开始,即找到位于曲线

    下方自
    的区域
    的面积。由图可知,区域
    由左右垂线、
    轴和函数曲线围成。

    13ee05ff4b6466efbe016a3a2a5639a2.png

    我们首先要搞清楚一个问题,即“面积”这个词是什么意思呢?这对于由直边构成的区域是比较容易回答的。对矩形而言,面积被定义为长和宽的乘积。对于一个三角形,面积被定义为底和高的乘积的一半。而多边形的面积是通过将其分割成多个三角形并将三角形的面积相加得到了。如下图所示。

    1fdc5e4bba4408f5020f7ee30bfca14f.png

    然而,回答由曲线构成的区域的面积是不太容易的。我们对面积都有直观的看法,但是,这里的面积问题之一,便是通过给出面积的精确定义将这个偏模糊的直观认识变得更明确和具体。

    记得在定义切线时,我们首先用割线的斜率来近似切线的斜率,然后取这些近似的极限。我们在面积问题上继续采用这一策略。我们可以先用矩形逼近区域

    ,然后让矩形的数量增加并取这些矩形的面积的极限。下面通过一个例子来说明这一过程。

    面积问题引例——以抛物线为边

    如下图所示,利用矩形近似的方法估算抛物线

    在[0,1]区域内的面积。

    f3a3825c0e2bc270470203c3506e92c1.png

    解答 我们一定会觉得区域

    处于边长为1的正方形区域内,但是为了更精确,还可以做得更细致一些。假设我们把区域
    分成四段儿,即
    ,并用间距相等的垂线
    将它们分开,如下图(a)所示。

    3de04576c992f2e010e0b9c7276209a0.png

    我们可以用小矩形来近似代替每个小段儿,这个矩形的底和高分别与小段儿的底和右边界的高度相同。如上图(b)所示。而小段儿右边界的高度就是函数在每个小区间段右端点对应的函数

    若令

    表示这四个近似矩形的面积,那么

    从上述(b)图可知,区域

    的面积A事实上是小于
    的,即

    除了构建上图(b)这样的小矩形之外,我们也可以构造如下更小的矩形来近似区域

    ,即以小段儿的左边界高度为小矩形的高。如下图所示

    ca106cc8cf84c3ce3fe3e3f703e132ca.png

    同理,若令

    表示这些小矩形的面积之和,我们将会得到

    显然,

    ,这样,对区域
    的面积
    ,我们有

    为了更好的估计区域

    的面积
    ,我们可以不断增加小段儿的个数,如下图和表格所示

    3026307ff81c6e044967696bb61557e3.png
    以小段儿左边界为高和以小段右边界为高

    ec7394ad66493b98880904818faf19a5.png

    表中的

    表示对区域
    分割后小段儿的个数,
    表示以小段儿左边界为高度的矩形的面积之和,
    表示以小段儿右边界为高度的矩形的面积之和。

    我们可以把

    写成如下一般形式
    由于
    则有

    那么 ,当我们取无穷多个小矩形之后,则有

    同理可得

    下图分别展示了 随着

    的增加,
    精细化并逼近区域
    的面积
    的过程。

    cf802fcadd4ad02cf00c9f9b92da8488.png

    d4cb1e272a3198a0d0836900fd390eda.png

    因此,我们将区域

    的面积
    定义为
    个矩形的面积之和的极限,即

    面积问题一般化

    仿照上面的抛物线的面积问题,接下来,我们考虑由一般的函数曲线构成的区域

    的面积问题。如下图所示。

    66b189c0a2fccdf76590781d750ef89c.png

    首先将

    分成
    个小段儿。区间
    的宽度为
    ,所以
    个小段儿的宽度均为
    这些小段儿把区间
    分成了
    个等分区间
    这里的
    ,每个子区间的右端点分别为

    若用宽度为

    ,以小段儿
    右边界的高
    的矩形表示第
    个小段儿
    ,那第
    个小段儿
    的面积为
    ,那么,这
    个小矩形的面积之和为

    69f74ef1c6f8409c2e64ac0b142373e7.png

    384f7164748405ec85d3c19ec89ee075.png

    由图可知,当

    时,这种近似会变得越来越好。因此,我们用下面的方法来定义区域
    的面积
    定义 连续函数
    图像下区域
    的面积
    是近似矩形面积之和的极限:


    除了用小段儿的左端点和右端点,我们也可以将第

    个区间
    内的某个任一值
    作为第
    个矩形的高。我们把
    称为
    采样点(sample points)下图显示了未选择端点作为采样点的近似情况。

    fb2df71f1b142f132100519fdc835bec.png

    所以,

    的面积的更一般表述为

    小补充

    我们经常采用西格玛符号来更简洁地书写求和公式,比如

    92244cf48acdf515d9456abbc43f6aa4.png

    例如

    可以记作

    距离问题

    现在我们来考虑距离问题:如果物体的速度在任何时候都是已知的,求物体在某段时间内走过的距离。如果速度保持不变,那么距离问题就很容易通过“距离=速度×时间”来求解。

    但是,如果速度是变化的,那么距离就不容易得到了。我们通过下面的实例来研究这个问题。

    例 假设汽车车上的里程表坏了,可我们想估算30秒内汽车行驶的距离。怎么办呢?我们可以每5秒读取一次速度表读数,并记录在下表中:

    e4e9d8f1dad008d2405e4a05cfea2f58.png

    在最初的5秒钟,速度变化不太大,我们假设速度是恒定的,并取

    时的速度为这段时间间隔内的速度,那么在这段时间内走过的距离为

    同样,在第2个时间区间内速度也近似为常数,我们取

    时的速度为这段时间间隔内的速度。所以我们对
    的距离估计为
    如果我们对其他时间间隔也进行类似的估计,我们就得到了汽车行驶总距离的估计值为
    我们也可以用每个时间间隔的末端点的速度,来估计,即有
    如果我们想要更准确的估计,可以每2秒钟,甚至每1秒钟测量一次速度读数,重复上述步骤。

    想到没?这个做法和前面估计曲线所围面积的做法非常类似。当我们在绘制汽车速度函数的图形并画出近似矩形时,就可以更方便地理解这种相似性了。矩形的高度是每个时间间隔的初始速度。第一个矩形的面积是

    ,这也是我们对前5秒所走的距离的估计。事实上,每个矩形的面积都可以被近似解释为每个小的时间间隔内的距离,因为高度代表速度,而宽度代表时间。

    075ae6eb51e7534945ebc37d30cae799.png

    同面积问题一样,

    个矩形的面积可以记作

    我们测量速度的频次越高,我们的估计就越准确,所以

    的确切距离就是这些表达式的极限

    由不规则图形的面积问题和汽车行驶的距离问题,我们不难发现,他们最终都归结为一类相似的极限问题,且都可以表述为曲线在坐标轴下的面积。其实,变力做功、输血量等等问题,也都可以表述为曲线在坐标轴下所围的面积。这是我们接下来要学习的定积分中一个很重要的思想。


    专栏链接:

    Mr.Xiong:专栏目录-《微积分学习之旅》zhuanlan.zhihu.com
    1f1261daa7b1c2b2d40c58b44101c623.png
    Mr.Xiong:A-00 微积分学习再出发(一点说明)zhuanlan.zhihu.com
    79bb2fb8ad5696559324ca597da3a4cc.png
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  • 解决对角互补模型,常用的辅助线有两种:①过某一点作垂线;②以某一点为中心,旋转。我们今天先分享第一种,90度对角互补模型。初中数学学习圈 - 知乎​www.zhihu.com【例题】如图,∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC...

    对角互补模型一般是四边形中,满足对角互补条件,从中得到一些结论。初中阶段常考的有两种,一种是90度对角互补,另一种是120度对角互补

    解决对角互补模型,常用的辅助线有两种:
    ①过某一点作垂线;
    ②以某一点为中心,旋转。

    我们今天先分享第一种,90度对角互补模型

    初中数学学习圈 - 知乎www.zhihu.com
    ae98aad9ffcb48bb68a9e83664c11f00.png

    【例题】

    如图,∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC,BD=4,求四边形ABCD的面积。

    (例题的视频讲解在文章末尾)

    7c4853db1453b8ad0e97e58269ad405f.png

    分析:这个例题就是90度对角互补模型,题目中∠ABC=∠ADC=90°,因为BD是角平分线,所以∠ABD=∠CBD=45°,有特殊角,又有角平分线,同学们能想到作什么辅助线?

    回忆一下角平分线性质,角平分线上的点到角两边的距离相等。过点D分别向AB、BC作垂线。

    【重要提示】初中阶段平面几何题中出现30度、60度、45度特殊角,往往都是要构造直角三角形。

    270d26e6a8d97619eef0fd882dadc3ed.png

    三角形DFB和三角形DGB都是等腰直角三角形,且DF=DG,

    四边形BGDF是正方形。

    ∵∠ADF=∠GDC(手拉手模型)

    ∴Rt△ADF ≌ Rt△CDG

    b3220ad0ff752a0b584cf0089d50dcbd.png

    因此,题目中求四边形ABCD的面积就转化为求正方形BGDF的面积。

    四边形ABCD的面积=1/2BD²=4×4÷2=8

    这个题目也可以用旋转法解决。

    大概说一下思路,详细的证明过程,同学们自行思考。

    把三角形ABD绕点D旋转90度

    5fd668ac62586703d99b6246573197e6.gif

    可以得到一个等腰直角三角形DBB'

    求四边形ABCD的面积就转化为求等腰直角三角形DBB'的面积。

    △DBB'的腰长是4,面积也就能得出:4×4÷2=8

    视频讲解在这里↓↓↓↓↓↓

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  • 线段树求矩形面积并 扫描线+离散化 顾名思义,扫描法就是用一根想象中的线扫过所有矩形,在写代码的过程中,这根线很重要。方向的话,可以左右扫,也可以上下扫。方法是一样的,这里我用的是由下向上的扫描法。 ...

    线段树求矩形面积并 扫描线+离散化

    顾名思义,扫描法就是用一根想象中的线扫过所有矩形,在写代码的过程中,这根线很重要。方向的话,可以左右扫,也可以上下扫。方法是一样的,这里我用的是由下向上的扫描法。

     

    如上图所示,坐标系内有两个矩形。位置分别由左下角和右上角顶点的坐标来给出。上下扫描法是对x轴建立线段树,矩形与y平行的两条边是没有用的,在这里直接去掉。如下图。

     

    现想象有一条线从最下面的边开始依次向上扫描。线段树用来维护当前覆盖在x轴上的线段的总长度,初始时总长度为0。用ret来保存矩形面积总和,初始时为0。

    由下往上扫描,扫描到矩形的底边时将它插入线段树,扫描到矩形的顶边时将底边从线段树中删除。而在代码中实现的方法就是,每条边都有一个flag变量,底边为1,顶边为-1。

    用cover数组(通过线段树维护)来表示某x轴坐标区间内是否有边覆盖,初始时全部为0。插入或删除操作直接让cover[] += flag。当cover[] > 0 时,该区间一定有边覆盖。

    开始扫描到第一条线,将它压入线段树,此时覆盖在x轴上的线段的总长度L为10。计算一下它与下一条将被扫描到的边的距离S(即两条线段的纵坐标之差,该例子里此时为3)。

                                                                                   则 ret += L * S. (例子里增量为10*3=30)

    结果如下图

    扫描到第二条边,将它压入线段树,计算出此时覆盖在x轴上的边的总长度。

    例子里此时L=15。与下一条将被扫描到的边的距离S=2。 ret += 30。 如下图所示。

    接下来扫描到了下方矩形的顶边,从线段树中删除该矩形的底边,并计算接下来面积的增量。如下图

    此时矩形覆盖的总面积已经计算完成。 可以看到,当共有n条底边和顶边时,只需要从下往上扫描n-1条边即可计算出总面积。

     

    定义节点和线段:

    复制代码
     1 class TreeNode
     2 {
     3     public:
     4         int left; 
     5         int right;
     6         int mid; 
     7         int cover; 
     8         int flag;
     9         double length;  
    10 }; 
    11 typedef struct
    12 {
    13     double xl, xr, y; 
    14     int flag; 
    15 }Line;
    复制代码

     

    建树:

    复制代码
     1 void BuildTree(int k, int l, int r)
     2 {
     3     node[k].left = l; 
     4     node[k].right = r; 
     5     node[k].mid = (l + r) >> 1; 
     6     node[k].cover = 0; 
     7     node[k].flag = 0; 
     8     if(l + 1 == r)
     9     {
    10         node[k].flag = 1; 
    11         return ; 
    12     }
    13     int mid = (l + r) >> 1; 
    14     BuildTree(k << 1, l, mid); 
    15     BuildTree(k << 1|1, mid, r); 
    16 }
    复制代码

    更新:

    复制代码
     1 void UpdateTree(int k, int l, int r, int flag)
     2 {
     3     if(node[k].left == l && node[k].right == r)
     4     {
     5         node[k].cover += flag; 
     6         node[k].length = x[r-1] - x[l-1];  
     7         return ; 
     8     }
     9     if(node[k].flag)
    10         return ; 
    11     if(node[k].mid <= l)
    12         UpdateTree(k << 1|1, l, r, flag); 
    13     else if(node[k].mid >= r)
    14         UpdateTree(k << 1, l, r, flag); 
    15     else
    16     {
    17         UpdateTree(k << 1, l, node[k].mid, flag); 
    18         UpdateTree(k << 1|1, node[k].mid, r, flag); 
    19     }
    20 }
    复制代码

    查询有效长度:

    复制代码
     1 void GetLength(int k)
     2 {
     3     if(node[k].cover > 0)
     4     {
     5         length += node[k].length;  
     6         return ; 
     7     }
     8     if(node[k].flag)
     9         return; 
    10     GetLength(k << 1); 
    11     GetLength(k << 1|1); 
    12 }
    复制代码

    找离散后的位置:

    复制代码
     1 int GetIndex(double num, int length)
     2 {
     3     int l, r, mid; 
     4     l = 0, r = length; 
     5     while(l <= r)
     6     {
     7         mid = (l + r) >> 1; 
     8         if(x[mid] == num)
     9             return mid; 
    10         else if(x[mid] > num)
    11             r = mid - 1; 
    12         else
    13             l = mid + 1; 
    14     }
    15 }
    复制代码

    排序,离散化:

    复制代码
     1  for(i = 0; i < n; i ++)
     2         {
     3             scanf("%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2); 
     4             seg[j].xl = x1; 
     5             seg[j].xr = x2; 
     6             seg[j].y = y1; 
     7             x[j] = x1; 
     8             seg[j ++].flag = 1; 
     9             seg[j].xl = x1; 
    10             seg[j].xr = x2; 
    11             seg[j].y = y2; 
    12             x[j] = x2; 
    13             seg[j ++].flag = -1; 
    14         }
    15         sort(x, x+j); 
    16         sort(seg, seg+j, cmp); 
    17         k = 1; 
    18         for(i = 1; i < j; i ++)
    19         {
    20             if(x[i] != x[i-1])
    21                 x[k ++] = x[i]; 
    22         }
    复制代码
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  • 有几个古希腊书籍中包含了传说中的亚特兰蒂斯岛的描述。 其中一些甚至包括岛屿部分地图。 但不幸的是,这些地图描述了亚特兰蒂斯的不同区域。 您的朋友Bill必须知道地图的总面积。 你自告奋勇写了一个计算这个...

    有几个古希腊书籍中包含了对传说中的亚特兰蒂斯岛的描述。

    其中一些甚至包括岛屿部分地图。

    但不幸的是,这些地图描述了亚特兰蒂斯的不同区域。

    您的朋友Bill必须知道地图的总面积。

    你自告奋勇写了一个计算这个总面积的程序。

    输入格式

    输入包含多组测试用例。

    对于每组测试用例,第一行包含整数n,表示总的地图数量。

    接下来n行,描绘了每张地图,每行包含四个数字x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2(不一定是整数),(x1,y1)(x1,y1)和(x2,y2)(x2,y2)分别是地图的左上角位置和右下角位置。

    注意,坐标轴 x 轴从上向下延伸,y 轴从左向右延伸。

    当输入用例n=0时,表示输入终止,该用例无需处理。

    输出格式

    每组测试用例输出两行。

    第一行输出”Test case #k”,其中k是测试用例的编号,从1开始。

    第二行输出“Total explored area: a”,其中a是总地图面积(即此测试用例中所有矩形的面积并,注意如果一片区域被多个地图包含,则在计算总面积时只计算一次),精确到小数点后两位数。

    在每个测试用例后输出一个空行。

    数据范围

    1≤n≤10000,
    0≤x1<x2≤100000,
    0≤y1<y2≤100000
    注意,本题 nn 的范围上限加强至 10000。

    输入样例:

    2
    10 10 20 20
    15 15 25 25.5
    0
    

    输出样例:

    Test case #1
    Total explored area: 180.00 
    
    

    样例解释

    样例所示地图覆盖区域如下图所示,两个矩形区域所覆盖的总面积,即为样例的解。

    无标题.png

    题意:给定n个矩形的对角坐标,求n个矩形的面积并

    思路(线段树+扫描线+离散化):

    扫描线的基本思路:

    就是用一条线从图形的一边扫过整个图形到另一边,在此过程中,可用一个变量vis来标记当前矩形的底边和顶边,分别记为1和-1,这样就可以通过判断vis,轻松地在扫到底边时统计上当前边长,在扫过当前矩形时(即:扫到当前矩形的顶边),去掉当前边长对当前统计的边长的影响,只需要+vis即可实现。

    首先,用扫描线依次从x轴向右扫描(如样例所示),可以发现通过扫描可以将整个图形分割成若干个子矩形,矩形的底边长是在不断变化的,此过程可以忽略矩形的高,只看底边,可以用线段树来维护当前子矩形(即一段区间内)的底边长(即:当前扫过的线段覆盖在(平行于)x轴的线段的总长度),然后利用前缀和的思想,在记录每条线段时 ,记录其到x轴的长度(即为:当前线段的高h),然后通过作差即可得到两线段之间的高(即为:当前子矩形的高),最终把这些子矩形的面积加起来即为最终矩形面积并。

    线段树维护两个量:1、vis:当前结点在扫描线覆盖的线段个数

                                     2、len:以当前结点为根的子树中覆盖在x轴的总长度(当前矩形的底边长)

    注:因为按输入顺序,矩形的位置可能是无序的,为了便于扫描线依次扫过全部矩形,所以先按矩形高排序

           坐标值较大,所以要对底边坐标进行离散化,即:排序去重二分映射到其下标值,将离散化后的值带入线段树维护的区间端点值,然后用到真值时,通过把当前值代入离散化数组的下标即可得到数组的值即为原来的值。

    完整代码:

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    
    using namespace std;
    
    const int maxn=2e4+5;
    
    struct line
    {
        double l,r,h;
        int vis;
        bool operator<(const line &t) const
        {
            return h<t.h;
        }
    }e[maxn];
    
    struct tree
    {
        int vis;
        double len;
    }tr[maxn*8];
    
    int n,cnt;
    double x[maxn];
    double a,b,c,d;
    
    void pushdown(int p,int l,int r)
    {
        if(tr[p].vis) tr[p].len=x[r+1]-x[l];//因为这里线段树维护的是一个个的区间[L,L+1],所以r+1
        else if(l==r) tr[p].len=0;
        else tr[p].len=tr[p<<1].len+tr[p<<1|1].len;
    }
    
    void update(int p,int l,int r,int L,int R,int v)//当前根节点p,用来更新的区间[l,r],当前更新区间[L,R],当前线段的标记量v:vis
    {
        if(L>=l&&R<=r){
            tr[p].vis+=v;
            pushdown(p,L,R);
            return;
        }
        int mid=L+R>>1;
        if(l<=mid) update(p<<1,l,r,L,mid,v);
        if(r>mid) update(p<<1|1,l,r,mid+1,R,v);
        pushdown(p,L,R);
    }
    
    int main()
    {
        int t=0;
        while(cin>>n,n){
            memset(tr,0,sizeof tr);
            cnt=0;
            for(int i=0;i<n;i++){
                cin>>a>>b>>c>>d;
                x[cnt]=a;
                e[cnt++]={a,c,b,1};
                x[cnt]=c;
                e[cnt++]={a,c,d,-1};
            }
            //对底边进行离散化:
            sort(x,x+cnt);
            int xs=unique(x,x+cnt)-x;
            //对底边按高排序:
            sort(e,e+cnt);
            double res=0;
            //扫描线从x轴往外依次扫描:
            for(int i=0;i<cnt;i++){
                //当前底边长[pl,pr]
                int pl=lower_bound(x,x+xs,e[i].l)-x;
                int pr=lower_bound(x,x+xs,e[i].r)-x-1;//因为一个结点维护的是一个区间,所以区间序号为L,R为区间序号+1
                update(1,pl,pr,0,xs,e[i].vis);
                res+=tr[1].len*(e[i+1].h-e[i].h);//当前矩形面积=(当前矩形底边长:线段树维护的当前覆盖在x轴上的总长度)*(当前矩形高度:e[i+1].h-e[i].h)
            }
            printf("Test case #%d\n",++t);
            printf("Total explored area: %.2f\n",res);
            cout<<endl;
        }
        return 0;
    }

     

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  • 线段树-矩形面积求

    2017-05-16 18:26:30
    题目链接 题目描述: 给定很多个矩形,给定方式是对角线坐标点.求面积的并。 大致思路: 扫描线+线段树;#include #include #include #include #include #include #include #inc
  • 题目链接:点击这里 题目大意: 给出 nnn 个矩形的对角坐标求矩形面积的交集 题目分析:
  • 题目大意:给定每个矩形对角线的两个端点,让你这些矩形面积的并集,即重叠的不能重复计算 题目分析:这题就是典型的线段树求面积并 离散化:对所有节点的Y进行升序排序,然后以Y的位置建树,就是指,在线段...
  • 平面直角坐标系上给定n个矩形,每个矩形用左下坐标(x1,y1)和右上坐标(x2,y2)描述,这些矩形覆盖的总面积是多少 【思路】 线段树和扫描线的经典应用,看了别人的博客学会的,如果从下往上扫描的话,就要横...
  • 题意:给你点集(n<...对角线相等并且中点相同 3、面积就是 长*宽 ,长宽就是 1个点到其他3个点构成的边中较小的两个边。 #include <bits/stdc++.h> #define en '\n' const int inf=0x3f3f3f...
  • hdu1542 矩形面积

    2014-02-13 14:58:05
    题意:给出n个矩形的左下与右上坐标,求矩形面积并 解题思路: 如图,两个矩形有平行于X轴的4条线段,先4条线段的两端点X坐标离散化,然后按线段的高度由低到高更新线段树(线段树叶子节点为1~2,2~3等)...
  • 题目链接题意:给定n个矩形求面积并,分别给矩形左上的坐标和右上的坐标。 分析: 映射到y轴,并且记录下每个的y坐标,并y坐标进行离散。 然后按照x从左向右扫描。 1 #include <iostream> 2 ...
  •  给定n个矩形的对角坐标,分别是左下和右上,浮点型,求矩形覆盖的面积。 思路:  基本的线段树扫描线求面积,没有坑点,不解释了,提示一点,有的题尤其是线段树扫描线的题需要离散化的时候建议二分去找...
  • 给定两个边平行于坐标轴的矩形对角线上的点,矩形相交的面积。 输入:两行,每行4个绝对值不超过10^7的实数 输出:小数点后保留两位的实数 输入样例: 1 1 3 3 2 2 4 4 输出仅包含一个实数,为交的面积,保留到...
  • import java.util.Scanner; /* * Given two rectangles(矩形) and the coordinates(坐标) of two points * on the diagonals(对角线) of each rectangle, * you have to calculate(计算) the area ...
  • 然后求矩形面积的最小值。 思路: 首先想到的一种特殊情况就是,如果有一个数至少出现了n次,则面积为0。 但是我们要从变量中找出不变量,也就是最大值和最小值一定属于边界的顶点处。 第一种就是min和max是对角线...
  • 存在多个样例,每个样例包括2行,每行是一个矩形,为矩形一个对角线端点的坐标x1,y1,x2,y2,0≤x1,y1,x2,y2≤1000。 输出 每行输出一个样例的结果。 样例输入 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 2 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 3 3 0 0 ...
  • 矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形对角线相等;④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;...⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一...
  • 以前扫描线就写过矩形的用数据结构维护的那种,和计算几何不占边,这次才是好好写了一次正宗的扫描线。不得不说这个算法还是很靠谱的。 其实这个思路不仅限于三角形面积的并,所有凸多边形的面积并应该都可以解决。...
  • 最全《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总一、平行四边形中,边(周长)的计算例1:在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=10,BD=8,则AD的取值范围是_________. 解析:利用平行四边形的性质...
  • 给出 N 个矩形(上下界,左右界,一般都是给出一条对角线的两个顶点坐标),他们实际占的面积,也就是这些矩形并的面积只会一种离散的说,真心好弱,不晒代码了,基本是“抄”的,给个链接吧,很牛X的,绝对的火星...
  • 矩形

    2013-03-30 18:20:29
    /* * 程序的版权和版本声明部分 ...* All rightsreserved. * 文件名称:object.cpp * 作者:胡颖 ...* 问题描述:设计默认构造函数不给实参时默认长宽为2,构造函数求矩形面积、周长、对角线;判断是否为正方
  • 题目链接:\quadHDU - 1542 or POJ - 1151题目大意:\quad以对角线的形式给出nn个矩形,给出左下点(x1,y1)(x_1, y_1)和右上点(x2,y2)(x_2, y_2),double型。nn个矩形的并面积。(多组)数据范围:1≤n≤1000≤x1≤...
  • 定义接口Printx,其中包括一个... 编写正方形类作为矩形类的子类,正方形类继承了矩形求面积和周长的方法,新增加求对角线长的方法,重写printMyWay()方法,要求该方法能显示正方形的边长、面积、周长和对角线长。
  •  定义一个数组s[][]代表以(1,1)和(i,j)为对角线矩形中全为1的的矩形的边长。  再定义一个数组row[][]代表(i,0)-(i,j)连续的1最长的长度;  再定义一个数组col[][]代表(0,j)-(i,j)连续的1...
  • 这样的话只要找到一对线段,使得他们的中点相同,并且长度相同,那么这两个对角线一定能够组成一个矩形。只有就可以利用叉积面积了。 比较坑的一点是,这个题万万不能用double,因为有一个点专门卡doub
  • BNU10805:矩形神码的

    千次阅读 2013-09-27 00:18:02
    )然后我们给定一条对角线的起始点和终止点的坐标,然后给定另一个对角线和他的夹角,是不是就能得到两个面积相等的矩形?(谜之声:呃,貌似好像或许应该可能maybe perhaps probably possibly是对的?) 现在我...

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对角线求矩形面积