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  • 对角行列式的逆矩阵
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    2018-09-18 22:40:48

    1.行列式的计算

    矩阵行列式的计算在数学上有多种方法,为了编程方便,我采取将矩阵转化为上三角的形式,然后对角线上的数相乘,便得到行列式的值。

    首先将矩阵储存在vector的二维数组中,接着开始进行行与行之间的·换算。使矩阵转换为上三角形式。

    以下是代码:

    void CJZCalculate3Dlg::det()
    {

    vector<vector<double > > v5=v1;        //  v1是与edit框绑定的变量所表示的矩阵
        vector<vector<double > > v6(100);
        for(int tt=0;tt<r1;tt++)
            v6[tt].resize(c1);
        double c[1000]={0};
        double det=1;
        
        for(int i=0;i<c1-1;i++)    /   上三角运算
        {
            if(v5[i][i]==0)       /// 判断 对角数是否为 0
            {    
                int flag=0;
                for(int f=i+1;f<c1;f++)
                {
                    if(v5[f][i]!=0)
                    {
                        v6[0]=v5[i];
                        v5[i]=v5[f];
                        v5[f]=v6[0];
                        flag=1;
                        det=0-det;
                        break;
                    }
                }
                if(flag==0)
                {
                    det=0;
                     break;
                }  
            }     ///   结束判断

            c[i]=v5[i][i];
            for(int j=i+1;j<c1;j++)
                v5[i][j]=v5[i][j]/v5[i][i];
            v5[i][i]=1;
            for(int k=i+1;k<c1;k++)
            {
                for(int t=i+1;t<c1;t++)
                 v5[k][t]=v5[k][t]-v5[k][i]*v5[i][t];
                v5[k][i]=0;
            }
        }
        det=det*v5[c1-1][c1-1];
        for(int s=0;s<c1-1;s++)
            det=det*c[s];

    m_str3.Format(_T("%lf "),det);     ///m_str3为与edit框绑定的变量,update后便可以将行列式的值刷新到edit框

    }
          det的值便为行列式的值

    2.逆矩阵的求导

    首先,确定待求矩阵行列式是否为0,如果为0.则不存在逆矩阵 

    确定了存在逆矩阵后,便可以开始进行计算了;

    利用数学公式:矩阵A的矩阵逆矩阵对于,A的伴随矩阵除以A的行列式。

    以下为代码:

    void CJZCalculate3Dlg::OnButton6() 
    {
        // TODO: Add your control notification handler code here

                           ///       m_str3为与edit框绑定的变量

        m_str3="";  //情况edit3里的数据,以便显示新数据

          det();    //  计算行列式
          double A=atof(m_str3);       /   行列式赋值给A
          if(A==0)
          {
              m_str3="行列式为0,不存在逆矩阵";
          }
          else
          {
              double a[100][100]={0};

            v7=v1;
            c1--;
            for(int i=1;i<=r1;i++)             //伴随矩阵计算
            {
              for(int j=1;j<=r1;j++)
              {
                v1.erase(v1.begin()+i-1);
                for(int k=0;k<r1-1;k++)
                    v1[k].erase(v1[k].begin()+j-1);
                for(int k2=0;k2<r1-1;k2++)
                    v1[k2].resize(r1-1);

                det();
                a[j][i]=atof(m_str3);
                
                if((i+j)%2==1)
                    a[j][i]=0-a[j][i];

                for(int jk=0;jk<r1;jk++)
                    v1[jk].resize(r1);
                v1=v7;
              }
            }              将伴随矩阵代入数组

            c1++;
            m_str3="";
           for(int t1=1;t1<=r1;t1++)     /// 显示逆矩阵
           { 
             for(int t2=1;t2<=r1;t2++)
             {
               str3.Format(_T("%lf "),a[t1][t2]/A);
               m_str3=m_str3+str3;
             }
             m_str3=m_str3+"\r\n";
           }
          }
                                           CString类型的m_str3就是逆矩阵
        UpdateData(false);      //逆矩阵被刷新到edit框上
    }

     

    矩阵计算器完整代码见https://download.csdn.net/download/cyl00cyl/10693382,能够实现矩阵加减乘运算,幂运算,数乘运算,转置,行列式,逆矩阵。 能够检测矩阵是否完整,能够识别是否能进行所选择的运算,并且提示出不能进行计算的原因。

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    如果矩阵A中m等于n,称为矩阵A为n阶矩阵(或n阶方阵)

     

    从左上到右下的对角线为主对角线,从右上到左下的对角线为次对角线

     

    行列式在数学中,是一个函数,其定义域为det的矩阵A,取值为一个标量,写作det(A)或 | A | ,可以看作在几何空间中,一个线性变换对“面积”或“体积”的影响。

    行列式的性质:

    性质1:如果(a,b)=(1,0),(c,d)=(0,1)则平行四边形变成正方形,面积=1,A为单位阵

    性质2:若A有相同的两行,则det(A)=0. 看一个极端情况,如果(a,b)=(c,d),即向量(a,b)与(c,d)重合,面积肯定为0。

    性质3:det(A)对单独任一行满足线性关系,即将(a,b)伸缩t倍,另一条边不变,面积也伸缩t倍

    性质4:交换两行,det(A)变号。将面积定向处理,右手定则是大家普遍遵守的,因此,行1,行2对应向量的方向满足右手定则,则定义det(A)为正,否则为负。

    性质5:若矩阵中有一行为全0行,则行列式为0.利用性质3,全0行,提出一个因子0,行列式肯定为0.

    性质6:从一行中减去其它行的几倍,行列式不变。

    性质7:若矩阵A为三角阵,则行列式等于对角元上元素的乘积。

    性质8:A是奇异阵且不可逆,行列式为0;反之,行列式不为0。

    性质9:矩阵AB的行列式等于A的行列式乘以B的行列式行列式的含义是面积(体积)的放大倍数,AB可以看成是级联系统,级联系统的放大倍数等于分别每一级放大倍数的乘积。

    性质10:A转置的行列式等于A的行列式。行列式的含义是体积的放大倍数,转置后,体积放大倍数也没有发生变化。

     

     

    假设为3*3的方阵

     

    A = a13a21a32 + a12a23a31 + a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31

     

    代数余子式求法

     

     

    具体推导如下:

     

    设A是一个n阶矩阵,若存在另一个n阶矩阵B,使得:AB=BA=E ,则称方阵A可逆,并称方阵B是A的逆矩阵。如果A不存在逆矩阵,那么A称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1

    矩阵的逆具有以下性质:

    如果矩阵A是可逆的,那么矩阵A的逆矩阵是唯一的。

    A的逆矩阵的逆矩阵还是A,记作(A-1)-1=A

    可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T

    若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律,即AB=AC => B=C

    矩阵A可逆的充要条件是行列式|A|不等于0

    逆矩阵求解公式:

     

     

    求解线性方程组

    一、消元法

    二、矩阵的初等变换求解

    展开全文
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    1.求行列式的值

    import numpy as np
    '''
    计算
    | 2  1  2 1|
    | 3  0  1 1|
    | -1 2 -2 1|
    | -3 2  3 1|
    的行列式的值
    '''
    arr = np.array([[2, 1, 2, 1],
                    [3, 0, 1, 1],
                    [-1, 2, -2, 1],
                    [-3, 2, 3, 1]])
    
    print(np.linalg.det(arr))    #det求行列式的值
    
    [out]
    19.999999999999996
    

    2.矩阵的秩、行列式、迹,特征值和特征向量

    import numpy as np
    a = np.array([[1,1,1],
                 [1,1,10],
                 [1,1,15]])
    print(np.linalg.matrix_rank(a))     #返回矩阵的秩
    print(np.linalg.det(a))         #返回矩阵的行列式
    print(a.diagonal())           #返回矩阵的对角线元素,也可以通过offset参数在主角线的上下偏移,
                                   #  获取偏移后的对角线元素。a.diagonal(offset=1)返回array([1.10])
    print(a.trace())              #返回迹
    eigenvalues ,eigenvectors= np.linalg.eig(a) #eigenvalues 为特征值。eigenvectors为特征向量
    print(eigenvalues)
    
    [out]
    2
    0.0
    [ 1  1 15]
    17
    [1.57972598e+01 1.20274024e+00 4.17207245e-17]
    

    3.逆矩阵

    import numpy as np
    A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
    B = np.linalg.inv(A)     #矩阵的逆
    print(B)
    print(np.dot(B, A))      #矩阵和逆矩阵的乘积
    
    [out]
    [[-2.   1. ]
     [ 1.5 -0.5]]
    [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
     [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
    

    4.全部代码

    # 1.求行列式的值
    import numpy as np
    '''
    计算
    | 2  1  2 1|
    | 3  0  1 1|
    | -1 2 -2 1|
    | -3 2  3 1|
    的行列式的值
    '''
    arr = np.array([[2, 1, 2, 1],
                    [3, 0, 1, 1],
                    [-1, 2, -2, 1],
                    [-3, 2, 3, 1]])
    
    print(np.linalg.det(arr))
    
    # 2.python计算矩阵的秩、行列式、迹,特征值和特征向量
    import numpy as np
    a = np.array([[1,1,1],
                 [1,1,10],
                 [1,1,15]])
    print(np.linalg.matrix_rank(a))     #返回矩阵的秩
    print(np.linalg.det(a))         #返回矩阵的行列式
    print(a.diagonal())           
         #  返回矩阵的对角线元素,也可以通过offset参数在主角线的上下偏移,获取偏移后的对角线元素。
         #  a.diagonal(offset=1)返回array([1.10])
    print(a.trace())              #返回迹
    eigenvalues ,eigenvectors= np.linalg.eig(a) #eigenvalues 为特征值。eigenvectors为特征向量
    print(eigenvalues)
    
    # 3.逆矩阵
    import numpy as np
    A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
    B = np.linalg.inv(A)     #矩阵的逆
    print(B)
    print(np.dot(B, A))      #矩阵和逆矩阵的乘积
    

    5.注:

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