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  • 这是通过行列式和伴随矩阵求逆矩阵的方法,分别将求行列式、伴随矩阵功能提取了出来, 逆矩阵 等于伴随矩阵/行列式。如果你想学习如何矩阵求逆, 可以仔细阅读这篇文章,代码很好了解,很基础。 总程序在后面。 1...

    C++求a*b逆和矩阵行列式伴随矩阵及逆矩阵

    这是通过行列式和伴随矩阵求逆矩阵的方法,分别将求行列式、伴随矩阵的功能提取了出来, 逆矩阵 等于伴随矩阵/行列式。如果你想学习如何对矩阵求逆, 可以仔细阅读这篇文章,代码很好了解,很基础。
    总程序在后面。

    1.行列式

    求行列式办法很多,本文采用对角线法则。即
    行列式等于(主对角线乘积与各“推移”主对角线乘积之和)减去(次对角线乘积与各“推移”对角线之和)。
    举个例子
    3*3行列式
    等于a1·b2·c3+b1·c2·a3+c1·a2·b3-a3·b2·c1-b3·c2·a1-c3·a2·b1。
    可以分为加的部分减去减的部分
    对应代码为:

    int detadd(int i,int j,int n,int temp[][100]){
    	if(i<n){
    		return temp[(i+n)%n][(j+n)%n]*detadd(++i,++j,n,temp);
    	}else return 1;
    }//二阶行列式对角线法则的加的部分 
    int detnoadd(int i,int j,int n,int temp[][100]){
    	if(i<n){
    		return temp[(i+n)%n][(j+n)%n]*detnoadd(++i,--j,n,temp);
    	}else return 1;
    }//减的部分 
    int det(int temp[][100],int n){
    	int sum=0;
    	int i=0,j=0;
    	if(n==1){
    		sum=temp[0][0];
    	}else if(n==2){
    		sum=temp[0][0]*temp[1][1]-temp[0][1]*temp[1][0];
    	}else{
    		for(j=0;j<n;j++){
    			sum+=detadd(i,j,n,temp);
    		}
    		for(j=n-1;j>=0;j--){
    			sum-=detnoadd(i,j,n,temp);
    		}
    	}
    	return sum;
    } 
    

    n为矩阵维度,函数为传入矩阵返回行列式值。

    2.伴随矩阵

    设A=(aij)n×n是n阶方阵,由行列式|A|中的每个元素aij的代数余子式Aij所构成的矩阵A称为矩阵A的伴随矩阵。
    注:伴随矩阵A
    在位置(i,j)上的元素是矩阵A在位置(j,i)上的代数余子式。
    具体参考链接: link.
    先求出代数余子式,然后分别放入伴随矩阵中做元素,求余子式需要除去本行和本列的数据,所以利用监视变量flag1和flag2,如果跳过了行列,那对应的余子式的行列下标相比于原来就要少1。
    对应代码为:

    	void ac(int temp[][100],int temp1[][100],int i,int j,int n){
    	bool flag1=false,flag2=false;
    	int x,y,p,q;//x,y为代数余子式的坐标数,p,q为遍历数组的下标
    	for(p=0;p<n;p++){//在矩阵中循环并监视行列,如果相等就跳过 
    		if(p==i){
    			p++;
    			flag1=true;
    		}
    		flag2=false;
    		for(q=0;q<n;q++){
    			if(q==j){
    				q++;
    				flag2=true;
    			} 
    			x= flag1==true?p-1:p; //如果跳过了行列, 
    			y= flag2==true?q-1:q;
    			temp1[x][y]=temp[p][q];
    		}
    	}
    }
    void zz(int temp[][100],int n){//转置 
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<i;j++){
    			swap(temp[i][j],temp[j][i]); 
    		}
    	}
    }
    void am(int temp[][100],int n){//1.求余子式2.求代数余子式3.伴随矩阵4.转置 
    	int temp1[100][100];//临时余子式 algebraic complement
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++){//求temp的伴随矩阵 
    			ac(temp,temp1,i,j,n);//代数余子式 
    //			printf("余子式%d%d\n",i,j);
    //			print(temp1,n-1);//测试输出余子式 
    			amj[i][j]=det(temp1,n-1)*pow(-1,i+j); //伴随矩阵对应的元素 
    		}
    	}
    	zz(amj,n);//转置 
    }
    

    n为矩阵维度,函数为传入矩阵返回行列式值。

    3.逆矩阵

    本问矩阵求逆用到了行列式和伴随矩阵,如果要引用求逆,则需要应用伴随矩阵和行列式。
    A逆: A⁻¹=A*/|A|
    代码为:

    	/*矩阵求逆返回到amj矩阵*/ 
    int iom(int temp1[][100],int n){//inverse of matrix
    	if(det(temp1,n)!=0){
    		am(temp1,n);//伴随矩阵返回到amj
    		mathmult(amj,1.0/det(temp1,n),n);
    	}else {//行列式等于零矩阵不可逆
    		cout<<"矩阵不可逆"; 
    		return -1;
    	} 
    }
    

    将函数集成到交互式界面

    代码:

    	#include<stdio.h>
    #include<iostream>
    #include<math.h> 
    using namespace std; 
    /*为矩阵分配空间*/ 
    int a[100][100];//a矩阵 
    int b[100][100];//b矩阵 
    int amj[100][100];//伴随矩阵和逆矩阵和其他
    int multj[100][100];//矩阵相乘 
    /*交换*/
    void swap(int *a,int *b){
    	int c;
    	c=*a;
    	*a=*b;
    	*b=c;
    } 
    /*建立矩阵(输入)*/
    void init(int temp[][100],int n){
    	cout<<"请输入"<<n<<"维矩阵 :"<<endl;
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++){
    			cin>>temp[i][j];	
    		}
    	}
    } 
    /*打印矩阵*/
    void print(int temp[][100] ,int n) {//打印一个n维的矩阵
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++){
    			cout<<temp[i][j]<<"  ";	
    		}
    		cout<<endl;
    	}
    	cout<<"----------------"<<endl;
    }
    /*矩阵求行列式(对角线法则)*/ 
    int detadd(int i,int j,int n,int temp[][100]){
    	if(i<n){
    		return temp[(i+n)%n][(j+n)%n]*detadd(++i,++j,n,temp);
    	}else return 1;
    }//二阶行列式对角线法则的加的部分 
    int detnoadd(int i,int j,int n,int temp[][100]){
    	if(i<n){
    		return temp[(i+n)%n][(j+n)%n]*detnoadd(++i,--j,n,temp);
    	}else return 1;
    }//减的部分 
    int det(int temp[][100],int n){
    	int sum=0;
    	int i=0,j=0;
    	if(n==1){
    		sum=temp[0][0];
    	}else if(n==2){
    		sum=temp[0][0]*temp[1][1]-temp[0][1]*temp[1][0];
    	}else{
    		for(j=0;j<n;j++){
    			sum+=detadd(i,j,n,temp);
    		}
    		for(j=n-1;j>=0;j--){
    			sum-=detnoadd(i,j,n,temp);
    		}
    	}
    	return sum;
    } 
    /*矩阵求伴随矩阵adjoint matrix输入到amj矩阵*/
    void ac(int temp[][100],int temp1[][100],int i,int j,int n){
    	bool flag1=false,flag2=false;
    	int x,y,p,q;//x,y为代数余子式的坐标数,pq为遍历数组的下标
    	for(p=0;p<n;p++){//在矩阵中循环并监视行列,如果相等就跳过 
    		if(p==i){
    			p++;
    			flag1=true;
    		}
    		flag2=false;
    		for(q=0;q<n;q++){
    			if(q==j){
    				q++;
    				flag2=true;
    			} 
    			x= flag1==true?p-1:p; //如果跳过了行列, 
    			y= flag2==true?q-1:q;
    			temp1[x][y]=temp[p][q];
    		}
    	}
    }
    void zz(int temp[][100],int n){//转置 
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<i;j++){
    			swap(temp[i][j],temp[j][i]); 
    		}
    	}
    }
    void am(int temp[][100],int n){//1.求余子式2.求代数余子式3.伴随矩阵4.转置 
    	int temp1[100][100];//临时余子式 algebraic complement
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++){//求temp的伴随矩阵 
    			ac(temp,temp1,i,j,n);//代数余子式 
    //			printf("余子式%d%d\n",i,j);
    //			print(temp1,n-1);//测试输出余子式 
    			amj[i][j]=det(temp1,n-1)*pow(-1,i+j); //伴随矩阵对应的元素 
    		}
    	}
    	zz(amj,n);//转置 
    }
    /*矩阵相加*/
    void mathadd(int temp[][100],int temp1[][100],int temp2[][100],int n){//返回到第一个矩阵 
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++){
    			temp[i][j]=temp1[i][j]+temp2[i][j];
    		}
    	}
    } 
    /*矩阵相减*/
    void mathnoadd(int temp[][100],int temp1[][100],int temp2[][100],int n){//返回到第一个矩阵 
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++){
    			temp[i][j]=temp1[i][j]-temp2[i][j];
    		}
    	}
    }
    /*数乘矩阵*/
    void mathmult(int temp[][100],double math,int n){
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++){
    			amj[i][j]*=math;
    		}
    	}
    } 
    /*矩阵相乘(两维度一样的矩阵相乘返回到multj矩阵)*/
    void mult(int temp1[][100],int temp2[][100],int n){
    	int i,j,z;
    	for(i=0;i<n;i++){
    		for(j=0;j<n;j++){
    			multj[i][j]=0;	
    		}
    	}
    	for(i=0;i<n;i++){
    		for(j=0;j<n;j++){
    			for(z=0;z<n;z++){
    				multj[i][j]+=temp1[i][z]*temp2[z][j];
    			}	
    		}
    	}
    }
    /*矩阵求逆返回到amj矩阵*/ 
    int iom(int temp1[][100],int n){//inverse of matrix
    	if(det(temp1,n)!=0){
    		am(temp1,n);//伴随矩阵返回到amj
    		mathmult(amj,1.0/det(temp1,n),n);
    	}else {//行列式等于零矩阵不可逆
    		cout<<"矩阵不可逆"; 
    		return -1;
    	} 
    }
    int main(){
    	int e=1,no,n;
    	while(e==1){
    		cout<<"选择操作:\n1.行列式\n2.伴随矩阵\n3.数乘矩阵\n4.矩阵相加\n5.矩阵相减\n6.矩阵相乘\n7.矩阵求逆\n8.求a*b-1\n9.退出\n---------------\n输入序号:";
    		cin>>no;
    		switch(no){
    			
    			case 1:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				cout<<"行列式为:"<<det(a,n);
    				break;
    			case 2:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				am(a,n);
    				cout<<"伴随矩阵为:\n"; 
    				print(amj,n);
    				break;
    			case 3:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				double x;
    				cout<<"输入数"; 
    				cin>>x;
    				mathmult(a,x,n);
    				cout<<"数乘矩阵为:\n"; 
    				print(a,n);
    				break;
    			case 4:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				init(b,n);
    				mathadd(amj,a,b,n);
    				cout<<"矩两矩阵相加结果为:\n"; 
    				print(amj,n);
    				break;
    			case 5:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				init(b,n);
    				mathnoadd(amj,a,b,n);
    				cout<<"两矩阵相减结果为:\n"; 
    				print(amj,n);
    				break;
    			case 6:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				init(b,n);
    				mult(a,b,n);
    				cout<<"两矩阵相乘结果为:\n"; 
    				print(multj,n);
    				break;
    			case 7:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				iom(a,n); 
    				cout<<"矩阵求逆结果为:\n"; 
    				print(amj,n);
    				break;
    			case 8:
    				cout<<"输入矩阵维度:"; 
    				cin>>n;
    				init(a,n);
    				init(b,n);
    				iom(b,n);//b逆返回到amj矩阵 
    				cout<<"-------------------\n";
    				mult(a,amj,n);//a*b逆返回到multj矩阵 
    				print(multj,n);
    				break;
    			case 9:
    				cout<<"退出测试\n";
    				goto exitwhile;
    			default:
    				cout<<"输入错误,重新输入!\n";
    		} 
    		getchar(); 
    	    printf("\n\n是否继续?( 1 / 0 )\n");//提示是否退出
    	    scanf("%d", &e);
    	    system("cls");//清空屏幕
    	} 
    	exitwhile:
    	
    	return 0;
    }
    

    程序流程图为:
    在这里插入图片描述
    本程序函数基本含义
    程序有基本的对行列式的输入(init)输出(print)操作;
    计算矩阵的行列式([det(矩阵,维度)]函数,返回行列式的值);
    计算矩阵的伴随矩阵([am(矩阵,维度)],结果返回到amj数组);
    矩阵相加([mathadd(矩阵1,矩阵2,矩阵3,维度));
    矩阵相减([mathnoadd(矩阵1,矩阵2,矩阵3,维度)]);
    矩阵相乘([mult(矩阵1,矩阵2,维度)],结果返回到multj矩阵);
    数乘矩阵([mathmult(矩阵,数,维度)],结果返回到amj数组)的函数;
    矩阵求逆([iom(矩阵,维度)])的函数结果返回到amj数组。

    以下是本人在编写程序时遇到的问题及解决方法
    1.矩阵相乘时由于每次会相加乘积,如果程序多次运行矩阵相乘就会出现数据错误。解决方法:每次进行矩阵相乘的时候把矩阵清空。
    2.矩阵求行列式按循环来写无法确定行列。解决方法:运用递归返回一条斜线的乘积。
    3.矩阵求行列式时一维矩阵和二维矩阵无法求解。解决方法:监视行列如果为1或者2时单独处理。
    4.矩阵求伴随矩阵时,需要求代数余子式。解决办法:通过建立监视变量来判断是否跳过行或列,如果跳过就把代数余子式的下标减一以保证代数余子式的数组连续。
    5.矩阵如果行列式为0时矩阵不可逆。解决方法:判断要逆的矩阵的行列式是不是为零,如果为零则退出。

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    矩阵线性代数笔记整理汇总,超全面

    1. 02矩阵01 ——概念、运算和基本矩阵、对角矩阵、方幂、数量矩阵、转置矩阵、对称矩阵、逆矩阵、奇异矩阵、三角矩阵、矩阵乘积的行列式与秩
    2. 03矩阵02——初等变换与高斯消元法、行阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵、行阶梯形状与方程组解的关系、相抵
    3. 04矩阵03——逆矩阵、逆矩阵的求解、可逆矩阵的判别、伴随矩阵、以及性质、可逆矩阵的等价条件、克拉默法则的另一种推导法、矩阵乘积的秩的性质
    4. 05矩阵04——分块矩阵、分块矩阵的运算、分块矩阵的初等变换、分块初等矩阵的性质、按行分块、按列分块

    矩阵

    1\Large{\color{violet}{例1}} 某工厂的两个分厂都生产三种产品. 在某年第一季度,生产情况如下表:

    image-20210528183431585
    A=(10812151011) A=\left(\begin{array}{ccc} 10 & 8 & 12 \\ 15 & 10 & 11 \end{array}\right)
    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 由数域FF上的mnmn个数 aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)排成m行n列的矩形阵列
    A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)=(aij)m×n \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{12} & \cdots & \boldsymbol{a}_{1 n} \\ \boldsymbol{a}_{21} & \boldsymbol{a}_{22} & \cdots & \boldsymbol{a}_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \boldsymbol{a}_{m 1} & \boldsymbol{a}_{m 2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{m n} \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{a}_{i j}\right)_{m \times n}
    称为 FFmmnn 列矩阵,简记为 m×nm \times n 矩阵 ,,aija_{i j} 称为 AA 的第 ii 行第 jj 列元素或第(i,j)(i, j) 元素.aii(i=1,2,,n)a_{i i}(i=1,2, \ldots, n) 称为 AA 的第 ii 个(主)对角元.

    • 1850年英国数学家西尔维斯特(Sylvester,1814-1897)首先提出矩阵的概念.

    • 1858年英国数学家卡莱(A. Cayley, 1821-1895)建立了矩阵运算规则.

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} 若两个矩阵 A=(aij)m×n,B=(bij)s×tA=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{s \times t} 满足如下条件则称 AABB 相等.
    m=s,n=taij=biji=1,2,,m;j=1,2,,n \begin{array}{l} \boldsymbol{m}=\boldsymbol{s}, \boldsymbol{n}=\boldsymbol{t} \\ \boldsymbol{a}_{i j}=\boldsymbol{b}_{i j} \quad i=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \ldots, \boldsymbol{m} ; \boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \ldots, \boldsymbol{n} \end{array}
    注 具有不同行列数的零矩阵代表不同的矩阵. 例如 O2×3O1×6O_{2 \times 3} \neq O_{1 \times 6}

    加法

    1\Large{\color{violet}{例1}} (续 ) 设第二季度的生产情况用矩阵BB表示 :
    B=(12101014128) B=\left(\begin{array}{ccc} 12 & 10 & 10 \\ 14 & 12 & 8 \end{array}\right)
    则上半年的生产情况可以用矩阵CC表示:
    C=(10+128+1012+1014+1110+1211+8)=(221822252219) C=\left(\begin{array}{ccc}10+12 & 8+10 & 12+10 \\ 14+11 & 10+12 & 11+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}22 & 18 & 22 \\ 25 & 22 & 19\end{array}\right)

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义3} }}A=(aij)m×n,B=(bij)s×tA=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}, \quad B=\left(b_{i j}\right)_{s \times t},它们的加法为
    A+B=(aij+bij)m×n A+B=\left(a_{i j}+b_{i j}\right)_{m \times n}

    (a11a12a21a22a31a32)+(b11b12b21b22b31b32)=(a11+b11a12+b12a21+b21a22+b22a31+b31a32+b32) \left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} \end{array}\right)

    • 运算规则

    交换律: A+B=B+AA+B=B+A

    结合律: (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)

    存在零元: O+A=A+O=AO+A=A+O=A

    存在负元:若 A=(aij)m×n,A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n},B=(aij)m×nB=\left(-a_{i j}\right)_{m \times n},则 A+B=OA+B=O.矩阵BB称为 AA\large{\color{red}{\boxed{\color{green}{{ 负矩阵 }} }}} , 记为 A.-A .

    数乘

    1\Large{\color{violet}{例1}}(续 ) 依据该工厂第一季度的生产情况对应的矩阵 AA, 预测全年生产情况:
    A=(10812151011)B=(10×48×412×415×410×411×4)=(403248604044)=4A \begin{aligned} A &=\left(\begin{array}{ccc} 10 & 8 & 12 \\ 15 & 10 & 11 \end{array}\right) \\ B &=\left(\begin{array}{ccc} 10 \times 4 & 8 \times 4 & 12 \times 4 \\ 15 \times 4 & 10 \times 4 & 11 \times 4 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc} 40 & 32 & 48 \\ 60 & 40 & 44 \end{array}\right)=4 A \end{aligned}
    4\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义4} }}A=(aij)m×nA=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} 为数域 FF 上的 m×nm \times n 矩阵, kFk \in F,则kkAA 的数量乘积为
    kA=(caij)m×n k A=\left(c a_{i j}\right)_{m \times n}

    k×(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)=(ka11ka12ka1nka21ka22ka2nkam1kam2kamn) k \times\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cccc} k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1 n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{m 1} & k a_{m 2} & \cdots & k a_{m n} \end{array}\right)

    用数 kk 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘以kk.

    运算规律
    (k+l)A=kA+lAk(A+B)=kA+kBk(lA)=(kl)A1A=Ak(AB)=(kA)B=A(kB) \begin{array}{l} (\boldsymbol{k}+\boldsymbol{l}) \boldsymbol{A}=\boldsymbol{k} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{k}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\boldsymbol{k} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{k} \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{k}(\boldsymbol{l} \boldsymbol{A})=(\boldsymbol{k} l) \boldsymbol{A} \\ \mathbf{1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{k}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})=(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A}) \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{k} \boldsymbol{B}) \end{array}

    5\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义5} }} nn 维标准单位向量 εi\varepsilon_{i}
    ε1=(100),ε2=(010),,εn=(001) \varepsilon_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \varepsilon_{2}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right), \cdots, \varepsilon_{n}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{array}\right)
    2\Large{\color{violet}{例2}}对于nn维列向量 α=(a1a2an),\alpha=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right),
    α=a1ε1+a2ε2++anεn=i=1naiεi \begin{aligned} \alpha &=a_{1} \varepsilon_{1}+a_{2} \varepsilon_{2}+\ldots+a_{n} \varepsilon_{n} \\ &=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \varepsilon_{i} \end{aligned}

    矩阵的乘法

    6\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义6} }}AAm×km×k 矩阵,BBl×nl×n矩阵,则当且仅当 k=lk=lAA 与 可相乘且 AA 与 的乘积为m×nm \times n 矩阵 C\boldsymbol{C}, 定义如下:

    A=(aij)m×k,B=(bij)l×xA=\left(a_{i j}\right)_{m \times k}, B=\left(b_{i j}\right)_{l \times x}, 则 C=(cij)m×nC=\left(c_{i j}\right)_{m \times n},
    cij=afh1j+aizb2j++aikbkj=s=1kaisbji=1,2,,m,j=1,2,,n \begin{aligned} \boldsymbol{c}_{i j} &=\boldsymbol{a}_{\mathrm{f}} \boldsymbol{h}_{1 j}+\boldsymbol{a}_{i z} \boldsymbol{b}_{2 j}+\cdots+\boldsymbol{a}_{i k} \boldsymbol{b}_{k j} \\ &=\sum_{s=1}^{k} \boldsymbol{a}_{i s} \boldsymbol{b}_{j} \cdot \boldsymbol{i}=\mathbf{1}, 2, \cdots, \boldsymbol{m}, \boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \mathbf{2}, \cdots, \boldsymbol{n} \end{aligned}
    AA(i,j)(i,j)元素等于将 A的第ii行元素与 的第jj列元素分别相乘以后再求和的结果.

    3\Large{\color{violet}{例3}}
    A=[1375],B=[108122] \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 7 & 5 \end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc} 10 & -8 \\ 12 & -2 \end{array}\right] \\

    A×B=[1×10+(3)×121×(8)+(3)×(2)7×10+5×127×(8)+5×(2)]=[26213066] \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc} 1 \times 10+(-3) \times 12 & 1 \times(-8)+(-3) \times(-2) \\ 7 \times 10+5 \times 12 & 7 \times(-8)+5 \times(-2) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -26 & -2 \\ 130 & -66 \end{array}\right]

    4\Large{\color{violet}{例4}}
    A=[312205],B=[130525] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 5 \end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 0 & 5 \\ 2 & 5 \end{array}\right]

    A×B=[3×(1)+1×0+2×23×3+1×5+2×52×(1)+0×0+5×22×3+0×5+5×5]=[1241219]B×A=[1×3+3×(2)1×1+3×01×2+3×50×3+5×(2)0×1+5×00×2+5×52×3+5×(2)2×1+5×02×2+5×5]=[9113100254229] \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc} 3 \times(-1)+1 \times 0+2 \times 2 & 3 \times 3+1 \times 5+2 \times 5 \\ -2 \times(-1)+0 \times 0+5 \times 2 & -2 \times 3+0 \times 5+5 \times 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 24 \\ 12 & 19 \end{array}\right] \\ \boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc} -1 \times 3+3 \times(-2) & -1 \times 1+3 \times 0 & -1 \times 2+3 \times 5 \\ 0 \times 3+5 \times(-2) & 0 \times 1+5 \times 0 & 0 \times 2+5 \times 5 \\ 2 \times 3+5 \times(-2) & 2 \times 1+5 \times 0 & 2 \times 2+5 \times 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -9 & -1 & 13 \\ -10 & 0 & 25 \\ -4 & 2 & 29 \end{array}\right]

    性质

    矩阵乘法不满足交换律,但仍然满足结合律和分配律:

    ABBAA B\neq B A

    乘法的结合律: (AB)C=A(BC)(A B) C=A(B C)

    分配律:A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BCA(B+C)=A B+A C,(A+B) C=A C+B C

    cAB=(cA)B=A(cB)c A B=(c A) B=A(c B)

    对任意 m×nm \times n 矩阵 A,EmA=A=AEnA, E_{m} A=A=A E_{n}

    对任意 m×nm \times n 矩阵 A,OA=O=AOA, O A=O=A O.

    矩阵乘法不适合消去律!

    在这里插入图片描述

    基本矩阵

    对角矩阵

    对角矩阵: A=(a11a22ann)=diag(a11,a22,,ann)aiiA=\left(\begin{array}{llll}a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{n n}\end{array}\right)=\operatorname{diag}\left(a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{n n}\right) \quad a_{i i} 称为 对角元

    :\Large\color{violet}{注: }

    • (1) 对角阵都是方阵
    • (2) 对角线外的元都是 0
    • (3) 对角元不做要求, 可以为 0, 也可以不为 0\mathbf{0}.

    1\Large\color{violet}{例1 }. A=(000)=diag(0,0,0)A=\left(\begin{array}{lll}0 & & \\ & 0 & \\ & & 0\end{array}\right)=\operatorname{diag}(0,0,0)

    单位矩阵

    7\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义7} }} 主对角线上的元素全是 1,其余元素全是 0 的 n×nn \times n 矩阵
    (100010001) \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{array}\right)
    称为 nn 级单位矩阵,记为 En,E_{n}, 或者在不致引含混的时候简单写为 EE或者 II .

    nn级单位矩阵 EE 在矩阵代数中占有很重要的地位 它的作用与 “1”在初等代数中的作用相似.如

    EA=AE=A E A=A E=A

    A=(aij)sn,A=\left(a_{i j}\right)_{s n}, 验证 EsAsm=AsmE_{s} A_{s m}=A_{s m}.

    EsAsm=(100010001)(a11a12a1ma21a22a2mas1as2asm)=(a11a12a1ma21a22a2mas1as2asm)=Asm. E_{s} A_{s m}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s m}\end{array}\right)=A_{s m.}

    方幂

    1. 8\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义8} }} 如果 AAn×nn \times n 级矩阵, 那么, AAA A 有定义 ,AAAmA, \underbrace{A A \cdots A}_{\mathrm{m}个 A} 也有意义, 因此有下述定义:
      AAn×nn \times n 级矩阵, mm 是正整数, mmAA 相乘称为 AAmm 次幂,记为 Am,A^{m},
      Am=AAAmA A^{m}=\underbrace{A A \cdots A}_{m 个A}
      另外还规定, A0=E.A^{0}=E .

    2) 运算规律

    AA 为方阵, k,lk, l 为正整数, 则 AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.A^{k} A^{l}=A^{k+l},\left(A^{k}\right)^{l}=A^{k l} .又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 nn 级矩阵 AABB,一般来说 (AB)kAkBk(A B)^{k} \neq A^{k} B^{k}.

    2\Large\color{violet}{例2}
    A=(λ1λ1λ) A=\left(\begin{array}{lll} \lambda & 1 & \\ & \lambda & 1 \\ & & \lambda \end{array}\right)
    计算 A2,A3,An(n>3)A^{2}, A^{3}, A^{n}(n>3)

    【解】 设 A=λE+BA=\lambda E+B ,其中 EE 为三阶单位方阵, B=(010001000)\quad B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)
    所以 An=(λE+B)nA^{n}=(\lambda E+B)^{n}=λnE+nλn1B+n(n1)2!λn2B2++Bn=\lambda^{n} E+n \lambda^{n-1} B+\frac{n(n-1)}{2 !} \lambda^{n-2} B^{2}+\cdots+B^{n}

    注意到, B2=(001000000),B3=B4==Bn=OB^{2}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \quad, B^{3}=B^{4}=\ldots=B^{n}=O , 因而
    An=λnE+nλn1B+n(n1)2!λn2B2=(λnnλn1n(n1)2λn2λnnλn1λn) \begin{aligned} A^{n} &=\lambda^{n} E+n \lambda^{n-1} B+\frac{n(n-1)}{2 !} \lambda^{n-2} B^{2} \\ &=\left(\begin{array}{ccc}\lambda^{n} & n \lambda^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2} \lambda^{n-2} \\ & \lambda^{n} & n \lambda^{n-1} \\ & & \lambda^{n}\end{array}\right) \end{aligned}

    数量矩阵

    9\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义9} }} 矩阵
    kE=(k000k000k) k E=\left(\begin{array}{cccc} k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & k \end{array}\right)
    称为数量矩阵.

    AA 是一 n×nn \times n 矩阵,则有
    kA=(kE)A=A(kE) k A=(k E) A=A(k E)
    这个式子说明, 数量矩阵与所有的 n×nn \times n 矩阵作乘法是\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{可交换}}}的.

    可以证明 : 如果一个 nn 级矩阵与所有 nn 级矩阵作乘法是可交换的, 那么这个矩阵一定是数量矩阵.关于数量矩阵,还有以下运算性质 :
    kE+lE=(k+l)E(kE)(lE)=(kl)E \begin{array}{l} k E+l E=(k+l) E \\ (k E)(l E)=(k l) E \end{array}
    这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.

    转置矩阵

    10\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义10} }}

     设 A=(a11a12a1na21a22a2nas1as2asn) \text { 设 } \quad A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} \end{array}\right)
    所谓 AA 的转置就是指矩阵
    A=(a11a21as1a12a22as2a1na2nasn) A^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{s 1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{s 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{s n} \end{array}\right)
    矩阵 AA 的转置矩阵也可记为 AT.A^{\mathrm{T}} .

    1. 运算规律

    (AT)T=A(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT(kA)T=kAT \begin{array}{l} \left(A^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=A \\ (A+B)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}} \\ (A B)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} \\ (k A)^{\mathrm{T}}=k A^{\mathrm{T}} \end{array}

    (A1A2As)T=[A1(A2As)]T=(A2As)TA1T==AsTA2TA1T \left(A_{1} A_{2} \cdots A_{s}\right)^{T}=\left[A_{1}\left(A_{2} \cdots A_{s}\right)\right]^{T}=\left(A_{2} \cdots A_{s}\right)^{T} A_{1}^{T}=\cdots \cdots \cdots=A_{s}^{T} \cdots A_{2}^{T} A_{1}^{T}

    3\Large\color{violet}{例3}A=(201132),B=(171423201)A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 7 & -1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right) ,验证 (AB)T=BTAT.(A B)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} .

    【解】 \quad 因为 AB=(201132)(171423201)=(0143171310)A B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 7 & -1 \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 14 & -3 \\ 17 & 13 & 10\end{array}\right)
    所以 (AB)T=(0171413310)\quad(A B)^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}0 & 17 \\ 14 & 13 \\ -3 & 10\end{array}\right)
     又 AT=(210312),BT=(142720131)ATBT=(14212031)(210312)=(0171413310). 故 (AB)T=BTAT \begin{array}{l}\text { 又 } \quad A^{\mathrm{T}}= \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 0 & 3 \\ -1 & 2\end{array}\right), B^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 1\end{array} \right) \\ A^{\mathrm{T}} B^{\mathrm{T}}= \left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 0 & 3 \\ -1 & 2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}0 & 17 \\ 14 & 13 \\ -3 & 10\end{array}\right) . \\ \text { 故 } \quad(A B)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}\end{array}

    对称矩阵

    对称矩阵 A:A=ATA: A=A^{\mathrm{T}}
    A=(a11a12a1na12a22a2na1na2nann) \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}\boldsymbol{a}_{11} & \boldsymbol{a}_{12} & \cdots & \boldsymbol{a}_{1 n} \\ \boldsymbol{a}_{12} & \boldsymbol{a}_{22} & \cdots & \boldsymbol{a}_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \boldsymbol{a}_{1 n} & \boldsymbol{a}_{2 n} & \cdots & \boldsymbol{a}_{n n}\end{array}\right)
    沿着对角线, 对称位置上的元相等 aij=aji,ij,i,j=1,2,,n\boldsymbol{a}_{i j}=\boldsymbol{a}_{j i}, \forall \boldsymbol{i} \neq \boldsymbol{j}, \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}=\mathbf{1}, \boldsymbol{2}, \cdots, \boldsymbol{n}

    反对称矩阵 A:A=ATA: \quad A=-A^{\mathrm{T}}
    A=(0a12a1na120a2na1na2n0) \begin{array}{l}A=\left(\begin{array}{cccc}\mathbf{0} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ -a_{12} & 0 & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ -a_{1 n} & -a_{2 n} & \cdots & 0\end{array}\right)\end{array}
    沿着对角线 ,对称位置上的元相反 : aij=aji,ij,i,j=1,2,,n.a_{i j}=-a_{j i}, \forall i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n .

    4\Large\color{violet}{例4 } 既是对称又是反称的矩阵是怎样的矩阵?

    解: 设 AA 同时是对称与反称矩阵,则
    A 对称 AT=AA 反称 AT=A}A=AA=O \left.\begin{array}{l} A \text { 对称 } \Rightarrow A^{T}=A \\ A \text { 反称 } \Rightarrow A^{T}=-A \end{array}\right\} \Rightarrow A=-A \Rightarrow A=O
    显然零方阵同时对称与反称. 所以题设所求恰为零方阵.

    4\Large\color{violet}{例4 } . 数乘对称矩阵是否仍为对称矩阵?

    • 同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵?
    • 同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵?

    解: 设 A,BA, B 对称, 则
    AT=A(kA)T=kAT=kAkA 对称 AT=A,BT=B(A+B)T=AT+BT=A+BA+B 对称 A=(1220),B=(1111)AB=(1220)(1111)=(3322)AB 不一定对称  \begin{array}{l} A^{T}=A \Rightarrow \quad(k A)^{T}=k A^{T}=k A \quad \Rightarrow\color{red}{ k A \text { 对称 }} \\ A^{T}=A, B^{T}=B \Rightarrow(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=A+B \quad \Rightarrow \color{red}{A+B \text { 对称 } } \\ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \Rightarrow A B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 3 & 3 \\ 2 & 2 \end{array}\right) \Rightarrow \color{red}{ A B \text { 不一定对称 }} \end{array}
    4\Large\color{violet}{例4 }. 设 A,BA, B 均为 nn 阶对称阵,则: ABA B 对称 AB=BA\Leftrightarrow A B=B A.

    证明: " \prime \Rightarrow\prime
    AB 对称 AB=(AB)T=BTATA,B 对称 AT=A,BT=B}AB=BA \left.\begin{array}{rl}\quad A B \text { 对称 } \Rightarrow A B=(A B)^{T}=B^{T} A^{T} \\ A, B \text { 对称 } \Rightarrow A^{T}=A, B^{T}=B\end{array}\right\} \Rightarrow A B=B A
    """ \Leftarrow "
    AB=BAA,B 对称 AT=A,BT=B}(AB)T=BTAT=BA=ABAB \left.\begin{array}{rl} A B=B A \\ A, B \text { 对称 } \Rightarrow A^{T}=A, B^{T}=B\end{array}\right\} \Rightarrow(A B)^{T}=B^{T} A^{T}=B A=A B \Rightarrow A B 对称

    所以: ABA B 对称 AB=BA\Leftrightarrow A B=B A.

    证2: A,B\quad A, B 对称 AT=A,BT=B\Rightarrow A^{T}=A, B^{T}=B

    所以: ABA B 对称 AB=(AB)T=BTAT=BA\Leftrightarrow A B=(A B)^{T}=B^{T} A^{T}=B A

    4\Large\color{violet}{例4 } 对任意方阵 AA, 证明: AAT,ATA,A+ATA A^{T}, A^{T} A, A+A^{T} 都是对称矩阵.

    证明: (AAT)T=(AT)TAT=AATAAT\quad\left(A A^{T}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{T} A^{T}=A A^{T} \Rightarrow A A^{T} 对称

    同理可证 ATAA^{T} A 对称

    (A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+ATA+AT\left(A+A^{T}\right)^{T}=A^{T}+\left(A^{T}\right)^{T}=A^{T}+A=A+A^{T} \quad \Rightarrow A+A^{T} 对称

    思考:设 AABB 同阶反称,则 A+B(AB,AB)A+B(A-B, A B) 对称, 反称?

    证明:对任意方阵A, 必存在对称矩阵B, 反对称矩阵C, 使得A=B+CA=B+C.

    问题 :只有零矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵吗?

    逆矩阵

    11\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义11} }} n\quad n 级方阵 AA 称为可逆的,如果有n级方阵 B,B, 使得
    AB=BA=E , (1) A B=B A=E \text { , } \tag{1}
    这里 EEnn 级单位矩阵.

    12\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义12} }} 如果矩阵 BB 满足 (1),(1), 那么就称为 AA 的逆矩阵,记为 A1A^{-1}. 即
    AA1=A1A=E , (1) A A^{-1}=A^{-1} A=E \text { , } \tag{1}

    奇异矩阵

    当一个矩阵没有逆矩阵的时候,称该矩阵为奇异矩阵。当且仅当一个矩阵的行列式为零时,该矩阵是奇异矩阵。
    A=[abcd],A1=1A[dbca]=1adbc[dbca] A=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right], \quad A^{-1}=\frac{1}{|A|}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]
    adbc=0ad-bc=0A|\mathbf{A}| 没有定义, A-1不存在, A\mathbf{A} 是奇异矩阵。

    A=[1122]A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right] 是奇异矩阵。

    三角矩阵

    上三角矩 阵: (2301011100020001)\quad\left(\begin{array}{cccc}2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)

    下三角矩 阵: (1000240030101211)\left(\begin{array}{cccc}\mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{2} & \mathbf{4} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ -\boldsymbol{3} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{1} & \mathbf{2} & -\mathbf{1} & \mathbf{1}\end{array}\right)

    \Large\color{violet}{注: }

    1. 上三角矩阵是方阵

    2. 对角线下方的元均为0

    3. 对角元,对角线上方的元可以为0

    4. 下三角矩阵是方阵

    5. 对角线上方的元均为0

    6. 对角元,对角线下方的元可以为0

    思考: 哪些矩阵既是上三角 也是下三角矩 , ? (对角矩阵

    线性方程组与矩阵的对应关系

    {2x1+x2x3=1x1+x3=2(1) \left\{\begin{array}{ll}2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{3}=-2\end{array}\right.\tag{1}
    A=(211101)A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) 是方程组(1)的 \large{\color{red}{\boxed{\color{green}{系数矩阵 }}}}

    Aˉ=(21111012)\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2\end{array}\right) 是方程组(1)的 广\large{\color{red}{\boxed{\color{green}{增广矩阵 }}}}

    5\Large\color{violet}{例5 }. 线性方程组的矩阵形式 {a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm.\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} .\end{array}\right.


    A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn),X=(x1x2xn),b=(b1b2bm) A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right), \quad \quad X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)

    方程组可写成:
    AX=(a11x1+a12x2++a1nxna21x1+a22x2++a2nxnam1x1+am2x2++amnxn)=(b1b2bm)=b A X=\left(\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n} \\ \vdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)=b

    方阵的多项式

    f(x)=akxk+a1x+a0f(x)=a_{k} x^{k}+\cdots a_{1} x+a_{0}xx 的多项式, AAnn 阶方阵,规定f(A)=akAk+a1A+a0If(A)=a_{k} A^{k}+\cdots a_{1} A+a_{0} I \quad 称为方阵 AAkk 次多项式.

    6\Large\color{violet}{例6 } : 设 f(x)=x2+2x+3,Af(x)=x^{2}+2 x+3, A 是方阵, 则f(A)=A2+2A+3If(A)=A^{2}+2 A+3 I, 其中 II 是与 AA 阶数相同的单位矩 阵

    结论: 设 A,BA, B 都是 nn 阶方阵,那么对任意多项式 f(x),g(x)f(x), g(x)

    (1)同一方阵的不同多项式可交换:

    • f(A)g(A)=g(A)f(A);f(A) g(A)=g(A) f(A) ; \quad

    (2) 不同方阵的多项式不可交换.

    • 一般地 f(A)g(B)g(B)f(A)f(A) g(B) \not=g(B) f(A);
    • 一般地 f(A)f(B)f(B)f(A)f(A) f(B) \not=f(B) f(A);

    证明思路或反例: (1)(1) 对多项式 f(x)f(x) 的次数用数学归纳法.
    (2)(3) 令 A=(1101),B=(0110),f(x)=x,g(x)=2x (2)(3) \text { 令 } A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), f(x)=x, g(x)=2 x
    7\Large\color{violet}{例7 }A,BA, Bnn 阶方阵,分析何时成立 (A+B)2=A2+2AB+B2?\quad(A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} ?

    解: (A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2\quad(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=A^{2}+A B+B A+B^{2}

    何时等号成立?
    (A+B)2=A2+2AB+B2A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2AB=BA \begin{aligned} (A+B)^{2} &=A^{2}+2 A B+B^{2} \\ & \Leftrightarrow A^{2}+A B+B A+B^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2} \Leftrightarrow A B=B A \end{aligned}