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  • 对角阵的可逆矩阵
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    2020-12-30 20:10:59

    1

    矩阵对角化方法

    摘要:

    本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法,利用矩阵的初等变换,先求出矩阵的特征根与特征向

    量,接着再判断矩阵是否可对角化。

    关键词:

    矩阵

    特征根

    特征向量

    对角化

    The Methods of the Diagonalization of the Matrix

    g

    Abstract:

    In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional

    methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic

    roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.

    Key words:

    Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization

    1

    、引言

    对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性,

    而矩阵对角化方法

    有很多,

    如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵,

    通过配方法将其化为标

    准形从而实现矩阵的对角化,再如通过求解特征根和特征向量方法,首先求解

    0

    |

    |

    A

    E

    得特征根

    i

    ,然后对每一个

    i

    ,解方程组

    0

    )

    (

    X

    A

    E

    i

    得特征向量,即

    寻找一个可逆矩阵

    T

    ,使得

    AT

    T

    1

    ,

    其中

    为对角阵,于是可得

    1

    T

    T

    A

    ,从而

    1

    T

    T

    A

    n

    n

    ,

    在这个对角化过程中,

    中的元素即为矩阵

    A

    的特征根,

    T

    中每个列向

    量即为矩阵

    A

    的属于每个特征根的特征向量。

    本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵

    对角化方法,

    即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角

    形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量,同时判断矩阵是否可对角化。

    2

    、讨论对于有

    n

    个特征单根的

    n

    阶方阵

    1

    .

    2

    基本原理

    引理

    1

    :设

    A

    是秩为

    r

    n

    m

    阶矩阵,且

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  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵对角矩阵。相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...

    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

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  • (果断挖坑) 定理: 对于 n n n 阶矩阵 A A A ,存在一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP 是一个对角矩阵的充要条件是, A A A 有 n n n 个线性无关的特征向量。 设 A A A 的特征向量为 ε 1 , ε...

    理论上的证明我这里就暂时不写了(懒),直接上结论和例题,理论证明等以后在补充吧。(果断挖坑)

    定理:

    对于 n n n 阶矩阵 A A A ,存在一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP 是一个对角矩阵的充要条件是, A A A n n n 个线性无关的特征向量。

    A A A 的特征向量为 ε 1 , ε 2 , ⋯   , ε n \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n ε1,ε2,,εn 对应的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn。取 P = [ ε 1 , ε 2 , ⋯   , ε n ] P=[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n] P=[ε1,ε2,,εn] P − 1 A P P^{-1}AP P1AP 是一个对角矩阵,对角线上的元素为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn

    光说定理也太乏味了,来个例题加深一下理解吧

    例题

    A = [ 0 1 2 1 2 1 2 1 0 ] A=\begin{bmatrix} 0&1&\sqrt{2}\\ 1&\sqrt{2}&1\\ \sqrt{2}&1&0\end{bmatrix} A=012 12 12 10

    1. A A A 的特征值和特征向量
    2. 找到一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP 是一个对角矩阵
    3. A n A^n An 的表达式

    参考答案

    ∣ λ E − A ∣ = λ ( λ + 2 ) ( λ − 2 2 ) = 0 |\lambda E-A| = \lambda(\lambda+\sqrt{2})(\lambda-2\sqrt{2})=0 λEA=λ(λ+2 )(λ22 )=0

    得到 A A A 的特征值为

    λ 1 = − 2 , λ 2 = 2 2 , λ 3 = 0 \lambda_1=-\sqrt{2},\lambda_2=2\sqrt{2},\lambda_3=0 λ1=2 ,λ2=22 ,λ3=0

    对于特征值 λ 1 = − 2 \lambda_1=-\sqrt{2} λ1=2 ,有特征向量 ε 1 = ( 1 , 0 , − 1 ) T \varepsilon_1=(1,0,-1)^{T} ε1=(1,0,1)T
    对于特征值 λ 2 = 2 2 \lambda_2=2\sqrt{2} λ2=22 ,有特征向量 ε 2 = ( 1 , 2 , 1 ) T \varepsilon_2=(1,\sqrt{2},1)^{T} ε2=(1,2 ,1)T
    对于特征值 λ 3 = 0 \lambda_3=0 λ3=0,有特征向量 ε 3 = ( 1 , − 2 , 1 ) T \varepsilon_3=(1,-\sqrt{2},1)^{T} ε3=(1,2 ,1)T

    • 令:

      P = [ ε 1 , ε 2 , ε 3 ] = [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] P =[\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3]= \begin{bmatrix} 1 & 1 &1\\ 0 & \sqrt{2} &-\sqrt{2}\\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} P=[ε1,ε2,ε3]=10112 112 1

      根据前文提到的定理

      P − 1 A P = [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} P1AP=2 00022 0000

      A n = P [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] n P − 1 = [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] [ − 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ] n [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] − 1 = 1 4 [ 1 1 1 0 2 − 2 − 1 1 1 ] [ ( − 2 ) n 0 0 0 ( 2 2 ) n 0 0 0 0 ] [ 2 0 − 2 1 2 1 1 − 2 1 ] = 2 n 4 [ 2 ( − 1 ) n + 2 n 2 ⋅ 2 n ( − 1 ) n + 1 2 + 2 n 2 n 2 2 n + 1 2 n 2 ( − 1 ) n + 1 2 + 2 n 2 ⋅ 2 n ( − 1 ) n 2 + 2 n ] \begin{aligned}A^n &= P\begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^nP^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sqrt{2}&0&0\\ 0&2\sqrt{2}&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix}^{n} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix}^{-1}\\ &=\frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&\sqrt{2}&-\sqrt{2}\\ -1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-\sqrt{2})^n&0&0\\ 0&(2\sqrt{2})^n&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0&-2\\ 1&\sqrt{2}&1\\ 1&-\sqrt{2}&1 \end{bmatrix}\\ & = \frac{\sqrt{2}^n}{4} \begin{bmatrix} 2(-1)^n+2^n&\sqrt{2}\cdot2^n&(-1)^{n+1}2+2^n\\ 2^n\sqrt{2}&2^{n+1}&2^n\sqrt{2}\\ (-1)^{n+1}2+2^n&\sqrt{2}\cdot 2^n&(-1)^n2+2^n \end{bmatrix} \end{aligned} An=P2 00022 0000nP1=10112 112 12 00022 0000n10112 112 11=4110112 112 1(2 )n000(22 )n000021102 2 211=42 n2(1)n+2n2n2 (1)n+12+2n2 2n2n+12 2n(1)n+12+2n2n2 (1)n2+2n


    2021年11月25日21:40:16

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    对角占优矩阵(Diagonally-dominant Matrix)

    作用:它较多出现于经济价值模型和反网络系统的系数矩阵及解某些确定微分方程的数值解法中(来自百度百科

    For some matrices you can see quickly that they are invertible because every number a i i a_{ii} aii on their main diagonal dominates the off-diagonal part of that row i i i

    对角占优矩阵是 可逆的


    例1:

    ∣ a 11 ∣ = 3 > ∣ a 12 ∣ + ∣ a 13 ∣ = 1 + 1 = 2 ∣ a 22 ∣ = 3 > ∣ a 21 ∣ + ∣ a 23 ∣ = 1 + 1 = 2 ∣ a 33 ∣ = 3 > ∣ a 31 ∣ + ∣ a 32 ∣ = 1 + 1 = 2 |a_{11}|=3\gt |a_{12}|+|a_{13}|=1+1=2\\ |a_{22}|=3\gt |a_{21}|+|a_{23}|=1+1=2\\ |a_{33}|=3\gt |a_{31}|+|a_{32}|=1+1=2 a11=3>a12+a13=1+1=2a22=3>a21+a23=1+1=2a33=3>a31+a32=1+1=2

    So A A A is diagonally-dominant ( 3 > 2 3\gt 2 3>2

    例2:

    2 = ∣ a 11 ∣ = ∣ a 12 ∣ + ∣ a 13 ∣ = 1 + 1 = 2 2 = ∣ a 22 ∣ = ∣ a 21 ∣ + ∣ a 23 ∣ = 1 + 1 = 2 3 = ∣ a 33 ∣ > ∣ a 31 ∣ + ∣ a 32 ∣ = 1 + 1 = 2 2=|a_{11}|= |a_{12}|+|a_{13}|=1+1=2\\ 2=|a_{22}|= |a_{21}|+|a_{23}|=1+1=2\\ 3=|a_{33}|\gt |a_{31}|+|a_{32}|=1+1=2 2=a11=a12+a13=1+1=22=a22=a21+a23=1+1=23=a33>a31+a32=1+1=2

    So B B B is NOT diagonally-dominant,but still Invertible d e t ( B ) ≠ 0 det(B)\neq 0 det(B)=0

    例3:

    These column vectors are independent,So C is singular and NOT Invertible

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