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  • 深度学习花书 笔记1-矩阵对角分解、矩阵可逆与最小二乘

    深度学习花书 笔记1-矩阵对角分解、矩阵可逆与最小二乘


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  • 可逆矩阵(定义、充要条件、与初等矩阵)、分块矩阵相似对角化、正交矩阵(定义、充要条件及性质)

    一、可逆矩阵

    1. 定义

    给定一个n方阵A,若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E(或AB=EBA=E任满足一个),E是单位矩阵,则称A可逆,B是A的逆矩阵。

    2. 充要条件

    (⇔表示等价于,在这里把类似角度的条件放一起了)

    (1)定义。AB=E;

    (2)r(A)=n(满秩矩阵)  ⇔   |A|≠0       λ 全不为0;

    (3)PAQ=E(A等价于n阶单位矩阵)       A=P1P2…Pn(可表示成初等矩阵的乘积);

    (4)AX=0 仅有零解   ⇔    AX=b 有唯一解;

    (5)A的行(列)向量组线性无关   ⇔    任一n维向量可由A的行(列)向量组线性表示。

    注:实对称矩阵未必可逆!如对角矩阵diag(1,1,0)。

    《方阵A可逆的充要条件是》https://zhidao.baidu.com/question/513426402.html

    二、初等矩阵

    1. 定义

    指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

    2. 可逆矩阵与初等矩阵

    (1)初等矩阵都是可逆矩阵。

    (2)判断 A 是否是可逆矩阵,有一个充要条件是,A可表示成初等矩阵的乘积。(见1.中链接)现对此做出说明。

    充分性:初等矩阵都是可逆矩阵,是满秩的。而初等矩阵的乘积相当于,对一个最开始的初等矩阵B做了一系列初等行/列变换,而初等变换不改变矩阵的秩,所以该乘积所得矩阵是满秩的,即A可逆。

    必要性:考虑初等行变换法求某矩阵 C 的可逆矩阵,则需要写成 (C | E),然后将左侧变为E,此时右侧的C-1是E经过了多步初等行变换而得,也即是多个初等矩阵的乘积,那么也就是逆矩阵可以表示为多个初等矩阵的乘积。不妨将C-1看作可逆矩阵D,所以可逆矩阵一定可以表示为初等矩阵的乘积。

    《可逆矩阵A总可以表示若干初等矩阵的乘积,怎么证明》https://zhidao.baidu.com/question/985682018865592779.html

    三、分块矩阵

    针对分块矩阵能否相似对角化问题,有如下结论。(证明及例题见链接)

    分块矩阵相似对角化的充要条件是,子块可对角化。所以转为分别求子块的特征值和特征向量,最终将特征向量拼成分块矩阵。

    《分块矩阵的对角化分析》http://mtoutiao.xdf.cn/kaoyan/201611/10564800.html

    四、正交矩阵

    1. 定义

    满足 PP^T=P^{T}P=E 的矩阵。

    2. 充要条件

    (1)定义。PP^T=P^{T}P=E   ⇔   P^{-1}=P^T ;

     

    (2)P由规范正交基组成;

    (3)P^T,P^{-1},P^*,-P 都是正交矩阵。

    3. 性质

    (1)|P|=1 或 -1(由定义得);

    (2)\alpha ^T\alpha =1\alpha ^T\beta =0(由规范正交基得);

    (3)λ=1 或 -1,但具体几重需要另求。

    证明思路[1]. 由P^{-1}=P^T,得\lambda _{P^{-1}}=\lambda _{P^{T}},即1/λ=λ;

    [2]. 逐步化简。

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  • 在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵对角矩阵。相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。...

    在讨论今天的主题之前,我们先给出三类矩阵的定义,分别是相似矩阵、可逆矩阵、对角矩阵。

    相似矩阵:在线性代数中,相似矩阵指的是存在相似关系的矩阵,设A、B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B。

    可逆矩阵:存在n阶矩阵A和n阶矩阵B,使得矩阵A、B的乘积为单位矩阵,则称A为可逆矩阵,B为A的逆矩阵。

    对角矩阵:一个主对角线之外的元素都为0的矩阵。

    根据我的主题,大家也能够想到今天要谈的,便是关于相似矩阵中的可逆矩阵P能否对角化。

    相似矩阵不用多说,大家也清楚,证明两个矩阵相似,便是存在n阶可逆矩阵P,满足上面的定义。

    那么对于判断矩阵A与对角矩阵相似呢,我直接给出定理,这也是书本上提到的。

    n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    话不多说,接下来就给出一道实际的例题,来让大家详细了解一下:

    3f5c99b8c8cc29f83fbc33517acfa0e3.png

    如图所示,这道例题便是告诉我们两个矩阵相似,其中各个矩阵之中都有未知数,让我们通过相似矩阵的性质来求出未知数的值。

    这里笔者当时在做的时候,有个点没有注意到,那便是相似矩阵两者的迹数相等,也就是主对角线上所有元素之和相等,导致我没有列出第一个式子,至于第二个式子,大家也都知道,就是行列式的值相等。

    011821b2b1f59d812b9d40d3b904fc10.png

    这是第二小题的做法,它的目的是让我们求出可逆矩阵P,满足P^(-1)AP是对角矩阵,对于这类题型而言,正如图中所说,是有如下步骤的:

    1、求出全部的特征值,这里因为矩阵A和矩阵B相似,所以求矩阵B的特征值更好求,得到1,1,5。

    2、然后对每一个特征值求特征向量,写出基础解系。

    3、然后代入到可逆矩阵P中,算出答案。

    最后总结一下,对于求相似矩阵包含的未知数而言,最基本最重要的就是记住相似矩阵的性质,而对于求可逆矩阵P而言,最重要的就是知道解题步骤,清楚特征值特征向量该如何使用。

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  • 题目为什么往往要求求正交矩阵,这du也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的zhi之一,是为了求已知矩阵A的n次方,即A^n 因为T^(-1)AT=B(对角阵) 那么A^n=TB^nT^(-1) 由于对角阵B的n次方很好求,所以把A^n转化...

    题目为什么往往要求求正交矩阵,这du也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的zhi之一,是为了求已知矩阵A的n次方,即A^n

    因为T^(-1)AT=B(对角阵)

    那么A^n=TB^nT^(-1)

    由于对角阵B的n次方很好求,所以把A^n转化成B^n    {因为(T^(-1)AT)*(T^(-1)AT)=B*B,即T^(-1)A^(2)T=b^(2),所以可以类推出来,T^(-1)A^(n)T=b^(n),即A^(n)=Tb^(n)T^(-1) }

    但是如果矩阵T只是可逆,那么求它逆需要一定的过程,

    而如果矩阵T是正交矩阵的话,那么它的逆就是它的转置,求起来更加方便 ,

    因此一般来讲对于实对称矩阵,我们都要求要会求其正交矩阵。

    实对称矩阵是矩阵,对的,但是实对称矩阵是一种特殊的矩阵,作为特殊的矩阵,那么除了一般矩阵性质以外还有一些特殊的性质,比如

    1)实对称矩阵的特征值全为实数,

    2)实对称矩阵中属于不同特征值的特征向量必正交。

    3)n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。

    4)实对称矩阵一定可以对角化。

    由性质4可知:对于实对称矩阵,一定存在可逆阵T, 使得T^(-1)AT=对角阵。

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  • 矩阵可逆的条件: 1 秩等于行数 2 行列式不为0,即|A|≠0 3 行向量(或列向量)是线性无关组 4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位 5 齐次线性方程组AX=0 仅有...特征值、特征向量与可对角化条件: 定义:设A 是数域F
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  • 相似矩阵矩阵的相似对角

    万次阅读 多人点赞 2016-10-19 19:12:47
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    千次阅读 2019-09-20 12:18:39
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  • 可逆矩阵的逆

    千次阅读 2016-09-09 11:10:07
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  • 线性代数笔记8:矩阵对角

    万次阅读 多人点赞 2018-04-02 21:33:36
    定义一:若存在可逆矩阵SSS,使得S−1ASS−1ASS^{-1}AS为对角矩阵,则称为矩阵AAA是可对角化的(diagonalized)。 设n×nn×nn\times n矩阵有nnn个线性无关的特征向量x1,...,xnx1,...,xnx_1,...,x_n,令S=(x1,...,...
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  • 矩阵对角

    千次阅读 2015-03-29 10:16:53
    相似矩阵的定义:A、B都是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得P-1AP = B,(注意全文中所有的P-1=P的逆矩阵)则定义矩阵B是矩阵A的相似矩阵或称矩阵A与矩阵B相似。A 进行P-1AP称为A进行相似变换。 相似矩阵有相同...
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  • 22_对角化和矩阵乘幂

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空空如也

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对角阵的可逆矩阵