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  • §10.4 对面积的曲面积分 一、概念的引入 1、引例 我们知道,若为面上具有质量密度为的一块薄片,那么该平面薄片的质量可以由如下二重积分表示 当是一张具有质量密度 的空间曲面时,它也具有质量,那么它的...

    §10.4  对面积的曲面积分

    一、概念的引入

    1、引例

    我们知道,若面上具有质量密度为的一块薄片,那么该平面薄片的质量可以由如下二重积分表示

    是一张具有质量密度  的空间曲面时,它也具有质量,那么它的质量应如何定义和计算呢?显然,解决这一问题的方法仍可用我们曾反复使用过的元素法

    用任意一组曲线将曲面划分成块“小”曲面(既表示第块“小”曲面,也表示它的面积),若面密度函数上连续的条件下,第块“小”曲面的质量近似地为

    其中上的任意一点。

    于是,曲面的总质量近似地为 

    从而  

    这里,表示块“ 小 ”曲面直径中最大者。

    撇开这一实际问题的具体意义,抽出它所蕴含的数学特征,便有如下对面积的曲面积分的概念。

    2、对面积的曲面积分的定义

    设空间曲面是光滑的,函数上有界,用任意一组曲线将划分成个小块( 同时也表示第 小块曲面的面积 ),在第小块上任意取定一点,作和式

    记各小块曲面直径中的最大者, 如果当时,上述和式的极限存在,则称此极限值为函数在曲面对面积的曲面积分,并记作

    ,亦即

    其中:叫做被积函数叫做积分曲面叫做曲面面积元素

    根据上述定义,面密度为连续函数的光滑曲面的质量,可以表示成为函数上对面积的曲面积分

    对面积的曲面积分在物理上表示具有质量分布曲面的总质量,这与二重积分所代表的物理意义是相同的,因此,它有与二重积分相类似的一些性质。

    二、对面积的曲面积分的性质

    1、存在定理

    若曲面是光滑的,函数在曲面上连续,则

    存在。

    2、对曲面的可加性

    可分成两片光滑的曲面( 记作  ),而

      与  

    均存在,则亦存在,且有

    3、

    4、若在曲面上,有 ,则

    三、对面积的曲面积分的计算法

    设曲面由方程给出,它在面上的投影区域为,函数上具有一阶连续偏导数,而被积函数上连续。

    依对面积的曲面积分定义有

    如图,第块小曲面( 它的面积也记作) 在面上投影区域为( 它的面积也记作),则可表示成

    属于曲面,故  

    于是,积分和式可表示成

    由于函数以及函数在闭区域上连续,当时,上式右端的极限与

    的极限是相等的,都等于二重积分

    因此

    这就是对面积的曲面积分化二重积分的计算公式

    注一、公式的记忆方法

    注二、被积函数定义在上,它的自变量取值应满足方程。

    注三、用类似的方法,可导出对面积的曲面积分另外两个计算公式。

    【例1】求为锥面介在之间的部分。

    解法一】取的方程为 

    它在面上的投影区域为  

     

    解法二】取的方程为

    那么面上的投影区域为

    曲面关于面分前后对称的两片,只考虑前面的一片,然后使用对称性即可。

    由此例的两种解法,可总结出对面积的曲面积分计算的两大要点:

    1、给出曲面合适的方程形式

      (   )

    2、找出曲面在相应的坐标面 (或 ) 上的投影区域

     ( 或  )。

    如果曲面方程的选择不适宜,会给投影区域的确定与二重积分的计算造成一定的困难。

    【例2】求均匀曲面的重心坐标。

    解:设面密度为,重心坐标为 ,依重心的定义有

    其中,是曲面的总质量,, , 为曲面对坐标面 的力矩。

    曲面在面的投影区域为  

    曲面的面积元素为

     

     

    故  

    由曲面的对称性,有

     , 

    从而 ,重心坐标为




    §10.5  对坐标的曲面积分

    一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域

    假定我们所讨论的曲面是光滑的,一般来讲,我们所遇到的曲面都是双侧的,曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义,这种取定了法向量也就选定了侧的曲面,我们称之为有向曲面

    是有向曲面,在上取一小块曲面,设的法向量与轴正向的夹角的余弦,面投影区域的面积值。我们规定:面上的投影

    其中也就是的情形。

    简言之:面上的投影,实际就是面上的投影区域的面积附以一定的正负号,即:

    类似地可以定义面及面上的投影

    二、流向曲面一侧的流量

    设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由

    给出,是速度场中的一片有向曲面,函数均在上连续,求单位时间内流向指定侧的流体的质量,即流量

    先讨论一个特殊情况:如果流体流过平面上面积为的一个闭区域,且流体在该闭区域上各点的流速为(常向量),设为该平面的单位法向量。

    显然,在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为,斜高为的斜柱体。

    1、时,这斜柱体的体积为 ,这就是通过闭区域流向所指一侧的流量;

    2、时,显然流体通过闭区域流向所指一侧的流量为零,而

    3、,它表示流体通过闭区域实际上流向所指一侧,且流向所指一侧的流量为。因此,不论为何值,流体通过闭区域流向所指向一侧的流量均为

    再讨论一般情况:流体流过的是一片曲面,且流速是变化的,此时的流量计算不能直接用上述方法,必须使用元素法来处理。

    把曲面分成小块(同时也代表第小块曲面的面积)。在是光滑的和是连续的前提下,只要的直径很小,我们就可以用上任一点处的流速

    代替上其它各点处的流速,以该点
    处曲面的单位法向量

    代替上其它各点处的单位法向量,从而得到通过流向指定侧的流量的近似值为

    于是,通过流向指定侧的流量

    但  

    因此上式又可写成

    取上述和式的极限,就得到流量的精确值。

    这样的极限还会在其它问题中遇到,抽去它们的具体意义,可给出对坐标的曲面积分概念。

    三、对坐标的曲面积分定义及性质

    【定义】设为光滑的有向曲面,函数上有界。把任意分成块小曲面(同时又表示第块小曲面的面积),面上的投影为上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值时,极限

    总存在,则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分,并记作 

    即     

    其中叫做被积函数叫做积分曲面

    类似地可以定义

    函数在有向曲面上对坐标的曲面积分,即

    函数在有向曲面上对坐标的曲面积分,即

    以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分

    我们指出,当在有向光滑曲面上连续时,对坐标的曲面积分是存在的,以后总假定上连续。

    在应用上出现较多的是形式

    为简便起见,我们把它写成

    例如,上述流向指定侧的流量可表示成为

    如果是分片光滑的有向曲面,我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。

    对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分有着相类似的一些性质。

    1、如果把分成,则

                  (1)

    公式(1)可以推广到被分成了几部分的情形。

    2、是有向曲面,表示与取相反侧的有向曲面,则

                                (2)

    (2)式表明:当积分曲面改变为相反侧时,对坐标的曲面积分要改变符号,因此关于对坐标的曲面积分我们必须注意积分曲面所取的侧。

    这些性质的证明从略。

    四、对坐标的曲面积分的计算法

    设积分曲面是由方程所给出的曲面的上侧,面上的投影区域为,假设函数上具有一阶连续偏导数,上连续。

    按对坐标的曲面积分的定义,有

    因为取上侧,,所以

    又因上的一点,故,从而有

    取上式两端的极限,就得到

                             (3)

    这就将对坐标的曲面积分化为了二重积分。

    公式(3)表明:计算对坐标的曲面积分时,只要把其中变量换成方程,然后在的投影区域上计算二重积分就成了。

    必须注意:公式(3)的曲面积分是取在曲面上侧的;如果曲面积分取在曲面下侧,这时,那末

    从而有

                           (3’)

    类似地,如果给出,则有

                           (4)

    等式右端的符号这样决定:若积分曲面是由方程所给出的曲面前侧,即,应取正号;反之,如果取后侧,即,应取负号。

    如果给出,则有

                           (5)

    等式右端的符号这样决定:若积分曲面是方程所给出的曲面右侧,即,应取正号;反之,如果取左侧,即,应取负号。

    【例1】计算曲面积分

    其中是球面外侧在的部分。

    解:分为两部分,则

    上式右端的第一个积分的积分曲面取下侧,第二个积分的积分曲面取上侧,因此分别应用公式(3’)及(3),就有

    其中,利用极坐标计算这个二重积分如下:

    从而  

    五、两类曲面积分之间的联系

    是由方程给出的曲面上侧,由对坐标曲面积分计算公式有

    另一方面,的法向量的方向余弦为

    由对面积的曲面积分计算公式有

    由此可见,有

                              (6)

    如果取下侧,则有

    此时,的法向量的方向余弦应取为

    因此(6)式仍成立。

    类似地,我们可导出关系式

                              (7)

                              (8)

    合并(6),(7),(8)三式,得两类曲面积分之间的如下联系:

        (9)

    其中是有向曲面在点处的法向量的方向余弦。

    若引入记号:

    由(9)式有

    两类曲面积分的关系式可简单地表示为

    我们称  为有向曲面元

    【例2】计算曲面积分

    其中是旋转抛物面介于平面之间部分的下侧。

    解法一:

    由两类曲面积分之间的关系式,有

    利用二重积分的性质,,于是

    解法二:由两类曲面积分的关系式,有

    在曲面上,有

    故    

    再按对坐标曲面积分的计算法,有




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  • 1,第一类曲线积分(对弧长的曲线积分) 1.1 定义 1.2 计算方法 2,第二类曲线积分(对坐标的曲线积分) 2.1 定义 2.2 计算方法 3,两类曲线积分之间的...6,第一类曲面积分(对面积的曲面积分) 6.1 定义 6.2 ...

    1,第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)

    1.1 定义
    在这里插入图片描述
    1.2 计算方法
    在这里插入图片描述

    2,第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)

    2.1 定义
    在这里插入图片描述
    2.2 计算方法
    在这里插入图片描述

    3,两类曲线积分之间的关系

    在这里插入图片描述

    4,格林公式

    格林公式解决的问题:在平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表示。

    在这里插入图片描述

    5,平面上曲线积分与路径无关的条件

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    6,第一类曲面积分(对面积的曲面积分)

    6.1 定义
    在这里插入图片描述
    6.2 计算方法
    在这里插入图片描述

    7,第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)

    7.1 定义
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    7.2 计算方法
    在这里插入图片描述

    8,两类曲面积分之间的关系

    在这里插入图片描述
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    9,高斯公式

    在这里插入图片描述

    10,斯托克斯公式

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    Reference

    高等数学同济大学第六版

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  • 用几种数值积分的方法计算西藏聂荣县面积摘要:利用测量地图所得数据,根据所学插值和数值积分的方法,在MATLAB上画出地图,并计算地图边界曲线积分,将所求积分值代入地图面积推导公式,算出地图所表示的实际面积。...

    用几种数值积分的方法计算西藏聂荣县面积

    摘要:利用测量地图所得数据,根据所学插值和数值积分的方法,在MATLAB上画出地图,并计算地图边界曲线积分,将所求积分值代入地图面积推导公式,算出地图所表示的实际面积。

    关键词:面积,插值,积分,MATLAB

    1.原始数据的测量

    图1是中国西藏聂荣县的地图,为了算出它的土地面积,首先对地图作如下测量:以由西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y轴坐标y1,y2,这样就得到了表1的数据。

    表1 地图边界点数据

    X0 0.9 1.3 1.7 2.1 2.6 3.0 3.2 3.3 3.5 4.0 4.6 5.5 5.5

    Y1 6.5 6.0 5.6 5.6 5.0 4.5 4.2 4.1 4.1 3.9 3.6 3.0 3.4

    Y2 6.5 7.3 7.2 7.3 7.7 7.3

    7.6 9.9 10.1 10.5 10.2 9.8 9.7

    X0 6.0 6.3 6.6 7.0 7.3 7.8 8.1 8.4 8.8 9.3 9.6 10.0 10.2

    Y1 3.5 3.5 3.5 3.4 3.1 3.2 3.4 3.3 3.3 3.8 3.2 2.8 2.5

    Y2 8.8 8.6 8.2 7.7 7.5 7.7 8.2 8.9 8.2 9.7 9.7 9.7 10.0

    X0 10.6 10.8 11.1 11.5 11.7 12.0 12.5 12.9 13.6 14.0 14.5

    Y1 2.2 2.4 2.6 2.0 2.6 2.9 2.9 3.4 1.5 1.1 1.0

    Y2 10.0 10.4 10.3 10.3 10.5 10.5 10.4 10.2 9.6 9.7 8.9

    X0 15.1 15.6 16.1 16.7 17.0 17.5 17.6 17.8

    Y1 0.7 1.9 1.8 2.2 2.6 2.6 2.7 3.0

    Y2 7.9 7.6 5.9 5.8 3.4 3.3 3.2 3.0

    2.面积计算公式的推导

    可把地图看作两条交于最西边界点a和最东边界点b的曲线所围成的图形,记靠南的一条曲线为L1,记靠北的一条曲线为L2。

    首先根据插值法在MATLAB上画出L1、L2的图形,具体做法是:利用表1的数据,把(x0,y1)看作L1上的已知节点,用分段线性插值或者三次样条插值求出a、b之间步长为h=0.1的未知插值点x的插值y01,再用plot函数画出点(x,y01)所连成的曲线即L1;利用表1的数据,把(x0,y2)看作L2上的已知节点,用分段线性插值或者三次样条插值求出a、b之间步长为0.1的未知插值点x的插值y02,再用plot函数画出点(x,y02)所连成的曲线即L2。然后计算曲线L1、L2的积分,并求其差值即为所求地图面积,具体做法是:利用h、y01,根据梯形公式或者辛普森公式求出L1的曲线积分z1,利用h、y02,根据梯形公式或者辛普森公式求出L2的曲线积分z2,两曲线积分之差z2-z1即为所求地图面积。最后根据地图比例尺1:1000000换算出地图所表示的土地实际面积S:

    S=(L2的曲线积分-L1的曲线积分)×100

    =(z2-z1)×100 (平方公里)

    3.MATLAB编程

    3.1用三次样条插值和复化辛普森公式计算:

    >>clear %清除当前工作区的所有变量

    >> x0=[0.9 1.3 1.7 2.1 2.6 3 3.2

    3.3 3.5 4.0 4.6 5.0 5.5 6.0 6.3 6.6 7.0 7.3 7.8 8.1 8.4 8.8 9.3 9.6

    10.0 10.2 10.6 10.8 11.1 11.5 11.7 12.0 12.5 12.9 13.6 14.0 14.5

    15.1 15.6 16.1 16.7 17.0 17.5 17.6 17.8];

    >> y1=[6.5 6.0 5.6 5.6 5.0 4.5 4.2

    4.1 4.1 3.9 3.6 3.0 3.4 3.5 3.5 3.5 3.4 3.1 3.2 3.4 3.3 3.3 3.8 3.2

    2.8 2.5 2.2 2.4 2.6 2.0 2.6 2.9 2.9 3.4 1.5 1.1 1.0 0.7 1.9 1.8 2.2

    2.6 2.6 2.7 3.0]; %已知节点(x0,y1)

    >> y2=[6.5 7.3 7.2 7.3 7.7 7.3 7.6

    9.9 10.1 10.5 10.2 9.8 9.7 8.8 8.6 8.2 7.7 7.5 7.7 8.2 8.9 8.2 9.7

    9.7 9.7 10.0 10.1 10.4 10.3 10.3 10.5 10.5 10.4 10.2 9.6 9.7 8.9

    7.9 7.6 5.9 5.8 3.4 3.3 3.2 3.0]; %已知节点(x0,y2)

    >> h=0.1; %产生插值点的步长

    >>

    x=0.9:h:17.8; %产生插值点x

    >>

    y01=spline(x0,y1,x); %计算L1的三次样条插值

    >> y02=spline(x0,y2,x);

    %计算L2的三次样条插值

    >>

    plot(x,y01,'k',x,y02,'r') %三次样条插值作图

    >> k=length(x);

    >> y011=[y01(2:2:k-1)];

    >> s011=sum(y011);

    >> y012=[y01(3:2:k-1)];

    >> s012=sum(y012);

    >>

    z1=(y01(1)+y01(k)+4*s011+2*s012)*h/3 %用辛普森公式计算L1的积分

    z1 =

    52.3696

    >> y021=[y02(2:2:k-1)];

    >> s021=sum(y021);

    >> y022=[y02(3:2:k-1)];

    >> s022=sum(y022);

    >>

    z2=(y02(1)+y02(k)+4*s021+2*s022)*h/3 %用辛普森公式计算L2的积分

    z2 =

    143.5365

    >>

    S=(z2-z1)*100 %代入面积推导公式

    S =

    9116.6

    ※图略※

    根据三次样条插值方法作图即3.1中图

    3.2用分段线性插值和梯形公式计算:

    >>clear %清除当前工作区的所有变量

    >> x0=[0.9 1.3 1.7 2.1 2.6 3 3.2

    3.3 3.5 4.0 4.6 5.0 5.5 6.0 6.3 6.6 7.0 7.3 7.8 8.1 8.4 8.8 9.3 9.6

    10.0 10.2 10.6 10.8 11.1 11.5 11.7 12.0 12.5 12.9 13.6 14.0 14.5

    15.1 15.6 16.1 16.7 17.0 17.5 17.6 17.8];

    >> y1=[6.5 6.0 5.6 5.6 5.0 4.5 4.2

    4.1 4.1 3.9 3.6 3.0 3.4 3.5 3.5 3.5 3.4 3.1 3.2 3.4 3.3 3.3 3.8 3.2

    2.8 2.5 2.2 2.4 2.6 2.0 2.6 2.9 2.9 3.4 1.5 1.1 1.0 0.7 1.9 1.8 2.2

    2.6 2.6 2.7 3.0]; %已知节点(x0,y1)

    >> y2=[6.5 7.3 7.2 7.3 7.7 7.3 7.6

    9.9 10.1 10.5 10.2 9.8 9.7 8.8 8.6 8.2 7.7 7.5 7.7 8.2 8.9 8.2 9.7

    9.7 9.7 10.0 10.1 10.4 10.3 10.3 10.5 10.5 10.4 10.2 9.6 9.7 8.9

    7.9 7.6 5.9 5.8 3.4 3.3 3.2 3.0]; %已知节点(x0,y2)

    >>

    h=0.1; %产生插值点的步长

    >>

    x=0.9:h:17.8; %产生插值点x

    >>

    y01=interp1(x0,y1,x); %计算L1的分段线性插值

    >>

    y02=interp1(x0,y2,x); %计算L2的分段线性插值

    >>

    plot(x,y01,'k',x,y02,'r') %分段线性插值作图

    >>

    z1=trapz(y01)*h %用梯形公式计算L1 的积分

    z1 =

    52.4750

    >>

    z2=trapz(y02)*h %用梯形公式计算L2的积分

    z2 =

    143.6400

    >>

    S=(z2-z1)*100 %代入面积推导公式

    S=

    9116.50

    ※图略※

    根据分段线性插值方法作图即3.2中图

    4.结果分析

    西藏聂荣县的实际面积是14540平方公里,两种计算方法的结果近似,其中3.1中计算所得面积占实际面积的62.7%,误差还是相当大的,可以从增加已知节点的数目、更准确绘取地图、选取更恰当比例尺方面进行改进。

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  • 在上篇我们圆方程进行积分的时候,为了去掉其中的根号,我们用了三角换元的方法。 这里我们求的是一段半圆弧的积分,然后积分的上下限之差也刚好等于pi,即一个半圆弧的弧度,那么,这个换元跟角度旋转之间...

    这篇我们来研究下如何让多值函数在不拆分的情况下也能进行计算,毕竟曲线情况复杂了之后,拆分不一定是件容易的事情。

    在上篇我们对圆方程进行积分的时候,为了去掉其中的根号,我们用了三角换元的方法。

    这里我们求的是一段半圆弧的积分,然后积分的上下限之差也刚好等于pi,即一个半圆弧的弧度,那么,这个换元跟角度旋转之间是不是隐含了什么特别的关系呢?

    通常情况下,我们说的夹角都是指连线跟x轴正向的夹角。然后用夹角来表示xy坐标的式子一般都是长这个样:

    x=Rcosθ,y=Rsinθ。

    可见x跟余弦相关。这么说,如果上面的换元改成cost而不是sint的话,那出来的结果也许就跟图形实际的几何特性更为贴近了。

    然后我们把被积函数的图像画出来。

    换元之后,积分区间变成0到pi,然后由于它表示从B到A的积分,所以我们看看OB和OA跟x轴正向的夹角。

    OB跟x轴正向完全一致,夹角为0。

    OA跟x轴正向完全相反,夹角为pi。

    艾玛,还真的跟换元后的积分区间完全一致哦。

    以上积分结果为-pi/2。那么,如果我们把圆弧换成下半段,并且不使用分段函数,而是把积分区间换成0到-pi,看看能否得到pi/2这样的一个结果。

     

     

    哈哈,还真的可以。

    也就是说,我们改用角度来积分,就不用再对圆弧进行分段计算了。那么,我们可以再简单点,直接用上面的参数方程x=Rcosθ,y=Rsinθ来进行计算,那连根号都可以给省下来。

    这样的话,对于上半段半圆弧,我们可以这样积分:

     

    下半段与之相似,不再重复。

    如果圆心不在(0,0)点上,那么其参数方程就应该加上圆心坐标,如下所示。

    这样的话,对于上下半段共存的情况,我们算起来也易如反掌了。

    下面我们来算下上篇的这一个图形的面积。

    两条直边的不多说了,它们的积分结果分别是1和0。

    然后我们来算OBA弧的积分,它的圆心为(0,1),半径为1,其参数方程为。

    然后从O到A,角度从-pi/2变化到pi,所以代入积分公式中得到:

    注意到y和x已经是多值函数了,因为在转成参数方程之前已经无法给出积分区间了。

    现在加上两条直边的积分1和0,得到最终的结果为-3/4*pi,它是个负数,说明我们算面积的时候,图形的绕序是逆时针。

    站在初等几何的角度,这是个半径为1的3/4圆,所以面积为3/4*pi。因此,用微积分法得到的结果是正确的!

    经过这两篇的学习之后,我们可以求出带任意圆弧多边形的面积了。至于它能否用于计算其它曲线边的图形,这取决于被挤函数的积分难度。但至少,基于幂函数的贝塞尔曲线,它在参数方程的模式下进行计算是绝对可行的!

    然后我不打算再针对贝塞尔曲线开一篇新的文章了,因为套路完全一致,如果真有需要并且不太懂的,可以在本文下方给我留言。

    在微积分学中,我们都是先学微分再学积分,但我的文章却先把积分的应用放到了前面。这是因为我工作中大量用到微分的例子,它涉及到了一个可能很多朋友都不太熟悉的业务背景,所以就这么开了个头。

    下篇开始,我会用微积分的思想讲解一种方程,它通过一个属性把直线和圆弧给有机统一起来,然后目前最被广泛应用到的地方是绘图软件,AutoCAD数据的使用以及生产领域,敬请期待!

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对面积的曲线积分的计算方法