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  • 本发明属于卫星导航领域,介绍了ADC采样信号中的直流偏置消除方法。背景技术:卫星导航系统在军事和民用领域应用越来越广泛。以GPS卫星导航系统为例,其到地面的信号功率仅为-130dBm,这么微弱的信号非常容易受到...

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    本发明属于卫星导航领域,介绍了ADC采样信号中的直流偏置消除方法。

    背景技术:

    卫星导航系统在军事和民用领域应用越来越广泛。以GPS卫星导航系统为例,其到地面的信号功率仅为-130dBm,这么微弱的信号非常容易受到干扰通常采用空域滤波的方法抑制导航系统的干扰信号。但是在给定的抗干扰指标下,A/D量化误差会带来卫星信号信噪比的损耗,并限制自适应天线的干扰抑制能力。

    以10bits ADC为例具体分析ADC的精度对抗干扰性能指标的影响,如图1所示。卫星导航接收机进行定位解算需要2bit量化噪声,为了防止ADC采样饱和,最高位预留给符号保护位,所以预留给抗干扰处理的有效位数是7bits。ADC采样每位对应的量化功率为6dBm,因此抗干扰信号处理的功率动态范围为6dBm*7=42dBm。另外,信号噪声功率本身比卫星信号大30dBm,所以10位ADC的理论抗干信比达到42dB+30dB=72dB的干扰。

    由以上分析可以看出,ADC的精度会直接影响抗干扰能力的大小。而ADC的直流偏置会引起ADC的量化误差,导致精度下降。假设进入ADC量化器的信号为单频正弦信号,该信号叠加了一个幅度为-A的直流分量后,信号将整体下移,如图2所示。从图2中可以看出,当信号达到量化负向最小电平时,量化器正向量化电平值仍将无法取到,相当于量化电平数减少,同时也等效于量化位数的减少。假设量化器量化位数为N,最大量化电平值为Xm,则;量化间隔为:

    当信号没有限幅时由直流偏置引起的量化电平数为:

    直流偏置量引起的量化器量化电平数的减小量为:

    由式(3)可知,直流偏置量直接影响ADC的有效位数。如果直流偏置量为量化器最大量化电平值的一半,则ADC的有效位数将减少1位。假设ADC量化比特数为16位,则量化器最大电平值为32768,根据式(3)可以得到ADC有效位数减小量与直流偏置之间的关系如图3所示。

    造成ADC直流偏置的原因有很多,诸如电路中的有源器件、信号调制的非理想性、ADC本身的误差以及编码器的编码方式等都会产生直流信号分量。

    技术实现要素:

    为了克服现有技术的不足,本发明提供一种基于带通滤波器的直流偏置量消除方法,通过带通滤波器对信号进行直流偏置量的抑制。

    本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤:

    步骤1,根据卫星导航抗干扰天线中频工作的中心频率f0、带宽B、模数转换器的采样频率Fs以及通带与阻带之间的过渡带宽D计算FIR滤波器归一化的通带第一频率点通带第二频率点阻带第一频率点和阻带第二频率点

    步骤2,设计FIR滤波器在归一化频率范围内的期望幅度响应向量a=[a0,astop1,apass1,apass2,astop2,a1],其中,a0表示在归一化频率点0上的期望幅度响应值;astop1表示在归一化频率点fstop1上的期望幅度响应值;apass1表示在归一化频率点fpass1上的期望幅度响应值;apass2表示在归一化频率点fpass2上的期望幅度响应值;astop2表示在归一化频率点fstop2上的期望幅度响应值;a1表示在归一化频率点1上的期望幅度响应值;a0、astop1、apass1、apass2、astop2和a1的取值范围均为0~1;

    步骤3,采用Parks-McClellan算法设计阶数为N阶的滤波系数,得到FIR滤波器系数向量h(n);

    Y(z)=H(z)X(z)

    步骤4:将h(n)带入中进行卷积运算,成对输入信号中直流信号的滤波处理;其中,x(n)表示滤波器的输入向量,y(n)表示滤波器的输出向量,h(n)表示滤波器的系数向量,N表示滤波器的阶数,k表示滤波器系数向量的下标,X(z)、Y(z)、H(z)分别表示x(n)、y(n)、z(n)对应的Z变换。

    本发明的有益效果是:

    (1)本方法简单易行,适用于各类卫星导航抗干扰天线ADC采样信号的直流偏置去除,具有通用性。

    (2)本发明所设计的滤波器是在FPGA或DSP中通过数字信号处理方法实现的,处理的效果可以通过数据提取分析、判断以及调整,从而克服硬件方式去除直流偏置缺乏灵活性的缺点。

    (3)本文提出的去除直流偏置的方法可以降低硬件设计的复杂性和成本,可广泛应用于工程实践中。

    附图说明

    图1是ADC精度对抗干扰性能指标的影响示意图;

    图2是直流偏置示意图;

    图3是ADC有效位数减小量随直流偏置量的变化关系示意图;

    图4是滤波法消除直流偏置处理过程示意图;

    图5是期望幅度响应向量与归一化频率点对应关系示意图;

    图6是平稳宽带干扰时,四单元抗干扰天线ADC采样原始数据频谱示意图;

    图7是FIR滤波器期望幅度响应示意图;

    图8是FIR滤波器系数示意图;

    图9是FIR滤波器幅度响应示意图;

    图10是四单元抗干扰天线均值法去除直流偏置后的数据频谱示意图。

    具体实施方式

    下面结合附图和实施例对本发明进一步说明,本发明包括但不仅限于下述实施例。

    本发明提供一种基于带通滤波器的直流偏置量消除方法,直流偏置量在频谱上表现为信号的零频分量较大。因此,可以通过带通滤波器对信号进行直流偏置量的抑制(简称滤波消除法)。考虑到FIR滤波器具有线性相位响应特性,因此本文采用FIR带通滤波器对ADC采样信号进行直流偏置量抑制,滤波法消除直流偏置处理过程如图4所示,FIR滤波器在FPGA或DSP中实现。

    滤波器最终输出可以通过以下卷积的形式表示为:

    通过Z变化可以进一步表示为:

    Y(z)=H(z)X(z)

    其中,x(n)表示滤波器的输入向量,y(n)表示滤波器的输出向量,h(n)表示滤波器的系数向量,N表示滤波器的阶数,k表示滤波器系数向量的下标,X(z)、Y(z)、H(z)分别表示x(n)、y(n)、z(n)对应的Z变换。

    由(5)式可见,FIR滤波器是由一个“抽头延迟线”、加法器和乘法器的集合构成,每个乘法器的系数就是一个FIR系数。

    FIR滤波器设计实现步骤如下:

    步骤1:根据卫星导航抗干扰天线中频工作的中心频率f0、带宽B、模数转换器的采样频率Fs以及通带与阻带之间的过渡带宽D(通常取2MHz~4MHz)计算FIR滤波器归一化的通带第一频率点fpass1、通带第二频率点fpass2、阻带第一频率点fstop1和阻带第二频率点fstop2,计算表达式如下:

    步骤2:设计FIR滤波器在归一化频率范围内的期望幅度响应向量a,表达式如下:

    a=[a0,astop1,apass1,apass2,astop2,a1] (10)

    其中,a0表示在归一化频率点0上的期望幅度响应值;astop1表示在归一化频率点fstop1上的期望幅度响应值;apass1表示在归一化频率点fpass1上的期望幅度响应值;apass2表示在归一化频率点fpass2上的期望幅度响应值;astop2表示在归一化频率点fstop2上的期望幅度响应值;a1表示在归一化频率点1上的期望幅度响应值。a0、astop1、apass1、apass2、astop2和a1的取值范围在0~1之间。图5所示为期望幅度响应向量与归一化频率点的对应关系。

    步骤3:根据第一步计算得到的归一化频率点和第二步设计得到的期望幅度响应向量,采用Parks-McClellan算法设计阶数为N阶的滤波系数,得到FIR滤波器系数向量h(n)。

    步骤4:将步骤3得到的滤波器系数向量,带入公式(5)中进行卷积运算,即可完成对输入信号中直流信号的滤波处理。

    以BDS B3系统为例说明基于FIR滤波器进行直流分量去除在抗干扰信号处理中的实施步骤和效果。抗干扰天线采用4阵元天线阵列,BD2B3频点抗干扰天线中频中心频率f0=15.52MHz、采样率Fs=62MHz、工作带宽B=20MHz。干扰射频信号采用π/4DQPSK调制的宽带压制式信号,中心频率为1268.52MHZ,带宽为20MHz。

    图6所示为ADC中频采样信号的频谱,可以看出,每个通道信号中均存在约0dB的直流偏置量。

    步骤1:设计FIR滤波器,其过渡带宽D=1MHz,将频率相关参数代入式(6)、式(7)、式(8)和式(9)分别计算FIR滤波器归一化的通带第一频率点fpass1、通带第二频率点fpass2、阻带第一频率点fstop1和阻带第二频率点fstop2:

    步骤2:设计FIR滤波器在归一化频率范围内的期望幅度响应向量a:

    a=[a0,astop1,apass1,apass2,astop2,a1]=[0,0,1,1,0,0] (15)

    得到FIR滤波器期望幅度响应如图7所示。

    步骤3:根据步骤1计算得到的归一化频率点和步骤2设计得到的期望幅度响应向量a,采用Parks-McClellan算法设计阶数为16阶(K=15)的FIR滤波器。具体实现采用Matlab软件SignalProcessing工具箱的firpm函数得到滤波系数向量b:

    beven=firpm(K,f,a) (16)

    其中,f=[0,0.1458,0.1781,0.8232,0.8555,1]为归一化频率向量,a=[0,0,1,1,0,0]为与归一化频率向量对应的期望幅度响应向量。得到的FIR滤波器系数如图8所示。所设计的FIR滤波器幅度响应如图9所示。

    步骤4:采用所设计的滤波器对图6所示,存在平稳宽带干扰时,四单元抗干扰天线ADC采样原始数据进行滤波处理。图10所示为滤波处理后各通道信号的频谱。对比图6和图10可以看出,采用滤波法处理后,ADC采样信号中的直流偏置量得到了有效地抑制,从0dB降低至约-30dB。

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  • 摘 要:低频小信号放大电路是常用的实用电路,电路中既有线性元件,又有非线性元件,而且直流、交流并存于电路中,因此在...在进行低频小信号放大时,电路中既有直流信号,又有交流信号,因此在分析和设计电路时问题
  • 摘 要:低频小信号放大电路是常用的实用电路,电路中既有线性元件,又有非线性元件,而且直流、交流并存于电路中,因此在...在进行低频小信号放大时,电路中既有直流信号,又有交流信号,因此在分析和设计电路时问题
  • 交流耦合与直流耦合

    千次阅读 2020-10-19 16:16:11
    比如在3V的直流电平上叠加一个1Vpp的弦波,如果用直流耦合,看到的是以3V为基准,+/-0.5V的正弦波;如果用交流耦合,看到的是以0V为基准,+/-0.5V的正弦波。 示波器的输入耦合方式的意思是输入信号的传输方式。  ...

    交流耦合(AC Coupling)就是通过隔直电容耦合,去掉了直流分量  
    直流耦合(DC Coupling)就是直通,交流直流一起过,并不是去掉了交流分量。  
    比如在3V的直流电平上叠加一个1Vpp的弦波,如果用直流耦合,看到的是以3V为基准,+/-0.5V的正弦波;如果用交流耦合,看到的是以0V为基准,+/-0.5V的正弦波。

    示波器的输入耦合方式的意思是输入信号的传输方式。
      耦合是指两个或两个以上的电路元件或电网络等的输入与输出之间存在紧密配合与相互影响,并通过相互作用从一侧向另一侧传输能量的现象;示波器的输入耦合属于信号直接耦合,一般有两种方式,分别是直流模式和交流模式,档位选择上一般还有接地。
      直流模式标注是DC,信号直流部分会经过处理并显示,对应的显示波形是信号全状态;
      交流模式标注是AC,信号直流部分不会显示,对应的显示波形是交流部分;
      接地标注是GND,实际是断开输入并把输入接地,目的还有消除干扰,方便找零点。

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  • 如何将交流电转换为直流电 本文介绍二极管基础知识、桥式整流器,以及如何利用二极管将交流电换为直流电。 二极管 这是二极管的实物图片和电路符号: 二极管 二极管末端的灰色小条纹表示二极管的负极。 什么...

    如何将交流电转换为直流电

    本文介绍二极管基础知识、桥式整流器,以及如何利用二极管将交流电换为直流电。

    二极管

    这是二极管的实物图片和电路符号:

    如何将交流电转换为直流电

    二极管

    二极管末端的灰色小条纹表示二极管的负极。

    什么是二极管?

    二极管是一种只允许电流沿一个方向流动的器件。

    如何将交流电转换为直流电

    只允许单向流动

    因此,如果你给二极管正极输入交流电,负电压将被阻止,在二极管的负极端将会只得到波形的正半部分。这个过程被称为半波整流(Half Wave Rectification)。它也适用于其他带有负电压的波形,比如:方波、三角波等。

    如何将交流电转换为直流电

    正弦波半波整流

    如何将交流电转换为直流电

    方波半波整流

    如何将交流电转换为直流电

    三角波半波整流

    正向压降

    如果你仔细看正弦波的整流波形,会发现波形顶部少了一块:

    如何将交流电转换为直流电

    少了一块

    那是因为完美的二极管是不存在的。所有的二极管都有一个所谓的正向压降(Voltage drop or Vf)。这意味着每当电流正向流过二极管时,电压通常会降低 0.7 伏左右。确切的数字会随着温度、电流和二极管类型而变化,但现在我们当它就是 0.7 伏。

    如何将交流电转换为直流电

    正向压降

    因此,二极管在其两端的电压达到 0.7伏之前不会导通。

    一旦导通,则其两端总会有 0.7 伏的压降。

    如何将交流电转换为直流电

    0.7 伏压降

    对于二极管来说,当输入电压为负时,二极管无法导通,因此输出端电压为 0 伏。

    当输入电压为 0.3 伏时,仍然不足以使二极管导通,因此输出端电压为 0 伏。

    当输入电压为 0.9 伏时,二极管导通,但由于正向压降,在输出端电压为 0.2 伏。

    当输入电压为 10 伏时,在输出端电压为 9.3 伏。

    如何将交流电转换为直流电

    高于 0.7 伏才导通

    额定功率

    二极管还有一个比较重要的参数的额定功率。二极管的功率是用 Vf 乘以流过二极管的电流计算出的。

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    二极管功率计算公式

    所以当电流为 1 毫安时,只有 0.7 毫瓦会因热量流失,问题不大。

    如何将交流电转换为直流电

    0.7mW

    但是当通过二极管的电流达到 3 安培时,将会产生 2.1 瓦的热量,这是非常大的。因此,你要么使用更大功率的二极管,要么使用具有较低正向压降的二极管,如肖特基二极管。

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    2.1W

    开关速度

    二极管最后一个值得注意的参数就是:开关速度(switching speed)。文档中这个参数一般在电器参数(ELECTRICAL CHARACTERISTICS )中,写为反向恢复时间(Reverse Recovery Time),符号为:trr。

    1N4007 是专为低频电力电子设备而设计的,例如家中的 50-60 赫兹的交流市电。

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    二极管速度测试电路

    如何将交流电转换为直流电

    测试二极管开关速度

    频率为 50 赫兹时,一切正常:

    如何将交流电转换为直流电

    1N4007 50 赫兹一切正常

    当交流信号的频率增加到 10 几千赫兹时,二极管开始失效,因为它开始反向导通了:

    如何将交流电转换为直流电

    1N4007 十几 k 赫兹时完蛋了

    这是因为二极管在允许电流正向导通和阻止反向电流之间切换需要一定的时间。不同的二极管拥有不同的切换速度。

    1N4148 的切换速度是:4ns:

    如何将交流电转换为直流电

    1N4148 的切换速度达到 4 纳秒

    用 1N4148 替换上面的 1N4007, 能够支持到 100k 赫兹频率的信号。

    如何将交流电转换为直流电

    1N4148 可以支持到 100 k 赫兹的信号

    对于射频应用,你将需要开关速度更快的二极管。

    当你设计电路时,需要考虑二极管的最大额定电压、正向压降、额定电流和开关速度。

    如何将交流电转换为直流电

    二极管的几个重要参数

    半波整流

    有了上面的知识,就可以用二极管来搭建点东西了。二极管最常见的用途是用来将交流电转换为直流电。下面我们搭建一个非稳压(unregulated)直流电源。

    首先我们需要将家用 220 伏市电降压到更低、更安全的交流电。具体可参考我的另一篇 关于变压器的教程

    如何将交流电转换为直流电

    变压器输出 12 伏交流电

    图中蓝色黄色的线来自变压器的 12 伏输出端。

    负载为零时,变压器输出一个干净的正弦波,峰峰值约为 36 伏,频率为 50 赫兹。

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    干净的正弦波

    二极管上场

    在输出的波形后面加一个 1N4007 二极管,然后测量二极管两端的电压,可以从波形中看到负电压被截断了。

    如何将交流电转换为直流电

    单二极管整流电路

    如何将交流电转换为直流电

    单二极管整流电路

    下面是上面单二极管整流波形图:

    如何将交流电转换为直流电

    单二极管整流波形

    下面是将上面两个波形叠加到一起的效果:

    如何将交流电转换为直流电

    单二极管整流波形

    从技术上讲,我只用一个二极管就将交流电转换成了直流电,因为负电压被消除了。但这个直流电实在是太糟糕了,一半时间是一个奇怪的驼峰电压,一半的时间电压为零,基本没啥用。要想把它变得有用,我们得给它增加一点稳定性。说起稳压,是时候让我们的老朋友电容出场了。我们在输出端加一个电容来稳压。

    电容上场

    我们在二极管后加一个 4.7 微法的电容,立马输出一个完美的电压为 18 伏直流电:

    如何将交流电转换为直流电

    18伏直流电

    一切看上去如此美好,那是因为电路中还没有加上负载。电容通过二极管充电,因为没有负载,电容储存的电荷不会被耗尽。我们给电路加一个 4.7k 的电阻作为负载,看看会发生什么。

    如何将交流电转换为直流电

    4.7k 负载

    通过欧姆定律可以计算出通过负载的电路大约为 4 毫安,18 伏 / 4.7k = 4 毫安。

    CH1 探头还是接在二极管正极,CH2 探头还是接在二极管负极,下图中 CH1 为黄色,CH2 为青色。

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    尴尬了

    4毫安的电流电路就支撑不住了,输出的直流电变为了一个锯齿状剧烈抖动的波形。从上面波形可以看出,当交流输入为正时,二极管允许电流通过,因此电容器充电。但是一旦输入电压降为零,二极管就会阻止电流的反向流动,剩下的唯一能源就是那个微小的 4.7 微法电容器。如图所示,即使在负载很小,它也会很快耗尽。

    怎么解决这个问题?如果我们把电容看作存储电荷的水库的话,我们可以提高水库的容量,以便提供足够的电量给负载使用,直到下一次输入电压再次变为正值。

    更大的电容

    让我们用一个更大的 470 微法电容替换那个微小的一微法电容,看看会发生什么。

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    增大电容

    增大电容到 470 微法后,直流电再次变直了,看上去还不错。现在我们有了一个可以提供几毫安电流的直流电源,这足以为一些传感器和运算放大器供电。

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    看上去还不错

    现在,让我们把负载加大一下。我们把负载电阻增加到 10 欧姆,这会让电路需求的电流增大到一安培多。

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    10欧姆负载波形

    输出电压再次抖动了起来,电压纹波的幅度很大。均方根电压只有 8 伏,因此电路中流过的电流只有大约 0.8 安左右。

    疯狂增加电容

    所以,即使是 470 微法的电容也不够了。我们可以添加更多的电容。

    如何将交流电转换为直流电

    更多的电容

    如何将交流电转换为直流电

    3290uF电容波形

    好多了,现在均方根值电压达到了 10 伏,说明电路中流过的电流大概有 1 安左右,峰峰值由 14 伏降到了 5 伏多。但 5 伏的纹波也确实太大了。我们可以继续增加更多的电容来减小纹波,但如果负载电流继续增大,达到几个安培,那么还得继续增加电容,这简直是个无底洞,不能继续这么搞下去,得另想办法。

    全波整流

    让我们看看下面这个神奇的电路:

    如何将交流电转换为直流电

    整流桥

    它由四个二极管按照一定的顺序排列组合而成,这就是“桥式整流”电路。也称为桥式整流器。

    正半周

    如何将交流电转换为直流电

    正半周

    在正弦波的正半周期,连接到菱形左边的电压为正(红),连接到零星右边的电压为负(蓝)。红蓝两个二极管导通,允许电流正向流动。剩余两个二极管截至,阻止流动通过,相当于断路。电流从上方的端子沿着红色(正)路径往右流到负载,再沿着负载流到输出,返回时沿着蓝色(负)路径回到下方的电源端子。

    负半周

    如何将交流电转换为直流电

    负半周

    现在在正弦波的后半部分,连到菱形左边的输入为负(蓝),连到菱形右边的输入为正(红),电流从下方的端子沿着红色(正)路径往右流到输出,返回时沿着蓝色(负)路径回到下方的电源端子。

    因此,与半波整流削掉交流电负半周不使用它相比,全波整流反转了负半周并使用了它。因此,在输出端会得到 100 赫兹的直流而不是 50 赫兹。

    如何将交流电转换为直流电

    半全波整流对比

    就像前面使用一个二极管进行半波整流时那样,我们也可以用电容器对全波整流的输出进行滤波以获得更加平滑的电压。

    这是笔者使用四个 1N4007 二极管搭建的桥式整理器,输入变压器的 12 伏输出,注意我使用了一个 4.7k 电阻作为负载。因为此时没有用电容器滤波,如果不接入负载直接测量输出波形的话会有变形:

    如何将交流电转换为直流电

    自制整流桥

    从下面的波形中,可以看到之前 50 赫兹的有正有负的电压,经过整流后变为没有负电压的 100 赫兹的恒为正的驼峰型电压。这被称为全波整流,因为我们正在对全交流波进行整流。白色的波形是输入波形,是使用示波器的参考波形功能保存好并调出显示的。因为此时交流和直流没有共同的接地,因此无法同时测量这两个波形。整流后的波形的峰峰值为 16.3 伏,均方根值为 11.2 伏。

    如何将交流电转换为直流电

    整流桥波形

    现在让我们使用一个 470 微法的电容,接上 10 欧姆的负载,看看全波整流表现如何。

    如何将交流电转换为直流电

    全波整流和半波整流对比

    现在我们获得了 10 伏的平均电压,而不是我们之前使用单个二极管获得的 8 伏电压。这是因为全波整流器对电容器充电的速度是半波整流器的两倍。 因为我们充分利用了 50 赫兹交流市电的正负两个半波。

    现在想想这些额外的二极管只需要几毛钱,带来了多大的不同。

    桥式整流器可能有点难以理解,由于这个电路太经典,但它实在是人类智慧的最佳表现形式之一,它的身影也无处不在,学习一下还是有必要的。

    现在让我们看看使用 3290 微法电容滤波的全波整流波形:

    如何将交流电转换为直流电

    整流使用3290uF电容

    均方根值(可以理解为平均值)到了 11.2 伏的电压高于之前使用的 470 微法滤波的 10 伏,电源纹波也由 8.5 伏降低到了 3.72 伏。

    换句话说,桥式整流器与大量电容的组合几乎可以将任何大电流交流电变成大电流直流电。但是要注意,使用的二极管和电容的额定电压必须大于需整流波形的峰值电压。这里全波整流后的波形峰峰值为 16.3 伏,使用额定电压为 25 伏或以上的电容就可以了。

    如何将交流电转换为直流电

    电容额定电压

    有一点需要注意,这些都是未经稳压的直流电源。这意味着即使我们已经成功地消除了很多电压纹波,我们仍然会遇到负载下平均电压变化的问题。

    空载时为 16.4 伏:

    如何将交流电转换为直流电

    空载电压稳定

    1 安培负载电压降到了 11.2 伏:

    如何将交流电转换为直流电

    负载时电压降低

    如果电路中的电流继续增大的话,输出电压还会下降。对于一些宽电压要求的电路来说,这不是问题。但是对于微控制器和其他一些数字电子产品,他们需要非常精确的电压源,为此需要生成所谓的稳压电源。

    如何将交流电转换为直流电

    需要精准电压的器件

    如何将交流电转换为直流电

    线性稳压器典型电路

    咱们下一期再讲稳压电源(Voltage Regulator)。

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  • 1.傅里叶分析方法的理论基础 2 傅里叶分析方法概述基本框架 3 函数/信号的积分 4函数/信号之间的相关性正交 5. 基本正交信号的选择 6.傅里叶分析的基本思路 7 傅里叶分析的9大步骤

    目录

    1. 傅里叶分析方法的理论基础

    2 傅里叶分析方法概述与基本框架

    2.1 信号的频谱与频谱分析

    2.2 傅里叶分析方法的概述

    2.3 傅里叶分析方法的框架

    3 函数/信号的积分

    3.1 函数/信号的积分

    3.2  函数/信号积分为0的物理意义

    4 函数/信号之间的相关性与正交

    4.1 函数之间正交性的定义

    4.2  两个函数正交的本质、意义与作用

    4.2.1 信号检测:检查由无数个相互正交信号叠加后的时域信号中是否有某一特定的信号。

    4.2.2 特征提取:提取检测到的信号的特征

    5.  基本正交信号的选择

    5.1 正弦、余弦信号的正交性

    5.2 基本复指数信号的正交性

    5.3 为什么选择复指数信号作为基本信号?

    6. 傅里叶分析的基本思路

    6.1 时域信号的类型与傅里叶分析的类型

    6.2 傅里叶分析的量化目标

    6.3 傅里叶分析的参数量化模型

    7 傅里叶分析的9大步骤

    步骤1:获取时域信号中直流分量幅度A0

    步骤2:获取时域信号中复指数基波信号的频率ω

    步骤3: 获取时域信号中复指数谐波分量的频率n*ω

    步骤4:获取时域信号中复指数谐波分量的幅度An.x与An.y

    步骤5:获取时域信号中复指数谐波分量的幅度An

    步骤6:获取时域信号中复指数谐波分量的相位θn

    步骤7:组合复指数信号

    步骤8:绘制时域信号的频谱图

    步骤9:绘制时域信号的相位谱图



    1. 傅里叶分析方法的理论基础

    在《深入理解信号的时域与频域,需要从熟悉的声音信号入手》中,得到了这样一个定性的结论:

    任何时域的信号,都可以表示为不同频率的复指数信号(正弦信号)的无限叠加!包括:连续周期信号、离散周期信号、连续非周期信号、离散非周期信号。

    那现在的关键问题是:

    (1)如何通过量化的分析时域信号到达有哪些频率分量信号组成?每个频率分量信号的幅度是多少?信号的相位多大?

    (2)每个组成的基本频率分量信号为什么不是普通的正弦波信号?而必须是复指数正弦波信号?

    这就需要求助于傅里叶分析工具!!!


    2 傅里叶分析方法概述与基本框架

    2.1 信号的频谱与频谱分析

    (1)频谱:频率+幅度

    信号的频谱是信号内在的成分组成。频域频谱是组成的频率分量f为自变量,幅度或强度为因变量的可视化的图形展示。有时候也称为频率信号。

    信号的频谱是信号表示的一种新的表示方法,从频谱可以看到:

    • 这个时域信号内部由哪些频率的谐波分量(正弦分量)组成; 
    • 各个谐波分量的幅度;
    • 各个谐波分量的初始相位;

    幅度和相位的相对大小就反映了各谐波分量对时域信号贡献的大小或所占比重的大小。

    (2)相位谱:频率+相位

    反应各个谐波分量的初始相位的大小。

    我们知道,正弦信号,即使频率相同、幅度相同,但初始相位不同,则信号叠加出来的效果是不一样的,最极端的案例是相差为0和相差为180度。

    相差为0:为同向,信号的幅度是完全累计的。

    相差180°:为反向,信号的幅度是完全抵消的。

    这反应谐波分量的相位对时域信号的影响。

    (3)频谱分析:

    频谱分析即是分析和呈现时域信号内部频谱的工具和方法。

    • 图形法
    • 数学公式法:

    傅里叶分析方法就是一种数学分析方法。

     

    2.2 傅里叶分析方法的概述

    (1)强大的时域和频域分析能力

    不同时域信号内部的频率组成是不一样的,通过统一的傅里叶变换数学工具,可以分析任何时域信号的内部频率组成。

    (2)强大的信号合成与分解能力

    可以把任何时域信号分解成频域的不同频率的信号,也可以把频域的不同的频率的信号合成为任意的时域信号。

    (3)精确的量化能力

    傅里叶不仅仅能否分析时域信号内含多少频率分量F(t),还能够分析不同频率分量的幅度A(t)和相位P(t)。

    频率分量、幅度分量、相位分量,可能是离散的,也可能是连续的!完全精确量化!

     

    2.3 傅里叶分析方法的框架

    在上图中

    (1)信号输入1:时域信号,连续周期信号、离散周期信号、连续非周期信号、离散非周期信号。

    (2)信号输入2:复指数的正弦信号:  ,不同的输入信号,虽然谐波分量的频率的个数是不相同,但相位都为0,幅度都为1.

    (3)系统运算:不同类型的输入信号,傅里叶运算的方法不同,与输入信号的类型一一对应:连续时间傅里叶级数FS、离散时间傅里叶级数DTFS、连续时间傅里叶变换FT、离散时间傅里叶变换DTFT。

    (4)输出信号:不同谐波分量的线性相加,每个谐波分量包括:频率、幅度、相位。傅里叶运算的本质就是精确的量化:

    • 有多少个谐波分量?有哪些谐波分量?谐波分量的数量和数值取决于什么? =》取决于时域信号的周期性(非周期信号的周期无穷大)
    • 每个谐波分量的幅度、相位是多少?通过什么方法和手段量化出每个谐波分量的幅度和相位? =》取决于谐波分量复指数信号与时域信号的卷积。

     


    3 函数/信号的积分

    3.1 函数/信号的积分

    函数的积分:直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分, 可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值(一种确定的实数值)。

    3.2  函数/信号积分为0的物理意义

    线性叠加复合信号中,如果某一分量信号/函数,在某一个积分区间积分为0,表明某个信号分量,无论在积分区间的波形如何变化,其对最终叠加后的复合信号的平均幅度(积分)影响为0,即没有任何影响!

    例如:

    y(t) = f1(t) + f2(t)    =》  y(t) 是两个信号f1(t)和f2(t) 的叠加。

    如果f2(t)的积分为0,即ʃf2(x)=0,则ʃy = ʃ (f1(t) + f2(t) =  ʃ f1(t)

    也就是说,虽然最终信号y(t) 瞬间幅度与 f2(t)有关,是f1(t)和f2(t) 的叠加,

    但信号y(t) 在某个积分区间的平均幅度(积分幅度),实际上与 f2(t)无关,只取决于f1(t)!!!, f2(t) 对叠加后信号的平均幅度影响为0.

    这个结论非常中重要!!!这是正交函数调制互不影响、能够正确解调的理论基础!


    4 函数/信号之间的相关性与正交

    4.1 函数之间正交性的定义

    两个函数/信号的相关性:是通过两个函数相乘以后的积分值来描述的。

    (1)如果函数与自身相乘,在指定区间上的积分不为0。

    (2)如果连个函数相乘之后的函数,在某个区间的积分值为0,则这两个函数是不相关的,即正交的。

    一组函数的性质可以类比矢量的正交,“两个函数相乘再积分” 这个步骤可以类比无数个矢量(在函数区间的采样值)的内积。

    如果两个不同的矢量正交(垂直),则它们的内积为零.如果它们的模长不为零,则一个矢量与自身内积不为零。

    如果给正交函数系中的每个函数的平方进行归一化,则得到:

    这里有几个关键点:

    (1)两个函数的相乘

    (2)对两个函数相乘的结果函数进行积分

    (3)积分的值为0

     

    4.2  两个函数正交的本质、意义与作用

    4.2.1 信号检测:检查由无数个相互正交信号叠加后的时域信号中是否有某一特定的信号。

    假设1:

    一个时域信号是有无数个相互正交的时域信号叠加而成的,例如:

    f1(t)、f2(t) 、f3(t) 、f4(t)......fn(t)为两两正交的函数/信号. n = 1,2,3,4,5,。。。。则任意两个不同的函数相乘后的积分为0.

    时域信号f(t) = f1(t) + f2(t) + f4(t) +  f5(t);

     

    目标1:检查线性叠加后的时域信号f(t)中是否内含f3(t)的信号?

    检测方法:用f3(t)与f(t) 相乘后再积分

    g(t) =\int (f(t) * f3(t))

    g(t)=\int (f1(t) * f3(t)) + \int (f2(t) * f3(t)) + \int (f4(t) * f3(t))

    g(t)= 0 + 0 + 0            //正交函数相乘后的积分为0

    g(t)= 0

    判定结果:g(t)为0,f(t)不含有f3(t)信号。

    f(t) = f1(t) + f2(t) + f4(t) +  f5(t) = A1cos(ωt) + A2cos(2ωt) + A3cos(3ωt) + A4cos(4ωt), 

     

    目标2:检查线性叠加后的时域信号f(t)中是否内含f2(t)的信号?

    检测方法1:用f2(t)与f(t) 相乘后再积分

    g(t) =\int (f(t) * f2(t))

    g(t)=\int (f1(t) * f2(t)) + \int (f2(t) * f2(t)) + \int (f4(t) * f2(t))

    g(t)= 0 + \int (f2(t) * f2(t)) + 0  

    g(t)= \int (f2(t)^2)

    判定结果:g(t)不为0,f(t)含有f2(t)信号。

    f(t) = f1(t) + f2(t) + f4(t) +  f5(t) = A1cos(ωt) + A2cos(2ωt) + A3cos(3ωt) + A4cos(4ωt), 

     

    4.2.2 特征提取:提取检测到的信号的特征

    假设2:

    一个时域信号是有无数个相互正交的时域信号叠加而成的,如:

    • 假设1:f1(t)、f2(t) 、f3(t) 、f4(t)......fn(t)为两两正交的函数/信号. n = 1,2,3,4,5,。。。。则任意两个不同的函数相乘后的积分为0.
    • 假设2:f1(t) = A1cos(ωt); f2(t)=A2cos(2ωt); f3(t)=A3cos(3ωt); f4(t)=A3cos(4ωt);fn(t)=A3cos(nωt);
    • 假设3:时域信号f(t) = f1(t) + f2(t) + f4(t) +  f5(t) = A1cos(ωt) + A2cos(2ωt) + A3cos(3ωt) + A4cos(4ωt), 
    • 假设4:时域波形:

    目标:提取出f2(t)信号的特性,这里是指正弦波的幅度A1.

    检测信号:cos(2ωt),   ω为已知频率。

    方法:积分

    g(t) =\int (f(t) * cos(2wt)))

    g(t)=\int (f1(t) * cos(2wt)) + \int (f2(t) * cos(2wt)) + \int (f4(t) * cos(2wt))

    g(t)= 0 + \int (A2cos(2wt) * cos(2wt)) + 0  

    g(t)= \int A2(cos(2w)^2) = A2\int cos(2wt)^2 

     A2=\int (f(t) * cos(2wt))) / \int cos(2wt)^2

    这样,通过检测信号cos(2ωt),就可以检测出时域信号f(t)中包含cos(2ωt),以及其幅度A2的值。

     

    傅里叶分析正是基于上述正交函数线性叠加后两个重要的特征:函数/信号的检查与特征提取。

    现在的关键和首要问题是:如何给傅里叶分析指定组成时域信号的基本的频域信号,即正交函数!


    5.  基本正交信号的选择

    5.1 正弦、余弦信号的正交性

    在无线通信中,通常使用sin和cos作为最基本的信号,

    决定正弦信号sinx的参数有:频率f、A幅度和初始相位θ0,作为基本信号,令其初始相位θ0=0,幅度A=1,得到sin(ωt) = sin(2πf)。周期T=1/f

    余弦函数cosx是与正弦信号sinx初始相位相差90°,即π/2,因此也统称为正弦信号。

    因此正交信号的关键参数就剩下了频率。假设基准频率为ω1,这样就可以派生出一组频率:1ω1、2ω1、3ω1、4ω1.......,这样就无数个sin和cos函数

    上述函数是完备正交函数集,所谓完备正交函数集,是指任意两个不用频率的信号或同频的sin与cos信号都是两两正交的,即相乘后的积分为0.

     

    5.2 基本复指数信号的正交性

    在傅里叶分析中,选择的不是单路的sin(nωt),也不是单路的cos(nωt)  ; n=1,2,3,4.......

    而是选择的是sin(nωt)+i*cos(nωt)的复指数信号集,包含一系列正交的复指数信号。

    上述的复指数信号

    (1)同频的复指数信号的是实部与虚部是正交的。

    (2)不同频的复指数信号之间是正交的。

    数学表达公式如下:

     

    5.3 为什么选择复指数信号作为基本信号?

    我们知道,复指数信号,在x轴方向的投影为sinx,在y轴方向的投影为cosx。

    为什么不直接选择单路的sinx或单路的cosx信号集呢?这不更简单吗?

    而要选择同频率的两路信号的复指数信号作为基本信号集呢?这不是舍近求远?舍弃简单选择复杂化吗?

    其实这里是有原因的:

    (1)求正弦信号的2个参数:幅度和相位,需要构建2个方程。

    在分析正交信号的特征提取案例中,只涉及到了一个正弦信号的参数,即幅度A,但实际中,确定一个正弦信号除了幅度外,还有初始相位。

    因此一个方程是无法同时确定幅度和相位的。如4.2.2章节案例中,只能获得幅度这个特征值。因此需要两路信号,两个方程,就可以获取两个参数。

    A2=\int (f(t) * cos(2wt))) / \int cos(2wt)^2

     

    (2)通过幅度参数,获取相位参数。

    如上图所示,计算正弦信号幅度和相位有两种方法:

    第一种方法:直接获取复信号的幅度r和初始相位θ:r * sin(nωt+θ0)

    第二种方法:先获取复信号在x轴和y轴方向的投影的幅度a和b。通过a和b的计算,就可以得到复信号的幅度r和初始相位θ。

     

    傅里叶分析采用了后一种方法来确定时域信号中内含的复信号的幅度和相位a*sin(nωt)+i*b*cos(nωt)

    上述两种方法是等价的,但后一种方法是通过计算幅度来计算相位,充分利用复指数数学计算的优点,避免了大量三角函数的计算。

    接来下我们看看,傅里叶是如何量化,时域信号中的频域复指数信号,在x轴和y轴上投影信号cosx和sinx对应的幅度值a和b的。


    6. 傅里叶分析的基本思路

    6.1 时域信号的类型与傅里叶分析的类型

    不同类型的时域信号,会影响复指数信号序列的形式与信号的参数。

    在傅里叶变换中,把时域信号分为如下几种类型以及对应的傅里叶变换。

    在上述四中类型的时域信号中,其中最简单的、最基础性的是:周期连续信号的傅里叶分析。

    因此傅里叶分析由周期连续信号开始,然后扩展的离散信号,在扩展到非周期信号。这是解读各种情形下傅里叶变换的基本思路。

    (1)连续的、周期信号

    时域上任意连续的、周期信号可以分解为无限多个离散的非周期的正交的复指数信号之和,称之为傅里叶级数

     

    (2)非周线信号

    非周期与周期是辨证统一的:当周期当时域信号的周期为无穷大,即T=无穷,周期信号就转化为非周期信号。

    周期无穷,就意味频率接近与0,那么非周期信号的基波频率接近于0,相邻两个谐波频率之间的间隔接近与0.

    非周期信号就可以分解为无限多个连续的正交的复指数信号之和,称之为傅里叶变换

    所谓连续的复指数信号是指:相邻的两个复指数谐波信号的频率间隔接近为0.

     

    (3)离散信号

    连续信号与离散信号是辨证统一的,当离散信号的间隔变成无穷小,离散信号就转化为连续信号。

    离散信号与连续信号的区别,就是用离散累加替代积分

     

    6.2 傅里叶分析的量化目标

    傅里叶分析无非是分别获取时域信号中直流信号的参数:幅度;正弦交流信号的参数:幅度、频率、相位。

    (1)时域信号中直流分量的特性:直流分量的幅度A0;  相当于其中n=0

    (2)时域信号中所有复指数信号基波分量的频率:正弦交流分量的频率ω;  相当于其中n=1

    (3)时域信号中所有复指数信号谐波分量的频率:正弦交流分量的频率ωn = n*ω; 其中n=2,3,4....

    (4)时域信号中所有复指谐波信号在x轴投影信号cosx信号的幅度An.x; 其中n=2,3,4....

    (5)所有复指谐波信号在y轴投影信号sinx信号的幅度:An.y; 其中n=2,3,4....

    6时域信号中所有复指谐波信号的幅度An; 其中n=2,3,4....

    An是根据An.x和An.y间接获得的:

    An=\sqrt{An.x^2 + An.y^2}

    (7)时域信号中所有复指谐波信号的相位θn

    θn是根据An.x和An.y间接获得的:

    An.x = An*cos(θn)

    An.y = An * sin(θn)

     

    最终获得:

       An.x * cos(nωt) + i*An.y*sin(nωt)

    = An *e^j(nωt)

    = An * cos(nωt+θn) ;

     

    6.3 傅里叶分析的参数量化模型

    (1)基本量化模型

    下图是通过傅里叶分析从时域信号中获取谐波分量的幅度特征的基本模型:

     

    是不是似曾相识?是的,这个模型就是从高频已调信号中解调出基带信号的模型!!!

    该模型是利用函数正交性原理,通过指定频率的复指数信号,从时域信号中获取指定频率的复指数信号的特征。

    不同的类型的时域信号,提取复指数信号的谐波分量的实部和虚部系数的模型是相同的,只是计算公式略有差别而已!

    最终会得到如下谐波信号序列:

    An.x * cos(nωt) + i*An.y*sin(n*ωt) ;  {n=....-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.......} , 其中

    n=0时, 谐波频率nωt=0,A0.y=0,A0.x就是直流信号的幅度,简称A0。

    n=1时,谐波频率nωt=ωt,即基波频率

     


     

    (2)An.x和An.y幅度可以为正或负

    根据An.x * cos(nωt) + i*An.y*sin(nωt),

    如果只有正幅度,复指数信号只能是: cosx + i*sinx

    如果幅度可正可负,这就意味着参与构建时域信号的谐波信号的种类增加到4种。

    +cosx + i*sinx

    -cosx  - i*sinx

    +cosx + i*sinx

    -cosx  + i*sinx

    负幅度的引入,把复信号的相位控制有【0,90°】,扩展到了【0,360°】或者说【-180°,180°】

     

    (3)频率nω可正数,可负数

    根据cos(-x) = cos(x); sin(-x) = - sinx.

    对于cosx,负频率与正频率等价的。

    对于sinx,负频率相当于正频率信号的幅度 * -1. 

    复频率的引入,把复信号的相位控制有【0,90°】,扩展到了【-90°,90°】

    因此幅度的符号,已经包含了负频率的效果。

     

    (4)那么为什么还需要负频率?

    主要原因还是因为复指数的数学运算需要:

    \large An*e^{+jwt}} = An.x * cos(wt) + An.y * sin(wt) 

    \large An*e^{-jwt}} = An.x * cos(wt) - An.y * sin(wt)

    \large An*e^{-jwt}} * e^{jwt}} = An * e^{(jwt-jwt)} = An * e^0 = An * 1 = An

    负频率的引入,把三角函数的运算空间可以转化为复指数运算空间,极大的简化了数学运算。

     

    (5)负频率的物理意义

    负频率的引入是解决复指数运算问题 ,但负频率并非没有物理意义。

    • 复指数信号:虚指数函数在三维空间中螺旋函数

    • 正频率: 逆时针旋转

    如下是正频率的复指数信号中实部信号cos(x) 与sin(x)的关系图。

    其物理意义是:

    虚指数函数逆时针旋转时,在x轴方向的投影是余弦函数,

    虚指数函数逆时针旋转时,在y轴方向的投影是正弦函数。

     

    • 负频率:顺时针旋转

    如下是负频率的复指数信号中实部信号cos(-x) 与sin(-x)的关系图。

    \large e^{-jwt}} = cos(wt) - sin(wt)

    其物理意义是:

    虚指数函数顺时针旋转时,在x轴方向的投影是余弦函数,

    虚指数函数顺时针旋转时,在y轴方向的投影是正弦函数。

     

    7 傅里叶分析的9大步骤

    步骤1:获取时域信号中直流分量幅度A0

    直流分量是谐波序号n=0的情形,也是谐波频率=0的情形。

    此时提取的是时域信号中的直流分量的特性,即直流分量的幅度。

    直流分量值只与时域信号在其周期内的积分相关,

    直流分量值与时域信号包含多少复指数的正弦交流信号无关。

    (1)A0是周期信号在整个信号周期积分的平均值。

     

    (2)如果周期信号在一个周期内的积分为0,则表明周期信号没有直流分量。

    (3)如果周期无穷大,就变成非周期信号,直流分量a0就是在整个时间区间内积分的平均值。

     

    步骤2:获取时域信号中复指数基波信号的频率ω

    基波分量是谐波序号n=1的情形。

    复指数信号(正弦信号)基波分量(频率最小,周期最大的正弦信号)的周期T等于时域信号的周期T。

    时域信号中基波分量的频率为:ω=2πf = 2π/T。其中T为时域信号的周期。

    • 周期时域信号的周期越大,频率越小,复指数集中基波信号的频率ω越小。
    • 周期时域信号的周期无穷大时,时域信号就变成了非周期信号,复指数集的基准频率ω也就越接近于0。

     

    步骤3: 获取时域信号中复指数谐波分量的频率n*ω

    谐波分量是基波分量的n倍,一旦基波分量的频率ω确定了,那么谐波分量也就确定了, ωn = n*ω, n=0,1,2,3,4......

    • 时域信号的周期越大,频率越小,复指数集中基波信号的频率ω越小。
    • 时域信号的周期越大,频率越小,复指数集中谐波分量n*ω之间的间隔(也等于ω)越小,也就越密集。
    • 时域信号的周期无穷大时,复指数集的基准频率ω就越接近于0,各个频率分量间隔也接近于0,复指数集也就接近频率连续信号集!

    如下图所示:

     

    步骤4:获取时域信号中复指数谐波分量的幅度An.x与An.y

    (1)解调模型

    (2)数学公式推导

    An=1/T * \int_0^T (x(t) * (cos(-nwt) + sin(-nwt)))

    An = 1/T * \int_0^T (x(t) * (cos(nwt) - sin(nwt)))

    An.x = +1/T * \int_0^T x(t) *cos(nwt) ; n=0,1,2,3,4,5..... 

    An.y = -1/T * \int_0^T x(t) *sin(nwt); n=0,1,2,3,4,5.....

    An.x:用余弦信号cos(n*ωt),与时域信号进行相乘,然后求积分,然后再除以时域信号的周期,根据前面提到的函数正交性原理,就可以获取时域信号中,cos(n*ωt)分量信号的幅度。

    An.y:用余弦信号sin(n*ωt),与时域信号进行相乘,然后求积分,然后再除以时域信号的周期,根据前面提到的函数正交性原理,就可以获取时域信号中,sin(n*ωt)分量信号的幅度。

    上面的运算是不是似曾相识? 是的!这就幅度调制解调的过程!!! 可以参考模拟和幅度幅度调制

    上面的运算是不是似曾相识? 是的!这也是卷积运算的过程!!!cos(n*ωt)和sin(n*ωt)就是算子,是卷积核!!!

    得到上述结果的前提是:假设时域信号中的谐波分量的函数都是正交的!

    因此,时域信号中的复指数谐波分量的幅度,取决于时域信号自身和复指数谐波分量的频率。

     

    (3)关于时域非周期函数

    上述的计算是基于时域周期函数获得的,实际上,随着周期的变大,周线函数逐渐丧失周期性,当周期无穷大时,周期信号变成非周期信号。

    计算公式大体保持不变:

    An.x = +1/2\Pi * \int_{-\infty}^{-\infty} x(t) *cos(nwt) ; n=0,1,2,3,4,5.....

    An.y = -1/2\Pi *\int_{-\infty}^{-\infty} x(t) *sin(nwt); n=0,1,2,3,4,5.....

    只需要做如下的修订:

    • 设定T = 2π,即360°全周期。
    • 积分周期为负无穷到正无穷

     

    步骤5:获取时域信号中复指数谐波分量的幅度An

    An是根据An.x和An.y间接获得的:

    An=\sqrt{An.x^2 + An.y^2}

     

    步骤6:获取时域信号中复指数谐波分量的相位θn

    θn是根据An.x和An.y间接获得的:

    An.x = An*cos(θn)

    An.y = An * sin(θn)

     

    步骤7:组合复指数信号

    在获得复指数相应的参数后,就可以组合成不同格式的时域信号中复指数信号了

    复指数形式:\color{red} An * e^{j(nwt + \Theta 0)}

    复数形式:  \color{red} An.x * sin(nwt) + i * An.y*cos(nwt))

    三角形式:   \color{red} An * cos(nwt + \Theta n)

     

    步骤8:绘制时域信号的频谱图

    根据上面步骤获得的所有谐波分量的频率和其对应的幅度,就可以画出时域信号的频谱图。

    不同时域信号的频谱图是不一样的,这里以周期脉冲信号为例,如下图所示。

    同时展示了周期信号演变非周期信号时,频谱图有离散向连续的转换。

    时域信号的周期越小,频率最大,基波信号的频率越大,谐波信号的频率的间隔就越大,在频谱图上就越离散。

    时域信号的周期越大,频率最小,基波信号的频率越小,谐波信号的频率的间隔就越小,在频谱图上就越密集,密集到无效小,就是连续频谱。

    左边是时域信号,这里实例是周期脉冲信号。

    右边是频域频谱,每个蓝色分量表示该频率信号的幅度。

    正频率表示:逆时针旋转的频率分量

    负频率表示:顺时钟旋转的频率分量

    正负频率是对称的。

     

    步骤9:绘制时域信号的相位谱图

    相位谱图反应的是时域信号中,包含的每个谐波分量的初始相位以及其对应的正弦信号的幅度。

     

    在实际应用中,相位谱图没有频谱图应用广泛。

    在实际的PSK相位调制和QAM的正交幅度调制中,星座图本身就以及包含了相位信息,因此大多数情况下,没有必要再单独画一个相位谱图。

    (1)PSK调制星座图:

    (2)QAM调制星座图:

     

     

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交流信号与直流信号的叠加