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  • 用去求取两个矩阵或者向量之间的交集。 具体形式 C = intersect(A, B); C = intersect(A, B, ‘rows’); [C, ia, ib] = intersect(A, B) 例子 C = intersect(A, B); 两个矩阵或者向量之间,在全局中寻找共有...

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    intersect 函数

    用去求取两个矩阵或者向量之间的交集。

    具体形式

    1. C = intersect(A, B);
    2. C = intersect(A, B, ‘rows’);
    3. [C, ia, ib] = intersect(A, B)

    例子

    C = intersect(A, B);

    两个矩阵或者向量之间,在全局中寻找共有元素;无论A和B是向量还是矩阵,返货的C均为交集向量。矩阵A和B的大小可以不一致

    >> A = randi(9, 3)
    
    A =
    
         5     7     6
         6     3     2
         7     7     2
    
    >> B = randi(9, 4)
    
    B =
    
         5     3     7     2
         9     7     9     2
         4     3     9     3
         6     5     5     8
    
    >> C = intersect(A, B)
    
    C =
    
         2
         3
         5
         6
         7
    

    C = intersect(A, B, ‘rows’)

    这种使用方式表示,以矩阵的每一行作为向量进行求取交集, 并返回A和A所共有的行。
    与上述形式C = intersect(A, B)在求取的方式上有区别。矩阵A和B的列数必须一致。

    >> A = randi(9, 3)
    
    A =
    
         3     9     3
         8     4     6
         3     2     5
    
    >> B = randi(9, 3)
    
    B =
    
         4     5     7
         8     9     7
         6     3     4
    
    >> C = intersect(A, B, 'rows')
    
    C =
    
       空矩阵: 0×3
    
    

    [C, ia, ib] = intersect(A, B)

    ia中存放的是交集矩阵C元素在A矩阵中的位置
    ib中存放的是交集矩阵C元素在B矩阵中的位置

    >> A = randi(9, 4)
    
    A =
    
         2     8     8     4
         3     6     6     1
         2     5     4     3
         2     2     5     2
    
    >> B = randi(9, 4)
    
    B =
    
         2     9     4     8
         3     9     9     4
         4     5     4     3
         1     5     2     4
    
    >> [C, ia, ib] = intersect(A, B)
    
    C =
    
         1
         2
         3
         4
         5
         8
    
    
    ia =
    
        14
         1
         2
        11
         7
         5
    
    
    ib =
    
         4
         1
         2
         3
         7
        13
    
    

    探索篇

    若想求取多个矩阵之间的交集,泽科进行多次利用intersect函数。

    >> A = randi(9, 3)
    
    A =
    
         1     9     3
         2     6     4
         9     1     8
    
    >> B = randi(9, 3)
    
    B =
    
         1     6     5
         1     7     5
         2     6     3
    
    >> C = randi(9, 3)
    
    C =
    
         7     2     8
         2     4     1
         7     6     9
    
    >> D = intersect(A, intersect(B, C))
    
    D =
    
         1
         2
         6
    
    展开全文
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  • 支持向量机(support vector machine)

    千次阅读 2018-05-25 19:51:25
    例题:x,y满足约束条件 x − y + 3 ≤ 0 , 3 x + y + 5 ≤ 0 , x + 3 ≥ 0 x − y + 3 ≤ 0 , 3 x + y + 5 ≤ 0 , x + 3 ≥ 0 x-y+3\le 0, 3x+y+5\le 0, x+3\ge 0 问: z = x + 2 y z = x + 2 y z=x+2y 的最大值...

    支持向量机(Support vector machine)

    支持向量机是一种二分类模型
    基本模型是定义在特征空间上间隔最大化的线性分类器
    学习策略:

    间隔最大化 可形式化为求解一个凸二次规划的问题
    也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题
    支持向量机的学习算法是求解凸二次规划的最优化算法
    

    支持向量机面对不同的数据集 有不同的分类策略

    线性可分支持向量机      硬间隔最大化
    线性支持向量机         软间隔最大化
    非线性支持向量机       核技巧  软间隔最大化
    

    线性可分支持向量机

    考虑一个二分类问题 假设输入空间与特征空间分为两个不同的空间

    输入空间为欧式空间或离散集合
    输出空间为欧式空间或希尔伯特空间
    

    线性可分支持向量机假设这两个空间的元素 一一对应 并将输入空间中的输入映射为特征空间中的特征向量
    非线性支持向量机利用一个从输入空间到特征空间的非线性映射将输入映射到为特征向量
    即: 支持向量机的学习是在特征空间上进行的 输入都有输入空间转化到特征空间

    假设给定一个特征空间上的训练数据集
    T=(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4).....,(xn,yn) T = ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 ) . . . . . , ( x n , y n )
    其中 xχ=Rn,yiY={1,+1},i=1,2,3,....,n x ∈ χ = R n , y i ∈ Y = { − 1 , + 1 } , i = 1 , 2 , 3 , . . . . , n
    xiiyixi x i 为 第 i 个 特 征 向 量 也 称 为 实 例 y i 为 x i 的 类 标 记
    when yi=+1 y i = + 1 时 称 xi x i 为 正 例
    when yi=1 y i = − 1 时 称 xi x i 为 负 例
    (xi,yi) ( x i , y i ) 为样本点 假设训练数据集是线性可分的

    目标: 在特征空间上找到一个分离超平面 能将实例分到不同的类
    分离超平面对应方程: wTx+b=0 w T x + b = 0
    即: 分离超平面由法向量w和截距b(w, b)决定
    该平面可以将特征空间分为两类 一部分为正类 一部分为父类

    特殊情况: 当样本数据集为线性可分时 存在无穷多个可分割超平面
    此时 引入概念间隔最大化来求最优分离超平面 此时分割超平面的解是唯一的

    小扩展:

    什么是法向量?  用方程ax+by+c=d表示的平面 向量(a,b,c)就是其法线
    感知机利用误分类最小的策略 分离超平面
    

    综上:
    给定线性可分训练数据集 通过间隔最大化或等价地求解相应的凸二次规划问题 学习得到分离超平面为 wTx+b=0 w T x + b = 0
    以及相应的分类决策函数 f(x)=sign(wTx+b) f ( x ) = s i g n ( w T x + b )
    间隔最大化以及相应的约束最优化问题

    小扩展:
    什么是线性规划问题?
    例题:x,y满足约束条件 xy+30,3x+y+50,x+30 x − y + 3 ≤ 0 , 3 x + y + 5 ≤ 0 , x + 3 ≥ 0
    问: z=x+2y z = x + 2 y 的最大值为?

    函数间隔与几何间隔

    函数间隔

    一个点距离分离超平面的远近可以表示为分离预测的确信程度
    在超平面 wTx+b=0 w T x + b = 0 确定的情况下 (wtx+b) ( w t x + b ) 能够相对表示点x距离超平面的远近
    wT+b w T + b 的符号与类标记 y的符号是否一致能够表示分类是否正确
    所以可用 y(wT+b) y ( w T + b ) 来表示分类的正确性及确信度 —- 这就是函数间隔的概念

    定义: 对于给定的训练集 T T 和超平面(w, b) 定义超平面(w,b)关于样本点(x_i, y_i)的函数间隔为:
     r^i=yi(wTxi+b)
    定义超平面 (wb) ( w , b ) 关于训练集 T T 的函数间隔为超平面(w,b) 关于T中所有样本点(x_i, y_i)的函数间隔最小值为:
    r^i=mini=1,2,...,nr^i r ^ i = min i = 1 , 2 , . . . , n r ^ i
    问题: 只要成比例改变(w,b) 那么函数间隔 r^i r ^ i 之间的间隔也会成比例的改变
    解决方法:对分离超平面的法向量加以约束 函数间隔变为几何间隔

    几何间隔

    超平面(w, b)法向量w 点A表示某一实例 xi x i 某类标记为 yi=+1 y i = + 1 ,那么点A与超平面(w, b)的距离为:
       ri=wTx||w||+b||w|| r i = w T x | | w | | + b | | w | |
       ||w||wL2 | | w | | : 法 向 量 为 w 的 L 2 范 数 向 量 大 小
    如果 xi x i 为负例 那么 yi=1 y i = − 1 该点与超平面的距离为
       ri=wTx||w||+b||w|| r i = − ( w T x | | w | | + b | | w | | )

    间隔最大化

    间隔最大化的直观解释 在训练数据集中找到几何间隔最大的超平面意味着以充分大的确信度 对训练数据进行分类
    实质上 最大间隔分离超平面的问题 —-> 就是约束最优化问题
    maxw,brs.t.yiwTx||w||+b||w||r,i=1,2,3,....,N max w , b r s . t . y i ( w T x | | w | | + b | | w | | ) ≥ r , i = 1 , 2 , 3 , . . . . , N
    即: 期望最大化超平面(w, b)关于训练集的几何间隔 r r
    约束条件表示的是: 超平面(w, b)关于每个训练样本点的几何间隔至少是r

    进一步化简该公式:
    maxw,br||w||s.t.yiwTx+br,i=1,2,3,....,N
    函数距离 r r 随着(w, b)成比例的缩放而变大变小 因此函数间隔的取值并不影响最优化问题的解

    再化简为
    maxw,b1||w||s.t.yiwTx+b1,i=1,2,3,....,N

    即:求 1||w|| 1 | | w | | 在满足约束条件 s.t.yiwTx+b1,i=1,2,3,....,N s . t . y i ( w T x + b ) ≥ 1 , i = 1 , 2 , 3 , . . . . , N 时的最大值

    因此转化问题为:
    minw,b12||w||2s.t.yiwTx+b10,i=1,2,3,....,N min w , b 1 2 | | w | | 2 s . t . y i ( w T x + b ) − 1 ≥ 0 , i = 1 , 2 , 3 , . . . . , N
    实质上 该问题是一个凸二次优化问题

    小扩展:

    凸优化

    什么是凸优化?

    $~~~~$目标函数f(x)和约束函数g(x)都是R上连续可微的凸函数
    $~~~~$约束函数是R^n 上的仿射函数
    

    凸函数的几个重要概念
    凸集 凸优化问题 线性规划 二次规划 二次约束规划 半正定规划

    凸函数与非凸函数

    这里写图片描述

    凸集定义

       几何定义: 如果集中C中任意2个元素连线上的点也在集合C中 则C为凸集
    常见的凸集有: n维实数空间; 一些范数约束形式的集合; 仿射子空间;凸集的交集;n维半正定矩阵集合

    凸函数的定义

      几何意义: 表示为函数任意两点连线上的值大于自变量处的函数值
    凸函数的一阶充要条件为:
    f(y)f(x)+xf(x)T(yx) f ( y ) ≥ f ( x ) + ▽ x f ( x ) T ( y − x ) 其中要求 f(x) f ( x ) 为一阶可微
    二阶充要条件为: 2xf(x)0 ▽ x 2 f ( x ) ≥ 0
    其中要求 f(x) f ( x ) 为二阶可微 表示二阶导数需大于0才是凸函数

    凸优化问题

      即: 要求目标函数为凸函数 变量所属集合是凸集合的优化问题 目标函数是凸函数变量的约束函数是凸函数(不等式约束), 或者仿射函数(等式约束)
    对于凸优化问题来说, 局部最优解就是全局最优解
    常见的凸优化问题
    (1)线性规划问题
    (2)二次规划问题
    (3)二次约束的二次规划
    (4)半正定规划

    小扩展

    约束最优化问题

    指具有约束条件的非线性规划问题
    极小化问题的一般形式为 (例子)
    minw,b12||w||2s.t.yiwTx+b10,i=1,2,3,....,N min w , b 1 2 | | w | | 2 s . t . y i ( w T x + b ) − 1 ≥ 0 , i = 1 , 2 , 3 , . . . . , N

    仅仅有等式约束条件的约束是最优化问题
    解题思路:消元法 拉格朗日乘子法或罚函数法
    将其转化为无约束最优化问题求解

    对于含有等于约束和不等式约束约束条件的最优化问题
    可采用:
        将不等式约束化等式约束
        将约束问题化为无约束问题
        将非线性规划问题用线性逼近的方法来近似求解
        在可行域中沿某一方向做一维搜索 寻求最优解

    对于此类问题重点掌握: 拉格朗日乘数法
    例题: 带有不等式约束的最优化问题
    minf(d1,d2)=d21+d222d2+2s.t.d21+d224 min f ( d 1 , d 2 ) = d 1 2 + d 2 2 − 2 d 2 + 2 s . t . d 1 2 + d 2 2 ≤ 4
    (1)首先先出拉格朗日函数
    g(d1,d2,λ,η)=f(d1,d2)+λ(d21+d224+η2) g ( d 1 , d 2 , λ , η ) = f ( d 1 , d 2 ) + λ ( d 1 2 + d 2 2 − 4 + η 2 )
    λ: λ : 拉格朗日乘子法
    η: η : 是一个松弛变量
    (2)对四个未知量求导: 2ηλ=0d21+d224+η2=02d1+2λd1=0λ0 2 η λ = 0 d 1 2 + d 2 2 − 4 + η 2 = 0 2 d 1 + 2 λ d 1 = 0 λ ≥ 0
    d1+λd1=0 d 1 + λ d 1 = 0 知, d1=0 d 1 = 0 , ηλ=0 η λ = 0 情况需要分开判断
    假设 λ=0d2=1η=3 λ = 0 则 d 2 = 1 η = 3
    λ>0η=0η<0 λ > 0 则 η = 0 与 η < 0 矛 盾

    学习的对偶算法

    构建拉格朗日函数

    原始问题与拉格朗日函数
    将约束最优化问题推导为拉格朗日函数 引入广义拉格朗日函数
    minw,b12||w||2s.t.yiwTx+b10,i=1,2,3,....,N min w , b 1 2 | | w | | 2 s . t . y i ( w T x + b ) − 1 ≥ 0 , i = 1 , 2 , 3 , . . . . , N
    即:
    L(w,b,α)=12||w||2+i=1Nαiyi(wTxi+b)i=1Nαi==12||w||2i=1Nαiyi(wTxi+b)+i=1Nαi L ( w , b , α ) = 1 2 | | w | | 2 + ∑ i = 1 N α i y i ( w T x i + b ) − ∑ i = 1 N α i == 1 2 | | w | | 2 − ∑ i = 1 N α i y i ( w T x i + b ) + ∑ i = 1 N α i
    根据拉格朗日对偶性,原始问题对偶问题是极大极小问题
      为了得到对偶问题的解 需要先求 L(w,b,α)(w,bα L ( w , b , α ) 对 ( w , b ) 的 极 小 , 再 对 α 求 极 大

    (1)求 minw,bL(w,b,α) min w , b L ( w , b , α ) , 并带入原拉格朗日函数
    得: w=i=1Nαiyixii=1Nαiyi=0 w = ∑ i = 1 N α i y i x i ∑ i = 1 N α i y i = 0
    带入原拉格朗日函数:
    L(w,b,α)=12i=1Nj=1Nαiαjyiyj(xixj)+i=1Nαi L ( w , b , α ) = − 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α i α j y i y j ( x i ∗ x j ) + ∑ i = 1 N α i

    (2)求 minw,bL(w,b,α)α min w , b L ( w , b , α ) 对 α 的 极 大 , 即 为 对 偶 问 题
    即原问题:
    maxα12i=1Nj=1Nαiαjyiyj(xixj)+i=1Nαis.t.i=1Nαiyi=0αi0,i=1,2,.....,N max α − 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α i α j y i y j ( x i ∗ x j ) + ∑ i = 1 N α i s . t . ∑ i = 1 N α i y i = 0 α i ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . . . , N
    该函数转化为极大求极小
    minα12i=1Nj=1Nαiαjyiyj(xixj)i=1Nαis.t.i=1Nαiyi=0αi0,i=1,2,.....,N min α 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α i α j y i y j ( x i ∗ x j ) − ∑ i = 1 N α i s . t . ∑ i = 1 N α i y i = 0 α i ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . . . , N

    此时KKT条件为: wL(w,b,α)=wi=1Nαiyixi=0bL(w,b,α)=i=1Nαiyi=0αi(yi(wxi+b)1)=0,i=1,2,....,Nyi(wxi+b)10,i=1,2,...,Nαi0,i=1,2,...,N ▽ w L ( w ∗ , b ∗ , α ∗ ) = w ∗ − ∑ i = 1 N α i ∗ y i x i = 0 ▽ b L ( w ∗ , b ∗ , α ∗ ) = − ∑ i = 1 N α i ∗ y i = 0 α i ∗ ( y i ( w ∗ x i + b ∗ ) − 1 ) = 0 , i = 1 , 2 , . . . . , N y i ( w ∗ x i + b ∗ ) − 1 ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . , N α i ∗ ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . , N

    小扩展

    KKT条件

    (广)f(x)ci(x)hj(x)仿()Cj(x)x,α,βKKT 对 原 始 问 题 和 对 偶 问 题 ( 将 广 义 拉 格 朗 日 函 数 的 极 大 极 小 问 题 表 示 为 约 束 最 优 化 问 题 ) , 假 设 函 数 f ( x ) 和 c i ( x ) 是 凸 函 数 ( 不 等 式 约 束 ) , h j ( x ) 是 仿 射 函 数 ( 等 式 约 束 ) 并 且 不 等 式 约 束 C j ( x ) 是 严 格 可 行 的 , 则 x ∗ , 和 α ∗ , β ∗ 分 别 是 原 始 问 题 和 对 偶 问 题 的 解 的 充 分 必 要 条 件 是 满 足 K K T 条 件
    :minxRNf(x)s.t.ci(x)0,i=1,2,...,Khj(x)=0,j=1,2,...,K 原 始 问 题 : min x ∈ R N f ( x ) s . t . c i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , 2 , . . . , K h j ( x ) = 0 , j = 1 , 2 , . . . , K
    (广)maxα,βθ0(α,β)=maxα,βminxL(x,α,β)s.t.αi0,i=1,2,...,N 对 偶 问 题 ( 将 广 义 拉 格 朗 日 函 数 的 极 大 极 小 问 题 表 示 为 约 束 最 优 化 问 题 ) max α , β θ 0 ( α , β ) = max α , β min x L ( x , α , β ) s . t . α i ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . , N
    KKT:xL(x,α,β)=0αL(x,α,β)=0βL(x,α,β)=0αiCi(x)=0,i=1,2,3,....,N:KKTαI0,Ci(x)=0Ci(x)=0,i=1,2,....,Nαi0,i=1,2,.....,Nhj(x)=0,i=1,2,.....,N K K T 条 件 为 : ▽ x L ( x ∗ , α ∗ , β ∗ ) = 0 ▽ α L ( x ∗ , α ∗ , β ∗ ) = 0 ▽ β L ( x ∗ , α ∗ , β ∗ ) = 0 α i ∗ C i ( x ∗ ) = 0 , i = 1 , 2 , 3 , . . . . , N 此 为 : K K T 的 对 偶 互 补 条 件 由 此 可 知 若 α I ∗ ≥ 0 , 则 C i ( x ∗ ) = 0 C i ( x ∗ ) = 0 , i = 1 , 2 , . . . . , N α i ≥ 0 , i = 1 , 2 , . . . . . , N h j ( x ∗ ) = 0 , i = 1 , 2 , . . . . . , N

    线性支持向量机

    线性支持向量机中存在部分样本点不符合约束条件 yi(wTxi+b)1 y i ( w T x i + b ) ≥ 1
    线性可分问题的支持向量机的学习方法, 对线性不可分训练数据是不适用的
    解决方法:修改硬间隔最大化 , 转为软间隔最大化
    对每个样本点引进一个松弛变量 ξi ξ i ,目标函数由原来的 12||w||2 1 2 | | w | | 2 变为 12||w||2+Ci=1Nξi 1 2 | | w | | 2 + C ∑ i = 1 N ξ i
    C C 称为惩罚参数, 一般由应用问题决定, C值大时对误分类的惩罚增大, C C 值小时, 对误分类惩罚减小
    最小化目标函数包含两层含义:
    (1) 使得12||w||2尽量小,即间隔尽量大
    (2) 同时使得误分类点的个数尽量小

    原始问题:
    minw,b,ξ12||w||2+Ci=1Nξis.t.yi(wTxi+b)1ξi,i=1,2,......,Nξi0 min w , b , ξ 1 2 | | w | | 2 + C ∑ i = 1 N ξ i s . t . y i ( w T x i + b ) ≥ 1 − ξ i , i = 1 , 2 , . . . . . . , N ξ i ≥ 0
    原始问题的对偶问题:
    minα12i=1Ni=1Nαiαjyiyj(xixj)i=1Nαis.t.i=1Nαiyi=00αiC,i=1,2,.....,N min α 1 2 ∑ i = 1 N ∑ i = 1 N α i α j y i y j ( x i ∗ x j ) − ∑ i = 1 N α i s . t . ∑ i = 1 N α i y i = 0 0 ≤ α i ≥ C , i = 1 , 2 , . . . . . , N

    原始最优化问题的拉格朗日函数
    L(w,b,ξ,α,μ)=12||w||2+Ci=1Nξii=1Nαi(yi(wTxi+b)1+ξi)i=1Nμiξiαi0,μi0 L ( w , b , ξ , α , μ ) = 1 2 | | w | | 2 + C ∑ i = 1 N ξ i − ∑ i = 1 N α i ( y i ( w T x i + b ) − 1 + ξ i ) − ∑ i = 1 N μ i ξ i 其 中 , α i ≥ 0 , μ i ≥ 0

    对偶问题是拉格朗日函数极大极小问题
    (1) L(w,b,ξ,α,μ)w,α,ξ 首 先 求 L ( w , b , ξ , α , μ ) 对 w , α , ξ 的 极 小 值
    由: wL(w,b,ξ,α,μ)=wi=1Nαiyixi=0bL(w,b,ξ,α,μ)=i=1Nαiyi=0ξL(w,b,ξ,α,μ)=Cαiμi=0 ▽ w L ( w , b , ξ , α , μ ) = w − ∑ i = 1 N α i y i x i = 0 ▽ b L ( w , b , ξ , α , μ ) = − ∑ i = 1 N α i y i = 0 ▽ ξ L ( w , b , ξ , α , μ ) = C − α i − μ i = 0
    得: w=i=1Nαiyixii=1Nαiyi=0Cαiμi=0 w = ∑ i = 1 N α i y i x i ∑ i = 1 N α i y i = 0 C − α i − μ i = 0
    带入原拉格朗日函数:
    L(w,b,ξ,α,μ)=12i=1Nj=1Nαiαjyiyj(xixj)+i=1Nαi L ( w , b , ξ , α , μ ) = − 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α i α j y i y j ( x i ∗ x j ) + ∑ i = 1 N α i

    (2)求 minw,b,ξL(w,b,ξ,α,μ)α min w , b , ξ L ( w , b , ξ , α , μ ) 对 α 的 极 大 , 即 为 对 偶 问 题
    即原问题:
    maxα12i=1Nj=1Nαiαjyiyj(xixj)+i=1Nαis.t.i=1Nαiyi=00αiC,i=1,2,.....,N max α − 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α i α j y i y j ( x i ∗ x j ) + ∑ i = 1 N α i s . t . ∑ i = 1 N α i y i = 0 0 ≤ α i ≤ C , i = 1 , 2 , . . . . . , N

    该函数转化为极大求极小
    minα12i=1Nj=1Nαiαjyiyj(xixj)i=1Nαis.t.i=1Nαiyi=00αiC,i=1,2,.....,N min α 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N α i α j y i y j ( x i ∗ x j ) − ∑ i = 1 N α i s . t . ∑ i = 1 N α i y i = 0 0 ≤ α i ≤ C , i = 1 , 2 , . . . . . , N
    需要满足KKT条件

        # 检验训练样本(xi, yi)是否满足KKT条件
        yi*f(i) >= 1 and alpha = 0 (outside the boundary)
        yi*f(i) == 1 and 0<alpha< C (on the boundary)
        yi*f(i) <= 1 and alpha = C (between the boundary)
        '''

    参考文献

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  • 例题讲解: 【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一:从判断元素的共性与区别入手。 解答一:对于集合M:{x|x= ,m∈Z};对于...

    4c9e73c2bb8ecbaf8da7ca116e76326c.gif

    一.知识归纳:

    1.集合的有关概念。

    1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

    注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

    ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

    ③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

    2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

    3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

    4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

    2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

    1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);

    2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )

    3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}

    4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}

    5)补集:CUA={x| x A但x∈U}

    注意:①? A,若A≠?,则? A ;

    ②若 , ,则 ;

    ③若 且 ,则A=B(等集)

    3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

    4.有关子集的几个等价关系

    ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

    ④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

    5.交、并集运算的性质

    ①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;

    ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

    6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

    二.例题讲解:

    【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系

    A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

    分析一:从判断元素的共性与区别入手。

    解答一:对于集合M:{x|x= ,m∈Z};对于集合N:{x|x= ,n∈Z}

    对于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。

    分析二:简单列举集合中的元素。

    解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。

    = ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,

    = P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。

    点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。

    变式:设集合 , ,则( B )

    A.M=N B.M N C.N M D.

    解:

    当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B

    【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为

    A)1 B)2 C)3 D)4

    分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。

    解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。

    变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为

    A)5个 B)6个 C)7个 D)8个

    变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

    解:由已知,集合中必须含有元素a,b.

    集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

    评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .

    【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

    解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

    ∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

    ∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

    ∴ ∴

    变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.

    解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

    ∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

    又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

    ∴b=-4,c=4,m=-5

    【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1

    分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。

    解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而(-∞,-2)∩B=ф。

    综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

    变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)

    点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。

    变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。

    解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

    ①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②

    综①②得:所求集合为{-1,0, }

    【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。

    分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。

    解答:(1)若 , 在 内有有解

    令 当 时,

    所以a>-4,所以a的取值范围是

    变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

    解答:

    点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

    三.随堂演练

    选择题

    1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

    ⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数

    (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

    2.集合{1,2,3}的真子集共有

    (A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个

    3.集合A={x } B={ } C={ }又 则有

    (A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个

    4.设A、B是全集U的两个子集,且A B,则下列式子成立的是

    (A)CUA CUB (B)CUA CUB=U

    (C)A CUB= (D)CUA B=

    5.已知集合A={ }, B={ }则A =

    (A)R (B){ }

    (C){ } (D){ }

    6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为

    {1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1,1,2};(4)集合{ }是有限集,正确的是

    (A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3)

    (C)只有(2) (D)以上语句都不对

    7.设S、T是两个非空集合,且S T,T S,令X=S 那么S∪X=

    (A)X (B)T (C)Φ (D)S

    8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式ax2+bx+c 0的解集为

    (A)R (B) (C){ } (D){ }

    填空题

    9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为

    10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B,则x=

    11.若A={x } B={x },全集U=R,则A =

    12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是

    13设集合A={ },B={x },且A B,则实数k的取值范围是。

    14.设全集U={x 为小于20的非负奇数},若A (CUB)={3,7,15},(CUA) B={13,17,19},又(CUA) (CUB)= ,则A B=

    解答题

    15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3},求实数a。

    16(12分)设A= , B= ,

    其中x R,如果A B=B,求实数a的取值范围。

    四.习题答案

    选择题

    1 2 3 4 5 6 7 8

    C C B C B C D D

    填空题

    9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

    解答题

    15.a=-1

    16.提示:A={0,-4},又A B=B,所以B A

    (Ⅰ)B= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a

    (Ⅱ)B={0}或B={-4}时, 0 得a=-1

    (Ⅲ)B={0,-4}, 解得a=1

    综上所述实数a=1 或a -1

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  • 前几天面试的时候,有一道笔试题是用js求数组的交集,差集和并集,因为之前没有听过这个概念,就空着了,所以今天是想要专门写篇文章来记录一下。 现有两数组a = [1, 2, 3],b = [2, 4, 5],求a,b数组的并集,交集...

    前言

    前几天面试的时候,有一道笔试题是用js求数组的交集,差集和并集,因为之前没有听过这个概念,就空着了,所以今天是想要专门写篇文章来记录一下。

    现有两数组a = [1, 2, 3],b = [2, 4, 5],求a,b数组的并集,交集和差集。
    

    基本概念

    集合的分类:
    并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合成为A与B的并(集) 记作A∪B(或B∪A),读作“A并B”(或“B并A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
    交集:以属于A且属于B的元素为元素的集合成为A与B的交(集) 记作A∩B(或B∩A),读作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
    差集:以属于A而不属于B的元素为元素的集合成为A与B的差(集)记作A-B(或B∩A),读作“A减B”,即A-B={x∣x∈A,且x∉B}

    方法选择

    JS在ES6,ES7之后,新增了一些数组方法,如果能够使用,那是极好的,毕竟自己写封装函数还是比较辛苦的。

    ES7

    ES7新增了一个Array.prototype.includes的数组方法,用于返回一个数组是否包含指定元素,结合filter方法。

    var boolean = array.includes(searchElement[, fromIndex])

    // 并集
    let union = a.concat(b.filter(v => !a.includes(v))) // [1,2,3,4,5]
    // 交集
    let intersection = a.filter(v => b.includes(v)) // [2]
    // 差集
    let difference = a.concat(b).filter(v => a.includes(v) && !b.includes(v)) // [1,3]
    

    ES6

    ES6中新增的一个Array.from方法,用于将类数组对象和可遍历对象转化为数组。只要类数组有length长度,基本都可以转化为数组。结合Set结构实现数学集求解。

    Array.from(arrayLike[, mapFn[, thisArg]])

    <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/babel-standalone/6.4.4/babel.min.js"></script>
    <script>
        let a = [1, 2, 3]
        console.log(a)
     
        let b = [2, 4, 5]
     
        let aSet = new Set(a)
        let bSet = new Set(b)
        
        // 并集
        let union = Array.from(new Set(a.concat(b))) // [1,2,3,4,5]
        console.log(union)
        
        // 交集
        let intersection = Array.from(new Set(a.filter(v => bSet.has(v)))// [2]
        )
        
        // 差集
        let differenceNew = Array.from(new Set(a.concat(b).filter(v => aSet.has(v) && !bSet.has(v))) [1,3]
        )
        console.log(differenceNew)
    </script>
    

    ES5

    ES5可以利用filterindexOf进行数学集操作,但是,由于indexOf方法中NaN永远返回-1,所以需要进行兼容处理。

    • 不考虑NaN(数组中不含NaN)
        var a = [1,2,3];
        var b = [2,4,5];
     
        // 并集
        var union = a.concat(b.filter(function(v) {
            return a.indexOf(v) === -1})) // [1,2,3,4,5]
     
        // 交集
        var intersection = a.filter(function(v){ return b.indexOf(v) > -1 }) // [2]
     
        // 差集
        var difference = a.filter(function(v){ return b.indexOf(v) === -1 })// [1,3]
     
        console.log(union)
        console.log(intersection)
        console.log(difference)
    
    • 考虑NaN
        var a = [1, 2, 3, NaN];
        var b = [2, 4, 5];
     
        var aHasNaN = a.some(function (v) {
            return isNaN(v)
        })
        var bHasNaN = b.some(function (v) {
            return isNaN(v)
        })
     
        // 并集
        var union = a.concat(b.filter(function (v) {
            return a.indexOf(v) === -1 && !isNaN(v)
        })).concat(!aHasNaN & bHasNaN ? [NaN] : []) // [1,2,3,4,5,NaN]
     
        // 交集
        var intersection = a.filter(function (v) {
            return b.indexOf(v) > -1
        }).concat(aHasNaN & bHasNaN ? [NaN] : []) // [2]
     
        // 差集
        var difference = a.filter(function (v) {
            return b.indexOf(v) === -1 && !isNaN(v)
        }).concat(aHasNaN && !bHasNaN ? [NaN] : [])//1,3,NaN
     
        console.log(union)
        console.log(intersection)
        console.log(difference)
    
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  • 理解集合子集的概念能利用集合中元素的性质解决问题 理解交集并集全集补集的概念掌握集合的运算性质 能利用数轴或文氏图进行集合的运算掌握集合问题的常规处理方法. 重点1.集合中元素的3个性质集合的3种表示方法集合...
  • 文章目录1 例题 1 例题 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef int ElemType; typedef struct ListNode { int val; ListNode *next; //ListNode(int x):val(x),next(NULL){} }ListN....
  • 目录例题描述解题思路代码实现 例题描述 给定两个数组,编写一个函数来计算它们的交集。 示例 1: 输入: nums1 = [1,2,2,1], nums2 = [2,2] 输出: [2,2] 示例 2: 输入: nums1 = [4,9,5], nums2 = [9,4,9,8,4] ...
  • [C++] 349 -- 两个数组的交集

    千次阅读 2019-07-31 21:18:13
    目录例题描述解题思路代码实现 例题描述 给定两个数组,编写一个函数来计算它们的交集。 示例1: 输入: nums1 = [1,2,2,1], nums2 = [2,2] 输出: [2] 示例 2: 输入: nums1 = [4,9,5], nums2 = [9,4,9,8,4] 输出...
  • 经典的大数据例题

    千次阅读 2017-08-05 13:43:13
    6、给两个文件,分别有100亿个query,我们只有1G内存,如何找到两个文件的交集?分别给出精确算法和近似算法 @精确算法: 思路分析: 1)我们首先来看,100亿个query(一般query就当做字符串),...
  • } 区间分组 题目大意 给定 N N N 个闭区间 [ a i , b i ] [a_i,b_i] [ai​,bi​],请你将这些区间分成若干组,使得每组内部的区间两两之间(包括端点)没有交集,并使得组数尽可能小 输入格式 第一行包含整数 N N N...
  • 线段树入门+例题

    2020-08-03 23:15:03
    例题 1、[HDU 1166] 敌兵布阵 这道题目就是线段树单点修改区间查询的模板题,套模板即可。注意在update的时候,不是将arr[pos]修改为val,而是加上val。 AC代码 #include #include #include using namespace std; ...
  • 有N个开区间,从中选出尽可能多的开区间,使得这些开区间两两没有交集 输入:输入一个数字N,然后输入N个开区间 输出:选了多少个开区间,以及这些开区间分别是什么 思路: 代码: package tanxin; import java....
  • leetcode例题

    2021-08-16 20:04:33
    15.三数之和(threeSum) 给你一个包含 n 个整数的数组 nums,判断 nums 中是否存在三个元素 a,b,c ,使得 a + b + c = 0 ?请你找出所有和为 0 且不重复的三元组。 注意:答案中不可以包含...
  • js逻辑例题

    2019-08-02 16:58:11
    4.给定两个数组,写一个方法来计算它们的交集。 例如:给定 nums1 = [1, 2, 2, 1],nums2 = [2, 2],返回 [2, 2]。 function union (arr1, arr2) { return arr1.filter(item => { return arr2.indexOf(item) >...
  • 本文简单介绍了动态规划、KMP、迪杰斯特拉算法等十大常用算法,分别举例并且代码实现。采用JAVA实现。
  • Oracle 经典查询例题

    2021-02-01 12:28:10
    在找到选课002的信息 select*fromsc where cno=(select cno from course where cname=‘002’) 内连接 注意取交集 select cno from sc a inner join (select * from sc where cno=(select cno from course where ...
  • STL一共提供了四种set相关的算法,分别是并集(union),交集(intersection),差集(difference),和对称差集(symmetric difference)。 STL的这四个算法所接受的set必须是有序区间,元素可以重复出现。即他们只能接受...

空空如也

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交集例题