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  • 综合评价与决策方法(三)——灰色关联分析
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    2020-08-29 16:16:33

    灰色关联分析“交响曲”

    乐谱概要

    1、确定比较对象(评价对象)和参考数列;
    2、确定各指标对应的权重;
    3、计算灰色关联系数;
    4、计算灰色加权关联度;
    5、评价分析。

    演奏开始

    灰色关联分析的前奏

    1、确定比较对象(评价对象)和参考数列(评价标准)。设评价对象有 m m m个,评价指标有 n n n个,参考数列为 x 0 = [ x 0 ( k ) ∣ k = 1 , 2 , . . . , n ] x_0=[x_0(k)|k=1,2,...,n] x0=[x0(k)k=1,2,...,n],比较数列为 x i = [ x i ( k ) ∣ k = 1 , 2 , . . . , n ] , i = 1 , 2 , . . . , m x_i=[x_i(k)|k=1,2,...,n],i=1,2,...,m xi=[xi(k)k=1,2,...,n],i=1,2,...,m
    2、确定各指标对应的权重。权重的确定需要采用层次分析法来实现,具体的步骤详见后面的介绍博客。由层次分析法等确定各指标对应的权重 w = [ w 1 , w 2 , . . . , w n ] w=[w_1,w_2,...,w_n] w=[w1,w2,...,wn],其中 w k ( k = 1 , 2 , . . . , n ) w_k(k=1,2,...,n) wk(k=1,2,...,n)为第 k k k个评价指标对应的权重。

    灰色关联分析的高潮

    3、计算灰色关联系数:
    在这里插入图片描述
    上述表达式为比较数列 x i x_i xi对参考数列 x 0 x_0 x0在第 k k k个指标上的关联系数,其中 ρ ∈ [ 0 , 1 ] ρ∈[0,1] ρ[0,1]为分辨系数。其中,称在这里插入图片描述
    分别为两级最小差及两级最大差。
    一般来讲,分辨系数 ρ ρ ρ越大,分辨率越大; ρ ρ ρ越小,分辨率越小。
    4、计算灰色加权关联度。灰色加权关联度的计算公式为:
    在这里插入图片描述
    其中, r i r_i ri为第 i i i个评价对象对理想对象的灰色加权关联度。

    灰色关联分析的尾声

    5、评价分析。根据灰色加权关联度的大小,对各评价对象进行排序,可建立评价对象的关联序,关联度越大,其评价结果越好。

    参考函数代码

    function [gsort,index] = grey_correlation(a,bar_code)
    %   grey_correlation 该函数进行灰色关联分析
    %   bar_code是一个向量,只能取1或者2,它相当于一个条形码,用于区分效益型指标和成本型指标
    %   在bar_code中,数字1表示为效益型指标,数字2表示为成本型指标
    %   输入的数据矩阵中,每一行表示为评价指标,每一列表示为评价对象
    ind1=find(bar_code==1);%确定效益型指标的索引号
    ind2=find(bar_code==2);%确定成本型指标的索引号
    for i=1:length(ind1)  %效益型指标标准化
        a(ind1(i),:)=(a(ind1(i),:)-min(a(ind1(i),:)))/(max(a(ind1(i),:))-min(a(ind1(i),:)));
    end
    for j=1:length(ind2)  %成本型指标标准化
       a(ind2(j),:)=(max(a(ind2(j),:))-a(ind2(j),:))/(max(a(ind2(j),:))-min(a(ind2(j),:))); 
    end
    [~,n]=size(a);
    cankao=max(a,[],2);  %求参考序列的取值(此处区别于书中的代码做了简化)
    t=repmat(cankao,[1,n])-a;  %求参考序列与每一个序列的差
    mmin=min(min(t));   %计算最小差
    mmax=max(max(t));  %计算最大差
    rho=0.5; %分辨系数
    xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax);  %计算灰色关联系数
    guanliandu=mean(xishu);   %取等权重,计算关联度
    [gsort,index]=sort(guanliandu,'descend');  %对关联度按照从大到小排序
    end
    

    如果想要自定义分辨系数,可以修改函数为:

    function [gsort,index] = grey_correlation(a,bar_code,rho)
    %   grey_correlation 该函数进行灰色关联分析
    %   bar_code是一个向量,只能取1或者2,它相当于一个条形码,用于区分效益型指标和成本型指标
    %   在bar_code中,数字1表示为效益型指标,数字2表示为成本型指标
    %   输入的数据矩阵中,每一行表示为评价指标,每一列表示为评价对象
    %   rho设置为了输入变量,可以自行定义
    ind1=find(bar_code==1);%确定效益型指标的索引号
    ind2=find(bar_code==2);%确定成本型指标的索引号
    for i=1:length(ind1)  %效益型指标标准化
        a(ind1(i),:)=(a(ind1(i),:)-min(a(ind1(i),:)))/(max(a(ind1(i),:))-min(a(ind1(i),:)));
    end
    for j=1:length(ind2)  %成本型指标标准化
       a(ind2(j),:)=(max(a(ind2(j),:))-a(ind2(j),:))/(max(a(ind2(j),:))-min(a(ind2(j),:))); 
    end
    [~,n]=size(a);
    cankao=max(a,[],2);  %求参考序列的取值(此处区别于书中的代码做了简化)
    t=repmat(cankao,[1,n])-a;  %求参考序列与每一个序列的差
    mmin=min(min(t));   %计算最小差
    mmax=max(max(t));  %计算最大差
    xishu=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax);  %计算灰色关联系数
    guanliandu=mean(xishu);   %取等权重,计算关联度
    [gsort,index]=sort(guanliandu,'descend');  %对关联度按照从大到小排序
    end
    

    灰色关联分析用于供应商选择决策中可以针对大量不确定性因素及其相互关系,将定量和定性方法有机结合起来,使原本复杂的问题更加清晰简单,并可在一定程度上排除决策者的主观任意性。
    上述的函数可以通过书中的例子加一验证。

    参考文献

    司守奎,孙玺菁. 数学建模算法与应用. 北京:国防工业出版社,2011.

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    一、应用

    灰色关联分析法通过研究数据关联性大小(母序列与特征序列之间的关联程度),通过关联度(即关联性大小)进行度量数据之间的关联程度,从而辅助决策的一种研究方法。

    二、操作

    SPSSAU操作

    (1)点击SPSSAU综合评价里面的‘灰色关联分析’按钮。如下图

    (2)拖拽数据后选择标准化方式最后点击开始分析

    PS:若有需要拖拽数据时,不要忘记下方的参考值。

    三、SPSSAU分析步骤

    四、案例

    背景

    当前公司研究国内生产总值分别与第一产业,第二产业或者第三产业之间的灰色关联性情况,以研究出国内生产总值受哪个行业的影响更大。一共为2000~2005共6年的数据,国内生产总值为‘母序列’,第一产业,第二产业或者第三产业为‘特征序列’,本例子中已经确认好母序列和特征序列,并且准备好数据,标准化方式采用‘初值化’。部分数据如图所示:

    五、分析

    将数据放入分析框中,SPSSAU系统自动生成分析结果,如下:

    计算公式

    1.关联系数

    (1)求初值化结果如下图所示:

    简单来说就是一组数据中每个数据要除以第一个。例:2061/1988=1.037;以此类推。

    (2)求差序列

    结果如下:

    (PS:简单来说对于初值化后的表格第一列减第二列对应的数,第一列减第三列对应的数,以此类推,注意绝对值)

    (3)求两极差

    (4)求关联系数

    一般取分辨系数 \xi=0.5 ,代入计算,最终得到关联系数结果。

    2.关联度

    例: \gamma_{12}=\frac{1}{6} \sum_{k=1}^{6} \gamma_{12}(k)=0.668

    六、总结

      结合上述关联系数结果进行加权处理,最终得出关联度值,使用关联度值针对6个评价对象进行评价排序;
      关联度值介于0~1之间,该值越大代表其与“参考值”(母序列)之间的相关性越强,也即意味着其评价越高。从上表可以看出:针对本次3个评价项,第三产业的综合评价最高(关联度为:0.830),其次是第二产业(关联度为:0.731)。

    展开全文
  • 灰色关联分析及实践

    2021-12-03 15:14:43
    灰色关联分析及实践1 背景2 灰色关联分析2.1 定义2.2 名称起源2.3 思想2.4 作用2.5 算法步骤2.6 评价标准2.7 应用应用1: 旅游业发展程度的影响因子应用2:哪一种产业对GDP总量影响最大?应用3:不同产业之间的协同度...

    1 背景

    近期需要针对某省份十大关心的产业进行一个产业协同分析,从而分析出不同产业之间的关联程度,以及单独产业的上中下游情况,最后可以通过全产业分析得出警示名单~在中美竞争的大格局下,全产业链的分析显得尤为重要!

    本文主要阐述第一层:不同产业之间的关联程度,用到的统计分析方法是灰色关联分析(Grey Relation Analysis,GRA)。

    2 灰色关联分析

    2.1 定义

    何为灰色关联分析?

    通过查询,官方定义为:灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法,其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密,它反映了曲线间的关联程度。 在系统发展过程中,若两个因素变化的趋势具有一致性,即同步变化程度较高,即可谓二者关联程度较高;反之,则较低。

    2.2 名称起源

    为什么叫【灰色】?

    • 灰色系统这个概念的提出是相对于白色系统和黑色系统而言的。

    • 这个概念最初是由控制科学与工程的教授邓聚龙提出的。
      在这里插入图片描述
      按照控制论的惯例,颜色一般代表的是对于一个系统我们已知的信息的多少,比如一个力学系统:

    • 白色就代表信息充足,元素之间的关系都是能够确定的,这就是一个白色系统

    • 而黑色系统代表我们对于其中的结构并不清楚的系统,通常叫做黑箱或黑盒的就是这类系统。

    • 灰色介于两者之间,表示我们只对该系统有部分了解

    2.3 思想

    根据不同序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小。

    2.4 作用

    灰色关联分析主要有两个作用:

    • 系统分析,判断影响系统发展的因素的重要性

    • 综合评价,给出研究对象或者方案的优劣排名

    本文介绍主要是上述第二个作用,即综合评价不同因素之间互相影响的大小,给出排名~

    2.5 算法步骤

    1. 确定参考序列(要研究的目标列)和比较序列(影响目标列的众多影响因素列)
    2. 归一化处理。包括标准化/0-1归一化等等
    3. 计算灰色关联系数。具体见下:
      在这里插入图片描述
    4. 计算关联系数的均值,得到关联度(对于每个因素而言)

    2.6 评价标准

    计算得到的关联度(协同度)系数后,多大才算优质协同?多少又是非常不协同(严重失调)?下表可以作为一个参考:
    在这里插入图片描述

    2.7 应用

    应用1: 旅游业发展程度的影响因子

    在这里插入图片描述

    结合上表的数据,第一行【旅游总收入】代表了旅游发展的程度,剩余的因素均是我们分析的范围,最终通过【灰色关联分析】可以得到如下结果表:
    在这里插入图片描述

    应用2:哪一种产业对GDP总量影响最大?

    下表为某一地区国内生产总值的统计数据(单位:百万元),问该地区从2000年到2005年之间哪一种产业对GDP总量影响最大?
    在这里插入图片描述
    最终通过灰色关联分析,得到关联度的结果为:
    在这里插入图片描述

    • 第一列表示灰色关联分析公式中的分辨系数的取值(一般位于[0,1]之间,往往取0.5)
    • 可以看到第三产业同GDP的关联度是最高的,说明该地区00-05年 第三产业对GDP影响最大!

    应用3:不同产业之间的协同度(关联度)

    不同产业之间在同一范围内的同一指标数据(销售额或用电量),分析不同产业之间的协同度(关联度),即得到哪些产业之间关联性(协同性)比较强

    本部分案例将会在接下来的Python实现部分进行演示。

    3 Python实现

    3.1 读入数据

    gra_data = df1.iloc[:5,:5]
    gra_data['年份'] = range(2000,2005)
    gra_data = gra_data[['年份', '数字安防', '集成电路', '网络通信', '智能计算', '生物医药']]
    gra_data
    
    年份数字安防集成电路网络通信智能计算生物医药
    020000.0940030.0658410.1078610.0513840.042548
    120010.1067760.0723750.1240790.0607160.045762
    220020.1333190.0963610.1508130.0755170.055757
    320030.0595360.0523580.0683000.0449760.045501
    420040.0497940.0438510.0471270.0226450.034666

    3.2 确定参考序列和比较序列

    上面数据中,

    • 参考序列为第一列—数字安防
    • 比较序列为【集成电路、网络通信、智能计算和生物医药】

    目的是看这些产业哪一个和【数字安防】产业链协同最高?

    import copy
    df = copy.deepcopy(gra_data.iloc[:,1:])
    df
    
    数字安防集成电路网络通信智能计算生物医药
    00.0940030.0658410.1078610.0513840.042548
    10.1067760.0723750.1240790.0607160.045762
    20.1333190.0963610.1508130.0755170.055757
    30.0595360.0523580.0683000.0449760.045501
    40.0497940.0438510.0471270.0226450.034666
    i = 0
    #区分参考序列和比较序列
    ref=df.iloc[:,i]#为参考序列
    print(ref)
    com=df.drop(list(df)[i],axis=1)#为比较序列
    print(com)
    
    0    0.094003
    1    0.106776
    2    0.133319
    3    0.059536
    4    0.049794
    Name: 数字安防, dtype: float64
           集成电路      网络通信      智能计算      生物医药
    0  0.065841  0.107861  0.051384  0.042548
    1  0.072375  0.124079  0.060716  0.045762
    2  0.096361  0.150813  0.075517  0.055757
    3  0.052358  0.068300  0.044976  0.045501
    4  0.043851  0.047127  0.022645  0.034666
    
    #计算比较序列矩阵的行列
    m=com.shape[0]
    n=com.shape[1]
    print(m,n)
    
    5 4
    

    3.3 归一化处理

    上表中数据已经做过了归一化处理,所以跳过

    3.4 计算灰色关联系数

    import numpy as np
    #与参考序列比较,相减
    a=np.zeros([m,n])
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            a[i,j]=abs(com.iloc[i,j]-ref[i])
    a
    
    array([[0.02816244, 0.01385809, 0.04261892, 0.05145495],
           [0.03440162, 0.017303  , 0.04606022, 0.06101445],
           [0.03695806, 0.0174945 , 0.05780182, 0.07756191],
           [0.00717776, 0.00876366, 0.01456014, 0.01403498],
           [0.00594268, 0.00266634, 0.02714887, 0.01512727]])
    
    #取出数组中最大值与最小值
    a_max=np.max(a)
    a_min=np.min(a)
    print(a_max, a_min)
    
    0.0775619109705818 0.0026663364003993995
    
    #计算灰色关联系数
    key=np.zeros([m,n])
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            key[i,j]=(a_min+0.5*a_max)/(a[i,j]+0.5*a_max)
    key
    
    array([[0.61913933, 0.78738691, 0.50918124, 0.45932151],
           [0.56635468, 0.73902225, 0.48852802, 0.41532263],
           [0.54723829, 0.7365075 , 0.42913751, 0.35625125],
           [0.90183748, 0.87175572, 0.77702369, 0.78474976],
           [0.92674251, 1.        , 0.62865768, 0.76884916]])
    

    3.5 计算灰色关联度

    # 计算灰色关联度
    result=np.zeros(n)
    for i in range(n):
        result[i]=np.mean(key[:,i])
    result=result.tolist()
    result
    
    [0.712262459001454, 0.8269344752760619, 0.5665056298663332, 0.5568988632058057]
    

    3.6 结论

    • 【网络通信】产业链和【数字安防】产业链的协同度最高,
    • 而【生物医药】和【数字安防】协同度最低。

    4 总结

    • GRA算法本质上来讲就是提供了一种度量两个向量之间距离的方法,对于有时间性的因子,向量可以看成一条时间曲线,而GRA算法就是度量两条曲线的形态和走势是否相近。
    • 为了避免其他干扰,凸出形态特征的影响,GRA先做了归一化,将所有向量矫正到同一个尺度和位置,然后计算每个点的距离。最后,通过min min 和max max 的矫正,使得最终输出的结果落在0到1之间,从而符合系数的一般定义。rho调节不同关联系数之间的差异,换句话说,就是输出的分布,使其可以变得更加稀疏或者紧密。
    • 以数学角度要言之,该算法即度量已归一化的子向量与母向量的每一维度的l1-norm距离的倒数之和,并将其映射到0~1区间内,作为子母向量的关联性之度量的一种策略。

    5 参考

    • https://blog.csdn.net/edogawachia/article/details/85330067
    • https://zhuanlan.zhihu.com/p/161536409
    • https://zhuanlan.zhihu.com/p/217939656
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    目录

    一.什么时候用灰色关联分析?

    1.进行系统性分析时

    2.综合评价时

    二.灰色关联分析的原理

    三.实现步骤

    四.总结


    一.什么时候用灰色关联分析?

    1.进行系统性分析时

     -什么时候需要进行系统性分析?

            一般的抽象系统,如社会系统、经济系统、农业系统、生态系统、教育系统等都
    包含有许多种因素,多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。人们常
    常希望知道在众多的因素中,哪些是主要因素,哪些是次要因素;哪些因素对系统
    发展影响大,哪些因素对系统发展影响小;哪些因素对系统发展起推动作用需强化
    发展,哪些因素对系统发展起阻碍作用需加以抑制;…这些都是系统分析中人们
    普遍关心的问题。例如,粮食生产系统,人们希望提高粮食总产量,而影响粮食总
    产量的因素是多方面的,有播种面积以及水利、化肥、土壤、种子、劳力、气候、耕作
    技术和政策环境等。为了实现少投入多产出,并取得良好的经济效益、社会效益和
    生态效益,就必须进行系统分析。

    -系统性分析的方法?

     A:数理统计中的回归分析,方差分析,主成分分析

    B:灰色关联分析

    A的缺点:

    (1)要求有大量数据,数据量少就难以找出统计规律;
    (2)要求样本服从某个典型的概率分布,要求各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且各因素之间彼此无关,这种要求往往难以满足;
    (3)计算量大,一般要靠计算机帮助;
    (4)可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象,导致系统的关系和规律遭到歪曲和颠倒。
    尤其是我国统计数据十分有限,而且现有数据灰度较大,再加上人为的原因,许多数据都出现几次大起大落,没有典型的分布规律。因此,采用数理统计方法往往难以奏效。

    B相对于A的优点:

    灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾。

    它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。

    2.综合评价时

    二.灰色关联分析的原理

    根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小。
    图像越接近则联系越紧密,权重也就越大

    三.实现步骤

    举个例子: 

    1.画图并且进行简单分析

     配上简单的分析:
    ① 四个变量均 呈上升 的趋势
    ② 第⼆产业的 增幅 较为 明显
    ③ 第⼆产业和第 三产业的 差距在后三年相差 更⼤
    2.确定序列

    母序列(母指标):能反映系统行为特征的数据序列,类似于因变量Y
    子序列(子指标):影响系统行为的因素组成的数据序列,类似于自变量X
    在本例中,国内生产总值就是母序列(X0),第一(X1)、第二(X2)和第三(X3)产业就是子序列

    3.对变量进行预处理

    两个目的:去除量纲,缩小度量范围简化计算
    对母序列和子序列的每个指标进行预处理:
    先求出每个指标的均值,再用该指标中的每个元素都除以其均值

    预处理结果如下表所示:

     4.计算⼦序列中 各个指标与⺟序列 的 关联系数

    下图为清风老师课件内容: 

    这一步的主要做法:

    先找出两级最小差a,两级最大差b;

    然后套公式计算每个元素相对母序列对应元素的关联系数,

    最后求出各子序列所在列的平均值即为该子序列对母序列的灰色关联度

    四.总结

    • 关联度越大的子序列指标对母序列影响最大
    • 母序列一般只有1个,若有2个时,分开讨论即可
    展开全文
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