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  • 主成分分析法案例

    2018-05-31 23:15:19
    主成分分析法案例讲解Ppt,多变量问题是经常会遇到的。变量太多,无疑会增加分析问题的难度与复杂性,而且在许多实际问题中,多个变量之间是具有一定的相关关系的。
  • 是一种实用的多准则决策方法。它把复杂的决策问题表示为一个有序的递阶层次结构,通过人们的主观判断和科学计算给出备选方案的优劣顺序。
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  • 荧光分析法检测原理及应用举例.doc
  • 建模方法(四)-因子分析定义和应用

    万次阅读 多人点赞 2018-08-20 20:58:05
    因子分析(factor analysis)也是一种降维、简化数据的技术。 它通过研究众多变量之间的内部依赖关系,使用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的 数据结构。这几个抽象的变量被称作“因子”,能反映原来 众多变量的...

    因子分析(factor analysis)也是一种降维、简化数据的技术。 它通过研究众多变量之间的内部依赖关系,使用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的 数据结构。这几个抽象的变量被称作“因子”,能反映原来 众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量,而 因子一般是不可观测的潜在变量。 例如:商店的环境、商店 的服务和商品的价格作为因子,这三个方面除了价格外,商店的环境 和服务质量,都是客观存在的、抽象的影响因素,都不便于 直接测量,只能通过其它具体指标进行间接反映。因子分析 就是一种通过显在变量测评潜在变量,通过具体指标测评抽 象因子的统计分析方法。

    因子分析类型分为R型因子分析和Q型因子分析。就像聚类分析分为R型和Q型一样,R型的因子分析是对变量作因子分析, Q型因子分析是对样品作因子分析。

    下面我们以R型为例,介绍因子分析。

    R型因子分析的模型如下所示:

    R因子分析中的公共因子是不可直接观测但又客观存在的共 同影响因素,每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数 与特殊因子之和,即 

    式中的F1 ,F2,...Fm称为公共因子,εi称为 Xi的特殊因子,Xi为可测变量。

    模型的矩阵形式如下:

    (7.2)

    以上式子满足:

    (1)式很好理解,因为我们目的是降维所以因子的数量一般都小于变量数量,不然没有任何意义。

    (2)式需要概率论基础,Cov表示协方差,相关系数的分子为协方差,而相关系数描述变量间的线性相关性,如果相关系数为0,表示变量线性无关,因为特殊因子如果与公共因子有线性关系,则特殊因子可以合并到公共因子里面。

    (3)与(2)类似,从这里可以看出为什么要用因子分析,各个变量相互相关,因子分析就是找出互不相关因子,揭示这些变量数据背后的结构,找出各个变量表达的主要信息。

    (4)可以这样理解因为ε是变量的特殊因子,所以只与变量有关。

    如果想要理解上诉的公式,可以参考概率论相关章节,如果只想知道如何应用因子分析,不知道概率论公式不影响。

    模型中的aij称为因子“载荷”,是第i个变量在第j个因子上 的负荷,因此矩阵 A 称为因子载荷矩阵。注意因子载荷矩阵A不是唯一的,在实际的应用中常常利 用这一点,通过因子的变换,使得新的因子有更好的实际意 义。 实 际上因子载荷矩阵存在明显的统计意义。

    aij是 变量Xi和因子Fj的相关系数(需要标准化Xi和Fj得出),它一方面表示Xi对Fj的依赖程度,绝对值 越大,密切程度越高;另一方面也反映了变量Xi对公共因子Fj 的相对重要性。

    下面介绍变量的共同度。

    设因子载荷矩阵为A,称第i行元素的平方和,即 

    为变量Xi的共同度。 
     由因子模型,知 

    对Xi做标准化处理后,得:

    (7.8)式说明变量Xi的方差由两部分组成: 第一部分为变量Xi的共同度,它描述了全部公共因子对变量Xi 的总方差所作的贡献,反映了公共因子对变量Xi的影响 程度。第二部分为特殊因子εi 对变量Xi的方差的贡献, 通常称为个性方差。

    上面是对载荷矩阵A的一行的计算,下面对列计算,即公因子Fj对全部变量的贡献。

    设因子载荷矩阵为A,称第j列元素的平方和,即 

    为公共因子Fj对所有变量的贡献,即上述结果表示同一公共因子Fj对 各变量所提供的方差贡献之总和,它是衡量每一个公共因子 相对重要性的一个尺度。他对于选择公因子的数量有很大的作用。

     

    求解因子载荷矩阵方法有主成分分析法、主因子法、大似然估计法,下面介绍主成分分析法:

    因为因子数<变量数,所以m+1~p是没有任何意义的,即图中红色标记,分解中将红色部分作为特殊因子的方差忽略。在式(7.5)中因随机向量X的协方差矩阵在X标准化以后就是相关矩阵,有如下式子

     

    上述绿色部分的p*m矩阵就是因子载荷矩阵A。

    因子旋转用于给各个公因子取一个描述性名字,像之前提到的使用商店的环境、商店 的服务和商品的价格作为描述商品的因子。因为我们得到的载荷矩阵中的因子的系数载荷在各个变量上的值很难看出差异,也就很难看出因子对于哪些变量很重要,也就难以得出因子的含义。而因子旋转使同一列上的载荷尽可能地向靠近 1和靠近0两极分离。这时就突出了每个公共因子和其载荷较 大的那些变量的联系,矛盾的主要方面显现出来了,该公共 因子的含义也就能通过这些载荷较大变量做出合理的说明, 这样也显示了该公共因子的主要性质。 它的原理这里就不给出了,matlab中仅需一行代码就可以得到因子旋转的结果。

    matlab命令:rotatefactors(A, 'method', 'varimax')

    给出一个例子:

    按上述求解因子载荷矩阵的方法确定矩阵,如下

    因子载荷矩阵可以看出,除第一因子中所有的变量在公共因子 上有较大的正载荷,可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太 容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比,似乎是长跑耐力和短跑速 度的对比。于是考虑旋转因子,得下表 

    因子得分:根据变量X反过来推出因子的值,因为X的值可观测,最后就得出以因子为指标的结果,可以对结果进行聚类分析等,下面给一个因子分析的完整例子。

    因子分析法在环境质量评价中的应用实例
            环境作为人类赖以生存的基础对经济社会的发展起 着巨大的作用。基于国家统计局统计数据库2008年的数 据,采用因子分析法对中国31个省市的环境质量进行了排 序。        分析结果显示,环保建设和环境污染在环境质量评价 中起主要作用,地区在注重保护基础环境的同时更要加强 对环境的补偿。

    1 环境质量评价指标体系构建
    依据国家统计局统计数据库2008年统计数据,选取 14项具体指标,作为中国区域环境质量评价指标体系。 这些指标分别为:        X1(生活污水排放量)、X2(废水治理设施数)、X3(工 业废气排放量)、X4(工业烟尘排放量)、X5(工业粉尘排 放量)、X6(生活烟尘排放量)、X7(工业废气治理设施数)、 X8(工业固体废弃物排放量)、X9(林业用地面积)、X10(森 林覆盖率)、X11(林业重点工程造林面积)、X12(森林病虫 鼠害防治率)、X13(工业污染治理项目本年投资完成额)、 X14(林业系统营林固定资产投资完成额)。

    2 因子分析
        因子分析首先将原始数据标准化处理,建立相关系数矩 阵并计算其特征值和特征向量,接着从中选择特征值大于等 于1的特征值个数为公共因子数,或者根据因子对X的累计贡献 率大于80%来确定公共因子,求得因子载荷矩阵, 后计算公因子得分和综合得分。

    这里注意相关系数矩阵为非单位阵,故可实施因子分析,因为因子分析的前提是变量Xi之间存在内部关系,这样才能分解为各因子。

    由于初始因子载荷阵结构不够简明,各因子的含义不突出。为此采用方差大正 交旋转变化,使各变量在某个因子上产生较高载荷,而在其余因子上载荷较小, 得到旋转后因子载荷矩阵,如表3所示。

    (注:F的表达式里面的-是+,图片有误)

     

     

    总结:

    因子分析通常包括以下五个步骤:

    1.选择分析的变量     用定性分析和定量分析的方法选择变量,因子分析的前提条件 是观测变量间有较强的相关性,因为如果变量之间无相关性或相 关性较小的话,他们不会有共享因子,所以原始变量间应该有较强 的相关性。

    2.计算所选原始变量的相关系数矩阵   相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判 断原始变量之间是否存在相关关系,这对因子分析是非常重要 的,因为如果所选变量之间无关系,做因子分析是不恰当的 并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。 

    3.提取公共因子     这一步要确定因子求解的方法和因子的个数,根据相关系数矩阵(协方差矩阵的标准化)来做。需要根据研 究者的设计方案或有关的经验或知识事先确定。因子个数的 确定可以根据因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大 于1)的那些因子,因为方差小于1的因子其贡献可能很小;按 照因子的累计方差贡献率来确定,一般认为要达到70%才能 符合要求; 

    4.因子旋转     通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密 切的关系,这样因子解的实际意义更容易解释,并为每个潜在 因子赋予有实际意义的名字。

     5.计算因子得分    求出各样本的因子得分,有了因子得分值,则可以在许多 分析中使用这些因子,例如以因子的得分做聚类分析的变量, 做回归分析中的回归因子。 在数学建模中可以直接使用因子得分公式。

    ==打赏博主==

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  • 古汉语使动用法举例分析.doc
  • SPSS因子分析案例

    万次阅读 多人点赞 2018-01-14 20:43:40
    一、SPSS中的因子分析。 具体操作步骤: (1)定义变量:x1-财政用于农业的支出的比重,x2-第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重,x3-非农村人口比重,x4-乡村从业人员占农村人口的比重,x5-农业总产值占农林牧...

    PS:请见文末的打赏选项

    一、SPSS中的因子分析。

    具体操作步骤:

    (1)定义变量:x1-财政用于农业的支出的比重,x2-第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重,x3-非农村人口比重,x4-乡村从业人员占农村人口的比重,x5-农业总产值占农林牧总产值的比重,x6-农作物播种面积,x7—农村用电量。

     

    (2)导入数据:file-open-data

     

     

     

    (3)变量标准化Analyze-Descriptive Statistics-Descriptives

     

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  • 数学建模:层次分析法实例以及代码

    万次阅读 多人点赞 2020-11-22 22:06:09
    目录层次分析法的思想层次分析法步骤具体案例(市政工程项目建设决策)1.问题提出2.建立递阶层次结构3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)计算权向量一致性检验5.层次总...

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    层次分析法的思想

    层次分析法的思想:将所有要分析的问题层次化
    根据问题的性质和所要到达的总目标,将问题分为不同的组成因素,并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系,将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次分析结构模型
    最后,对问题进行优劣比较排序.

    层次分析法步骤

    1、找准各因素之间的隶属度关系,建立递阶层次结构
    2、构造判断矩阵,并赋值
    3、层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)
    4、层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)
    5、结果分析

    具体案例(市政工程项目建设决策)

    1.问题提出

    市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策,可选择的方案是修建通往旅游区的高速路(简称建高速路)或修建城区地铁(简称建地铁)。除了考虑经济效益外,还要考虑社会效益环境效益等因素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决。

    2.建立递阶层次结构

    1、明确决策目标:“合理建设市政工程,使综合效益最高”。

    2、为了实现这一目标,需要考虑的主要准则有三个,即经济效益社会效益环境效益
    还必须考虑直接经济效益间接经济效益方便日常出行方便假日出行减少环境污染改善城市面貌等因素(准则),从相互关系上分析,这些因素隶属于主要准则,因此放在下一层次考虑,并且分属于不同准则。

    3、解决方案,即建高速路或建地铁,这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。

    这样递阶层次就形成了:
    在这里插入图片描述

    3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值

    1、构造判断矩阵的方法:
    每一个具有向下隶属关系的元素(被称作准则)作为判断矩阵的第一个元素(位于左上角),隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行第一列
    如下图所示:
    在这里插入图片描述
    2、如何对判断矩阵进行赋值:
    向填写人(专家)反复询问:针对判断矩阵的准则,其中两个元素两两比较哪个重要,重要多少,对重要性程度按1-9赋值。
    (可以类比模糊PID中的隶属程度,都是人为设定的,也是被人诟病的一个地方)
    在这里插入图片描述
    设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n,判断矩阵具有如下性质:

    (1) aij>0
    (2) aji=1/ aji
    (3) aii=1

    判断矩阵具有对称性,因此在填写时,通常先填写aii=1部分,然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
    在特殊情况下,判断矩阵可以具有传递性,即满足等式:aij*ajk=aik .
    当上式对判断矩阵所有元素都成立时,则称该判断矩阵为一致性矩阵。
    对于上述的例子,可以构造出下面的判断矩阵:
    在这里插入图片描述

    4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)

    计算权向量

    对于专家填写后的判断矩阵,利用一定数学方法进行层次排序。
    层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重,所以本质上是计算权向量。
    这里简要介绍和法:
    对于一致性判断矩阵,每一列归一化后就是相应的权重。
    对于非一致性判断矩阵,每一列归一化后近似其相应的权重,在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。

    公式: 在这里插入图片描述
    在层层排序中,要对判断矩阵进行一致性检验。判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下,并不要求判断矩阵严格满足这一性质。

    但从人类认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的,例如若A比B重要,B又比C重要,则从逻辑上讲,A应该比C明显重要,若两两比较时出现A比C重要的结果,则该判断矩阵违反了一致性准则,在逻辑上是不合理的。

    因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性,需进行一致性检验。只有通过检验,才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的,才能继续对结果进行分析。

    一致性检验

    第一步,计算一致性指标CI
    在这里插入图片描述
    第二步,查表确定相应的平均随机一致性指标RI
    据判断矩阵不同阶数查下表,得到平均随机一致性指标RI:
    在这里插入图片描述
    第三步,计算一致性比例CR并进行判断:
    在这里插入图片描述
    当C.R.<0.1时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,C.R.>0.1时,认为判断矩阵不符合一致性要求,需要对该判断矩阵进行重新修正。

    图1
    图2
    可以看出,所有单排序的C.R.<0.1,认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。

    5.层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)

    总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法,逐层合成。
    文字性描述公式如下:
    在这里插入图片描述

    计算过程如下,更好理解过程:
    P(C1/A) = P(C1/B1) * P(B1/A) = 0.5 * 0.1429 = 0.07145
    CR(C1/A) = CR(C/B) * CR(B/A) = 0 * 0 = 0
    P(D1/A) = P(D1/C1) * P(C1/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C2) * P(C2/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C3) * P(C3/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C4) * P(C4/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C5) * P(C5/B3) * P(B3/A)
    + P(D1/C6) * P(C6/B3) * P(B3/A)
    =0.8333 * 0.5 * 0.1429
    +0.75 * 0.5 * 0.1429
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8750 * 0.25 * 0.4286
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8333 * 0.25 * 0.4286

    在这里插入图片描述

    6.结果分析

    从方案层总排序的结果看,建地铁(D2)的权重(0.6592)远远大于建高速路(D1)的权重(0.3408),因此,最终的决策方案是建地铁。
    根据层次排序过程分析决策思路:

    1、对于准则层B的3个因子,直接经济效益(B1)的权重最低(0.1429),社会效益(B2)和环境效益(B3)的权重都比较高(皆为0.4286),说明在决策中比较看重社会效益和环境效益
    2、对于不看重的经济效益,其影响的两个因子直接经济效益(C1)、间接带动效益(C2)单排序权重都是建高速路远远大于建地铁,对于比较看重的社会效益和环境效益,其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路,由此可以推出,建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出,权重也会相对突出
    3、从准则层C总排序结果也可以看出,方便日常出行(C3)、减少环境污染(C5)是权重值较大的,而如果单独考虑这两个因素,方案排序都是建地铁远远大于建高速路。

    由此我们可以分析出决策思路:
    即决策比较看重的是社会效益和环境效益,不太看重经济效益;(总结准则层B)
    因此对于具体因子,方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素,对于这两个因素,都是建地铁方案更佳,(总结准则层C)由此,最终的方案选择建地铁也就顺理成章了。

    7.层次分析法的优缺点

    优点:
    (1)系统性:层次分析把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
    (2)实用性:层次分析把定性和定量方法结合起来,能处理许多许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广。同时,这种方法将决策者和决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策者的了解和掌握。
    (3)简洁性:具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,并且所得的结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。

    缺点:囿旧:只能从原有方案中选优,不能生成新方案;粗略:它的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;主观:从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然,采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。

    层次分析法的代码实现(matlab)

    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    使用示例:
    将上面代码保存名为test1,并在点运行的时候添加到路径;
    输入的A矩阵是要以向量的形式输入的;
    之后按下回车即可,可以看到和之前的第4步得到的结果是一样的。
    在这里插入图片描述
    通过不断的使用这个式子计算相应矩阵(准则层B到准则层C、准则层C到方案层D)的权向量,最后可以得到最终的结果。
    简单的修改上面的程序,传入参数为矩阵,免得每次都要打。

    function w= test1(A)
    % disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    % A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    输入:

    Array1=[1 1/3 1/3;3 1 1;3 1 1];
    Array2=[1 1;1 1];
    Array3=[1 3;1/3 1];
    Array4=[1 3;1/3 1];
    Array5=[1 5;1/5 1];
    Array6=[1 3;1/3 1];
    Array7=[1 1/5;5 1];
    Array8=[1 7;1/7 1];
    Array9=[1 1/5;5 1];
    Array10=[1 1/3;7 1];
    
    A=test1(Array1);
    B1=test1(Array2);
    B2=test1(Array3); 
    B3=test1(Array4);
    C1=test1(Array5);
    C2=test1(Array6);
    C3=test1(Array7);
    C4=test1(Array8);
    C5=test1(Array9);
    C6=test1(Array10);
    

    得到相应的矩阵:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 层次分析法原理及应用案例

    万次阅读 2020-10-30 15:04:00
    层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统,将目标分解为多个目标或准则,进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次,通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序,以作为目标(多指标...

    层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统,将目标分解为多个目标或准则,进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次,通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序,以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法。

    层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构,然后用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重,最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案。

    层次分析法具体步骤:

    1.建立层次结构模型

    将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层,绘出层次结构图。 最高层是指决策的目的、要解决的问题。 最低层是指决策时的备选方案。 中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层。

    2.构造判断(成对比较)矩阵

    在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果,则常常不容易被别人接受,因而Santy等人提出一致矩阵法,即不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较,对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准确度。

     重要性比较结果,表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质:

    Aij度量方法:

    3.层次单排序及其一致性检验

    对应于判断矩阵最大特征根λ的特征向量,经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序,则需要进行一致性检验,所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中,n阶一致阵的唯一非零特征根为n;n 阶正互反阵A的最大特征根λ≥n,当且仅当λ=n时,A为一直矩阵,由于λ的连续依赖于aij,则λ 比n 大的越多,A的不一致性越严重,一致性指标用CI计算,CI越小,说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量,其不一致程度越大,引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。定义一致性指标为:

    CI=0,有完全的一致性;CI 接近于0,有满意的一致性;CI 越大,不一致越严重。

    为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI:

     

    其中,随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关,一般情况下,矩阵阶数越大,则出现一致性随机偏离的可能性也越大,其对应关系如表2:

    考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的,因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时,还需将CI和随机一致性指标RI进行比较,得出检验系数CR,公式如下:

    一般,如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,否则就不具有满意一致性。

    4.层次总排序及其一致性检验

    计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

    5 算法举例

    算法举例:(成对矩阵中的值均需要人为按经验填写。)

    第一步:建立层次结构

    从苏州、杭州桂林三个城市选择一个城市去旅游。考虑的因素为景色、费用、居住、饮食、旅游5个因素。如下图所示:

    第二步:构造成对比较矩阵

    (注:矩阵中的各个元素均需要人为按经验填写)

    第三步:层次单排序及一致性检验

    求该矩阵的最大特征值及其对应的最大特征向量

    A的最大特征值为λ=5.037,归一化后的特征向量W={0.263,0.475,0.055,0.099,0.110}

    进行一致性检验

    A通过了一次性验证,结果是可行的。

    第四步:层次总排序及一次性检验

    与此类似,求出方案层中各方案的成对比较矩阵

     

    对每个成对矩阵汇总并进行一致性检验。

    全部通过。计算每个方案对最终目标的权重:

    B3对应的值最大,所以去桂林方案最佳。 

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