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  • 线性方程什么时候无?多个?唯一

    万次阅读 多人点赞 2018-02-26 16:50:18
    线性方程什么时候无?...化简后的有效方程个数小于未知数个数,多个化简后的有效方程个数小于未知数个数,多个{\color{Red}{化简后的有效方程个数小于未知数个数,多个}}。 ...

    线性方程组什么时候无解?多个解?有唯一解?

    一。非齐次线性方程组,无解,多解,唯一解

    非齐次线性方程组,就是方程组的等式右边不为0的方程组,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵

    【例1】求解下列线性方程组

    { 2x1+3x2+x3=2 x12x2+2x3=4 3x1+x2+3x3=6 

    第一步,先列出增广矩阵,

    (231|2122|4313|6)

    第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵
    先把第2行换到第1行

    (122|4231|2313|6)

    ,第2行减第1行的2倍,第3行减第1行的3倍,得到

    (122|4073|6073|6)

    ,第3行减第2行,得到
    (122|4073|6000|0)

    ,化简后的方程组,等于

    { 2x1+3x2+x3=2 7x23x3=6 0x1+0x2+0x3=0 

    这样,x2可以通过x3来表示,x1也可以通过x3来表示,这样x3就叫做自由变量,x3可以取任意值。所以x1,x2,x3就有无穷多个解。

    可见,化简后的有效方程组个数,小于未知数个数。
    有效方程组个数=2,未知数个数=3

    【例2】求解下列线性方程组

    (0=d)

    { x17x2+6x3=2 2x1+3x28x3=3 x1+10x214x3=6 

    第一步,先列出增广矩阵,

    (176|2238|311014|6)

    第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵
    第2行减去第1行*2,第3行减去第2行

    (176|201720|1000|5)

    导出最后一个方程:
    0x1+0x2+0x3=5
    这个方程是不可能成立的,所以原线性方程组无解。
    这种形式的方程叫做 {0=d} 方程,其中d是非零数,这种叫做不相容方程,也是自相矛盾的方程。
    {0=d} 方程是一种自相矛盾的方程,左边全是0,右边是一个非零,这是自相矛盾的,是不相容的,所以无解。
    (0=d)

    判断有解无解总结:
    对于 Ax=b方程组
    通过高斯消元法,化简,化成阶梯行方程组
    1)先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程,如果出现,无解
    2)有解的情况下,再看看有效方程个数是否小于未知数个数,如果是,则有无穷多个解。如果正好相等,则有唯一解。

    二。齐次线性方程组,非零解,零解

    齐次线性方程组,就是方程组的等式右边全部是0的方程组,只有系数矩阵,不需要增广矩阵,所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况,只需要考虑是多个解,还是唯一解。

    对于齐次线性方程组,有

    对于Ax=0的齐次线性方程组,列出其系数矩阵(不需要增广矩阵),使用高斯消元法化简,化为阶梯形矩阵,化简后,判断有效方程组个数是否小于未知数个数,

    三。什么是矩阵的秩(zhi`),什么是detA?

    detAA
    什么叫做矩阵的秩?
    将矩阵用高斯消元法化简后,非零行的行数叫做行秩,非零列的列数叫做列秩。

    可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是极大无关组中所含向量的个数。

    定义:A={aij}m×nA
    记做rA,或者rankA
    特别规定零矩阵的秩就是零。
    若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r< min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。
    由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,
    通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,满秩矩阵detA0
    不满秩矩阵就是奇异矩阵,奇异矩阵detA=0
    由行列式性质知道,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

    四。通过矩阵的秩(zhi`)来判断线性方程组无解,有多个解,唯一解的问题

    线性方程组什么时候无解,有多个解,唯一解?

    1.对于非齐次线性方程组,用矩阵的秩r(A)来判断

    对线性方程组进行初等变换(高斯消元法),化为最简型(阶梯形)矩阵,

    考查系数矩阵r(A),增广矩阵r(A,b),以及方程组未知数个数n
    如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b),r(A)<r(A,b)
    如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数,r(A)=r(A,b)<n
    如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数,r(A)=r(A,b)=n

    2.对于齐次线性方程组,用行列式的值 detA来判断。

    不存在无解的情况
    判断detA,detA==0
    判断detA,detA0

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  • 线性方程组解的分析:唯一,无穷多以及无

    万次阅读 多人点赞 2018-06-03 16:50:20
    本文将总结关于线性方程组解的知识点。 线性方程 定义1 线性方程:我们将形如下式的方程称为线性方程。 a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm(21)(21)a11x1+a12...

    本文将总结关于线性方程组解的知识点。

    线性方程组

    定义1 线性方程组:我们将形如下式的方程组称为线性方程组。

    (9)a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm

    其中,矩阵

    (10)A=(a11a1nam1amn)
    称为该线性方程组的系数矩阵,而所有满足这个方程组的X=(x1,,xn)的集合称为它的解集合。

    定义2 增广矩阵:上面线性方程组的系数矩阵如果加上右侧的(b1,b2,,bn)就构成了该方程组的增广矩阵,记为A¯

    (11)A=(a11a1nb1am1amnbn)

    消元法解线性方程组

    消元法是最常用的解线性方程组的方法,他的核心在于对增广矩阵进行初等变换(即数乘,倍加和对调),使得增广矩阵变为阶梯型。具体做法大家应该都知道,我略了。

    线性方程组有解无解的判定

    将增广矩阵变为阶梯型后,我们就可以通过观察这个阶梯型矩阵判断方程组有无解。具体的做法是看增广矩阵左侧的系数矩阵,如果他的秩和增广矩阵的秩是相等的,则该方程组有解,否则无解。

    定理1 方程组有无解的判定:线性方程组有解的充要条件是r(A)=r(A¯).

    线性方程组解的结构

    上面是判断有无解的方法,下面更进一步,在有解的情况下,又要分两种情况讨论了:即有唯一解和有无穷解。所以有必要了解线性方程组解的结构。简单起见,我们先研究齐次线性方程组。

    1. 齐次线性方程组解的结构

    齐次线性方程组说的是方程组右侧的向量(b1,b2,,bn)都是0时的方程组。那么显然,齐次线性方程组的秩与其系数矩阵的秩肯定是相等的,也就是说它肯定有解。这个也好理解,零向量肯定是他的解嘛。关键问题在于,它什么时候会有非零解。

    定理2 齐次线性方程组有非零解的条件:齐次线性方程组有非零解的充要条件:r(A)<n.

    齐次线性方程组还有两个非常重要的性质(证明很容易,自己想想就能知道):

    • 两个解的和还是方程组的解
    • 一个解的倍数还是方程组的解

    上面两个性质综合起来,就是说,对于齐次线性方程组,任意解的线性组合还是解。既然如此,我们研究这么多解那就是毫无意义的,只需要关注那些线性无关的解即可。我们把一个齐次线性方程组的所有线性无关的解称为这个方程组的基础解系。

    定义3 基础解系:齐次线性方程组的一组解η1,η2,,ηt是它的基础解系,如果满足下列两个条件:

    • 该齐次线性方程组的任何一个解都能表示成η1,η2,,ηt的线性组合;
    • η1,η2,,ηt线性无关;

    值得一提的是齐次线性方程组的基础解系的个数是nr(A). 这样,就了解了齐次线性方程组的结构:任意解都是它的基础解系的线性组合。

    2. 非齐次线性方程组解的结构

    现在升级一下,看非齐次方程组的解的结构。对于非齐次的方程组,我们把它右侧的(b1,b2,,bn)改成0,就变成齐次了,那么这个齐次方程组也被称为这个非齐次线性方程组的导出组。而非齐次方程组和它的导出组之间是有密切联系的。具体地说,有以下两点:

    • 非齐次线性方程组任意两个解的差是它的导出组的解;
    • 非齐次线性方程组的任意解与它的导出组的和还是该非齐次线性方程组的解;

    既然有这两条性质,我们就不难推出非齐次线性方程组解的结构了。

    定理3 非齐次线性方程组的解:假设γ0是非齐次线性方程组的一个特解(你就理解成一个解就行),那么该非齐次线性方程组的任意一个解都可以表示成:

    (12)γ=γ0+k1η1+k2η2++knηn

    后面的k1η1+k2η2++knηn是导出组基础解系的线性组合。

    根据定理3,我们也就不难推出非齐次线性方程组有唯一解的条件:即它的导出组只有零解。

    结论

    好了,最后总结一下线性方程组的解的各种情况:

    • 任何线性方程组,只要满足r(A)=r(A¯),则一定有解;否则一定无解(这是判断有无解的唯一标准)。
    • 对于齐次线性方程组,如果r(A)<n,则它有非零解,且线性无关的非零解的个数为nr(A);否则只有零解。
    • 对于非齐次线性方程组,如果它的导出组有非零解(r(A)<n),则它有无穷多解,每个解都是特解和导出组基础解系的线性组合;如果它的导出组只有零解,则它有唯一解。

    这块内容比较简单,简单介绍一下,备忘。如果恰能帮到谁,算是我的荣幸了~

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  • 通过线性代数系列博客03,我们了解了齐次线性方程齐次线性方程,了解了线性方程的系数矩阵的行列式与解的情况的关系...(2)齐次线性方程的解的情况:零解,或者非零解。 在这里,我们只需要讨论非零解...

    通过线性代数系列博客03,我们了解了齐次线性方程组与非齐次线性方程组,了解了线性方程组的系数矩阵的行列式与解的情况的关系。接下来我们就要探究,如果我们需要具体求解线性方程,我们需要怎么做?

    在具体了解求解线性方程组的过程之前,我们需要先明确几个概念。


    1 明确概念

    (1)齐次线性方程组:常数项全为0的线性方程组
    (2)齐次线性方程组的解的情况:零解,或者非零解。
    在这里,我们只需要讨论非零解的具体情况就好了。因为对于零解的情况,我们只需要算出来它的系数矩阵的行列式det A≠0即可。


    1. 基础解系
      在聊基础解系之前,先讨论一个概念:解空间w,对于齐次线性方程组来说,它的解空间是齐次线性方程组的解集所构成的一个向量空间。对于非零解的情况下,此空间不是一个零空间(nullspace),因此我们可以在这个空间中知道一组向量,作为解空间w的一个基。
      这样的一个基,我们就称为齐次线性方程组的一个基础解系
      (基:若空间中的任意一个向量都可以由一组线性无关的向量通过线性组合的方式表示,这样的一组向量,我们称为空间的基

    这里也可以得到基础解系的官方定义:齐次线性方程组的解集的极大线性无关组


    1. 通解
      对于齐次线性方程组的解集来说,η1,η2,.......,ηn\eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{n}
      若存在一组解向量η1,η2,.......,ηt(t<=n)\eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{t}(t<=n)
      是解空间的一个基,则称这组解向量为一个基础解系列。那么就方程组的解集W可以表示为:
      w=k1η1+k2η2+.......+ktηtkiKi=1,2,.....tw=k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+.......+k_{t}\eta_{t}|k_{i}∈K,i=1,2,.....t
      公式表述的稍有不严谨,集合的{}符号没办法打上,其实上面这个关于w的表示方法就是说明,对于基础解系来说,它可以线性的表示为向量空间内的任何一个解。

    1. 解空间的维数
      解空间的维数就是一个解中具有多少个向量,符合以下公式(其中W是解集,n是变量的数量,A是系数矩阵)
      dimW=nrank(A) dim W=n-rank(A)
      其实也很容易理解,秩的数量表示了主元的数量,n-rank(A)实际上是自由变量的数量,我们对自由变量中的一个取1,其他的取0,这样所有的自由变量均可以取到一次1,产生1次解向量。有多少个自由变量,我们可以得到不同的解。

    2齐次线性方程组的解法

    对以下实例进行求解:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    通过以上实例,我们可以很清楚的看到齐次线性方程组的求解过程可以总结为以下过程:
    (1)将系数矩阵A经过初等行变换化成最简行阶梯矩阵J
    (2)直接从最简行阶梯矩阵J写出齐次线性方程组的一般形式(其实这一步就是消元法的代入步骤),这样就得到了一般解
    (3)对于一般解,我们可以每一次让一个自由变量取1,其他的自由变量均取0,这样得到一个解向量,重复此过程,直到所有的解向量都的出来。
    (4)对于所有的解向量的线性组合,我们就称为方程组的解集。(也叫做方程组的通解)


    3 非齐次线性方程组的解法

    对于非齐次线性方程组,我们的求法基本上是和齐次线性方程组基本上是一致的,但由于常数项的存在,我们在进行求解的时候,不能仅仅通过系数矩阵A来求解,而要通过增广矩阵Augmented matrix 来求解。通过下面一个实例来看:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    通过以上实例,我们可以很清楚的看到非齐次线性方程组的求解过程可以总结为以下过程:
    (1)将增广矩阵经过初等行变换化成最简行阶梯矩阵J
    (2)直接从最简行阶梯矩阵J写出齐次线性方程组的一般形式(其实这一步就是消元法的代入步骤),这样就得到了一般解(注意别把常数项拉下)
    (3)对于特解,我们可以令所有的自由变量均为0,这样可以得到一个特解。
    (4)去掉一般解中的常数项,得到导出组一般解。
    (5)对于导出组的一般解,我们可以每一次让一个自由变量取1,其他的自由变量均取0,这样得到一个解向量,重复此过程,直到所有的解向量都得出来。
    (6)对于特解+所有的解向量的线性组合,我们就称为方程组的解集。(也叫做方程组的通解)

    可以看到,除了需要求特解,将常数项去掉后,我们回到了求解齐次线性方程得解得集合。
    另外,导出组的概念需要说明:

    导出组指的是,将非齐次线性方程组的常数项全部变成0,即将非齐次线性方程组转变为齐次线性方程组,这个对应的齐次线性方程组称作非齐次线性方程组的导出组。


    4 概念

    导出组
    基础解系
    极大线性无关组

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  • 线性方程的方法

    千次阅读 2020-12-02 18:27:50
    1、线性方程的方法大致可以分为两类:直接方法和迭代法。直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差,经过有限次运算可求得方程的精确的方法;迭代法是从的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列去逼近...

    在这里插入图片描述
    1、解线性方程组的方法大致可以分为两类:直接方法和迭代法。直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差,经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法;迭代法是从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。

    2、消去法

    1. Gauss(高斯)消去法——是最基本的和最简单的直接方法,它由消元过程和回代过程构成,基本思想是:将方程组逐列逐行消去变量,转化为等价的上三角形方程组(消元过程);然后按照方程组的相反顺序求解上三角形方程组,得到原方程组的解(回代过程)。
      优缺点:简单易行,但是要求主元均不为0,适用范围小,数值稳定性差。
    2. 列主元素消去法——基本思想是在每次消元前,在要消去未知数的系数中找到绝对值大的系数作为主元,通过方程对换将其换到主对角线上,然后进行消元。
      优点:计算简单,工作量大为减少,数值稳定性良好,是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。
    3. 全主元素消去法——基本思想是在全体待选系数a(ij)(k)中选取主元,并通过行与列的互换把它换到a(kk)(k)的位置,进行消元。
      优缺点:这种方法的精度优于列主元素法,它对控制舍入误差十分有效,但是需要同时作行列变换,因而程序比较复杂,计算时间较长。

    3、直接三角分解法:消元过程实际上是把系数矩阵A分解成单位下三角形矩阵与上三角形矩阵乘积的过程,其中L为单位下三角形矩阵,U为上三角形矩阵。这种分解过程称为杜利特尔(Doolittle分解),也称为LU分解。当系数矩阵进行三角分解后,求解方程组Ax = b的问题就等价于求解两个三角形方程组Ly=bUx=y

    1. 矩阵的直接三角分解——设A为n阶方阵,若A的顺序主子式A(i)均不为0,则矩阵A存在唯一的LU分解;
    2. 直接三角分解法——如果线性方程组Ax = b的系数矩阵已进行三角分解A=LU,则解方程组Ax=b等价于求解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y
    3. 列主元素的三角分解法——设矩阵A非奇异,则存在置换矩阵P,使得PA有唯一的LU分解(即PA=LU),且|l(ij)|≤1;

    4、排列阵:单位矩阵经过若干次行变换所得到的矩阵。

    5、克劳特(Crout)分解:将矩阵A分解成一个下三角形矩阵L与一个单位上三角形矩阵U的乘积。

    6、特殊矩阵的三角分解法:在工程实际计算中,如三次样条插值或用差分法求解常微分方程边值问题,导出的线性方程组的系数矩阵A常常是稀疏的三对角形矩阵或A是对称正定阵,使得A的三角分解也具有更简洁的形式。

    1. 解三对角方程组的追赶法——三对角矩阵为非零元素集中分布在主对角线及其相邻的两条次对角线上的矩阵。
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      设图中的系数矩阵A满足下列条件
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      则A可唯一分解为
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    2. 平方根法(Cholesky分解法)——设A是正定矩阵,则存在唯一的非奇异下三角形矩阵L,使得A=LLT ,且L的对角元素皆为正数。当矩阵A完成Cholesky分解后,求解方程组Ax=b就转化为依次求解方程组Ly = b,LTx = y
      优缺点:无需选择主元,计算过程也是稳定的,数量级约是Gauss消去法的一半,在求L时需做n次开方运算,故而增加了计算量。

    3. 改进平方根法(LDLT法)——对称正定矩阵A又可以作如下分解,A=LDLT ,其中L为单位下三角形矩阵,D为对角阵,记为
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      平方根法与改进平方根法不仅计算量仅是Gauss消去法的一半,其数值稳定性也十分良好,是求解中小型稠密对称正定线性方程组的好方法。
      4.分块三角分解法——在求解微分方程数值解时,如果用差分法或有限元法离散微分方程,导出线性方程组往往是稀疏的,而且具有分块结构,这些稀疏性和分块性对于提高求解方程组的效率很有帮助。

    7、向量范数:是衡量向量大小的度量概念,可以用来刻画Rn向量序列的收敛性
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    向量x的范数具体形式有很多,常用的有以下三种:
    (1)2 - 范数(向量的模)
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    (2)1 - 范数
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    (3)∞ - 范数
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    8、范数等价定理Rn 中任意两种范数都是等价的。

    9、矩阵范数:类似于向量范数的定义,可以定义n x n阶矩阵的范数。
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    常用的矩阵范数有四种,前三种是由向量的1-范数,2-范数,∞-范数诱导出的矩阵范数。设A = (a(ij))为n阶方阵
    (1)1 - 范数(列范数)
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    (2)∞ - 范数(行范数)
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    (3)2 - 范数(谱范数)
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    其中λ是矩阵ATA的最大特征值

    (4)F - 范数
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    10、设A*A的近似矩阵,||A - A* ||,||A - A* || / ||A||分别称为A* 关于范数|| • ||的绝对误差和相对误差,并且由向量范数的等价性可得矩阵范数的等价性

    11、当一个方程组由于系数矩阵或右端项的微小搅动,而引起解发生巨大变化时,称该方程组是“病态”的。当系数矩阵或右端项有搅动时,数 ||A|| ||A-1 || 控制解的搅动程度,,也就是说该数可以反映方程组的状态。把这个数称为矩阵A的条件数,记为cond(A) = ||A|| ||A-1 ||。
    最常用的条件数如下:
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    12、条件数的性质
    (1)对任意n阶方阵A,都有cond(A)≥1;
    (2)对任意非零实数α,有cond(αA)=cond(A);
    (3)若A正交矩阵,cond(A)(2)=1。

    13、误差分析:求得方程组Ax = b的一个近似解x* 后,通常用残量(余量)r = b - Ax* 或其模||r||的大小来检验近似解x* 的精确程度。
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    14、如果方程组中方程个数多于变量个数,称为超定线性方程组,这种方程组一般无精确解,只能在规定意义下求广义解。如果A(mxn阶且m>n)列满秩,即rank(A)= n,则ATA是一个对称正定矩阵,因而正则方程组ATAx=ATb存在唯一解,其解为超定线性方程组的最小二乘解。

    15、迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列,即建立一种从已有近似解计算到新的近似解的规则,由这些不同的计算规则得到不同的迭代法。

    16、迭代法的一般形式(单步定常线性迭代法):对线性方程组Ax = b,,其中A为nxn阶非奇异矩阵,b=(b1,…,bn)T。构造其形如x = Mx + g的同解方程组,其中M为n阶方阵,g∈Rn。任取初始向量x(0)Rn,代入迭代公式x(k+1) = Mx(k) + g(k=0,1,2,…)产生向量序列{x(k)},当k充分大时,以x(k)作为方程的近似解,其中M称为迭代矩阵

    17、向量序列的收敛性

    • 设{x(k)}为Rn中的向量序列,xRn,如果
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      其中|| • ||是向量范数,则称{x(k)}收敛于x,记为
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      n维点列收敛的等价描述是其对应的坐标序列均收敛,向量序列也类似。
    • Rn中的向量序列{x(k)}收敛于Rn中的向量x的充要条件是
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    18、矩阵序列的收敛性:由向量序列的收敛性可以定义矩阵序列的收敛性。

    • 设{A(k)}为n阶方阵序列,A为n阶方阵,如果,
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      其中|| • ||是矩阵范数,则称序列{A(k)}收敛于矩阵A,记为
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    • A(k)=(a_ij(k))(k=1,2,…),A =(a_ij)均为n阶方阵,则矩阵序列{A(k)}收敛于矩阵A的充要条件为
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      向量序列和矩阵序列的收敛可以归结为对应分量或对应元素序列的收敛

    19、雅可比(Jacobi)迭代法
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    20、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
    在这里插入图片描述
    21、谱半径:设A为n阶方阵,λ_i(i=1,2,…,n)为A的特征值,称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径,记为ρ(A)=max{ | λ_i | },其中(λ_1,λ_2,…,λ_n)称为矩阵A的。由特征值定义知ρ(Ak)=[ρ(A)]k

    22、迭代法的收敛条件相关定理

    • A为任意n阶方阵,|| • ||为任意由向量范数诱导出的矩阵范数,则ρ(A)≤|| A ||;
    • A为n阶方阵,则对任意正数ε,存在一种矩阵范数|| • ||,使得|| A ||≤ρ(A) + ε;
    • A为n阶方阵,则lim(k→∞)Ak=0的充要条件是ρ(A)<1;
    • 对任意初始向量x(0)和右端项g,由迭代格式x(k+1) =Mx(k) + g,产生的向量序列{x(k)}收敛的充要条件是ρ(M)<1;由此表明迭代法收敛与否只取决于迭代矩阵的谱半径,与初始向量及方程组的右端项无关。

    23、若n阶方阵A=(a_ij)满足| a_ii | ≥ ∑ | a_ij |(j=1,j≠i),若至少有一个i值,使得上式中不等号严格成立,则称A弱对角占优阵;若对所有i,上式中不等号均严格成立,则称A严格对角占优阵

    • 若A为严格对角占优阵,则求解Ax=b的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛
    • 若A为对称正定阵,则求解Ax=b的高斯-赛德尔迭代法收敛

    24、误差估计:设有迭代格式x(k+1) = Mx(k) + g,若|| M || < 1,{x(k)}收敛于x*,则有误差估计式
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    在实际计算时,常常采用事后估计误差的方法,即利用相邻两次迭代值之差是否达到精度作为停机准则

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