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  • 导出组有非零解
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    2018-06-03 16:50:20

    本文将总结关于线性方程组解的知识点。

    线性方程组

    定义1 线性方程组:我们将形如下式的方程组称为线性方程组。

    a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm(9) (9) a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 … a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m

    其中,矩阵

    A=a11am1a1namn(10) (10) A = ( a 11 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n )
    称为该线性方程组的系数矩阵,而所有满足这个方程组的 X=(x1,,xn) X = ( x 1 , … , x n ) 的集合称为它的解集合。

    定义2 增广矩阵:上面线性方程组的系数矩阵如果加上右侧的 (b1,b2,,bn) ( b 1 , b 2 , … , b n ) 就构成了该方程组的增广矩阵,记为 A¯ A ¯

    A=a11am1a1namnb1bn(11) (11) A = ( a 11 … a 1 n b 1 ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 … a m n b n )

    消元法解线性方程组

    消元法是最常用的解线性方程组的方法,他的核心在于对增广矩阵进行初等变换(即数乘,倍加和对调),使得增广矩阵变为阶梯型。具体做法大家应该都知道,我略了。

    线性方程组有解无解的判定

    将增广矩阵变为阶梯型后,我们就可以通过观察这个阶梯型矩阵判断方程组有无解。具体的做法是看增广矩阵左侧的系数矩阵,如果他的秩和增广矩阵的秩是相等的,则该方程组有解,否则无解。

    定理1 方程组有无解的判定:线性方程组有解的充要条件是 r(A)=r(A¯) r ( A ) = r ( A ¯ ) .

    线性方程组解的结构

    上面是判断有无解的方法,下面更进一步,在有解的情况下,又要分两种情况讨论了:即有唯一解和有无穷解。所以有必要了解线性方程组解的结构。简单起见,我们先研究齐次线性方程组。

    1. 齐次线性方程组解的结构

    齐次线性方程组说的是方程组右侧的向量 (b1,b2,,bn) ( b 1 , b 2 , … , b n ) 都是0时的方程组。那么显然,齐次线性方程组的秩与其系数矩阵的秩肯定是相等的,也就是说它肯定有解。这个也好理解,零向量肯定是他的解嘛。关键问题在于,它什么时候会有非零解。

    定理2 齐次线性方程组有非零解的条件:齐次线性方程组有非零解的充要条件: r(A)<n r ( A ) < n .

    齐次线性方程组还有两个非常重要的性质(证明很容易,自己想想就能知道):

    • 两个解的和还是方程组的解
    • 一个解的倍数还是方程组的解

    上面两个性质综合起来,就是说,对于齐次线性方程组,任意解的线性组合还是解。既然如此,我们研究这么多解那就是毫无意义的,只需要关注那些线性无关的解即可。我们把一个齐次线性方程组的所有线性无关的解称为这个方程组的基础解系。

    定义3 基础解系:齐次线性方程组的一组解 η1,η2,,ηt η 1 , η 2 , … , η t 是它的基础解系,如果满足下列两个条件:

    • 该齐次线性方程组的任何一个解都能表示成 η1,η2,,ηt η 1 , η 2 , … , η t 的线性组合;
    • η1,η2,,ηt η 1 , η 2 , … , η t 线性无关;

    值得一提的是齐次线性方程组的基础解系的个数是 nr(A) n − r ( A ) . 这样,就了解了齐次线性方程组的结构:任意解都是它的基础解系的线性组合。

    2. 非齐次线性方程组解的结构

    现在升级一下,看非齐次方程组的解的结构。对于非齐次的方程组,我们把它右侧的 (b1,b2,,bn) ( b 1 , b 2 , … , b n ) 改成0,就变成齐次了,那么这个齐次方程组也被称为这个非齐次线性方程组的导出组。而非齐次方程组和它的导出组之间是有密切联系的。具体地说,有以下两点:

    • 非齐次线性方程组任意两个解的差是它的导出组的解;
    • 非齐次线性方程组的任意解与它的导出组的和还是该非齐次线性方程组的解;

    既然有这两条性质,我们就不难推出非齐次线性方程组解的结构了。

    定理3 非齐次线性方程组的解:假设 γ0 γ 0 是非齐次线性方程组的一个特解(你就理解成一个解就行),那么该非齐次线性方程组的任意一个解都可以表示成:

    γ=γ0+k1η1+k2η2++knηn(12) (12) γ = γ 0 + k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n η n

    后面的 k1η1+k2η2++knηn k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n η n 是导出组基础解系的线性组合。

    根据定理3,我们也就不难推出非齐次线性方程组有唯一解的条件:即它的导出组只有零解。

    结论

    好了,最后总结一下线性方程组的解的各种情况:

    • 任何线性方程组,只要满足 r(A)=r(A¯) r ( A ) = r ( A ¯ ) ,则一定有解;否则一定无解(这是判断有无解的唯一标准)。
    • 对于齐次线性方程组,如果 r(A)<n r ( A ) < n ,则它有非零解,且线性无关的非零解的个数为 nr(A) n − r ( A ) ;否则只有零解。
    • 对于非齐次线性方程组,如果它的导出组有非零解( r(A)<n r ( A ) < n ),则它有无穷多解,每个解都是特解和导出组基础解系的线性组合;如果它的导出组只有零解,则它有唯一解。

    这块内容比较简单,简单介绍一下,备忘。如果恰能帮到谁,算是我的荣幸了~

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    通过线性代数系列博客03,我们了解了齐次线性方程组与非齐次线性方程组,了解了线性方程组的系数矩阵的行列式与解的情况的关系。接下来我们就要探究,如果我们需要具体求解线性方程,我们需要怎么做?

    在具体了解求解线性方程组的过程之前,我们需要先明确几个概念。


    1 明确概念

    (1)齐次线性方程组:常数项全为0的线性方程组
    (2)齐次线性方程组的解的情况:零解,或者非零解。
    在这里,我们只需要讨论非零解的具体情况就好了。因为对于零解的情况,我们只需要算出来它的系数矩阵的行列式det A≠0即可。


    1. 基础解系
      在聊基础解系之前,先讨论一个概念:解空间w,对于齐次线性方程组来说,它的解空间是齐次线性方程组的解集所构成的一个向量空间。对于非零解的情况下,此空间不是一个零空间(nullspace),因此我们可以在这个空间中知道一组向量,作为解空间w的一个基。
      这样的一个基,我们就称为齐次线性方程组的一个基础解系
      (基:若空间中的任意一个向量都可以由一组线性无关的向量通过线性组合的方式表示,这样的一组向量,我们称为空间的基

    这里也可以得到基础解系的官方定义:齐次线性方程组的解集的极大线性无关组


    1. 通解
      对于齐次线性方程组的解集来说, η 1 , η 2 , . . . . . . . , η n \eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{n} η1,η2,.......,ηn
      若存在一组解向量 η 1 , η 2 , . . . . . . . , η t ( t < = n ) \eta_{1},\eta_{2},.......,\eta_{t}(t<=n) η1,η2,.......,ηt(t<=n)
      是解空间的一个基,则称这组解向量为一个基础解系列。那么就方程组的解集W可以表示为:
      w = k 1 η 1 + k 2 η 2 + . . . . . . . + k t η t ∣ k i ∈ K , i = 1 , 2 , . . . . . t w=k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+.......+k_{t}\eta_{t}|k_{i}∈K,i=1,2,.....t w=k1η1+k2η2+.......+ktηtkiKi=1,2,.....t
      公式表述的稍有不严谨,集合的{}符号没办法打上,其实上面这个关于w的表示方法就是说明,对于基础解系来说,它可以线性的表示为向量空间内的任何一个解。

    1. 解空间的维数
      解空间的维数就是一个解中具有多少个向量,符合以下公式(其中W是解集,n是变量的数量,A是系数矩阵)
      d i m W = n − r a n k ( A ) dim W=n-rank(A) dimW=nrank(A)
      其实也很容易理解,秩的数量表示了主元的数量,n-rank(A)实际上是自由变量的数量,我们对自由变量中的一个取1,其他的取0,这样所有的自由变量均可以取到一次1,产生1次解向量。有多少个自由变量,我们可以得到不同的解。

    2齐次线性方程组的解法

    对以下实例进行求解:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    通过以上实例,我们可以很清楚的看到齐次线性方程组的求解过程可以总结为以下过程:
    (1)将系数矩阵A经过初等行变换化成最简行阶梯矩阵J
    (2)直接从最简行阶梯矩阵J写出齐次线性方程组的一般形式(其实这一步就是消元法的代入步骤),这样就得到了一般解
    (3)对于一般解,我们可以每一次让一个自由变量取1,其他的自由变量均取0,这样得到一个解向量,重复此过程,直到所有的解向量都的出来。
    (4)对于所有的解向量的线性组合,我们就称为方程组的解集。(也叫做方程组的通解)


    3 非齐次线性方程组的解法

    对于非齐次线性方程组,我们的求法基本上是和齐次线性方程组基本上是一致的,但由于常数项的存在,我们在进行求解的时候,不能仅仅通过系数矩阵A来求解,而要通过增广矩阵Augmented matrix 来求解。通过下面一个实例来看:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    通过以上实例,我们可以很清楚的看到非齐次线性方程组的求解过程可以总结为以下过程:
    (1)将增广矩阵经过初等行变换化成最简行阶梯矩阵J
    (2)直接从最简行阶梯矩阵J写出齐次线性方程组的一般形式(其实这一步就是消元法的代入步骤),这样就得到了一般解(注意别把常数项拉下)
    (3)对于特解,我们可以令所有的自由变量均为0,这样可以得到一个特解。
    (4)去掉一般解中的常数项,得到导出组一般解。
    (5)对于导出组的一般解,我们可以每一次让一个自由变量取1,其他的自由变量均取0,这样得到一个解向量,重复此过程,直到所有的解向量都得出来。
    (6)对于特解+所有的解向量的线性组合,我们就称为方程组的解集。(也叫做方程组的通解)

    可以看到,除了需要求特解,将常数项去掉后,我们回到了求解齐次线性方程得解得集合。
    另外,导出组的概念需要说明:

    导出组指的是,将非齐次线性方程组的常数项全部变成0,即将非齐次线性方程组转变为齐次线性方程组,这个对应的齐次线性方程组称作非齐次线性方程组的导出组。


    4 概念

    导出组
    基础解系
    极大线性无关组

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  • 至少有零解 推论:1)齐次线性方程仅有零解的充要条件是(n为未知量的个数) 2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 3)齐次线性方程,如果方程个数小于未知量个数,则必有非零解 4)方程个数与未知量个数相等的...

    4.1 线性方程组的初等变换

    用消元法解线性方程组

    1)交换两方程位置

    2)用非零数乘某方程

    3)某方程的l倍加到另一方程

    4.2 线性方程组有解的判定

    系数矩阵 A

    增广矩阵 \bar{A}

    方程组的解:

    1)当r(A)=r(\bar{A}),有解:r(A)=r(\bar{A})=n,唯一解;

                                                r(A)=r(\bar{A})< n,无穷多解

    2)当r(A)\neq r(\bar{A}),无解

    方程组m,n,m是方程个数,n是未知数个数

    求方程组步骤:

    1)写出\bar{A}

    2)只做初等行变换,化为阶梯形

    3)看r(A)?=r(\bar{A}),阶梯形中虚线左边非零行行数,带虚线右边非零行行数:

                    相等且等于未知量个数,有唯一解

                    相等且小雨未知量个数,有无穷解

                    不想等,无解

    4)若有解,化为行简化阶梯形,不管零行,非零行的首个非零元1留在左边,其余变量挪到等号右边,得到一般解

    4.3 齐次线性方程组

    齐次线性方程组:常数项全为零的线性方程组

    齐次方程一定有解,至少有零解

    推论:1)齐次线性方程组仅有零解的充要条件是r(A)=n(n为未知量的个数)

                2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A)< n

                3)齐次线性方程组,如果方程个数小于未知量个数,则必有非零解

                4)方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等                          于零

    4.4 线性方程组解的结构

    4.4.1 齐次线性方程组解的结构

    性质:1)若\eta _1,\eta _2是齐次线性方程组的解,则\eta _1+\eta _2也是方程组的解

               2)设\eta是齐次线性方程组的解,则对任意数c,c\eta也是它的解

    基础解系:

    如果齐次线线性方程的一组解向量\eta _1,\eta _2,\cdot \cdot \cdot ,\eta _s 满足:

    1)线性无关

    2)齐次线性方程组的每个解向量都可以由\eta _1,\eta _2,\cdot \cdot \cdot ,\eta _s线性表示

    则称\eta _1,\eta _2,\cdot \cdot \cdot ,\eta _s是齐次线性方程组的一个基础解系

    4.4.2 非齐次线性方程组解的结构

    1.非齐次线性方程组解的性质

    性质:

    1)设\alpha _1,\alpha _2为线性方程组的任意两个解,则\alpha _1-\alpha _2为对应导出组的解

    2)设\alpha _0是方程组AX=B的解,\eta是其导出组AX=0的任一解,则\alpha _0+\eta仍是AX=B

    的解

    2.非齐次线性方程组解的结构

    定理:如果 \alpha _0是方程组AX=B的一个解(通常称为特解),\eta是其导出组AX=0的通解,即

                            \eta =c_1\eta _1+c_2\eta _2+\cdot \cdot \cdot +c_{n-r}\eta _{n-r}

    其中\eta _1,\eta _2,\cdot \cdot \cdot ,\eta _{n-r} 是AX=0的一个基础解系。则方程组AX=B的通解(或全部解)可表示为

                            \alpha =\alpha _0+\eta =\alpha _0+c_1\eta _1+c_2\eta _2+\cdot \cdot \cdot +c_{n-r}\eta _{n-r}

    其中c_1,c_2,\cdot \cdot \cdot ,c_{n-r}为任意常数。

    求解过程:

    1)写出\bar{A},只经过初等行变换化为行简化阶梯形

    2)非零行的首非零元的1留在左边,其余挪到右边,写出非齐次的同解方程组,指出谁是自由未知量(不在左边,是自由未知量)

    3)令自由未知量均取零,得Ax=b的一个特解

    4)令同解方程组右边常数项均为零,得Ax=0的同解方程组,指出谁是自由未知量,令其取单位向量,得Ax=0的基础解系

    5)特解+Ax=0的基础解系的线性组合

     

     

     

     

     

     

     

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  • 线性方程什么时候无?多个?唯一

    万次阅读 多人点赞 2018-02-26 16:50:18
    线性方程什么时候无?...化简后的有效方程个数小于未知数个数,多个化简后的有效方程个数小于未知数个数,多个{\color{Red}{化简后的有效方程个数小于未知数个数,多个}}。 ...

    线性方程组什么时候无解?多个解?有唯一解?

    一。非齐次线性方程组,无解,多解,唯一解

    非齐次线性方程组,就是方程组的等式右边不为0的方程组,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵

    【例1】求解下列线性方程组

    化 简 后 的 有 效 方 程 组 个 数 小 于 未 知 数 个 数 , 有 多 个 解

     2x1+3x2+x3=2 x12x2+2x3=4 3x1+x2+3x3=6  {   2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2   x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 = 4   3 x 1 + x 2 + 3 x 3 = 6  

    第一步,先列出增广矩阵,

    213321123|2|4|6 ( 2 3 1 | 2 1 − 2 2 | 4 3 1 3 | 6 )

    第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵
    先把第2行换到第1行

    123231213|4|2|6 ( 1 − 2 2 | 4 2 3 1 | 2 3 1 3 | 6 )

    ,第2行减第1行的2倍,第3行减第1行的3倍,得到

    100277233|4|6|6 ( 1 − 2 2 | 4 0 7 − 3 | − 6 0 7 − 3 | − 6 )

    ,第3行减第2行,得到
    100270230|4|6|0 ( 1 − 2 2 | 4 0 7 − 3 | − 6 0 0 0 | 0 )

    ,化简后的方程组,等于

     2x1+3x2+x3=2 7x23x3=6 0x1+0x2+0x3=0  {   2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2   7 x 2 − 3 x 3 = 6   0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 0  

    这样, x2 x 2 可以通过 x3 x 3 来表示, x1 x 1 也可以通过 x3 x 3 来表示,这样 x3 x 3 就叫做自由变量, x3 x 3 可以取任意值。所以 x1,x2,x3 x 1 , x 2 , x 3 就有无穷多个解。

    可见,化简后的有效方程组个数,小于未知数个数。
    有效方程组个数=2,未知数个数=3

    化 简 后 的 有 效 方 程 组 个 数 , 小 于 未 知 数 个 数 。 这 样 的 方 程 组 有 无 穷 多 个 解

    【例2】求解下列线性方程组

    (0=d) 化 简 后 的 有 效 方 程 组 出 现 ( 0 = d ) 型 式 不 兼 容 方 程 , 则 无 解

     x17x2+6x3=2 2x1+3x28x3=3 x1+10x214x3=6  {   x 1 − 7 x 2 + 6 x 3 = 2   2 x 1 + 3 x 2 − 8 x 3 = 3   x 1 + 10 x 2 − 14 x 3 = 6  

    第一步,先列出增广矩阵,

    12173106814|2|3|6 ( 1 − 7 6 | 2 2 3 − 8 | 3 1 10 − 14 | 6 )

    第二步,用高斯消元法化简,化简成阶梯矩阵
    第2行减去第1行*2,第3行减去第2行

    10071706200|2|1|5 ( 1 − 7 6 | 2 0 17 − 20 | − 1 0 0 0 | 5 )

    导出最后一个方程:
    0x1+0x2+0x3=5 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = 5
    这个方程是不可能成立的,所以原线性方程组无解。
    这种形式的方程叫做 {0=d} 方程,其中d是非零数,这种叫做不相容方程,也是自相矛盾的方程。
    {0=d} 方程是一种自相矛盾的方程,左边全是0,右边是一个非零,这是自相矛盾的,是不相容的,所以无解。
    (0=d) 化 简 后 导 出 ( 0 = d ) 形 式 的 方 程 , 方 程 组 无 解

    判断有解无解总结:
    对于 Ax=b方程组
    通过高斯消元法,化简,化成阶梯行方程组
    1)先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程,如果出现,无解
    2)有解的情况下,再看看有效方程个数是否小于未知数个数,如果是,则有无穷多个解。如果正好相等,则有唯一解。

    二。齐次线性方程组,非零解,零解

    齐次线性方程组,就是方程组的等式右边全部是0的方程组,只有系数矩阵,不需要增广矩阵,所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况,只需要考虑是多个解,还是唯一解。

    对于齐次线性方程组,有 多 个 解 叫 做 有 非 零 解 。 唯 一 解 叫 做 零 解 。

    对于Ax=0的齐次线性方程组,列出其系数矩阵(不需要增广矩阵),使用高斯消元法化简,化为阶梯形矩阵,化简后,判断有效方程组个数是否小于未知数个数,
    如 果 有 效 方 程 组 个 数 小 于 未 知 数 个 数 , 叫 做 有 非 零 解 ( 多 个 解 )
    如 果 等 于 , 叫 做 只 有 零 解 ( 唯 一 解 )

    三。什么是矩阵的秩( zhi` z h i ` ),什么是detA?

    detAA ∗ ∗ d e t A ∗ ∗ 就 是 矩 阵 A 的 行 列 式 的 值
    什么叫做矩阵的秩?
    将矩阵用高斯消元法化简后,非零行的行数叫做行秩,非零列的列数叫做列秩。
    矩 阵 的 秩 是 方 阵 经 过 初 等 变 换 后 的 非 零 行 行 数 或 非 零 列 列 数
    可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是极大无关组中所含向量的个数。

    定义: A={aij}m×nA A = { a i j } m × n 的 不 为 零 的 子 式 得 最 大 阶 数 称 为 矩 阵 A 的 秩
    记做 rA r A ,或者 rankA r a n k A
    特别规定零矩阵的秩就是零。
    若A中至少有一个r阶子式不等于零,且在r< min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。
    由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n,
    通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,满秩矩阵 detA0 d e t A ≠ 0
    不满秩矩阵就是奇异矩阵,奇异矩阵 detA=0 d e t A = 0
    由行列式性质知道,矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

    四。通过矩阵的秩( zhi` z h i ` )来判断线性方程组无解,有多个解,唯一解的问题

    线性方程组什么时候无解,有多个解,唯一解?

    1.对于非齐次线性方程组,用矩阵的秩r(A)来判断

    对线性方程组进行初等变换(高斯消元法),化为最简型(阶梯形)矩阵,

    考查系数矩阵r(A),增广矩阵r(A,b),以及方程组未知数个数n
    如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b), r(A)<r(A,b) r ( A ) < r ( A , b ) , 那 么 方 程 组 无 解
    如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数, r(A)=r(A,b)<n r ( A ) = r ( A , b ) < n , 那 么 方 程 组 有 多 个 解
    如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数, r(A)=r(A,b)=n r ( A ) = r ( A , b ) = n , 那 么 方 程 组 有 唯 一 解

    2.对于齐次线性方程组,用行列式的值 detA来判断。

    不存在无解的情况
    判断detA, detA==0 如 果 d e t A == 0 , 则 有 非 零 解 ( 无 穷 多 个 解 )
    判断detA, detA0 如 果 d e t A ≠ 0 , 则 只 有 零 解 ( 只 有 唯 一 解 )

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    万次阅读 多人点赞 2018-08-29 12:15:03
    一、齐次线性方程,无,多,唯一 齐次线性方程,就是方程的等式右边不为0的方程,系数加上方程等式右边的矩阵,叫做增广矩阵。 【例1】求解下列线性方程 化简后的有效方程个数小于未知数个...
  • 线性方程的同计算。
  • 线性方程的方法

    万次阅读 多人点赞 2020-12-02 18:27:50
    1、线性方程的方法大致可以分为两类:直接方法和迭代法。直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差,经过有限次运算可求得方程的精确的方法;迭代法是从的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列去逼近...
  • 1. 齐次方程的平凡解及有非零解的等价命题(矩阵非满秩;矩阵列向量线性相关) 2. 齐次线性方程解的性质(两解之和、解的数乘、解的线性组合均是解) 3. 齐次线性方程的全部解构成的集合中包括...
  • Citrix Xen使用自定义虚拟设备格式进行导入/导出,称为“ XVA”。 它基本上是一个奇怪的tar文件。 您不需要此程序即可压缩此tar文件,只需使用您喜欢的tar压缩器(tar,gtar,bsdtar)即可。 压缩后,您将...
  • 利用Matlab求线性方程的通

    千次阅读 2021-04-18 15:22:56
    教 育 科 学 从摆箭 利用 求线性方程的通 简绍勇 杜 玲 陈 勇 新余高等专科学校数学与信息科学系 江西 新余 〔摘 要 〕讨论线性方程组解的个数及求线性方程的通问题是线性代数中的常见 问题 , 介绍利用 软件...
  • 线性代数基础系通求法

    万次阅读 多人点赞 2020-12-19 01:17:41
    第一步,导出组的基础系向量个数用公式s=n-r来计算,算出来是4-3=1个,所以基础系含有的向量个数是一个。 第二步,确定基础系,这里要用到两个定理,来凑出题目给出的条件进行计算。 第一个是非齐次线性方程组
  • 基础使用 MATLAB 求解偏微分方程(建议收藏)

    万次阅读 多人点赞 2021-10-02 01:26:20
    文章目录基础使用 MATLAB 求解偏微分方程(建议收藏)偏微分开源工具介绍PDE 工具箱函数汇总介绍0 基础:GUI 界面操作示例问题工具箱求解导出为代码形式代码导出相关数据0.1 基础:编程调用 PDE 工具箱 ...
  • 助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定内容居中、居左、居右SmartyPants创建一个自定义列表如何创建一个注脚注释也是必不可少的KaTeX数学...
  • 《线性代数》模拟题 一、单选题 1.向量线性相关其秩为则() A. B. C. D. 2.已知向量则(). A. B. ...3.设是维列向量则线性无关额充分必要条件是() ...6.A为矩阵则其次线性方程唯一的充要条件是() A.R(Ab
  • 均假设方程的系数矩阵奇异,方程存在唯一 线性方程的直接方法的基本思想是将方程(2-1)变形为等价的三角形方程,然后求解 (一)消去法 (1)Gauss消去法 将方程逐列逐行消去变量,转化为...
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  • 二、一阶线性常系数微分方程初值问题的 习题4 A B 第5章内积空间与Hermite矩阵 5.1内积空间 一、内积空间的概念 二、内积的性质 三、由内积导出的范数 四、内积空间的子空间 5.2正交与正交系 一、正交及其性质 ...
  • GDSII 文件格式通常用于存储二维几何数据。 在本主题中,我们将引导您了解将组件设计导出到 GDSII 文件的步骤、格式和最佳实践。 我们还将展示一个简单但真实的硅光子学 GDSII 示例。
  • 功能很简单,主要刷新,提升阶数,如何一定有解,以及简单的存储数据。 ———————————————————————————————————————— (全局用3阶为例,即3x3的难度) 、首先创建一个...
  • 简述线性方程

    2022-04-23 21:26:20
    本文希望以尽可能直观形象的视角简单阐述一下究竟什么是线性方程,以及与之相关的一些概念和性质,并举例说明一下如何求解一个线性方程
  • 使用MicrobiomeAnalyst进行微生物数据的全面统计、功能和元分析Using MicrobiomeAnalyst for comprehensive statistical,...
  • 线性方程 复习笔记0825
  • 零钱组合的几种解法

    千次阅读 2015-09-18 22:05:31
    存在这样一个数组, int arr... 里面是各种零钱的金额,我们还假设每一种零钱都无数种,请问这些金钱组成一个特定面额数值的组合数。 比如 要组成1元,则情况为  5 10 25 1  0 0 0 10  0 1 0 0  1 0 0 5
  • 本文是对《【硬刚大数据之学习路线篇】2021年从到大数据专家的学习指南(全面升级版)》的面试部分补充。 硬刚大数据系列文章链接: 2021年从到大数据专家的学习指南(全面升级版) 2021年从到大数据...
  • 高等代数--线性方程

    千次阅读 2020-08-12 16:58:44
    1.用一非零的数乘某一方程; 2把一个方程的倍数加到另一个方程; 3.互换两个方程的位置; 定义1: 变换1,2,3称为线性方程的初等变换。 初等变换总是把方程变成同的方程。 我们做初等变换的目的总是为了得到一...
  • 向量线性无关的判断。
  • 基础解系的求法 基础解系存在判定定理 基础解系求解推论 基础解系有非零解推论 基础解系求解步骤 例题 非齐次方程组 非齐次有解判定定理 增广矩阵 非齐次解的性质 性质1 非齐次方程组(1)的两个解的差是它的导出组的...

空空如也

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导出组有非零解