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  • 导函数
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    2021-01-12 08:44:26

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    课题

    :

    探究原函数与导函数的关系

    首师大附中

    数学组

    王建华

    设计思路

    这节课就是在学完导数与积分之后

    ,

    学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了

    一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有

    ,

    但数学内部的联系规律与对

    称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。

    备这个课的过程中我虽然参考了大量已

    有的资料

    ,

    但需要做更深入地思考这些命题间的联系

    ,

    以什么方式展开更利于学生拾级而上

    ,

    最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。

    教师实际上就是在引导学生进行一次理论的

    探险

    ,

    大胆地猜

    ,

    小心地证

    ,

    谨慎地修改条件

    ,

    步步逼近真理。

    最终学生能否记住这些结论并不重

    ,

    重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会

    有更多的收获。

    整个教学流程

    1

    从经验观察发现

    ,

    猜想得命题

    p,q

    这两个命题为真命题

    ,

    证明它们的方法用复合函数求

    ,

    比较容易上手。

    2

    学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立

    ,

    尝试证明。证明的思路也要逆向思考。

    发现由于导数确定后原函数不能唯一确定

    ,

    有上下平移的可能

    ,

    这样关于

    y

    轴对称的性质能够

    保持

    ,

    但关于原点对称的性质就不能保证了。

    3

    函数的平移不改变函数图象的对称性

    ,

    因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称

    ,

    将偶函

    数的性质拓展为关于直线

    x

    a

    对称

    ,

    研究前面的四个命题还就是否成立。

    研究方法可以类比

    迁移前面的方法。能成立的严格证明

    ,

    不能成立的举出反例

    ,

    并尝试通过改变条件使之成为真

    命题。

    4

    、已有成果的应用

    :

    利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。

    教学目标

    在这个探究过程中

    1

    、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解

    ;

    2

    、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力

    ;

    3

    体验研究事物的角度

    ,

    一个新定理就是怎样诞生的

    ,

    怎样才就是全面地认识了一个事

    物。

    4

    、培养学生的思辨能力

    ,

    分析法解决问题的能力

    ,

    举反例的能力等等。

    教学重点

    以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、

    概括猜想、

    辨别真伪的

    过程。

    教学难点

    灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入

    前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图

    ,

    您能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图不?

    一.

    探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题

    1

    已知函数

    (

    )

    y

    f

    x

    的图像

    ,

    请尝试画出其导函数的图像示意图。

    3

    (

    )

    f

    x

    x

    2

    '(

    )

    3

    y

    f

    x

    x

    y

    x

    o

    x

    y

    o

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    千次阅读 2021-01-12 08:44:25
    原函数与导函数的关系.课题:探究原函数与导函数的关系首师大附中 数学组 王建华 设计思路这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分...

    原函数与导函数的关系

    .

    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求 导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图吗?

    一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    ;.

    .

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图像,请尝试画出其导函

    2020-04-10

    40人浏览

    原函数与导函数的关系

    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数 求导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图吗

    一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。

    2020-05-16

    5人浏览

    原函数与导函数的关系

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    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求 导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函 数的图像画出导函数的示意图吗? 一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知

    2020-05-18

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    原函数与导函数的关系

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    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求 导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函 数的图像画出导函数的示意图吗? 一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图

    2020-03-26

    13人浏览

    原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数 求导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。

    教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的

    过程。 教学难点

    灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图吗?

    一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。

    f (x) x3

    y

    2020-04-09

    20人浏览

    原函数与导函数地关系

    1. p,q. 2. y 3.

    x a

    4.

    1. 2. 3 4.

    1 y f (x)

    f (x) x3

    y

    y f '(x) 3x2

    y

    o

    x

    o

    x

    f (x) x2

    y

    y f '(x) x

    y

    o

    x

    y

    o

    x

    o

    x

    p : q:

    2 y y

    3

    P: y f (x) y f '(x)

    1 y f '(x) f '(x) f '(x)

    f '(x) f '(x) x x

    y f (x) , x

    f

    '(x)

    lim x0

    f (x x) x

    f

    (x)

    lim

    f (x x)

    x0

    x

    f (x)

    lim x0

    f

    (x) f (x x) x

    f

    '(x)

    y f '(x)

    2.

    y f (x) x f (x) f (x) x [ f (x)]' [ f (x)]' f '(x) (1) f '(x) f '(x) f '(x) y f '(x)

    q .

    p q

    4 p q

    p y f '(x) y f (x) y f '(x) x y f (x) 1 x2 c

    2

    c 0

    q y f '(x) y f (x) y f '(x)

    [ f (x) f (x)]' f '(x) f '(x)(1) f '(x) f '(x) 0 f (x) f (x) 0 f (x) f (x) c c

    0

    " R y f '(x) y f (x) " y f (x) x 0 f (0) f (0) c 0 f (x) f (x)

    5 y

    P r y f (x) (a, b) x a y f (x) (a, b) f (x) f (2a x) 2b f '(x) f '(2a x)(1) 0 f '(x) f '(2a x) x a

    q s y

    2019-04-18

    92人浏览

    原函数与导函数地关系

    实用标准文案

    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求 导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。

    精彩文档

    实用标准文案

    教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。

    教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的

    过程。 教学难点

    灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图吗?

    一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    精彩文档

    实用标准文案

    问题 1

    2020-04-23

    3人浏览

    导函数与原函数的性质讨论

    目录

    中文摘要 ........................................................... I 英文摘要 .......................................................... II 1 绪论 ............................................................. 1 2 导函数的性质 ..................................................... 1

    2.1 定义 ........................................................1 2.2 性质 ........................................................2

    2.2.1 导函数的介值性.........................................2 2.2.2 导函数无第一类间断点...................................6 2.2.3 导函数的极限.......................................... 10 3 原函数的两个性质 ................................................ 12 3.1 性质一 .....................................................12 3.2 性质二 .....................................................13 4 导函数与原函数的关系 ............................................ 14 5 函数性质在导函数与其原函数之间的交互关系 ........................ 15 5.1 单调性 .....................................................15 5.2 有界性 .....................................................16 5

    2017-09-24

    2146人浏览

    导函数与原函数的性质讨论

    目录

    中文摘要 ........................................................... I 英文摘要 .......................................................... II 1 绪论 ............................................................. 1 2 导函数的性质 ..................................................... 1

    2.1 定义 ........................................................1 2.2 性质 ........................................................2

    2.2.1 导函数的介值性.........................................2 2.2.2 导函数无第一类间断点...................................6 2.2.3 导函数的极限.......................................... 10 3 原函数的两个性质 ................................................ 12 3.1 性质一 .....................................................12 3.2 性质二 .....................................................13 4 导函数与原函数的关系 ............................................ 14 5 函数性质在导函数与其原函数之间的交互关系 ........................ 15 5.1 单调性 .....................................................15 5.2 有界性 .....................................................16 5

    2018-08-25

    234人浏览

    原函数和导函数的关系

    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数 求导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图吗?

    一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。

    2020-04-24

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    原函数和导函数的关系

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    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求 导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图吗?

    一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

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    问题

    2020-07-28

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    原函数和导函数的关系

    原函数和导函数的关系

    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课就是在学完导数与积分之后,学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了 一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律与对 称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已 有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。教师实际上就是在引导学生进行一次理论的 探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重 要,重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会 有更多的收获。 整个教学流程 1、 从经验观察发现,猜想得命题 p,q、 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求 导,比较容易上手。 2、 学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。 发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3、 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函

    数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还就是否成立。研究方法可以类比

    迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真 命题。 4、已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理就是怎样诞生的,怎样才就是全面地认识了一个事 物。4、培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,您能根据原函 数的图像画出导函数的示意图不? 一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图像

    2020-05-25

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    原函数和导函数的关系

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    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求 导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函 数的图像画出导函数的示意图吗? 一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图

    2020-03-26

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    原函数和导函数的关系

    课题:探究原函数与导函数的关系

    首师大附中 数学组 王建华 设计思路

    这节课是在学完导数和积分之后,学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一 定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律和对称 美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有 的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上, 最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探 险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并 不重要,重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说 会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现,猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数 求导,比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发 现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于 y 轴对称的性质能够 保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶

    函数的性质拓展为关于直线 x a 对称,研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类

    比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成 为真命题。 4.已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标

    在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力; 3 体验研究事物的角度,一个新定理是怎样诞生的,怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的 过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。

    新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,你能根据原函

    数的图像画出导函数的示意图吗

    一. 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

    问题 1 已知函数 y f (x) 的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。

    2020-05-16

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  • 假设有一个函数的图像, 你不知道它的方程, 但又想要画出其导函数的图像。这时公式和法则帮不上你, 你需要的是对微分有一个很好的理解。 下面是基本思想:将函数的图像想象成一座山, 并想象有一个小登山者在从左到右...

    本例来自《普林斯顿微积分》,和朋友们分享~

    假设有一个函数的图像, 你不知道它的方程, 但又想要画出其导函数的图像。这时公式和法则帮不上你, 你需要的是对微分有一个很好的理解。

    下面是基本思想:将函数的图像想象成一座山, 并想象有一个小登山者在从左到右地爬上爬下。在攀登的每一点上, 登山者会大声地喊出他认为攀登有多困难。如果地形平坦, 登山者会大声喊出数 0 以表示难度。如果地形呈现向上的斜坡, 登山者会大声喊出一个正的数; 攀登越陡峭, 数越大。如果地形呈现向下的斜坡, 那么攀登实际上很轻松, 因此难度是负的。也就是说, 登山者会大声喊出一个负的数。向下的斜坡越陡越轻松, 因此数会越来越负。( 如果下坡确实非常陡, 那它或许会让下行变得更不安全, 但它显然也让下降变得更为快速 !)这里的要点是:山的高度本身不重要, 重要的是陡峭程度。特别地, 你可以将整个图像向上平移, 登山者还是会大声喊出相同的难度程度来。这意味着, 如果你从一个函数的图像画一个导函数的图像, 该函数的y轴截距是不重要的!

    来看一个例子:画出下述让人恐惧的函数的导函数的图像, 如图所示。

    Image

    不要惊慌。需在各个不同的点上画一个小登山者并想象登山者在每一点上大声喊出难度程度。然后 , 你所要做的就是在另一套坐标上画出这些难度程度。特别要留心的是那些路径平坦的点; 这可以出现在一个长的平坦的区域中 ( 如上图中的x=5和x=6之间 ), 或者在一个峰的顶部 ( 如在x=−5或x=1), 又或者在一个谷的底部 ( 如在x=−2或x=3)。那里你肯定是要画出登山者的。下图是在一些位置放上登山者的 f 的图像:

    Image

    现在, 为导函数的图像来画一套坐标。y 轴标记为 “ 难度程度 ”, 从上至下由难至易。然后, 基于小登山者大声喊出的难度程度, 你应该能够用铅笔描出一些点来。回想一下, 登山者并不关心山有多高, 他只关心山有多陡! 基于此, 会得到下图上的一些点:

    Image

    以下是对于如何得出这些点的详细解释:

    • 在y=f(x)的图像的最左侧, 登山者开始只是缓缓地上坡。因此, 将画出一些高度稍高于 0 的一些点。

    • 往前走, 走到x=−6, 登山者开始上坡, 因此难度上升, 这些点也变高了 ( 更难了 )。

    • 然后 , 开始变得略微容易点, 直到x=−5时, 登山者达到峰的顶部, 那里是平坦的。特别地, 当x=−5时, 导函数有一个x轴截距。

    • 在x=−5之后, 原始函数的曲线开始变成下坡, 首先较为平缓, 然后越来越陡。这意味着, 攀登将变得越来轻松, 直到它变得非常非常轻松。因此, 导函数在x=−4处有一条垂直渐近线。

    • 在该渐近线的另外一侧, 攀登也很容易, 因为登山者将下坡, 开始非常陡, 并在x=−2处到达谷底。因此, 在导函数曲线上, 垂直渐近线实际上始于−∞( 非常非常容易 ) 并在x=−2处爬升至 0。( 在x=−5和x=−4之间有x轴截距以及在x=−4 和x=−3之间也有, 但这都无关紧要。原始函数的x轴截距不重要。)

    • 在x=−2到达谷底之后 , 登山者必须上坡一会儿, 因此攀登变困难了。尽管在x=0之后变得略微容易点 , 但他依然要往上爬, 直到x=1的山顶。这意味着, 导函数的曲线上升, 直到x=0, 然后下降 , 直到x=1, 得到一个x轴截距。

    • 在走向x=3处谷底的路上, 情况发生了逆转:下坡越来越陡, 直到 x=2,然后坡度减缓些, 但仍然是下坡。因此, 导函数的曲线下降, 在x=2处达到一个最小值, 然后上升, 直到 x=3, 得到一个 x 轴截距。

    • 从x=3处的谷底起, 攀登一直都很困难, 直到x=4。然而, 在x=4 和x=5之间, 攀登的难度是均匀的, 因为斜率是常数。因此, 导函数的曲线从x=3上升, 直到 x=4, 然后在x=4 和 x=5之间, 保持在同一高度 ( 难度程度 )。

    • 在x=5, 斜率突然地改变了。在没有任何预警的情况下, 它突然变平坦了,然后保持这种平坦直到x=6。因此, 导函数的曲线必须下降至 0 并且保持为 0 直到x=6。导函数在x=5处有一个不连续点。

    • 在x=6之后, 登山者发现 , 随着曲线逼近x=7处的垂直渐近线 , 攀登越来越容易了。导函数的曲线在那里也有一条垂直渐近线。

    • 在这条垂直渐近线的右侧, 攀登极度困难, 但当x走向9时, 攀登变得略微容易点。因此, 导函数的曲线在x=7的右侧始于非常高的地方, 然后当攀登越来越容易时, 它变得越来越低。

    现在, 只需要把这些点连起来 ! 下图分别是 y=f(x) 和 y=f′(x) 的图像:

    Image

    我们把所用的思想做一下总结。

    • 当原始图像平坦时, 导函数的图像有一个x轴截距。在上例中, 它们出现在x=−5, x=−2, x=1, x=3及区间 [5,6] 的每一点上。

    • 当原始图像的一部分是一条直线时, 导函数的图像是常数 ( 上例中, 它出现在区间 [4,5] 上 )。

    • 如果原始图像有一条水平渐近线, 其导函数图像经常也有一条水平渐近线,但如果是那样的话, 它将在y=0的高度, 而不是渐近线的原始高度上 ( 正如上例中图像的左端 )。

    • 原始图像中的垂直渐近线通常导致导函数在相同位置上也有垂直渐近线尽管方向可能会改变。例如上例中, 在x=7处, 在渐近线的两侧, 原始函数的曲线都走向−∞, 但导函数却有相反的符号。在x=−4处的垂直渐近线也受到类似的影响。

    如果有怀疑的话, 就请使用那些值得信赖的登山者进行验证吧! 

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  • 导函数图像类型题类型一:已知原函数图像,判断导函数图像。(福建卷11)如果函数的图象如右图,那么导函数的图象可能是( )设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下左图所示,则导函数y=f ?(x)的图象可能为( )...

    导函数图像类型题

    类型一:已知原函数图像,判断导函数图像。

    (福建卷11)如果函数的图象如右图,那么导函数的图象可能是( )

    设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下左图所示,则导函数y=f ?(x)的图象可能为( )

    函数的图像如下右图所示,则的图像可能是( )

    若函数的图象的顶点在第四象限,则其导函数的图象是( )

    类型二:已知导函数图像,判断原函数图像。

    O12xy (2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是(   )

    O

    1

    2

    x

    y

    O

    O

    1

    2

    x

    y

    x

    y

    y

    O

    1

    2

    y

    O

    1

    2

    x

    O

    1

    2

    x

    A

    B

    C

    D

    xoy(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数的导函数的图象如右图,则的图象可能是( )

    x

    o

    y

    函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数的单调增区间是_____________

    类型三:利用导数的几何意义判断图像。

    (2009湖南卷文)若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是 ( )

    yab

    y

    a

    b

    a

    b

    a

    o

    x

    o

    x

    y

    b

    a

    o

    x

    y

    o

    x

    y

    b

    A . B. C. D.

    9.若函数在区间内是单调递减函数,则函数在区间内的图像可以是( )

    A B C D

    10.(选做)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )

    类型四:根据实际问题判断图像。

    (2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科)如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( )

    10.如图,直线和圆c,当从开始在平面上绕点o按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过)时,它扫过的园内阴影部分的面积S是时间t的函数,这个函数的图像大致是( )

    11.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

    xyx4OoO已知函数的导函数的图像如下,则(

    x

    y

    x4

    OoO

    函数有1个极大值点,1个极小值点

    函数有2个极大值点,2个极小值点

    函数有3个极大值点,1个极小值点

    函数有1个极大值点,3个极小值点

    (2008珠海质检理)函数的定义域为,其导函数内的图象如图所示,则函数在区间内极小值点的个数是( )

    (A).1 (B).2 (C).3 (D).4

    已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:

    (Ⅰ)的值;

    (Ⅱ)的值.

    函数在定义域内可导,其图象如图,记的导函数为,则不等式的解集为_____________

    如图为函数的图象,为函数的导函数,则不等式的解集为_____ _

    【湛江市·文】函数的图象大致是

    .        .          .       .

    【珠海·文】如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是 ( )

    A. B.

    C. D.

    定义在R上的函数满足.为的导函数,已知函数的图象如右图所示.若两正数满足,则的取值范围是 ( )

    A. B. C. D.

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