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  • 导函数的四则运算公式
    2020-11-18 18:16:11

    这是先东老师讲解的第17道题目。

    首先祝大家新年快乐,然后装作什么事都没发生的样子。

    还是先放链接https://mv.xesimg.com/home/2019/02/11/1549867115289449051388.mp4

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    今天讲解的是利用导数求函数的单调性,这个在高考时一般会提升难度(加参数)作为选择填空题。或者稍微变下题型作为解答题的第一问。

    言归正传,这个题目的易错点有以下几个,我按做题步骤来说

    1.求定义域!求定义域!求定义域!求定义域!重要的事情说四遍。

    2.求导。简单函数求导公式以及导数四则运算法则不能熟练运用的同学自己去抄50遍。

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    3.对“x2-2x-3”十字相乘因式分解。这个还不会的同学一定要补了啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊!

    4.根据导数值的正负判断函数的增减。注意一定要把定义域考虑在内。定义域就是基本法。

    5.单调区间的连接只能用“和”、“,”。不能用“或”,“∪”。总之除了前面两个都不行。

    6.答案的规范性。

    标准答案格式:该函数的单调递增区间为(x,x),(x,x)单调递减区间为:(x,x),(x,x)

    或者该函数在(x,x),(x,x)上单调递增,在(x,x),(x,x)上单调递减。

    注意:问的是区间,不要写出:当x>?时单调递增。诸如此类的答案

    距离2020年高考还有482天,这个可以作为你要努力学习的理由吗?


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    考纲原文

    1.导数概念及其几何意义

    (1)了解导数概念的实际背景.

    (2)理解导数的几何意义.

    2.导数的运算

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    (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.

    • 常见基本初等函数的导数公式:

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    • 常用的导数运算法则:

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    知识点讲解

    一、导数的概念

    1.平均变化率

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    2.瞬时速度

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    3.瞬时变化率

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    4.导数的概念

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    5.导函数的概念

    如果函数y=f(x)在开区间(ab)内的每一点都是可导的,则称f(x)在区间(ab)内可导.这样,对开区间(ab)内的每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x),于是在区间(ab)内f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数(简称导数),记为f'(x)或y',即

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    二、导数的几何意义

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    三、导数的计算

    1.基本初等函数的导数公式

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    2.导数的运算法则

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    3.复合函数的导数

    复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即yx的导数等于yu的导数与ux的导数的乘积.

    考向分析

    考向一 导数的计算

    1.导数计算的原则和方法

    (1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.

    (2)方法:

    ①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;

    ②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;

    ③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;

    ④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;

    ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.

    2.求复合函数的导数的关键环节和方法步骤

    (1)关键环节:

    ①中间变量的选择应是基本函数结构;

    ②正确分析出复合过程;

    ③一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;

    ④善于把一部分表达式作为一个整体;

    ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.

    (2)方法步骤:

    ①分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量;

    ②求每一层基本初等函数的导数;

    ③每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.

    考向二 导数的几何意义

    求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

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    (5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线,P一定在曲线上.

    ②过点P的切线即切线过点PP不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时,应首先检验点P是否在已知曲线上.

    【规律总结】

    求切线方程的步骤:

    (1)利用导数公式求导数.

    (2)求斜率.

    (3)写出切线方程.

    注意导数为0和导数不存在的情形.

    【名师点睛】

    熟记基本初等函数的求导公式,导数的四则运算法则是正确求导数的基础.

    (1)运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数y=f(x)开区间(a,b)内的导数的基本步骤:

    ①分析函数y=f(x)的结构和特征;

    ②选择恰当的求导公式和运算法则求导;

    ③整理得结果.

    (2)对较复杂的函数求导数时,先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时,可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便;对于三角函数,往往需要利用三角恒等变换公式,将函数式进行化简,使函数的种类减少,次数降低,结构尽量简单,从而便于求导.

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    内容提要:

    1、导数的四则运算法则

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          有时可以用自己的语言来描述它,帮助记忆,例如乘积的求导法则,可以表述为“前导乘后不导+前不导乘后导”

    2、反函数的求导法则

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        这个法则主要是用于推导反三角函数的几个求导公式,有点抽象,可以把它简单地理解为:函数求导等于它的反函数的导数的倒数。

    3、常用的求导公式

          根据上述两个法则,又可以推出好几个求导公式了。我们把所学的求导公式归纳一下,常用的一共有16个公式,一定要记住,后面的运算都会用到。

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    世上无难事,只要背公式

    4、复合函数求导

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         简单来讲,复合函数求导的秘诀是:先分层,逐层求导再相乘。

        关键在于分层。关于复合函数的分层,我在第2课已经讲过了,不太会分层的同学可以看回我第2个视频。

        最初做题时,可以将中间变量写出来,分层求导。熟练以后,层次结构就在你的大脑里了,可以不用写出中间变量,一步到位,直接求导,希望大家能达到这样的境界。

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    妻子黎元洪养女方自新

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    导数(Derivative),也叫导函数值。又名微商,是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。

    导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

    不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。

    对于可导的函数f(x),x↦f'(x)也是一个函数,称作f(x)的导函数(简称导数)。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上,求导就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之,已知导函数也可以倒过来求原来的函数,即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作,它们都是微积分学中最为基础的概念。

    定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

    这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!

    一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

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    胡昉祖(1903-1974),字旭初,民国大总统黎元洪女婿、著名翻译家、官员、书法家。就学于南开中学、北京大学、毕业于上海法学院,先后就职盐务公署,1945-1948年就职于敌产清办处、中央信託局,后在水产局任教,书法近何绍基,笔意纵逸超迈,时有颤笔,醇厚有味,译有莎士比亚戏剧故事《裘力斯·凯撒的生和死》、《雅典的泰门》、《仲夏夜之梦》、《科利奥兰纳斯的悲剧》、《罗密欧与朱丽叶》、《不列颠的国王辛白林》、《错误的喜剧》、《太尔的亲王起力克尔司》和译有《弗洛斯河上的磨坊》,译有白话文冯梦龙 蔡元放编的《东周列国志》1059页,有《科学杂记》、《常用医药》、《什么叫血压医学稿》、《读宋太祖传弟光义(太宗)书后》、《导数的概念》、《定积分》、《高中数学点滴》、《高等数学笔记》和《不定积分习题解答》等稿,与周恩寿、句适生、章靳以同班同学。其妻为黎元洪养女方自新,婚姻由唐在礼夫妇介绍,其父为胡承治:杭州人,宣统二年中举,以知县分省补用,自号殅厂,有更生居士等名号,善书法。有《光緒二十九年癸卯恩科浙江鄉試硃卷一卷》。

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