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  • 1.函数的导数和高阶导数,可用diff()函数y=diff(fun, x)求导数y=diff(fun, x, n)求n阶导数例:求函数f(x)=sinx/(x2+4x+3)的4阶导数解:>>syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f,x,4)f1 =sin(x)/(x^2+4*x+3...

    1.函数的导数和高阶导数,可用diff()函数

    y=diff(fun, x)求导数

    y=diff(fun, x, n)求n阶导数

    例:求函数f(x)=sinx/(x2+4x+3)的4阶导数

    解:>>syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f,x,4)

    f1 =

    sin(x)/(x^2+4*x+3)+4*cos(x)/(x^2+4*x+3)^2*(2*x+4)-12*sin(x)/(x^2+4*x+3)^3*(2*x+4)^2+12*sin(x)/(x^2+4*x+3)^2-24*cos(x)/(x^2+4*x+3)^4*(2*x+4)^3+48*cos(x)/(x^2+4*x+3)^3*(2*x+4)+24*sin(x)/(x^2+4*x+3)^5*(2*x+4)^4-72*sin(x)/(x^2+4*x+3)^4*(2*x+4)^2+24*sin(x)/(x^2+4*x+3)^3

    2.多元函数的偏导数:已知f(x,y),求,则可如此求得

    f=diff(diff(f,x,m),y,n),或f=diff(diff(f,y,n),x,m)

    例:求z=f(x,y)=的偏导数,并用图形表示

    解:>> syms x y

    z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);

    zx=simple(diff(z,x))

    zx =

    -exp(-x^2-y^2-x*y)*(-2*x+2+2*x^3+x^2*y-4*x^2-2*x*y)

    >>zy=diff(z,y)

    zy =

    (x^2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x^2-y^2-x*y)

    在x,区域生成网格,则可绘制原函数的三位曲面:

    >>[x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);

    >>z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);

    >>surf(x,y,z),axis([-3 3 -2 2 -0.7 1.5])

    既然计算出对两个自变量的一阶偏导数,则可以调用quiver()函数绘制出引力线,该引力线可以叠印在以contour()函数绘制出的等值线:

    >>contour(x,y,z,30),hold on %绘制等值线

    >>zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y-4*x.^2-2*x.*y);

    >>zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);

    >>quiver(x,y,zx,zy) %绘制引力线

    例:已知,求

    解:>> syms x y z;f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);

    >>df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z);df=simple(df)

    df =

    -4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y))

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  • 1.f(x)n阶导函数存在 <=======> f(n)(x)存在 指的是在某个区间内有定义 2.f(x)n阶可导根据题意可以有两种不同的解释:  ①.题目中说的是在某点即在x=x0处n阶可导,指的是f(n)(x0)存在。  ②.题目直接说...

    1.f(x)n阶导函数存在 <=======>  f(n)(x)存在  指的是在某个区间内有定义

     

    2.f(x)n阶可导根据题意可以有两种不同的解释:

      ①.题目中说的是在某点即在x=x0处n阶可导,指的是f(n)(x0)存在。

      ②.题目直接说有n阶导函数就是指n阶导函数存在。

     

    3.在泰勒展开中,带拉格朗日余项的是在x0的某个邻域内有n+1阶导数存在;而带佩亚诺余项的是在x0n阶可导。

    转载于:https://www.cnblogs.com/uangyy/p/3889893.html

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  • Y,dy0,dyn,xi)% X为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值%dy0左端点处的一阶导数% dyn右端点处的一阶导数n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1...

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    function

    S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)

    % X

    为已知数据的横坐标

    %Y

    为已知数据的纵坐标

    %xi

    插值点处的横坐标

    %S

    求得的三次样条插值函数的值

    %dy0

    左端点处的一阶导数

    % dyn

    右端点处的一阶导数

    n=length(X)-1;

    d=zeros(n+1,1);

    h=zeros(1,n-1);

    f1=zeros(1,n-1);

    f2=zeros(1,n-2);

    for

    i=1:n

    %

    求函数的一阶差商

    h(i)=X(i+1)-X(i);

    f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);

    end

    for

    i=2:n

    %

    求函数的二阶差商

    f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));

    d(i)=6*f2(i);

    end

    d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);

    d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);

    赋初值

    A=zeros(n+1,n+1);

    B=zeros(1,n-1);

    C=zeros(1,n-1);

    for

    i=1:n-1

    B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));

    C(i)=1-B(i);

    end

    A(1,2)=1;

    A(n+1,n)=1;

    for

    i=1:n+1

    A(i,i)=2;

    end

    for

    i=2:n

    A(i,i-1)=B(i-1);

    A(i,i+1)=C(i-1);

    end

    M=A\d;

    syms

    x

    ;

    for

    i=1:n

    Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))

    ...

    +M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);

    digits(4);

    Sx(i)=vpa(Sx(i));%

    三样条插值函数表达式

    end

    for

    i=1:n

    disp(

    'S(x)='

    );

    fprintf(

    '%s (%d,%d)\n'

    ,char(Sx(i)),X(i),X(i+1));

    end

    for

    i=1:n

    if

    xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)

    S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M

    (i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3;

    end

    end

    disp(

    'xi S'

    );

    fprintf(

    '%d,%d\n'

    ,xi,S);

    return

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  • 高数——高阶导数

    2019-10-18 10:31:07
    泰勒级数公式是用系数含有n阶导的x的幂次方表示的,而泰勒级数的作用非常强大,它可以把非常复杂的函数变成容易研究的幂函数。 高阶导数 什么是高阶导数呢?就是我求完一次导数之后,我再求一遍导数导数,以此类推...

    高阶导数的用处

    高阶导数非常有用,二阶导可以判断函数图像的凹凸性;泰勒级数公式是用系数含有n阶导的x的幂次方表示的,而泰勒级数的作用非常强大,它可以把非常复杂的函数变成容易研究的幂函数。

    高阶导数

    什么是高阶导数呢?就是我求完一次导数之后,我再求一遍导数的导数,以此类推,我求了几遍它就叫几阶导数。具体用符号怎么写,我先举几个例子之后再讲。举个例子(下面的几个例子我都只求到二阶):
    在这里插入图片描述
    它的导数就是y′=3,但是我要是再求一遍导数(求y′=3的导数)那就是0了。再换个例子:
    在这里插入图片描述
    它的导数为y′=6x+4,还是再求一遍导数,y″=6。最后再看一个三角函数的:
    在这里插入图片描述
    这个我们都应该背过,它的导数没有什么说的就是cosx,二阶导数就是-sinx。

    高阶导数的符号

    举了这么多的例子,我就是为了让你能够更好的理解它的符号:
    大家可能对y″比较容易理解,可是对d²y/dx²不太明白,你可以这样来理解,由于我求导的对象始终为x,所以分母的平方可以放在x上,而我求导的对象y却在不断地改变(一阶导数求导对象是原函数,二阶导数求导对象为一阶导数,以此类推),那么平方就不能放在y上了,就只能放在d上了。

    二阶导数

    我们来看看二阶导数, 设函数为 f(x) , 那么导数可以理解为 x 点处所对应的图像的斜率. 图像很陡对应导数的值很大, 向下倾斜说明导数是负的.

    而二阶导数是导数的导数,它表示斜率的变化情况. 最直观的方法就是观察 f(x) 曲线的弯曲方向, 让它向上弯曲, 斜率在增加, 这时二阶导数就是正的.当它向下弯曲斜率再减少, 二阶导数就是负的.

    实际问题中的加速度是帮助你理解二阶导数的最佳例子, 假设物体沿直线运动,并且你有一个它的距离-时间函数, 或许它的图像看起来就是像下面这样,随着时间的持续的增加.

    它的导数就是每一时间点的速度, 其实导数的图像就像是个小山包, 先增加到一个最大值,然后减小到 0.

    所以二阶导数能告诉你在某个时间点上速度的变化率,这就是加速度.

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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