1．函数的导数和高阶导数，可用diff()函数
y=diff(fun, x)求导数
y=diff(fun, x, n)求n阶导数
例：求函数f(x)=sinx/(x2+4x+3)的4阶导数
解：>>syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f,x,4)
f1 =
sin(x)/(x^2+4*x+3)+4*cos(x)/(x^2+4*x+3)^2*(2*x+4)-12*sin(x)/(x^2+4*x+3)^3*(2*x+4)^2+12*sin(x)/(x^2+4*x+3)^2-24*cos(x)/(x^2+4*x+3)^4*(2*x+4)^3+48*cos(x)/(x^2+4*x+3)^3*(2*x+4)+24*sin(x)/(x^2+4*x+3)^5*(2*x+4)^4-72*sin(x)/(x^2+4*x+3)^4*(2*x+4)^2+24*sin(x)/(x^2+4*x+3)^3
2．多元函数的偏导数：已知f(x,y)，求，则可如此求得
f=diff(diff(f,x,m),y,n)，或f=diff(diff(f,y,n),x,m)
例：求z=f(x,y)=的偏导数，并用图形表示
解：>> syms x y
z=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
zx=simple(diff(z,x))
zx =
-exp(-x^2-y^2-x*y)*(-2*x+2+2*x^3+x^2*y-4*x^2-2*x*y)
>>zy=diff(z,y)
zy =
(x^2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
在x，区域生成网格，则可绘制原函数的三位曲面：
>>[x,y]=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2);
>>z=(x.^2-2*x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
>>surf(x,y,z),axis([-3 3 -2 2 -0.7 1.5])
既然计算出对两个自变量的一阶偏导数，则可以调用quiver()函数绘制出引力线，该引力线可以叠印在以contour()函数绘制出的等值线：
>>contour(x,y,z,30),hold on %绘制等值线
>>zx=-exp(-x.^2-y.^2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y-4*x.^2-2*x.*y);
>>zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.^2-y.^2-x.*y);
>>quiver(x,y,zx,zy) %绘制引力线
例：已知，求
解：>> syms x y z;f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
>>df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z);df=simple(df)
df =
-4*z*exp(-x^2*y-z^2)*(cos(x^2*y)-10*cos(x^2*y)*y*x^2+4*sin(x^2*y)*x^4*y^2+4*cos(x^2*y)*x^4*y^2-sin(x^2*y))

1.f(x)n阶导函数存在 <=======>  f(n)(x)存在  指的是在某个区间内有定义
 
2.f(x)n阶可导根据题意可以有两种不同的解释：
　　①.题目中说的是在某点即在x=x0处n阶可导，指的是f(n)(x0)存在。
　　②.题目直接说有n阶导函数就是指n阶导函数存在。
 
3.在泰勒展开中，带拉格朗日余项的是在x0的某个邻域内有n+1阶导数存在；而带佩亚诺余项的是在x0处n阶可导。
转载于:https://www.cnblogs.com/uangyy/p/3889893.html

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function
S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)
% X
为已知数据的横坐标
%Y
为已知数据的纵坐标
%xi
插值点处的横坐标
%S
求得的三次样条插值函数的值
%dy0
左端点处的一阶导数
% dyn
右端点处的一阶导数
n=length(X)-1;
d=zeros(n+1,1);
h=zeros(1,n-1);
f1=zeros(1,n-1);
f2=zeros(1,n-2);
for
i=1:n
%
求函数的一阶差商
h(i)=X(i+1)-X(i);
f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);
end
for
i=2:n
%
求函数的二阶差商
f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));
d(i)=6*f2(i);
end
d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);
d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);
%¸
赋初值
A=zeros(n+1,n+1);
B=zeros(1,n-1);
C=zeros(1,n-1);
for
i=1:n-1
B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));
C(i)=1-B(i);
end
A(1,2)=1;
A(n+1,n)=1;
for
i=1:n+1
A(i,i)=2;
end
for
i=2:n
A(i,i-1)=B(i-1);
A(i,i+1)=C(i-1);
end
M=A\d;
syms
x
;
for
i=1:n
Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(x-X(i))
...
+M(i)/2*(x-X(i))^2+(M(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(x-X(i))^3);
digits(4);
Sx(i)=vpa(Sx(i));%
三样条插值函数表达式
end
for
i=1:n
disp(
'S(x)='
);
fprintf(
'%s   (%d,%d)\n'
,char(Sx(i)),X(i),X(i+1));
end
for
i=1:n
if
xi>=X(i)&&xi<=X(i+1)
S=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i))*(xi-X(i))+M(i)/2*(xi-X(i))^2+(M
(i+1)-M(i))/(6*h(i))*(xi-X(i))^3;
end
end
disp(
'xi  S'
);
fprintf(
'%d,%d\n'
,xi,S);
return

高阶导数的用处
高阶导数非常有用，二阶导可以判断函数图像的凹凸性；泰勒级数公式是用系数含有n阶导的x的幂次方表示的，而泰勒级数的作用非常强大，它可以把非常复杂的函数变成容易研究的幂函数。
高阶导数
什么是高阶导数呢？就是我求完一次导数之后，我再求一遍导数的导数，以此类推，我求了几遍它就叫几阶导数。具体用符号怎么写，我先举几个例子之后再讲。举个例子（下面的几个例子我都只求到二阶）：



它的导数就是y′=3，但是我要是再求一遍导数（求y′=3的导数）那就是0了。再换个例子：



它的导数为y′=6x+4，还是再求一遍导数，y″=6。最后再看一个三角函数的：



这个我们都应该背过，它的导数没有什么说的就是cosx，二阶导数就是-sinx。
高阶导数的符号
举了这么多的例子，我就是为了让你能够更好的理解它的符号：

大家可能对y″比较容易理解，可是对d²y/dx²不太明白，你可以这样来理解，由于我求导的对象始终为x，所以分母的平方可以放在x上，而我求导的对象y却在不断地改变（一阶导数求导对象是原函数，二阶导数求导对象为一阶导数，以此类推），那么平方就不能放在y上了，就只能放在d上了。
二阶导数
我们来看看二阶导数, 设函数为 f(x) , 那么导数可以理解为 x 点处所对应的图像的斜率. 图像很陡对应导数的值很大, 向下倾斜说明导数是负的.
而二阶导数是导数的导数，它表示斜率的变化情况. 最直观的方法就是观察 f(x) 曲线的弯曲方向, 让它向上弯曲, 斜率在增加, 这时二阶导数就是正的.当它向下弯曲斜率再减少, 二阶导数就是负的.
实际问题中的加速度是帮助你理解二阶导数的最佳例子, 假设物体沿直线运动，并且你有一个它的距离-时间函数, 或许它的图像看起来就是像下面这样，随着时间的持续的增加.
它的导数就是每一时间点的速度, 其实导数的图像就像是个小山包, 先增加到一个最大值，然后减小到 0.
所以二阶导数能告诉你在某个时间点上速度的变化率，这就是加速度.





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