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  • 导数中的存在性问题
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    一、单调性判断定理

    定理:
    设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。
    (1)如果在(a,b)内f(x)≥0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
    (2)如果在(a,b)内f(x)≤0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。

    证明思路
    利用拉格朗日中值公式,可以正得任意两点的函数值差等于某点导数与两点x值的差的乘积,因此x值的差决定了函数值的差的符号。

    另外对于导数为0的点,将区间分成了2部分,每部分的单调性跟随导数的值与自变量的差的值,这表明两个区间的单调性遵循定理的要求,则两个区间叠加后也会遵循。

    二、曲线凹凸性判断

    1、凹凸性的判断规则

    函数曲线的上升或下降反映了函数的单调性,而曲线在上升或下降过程中,还存在一个弯曲方向的问题,如图:
    在这里插入图片描述

    都是上升曲线,曲线ACB向上凸起,而ADB则向下弯曲。

    曲线的凹凸性在几何图形上的描述:通过曲线上任取两点,如果连接这两点的直线(弦)总是位于这两点曲线弧的上方,则曲线是向下弯曲(凹),如果弦总是位于曲线弧的上方,则曲线是向上凸的。

    曲线的凹凸性函数形式的表达
    设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1、x2恒有:
    在这里插入图片描述
    那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧),如果恒有:
    在这里插入图片描述
    那么称/(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

    2、曲线凹凸性判断定理

    设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么
    (1)若在(a,b)内f”(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
    (2)若在(a,b)内f”(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

    证明思路

    任取区间内两点x1、x2,假设x2>x1,然后取x0=(x1+x2)/2,记h=x0-x1=x2-x0,分别对区间[x1,x0]、[x0,x2]应用柯西中值定理,得到的两个式子相减后再应用柯西中值定理,如果函数f(x)的二阶导数大于0,就可以得到:
    在这里插入图片描述

    三、极值

    1、定义

    设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U°(x0)内的任一x,有
    f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)

    备注:去心邻域实际的表示不是U°,而是在U上面一个小圈,但无法用文字输入,因此老猿所有的博文都用了U°来表示,实际的符号应该是:
    在这里插入图片描述

    函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点

    函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值,如果就f(x)的整个定义域来说f(x0)不见得是最大值。关于极小值也类似。

    在这里插入图片描述

    在图3-11中,函数f(x)有两个极大值:f(x2)、f(x5),三个极小值:f(x1)、f(x4)、f(x6),其中极大值f(x2)比极小值f(x0)还小。就整个区间[a,b]来说,只有一个极小值f(x1)同时也是最小值,而没有一个极大值是最大值。

    2、定理1(必要条件)

    定理:设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则f’(x0)=0。

    定理1就是说:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点,但反过来,函数的驻点却不一定是极值点

    例如,f(x)=x3的导数f’(x)=3x2,f’(0)=0,因此x=0是这可导函数的驻点,但x=0却不是这函数的极值点。

    所以,函数的驻点只是可能的极值点。此外,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值

    3、定理2(第一充分条件)

    定理:设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心邻域U°(x0,δ)内可导。
    (1)若x∈(x0-δ,x0)时,f’(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)时,f’(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值;
    (2)若x∈(x0-δ,x0)时,f’(x)<0,而x∈(x0,x0+δ)时,f’(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值;
    (3)若x∈U°(x0,δ)时,f’(x)的符号保持不变,则f(x)在x0处没有极值。

    定理2也可简单地这样说:当x在x0的邻近渐增地经过x0时,如果f’(x)的符号由正变负,那么f(x)在x0处取得极大值;如果f(x)的符号由负变正,那么f(x)在x0处取得极小值;如果f’(x)的符号并不改变,那么f(x)在x0处没有极值。

    根据上面的两个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内连续,除个别点外处处可导,那么就可以按下列步骤来求f(x)在该区间内的极值点和相应的极值:
    (1)求出导数f’(x);
    (2)求出f(x)的全部驻点与不可导点;
    (3)考察f’(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形,以确定该点是否为极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;
    (4)求出各极值点的函数值,就得函数(x)的全部极值。

    4、定理3(第二充分条件)

    定理:设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f"(x0)≠0,则
    (1)当f"(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值;
    (2)当f”(x)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值。

    证明思路
    根据导数的定义有:
    在这里插入图片描述
    而f’(x0)=0,可以得到x在x0的足够小的去心邻域时,上式右边不带极限符号的表达式的运算结果的符号取决于f"(x0)的符号,也可以得出f’(x)的符号与x-x0的符号的关系,再结合定理2就可以证明上述结论。

    定理3表明

    如果函数f(x)在驻点x0处的一阶导数f’(x0)=0、二阶导数f”(x0)≠0,那么该驻点x0一定是极值点,并且可以按二阶导数f”(x0)的符号来判定f(x0)是极大值还是极小值。

    但如果f"(x)=0,那么定理3就不能应用。事实上,当f’(x0)=0,f"(x)=0时(x)在x处可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值。

    例如,f(x)=-x4,f2(x)=x4,f3(x)=x3这三个函数在x=0处就分别属于这三种情况。

    因此,如果函数在驻点处的二阶导数为零,那么可以用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定;如果函数在驻点处有f"(x0)=…=f(n-l)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,那么也可利用具有佩亚诺余项的泰勒公式来讨论判定)。

    四、求最值的方法

    假定函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内除有限个点外可导,且至多有有限个驻点。在上述条件下,我们来讨论f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。

    首先,由闭区间上连续函数的性质可知,f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在。

    其次,如果最大值(或最小值)f(x0)在开区间(a,b)内的点x0处取得,那么,按f(x)在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定,可知f(x0)一定也是f(x)的极大值(或极小值),从而x0一定是f(x)的驻点或不可导点。又f(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。

    因此,可用如下方法求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值:
    (1)求出f(x)在(a,b)内的驻点及不可导点;
    (2)计算f(x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a)、f(b);
    (3)比较(2)中诸值的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值。

    在求函数的最大值(或最小值)时,特别值得指出的是下述情形:f(x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x0,并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点,那么,当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值(图3-15(a));当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值(图3-15(b)),在应用问题中往往遇到这样的情形。

    在这里插入图片描述

    五、借助导数描绘函数图形

    借助于一阶导数的符号,可以确定函数图形在哪个区间上上升,在哪个区间上下降;

    借助于二阶导数的符号,可以确定函数图形在哪个区间上为凹,在哪个区间上为凸,在什么地方有拐点。

    知道了函数图形的升降、凹凸以及拐点后,也就可以掌握函数的形态,并把函数的图形画得比较准确。

    利用导数描绘函数图形的一般步骤如下

    1. 第一步 确定函数y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等),并求出函数的一阶导数f’(x)和二阶导数f"(x);
    2. 第二步 求出一阶导数’(x)和二阶导数f”(x)在函数定义域内的全部零点,并求出函数f(x)的间断点及f’(x)和f”(x)不存在的点,用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间;
    3. 第三步 确定在这些部分区间内f’(x)和f“(x)的符号,并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点;
    4. 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;
    5. 第五步 算出f’(x)和f”(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值,定出图形上相应的点;
    6. 为了把图形描绘得准确些,有时还需要补充一些点,然后结合第三、四步中得到的结果,联结这些点画出函数y=f(x)的图形。

    现在,随着现代计算机技术的发展,借助于计算机和许多数学软件,可以方便地画出各种函数的图形。但是,如何识别机器作图中的误差,如何掌握图形上的关键点,如何选择作图的范围等,从而进行人工干预,仍然需要我们有运用微分学的方法描绘函数图形的基本知识。

    六、小结

    本文介绍了利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值相关的概念和定理,通过本文的介绍,可以熟悉通过导数判断函数单调性、凹凸性、极值以及求最值的原理和方法。最后,通过一阶导数和二阶导数确定了函数的单调性、凹凸性、极值点之后,就可以描绘出函数的几何图形。

    说明:

    本文内容是老猿学习同济版高数的总结,有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料,或对文章内有有疑问咨询的,请扫博客首页左边二维码加微信公号,根据加微信公号后的自动回复操作。

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  • 【高数】导数存在,导数就连续吗?

    万次阅读 多人点赞 2019-08-01 17:15:12
    【高数】导数存在,导数就连续吗? 连续与间断、函数与导函数 -1. 导数存在,原函数存在且连续,但导函数不一定连续。 2. 导函数不连续时,存在的间断点是振荡间断点。 3. 单侧导数存在可推出原函数单侧极限存在。

    【高数】导数存在,导数就连续吗?

    一、概念理解

    1. 函数连续:y=f(x) 在 x_0 的某邻域有定义,且满足下式。
      在这里插入图片描述
      也就说明,连续意味着,x_0 处 f(x) 的极限存在,也即 f(x) 的左极限=右极限=该点函数值。

    2. 函数间断:
      (1)x_0 处无定义
      (2)x_0 处有定义,但该点处函数极限不存在
      (3)x_0 处有定义,该点处函数极限存在,但极限值 ≠ 函数值

    3. 导数存在:(百度定义)
      在这里插入图片描述
      也就说明,某点导数存在,表示该点处左导数、右导数存在且相等,我们把这个相同的值(也就是该点的导数)记作 f '(x_0)。

    二、问题讨论

    1. 导数存在表示某区间上导数处处存在,此时原函数连续,但不一定导函数连续。事实上,可构造出无数个这样的函数。
      已被研究清楚了,可参考:《【高等数学】导数存在蕴含导数连续?》
      https://zhuanlan.zhihu.com/p/28543551

    2. 进而,导函数存在但不连续,则存在振荡间断点,但不存在无穷间断点和第一类间断点。(下有简要证明,可进一步理解。截图久远,链接丢失……)
      证明过程

    3. 单侧导数存在,原函数一定存在单侧极限。
      证明思路:写出定义式,分母趋近0,而导函数存在,因此分子也趋近0,得出原函数连续。

    三、小结

    1. 导数存在,原函数存在且连续,但导函数不一定连续。
    2. 导函数不连续时,存在的间断点是振荡间断点。
    3. 单侧导数存在可推出原函数单侧极限存在。

    P.S. 这个编辑器不能编辑数学公式,有点难用,还没习惯。以后也会有学习过程中的疑问思考和求解过程,就慢慢更新博客吧。顺便分享给有同样疑惑的人,欢迎探讨哇。同时,为了节省时间,有涉及他人的知识成果的部分,如果没取得转载许可,就都不引用,直接放指路链接了。

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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

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    在这里插入图片描述

    导数极限的情况分类:存在极限

    然后开始推关系
    在这里插入图片描述

    函数可导性

    在这里插入图片描述
    同上述第二个公式,此时函数f(x)在x=x0点处可导

    导数极限的情况分类:极限为无穷

    在这里插入图片描述
    这里有个要注意的就是不可导属于不存在,因此结果都应该为导数不存在

    导数极限的情况分类:非无穷,也不存在

    在这里插入图片描述

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