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  • 2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4.3导数存在性问题练习理北师大版
  • 全国通用2016高考数学二轮复习专题一第5讲导数与不等式存在性及恒成立问题
  • 非线性导数相关的分数边值问题解的存在性
  • 为了研究二阶常微分方程Dirichlet边值问题解的存在唯一,考虑到非线性项函数含有未知函数的一阶导数,首先证明求解含一阶导数项的二阶常微分方程Dirichlet边值问题等价于求积分方程组的连续解,然后在广义的李普...
  • 在本文,我们研究了一类描述了带有信号刺激的分数阶阻尼系统的振动微分方程的边值问题的可解性。 通过拉普拉斯变换来表示核函数,并利用特征值和改进的Leray-Schauder度,建立了边值问题解的存在性
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  • 【高数】导数存在,导数就连续吗? 连续与间断、函数与导函数 -1. 导数存在,原函数存在且连续,但导函数不一定连续。 2. 导函数不连续时,存在的间断点是振荡间断点。 3. 单侧导数存在可推出原函数单侧极限存在。

    【高数】导数存在,导数就连续吗?

    一、概念理解

    1. 函数连续:y=f(x) 在 x_0 的某邻域有定义,且满足下式。
      在这里插入图片描述
      也就说明,连续意味着,x_0 处 f(x) 的极限存在,也即 f(x) 的左极限=右极限=该点函数值。

    2. 函数间断:
      (1)x_0 处无定义
      (2)x_0 处有定义,但该点处函数极限不存在
      (3)x_0 处有定义,该点处函数极限存在,但极限值 ≠ 函数值

    3. 导数存在:(百度定义)
      在这里插入图片描述
      也就说明,某点导数存在,表示该点处左导数、右导数存在且相等,我们把这个相同的值(也就是该点的导数)记作 f '(x_0)。

    二、问题讨论

    1. 导数存在表示某区间上导数处处存在,此时原函数连续,但不一定导函数连续。事实上,可构造出无数个这样的函数。
      已被研究清楚了,可参考:《【高等数学】导数存在蕴含导数连续?》
      https://zhuanlan.zhihu.com/p/28543551

    2. 进而,导函数存在但不连续,则存在振荡间断点,但不存在无穷间断点和第一类间断点。(下有简要证明,可进一步理解。截图久远,链接丢失……)
      证明过程

    3. 单侧导数存在,原函数一定存在单侧极限。
      证明思路:写出定义式,分母趋近0,而导函数存在,因此分子也趋近0,得出原函数连续。

    三、小结

    1. 导数存在,原函数存在且连续,但导函数不一定连续。
    2. 导函数不连续时,存在的间断点是振荡间断点。
    3. 单侧导数存在可推出原函数单侧极限存在。

    P.S. 这个编辑器不能编辑数学公式,有点难用,还没习惯。以后也会有学习过程中的疑问思考和求解过程,就慢慢更新博客吧。顺便分享给有同样疑惑的人,欢迎探讨哇。同时,为了节省时间,有涉及他人的知识成果的部分,如果没取得转载许可,就都不引用,直接放指路链接了。

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  • 全国通用2016高考数学二轮复习专题一第5讲导数与不等式的证明存在性及恒成立问题训练文
  • 利用一个新的锥不动点定理和非局部边值问题的Green函数的性质,研究了一类含有一阶导数的非局部四阶边值问题:u(4) (t) + Au″(t) =λf(t,u(t),u′(t)),0 (1) =∫10 xss=removed u″(1) =∫10>0,0 < A
  • 【高等数学】导数存在是否蕴含导数连续?

    万次阅读 多人点赞 2017-08-16 12:30:45
    导数存在是否蕴含导数连续呢?导数连续的充分必要条件究竟是什么呢?

    问题描述:

    首先这问题的结论显然是错误的。

    举个例子,

     

    常见的错误推导:

    前提设定一下:


    1.洛必达法则


    2.拉格朗日中值定理


    右→左:如果右边的存在,x能以任意的方式趋近于x0,那么当然对于ξ的序列,ξ的序列的极限也是x0,根据海涅定理二者相等。(导数极限定理)

    左→右:如果左边的存在,左边只是一种特殊的情况,只是保证了拉格朗日对应的ξ可以趋近于x0,不能保证其他邻域点也能成立。

     

    所以,综上所述,导数存在不能蕴含导数连续。

    那么,问题来了,什么条件可以蕴含导数连续呢?


     

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  • 利用锥上的不动点定理研究周期边值问题:Lu:u"+ m 2u = f(t ,u (t ),u(t )),u(0)= u(2π), u(0)= u(2π),其中,m ∈(0,1/2 )的正解的存在性,并获得了一些新的结论。
  • 通过利用Avery-Peterson不动点定理讨论了一类二阶m点边值问题x″+f( t,x,x′)= 0,x(0) =∑m-2 i=1 αix(ξi),x′(1) =∑m-2 i=1 βix′(ξi),正解的存在性,在适当条件下建立了这类边值问题至少存在三个的正解的充分...
  • 数学导数

    千次阅读 2017-07-13 12:56:38
    数学导数

    导数(Derivative)是微积分学(微积分学是研究极限、微分学、积分学和无穷级数等的一个数学分支)中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附件的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数f的自变量在一点x0上产生一个增量h时,函数输出值的增量与自变量增量h的比值在h趋于0时的极限如果存在,即为f在x0处的导数,记作

    导数是函数的局部性质。不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。如果函数的自变量和取值都是实数的话,那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率(斜率用来量度斜坡的斜度,数学上,直线的斜率在任一处皆相等,是直线倾斜程度的量度。透过代数和几何能计算出直线的斜率;曲线上某点的切线斜率反映此曲线的变数在此点的变化快慢程度,用微积分可计算出曲线中任一点的切线斜率)。

    对于可导的函数f,x→f’(x)也是一个函数,称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。反之,已知导函数也可以倒过来求原来的函数,即不定积分(在微积分中,一个函数f的不定积分,也称为原函数或反导数,是一个导数等于f的函数F,即F’=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定)。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作,它们都是微积分学中最为基础的概念。

    一般定义:设有定义域和取值都在实数域中的函数y=f(x)。若f(x)在点x0的某个领域内有定义,则当自变量x在x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f’(x0),即:

    对于一般的函数,如果不使用增量的概念,函数f(x)在点x0处的导数也可以定义为:当定义域内的变量x趋近于x0时,f(x)-f(x0)/(x-x0)的极限,也就是说:

    几何意义:当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。

            导函数:若函数f(x)在其定义域包含的某区间I内每一个点都可导,那么也可以说函数f(x)在区间I内可导,这时对于I内每一个确定的x值,都对应着f的一个确定的导数值,如此一来就构成了一个新的函数x→f’(x),这个函数称作原来函数f(x)的导函数,记作:y’、f’(x)或者。值得注意的是,导数是一个数,是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。但在不至于混淆的情况系,通常也可以说导函数为导数。由于对每一个可导的函数f(x),都有它的导函数f’(x)存在,我们还可以定义将函数映射到其导函数的算子。这个算子称为微分算子。

            导数与微分:微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是,对一元函数来说,可微与可导是完全等价的。可微的函数,其微分等于导数乘以自变量的微分dx,换句话说,换句话说,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f’(x)dx。

            函数可导的条件:如果一个函数在定义域为全体实数,即函数在(-∞,+∞)上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先,要使函数f在一点可导,那么函数一定要在这一点处连续。换言之,函数若在某点可导,则必然在该点处连续。然而,连续性并不能保证可导性。即使函数在一点上连续,也不一定就在这一点可导。事实上,存在着在每一点都连续,但又在每一点都不可导的”病态函数”。在连续而不可导的函数里,一种常见的情况是,函数在某一点连续,并且可以定义它的左导数和右导数,然而左导数和右导数并不相等,因而函数在该处不可导。实际上,若函数导数存在,则必然可以推出左右导数相等,这是由极限的性质(极限存在则左右极限相等)得来。如果函数在一点的左右导数都存在并且相等,那么函数在该处可导。

            导数与函数的性质:

            (1)、单调性:如果函数的导函数在某一区间内恒大于零(或恒小于零),那么函数在这一区间内单调递增(或单调递减),这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点(或极值可疑点),在这类点上的函数可能会取得极大值或极小值。

            (2)、凹凸性:可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增,那么这个区间上的函数是向下凸的,反之则是向上凸的。

            基本函数的导数:

            (1)、多项式函数:如果f(x)=xr,其中r是非零实数,那么导函数f’(x)=rxr-1。函数f的定义域可以是整个实数域,但导函数的定义域则不一定与之相同。

            (2)、常函数的导数是0。

            (3)、底数为e的指数函数y=ex的导数还是自身。一般的指数函数y=ax的导数还需要乘以一个系数即为ln(a)ax。自然对数函数ln(x)的导数是x-1.同样的,一般的对数函数loga(x)导数则还需要乘以一个系数即为1/(xln(a))。

            (4)、三角函数的导数仍然是三角函数,或者由三角函数构成:

                     f’(sin(x))=cos(x)    f’(tan(x))= sec2(x)=1/(cos2(x))

                     f’(cos(x))=-sin(x)    f’(cot(s))=-csc2(x)=-1/(sin2(x))

            (5)、反三角函数的导数则是无理分式:

            导数的求导法则:由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下:

            (1)、求导的线性性:对函数的线性组合求导,等于先对其中每个部分求导后再取线性组合:(af+bg)’=af’+bg’(其中a,b为常数);

            (2)、两个函数的乘积的导函数,等于其中一个的导函数乘以另一者,加上另一者的导函数与其的乘积:(fg)’=f’g+fg’

    (3)、两个函数的商的导函数也是一个分式,其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数的导函数乘以分子函数后的差,而其分母是分母函数的平方:(在g(x)≠0处方有意义)

            (4)、复合函数的求导法则:如果有复合函数f(x)=h[g(x)],那么f’(x)=h’[g(x)]·g’(x)

            若要求某个函数在某一点的导数,可以先运用以上方法求出这个函数的导函数,再看导函数在这一点的值。

    二阶导数:如果函数的导数f’(x)在x处可导,则称[f’(x)]’为x的二阶导数,记做:

            函数在定义域中一点可导需要一定的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。连续的函数不一定处处可导。但处处可导的函数一定处处连续。

    以上内容摘自:维基百科

            之前在  http://blog.csdn.net/fengbingchun/article/details/73848734 和  http://blog.csdn.net/fengbingchun/article/details/73872828 中介绍过激活函数sigmoid、ReLU、Leaky ReLU、ELU、softplus,这里分别对它们进行求导:

            sigmoid:


            ReLU:


            Leaky ReLU:


            ELU:


            对ELU求导数好像有些复杂,在Caffe和tiny-dnn中求法好像也不一致,公式中是 维基百科 中给出的求法。

            softplus:


            根据以上公式实现的C++代码:

    #include "funset.hpp"
    #include <math.h>
    #include <iostream>
    #include <string>
    #include <vector>
    #include <opencv2/opencv.hpp>
    #include "common.hpp"
    
    #define EXP 1.0e-5
    
    namespace fbc {
    
    // ========================= Activation Function: ELUs ========================
    template<typename _Tp>
    int activation_function_ELUs(const _Tp* src, _Tp* dst, int length, _Tp a = 1.)
    {
    	if (a < 0) {
    		fprintf(stderr, "a is a hyper-parameter to be tuned and a>=0 is a constraint\n");
    		return -1;
    	}
    
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = src[i] >= (_Tp)0. ? src[i] : (a * (exp(src[i]) - (_Tp)1.));
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    template<typename _Tp>
    int activation_function_ELUs_derivative()
    {
    	// to do
    }
    
    // ========================= Activation Function: Leaky_ReLUs =================
    template<typename _Tp>
    int activation_function_Leaky_ReLUs(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = src[i] > (_Tp)0. ? src[i] : (_Tp)0.01 * src[i];
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    template<typename _Tp>
    int activation_function_Leaky_ReLUs_derivative(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = src[i] > (_Tp)0. ? (_Tp)1 : (_Tp)0.01;
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    // ========================= Activation Function: ReLU =======================
    template<typename _Tp>
    int activation_function_ReLU(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = std::max((_Tp)0., src[i]);
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    template<typename _Tp>
    int activation_function_ReLU_derivative(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = src[i] < (_Tp)0 ? (_Tp)0 : (_Tp)1;
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    // ========================= Activation Function: softplus ===================
    template<typename _Tp>
    int activation_function_softplus(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = log((_Tp)1. + exp(src[i])); // log1p(exp(src[i]))
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    template<typename _Tp>
    int activation_function_softplus_derivative(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = (_Tp)(1. / (1. + exp(-src[i])));
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    // ============================ Activation Function: sigmoid ================
    template<typename _Tp>
    int activation_function_sigmoid(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = (_Tp)(1. / (1. + exp(-src[i])));
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    template<typename _Tp>
    int activation_function_sigmoid_derivative(const _Tp* src, _Tp* dst, int length)
    {
    	for (int i = 0; i < length; ++i) {
    		dst[i] = (_Tp)(exp(-src[i]) / pow((1+exp(-src[i])), 2.f));
    	}
    
    	return 0;
    }
    
    int test_activation_function()
    {
    	std::vector<double> src{ 1.23f, 4.14f, -3.23f, -1.23f, 5.21f, 0.234f, -0.78f, 6.23f };
    	int length = src.size();
    	std::vector<double> dst(length);
    
    	fprintf(stderr, "source vector: \n");
    	fbc::print_matrix(src);
    	fprintf(stderr, "calculate activation function:\n");
    
    	fprintf(stderr, "type: sigmoid result: \n");
    	fbc::activation_function_sigmoid(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    	fprintf(stderr, "type: sigmoid derivative result: \n");
    	fbc::activation_function_sigmoid_derivative(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    	fprintf(stderr, "type: sigmoid fast result: \n");
    	fbc::activation_function_sigmoid_fast(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    
    	fprintf(stderr, "type: softplus result: \n");
    	fbc::activation_function_softplus(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    	fprintf(stderr, "type: softplus derivative result: \n");
    	fbc::activation_function_softplus_derivative(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    
    	fprintf(stderr, "type: ReLU result: \n");
    	fbc::activation_function_ReLU(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    	fprintf(stderr, "type: ReLU derivative result: \n");
    	fbc::activation_function_ReLU_derivative(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    
    	fprintf(stderr, "type: Leaky ReLUs result: \n");
    	fbc::activation_function_Leaky_ReLUs(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    	fprintf(stderr, "type: Leaky ReLUs derivative result: \n");
    	fbc::activation_function_Leaky_ReLUs_derivative(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    
    	fprintf(stderr, "type: Leaky ELUs result: \n");
    	fbc::activation_function_ELUs(src.data(), dst.data(), length);
    	fbc::print_matrix(dst);
    
    	return 0;
    }

    GitHubhttps://github.com/fengbingchun/NN_Test


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  • 本文介绍了利用导数判断函数单调、凹凸、极值相关的概念和定理,通过本文的介绍,可以熟悉通过导数判断函数单调、凹凸、极值以及求最值的原理和方法。最后,通过一阶导数和二阶导数确定了函数的单调、凹凸...

    一、单调性判断定理

    定理:
    设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。
    (1)如果在(a,b)内f(x)≥0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
    (2)如果在(a,b)内f(x)≤0,且等号仅在有限多个点处成立,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。

    证明思路
    利用拉格朗日中值公式,可以正得任意两点的函数值差等于某点导数与两点x值的差的乘积,因此x值的差决定了函数值的差的符号。

    另外对于导数为0的点,将区间分成了2部分,每部分的单调性跟随导数的值与自变量的差的值,这表明两个区间的单调性遵循定理的要求,则两个区间叠加后也会遵循。

    二、曲线凹凸性判断

    1、凹凸性的判断规则

    函数曲线的上升或下降反映了函数的单调性,而曲线在上升或下降过程中,还存在一个弯曲方向的问题,如图:
    在这里插入图片描述

    都是上升曲线,曲线ACB向上凸起,而ADB则向下弯曲。

    曲线的凹凸性在几何图形上的描述:通过曲线上任取两点,如果连接这两点的直线(弦)总是位于这两点曲线弧的上方,则曲线是向下弯曲(凹),如果弦总是位于曲线弧的上方,则曲线是向上凸的。

    曲线的凹凸性函数形式的表达
    设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1、x2恒有:
    在这里插入图片描述
    那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧),如果恒有:
    在这里插入图片描述
    那么称/(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

    2、曲线凹凸性判断定理

    设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么
    (1)若在(a,b)内f”(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
    (2)若在(a,b)内f”(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

    证明思路

    任取区间内两点x1、x2,假设x2>x1,然后取x0=(x1+x2)/2,记h=x0-x1=x2-x0,分别对区间[x1,x0]、[x0,x2]应用柯西中值定理,得到的两个式子相减后再应用柯西中值定理,如果函数f(x)的二阶导数大于0,就可以得到:
    在这里插入图片描述

    三、极值

    1、定义

    设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U°(x0)内的任一x,有
    f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)

    备注:去心邻域实际的表示不是U°,而是在U上面一个小圈,但无法用文字输入,因此老猿所有的博文都用了U°来表示,实际的符号应该是:
    在这里插入图片描述

    函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点

    函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值,如果就f(x)的整个定义域来说f(x0)不见得是最大值。关于极小值也类似。

    在这里插入图片描述

    在图3-11中,函数f(x)有两个极大值:f(x2)、f(x5),三个极小值:f(x1)、f(x4)、f(x6),其中极大值f(x2)比极小值f(x0)还小。就整个区间[a,b]来说,只有一个极小值f(x1)同时也是最小值,而没有一个极大值是最大值。

    2、定理1(必要条件)

    定理:设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则f’(x0)=0。

    定理1就是说:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点,但反过来,函数的驻点却不一定是极值点

    例如,f(x)=x3的导数f’(x)=3x2,f’(0)=0,因此x=0是这可导函数的驻点,但x=0却不是这函数的极值点。

    所以,函数的驻点只是可能的极值点。此外,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值

    3、定理2(第一充分条件)

    定理:设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心邻域U°(x0,δ)内可导。
    (1)若x∈(x0-δ,x0)时,f’(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)时,f’(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值;
    (2)若x∈(x0-δ,x0)时,f’(x)<0,而x∈(x0,x0+δ)时,f’(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值;
    (3)若x∈U°(x0,δ)时,f’(x)的符号保持不变,则f(x)在x0处没有极值。

    定理2也可简单地这样说:当x在x0的邻近渐增地经过x0时,如果f’(x)的符号由正变负,那么f(x)在x0处取得极大值;如果f(x)的符号由负变正,那么f(x)在x0处取得极小值;如果f’(x)的符号并不改变,那么f(x)在x0处没有极值。

    根据上面的两个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内连续,除个别点外处处可导,那么就可以按下列步骤来求f(x)在该区间内的极值点和相应的极值:
    (1)求出导数f’(x);
    (2)求出f(x)的全部驻点与不可导点;
    (3)考察f’(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形,以确定该点是否为极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点;
    (4)求出各极值点的函数值,就得函数(x)的全部极值。

    4、定理3(第二充分条件)

    定理:设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f"(x0)≠0,则
    (1)当f"(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值;
    (2)当f”(x)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值。

    证明思路
    根据导数的定义有:
    在这里插入图片描述
    而f’(x0)=0,可以得到x在x0的足够小的去心邻域时,上式右边不带极限符号的表达式的运算结果的符号取决于f"(x0)的符号,也可以得出f’(x)的符号与x-x0的符号的关系,再结合定理2就可以证明上述结论。

    定理3表明

    如果函数f(x)在驻点x0处的一阶导数f’(x0)=0、二阶导数f”(x0)≠0,那么该驻点x0一定是极值点,并且可以按二阶导数f”(x0)的符号来判定f(x0)是极大值还是极小值。

    但如果f"(x)=0,那么定理3就不能应用。事实上,当f’(x0)=0,f"(x)=0时(x)在x处可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值。

    例如,f(x)=-x4,f2(x)=x4,f3(x)=x3这三个函数在x=0处就分别属于这三种情况。

    因此,如果函数在驻点处的二阶导数为零,那么可以用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定;如果函数在驻点处有f"(x0)=…=f(n-l)(x0)=0,f(n)(x0)≠0,那么也可利用具有佩亚诺余项的泰勒公式来讨论判定)。

    四、求最值的方法

    假定函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内除有限个点外可导,且至多有有限个驻点。在上述条件下,我们来讨论f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。

    首先,由闭区间上连续函数的性质可知,f(x)在[a,b]上的最大值和最小值一定存在。

    其次,如果最大值(或最小值)f(x0)在开区间(a,b)内的点x0处取得,那么,按f(x)在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定,可知f(x0)一定也是f(x)的极大值(或极小值),从而x0一定是f(x)的驻点或不可导点。又f(x)的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。

    因此,可用如下方法求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值:
    (1)求出f(x)在(a,b)内的驻点及不可导点;
    (2)计算f(x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a)、f(b);
    (3)比较(2)中诸值的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值。

    在求函数的最大值(或最小值)时,特别值得指出的是下述情形:f(x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x0,并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点,那么,当f(x0)是极大值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值(图3-15(a));当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值(图3-15(b)),在应用问题中往往遇到这样的情形。

    在这里插入图片描述

    五、借助导数描绘函数图形

    借助于一阶导数的符号,可以确定函数图形在哪个区间上上升,在哪个区间上下降;

    借助于二阶导数的符号,可以确定函数图形在哪个区间上为凹,在哪个区间上为凸,在什么地方有拐点。

    知道了函数图形的升降、凹凸以及拐点后,也就可以掌握函数的形态,并把函数的图形画得比较准确。

    利用导数描绘函数图形的一般步骤如下

    1. 第一步 确定函数y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等),并求出函数的一阶导数f’(x)和二阶导数f"(x);
    2. 第二步 求出一阶导数’(x)和二阶导数f”(x)在函数定义域内的全部零点,并求出函数f(x)的间断点及f’(x)和f”(x)不存在的点,用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间;
    3. 第三步 确定在这些部分区间内f’(x)和f“(x)的符号,并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点;
    4. 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;
    5. 第五步 算出f’(x)和f”(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值,定出图形上相应的点;
    6. 为了把图形描绘得准确些,有时还需要补充一些点,然后结合第三、四步中得到的结果,联结这些点画出函数y=f(x)的图形。

    现在,随着现代计算机技术的发展,借助于计算机和许多数学软件,可以方便地画出各种函数的图形。但是,如何识别机器作图中的误差,如何掌握图形上的关键点,如何选择作图的范围等,从而进行人工干预,仍然需要我们有运用微分学的方法描绘函数图形的基本知识。

    六、小结

    本文介绍了利用导数判断函数单调性、凹凸性、极值相关的概念和定理,通过本文的介绍,可以熟悉通过导数判断函数单调性、凹凸性、极值以及求最值的原理和方法。最后,通过一阶导数和二阶导数确定了函数的单调性、凹凸性、极值点之后,就可以描绘出函数的几何图形。

    说明:

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