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  • 导数例子
    2022-05-07 15:16:20

    2.6 更多的导数例子(More Derivative Examples)
      在这个视频中我将给出一个更加复杂的例子,在这个例子中,函数在不同点处的斜率是不一样的,先来举个例子:
    在这里插入图片描述
      我在这里画一个函数,𝑓(𝑎) = a 2 {{a}^{2}} a2,如果𝑎 = 2 的话,那么𝑓(𝑎) = 4。让我们稍稍往右推进一点点,现在𝑎 = 2.001 ,则𝑓(𝑎) ≈ 4.004 (如果你用计算器算的话,这个准确的值应该为 4.004。0.001 我只是为了简便起见,省略了后面的部分),如果你在这儿画,一个小三角形 你就会发现,如果把𝑎往右移动 0.001,那么𝑓(𝑎)将增大四倍,即增大 0.004。在微积分中我们把这个三角形斜边的斜率,称为𝑓(𝑎)在点𝑎 = 2 处的导数(即为 4),或者写成微积分的形式,当𝑎 = 2 的时候, d d a f ( a ) = 4 \frac{d}{da}f(a)=4 dadf(a)=4由此可知,函数𝑓(𝑎) = a 2 {{a}^{2}} a2,在𝑎取不同值的时候,它的斜率是不同的,这和上个视频中的例子是不同的。
      这里有种直观的方法可以解释,为什么一个点的斜率,在不同位置会不同如果你在曲线上,的不同位置画一些小小的三角形你就会发现,三角形高和宽的比值,在曲线上不同的地方,它们是不同的。所以当𝑎 = 2 时,斜率为 4;而当𝑎 = 5时,斜率为 10 。如果你翻看微积分的课本,课本会告诉你,函数𝑓(𝑎) = 𝑎2的斜率(即导数)为2𝑎。这意味着任意给定一点𝑎,如果你稍微将𝑎,增大 0.001,那么你会看到𝑓(𝑎)将增大2𝑎,即增大的值为点在𝑎处斜率或导数,乘以你向右移动的距离。
      现在有个小细节需要注意,导数增大的值,不是刚好等于导数公式算出来的值,而只是根据导数算出来的一个估计值。
      为了总结这堂课所学的知识,我们再来看看几个例子:
    在这里插入图片描述
      假设𝑓(𝑎) = a 3 {{a}^{3}} a3 如果你翻看导数公式表,你会发现这个函数的导数,等于3 a 2 {{a}^{2}} a2。所以这是什么意思呢,同样地举一个例子:我们再次令𝑎 = 2,所以 a 3 {{a}^{3}} a3 = 8 ,如果我们又将𝑎增大一点点,你会发现𝑓(𝑎) ≈ 8.012,你可以自己检查一遍,如果我们取 8.012,你会发现 2.001 3 {{2.001}^{3}} 2.0013 , 和 8.012 很接近,事实上当𝑎 = 2时,导数值为3 × 2 2 {{2}^{2}} 22,即3 × 4 =12。所以导数公式,表明如果你将𝑎向右移动 0.001 时,𝑓(𝑎) 将会向右移动 12 倍,即 0.012。
      来看最后一个例子,假设𝑓(𝑎) = log ⁡ e a {{\log }_{e}}a logea,有些可能会写作ln𝑎,函数log𝑎 的斜率应该为 1 a \frac{1}{a} a1,所以我们可以解释如下:如果𝑎取任何值,比如又取𝑎 = 2,然后又把𝑎向右边移动 0.001 那么𝑓(𝑎)将增大 1 a \frac{1}{a} a1 × 0.001,如果你借助计算器的话,你会发现当𝑎 = 2时𝑓(𝑎) ≈ 0.69315 ; 而𝑎 = 2.001时,𝑓(𝑎) ≈ 0.69365。所以𝑓(𝑎)增大了 0.0005,如果你查看导数公式,当𝑎 = 2的时候,导数值 d d a f ( a ) \frac{d}{da}f(a) dadf(a)= 1 2 \frac{1}{2} 21。这表明如果你把增大 0.001,𝑓(𝑎)将只会增大 0.001 的二分之一,即 0.0005。如果你画个小三角形你就会发现,如果𝑥 轴增加了 0.001,那么𝑦 轴上的函数log𝑎,将增大 0.001 的一半 即 0.0005。所以 1 a \frac{1}{a} a1,当𝑎 = 2时这里是 ,就是当𝑎 = 2时这条线的斜率。这些就是有关,导数的一些知识。
      在这个视频中,你只需要记住两点:
      第一点,导数就是斜率,而函数的斜率,在不同的点是不同的。在第一个例子中𝑓(𝑎) = 3𝑎 ,这是一条直线,在任何点它的斜率都是相同的,均为 3。但是对于函数𝑓(𝑎) = a 2 {{a}^{2}} a2 ,或者𝑓(𝑎) = log𝑎,它们的斜率是变化的,所以它们的导数或者斜率,在曲线上不同的点处是不同的。
      第二点,如果你想知道一个函数的导数,你可参考你的微积分课本或者维基百科,然后你应该就能找到这些函数的导数公式。
      最后我希望,你能通过我生动的讲解,掌握这些有关导数和斜率的知识,下一课我们将讲解计算图,以及如何用它来求更加复杂的函数的导数。

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  • 更多导数例子 课程PPT

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    2.5 导数回到目录2.7 计算图

    更多导数例子

    在这个视频中我将给出一个更加复杂的例子,在这个例子中,函数在不同点处的斜率是不一样的,先来举个例子:

    在这里插入图片描述

    我在这里画一个函数, f ( a ) = a 2 f(a)=a^2 f(a)=a2 ,如果 a = 2 a=2 a=2 的话,那么 f ( a ) = 4 f(a)=4 f(a)=4 。让我们稍稍往右推进一点点,现在 a = 2.001 a=2.001 a=2.001 ,则 f ( a ) ≈ 4.004 f(a)\approx 4.004 f(a)4.004 (如果你用计算器算的话,这个准确的值应该为4.004。0.001 我只是为了简便起见,省略了后面的部分),如果你在这儿画,一个小三角形,你就会发现,如果把 a a a 往右移动0.001,那么 f ( a ) f(a) f(a) 将增大四倍,即增大0.004。在微积分中我们把这个三角形斜边的斜率,称为 f ( a ) f(a) f(a) 在点 a = 2 a=2 a=2 处的导数(即为4),或者写成微积分的形式,当 a = 2 a=2 a=2 的时候, d d a f ( a ) = 4 \frac{d}{da}f(a)=4 dadf(a)=4 由此可知,函数 f ( a ) = a 2 f(a)=a^2 f(a)=a2 ,在 a a a 取不同值的时候,它的斜率是不同的,这和上个视频中的例子是不同的。

    这里有种直观的方法可以解释,为什么一个点的斜率,在不同位置会不同如果你在曲线上,的不同位置画一些小小的三角形你就会发现,三角形高和宽的比值,在曲线上不同的地方,它们是不同的。所以当 a = 2 a=2 a=2 时,斜率为4;而当 a = 5 a=5 a=5 时,斜率为10 。如果你翻看微积分的课本,课本会告诉你,函数 f ( a ) = a 2 f(a)=a^2 f(a)=a2 的斜率(即导数)为 2 a 2a 2a 。这意味着任意给定一点 a a a ,如果你稍微将 a a a ,增大0.001,那么你会看到 f ( a ) f(a) f(a) 将增大 2 a 2a 2a ,即增大的值为点在 a a a 处斜率或导数,乘以你向右移动的距离。

    现在有个小细节需要注意,导数增大的值,不是刚好等于导数公式算出来的值,而只是根据导数算出来的一个估计值。

    为了总结这堂课所学的知识,我们再来看看几个例子:

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    假设 f ( a ) = a 3 f(a)=a^3 f(a)=a3 如果你翻看导数公式表,你会发现这个函数的导数,等于 3 a 2 3a^2 3a2 。所以这是什么意思呢,同样地举一个例子:我们再次令 a = 2 a=2 a=2 ,所以 a 3 = 8 a^3=8 a3=8 ,如果我们又将 a a a 增大一点点,你会发现 f ( a ) ≈ 8.012 f(a)\approx8.012 f(a)8.012 , 你可以自己检查一遍,如果我们取8.012,你会发现 2.00 1 3 2.001^3 2.0013 ,和8.012很接近,事实上当 a = 2 a=2 a=2 时,导数值为 3 ∗ 2 2 3*2^2 322 ,即 3 ∗ 4 = 12 3*4=12 34=12 。所以导数公式,表明如果你将 a a a 向右移动0.001时, f ( a ) f(a) f(a) 将会向右移动12倍,即0.012。

    来看最后一个例子,假设 f ( a ) = log ⁡ e ( a ) f(a)=\log_e(a) f(a)=loge(a) ,有些可能会写作 ln ⁡ ( a ) \ln(a) ln(a) ,函数 log ⁡ a \log a loga 的斜率应该为 1 a \frac1a a1 ,所以我们可以解释如下:如果 a a a 取任何值,比如又取 a = 2 a=2 a=2 ,然后又把 a a a 向右边移动0.001 那么 f ( a ) f(a) f(a) 将增大 1 a ∗ 0.001 \frac1a*0.001 a10.001,如果你借助计算器的话,你会发现当 a = 2 a=2 a=2 f ( a ) ≈ 0.69315 f(a)\approx0.69315 f(a)0.69315 ;而 a = 2.001 a=2.001 a=2.001 时, f ( a ) ≈ 0.69365 f(a)\approx0.69365 f(a)0.69365 。所以 f ( a ) f(a) f(a) 增大了0.0005,如果你查看导数公式,当 a = 2 a=2 a=2 的时候,导数值 d d a f ( a ) = 1 2 \frac{d}{da}f(a)=\frac12 dadf(a)=21 。这表明如果你把 a a a 增大0.001,将只会 f ( a ) f(a) f(a) 增大0.001的二分之一,即0.0005。如果你画个小三角形你就会发现,如果 x x x 轴增加了0.001,那么 y y y 轴上的 log ⁡ a \log a loga 函数,将增大0.001的一半 即0.0005。所以 1 a \frac1a a1 ,当 a = 2 a=2 a=2 时这里是 ,就是当 a = 2 a=2 a=2 时这条线的斜率。这些就是有关导数的一些知识。

    在这个视频中,你只需要记住两点:

    第一点,导数就是斜率,而函数的斜率,在不同的点是不同的。在第一个例子中 f ( a ) = 3 a f(a)=3a f(a)=3a ,这是一条直线,在任何点它的斜率都是相同的,均为3。但是对于函数 f ( a ) = a 2 f(a)=a^2 f(a)=a2 ,或者 f ( a ) = log ⁡ a f(a)=\log a f(a)=loga ,它们的斜率是变化的,所以它们的导数或者斜率,在曲线上不同的点处是不同的。

    第二点,如果你想知道一个函数的导数,你可参考你的微积分课本或者维基百科,然后你应该就能找到这些函数的导数公式。

    最后我希望,你能通过我生动的讲解,掌握这些有关导数和斜率的知识,下一课我们将讲解计算图,以及如何用它来求更加复杂的函数的导数。

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    2.5 导数回到目录2.7 计算图

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  • 来看看其他的例子,假设f(a)等于a的三次方f(a)=a^3,如果你翻看微积分课本上的导数公式表,你会发现这个函数的斜率,即这个函数的导数为3乘以a的平方,即3a^2,什么意思呢?同样地,举一个例子,我们再次令a等于2,...

    教程是本人学习吴恩达老师DeepLearing系列课程中整理的最为详细的学习笔记。学习视频主要来自B站

    https://www.bilibili.com/video/BV1FT4y1E74V?,以及DeepLearning官方网站

    https://www.coursera.org/specializations/deep-learning。该系列课程总共有180多个,我会将学习笔记陆续分享出来,为有兴趣深度学习的同仁提供便利。再次由衷感谢吴恩达老师的精彩讲解和无私奉献!

    特别说明:图片来源于吴恩达老师视频截图。

    在这个视频中,我将给出一个更加复杂的例子。在这个例子中,函数在不同点处的斜率是不一样的。

    先来举个例子:在这里画一个函数f(a)等于a的平方。来看看a等于2的点,f(a)=4。让我们稍微往右推进一点点,现在a等于2.001,而f(a)即a的平方约为4.004,但是,如果你用计算器计算的话,这个准确的值应该为4.004001,为了简便起见,省略了后面的部分。我们重新在图上画一下,当a=2时,那么f(a)=4 ,这里的x轴和y轴的比例还是不太准确,实际上这个点的高度(纵轴的y值)要比这里的横轴x轴还要大那么一点点。如果让a=2.001,则f(a)约为4.004。如果你在这儿画一个小三角形,你就会发现如果a往右移动0.001,那么f(a)将增大四倍,即增大0.004。在微积分中,我们把这个三角形斜边的斜率f(a)在点a=2处的导数等于4,或者写成微积分的形式,   。由此可知,函数f(a)=a^2,a取不同的值的时候,它的斜率是不同的,这和上个视频中的例子不一样。现在换个点来看,如果a=5,不再等于2,则a的平方等于25。这时如果再一次把a往右移一点点,只是移动非常小的一段距离,比如让a=5.001,而f(a)的值大约为25.010,这里我们只往右移动了0.001,f(a)却增大了10倍,即可以写作  。此时a的值为5,这里只是小小地移动了a,f(a)的值增大了10倍。有种直观的方法可以解释为什么一个点的斜率在不同位置会不同。如果你在曲线上的不同位置画一些小小的三角形,你就会发现,三角形的高和宽的比值在曲线不同的地方,它们是不同的。所以当a=2时,这里的斜率为4,而当a=5时,这里的斜率为10。如果你翻看微积分的课本,课本会告诉你这里f(a)等于a的平方,的值由课本上的公式可知函数f(a)=a^2的斜率应该等于2a 。这里不证明这个公式,但你可以打开微积分课本,找到上面的公式表达,它会告诉你f(a)=a^2的导数确实为2a。事实上这也和我们手工算的结果是一样的,当a=2时,函数的斜率为2乘以2等于4,当a=5时,函数的斜率为2乘以5等于10。如果你翻看微积分课本,你会看到这个公式,,这意味着任意给定一点a,如果你稍微将a增大0.001,那么你会看到f(a)将增大2a,即增大的值为该点在a处的斜率或导数乘以你向右移动的距离。现在有个小细则需要注意:之前使用了一些不精确的值,这里的值不应该是4.04,你知道这里应该还有额外的001,是因为我们把a向右移动了0.001。然后如果我们把a向右移动像这样一个非常非常小的值(0.0000….01),那么这个额外的项将可以被忽略,这样的话,你会发现f(a)增大的值刚好等于导数乘以你向右移动的距离,至于为什么不是刚好等于4.004,是因为导数就是根据这个无穷小值来定义的,而这里的0.001虽然比较小,但是它还是不足以小到可以被忽略,这就是为什么导数增大的值不是恰好等于公式算出来的,而是根据导数算出来的一个近似值。

    出于总结本课的目的,我们再看看几个例子。之前你已经知道的是f(a)等于a的平方,按照微积分课本上的写法,这个函数的导数应该为2a。和之前的例子一样,如果a=2,那么f(a)等于4,把a向右移动一点,变为2.001,那么f(a)将增大一点,大于为4.004,所以f(a)增大了向右移动距离的四倍。事实上,当a=2时,导数的值为4。

    来看看其他的例子,假设f(a)等于a的三次方f(a)=a^3,如果你翻看微积分课本上的导数公式表,你会发现这个函数的斜率,即这个函数的导数为3乘以a的平方,即3a^2,什么意思呢?同样地,举一个例子,我们再次令a等于2,a的三次方等于8。如果我们将a增大一点点变为2.001,你会发现f(a)的值大约为8.012,你会发现2.001的三次方和8.012很接近。事实上,当a=2时,导数值为3乘以2的平方,即3乘以4等于12。导数公式表明如果你将a向右移动很小的一段距离,那么f(a)将会增大向右移动距离的12倍。所以当a增大0.001时,f(a)增大了四倍,即0.012。

    最后一个例子,假设f(a)是一个log函数,即,一个以e为底的对数函数,有些人可能会写成ln(a)。如果你去看微积分课本,那么log(a)的导数应该为

    所以我们可以解释如下:如果a取任意值,比如再一次取a=2,然后又把a向右移动0.001,那么f(a)将增大a分之1,即函数f(a)的导数。事实上,借助计算器,你会发现当a=2时,f(a)约为0.69315,如果你增加a到2.001,那么f(a)约为0.69365,所以f(a)增大了0.005。事实上,如果你查看导数公式,当a=2的时候,导数等于。导数公式表明,如果把a增大0.001,f(a)将只会增加0.001的二分之一即0.0005,这正是我们所得到的值。当a增大0.001时,从a等于2增大到非常接近的2.001,f(a)增大了这个的二分之一,增大了大约0.0005。如果你在这儿画个小三角形,你就会发现如果x轴增加了0.001,那么y轴上的函数log(a)将增大0.001的一半,即0.0005,所以是。当a=2时,是。这个1/2就是当a等于2时,这条线的斜率。

    这些就是导数的知识了。在这个视频中,你只需要记住两点:第一点是,函数的导数就是函数的斜率,而函数的斜率在不同的点是不同的。在第一个例子中f(a)=3a时,这是一条直线,在任何点它的斜率都是相同的,都是3。但是对于函数,或者f(a)=log(a),它们的斜率是变化的,它们的导数或者斜率在曲线上不同的点处是不同的。这是第一个你需要记住的,即导数就是斜率。第二点是,如果你想知道一个函数的导数,你可以参考微积分课本或者维基百科,然后你应该就能找到这些函数的导数公式。最后希望你对导数和斜率有了一个直观的理解,接下来看一个视频,将讲解流程图,以及如何使用它来计算更复杂函数的导数。

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  • 2.5 导数(Derivatives) 这个视频我主要是想帮你获得对微积分和导数直观的理解。或许你认为自从大学毕以后你再也没有接触微积分。这取决于你什么时候毕业,也许有一段时间了,如果你顾虑这点,请不要担心。为了高效...

    2.5 导数(Derivatives)

    这个视频我主要是想帮你获得对微积分和导数直观的理解。或许你认为自从大学毕以后你再也没有接触微积分。这取决于你什么时候毕业,也许有一段时间了,如果你顾虑这点,请不要担心。为了高效应用神经网络和深度学习,你并不需要非常深入理解微积分。因此如果你观看这个视频或者以后的视频时心想:“哇哦,这些知识、这些运算对我来说很复杂。”我给你的建议是:坚持学习视频,最好下课后做作业,成功的完成编程作业,然后你就可以使用深度学习了。在第四周之后的学习中,你会看到定义的很多种类的函数,通过微积分他们能够帮助你把所有的知识结合起来,其中有的叫做前向函数和反向函数,因此你不需要了解所有你使用的那些微积分中的函数。所以你不用担心他们,除此之外在对深度学习的尝试中,这周我们要进一步深入了解微积分的细节。所有你只需要直观地认识微积分,用来构建和成功的应用这些算法。最后,如果你是精通微积分的那一小部分人群,你对微积分非常熟悉,你可以跳过这部分视频。其他同学让我们开始深入学习导数。

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    现在让我们从不同的角度理解这个函数。

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    那就是导数的正式定义。但是为了直观的认识,我们将探讨右移a=0.001 这个值,即使0.001并不是无穷小的可测数据。导数的一个特性是:这个函数任何地方的斜率总是等于3,不管a=2或 a=5,这个函数的斜率总等于3,也就是说不管a的值如何变化,如果你增加0.001,f(a)的值就增加3倍。这个函数在所有地方的斜率都相等。一种证明方式是无论你将小三角形画在哪里,它的高除以宽总是3。
    我希望带给你一种感觉:什么是斜率?什么是导函数?对于一条直线,在例子中函数的斜率,在任何地方都是3。在下一个视频让我们看一个更复杂的例子,这个例子中函数在不同点的斜率是可变的。

    2.6 更多的导数例子(More Derivative Examples)

    在这个视频中我将给出一个更加复杂的例子,在这个例子中,函数在不同点处的斜率是不一样的,先来举个例子:

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    为了总结这堂课所学的知识,我们再来看看几个例子:
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    在这个视频中,你只需要记住两点:

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    第二点,如果你想知道一个函数的导数,你可参考你的微积分课本或者维基百科,然后你应该就能找到这些函数的导数公式。
    最后我希望,你能通过我生动的讲解,掌握这些有关导数和斜率的知识,下一课我们将讲解计算图,以及如何用它来求更加复杂的函数的导数。

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  • 1.视频网站:mooc慕课https://mooc.study.163.com/university/deeplearning_ai#/c 2.详细笔记网站(中文):http://www.ai-start.com/dl2017/ 3.github课件+作业+答案:...2.5 导数 Derivatives 本节...
  • 导数

    2018-10-08 22:04:53
    1.f(x)在x0处可导的充分必要条件是:在x0处的左右导数要相等 2. 函数可导性与连续性的关系:可导一定连续,但是连续不一定可导       3.反函数的求导         4.高阶导数   例子: 5....
  • 这就是为什么导数增大的值 不是恰好等于公式算出来的,而只是根据导数算出来的一个近似值,出于总结本课的目的,我们再来看看几个例子,之前你已经知道的是, f ( a ) f(a ) 等于 a a 的平方,按照微积分课本上的...

空空如也

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