①求函数的二阶导数，将极值点代入，二级导数值>0, 为极小值点，反之为极大值点
 二级导数值=0，有可能不是极值点；
 ②判断极值点左右邻域的导数值的正负：左+右- 为极大值点，左-右+ 为极小值点，左右正负不变，不是极值点。

定理10有一个非常重要的应用，它给我们提供了确定函数极大值与极小值的方法。我们期望从单变量函数的相关知识来得出二阶导数的判定准则，所以我们先回顾一下实变量实况。
 
如果$f:R\to R$在$x_0$处有一个局部极大或极小，并且$f$在$x_0$处可微，那么$f^\prime(x_0)=0$。更进一步，如果$f$ 二次连续可微，并且若$f^{"}(x_0)<0$，那么$x_0$是局部最大值，若$f^{"}(x_0)>0$，那么它是局部最小值。
 
为了将这些事实推广到函数$f:A\subset R^n\to R$上，我们首先从相关定义开始。
 
$\textbf{定义6}$ 令$f:A\subset R^n\to R$，其中$A$是开集。如果存在一个$x_0\in A$的邻域并且在这个邻域内$f(x_0)$是最大值，即对于邻域内的所有$x,f(x_0)\geq f(x)$，我们称$f(x_0)$是$f$的局部最大值。同样的，我们可以定义$f$的局部最小值。如果一个点要么是$f$的局部最大值要么是最小值，那么我们称该点是极值点(extreme)，如果$f$ 在点$x_0$处可微且$Df(x_0)=0$，那么我们称$x_0$是驻(critical)点。
 
第一个基本事实可以用下面的定理来表述。
 
$\textbf{定理11}$如果$f:A\subset R^n\to R$是可微的，$A$是开集，如果$x_0\in A$是$f$的一个极值点，那么$Df(x_0)=0$；即$x_0$是一个驻点。
 
它的证明大部分与基本微积分是一样的，因为$f$图像的极值点肯定有一个水平切平面，所以这个结论直观上非常明显。然而，仅仅是驻点不能保证该点就是极值点。例如考虑函数$f(x)=x^3$，因为$Df(0)=0$，所以$0$是该函数的驻点，但是$x>0$时$x^3>0$，而$x<0$时$x^3<0$，所以0不是极值。另一个例子是$f(x,y)=y^2-x^2$，$0=(0,0)$是驻点，因为$\partial f/\partial x=-2x,\partial f/\partial y=2y$，所以$Df(0,0)=0$。然而在0的任何邻域内我们可以找出使得$f$大于零与小于0的点。不是局部极值的驻点称为鞍点(saddle point)，图1说明了为了用这个术语。

对于$f:A\subset R\to R$，我们已经说明如果$f^\prime(x)=0,f^{"}<0$，那么它有局部最大值，回忆一下几何情况，$f^{"}<0$意味着$f$是向下凹的。为了推广，下面我们引进函数$g$在点$x_0$处海森(Hessian)的概念。
 
$\textbf{定义7}$ 如果$g:B\subset R^n\to R$是$C^2$类，那么$g$在$x_0$处的海森定义为双线性函数$H_{x_0}(g):R^n\times R^n\to R$，形式为$H_{x_0}(g)(x,y)=-D^2g(x_0)(x,y)$(注意负号)，从而海森仅仅是二阶偏微分的矩阵加负号。
 
双线性形式，即双线性映射$B:R^n\times R^n\to R$称为正定的(positive definite)，如果对于$R^n$中所有的$x\neq 0,B(x,x)> 0$。称为半正定的(positive semidefinite)，如果对于$R^n$中所有的$x\neq 0,B(x,x)\geq 0$。负定与半负定双线性形式定义类似。 
 
 
 
 
  
 
 图1 
 
 
 

 接下来我们推广到多变量的情况。
 
$\textbf{定理12}$
 
如果$f:A\subset R^n\to R$是定义在开集$A$上的$C^2$函数，并且$x_0$是$f$的驻点使得$H_{x_0}(f)$是正定的，那么$f$在$x_0$处有一个局部最大值。
如果$f$在$x_0$处有一个局部最大值，那么$H_{x_0}(f)$是半正定的。
 
对于极小值的情况只需要将上面定理中的正改成负即可，注意$f$的最小值就是$-f$的最大值。
 
$H_{x_0}(f)$对标准基的矩阵是 
 
 $$\begin{pmatrix}
-\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1}&\cdots&-\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n}\\
\cdot&&\cdot\\
\cdot&&\cdot\\
\cdot&&\cdot\\
-\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1}&\cdots&-\frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_n}
\end{pmatrix}$$ 
 
其中偏导数都是在$x_0$处计算的。
 
当$n=1$时，定理12$\textrm{(i)}$简化为单变量测试$f^{"}(x_0)<0$。如果$f^{"}(x_0)=0$，那么函数有极大值或极小值或鞍点，(此时测试失效)例如$f(x)=-x^4,x^5,x^4$在$x_0=0$处分别有最大值，鞍点与极小值，虽然他们的$f^{"}(x_0)=0$。
 
提及一些线性代数的知识可能比较有帮助，令$\Delta_k$是矩阵 
 
 $$\begin{pmatrix}
-\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1}&\cdots&-\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_k}\\
\cdot&&\cdot\\
\cdot&&\cdot\\
\cdot&&\cdot\\
-\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_1}&\cdots&-\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_k}
\end{pmatrix}$$ 
 
的行列式，这个矩阵就是海森矩阵去掉最后$n-k$行和列得到的，那么对称矩阵$H_{x_0}(f)$是正定的，当且仅当对所有的$k=1,\ldots,n,\Delta_k>0$，它是半正定的当且仅当对所有$k=1,\ldots,n,\Delta_k\geq0$。这里我们不证明一般情况，在下面的例1中，我们证明$2\times 2$矩阵，下面还给出了负定的判别准则，从而对$k=1,\ldots,n$，如果$\Delta_k>0$，那么$f$在驻点$x_0$处有(局部)最大值，这可能是应用定理12 的最佳方式。对任意$k$如果$\Delta_k<0$，那么$f$在$x_0$ 处没有最大值。同样的，如果$H_{x_0}(f)$是负定的，那么$f$在$x_0$处有(局部)最小值。通过改变$H_{x_0}(f)$的符号以及利用行列式的性质，可以得出如果$k$为奇数时$\Delta_k<0$，$k$为偶数时$\Delta_k>0$，那么$H_{x_0}(f)$是负定的，如果$k$为奇数时$\Delta_k\leq0$，$k$为偶数时$\Delta_k\geq0$，那么$H_{x_0}(f)$是负定的，从而当$k$为奇数时$\Delta_k<0$，当$k$为偶数时$\Delta>0$，那么$f$在$x_0$处有最小值。
 
如果对某些奇数$k,\Delta_k>0$，对某些偶数$k,\Delta<0$，那么$f$在$x_0$处不可能有最小值。事实上，如果对面某些$k,\Delta_k<0$，$f$在$x_0$既没有最大值也没有最小值，$x_0$肯定是$f$的鞍点。

这个定理在力学中也非常有用，这时$f$是一个系统的势能，那么最小值对应稳定态，最大值与鞍点对应不稳定态。
 
$\textbf{例1：}$说明矩阵 
 
 $$\begin{bmatrix}
a&b\\
b&d
\end{bmatrix}$$ 
 
是正定的，当且仅当$a>0,ad-b^2>0$。
 
$\textbf{解：}$正定意味着 
 
 $$\text{如果}(x,y)\neq(0,0)\text{，那么}
\begin{bmatrix}
x&y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a&b\\
b&d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}>0$$ 
 
即$ax^2+2bxy+dy^2>0$。首先假设对于所有的$(x,y)\neq(0,0)$该不等式均成立，令$y=0,x=1$我们得到$a>0$，令$y=1$，那么对所有的$x$，我们有$ax^2+2bx+d>0$，这个函数是抛物线且在$2ax+2b=0$处有最小值(因为$a>0$)，即$x=-b/a$，从而 
 
 $$a\left(-\frac{b}{a}\right)^2+2b\left(-\frac{b}{a}\right)+d>0$$ 
 
即$ad-b^2>0$。反过来可以用同样的方式来证明。
 
$\textbf{例2：}$研究$f(x,y)=x^2-xy+y^2$鞍点$(0,0)$的性质。
 
$\textbf{解：}$这里 
 
 $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x-y,\ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}=2,\ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-1,\ \frac{\partial f}{\partial y}=-x+2y,\ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}=2$$ 
 
所以海森矩阵是 
 
 $$\begin{bmatrix}
-2&1\\
1&-2
\end{bmatrix}$$ 
 
这里$\Delta_1=-2<0,\Delta_2=4-1=3>0$，所以海森矩阵是负定的，从而我们有一个局部最小值。

 
 
对于$w=ax^2+bxy+cy^2$，可以将其化简为：
 
 
$$w=\frac{1}{4a}\left[4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2+\left(4ac-b^2\right)y^2\right]$$
 
 
该式由两个平方项组成，其中$4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2\ge0$，$\left(4ac-b^2\right)y^2$的符号不确定。当两个平方项的系数都为正数的时候存在极值点，当$a\ge0$时，有极大值，当$a\le0$时，有极小值。一正一负的时候存在鞍点（saddle point），当$\left(4ac-b^2\right)y^2=0$的时候暂时不能确定。
 
 
上式同样可以化简为：
 
 
$$w=y^2\left[a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c\right]$$
 
 
其中，$y^2\ge0$，$\Delta=b^2-4ac$，如果$\Delta>0$，则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值可能大于0，也可能小于0，也就意味着$w$存在鞍点；如果$\Delta<0$，则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值要么都大于0，要么都小于0，取决于$a$的值，当$a>0$时，$w$存在最小值，当$a<0$时，存在最大值。
 
 
转载于:https://www.cnblogs.com/lengyue365/p/4929236.html

 
导数用于判断函数的单调性，凹凸性，极值
 
单调性
凹凸性
拐点
驻点
  
极大值，极限值
函数的最大值，最小值

 
单调性
 
设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
 （1）如果在(a,b)内，f’(x) > 0, 那么函数f(x) 在[a,b]上单调增加
 （2）如果在(a,b)内，f’(x) < 0, 那么函数f(x) 在[a,b]上单调减少
 
 
凹凸性
 
设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区间(a,b)内有二阶导数：
 （1）如果在(a,b)内，f’’(x) > 0, 那么f(x) 在[a,b]上的图形是凹的
 （2）如果在(a,b)内，f’’(x) < 0, 那么f(x) 在[a,b]上的图形是凸的
 
 
拐点
 
连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点
 如果f’’(x) 在x0的左右两侧临近异号，那么点（x0, f(x0)）就是曲线 f(x)的一个拐点。这时f’’(x0) =0或者f’’(x0) 不存在。
 
驻点
 
使f’(x)=0的点称为函数f(x)的驻点。
 函数f(x)的极值点一定是它的驻点，但是，函数的驻点不一定是极值点。
 
极大值，极限值
 
设函数f(x)在x0处有二阶导数，且f’(x0) = 0，f’’(x0)≠0，那么：
 （1）当f’’(x0)<0时，函数f(x) 在点x0处取得极大值
 （2）当f’’(x0)>0时，函数f(x) 在点x0处取得极小值
 
函数的最大值，最小值
 
设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续，则f(x)在 [a,b]上必有最大值和最小值，且最大值和最小值只能在区间的端点或极值点处取得