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  • 判断极值点是极大值还是极小值

    万次阅读 2018-10-18 14:40:49
    ①求函数的二阶导数,将极值点代入,二级导数值>0, 为极小值点,反之为极大值点 ...②判断极值点左右邻域的导数值的正负:左+右- 为极大值点,左-右+ 为极小值点,左右正负不变,不是极值点。...

    ①求函数的二阶导数,将极值点代入,二级导数值>0, 为极小值点,反之为极大值点
    二级导数值=0,有可能不是极值点;
    ②判断极值点左右邻域的导数值的正负:左+右- 为极大值点,左-右+ 为极小值点,左右正负不变,不是极值点。

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    定理10有一个非常重要的应用,它给我们提供了确定函数极大值与极小值的方法。我们期望从单变量函数的相关知识来得出二阶导数的判定准则,所以我们先回顾一下实变量实况。

    如果 f:RR x0 处有一个局部极大或极小,并且 f x0处可微,那么 f(x0)=0 。更进一步,如果 f 二次连续可微,并且若f′′(x0)<0,那么 x0 是局部最大值,若 f′′(x0)>0 ,那么它是局部最小值。

    为了将这些事实推广到函数 f:ARnR 上,我们首先从相关定义开始。

    6 f:ARnR ,其中 A 是开集。如果存在一个x0A的邻域并且在这个邻域内 f(x0) 是最大值,即对于邻域内的所有 x,f(x0)f(x) ,我们称 f(x0) f 的局部最大值。同样的,我们可以定义f的局部最小值。如果一个点要么是 f 的局部最大值要么是最小值,那么我们称该点是极值点(extreme),如果f 在点 x0 处可微且 Df(x0)=0 ,那么我们称 x0 是驻(critical)点。

    第一个基本事实可以用下面的定理来表述。

    11 如果 f:ARnR 是可微的, A 是开集,如果x0A f 的一个极值点,那么Df(x0)=0;即 x0 是一个驻点。

    它的证明大部分与基本微积分是一样的,因为 f 图像的极值点肯定有一个水平切平面,所以这个结论直观上非常明显。然而,仅仅是驻点不能保证该点就是极值点。例如考虑函数f(x)=x3,因为 Df(0)=0 ,所以 0 是该函数的驻点,但是x>0 x3>0 ,而 x<0 x3<0 ,所以0不是极值。另一个例子是 f(x,y)=y2x2 0=(0,0) 是驻点,因为 f/x=2x,f/y=2y ,所以 Df(0,0)=0 。然而在0的任何邻域内我们可以找出使得 f 大于零与小于0的点。不是局部极值的驻点称为鞍点(saddle point),图1说明了为了用这个术语。

    对于f:ARR,我们已经说明如果 f(x)=0,f′′<0 ,那么它有局部最大值,回忆一下几何情况, f′′<0 意味着 f 是向下凹的。为了推广,下面我们引进函数g在点 x0 处海森(Hessian)的概念。

    7 如果 g:BRnR C2 类,那么 g x0处的海森定义为双线性函数 Hx0(g):Rn×RnR ,形式为 Hx0(g)(x,y)=D2g(x0)(x,y) (注意负号),从而海森仅仅是二阶偏微分的矩阵加负号。

    双线性形式,即双线性映射 B:Rn×RnR 称为正定的(positive definite),如果对于 Rn 中所有的 x0,B(x,x)>0 。称为半正定的(positive semidefinite),如果对于 Rn 中所有的 x0,B(x,x)0 。负定与半负定双线性形式定义类似。


    这里写图片描述
    图1

    接下来我们推广到多变量的情况。

    12

    1. 如果 f:ARnR 是定义在开集 A 上的C2函数,并且 x0 f 的驻点使得Hx0(f)是正定的,那么 f x0处有一个局部最大值。
    2. 如果 f x0处有一个局部最大值,那么 Hx0(f) 是半正定的。

    对于极小值的情况只需要将上面定理中的正改成负即可,注意 f 的最小值就是f的最大值。

    Hx0(f) 对标准基的矩阵是

    2fx1x12fxnx12fx1xn2fxnxn

    其中偏导数都是在 x0 处计算的。

    n=1 时,定理12 (i) 简化为单变量测试 f′′(x0)<0 。如果 f′′(x0)=0 ,那么函数有极大值或极小值或鞍点,(此时测试失效)例如 f(x)=x4,x5,x4 x0=0 处分别有最大值,鞍点与极小值,虽然他们的 f′′(x0)=0

    提及一些线性代数的知识可能比较有帮助,令 Δk 是矩阵

    2fx1x12fxkx12fx1xk2fxkxk

    的行列式,这个矩阵就是海森矩阵去掉最后 nk 行和列得到的,那么对称矩阵 Hx0(f) 是正定的,当且仅当对所有的 k=1,,n,Δk>0 ,它是半正定的当且仅当对所有 k=1,,n,Δk0 。这里我们不证明一般情况,在下面的例1中,我们证明 2×2 矩阵,下面还给出了负定的判别准则,从而对 k=1,,n ,如果 Δk>0 ,那么 f 在驻点x0处有(局部)最大值,这可能是应用定理12 的最佳方式。对任意 k 如果Δk<0,那么 f x0 处没有最大值。同样的,如果 Hx0(f) 是负定的,那么 f x0处有(局部)最小值。通过改变 Hx0(f) 的符号以及利用行列式的性质,可以得出如果 k 为奇数时Δk<0 k 为偶数时Δk>0,那么 Hx0(f) 是负定的,如果 k 为奇数时Δk0 k 为偶数时Δk0,那么 Hx0(f) 是负定的,从而当 k 为奇数时Δk<0,当 k 为偶数时Δ>0,那么 f x0处有最小值。

    如果对某些奇数 k,Δk>0 ,对某些偶数 k,Δ<0 ,那么 f x0处不可能有最小值。事实上,如果对面某些 k,Δk<0 f x0既没有最大值也没有最小值, x0 肯定是 f 的鞍点。

    这个定理在力学中也非常有用,这时f是一个系统的势能,那么最小值对应稳定态,最大值与鞍点对应不稳定态。

    1 说明矩阵

    [abbd]

    是正定的,当且仅当 a>0,adb2>0

    正定意味着

    (x,y)(0,0)[xy][abbd][xy]>0

    ax2+2bxy+dy2>0 。首先假设对于所有的 (x,y)(0,0) 该不等式均成立,令 y=0,x=1 我们得到 a>0 ,令 y=1 ,那么对所有的 x ,我们有ax2+2bx+d>0,这个函数是抛物线且在 2ax+2b=0 处有最小值(因为 a>0 ),即 x=b/a ,从而

    a(ba)2+2b(ba)+d>0

    adb2>0 。反过来可以用同样的方式来证明。

    2 研究 f(x,y)=x2xy+y2 鞍点 (0,0) 的性质。

    这里

    fx=2xy, 2fx2=2, 2fxy=1, fy=x+2y, 2fy2=2

    所以海森矩阵是

    [2112]

    这里 Δ1=2<0,Δ2=41=3>0 ,所以海森矩阵是负定的,从而我们有一个局部最小值。

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    当两个平方项的系数都为正数的时候存在极值点,当$a\ge0$时,有极大值,当$a\le0$时,有极小值。一正一负的时候存在鞍点(saddle point),当$\left(4ac-b^2\right)y^2=0$的时候暂时不能确定。 上式同样可以化简为...

    对于$w=ax^2+bxy+cy^2$,可以将其化简为:

    $$w=\frac{1}{4a}\left[4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2+\left(4ac-b^2\right)y^2\right]$$

    该式由两个平方项组成,其中$4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2\ge0$,$\left(4ac-b^2\right)y^2$的符号不确定。当两个平方项的系数都为正数的时候存在极值点,当$a\ge0$时,有极大值,当$a\le0$时,有极小值。一正一负的时候存在鞍点(saddle point),当$\left(4ac-b^2\right)y^2=0$的时候暂时不能确定。

    上式同样可以化简为:

    $$w=y^2\left[a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c\right]$$

    其中,$y^2\ge0$,$\Delta=b^2-4ac$,如果$\Delta>0$,则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值可能大于0,也可能小于0,也就意味着$w$存在鞍点;如果$\Delta<0$,则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值要么都大于0,要么都小于0,取决于$a$的值,当$a>0$时,$w$存在最小值,当$a<0$时,存在最大值。

    转载于:https://www.cnblogs.com/lengyue365/p/4929236.html

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  • 本文介绍导数用于判断函数的单调性,凹凸性,极值和函数的最大,最小值

    导数用于判断函数的单调性,凹凸性,极值

    单调性

    设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导。
    (1)如果在(a,b)内,f(x) > 0, 那么函数f(x) 在[a,b]上单调增加
    (2)如果在(a,b)内,f(x) < 0, 那么函数f(x) 在[a,b]上单调减少
    在这里插入图片描述

    凹凸性

    设函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内有二阶导数:
    (1)如果在(a,b)内,f’’(x) > 0, 那么f(x) 在[a,b]上的图形是凹的
    (2)如果在(a,b)内,f’’(x) < 0, 那么f(x) 在[a,b]上的图形是凸的
    在这里插入图片描述

    拐点

    连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点
    如果f’’(x) 在x0的左右两侧临近异号,那么点(x0, f(x0))就是曲线 f(x)的一个拐点。这时f’’(x0) =0或者f’’(x0) 不存在。

    驻点

    使f(x)=0的点称为函数f(x)的驻点。
    函数f(x)的极值点一定是它的驻点,但是,函数的驻点不一定是极值点。

    极大值,极限值

    设函数f(x)在x0处有二阶导数,且f(x0) = 0,f’’(x0)≠0,那么:
    (1)当f’’(x0)<0时,函数f(x) 在点x0处取得极大值
    (2)当f’’(x0)>0时,函数f(x) 在点x0处取得极小值

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导数判断极大值极小值