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  • 高三数学的函数导数的题目教学,有一类题目比如“求参数取值范围”,有时候若是采用洛必达法则,会变得很简单,下面以2016-17年度宝鸡市第一次质量检测理科数学21题为例加以说明。 洛必达法则 例1【2016-...

    前言

    在高三数学的函数与导数的题目教学中,有一类题目比如“求参数的取值范围”,有时候若是采用洛必达法则,会变得很简单,下面以2016-17年度宝鸡市第一次质量检测理科数学的21题为例加以说明。

    洛必达法则

    例1【2016-17年度宝鸡市第一次质量检测理科数学的21题(3)改编】

    已知函数\(f(x)=x^2lnx+1-x\),若\(x\ge 1\)时,总有\(f(x)\ge m(x-1)^2\)成立,求参数\(m\)的取值范围。

    分析:由于是恒成立问题,我们一般首选分离参数做尝试,

    又由于\(x\ge 1\),则参数\(m\)的系数\((x-1)^2\ge 0\),故先分类讨论如下

    \(1^o\),当\(x=1\)时,即\(0\ge 0m\),则\(m\in R\).

    \(2^o\),当\(x>1\)时,分离参数得到\(m\leq \cfrac{x^2lnx+1-x}{(x-1)^2}\),令\(\cfrac{x^2lnx+1-x}{(x-1)^2}=h(x)\)

    接下来我们一般是求\(h(x)_{min}\),为达到这一目的,我们需要做两个工作:分析单调性和求最值,

    先说分析单调性,此处一般常常采用导数的方法(当函数形式复杂时,导数的方法往往会被我们舍弃)

    和其他求单调性的方法(?比如利用函数单调性的结论)

    \(h(x)=\cfrac{x^2lnx+1-x}{(x-1)^2}\)

    \(=\cfrac{x^2}{(x-1)^2}lnx+\cfrac{1-x}{(x-1)^2}\)

    \(=\cfrac{1}{(\cfrac{1}{x}-1)^2}lnx+\cfrac{1}{1-x}\)

    其中\(\cfrac{1}{(\cfrac{1}{x}-1)^2}\)单增,为正,\(lnx\)单增,为正,

    \(\cfrac{1}{(\cfrac{1}{x}-1)^2}lnx\)单增,而\(\cfrac{1}{1-x}\)易知单增,

    所以函数\(h(x)\)\((1,+\infty)\)上单增,所以很容易想到求其最小值。

    再议求最值,大家发现此时函数\(h(x)_{min}\)并不存在,所以我们只能求它的最小值的极限。

    但是你发现\(h(1)=\cfrac{0}{0}\),许多的学生就傻眼了,也就很快否定了自己这个思路的正确性。

    其实若是用到“洛必达法则”,这个思路是个很好的选择。

    介绍洛必达法则

    对高三学生来说,涉及到极限,有点复杂,不过很好用。

    分式型函数\(h(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)}\)\(\lim\limits_{x\to 1^+} h(x)=\cfrac{0}{0}\)

    \(\lim\limits_{x\to 1^+} h(x)= \lim\limits_{x\to 1^+} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}\),这就是洛必达法则。

    适用范围

    1、适用于\(\cfrac{0}{0}\)\(\cfrac{\infty}{\infty}\)型的极限计算。

    2、可以多次求导使用。

    3、\(\lim\limits_{x\to 1^+} h(x)= \lim\limits_{x\to 1^+} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}\)

    言归正传,接上求最小值的极限:

    \(\lim\limits_{x\to 1^+} h(x)\)

    \(=\lim\limits_{x\to 1^+} \cfrac{f'(x)}{g'(x)}\)

    \(=\lim\limits_{x\to 1^+} \cfrac{(x^2lnx+1-x)'}{((x-1)^2)'}\)

    \(=\lim\limits_{x\to 1^+} \cfrac{2xlnx+x-1}{2(x-1)}\)

    \(=\lim\limits_{x\to 1^+}\cfrac{2lnx+2+1}{2}\)

    \(=\cfrac{3}{2}\)

    则有\(m\leq \cfrac{3}{2}\).

    综上所述,可知\(m\)的取值范围为\(m\leq \cfrac{3}{2}\).

    有了这个求极限的新方法的加盟,我们在求参数的取值范围的题目时,

    在选择分离参数的方法上能处理的函数范围会更广。

    再次使用

    例1已知函数\(f(x)=e^x(sinx+cosx)\),如果对于任意的\(x\in [0,\cfrac{\pi}{2}]\)\(f(x)\ge kx+e^xcosx\)恒成立,求实数\(k\)的取值范围;

    分析:这类题目我们一般很常用分离参数的思路,故先将表达式变形为\(kx\leq e^xsinx\)

    到此分离参数\(k\) 时,需要针对\(x\)的取值分类讨论,

    \(x=0\)时,代入得到\(0\times k\leq 0\),故此时\(k\in R\)

    \(x>0\)时,分离参数得到\(k\leq \cfrac{e^xsinx}{x}\)

    这时令\(\cfrac{e^xsinx}{x}=g(x)\),我们只需要求得\(g(x)_{min}\)即可;

    \(g'(x)=\cfrac{x\cdot e^xcosx+x\cdot e^xsinx-e^xsinx}{x^2}\)

    \(=\cfrac{e^x(xsinx+xcosx-sinx)}{x^2}\)

    此时\(x^2,e^x\)的符号都好判断,就是\(xsinx+xcosx-sinx\)的符号不好判断,

    故再定义\(h(x)=xsinx+xcosx-sinx\)

    \(h'(x)=sinx+cosx-x(cosx+sinx)-cosx=sinx+x(cosx-sinx)\)

    (注意,此时求导的目的是为了更好的判断\(g'(x)\)的正负)

    结合图像可知,当\(x\in(0,\cfrac{\pi}{4})\)时,\(sinx>0,x>0,cosx-sinx>0\)

    故此时\(h'(x)>0\),接下来不好判断,我们考虑其极端情形,\(h'(\cfrac{\pi}{2})=1-\cfrac{\pi}{2}<0\)

    这说明,当\(x\in(0,x_0)\)时,\(h'(x)>0\),当\(x\in(x_0,\cfrac{\pi}{2})\)时,\(h'(x)<0\)

    \(h(x)\)\(x\in(0,x_0)\)单调递增,在\(x\in(x_0,\cfrac{\pi}{2})\)单调递减,

    又验证\(h(0)=0,h(\cfrac{\pi}{2})=\cfrac{\pi}{2}-1>0\)

    故则有\(h(x)>0\),即当\(x\in(0,\cfrac{\pi}{2}]\)时,恒有\(h(x)>0\)

    \(g'(x)=\cfrac{e^x(xsinx+xcosx-sinx)}{x^2}>0\)

    \(g(x)\)\(x\in(0,\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增,\(g(x)_{min}=g(0)\)

    接下来用洛必达法则求

    \(\lim\limits_{x\to 0} g(x)= \lim\limits_{x\to 0} \cfrac{e^xsinx}{x}\)

    \(=\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{(e^xsinx)'}{x'}\)

    $ =\lim\limits_{x\to 0} \cfrac{e^xsinx+e^xcosx}{1}$

    \(=\cfrac{1}{1}=1\)

    \(g(x)_{min}=g(0)=1\)

    综合以上,求其交集得到,\(k\leq 1\).

    反思:一路求导,这是一个比较常用的21题的第二问的求解思路;

    不过这时不要忘了,一路求导的目的还是想判断第一个导函数的正负,

    所以还可以考虑在某个导函数中使用函数的图像来判断正负;

    例3已知函数\(f(x)=\cfrac{lnx}{1-x}\)\(\phi(x)=(x-1)^2\cdot f'(x)\).

    ⑴若函数\(\phi(x)\)在区间\((3m,m+\cfrac{1}{2})\)上单调递减,求实数\(m\)的取值范围;

    ⑵若对于任意的\(x\in (0,1)\),恒有\((1+x)\cdot f(x)+2a<0(a>0)\),求实数\(a\)的取值范围;

    【解析】⑴由于\(f'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}(1-x)+lnx}{(1-x)^2}\)

    \(\phi'(x)=(x-1)^2f'(x)=\cfrac{1}{x}(1-x)+lnx=\cfrac{1}{x}-1+lnx(x>0\&x\neq 1)\)

    所以\(\phi'(x)=-\cfrac{1}{x^2}+\cfrac{1}{x}=\cfrac{x-1}{x^2}\)

    \(\phi(x)\)在区间\((0,1)\)单调递减,又由题可知,

    函数\(\phi(x)\)在区间\((3m,m+\cfrac{1}{2})\)上单调递减,

    \((3m,m+\cfrac{1}{2})\subseteq (0,1)\)

    则得到\(\begin{cases} 3m \ge 0 \\ m+\cfrac{1}{2}\leq 1 \\ 3m < m+\cfrac{1}{2} \end{cases}\)

    则有\(\begin{cases} m\ge 0 \\ m <\cfrac{1}{4} \\ m \leq\cfrac{1}{2}\end{cases}\)

    解得\(0\leq m <\cfrac{1}{4}\).

    ⑵转化为恒成立和分离参数来求解。

    对于任意的\(x\in (0,1)\),恒有\(-2a\ge (1+x)\cdot f(x)\)成立,

    \(g(x)=(1+x)\cfrac{lnx}{1-x}\)

    \(g'(x)=\cfrac{lnx}{1-x}+(1-x)\cfrac{\cfrac{1}{x}(1-x)-lnx\cdot (1-x)'}{(1-x)^2}\)

    \(=\cfrac{lnx}{1-x}+(1-x)\cfrac{\cfrac{1}{x}(1-x)+lnx}{(1-x)^2}\)

    \(=\cfrac{lnx(1-x)+\cfrac{1}{x}(1-x)^2+(1+x)lnx}{(1-x)^2}\)

    \(=\cfrac{2lnx-x+\cfrac{1}{x}}{(1-x)^2}\)

    再令\(h(x)=2lnx+\cfrac{1}{x}-x\),则\(h'(x)=\cfrac{2}{x}-\cfrac{1}{x^2}-1\)

    \(h''(x)=-\cfrac{2}{x^2}+\cfrac{2}{x^3}=2(\cfrac{1}{x^3}-\cfrac{1}{x^2})>0\)

    所以\(h'(x)\)在区间\((0,1)\)上单调递增,又\(h'(1)=0\)

    则在区间\((0,1)\)\(h'(x)<0\),故\(h(x)\)在区间\((0,1)\)上单调递减,

    \(h(1)=0\),则在区间\((0,1)\)\(h(x)>0\)

    故在区间\((0,1)\)\(g'(x)>0\),从而\(g(x)\)在区间\((0,1)\)上单调递增,

    \(g(x)_{max}= g(1)\),以下用洛必达法则求解\(g(1)\)

    \(\lim\limits_{x\to 1} g(x)\)

    \(= \lim\limits_{x\to 1} \cfrac{((1+x)lnx)'}{(1-x)'}\)

    \(=\lim\limits_{x\to 1} \cfrac{lnx+\cfrac{1+x}{x}}{-1}=-2\)

    \(g(x)_{max}= g(1)\),故\(-2a \ge -2\),又\(a >0\),解得\(0< a \leq 1\)

    例4【2016高考新课标Ⅱ卷第20题】

    已知函数\(f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)\)

    (I)当\(a=4\)时,求曲线\(y=f(x)\)\((1,f(1)\)处的切线方程;

    分析:\(f(x)=(x+1)lnx-4(x-1)\)\(f(1)=0\),故切点为\((1,0)\)

    \(f'(x)=lnx+(x+1)\cdot \cfrac{1}{x}-4\)\(f'(1)=-2\)

    由点斜式得到\(y-0=-2(x-1)\),即\(2x+y-2=0\)

    (II)若当\(x\in(1,+\infty)\)时,\(f(x)>0\),求\(a\)的取值范围.

    法1:当\(x\in(1,+\infty)\)时,\(f(x)>0\)等价于\(lnx-\cfrac{a(x-1)}{x+1}>0\)

    [反思]这样变形的目的是为了将\(lnx\)这一块变得简单,有助于求导。

    \(g(x)=lnx-\cfrac{a(x-1)}{x+1}\)\(g(1)=0\)

    \(g'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{a(x+1)-a(x-1)}{(x+1)^2}\)

    \(=\cfrac{1}{x}-\cfrac{2a}{(x+1)^2}=\cfrac{x^2+2(1-a)x+1}{x(x+1)^2}\)

    分子函数\(y=x^2+2(1-a)x+1\)的对称轴为\(x=-\cfrac{2(1-a)}{2}=a-1\)

    当对称轴在\(x=1\)处或者其左侧时,在\(x>1\)时的函数图像是在\(x\)轴上方的,则分界点是\(a\leq 2\)

    ①当\(a\leq 2\)时,\(x\in (1,+\infty)\)时,\(x^2+2(1-a)x+1>x^2-2x+1>0\),故\(g'(x)>0\)

    \(g(x)\)\((1,+\infty)\)上单调递增,\(g(1)=0\),因此,\(g(x)>0\),故\(a\leq 2\)满足题意;

    ②当\(a>2\)时,令\(g'(x)=0\)得到,\(x_1=a-1-\sqrt{(a-1)^2-1}\)\(x_2=a-1+\sqrt{(a-1)^2-1}\)

    \(x_2>1\)\(x_1x_2=1\)可得,\(x_1<1\)

    故当\(x\in (1,x_2)\)时,\(g'(x)<0\)\(g(x)\)在区间\((1,x_2)\)上单调递减,

    此时\(g(x)<g(1)=0\),故不符题意,舍去,

    综上可知,\(a\)的取值范围是\((-\infty,2]\)

    法2:当\(x\in(1,+\infty)\)时,\(f(x)>0\)

    \((x+1)lnx-a(x-1)>0\)\(x\in(1,+\infty)\)时恒成立,

    分离参数得到\(a<\cfrac{(x+1)lnx}{x-1}=h(x)\)\(x\in(1,+\infty)\)时恒成立,

    只需要求\(x\in(1,+\infty)\)时的\(h(x)\)的最小值或最小值的极限即可。

    \(h'(x)=\cfrac{[(x+1)lnx]'\cdot (x-1)-[(x+1)lnx]\cdot 1}{(x-1)^2}\)

    \(=\cfrac{-2lnx+\cfrac{x^2-1}{x}}{(x-1)^2}\)

    \(g(x)=-2lnx+x-\cfrac{1}{x}\)

    \(g'(x)=-\cfrac{2}{x}+1+\cfrac{1}{x^2}=\cfrac{x^2+1-2x}{x^2}>0\)

    故函数\(g(x)\)\((1,+\infty)\)上单调递增,故\(g(x)>g(1)=0\)

    故函数\(h'(x)=\cfrac{-2lnx+\cfrac{x^2-1}{x}}{(x-1)^2}>0\)

    故函数\(h(x)\)\((1,+\infty)\)上单调递增,

    \(h(x)>h(1)=\cfrac{0}{0}\),故需要用到洛必达法则来求\(h(1)\)

    \(h(1)=\lim\limits_{x\to 1} h(x)= \lim\limits_{x\to 1}\cfrac{(x+1)lnx}{x-1}\)

    \(= \lim\limits_{x\to 1}\cfrac{((x+1)lnx)'}{(x-1)'}\)

    \(= \lim\limits_{x\to 1}\cfrac{lnx+(x+1)\cdot \cfrac{1}{x}}{1}\)

    \(=2\),故\(h(1)=2\)

    \(a\leq 2\),即\(a\)的取值范围是\((-\infty,2]\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6219778.html

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  • 导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值...

    考纲原文

    1.导数在研究函数中的应用

    (1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

    (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

    2.生活中的优化问题

    会利用导数解决某些实际问题.

    知识点详解

    一、导数与函数的单调性

    一般地,在某个区间(a,b)内:

    (1)如果 f'(x)>0,函数f (x)在这个区间内单调递增;

    (2)如果f'(x)<0,函数f (x)在这个区间内单调递减;

    (3)如果f'(x)=0,函数f (x)在这个区间内是常数函数.

    注意:(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;

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    (3)函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)内恒成立,且 在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,在区间内的个别点处有f'(x)=0 ,不影响函数f (x)在区间内的单调性.

    二、利用导数研究函数的极值和最值

    1.函数的极值

    一般地,对于函数y=f (x),

    (1)若在点x=a处有f ′(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则称x=af (x)的极小值点, 叫做函数f (x)的极小值.

    (2)若在点x=b处有f'(b)=0,且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 ,则称x=bf (x)的极大值点, 叫做函数f (x)的极大值.

    (3)极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值.

    2.函数的最值

    函数的最值,即函数图象上最高点的纵坐标是最大值,图象上最低点的纵坐标是最小值,对于最值,我们有如下结论:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.

    设函数f(x) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:

    (1)求f(x)在(a,b)内的极值;

    (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

    3.函数的最值与极值的关系

    (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言;

    (2)在函数的定义区间[a,b]内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者没有);

    (3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点;

    (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

    三、生活中的优化问题

    生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.

    解决优化问题的基本思路是:

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    考向分析

    考向一 利用导数研究函数的单调性

    1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式 f'(x)>0(f'(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤为:

    (1)求f ′(x);

    (2)确认f ′(x)在(a,b)内的符号;

    (3)作出结论,f'(x)>0 时为增函数,f'(x)<0时为减函数.

    注意:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

    2.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论,定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.

    3.由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法

    (1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;

    (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;

    (3)若已知f(x) 在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.

    4.利用导数解决函数的零点问题时,一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点,再利用导数判断在所给区间内的单调性,由此求解.

    考向二 利用导数研究函数的极值和最值

    1.函数极值问题的常见类型及解题策略

    (1)函数极值的判断:先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

    (2)求函数f(x)极值的方法:

    ①确定函数f(x)的定义域.

    ②求导函数f'(x).

    ③求方程f'(x)=0的根.

    ④检查 f'(x)在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x) 在这个根处取得极小值;如果f'(x) 在这个根的左、右两侧符号不变,则 fx() 在这个根处没有极值.

    (3)利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数f'(x),求方程f'(x)=0 的根的情况,得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围.

    2.求函数f (x)在[a,b]上最值的方法

    (1)若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减,f (a)与f (b)一个为最大值,一个为最小值.

    (2)若函数f (x)在区间(a,b)内有极值,先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值,与f (a)、f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

    (3)函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时,这个极值点就是最大(或最小)值点.

    注意:

    (1)若函数中含有参数时,要注意分类讨论思想的应用.

    (2)极值是函数的“局部概念”,最值是函数的“整体概念”,函数的极值不一定是最值,函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

    3.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法:

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    (2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.

    考向三 (导)函数图象与单调性、极值、最值的关系

    1.导数与函数变化快慢的关系:如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

    2.导函数为正的区间是函数的增区间,导函数为负的区间是函数的减区间,导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.

    考向四 生活中的优化问题

    1.实际生活中利润最大,容积、面积最大,流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点,且在极值点附近左增右减,则此时唯一的极大值就是最大值.

    2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手),将这一指标表示为自变量x的函数,利用导数或其他方法求出最值,但一定要注意自变量的取值范围.

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  • 导数是数学非常重要概念,它能反应出速度变化快慢,尤其AI算法分析,优化以及数据挖掘中用到很多 导数的引出 引例1 变速直线运动速度 s是距离,t是时间,v是速度 设描述指点运动位置函数为 s=f(t)s...

    关于导数

    • 导数是数学中非常重要的概念,它能反应出速度变化的快慢,尤其在AI的算法分析,优化以及数据挖掘中用到很多

    导数的引出

    引例1

    • 变速直线运动的速度
      • s是距离,t是时间,v是速度
      • 设描述指点运动的位置函数为 s=f(t)s = f(t)
      • t0t_0到t的平均速度为 v=f(t)f(t0)tt0\overrightarrow{v} = \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}
      • 而在t0t_0时刻的瞬时速度为 v=limtt0f(t)f(t0)tt0v = \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}

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    引例2

    • 曲线的切线斜率
      • 曲线C: y=f(x)y = f(x) 在M点处的切线MT,与x轴夹角是α\alpha
      • MN是曲线C的一条割线,与x轴夹角是β\beta
      • 割线MN的极限位置MT(当βα\beta \to \alpha时)
      • 切线MT的斜率 k=tanα=limβαtanβk = tan \alpha = \lim_{\beta \to \alpha} tan \beta
      • 割线MN的斜率 tanϕ=f(x)f(x0)xx0tan \phi = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} 如图虚线所示的比
      • k=limxx0f(x)f(x0)xx0k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
      • 可见增量比的极限就是曲线C在M点处的切线MT

    导数的定义

    • 设函数y=f(x)在点x0x_0的某临域内有定义
    • y=f(x)f(x0)\triangle y = f(x) - f(x_0)
    • δx=xx0\delta x = x - x_0
    • limxx0f(x)f(x0)xx0=limδx0δyδx\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x} 存在
    • 则称函数f(x)在点x0x_0处可导,并称此极限为y=f(x)在点x0x_0的导数
    • 记为:
      • yx=x0\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}
      • f(x0)f'(x_0)
      • dydxx=x0\mathop{{\left. \frac{dy}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}
      • df(x)dxx=x0\mathop{{\left. \frac{df(x)}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}
      • 以上四种均可表示,即:yx=x0=f(x0)=limx0yx=limx0f(x0+x)f(x0)x\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}} = f'(x_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x) - f(x_0)}{\triangle x}

    导数公式

    常数和基本初等函数的导数公式

    仅供查阅


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    基本求导法则

    1 ) 函数的和、差、积、商的求导法则

    • u=u(x),v=v(x)u = u(x), v = v(x) 都可导,则
      • (1) (u±v)=u±v(u \pm v)' = u' \pm v'
      • (2) (Cu)=Cu(Cu)' = Cu' (C是常数)
      • (3) (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv'
      • (4) (uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (v0v \neq 0)

    2 ) 反函数的求导法则

    • 如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyI_y内单调、可导且f(y)0f'(y) \neq 0
    • 则它的反函数y=f1(x)y=f^{-1}(x)在区间Ix={xx=f(y),yIy}I_x = \{ x| x = f(y), y \in I_y \}内也可导,且有
    • [f1(x)]=1f(y)[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}dydx=1dxdy\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

    3 ) 复合函数求导法则

    • y=f(u),u=φ(x)y=f(u), u=\varphi (x), 则复合函数y=f[φ(x)]y = f[\varphi (x)]的导数为
    • dydx=dydududx=f(u)φ(x)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} = f'(u)*\varphi ' (x)

    例子1

    • y=2x35x2+3x7y=2x^3 - 5x^2 + 3x - 7的导数
      • y=23x252x+3+0y' = 2*3*x^2 - 5*2*x + 3 + 0
      • y=6x210x+3y' = 6x^2 - 10x + 3

    例子2

    • 已知f(x)=x3+4cosxsinπ2f(x) = x^3 + 4cosx - sin \frac{\pi}{2}, 求f(x)f(π2)f'(x) 、f'(\frac{\pi}{2})
      • f(x)=3x24sinx0f'(x) = 3*x^2 - 4*sin x - 0
      • f(x)=3x24sinxf'(x) = 3x^2 - 4sinx
      • f(π2)=3(π2)24π2f'(\frac{\pi}{2}) = 3*(\frac{\pi}{2})^2 - 4*\frac{\pi}{2}
      • f(π2)=34π24f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{3}{4} \pi^2 - 4

    例子3

    • y=xlnxy=\sqrt{x} * ln x的导数
      • y=(xlnx+x(lnx))y' = (\sqrt{x}'ln x + \sqrt{x}(ln x)')
      • y=121xlnx+x1xy' = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x}} * ln x + \sqrt{x} * \frac{1}{x}
      • y=1x(lnx2+1)y' = \frac{1}{\sqrt{x}} (\frac{ln x}{2} + 1)

    例子4

    • y=ex(sinx+cosx)y=e^x(sin x + cos x)的导数
      • y=(ex)(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)y' = (e^x)'(sin x + cos x) + e^x(sinx + cosx)'
      • y=ex(sinx+cosx)+ex(cosxsinx)y' = e^x(sin x + cos x) + e^x(cosx - sinx)
      • y=ex2cosxy' = e^x * 2 * cos x
      • y=2excosxy' = 2 e^x cos x

    高阶导数

    • 若函数y=f(x)的导数y=f(x)y' = f'(x)可导
    • 则称f(x)f'(x)的导数为f(x)的二阶导数
    • 记为 yy''d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}
    • 即:y=(y)y'' = (y')'d2ydx2=ddx(dydx)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} * (\frac{dy}{dx})
    • 类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,以此类推,n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记为:
    • y,y,y,y(4),y(5),...,y(n)y', y'', y''', y^{(4)}, y^{(5)}, ..., y^{(n)}f(x),f(x),f(x),f(4)(x),f(5)(x),...,f(n)(x)f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), ..., f^{(n)}(x)
    • y(n)=dnydxny^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}
    • 原函数可以称为0阶导数
    • 二阶及其以上导数统称为高阶导数
    展开全文
  • 容易知道,割线斜率是当点趋近于 P 时,函数y=f(x)x=处的导数就是切线PT斜率k,即3. 导函数:当x变化时,便是x一个函数,我们称它为f(x)函数. y=f(x)函数有时也记作,即。二. 导数的...
    1530a8cfaa15ec0eb5a85312c7b83b76.gif

    知识点总结

    一. 导数概念的引入

    1. 导数的物理意义:

    瞬时速率。一般的,函数y=f(x)在x=b76b07c9f1288791cfce94e41a211fa4.png处的瞬时变化率是

    fb07381bb0c1cbb179e4f42158db1b2a.png

    2. 导数的几何意义:

    曲线的切线,当点0cd1ae0e851d5f8bb90fc35ec817a220.png趋近于P时,直线 PT 与曲线相切。容易知道,割线的斜率是

    372d863d6a6f65f2c28477b713654f72.png

    当点851eecc55ae37ce363cf998234d486aa.png趋近于 P 时,函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k,即

    4048024cfdc0a720de32ac85313b79bc.png

    3. 导函数:

    当x变化时,464766c50f861fdee687dafa2c6bc3ba.png便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数. y=f(x)的导函数有时也记作2e98e1cf282202a79f8ec495d7427d50.png,即

    d775501bda9f203be5409175765faaf9.png

    二. 导数的计算

    基本初等函数的导数公式:

    a153a46d8f5fb66c57abca86f84e87bf.png

    导数的运算法则:

    2928eba6fe5d110f0bf575a0a9303c1d.png

    复合函数求导 :

    y=f(u)和u=g(x),则称y可以表示成为x的函数,即y=f(g(x))为一个复合函数。

    三、导数在研究函数中的应用

    1. 函数的单调性与导数:

    一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内

    (1) 如果>0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递增;

    (2) 如果<0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减;

    2. 函数的极值与导数:

    极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。

    求函数y=f(x)的极值的方法有:

    (1)如果在7e4fc751c7e95078a561f09c2987b1a5.png附近的左侧>0 ,右侧<0,那么3893ac0b173d1d2c77a37072d323344e.png是极大值;

    (2)如果在附近的左侧<0 ,右侧>0,那么是极小值;

    3. 函数的最大(小)值与导数:

    求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:

    (1)求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;

    (2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值。

    四. 推理与证明

    (1)合情推理与类比推理

    根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理。

    根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理。

    类比推理的一般步骤:

    (1) 找出两类事物的相似性或一致性;

    (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);

    (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;

    (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠。

    (2)演绎推理(俗称三段论)

    由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。

    (3)数学归纳法

    1. 它是一个递推的数学论证方法。

    2. 步骤:

    A. 命题在 n=1(或bfe7000b287d53118be6bf3740cafd71.png)时成立,这是递推的基础;

    B.假设在 n=k 时命题成立;

    C. 证明 n=k+1 时命题也成立。

    完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n≥,且n∈N)结论都成立。

    证明方法:1、 反证法;2、分析法;3、综合法;

    解题技巧

    热点考向一 导数在方程中的应用

    [典例1]

    已知函数f(x)=x2-(a+4)x-2a2+5a+3(a∈R).

    (1)当a=3时,求函数f(x)的零点;

    (2)若方程f(x)=0的两个实数根都在区间(-1,3)上,求实数a的取值范围.

    ccfecb2a6a0ec37ef8de7ad6d8770235.png

    [方法规律]

    利用导数解决函数零点(方程的根)问题的主要方法

    (1)利用导数研究函数的单调性和极值,通过对极值正负的讨论研究根的问题;

    (2)利用数形结合研究方程的根;

    (3)利用导数结合零点定理研究根的存在问题;

    (4)转化为不等式或最值问题解决函数零点问题.

    热点考向二导数在不等式中的应用

    9761f2694eeb1c0a2145570f017152a7.pngefdcd394c041c8b23ce84066f13e2bd9.png68bef3b60faa72c3b8207cf6e0b756f1.png45c5f2cba3b18342053688648084c68a.pngb5ff11527310fdfc93b1497706ff32e9.png

    [方法规律]

    利用导数解决不等式问题的类型

    (1)不等式恒成立:基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题.

    (2)比较两个数的大小:一般的思路是把两个函数作差后构造一个新函数,通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个数的大小.

    (3)证明不等式:对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数,然后利用函数的单调性和极值解决.

    --END--

    6e9867d388d9618774bf1db0461b6d88.pngd1445279f2a7a2481a5c847c797e83fb.gif
    展开全文
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导数在函数中的应用