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驻点的定义：（要求平滑）  y=|x|； 不存在驻点；

极值点的定义：

导数不存在的点也有可能是极值点

拐点：

一二阶导数等于零各是什么意义

倒代换

驻点的定义：（要求平滑）  y=|x|； 不存在驻点；

一阶导数为0的点，就是驻点。所以求驻点，就是求一阶导数为0的点。至于不可导点，当然就不可能是驻点了。

极值点的定义：

在某点的一个邻域内，该点的函数值是最大值或最小值，则该点是个极大值点或极小值点。

极值点可能是一阶导数为0的点，也可能是一阶导数不存在的点。所以求极值点的时候，找出所有一阶导数为0的点和不可导点。对这些点进行进一步的分析。注意一点，一阶导数为0或一阶导数不存在只是极值点的一个必要条件。而不是充分条件。所以不能只求出一阶导数为0或不可导点，就不再进一步分析，直接认定这些点是极值点。

导数不存在的点也有可能是极值点

比如说两条线段组成的折线,先上后下,则最高点就是极值点,但那点不可导.

不可导的点很容易判断,要么是那一点求导后取不到值如 lnx求导后在x=0上取不到

要么就是分段函数中某个点向左趋近的的导数不等于向右趋近的导数.

拐点：

是函数凹凸变化的分界点。拐点可能是二阶导数为0或二阶导数不存在（含一阶导数不存在而导致二阶导数不存在的情况）的点。求出所有二阶导数为0或不存在点，再进一步分析。

一二阶导数等于零各是什么意义

一阶导数等于零:函数斜率 是0；

二阶导数大于0==凹函数，小于0==凸函数；；等于0 

 

 

倒代换

倒代换是一种通过变量代换x=1/t降低问题难度或化简解题过程的数学解题方法。

    
这三个概念有区别又有联系，首先先上定义。
导数（Derivative）是微积分学中重要的基础概念。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。导数的一般定义如下：

可见在处的导数是趋向于零时候上式的极限。
极限（Limit）它描述函数值在接近某一给定的自变量时的特征，定义如下：
对于任意的，必存在一个，使得若，则，则称为当时的极限。
下面看一个例子：
求椭圆面在点（1,1，1）处的切平面及法线方程。
解：
     切平面方程为
     即：
     法线方程为
其中，是的偏导数。
再看形如之类的函数，求导得到，这就是切线的斜率，然后就得到了处的切线。
不禁有人会问，这二者看似无关，都是求的导数，怎么一个是法向量一个是切线斜率，二者有什么联系吗？
其实看导数的定义就可以知道，y=f(x)这类的函数的导数f'(x)是对x求导，故反应的是y的值随着x的变化率，比如y=x^2的导数为y=2x，说明y在x方向的变换速度是2x。
如果把y=f(x)写成f(x)-y=0，这时偏导数为(f'(x), -1),切平面方程为，这里就能清楚的看出切平面方程其实是从二维推到N维的，所以能够反推回来。
下面讲梯度这个问题，有个优化算法叫梯度下降算法，使每次优化迭代计算都按照最优的方向（额，下降时就是梯度的负方向）进行计算。首先能看出梯度应该是一个矢量，有大小有方向。那么什么是梯度呢，
这里给出维基百科的解释：
梯度（Gradient）： 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点的梯度指向在这点标量场增长最快的方向（当然要比较的话必须固定方向的长度），梯度的绝对值是长度为1的方向中函数最大的增加率，也就是说  ，其中代表方向导数。以另一观点来看，由多变数的泰勒展开式可知，从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
这句比较清楚，梯度在实值函数就是偏导数！一般来讲，求函数的极值会先去求导数，然后令导数等于零，这个点不一定是极值，但是一定是极值的必要条件，也就是说极值点的导数必为零。从定义不难看出，
偏导数或导数反应的是函数在这一点附近的变化率，所以极值点附近（这里是无线近）的变换率应为零。
通过上述可以知道，在实值函数里面，偏导数就是梯度，而且也是该点的法向量。
（自己一点浅见，有问题欢迎指正）

转载于:https://www.cnblogs.com/Kaivenblog/p/6542095.html

  函数凹凸性检验：
  
  很容易看到，观察类似抛物线这类曲线，能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程，而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出如下的定义：
  (1)如果函数图像在区间I上向上凹，则f’(x)在区间I上递增。
  (2)如果函数图像在区间I上向下凹，则f’(x)在区间I上递减。
 
      局部极值二阶导数检验法：
                         
    证明：回想起我们最原始判断极值的方法，我们要考察极值点两侧导数的正负，对于(1),在c两侧取x=x0,x1应有f’(x0)<0,f’(x0)=0,f’(x1)>0，即f的导数在一个含c的区间上，导函数呈单调递增，这个条件可以用f’’(x)>0来表述。
  对于(2)，有类似的证明办法。
  而对于情况(3)，对于幂函数y=x^a，a取得2、3、4都有不同的结果，因此无法检验。
转载于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5701409.html

数学怪叔叔
把数学满分当成一种习惯。
高考数学压轴秒解--导数篇（一）之极值点偏移
在上次的学习中我们以及了解了导函数的命题方向，接下来我们来把导函数的所有题型和模板一一击破。
我们先从比较基础的题型开始学习，本文主要对极值点偏移作一个完整的介绍。
首先，只有弄清它的含义才能彻底解决这个问题，那么什么是极值点偏移？这里我们给极值点偏移来个规范的下定义，以便大家更深刻的了解。
极值点偏移有哪几种类型呢？
分类一就不再作详细说明，分类二可以简单的理解为题目为直接证明极值点左偏或右偏（称为纯偏移），或者间接利用极值点偏移来解决其他函数问题（称为非纯偏移）。
接下来我们要解决如何解答极值点偏移问题，其中涉及到极值点偏移的答题模板以及解题步骤。我们先以纯偏移为例子来看一道题。
这就是典型的极值点偏移的纯偏移问题。那怎么解呢？
大家自己拿笔按照途中步骤填写，就很容易得到答案了。
大家看文章时要拿笔跟着写，这题是极值点偏移最基础题，但我们要从中学会答题模板。
现在提供此题的标准答案。。。。。。。。。。。。
这个表准答案是我在小猿上搜到的，大家可以对照我的答题模板，小猿的解法就是按这个模板来的。所以
最重要的是要学会答题模板和这其中包含的答题步骤。
下面还有关于答题模板的几点说明
第一，模板第一步的构造有两种（可以往回看步骤的具体构造）那么我们要用那种更简单呢？事实上，两种构造原理上是一样的，但是第二中构造具有对称性，在求导以及计算的过程中使用第二种构造会让我们的计算变简单，也就会节约时间和避免计算失误。当然有些时候直接构造用第一种也很简单，这就因题而论了。
第二，极值点偏移的核心问题是什么？是利用什么解题？单调性！对，就是单调性！利用利用一个区间内的单调性根据函数值的大小来判断我们需要的大小关系。所以遇到极值点偏移的变型题，，最最重要的就是不要忘记它的核心。（数学怪叔叔每讲都会有核心问题，这是超级重要的，大家一点要仔细阅读并思考。）
相信到这里大家对纯极值点都有了很详细的了解，那么非纯极值点偏移怎么处理呢？核心就是，，把它变成纯极值点偏移问题。这里变化所需要的技巧我们会以例题的形式呈现。
下面来一道纯正的高考题，相信大家很多人也做过，我们一起来回味一下。
大家直接看答案是如何转化的。
我再来给大家归纳。首先对照纯极值点偏移，这里有一个未知数a，而题中给的条件是零点。
而大家回想，我们纯偏移的模板是给的两个函数值相等，再证明。
所以如答案，我们消去a,构造新函数，就回到了纯偏移的解法。
文末，大家对刚刚第一个例题有没有其他想法，这里提供一种很好的解法。
说的这里，是不是有同学对对数平均值不等式不太了解。那我直接上图。
这个不等式大家要记住，会有用处的。。
记得关注数学怪叔叔，专栏里面文章会更新哟。
编辑于 2019-01-27著作权归作者所有
怪叔叔高考压轴数学