精华内容
下载资源
问答
  • 驻点的定义:一阶导数为0的点,就是驻点。所以求驻点,就是求一阶导数为0的点。至于不可导点,当然就不可能是驻点了。 极值的定义:在某点的一个邻域内,该点的函数值是最大值或最小值,则该点是个极大值点或极小...

    目录

    驻点的定义:(要求平滑)  y=|x|; 不存在驻点;

    极值点的定义:

    导数不存在的点也有可能是极值点

    拐点:

    一二阶导数等于零各是什么意义

    倒代换


    驻点的定义:(要求平滑)  y=|x|; 不存在驻点;

    阶导数为0的点,就是驻点。所以求驻点,就是求一阶导数为0的点。至于不可导点,当然就不可能是驻点了。

    极值点的定义:

    在某点的一个邻域内,该点的函数值是最大值或最小值,则该点是个极大值点或极小值点。

    极值点可能是一阶导数为0的点,也可能是一阶导数不存在的点。所以求极值点的时候,找出所有一阶导数为0的点和不可导点。对这些点进行进一步的分析。注意一点,一阶导数为0或一阶导数不存在只是极值点的一个必要条件。而不是充分条件。所以不能只求出一阶导数为0或不可导点,就不再进一步分析,直接认定这些点是极值点。

    导数不存在的点也有可能是极值点

    比如说两条线段组成的折线,先上后下,则最高点就是极值点,但那点不可导.
    不可导的点很容易判断,要么是那一点求导后取不到值如 lnx求导后在x=0上取不到
    要么就是分段函数中某个点向左趋近的的导数不等于向右趋近的导数.

    拐点:

    是函数凹凸变化的分界点。拐点可能是二阶导数为0或二阶导数不存在(含一阶导数不存在而导致二阶导数不存在的情况)的点。求出所有二阶导数为0或不存在点,再进一步分析。

    一二阶导数等于零各是什么意义

    一阶导数等于零:函数斜率 是0;

    二阶导数大于0==凹函数,小于0==凸函数;;等于0 

     

     

    倒代换

    倒代换是一种通过变量代换x=1/t降低问题难度或化简解题过程的数学解题方法。

    展开全文
  • 导数、梯度和极值

    2019-10-08 12:02:45
    这三个概念有区别又有联系,首先先上...导数的一般定义如下: 可见在处的导数是趋向于零时候上式极限。 极限(Limit)它描述函数值在接近某一给定自变量时特征,定义如下: 对于任意,必存在一个,使得...

    这三个概念有区别又有联系,首先先上定义。

    导数Derivative)是微积分学中重要的基础概念。

    一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。导数的一般定义如下:

    可见处的导数是趋向于零时候上式的极限。

    极限(Limit)它描述函数值在接近某一给定的自变量时的特征,定义如下:

    对于任意的,必存在一个,使得若,则,则称时的极限。

    下面看一个例子:

    求椭圆面在点(1,1,1)处的切平面及法线方程。

    解:

         切平面方程为

         即:

         法线方程为

    其中,的偏导数。

    再看形如之类的函数,求导得到,这就是切线的斜率,然后就得到了处的切线。

    不禁有人会问,这二者看似无关,都是求的导数,怎么一个是法向量一个是切线斜率,二者有什么联系吗?

    其实看导数的定义就可以知道,y=f(x)这类的函数的导数f'(x)是对x求导,故反应的是y的值随着x的变化率,比如y=x^2的导数为y=2x,说明y在x方向的变换速度是2x。

    如果把y=f(x)写成f(x)-y=0,这时偏导数为(f'(x), -1),切平面方程为,这里就能清楚的看出切平面方程其实是从二维推到N维的,所以能够反推回来。

    下面讲梯度这个问题,有个优化算法叫梯度下降算法,使每次优化迭代计算都按照最优的方向(额,下降时就是梯度的负方向)进行计算。首先能看出梯度应该是一个矢量,有大小有方向。那么什么是梯度呢,

    这里给出维基百科的解释:

    梯度(Gradient): 在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点的梯度指向在这点标量场增长最快的方向(当然要比较的话必须固定方向的长度),梯度的绝对值是长度为1的方向中函数最大的增加率,也就是说  ,其中代表方向导数。以另一观点来看,由多变数的泰勒展开式可知,从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上,梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。

    在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。

    这句比较清楚,梯度在实值函数就是偏导数!一般来讲,求函数的极值会先去求导数,然后令导数等于零,这个点不一定是极值,但是一定是极值的必要条件,也就是说极值点的导数必为零。从定义不难看出,

    偏导数或导数反应的是函数在这一点附近的变化率,所以极值点附近(这里是无线近)的变换率应为零。

    通过上述可以知道,在实值函数里面,偏导数就是梯度,而且也是该点的法向量。

    (自己一点浅见,有问题欢迎指正)

    转载于:https://www.cnblogs.com/Kaivenblog/p/6542095.html

    展开全文
  • 很容易看到,观察类似抛物线这类曲线,能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程,而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出如下的定义: (1)如果函数图像在区间I上向上凹,则f’(x)...

      函数凹凸性检验:

     

      很容易看到,观察类似抛物线这类曲线,能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程,而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出如下的定义:

      (1)如果函数图像在区间I上向上凹,则f’(x)在区间I上递增。

      (2)如果函数图像在区间I上向下凹,则f’(x)在区间I上递减。

     

          局部极值二阶导数检验法:

                             

        证明:回想起我们最原始判断极值的方法,我们要考察极值点两侧导数的正负,对于(1),在c两侧取x=x0,x1应有f’(x0)<0,f’(x0)=0,f’(x1)>0,即f的导数在一个含c的区间上,导函数呈单调递增,这个条件可以用f’’(x)>0来表述。

      对于(2),有类似的证明办法。

      而对于情况(3),对于幂函数y=x^a,a取得2、3、4都有不同的结果,因此无法检验。

    转载于:https://www.cnblogs.com/rhythmic/p/5701409.html

    展开全文
  • 高考数学压轴秒解--导数篇(一)之极值点偏移在上次学习中我们以及了解了导函数命题方向,接下来我们来把导函数所有题型和模板一一击破。我们先从比较基础题型开始学习,本文主要对极值点偏移作一个完整...

    08182779ae9d75329015ebc833dacc7f.png

    数学怪叔叔

    把数学满分当成一种习惯。

    高考数学压轴秒解--导数篇(一)之极值点偏移

    在上次的学习中我们以及了解了导函数的命题方向,接下来我们来把导函数的所有题型和模板一一击破。

    我们先从比较基础的题型开始学习,本文主要对极值点偏移作一个完整的介绍。

    首先,只有弄清它的含义才能彻底解决这个问题,那么什么是极值点偏移?这里我们给极值点偏移来个规范的下定义,以便大家更深刻的了解。

    92b8b752e8be3d6823fb9711fd3debdd.png

    极值点偏移有哪几种类型呢?

    93a493661b052eca13e2fce1546f3ec5.png

    分类一就不再作详细说明,分类二可以简单的理解为题目为直接证明极值点左偏或右偏(称为纯偏移),或者间接利用极值点偏移来解决其他函数问题(称为非纯偏移)。

    接下来我们要解决如何解答极值点偏移问题,其中涉及到极值点偏移的答题模板以及解题步骤。我们先以纯偏移为例子来看一道题。

    cc658fd7884bb457a768d5e485523799.png

    这就是典型的极值点偏移的纯偏移问题。那怎么解呢?

    31109393f4194cde078469348f341366.png

    大家自己拿笔按照途中步骤填写,就很容易得到答案了。

    大家看文章时要拿笔跟着写,这题是极值点偏移最基础题,但我们要从中学会答题模板。

    现在提供此题的标准答案。。。。。。。。。。。。

    690404f13942922783edf68d1958babb.png

    4a326e51d6e7e05ddf96079fd97e9507.png

    这个表准答案是我在小猿上搜到的,大家可以对照我的答题模板,小猿的解法就是按这个模板来的。所以

    最重要的是要学会答题模板和这其中包含的答题步骤。

    下面还有关于答题模板的几点说明

    第一,模板第一步的构造有两种(可以往回看步骤的具体构造)那么我们要用那种更简单呢?事实上,两种构造原理上是一样的,但是第二中构造具有对称性,在求导以及计算的过程中使用第二种构造会让我们的计算变简单,也就会节约时间和避免计算失误。当然有些时候直接构造用第一种也很简单,这就因题而论了。

    第二,极值点偏移的核心问题是什么?是利用什么解题?单调性!对,就是单调性!利用利用一个区间内的单调性根据函数值的大小来判断我们需要的大小关系。所以遇到极值点偏移的变型题,,最最重要的就是不要忘记它的核心。(数学怪叔叔每讲都会有核心问题,这是超级重要的,大家一点要仔细阅读并思考。)

    相信到这里大家对纯极值点都有了很详细的了解,那么非纯极值点偏移怎么处理呢?核心就是,,把它变成纯极值点偏移问题。这里变化所需要的技巧我们会以例题的形式呈现。

    下面来一道纯正的高考题,相信大家很多人也做过,我们一起来回味一下。

    大家直接看答案是如何转化的。

    我再来给大家归纳。首先对照纯极值点偏移,这里有一个未知数a,而题中给的条件是零点。

    而大家回想,我们纯偏移的模板是给的两个函数值相等,再证明。

    所以如答案,我们消去a,构造新函数,就回到了纯偏移的解法。

    文末,大家对刚刚第一个例题有没有其他想法,这里提供一种很好的解法。

    说的这里,是不是有同学对对数平均值不等式不太了解。那我直接上图。

    这个不等式大家要记住,会有用处的。。

    记得关注数学怪叔叔,专栏里面文章会更新哟。

    编辑于 2019-01-27著作权归作者所有

    怪叔叔高考压轴数学

    展开全文
  • 本文介绍了导数的定义导数运算公式及导数极值定义。
  • 设函数在点某一邻域内有定义,自点引射线,设轴正向到射线转角为,为邻域内且在上另一点。 若比值 这里,当沿着趋向于时极限存在,称此极限值为函数在点沿方向方向导数,记作。 即  2、方向导数的存在性条件...
  • 一、极值的定义 设函数在区间内有定义,点是内的一点。若存在点的一个邻域,对于该邻域内任何异于的点,不等式  () 成立,称是函数的一个极大值(极小值);称点是函数 的极大值点(极小值点)。 函数的极大值与极...
  • 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义导数的几何意义,理解导函数的概念.2.熟记基本导数公式(c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,...
  • Python 基于sympy模块求极值 导数 偏导

    千次阅读 2019-11-20 21:22:04
    sympy简介:sympy是一个Python科学计算库,用一套强大符号计算体系完成诸如多项式求值、求极限、解方程、求...#设置符号变量Symbol只能创建一个变量 symbols 可一次定义多个变量 x1,x2,x3,x4=sympy.symbols('x1,x...
  • 图像分割-二阶导数零交叉点含义

    千次阅读 2020-02-10 21:24:19
    已知: ...零交叉点的定义:零灰度轴和二阶导数极值的连线的交点称为该二阶导数的零交叉点 一条边缘的两个附加性质: (1)对图像中的每条边缘,二阶导数生成两个值   (2)二阶导数的零交叉点可...
  • 导数应用

    2021-03-30 10:58:07
    注意极值的定义 若函数可导,则极值点→驻点 若函数不一定可导,则极值点与驻点无关系 只有导数为0的点和不可导点才是可能的极值点 第三充分条件可通过,皮亚诺余项泰勒公式和极值定义证明 凸凹性就是切线与...
  • 文章目录前言正文导数的定义导数的含义及常见函数导数导数的性质分数的求导导数和函数最小值的关系(重点)函数的增减表偏导数多变量函数偏导数的求解(重点)多变量函数的极值问题(重点)躲不掉的拉格朗日总结 ...
  • 在上次学习中我们以及了解了导函数命题方向,接下来我们来把导函数...这里我们给极值点偏移来个规范定义,以便大家更深刻了解。极值点偏移有哪几种类型呢?分类一就不再作详细说明,分类二可以简单理解...
  • 1.1、极值的定义 注意:定义中没有强调函数是否可导,而且只是在某邻域内的极值。最值是在整个定义域内的 1.2、定理1:必要条件 可导函数的极值点是驻点 驻点可能是极值点 (反例: x3在x=0处是驻点,但是不是极值点...
  • 导数与偏导数推导过程

    千次阅读 2019-09-03 08:21:39
    其实求导数是为了方便我们后来求极值导数的几何意义指该函数曲线在这一点上切线斜率 设函数y= f(x)在点x₀某个值域内有定义,当自变量x 在 x₀ 处有增量△x,且 (x₀+△x)也在该邻域中取得增量、 △y = ...
  • 极限的保号性和极值的定义,也可以用特殊函数y=x²代入 当函数求导较为复杂的时候,换一种思路 解法: 1.水平渐近线—x趋向于无穷,y会不会趋向有限值 不管是x趋向于负无穷,还是x趋向于正无穷,只要...
  • 导数到梯度下降算法

    千次阅读 2018-04-03 02:42:27
    梯度下降是机器学习中寻找极值基础算法,它思想也...导数这是导数的标准定义导数表示变量在指定位置变化程度,变化快慢导数是高中就学习过知识,也是微积分中重要微分。导数的大小代表了函数平缓或...
  • 定义 : 去心邻域内最大值或者最小值 2 ,最值 : 定义域内最大值或者最小值 3 ,极值 vs 最值 : 极值 : 局部性概念 最值 :全局性概念 比较 : 4 ,极值定理 : 极值导数 : 1 ,如果 y = f(x) 在 x0...
  • 高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第八节 多元函数的极值及其求法 在实际问题中常常遇到多元函数的最值问题.在一元函 数的微分学中,... 多元函数的极值及最大值,最小值 多元函数极值的定义 定义 设函数z=f(x,...
  • 微分中值定理,洛必达法则,函数单调性的差别(利用导数),函数的极值(极值的判定:定义一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号,二阶可导且该点一阶导为零),函数图形的凹凸性(证明)、拐点及渐近线(求解步骤:...
  • 文章目录考点一:罗尔定理罗尔...洛必达法则知识点笔记考点四:函数的单调性1、定义2、判断3、求单调区间4、利用单调性证明不等式笔记考点五:函数的极值1、极值的定义2、驻点3、极值的必要条件4、极值的充分条件(1)
  • 函数与导数1. 设是定义在上奇函数,当时,,则 (A) (B) (C)1 (D)32. 设,其中为正实数(Ⅰ)当时,求的极值点;(Ⅱ)若为上单调函数,求取值范
  • 2、极值点不一定是函数连续点,拐点一定是连续函数点。 二、判定 -----------------------------------------------------习题---------------- 1、 求函数单调性,极值;凹凸区间,拐点 (1)求定义域:取...
  • 极值点、驻点、拐点区别和联系

    千次阅读 2020-12-07 11:54:50
    文章目录前言:相关概念定义和理解:极值点驻点拐点常用结论:举个例子 前言: 本文主要详细解释了极值点、驻点、拐点含义,以及它们之间相互联系和区别之处。希望可以加深读者对于这一类概念理解。 相关...
  • 第2章泛函的极值第2章 泛函的极值, , 如果, 当 (或者说)时, 有那么, 我们称在处是连续, ...同理, 可以定义该函数两阶导数及更高阶导数。 这里也称为Jacobi矩阵。如果函数在某点足够光滑, 那么我们就可以在该点附...
  • 微分中值定理:  费马引理,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理 ... 拐点的定义(f''(x)=0且附近左右邻近点f''符号相反); 凹凸性结合f''(x)和f=x*x来判断。 函数的极值与最大最小值:  极值
  • 费马引理:设函数f(x)在x0某个邻域U内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U,有f(x) &amp;amp;lt;= f(x0) (或f(x) &amp;amp;gt;= f(x0)) 那f(x0)的导数等于0. 罗尔定理比较容易理解,当区间两个...
  • 一元函数极值的定义 在y=f(x)上一点x0的去心邻域内,有f(x)<f(x0),则称f(x0)为y=f(x)的极大值,x0为y=f(x)的极大值点; 在y=f(x)上一点x0的去心邻域内,有f(x)>f(x0),则称f(x0)为y=f(x)的极小值,x0为y=f(x...
  • 1. 问题引入——描点作图法具有局限性(不能完整的描绘曲线特征,如断点、极值点、凹凸性等) 2. 函数图型特性——增减性、凹凸性 ...5. 渐近线的定义 6. 曲线渐近线的求法 7. 渐近线求解示例 ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 8
收藏数 143
精华内容 57
关键字:

导数极值的定义