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  • 有关函数的极值导数的测试题及答案
    2021-02-05 06:04:51

    有关函数的极值与导数的测试题及答案

    一、选择题

    1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中,正确的是()

    A.导数为零的点一定是极值点

    B.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值

    C.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值

    D.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值

    [答案] C

    [解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点,故A错;由极值的定义可知C正确,故应选C.

    2.函数y=1+3x-x3有()

    A.极小值-2,极大值2

    B.极小值-2,极大值3

    C.极小值-1,极大值1

    D.极小值-1,极大值3

    [答案] D

    [解析] y=3-3x2=3(1-x)(1+x)

    令y=0,解得x1=-1,x2=1

    当x-1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,

    当-11时,y0,函数y=1+3x-x3是增函数,

    当x1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,

    当x=-1时,函数有极小值,y极小=-1.

    当x=1时,函数有极大值,y极大=3.

    3.设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是()

    A.必有f(x0)=0

    B.f(x0)不存在

    C.f(x0)=0或f(x0)不存在

    D.f(x0)存在但可能不为0

    [答案] C

    [解析] 如:y=|x|,在x=0时取得极小值,但f(0)不存在.

    4.对于可导函数,有一点两侧的`导数值异号是这一点为极值的()

    A.充分不必要条件

    B.必要不充分条件

    C.充要条件

    D.既不充分也不必要条件

    [答案] C

    [解析] 只有这一点导数值为0,且两侧导数值异号才是充要条件.

    5.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:

    ①f(x)是增函数,无极值;

    ②f(x)是减函数,无极值;

    ③f(x)的递增区间为(-,0),(2,+),递减区间为(0,2);

    ④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.

    其中正确的命题有()

    A.1个 B.2个

    C.3个 D.4个

    [答案] B

    [解析] f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)0,得x2或x0,令f(x)0,得02,①②错误.

    6.函数f(x)=x+1x的极值情况是()

    A.当x=1时,极小值为2,但无极大值

    B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值

    C.当x=-1时,极小值为-2;当x=1时,极大值为2

    D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2

    [答案] D

    [解析] f(x)=1-1x2,令f(x)=0,得x=1,

    函数f(x)在区间(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,

    当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.

    7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()

    A.1个 B.2个

    C.3个 D.4个

    [答案] A

    [解析] 由f(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点.

    8.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是()

    A.有极小值

    B.有极大值

    C.既有极大值又有极小值

    D.无极值

    [答案] D

    [解析] ∵y=1-11+x2(x2+1)

    =1-2xx2+1=(x-1)2x2+1

    令y=0得x=1,当x1时,y0,

    当x1时,y0,

    函数无极值,故应选D.

    9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是()

    A.极大值为427,极小值为0

    B.极大值为0,极小值为427

    C.极大值为0,极小值为-427

    D.极大值为-427,极小值为0

    [答案] A

    [解析] 由题意得,f(1)=0,p+q=1①

    f(1)=0,2p+q=3②

    由①②得p=2,q=-1.

    f(x)=x3-2x2+x,f(x)=3x2-4x+1

    =(3x-1)(x-1),

    令f(x)=0,得x=13或x=1,极大值f13=427,极小值f(1)=0.

    10.下列函数中,x=0是极值点的是()

    A.y=-x3 B.y=cos2x

    C.y=tanx-x D.y=1x

    [答案] B

    [解析] y=cos2x=1+cos2x2,y=-sin2x,

    x=0是y=0的根且在x=0附近,y左正右负,

    x=0是函数的极大值点.

    二、填空题

    11.函数y=2xx2+1的极大值为______,极小值为______.

    [答案] 1-1

    [解析] y=2(1+x)(1-x)(x2+1)2,

    令y0得-11,令y0得x1或x-1,

    当x=-1时,取极小值-1,当x=1时,取极大值1.

    12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________,极小值为____________.

    [答案] a+42 a-42

    [解析] y=3x2-6=3(x+2)(x-2),

    令y0,得x2或x-2,

    令y0,得-22,

    当x=-2时取极大值a+42,

    当x=2时取极小值a-42.

    13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a=______,b=________.

    [答案] -3-9

    [解析] y=3x2+2ax+b,方程y=0有根-1及3,由韦达定理应有

    14.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点,则a的取值范围是________.

    [答案] (-2,2)

    [解析] 令f(x)=3x2-3=0得x=1,

    可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,

    y=f(x)的大致图象如图

    观察图象得-22时恰有三个不同的公共点.

    三、解答题

    15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.

    (1)写出函数f(x)的递减区间;

    (2)讨论函数f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值.

    [解析] f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),

    令f(x)=0,得x1=-1,x2=3.

    x变化时,f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:

    x (-,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+)

    f(x) + 0 - 0 +

    f(x) 增 极大值

    f(-1) 减 极小值

    f(3) 增

    (1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);

    (2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值为f(3)=-16.

    16.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1和x=-1处有极值,且f(1)=-1,求a、b、c的值,并求出相应的极值.

    [解析] f(x)=3ax2+2bx+c.

    ∵x=1是函数的极值点,-1、1是方程f(x)=0的根,即有

    又f(1)=-1,则有a+b+c=-1,

    此时函数的表达式为f(x)=12x3-32x.

    f(x)=32x2-32.

    令f(x)=0,得x=1.

    当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:

    x (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+)

    f(x) + 0 - 0 +

    f(x) ? 极大

    值1 ? 极小

    值-1 ?

    由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值1;当x=1时,函数有极小值-1.

    17.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.

    (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;

    (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.

    [解析] (1)f(x)=3ax2+2bx-3,依题意,

    f(1)=f(-1)=0,即

    解得a=1,b=0.

    f(x)=x3-3x,

    f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

    令f(x)=0,得x1=-1,x2=1.

    若x(-,-1)(1,+),则f(x)>0,故

    f(x)在(-,-1)上是增函数,

    f(x)在(1,+)上是增函数.

    若x(-1,1),则f(x)<0,故

    f(x)在(-1,1)上是减函数.

    f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值.

    (2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.

    设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x30-3x0.

    ∵f(x0)=3(x20-1),故切线的方程为

    y-y0=3(x20-1)(x-x0).

    注意到点A(0,16)在切线上,有

    16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0).

    化简得x30=-8,解得x0=-2.

    切点为M(-2,-2),

    切线方程为9x-y+16=0.

    18.(2010北京文,18)设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4.

    (1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;

    (2)若f(x)在(-,+)内无极值点,求a的取值范围.

    [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用.

    由f(x)=a3x3+bx2+cx+d得f(x)=ax2+2bx+c

    ∵f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.

    (1)当a=3时,由(*)式得 ,

    解得b=-3,c=12.

    又∵曲线y=f(x)过原点,d=0.

    故f(x)=x3-3x2+12x.

    (2)由于a0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-,+)内无极值点”等价于“f(x)=ax2+2bx+c0在(-,+)内恒成立”

    由(*)式得2b=9-5a,c=4a.

    又∵=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

    解 得a[1,9],

    即a的取值范围[1,9].

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    2 一元函数计算极值的计算步骤

    • 求导数f'(x)
    • 解方程f'(x)=0
    • 检查f'(x)在方程的左右的值的符号
      • 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值
      • 如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值

    特别注意 f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点,再按定义去判别。 求极值点步骤 (1)、求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值; (2)、用极值的定义(半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点),讨论f(x)的间断点。

    3 定理1(必要条件)

    设函数z = f(x,y)在点  (x0,y0) ( x 0 , y 0 )  具有偏导数,且在点  (x0,y0) ( x 0 , y 0 )  处有极值,则它在该点的偏导数必然为零

    {fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0(31) (31) { f x ′ ( x 0 , y 0 ) = 0 f y ′ ( x 0 , y 0 ) = 0

    4 定理2(充分条件)

    设函数z = f(x,y)在点  (x0,y0) ( x 0 , y 0 )  的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 f'_{x}(x0,y0) = 0,fy(x0,y0) = 0$ ,令 A = fxx(x0,y0)
    B = fxy(x0,y0)
    C = fyy(x0,y0)

    则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下: (1)AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。

    5 二元函数极值

    5.1 计算步骤

    1. 解方程组,得到所有驻点
      {fx(x,y)=0fy(x,y)=0(32) (32) { f x ′ ( x , y ) = 0 f y ′ ( x , y ) = 0
    2. 从驻点中找到极值点

      求出f(x,y)的二阶偏导数,依次确定各驻点处A,B,C的值,并根据  ACB2 A C − B 2  的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数在极值点处的极值. 对于每一个驻点

      • 如果  ACB2>0 A C − B 2 > 0  并且 A > 0 则驻点是极小值
      • 如果  ACB2<0 A C − B 2 < 0  则驻点不是极值点
      • 如果  ACB2>0 A C − B 2 > 0  并且 A < 0 则驻点是极大值

    5.2 例子

    求函数  f(x,y)=x3y3+3x2+3y29x f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x  的极值

    1. 解方程组
      {fx(x,y)=fx(x3y3+3x2+3y29x)=3x20+6x+09=3x2+6x9=0fy(x,y)=fy(x3y3+3x2+3y29x)=03y2+0+6y0=3y2+6y=0(33) (33) { f x ′ ( x , y ) = f x ′ ( x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x ) = 3 x 2 − 0 + 6 x + 0 − 9 = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 f y ′ ( x , y ) = f y ′ ( x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x ) = 0 − 3 y 2 + 0 + 6 y − 0 = − 3 y 2 + 6 y = 0

      第一个方程,y被看作常数,导数为0,第二个方程,x被看作常数,导数为0 解得驻点: (1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)

    2. 从驻点中找到极值点

      求三个二阶导数

      A=f′′x(x,y)=f(3x2+6x9)=6x+6(34) (34) A = f x ″ ( x , y ) = f ′ ( 3 x 2 + 6 x − 9 ) = 6 x + 6
      B=f′′xy(x,y)=0(35) (35) B = f x y ″ ( x , y ) = 0

      B是对f(x,y)的x偏导函数再求y偏导

      C=f′′y(x,y)=f(3y2+6y)=6y+6(36) (36) C = f y ″ ( x , y ) = f ′ ( − 3 y 2 + 6 y ) = − 6 y + 6

      将三个驻点的坐标代入公式,得到 (1,0) 是极小值,(1,2)和(-3,0)不是极值,(-3,2)是极大值。

    3. 注意

      注:在讨论一元函数的极值问题时,我们知道,函数的极值既可能在驻点处取得也可能在导数不存在的点处取得. 同样,多元函数的极值也可能在个别偏导数不存在的点处取得. 例如,在函数  z=x2+y2 z = − x 2 + y 2  在点(0,0)处有极大值,但该函数在点处不存在偏导数. 因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,还要考虑那些使偏导数不存在的点.

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  • 极值与二阶导数的关系

    千次阅读 2021-01-13 18:32:11
    前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们不在相切,则必定相交.而...

    【思考题】

    有极值,则

    的取值范围为_________________.

    前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,

    我们接着研究这道题,

    【解析】函数有极值,则导数

    有变号零点.

    转化为方程

    有解问题,

    观察函数

    有交点,

    由直线

    都过定点

    只要他们不在

    相切,则必定相交.

    而相切时,

    .

    .

    【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).

    1、极值与二阶导数的关系

    【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数

    的导数,证明:

    在区间

    存在唯一极大值点.

    【分析】解答题,求导数变号零点;

    【解析】设

    ,则有

    ,

    由于

    在区间

    上单调递减,

    所以

    在区间

    上单调递增,而

    ,

    所以

    在区间

    存在唯一零点

    .

    且在

    单调递增,在

    单调递减,所以在

    处取得唯一极大值.

    【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数

    ,若

    的极大值点,求

    .

    【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数

    的增加性.

    【解析】求导

    .

    ,这是必要条件,我们来研究充分性.

    如图:

    (

    )示意图,在这种情形下,

    有极大值.

    ,则

    同正负区间.

    ,

    需要满足

    附近先增后减(如下图),所以

    左侧附近递增,右侧附近递减.则

    的导数

    附近,左正右负,

    不间断函数,由零点存在定理,则

    ,有

    .

    检验,当

    时,

    上单调递减.而

    ,所以:

    ,

    时,

    单调递增;

    时,

    单调递减;

    ,所以

    ,且仅有

    时取等号.

    所以

    单调递减,且由于

    同符号.

    所以有:

    时,

    单调递增;

    时,

    单调递减;

    处取得极大值.

    【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系

    若在

    处取得极大(小)值,则

    处有变号零点,

    处单调递减(增).

    【例2】(2016山东卷文数20-2)设

    .已知

    处取得极大值,求正实数

    的取值范围.

    【分析】

    是可导函数,则

    处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.

    【解析】

    .

    如图:

    因为

    ,要在

    处取得极值,则在

    附近,

    左侧递增,右侧递减;对应

    附近左正右负.即

    附近单调递减.

    所以

    附近,满足

    .

    所有

    .

    检验,

    时,

    ,易证明:

    上恒成立,则

    单调递减,无极值,不满足.

    时,有

    .

    由于

    单调递减,且

    ,

    所以在

    上,

    单调递减,且

    ,

    所以易判断

    处取得极大值.

    综上,

    .

    【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.

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    本节我们来阐述导数的定义

    当有函数y=f(x)时,在其一点p(x,y),我们定义当x增加\Delta x时,y的变化量(注意不一定是增加,也可能是减少)是\Delta y则我们定义:

    {y}'={f(x)}'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} 为y=f(x)在x方向上,y的导数。

    \Delta x\to0时,图中的蓝线会逼近红线,对于几何意义来说,导数的值也即是当前点的斜率,斜率大小不一决定了\Delta x \to 0时向y值在(x+\Delta x)处向(x)处的收敛速度。

    物理意义来说导数代表瞬时变化率。

    举例来求常见函数的导数:

    {sinx}'=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{sin(x+\Delta x)-sinx}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{sinxcos\Delta x+cosxsin\Delta x-sinx}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{sinx(cos\Delta x-1)+cosxsin\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \tfrac{cosxsin\Delta x}{\Delta x}=cosx

    其中用到重要极限:\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{sinx}{x} =1 ,其证明过程可以参考:【数学】极限-夹逼定理,重要极限sinx/x的证明

    还用到一个无穷小\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{cos\Delta x-1}{\Delta x}=0使用洛必达法则,洛必达法则为当遇到\tfrac{0}{0} \tfrac{\infty }{\infty}这两种求极值形式时,要考虑它们的收敛速度,也即对其进行求导。由此洛必达法则定义:

    \lim_{x \to 0} \tfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to 0} \tfrac{f(x)'}{g(x)'}=A,若A值存在,则可以使用洛必达法则来求该极限,值为A。现在只需要对\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{cos\Delta x-1}{\Delta x}分子分母同时对\Delta x求导数,就易得\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{cos\Delta x-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\tfrac{sin\Delta x}{1}=0其值为0。

     

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