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2021-02-05 06:04:51
有关函数的极值与导数的测试题及答案
一、选择题
1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中,正确的是()
A.导数为零的点一定是极值点
B.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值
C.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值
D.如果在点x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点,故A错;由极值的定义可知C正确,故应选C.
2.函数y=1+3x-x3有()
A.极小值-2,极大值2
B.极小值-2,极大值3
C.极小值-1,极大值1
D.极小值-1,极大值3
[答案] D
[解析] y=3-3x2=3(1-x)(1+x)
令y=0,解得x1=-1,x2=1
当x-1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,
当-11时,y0,函数y=1+3x-x3是增函数,
当x1时,y0,函数y=1+3x-x3是减函数,
当x=-1时,函数有极小值,y极小=-1.
当x=1时,函数有极大值,y极大=3.
3.设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是()
A.必有f(x0)=0
B.f(x0)不存在
C.f(x0)=0或f(x0)不存在
D.f(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如:y=|x|,在x=0时取得极小值,但f(0)不存在.
4.对于可导函数,有一点两侧的`导数值异号是这一点为极值的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 只有这一点导数值为0,且两侧导数值异号才是充要条件.
5.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:
①f(x)是增函数,无极值;
②f(x)是减函数,无极值;
③f(x)的递增区间为(-,0),(2,+),递减区间为(0,2);
④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.
其中正确的命题有()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
[答案] B
[解析] f(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f(x)0,得x2或x0,令f(x)0,得02,①②错误.
6.函数f(x)=x+1x的极值情况是()
A.当x=1时,极小值为2,但无极大值
B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值
C.当x=-1时,极小值为-2;当x=1时,极大值为2
D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2
[答案] D
[解析] f(x)=1-1x2,令f(x)=0,得x=1,
函数f(x)在区间(-,-1)和(1,+)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,
当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.
7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
[答案] A
[解析] 由f(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点.
8.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是()
A.有极小值
B.有极大值
C.既有极大值又有极小值
D.无极值
[答案] D
[解析] ∵y=1-11+x2(x2+1)
=1-2xx2+1=(x-1)2x2+1
令y=0得x=1,当x1时,y0,
当x1时,y0,
函数无极值,故应选D.
9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是()
A.极大值为427,极小值为0
B.极大值为0,极小值为427
C.极大值为0,极小值为-427
D.极大值为-427,极小值为0
[答案] A
[解析] 由题意得,f(1)=0,p+q=1①
f(1)=0,2p+q=3②
由①②得p=2,q=-1.
f(x)=x3-2x2+x,f(x)=3x2-4x+1
=(3x-1)(x-1),
令f(x)=0,得x=13或x=1,极大值f13=427,极小值f(1)=0.
10.下列函数中,x=0是极值点的是()
A.y=-x3 B.y=cos2x
C.y=tanx-x D.y=1x
[答案] B
[解析] y=cos2x=1+cos2x2,y=-sin2x,
x=0是y=0的根且在x=0附近,y左正右负,
x=0是函数的极大值点.
二、填空题
11.函数y=2xx2+1的极大值为______,极小值为______.
[答案] 1-1
[解析] y=2(1+x)(1-x)(x2+1)2,
令y0得-11,令y0得x1或x-1,
当x=-1时,取极小值-1,当x=1时,取极大值1.
12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________,极小值为____________.
[答案] a+42 a-42
[解析] y=3x2-6=3(x+2)(x-2),
令y0,得x2或x-2,
令y0,得-22,
当x=-2时取极大值a+42,
当x=2时取极小值a-42.
13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a=______,b=________.
[答案] -3-9
[解析] y=3x2+2ax+b,方程y=0有根-1及3,由韦达定理应有
14.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点,则a的取值范围是________.
[答案] (-2,2)
[解析] 令f(x)=3x2-3=0得x=1,
可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,
y=f(x)的大致图象如图
观察图象得-22时恰有三个不同的公共点.
三、解答题
15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1)写出函数f(x)的递减区间;
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值.
[解析] f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
令f(x)=0,得x1=-1,x2=3.
x变化时,f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:
x (-,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+)
f(x) + 0 - 0 +
f(x) 增 极大值
f(-1) 减 极小值
f(3) 增
(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);
(2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值为f(3)=-16.
16.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1和x=-1处有极值,且f(1)=-1,求a、b、c的值,并求出相应的极值.
[解析] f(x)=3ax2+2bx+c.
∵x=1是函数的极值点,-1、1是方程f(x)=0的根,即有
又f(1)=-1,则有a+b+c=-1,
此时函数的表达式为f(x)=12x3-32x.
f(x)=32x2-32.
令f(x)=0,得x=1.
当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:
x (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+)
f(x) + 0 - 0 +
f(x) ? 极大
值1 ? 极小
值-1 ?
由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值1;当x=1时,函数有极小值-1.
17.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.
(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
[解析] (1)f(x)=3ax2+2bx-3,依题意,
f(1)=f(-1)=0,即
解得a=1,b=0.
f(x)=x3-3x,
f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f(x)=0,得x1=-1,x2=1.
若x(-,-1)(1,+),则f(x)>0,故
f(x)在(-,-1)上是增函数,
f(x)在(1,+)上是增函数.
若x(-1,1),则f(x)<0,故
f(x)在(-1,1)上是减函数.
f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值.
(2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x30-3x0.
∵f(x0)=3(x20-1),故切线的方程为
y-y0=3(x20-1)(x-x0).
注意到点A(0,16)在切线上,有
16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0).
化简得x30=-8,解得x0=-2.
切点为M(-2,-2),
切线方程为9x-y+16=0.
18.(2010北京文,18)设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a0),且方程f(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-,+)内无极值点,求a的取值范围.
[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用.
由f(x)=a3x3+bx2+cx+d得f(x)=ax2+2bx+c
∵f(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.
(1)当a=3时,由(*)式得 ,
解得b=-3,c=12.
又∵曲线y=f(x)过原点,d=0.
故f(x)=x3-3x2+12x.
(2)由于a0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-,+)内无极值点”等价于“f(x)=ax2+2bx+c0在(-,+)内恒成立”
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又∵=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
解 得a[1,9],
即a的取值范围[1,9].
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极值与导数
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导数的实质就是在函数图像上取一个点,然后做这个点的切线,切线的正切(tan)值,一个函数的极值一定是在拐点上(就是原本是增函数,过了这个点就变成减函数,或者反过来),而这个点的切线一定是平行于x轴的, 也就是说正切值为0,所以导数值也就是0
2 一元函数计算极值的计算步骤
- 求导数f'(x)
- 解方程f'(x)=0
- 检查f'(x)在方程的左右的值的符号
- 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值
- 如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值
特别注意 f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点,再按定义去判别。 求极值点步骤 (1)、求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值; (2)、用极值的定义(半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点),讨论f(x)的间断点。
3 定理1(必要条件)
设函数z = f(x,y)在点 (x0,y0) 具有偏导数,且在点 (x0,y0) 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零
{f′x(x0,y0)=0f′y(x0,y0)=0(31)4 定理2(充分条件)
设函数z = f(x,y)在点 (x0,y0) 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又 f'_{x}(x0,y0) = 0,fy(x0,y0) = 0$ ,令 A = fxx(x0,y0)
B = fxy(x0,y0)
C = fyy(x0,y0)则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下: (1)AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。
5 二元函数极值
5.1 计算步骤
5.2 例子
求函数 f(x,y)=x3−y3+3x2+3y2−9x 的极值
- 解方程组
{f′x(x,y)=f′x(x3−y3+3x2+3y2−9x)=3x2−0+6x+0−9=3x2+6x−9=0f′y(x,y)=f′y(x3−y3+3x2+3y2−9x)=0−3y2+0+6y−0=−3y2+6y=0(33)第一个方程,y被看作常数,导数为0,第二个方程,x被看作常数,导数为0 解得驻点: (1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)
- 从驻点中找到极值点
求三个二阶导数
A=f′′x(x,y)=f′(3x2+6x−9)=6x+6(34)B=f′′xy(x,y)=0(35)B是对f(x,y)的x偏导函数再求y偏导
C=f′′y(x,y)=f′(−3y2+6y)=−6y+6(36)将三个驻点的坐标代入公式,得到 (1,0) 是极小值,(1,2)和(-3,0)不是极值,(-3,2)是极大值。
- 注意
注:在讨论一元函数的极值问题时,我们知道,函数的极值既可能在驻点处取得也可能在导数不存在的点处取得. 同样,多元函数的极值也可能在个别偏导数不存在的点处取得. 例如,在函数 z=−x2+y2−−−−−−√ 在点(0,0)处有极大值,但该函数在点处不存在偏导数. 因此,在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,还要考虑那些使偏导数不存在的点.
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极值与二阶导数的关系
2021-01-13 18:32:11前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,我们接着研究这道题,【解析】函数有极值,则导数 有变号零点.转化为方程 有解问题,观察函数 与 有交点,由直线和 都过定点 ,只要他们不在相切,则必定相交.而...【思考题】
有极值,则
的取值范围为_________________.
前面研究了极值存在的条件,不知你们是怎么完成的,
我们接着研究这道题,
【解析】函数有极值,则导数
有变号零点.
转化为方程
有解问题,
观察函数
与
有交点,
由直线
和
都过定点
,
只要他们不在
相切,则必定相交.
而相切时,
,
.
故
.
【小结】有极值,则导数有变号零点,如何求变号零点的,我们介绍了两种方法:①变号零点法;②交点法(小题可以做,大题不可以用哟).
1、极值与二阶导数的关系
【例1】(2019全国1卷理数20-1)设函数
为
的导数,证明:
在区间
存在唯一极大值点.
【分析】解答题,求导数变号零点;
【解析】设
,则有
,
由于
在区间
上单调递减,
所以
在区间
上单调递增,而
,
,
所以
在区间
存在唯一零点
.
且在
上
单调递增,在
上
单调递减,所以在
处取得唯一极大值.
【例2】(2018全国3卷理数21-2)已知函数
,若
是
的极大值点,求
.
【分析】求极大值,由定义,先增后减.我们就来判断函数
的增加性.
【解析】求导
.
有
,这是必要条件,我们来研究充分性.
如图:
(
)示意图,在这种情形下,
在
有极大值.
令
,则
与
同正负区间.
而
,
需要满足
在
附近先增后减(如下图),所以
在
左侧附近递增,右侧附近递减.则
的导数
在
附近,左正右负,
不间断函数,由零点存在定理,则
,有
.
检验,当
时,
在
上单调递减.而
,所以:
,
当
时,
单调递增;
当
时,
单调递减;
而
,所以
,且仅有
时取等号.
所以
单调递减,且由于
,
与
同符号.
所以有:
当
时,
单调递增;
当
时,
单调递减;
则
在
处取得极大值.
【总结】极值要求的函数在极值点两侧单调性发生改变,如果是可导函数,对应导数为变号零点.本题比较全面的诠释了极值存在的意义.很有深意!对应有以下关系
若在
处取得极大(小)值,则
在
处有变号零点,
在
处单调递减(增).
【例2】(2016山东卷文数20-2)设
.已知
在
处取得极大值,求正实数
的取值范围.
【分析】
是可导函数,则
处,导数为变号零点,且先正后负,通过讨论导数符号来解题.
【解析】
.
如图:
因为
,要在
处取得极值,则在
附近,
左侧递增,右侧递减;对应
在
附近左正右负.即
在
附近单调递减.
所以
在
附近,满足
.
所有
.
检验,
当
时,
,易证明:
在
上恒成立,则
单调递减,无极值,不满足.
当
时,有
.
由于
单调递减,且
,
所以在
上,
单调递减,且
,
所以易判断
在
处取得极大值.
综上,
.
【小结】用二阶导数来判断一届导数的符号,借助单调性和零点,数形结合应用.会大大简化讨论过程,但是需要检验哦.
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【数学】导数(Derivative)的定义、洛必达法则
2019-05-13 12:19:00本节我们来阐述导数的定义 当有函数时,在其一点,我们定义当增加时,y的变化量(注意不一定是增加,也可能是减少)是则我们定义: 为在x方向上,y的导数。 当时,图中的蓝线会逼近红线,对于几何意义来说,导数...本节我们来阐述导数的定义
当有函数
时,在其一点
,我们定义当
增加
时,y的变化量(注意不一定是增加,也可能是减少)是
则我们定义:
为
在x方向上,y的导数。
当
时,图中的蓝线会逼近红线,对于几何意义来说,导数的值也即是当前点的斜率,斜率大小不一决定了
时向y值在(
)处向(x)处的收敛速度。
物理意义来说导数代表瞬时变化率。
举例来求常见函数的导数:
其中用到重要极限:
,其证明过程可以参考:【数学】极限-夹逼定理,重要极限sinx/x的证明
还用到一个无穷小
使用洛必达法则,洛必达法则为当遇到
这两种求极值形式时,要考虑它们的收敛速度,也即对其进行求导。由此洛必达法则定义:
,若A值存在,则可以使用洛必达法则来求该极限,值为A。现在只需要对
分子分母同时对
求导数,就易得
其值为0。
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AI笔记: 数学基础之导数的应用:求极值与最值
2020-07-03 11:55:57(2)求导数 f′(x)f'(x)f′(x) (3)求定义域内部的极值可疑点(即驻点或一阶导数不存在的点) (4)用极值的判定第一或第二充分条件(注:第二充分条件只能判定驻点的情形) 函数的最大值、最小值的问题 极值是局部性的,而... -
AI笔记: 数学基础之导数的应用:单调性、凸凹性、极值
2020-07-03 08:57:58通过函数的导数的值,可以判断出函数的单调性、驻点、极值点 若导数>0,则单调递增 若导数<0,则单调递减 若导数=0,则该点为函数的驻点 如果函数的导函数在某一个区间内恒大于零(或恒小于零),那么函数在这一... -
Python 基于sympy模块求极值 导数 偏导
2019-11-20 21:22:04sympy简介:sympy是一个Python的科学计算库,用一套强大的符号计算体系完成诸如多项式求值、求极限、解方程、求...#设置符号变量Symbol只能创建一个变量 symbols 可一次定义多个变量 x1,x2,x3,x4=sympy.symbols('x1,x... -
【知识点】(三)连续与导数
2020-06-15 18:23:23极限基本类型小结导数与微分 连续与间断 1. 间断点:函数的未定义点,以左右极限是否存在可分为第一类和第二类间断点。 (1) 第一类间断点:可去间断点( lim−=lim+\lim-=\lim+lim−=lim+)、跳跃间断点(lim−... -
第2章泛函的极值.doc
2020-12-31 13:50:25第2章泛函的极值第2章 泛函的极值, , 如果, 当 (或者说)时, 有那么, 我们称在处是连续的, ...同理, 可以定义该函数的两阶导数及更高阶导数。 这里也称为Jacobi矩阵。如果函数在某点足够光滑, 那么我们就可以在该点附... -
05 ,函数的极值,最值,极值定理,极值与导 0 的关系 :
2020-06-12 16:22:001 ,极值,极值点 : 定义 : 去心邻域内的最大值或者最小值 2 ,最值 : 定义域内的最大值或者最小值 3 ,极值 vs 最值 : ...3 ,结论 : 极值,一定导数等于 0 ,导数等于 0 ,不一定可导。 如图 : ... -
python 梯度法求解函数极值的实例
2020-12-31 05:29:01如下所示: #coding utf-8 a=0.001 #定义收敛步长 xd=1 #定义寻找步长 x=0 #定义一个种子x0 ... y=math.cos(x) #函数f(x)导数fd(X)=cosx return y while y>=0 and y x=y >0.001: #定义精度为0.001 x=x+ -
极值点、驻点
2021-05-31 09:53:31驻点是一阶可导函数为0的点,驻点不一定是极值点(驻点a两侧一阶导数的符号不改变),极值点也不一定是极值点(函数点不可导,但可能是极值点) 对于可导的函数点而言,可导极值点必然是驻点,但是驻点不一定是极值... -
定义sympy函数导数的数值计算
2021-07-19 16:11:08How can I define the numerical evaluation of a derivative of a function in sympy?I have some functions I can describe with splines for the function and it's derivative using scipy.interpolate.I want t... -
高阶方向导数及其应用 (2010年)
2021-06-14 00:28:10将多元函数方向导数概念予以推广,在得到二阶方向导数定义和计算公式后,给出了多元函数的高阶方向导数.提出了高阶方向导数的应用:1)把一元函数性质推广到多元函数的一般途径;2)得到多元函数取极值的必要条件和... -
函数的极值与最值、函数的图像描绘
2020-03-01 10:40:23一、极值 1.1、极值的定义 注意:定义中没有强调函数是否可导,而且只是...函数在导数不存在的点也可能取得极值点(|x|) 1.3、判定极值的充分条件 1.3.1、第一充分条件 1.3.1.1、证明 1.3.1.2、求极值的步骤 1... -
《University Calculus》-chape4-导数的应用-极值点的二阶导数检验法
2016-07-24 19:20:00很容易看到,观察类似抛物线这类曲线,能够看到它们有一个向上凹或者向下凹的这样一个过程,而我们将这个过程细化并观察一系列点的导数的变化情况我们给出如下的定义: (1)如果函数图像在区间I上向上凹,则f’(x)...