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  • 用拉格朗日数乘法怎么判断求的是极大值还是极小值
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    2020-12-24 06:50:11

    该方法只是利用:如果一个函数可导,并且在某一点取极值,在这一点的导数必定为零。这只是一个必要条件,而不是充分条件。

    所以拉格朗日乘子法,在设计的时候,都会只能解出来唯一的驻点,写的时候只需要加上一句话,由实际意义得这个问题有最大值或者是最小值,这个点就是最大值点或者是最小点。

    如果解出来多个导数等于0的点,这个时候只需相互比较大小就可以了。

    扩展资料:

    求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值。

    方法(步骤)是:

    1、做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数;

    2、求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z);

    如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点只有一个,于是最值可求。

    条件极值问题也可以化为无条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点,这就是优势。

    条件极值是限制在一个子流形上的极值,条件极值存在时无条件极值不一定存在,即使存在二者也不一定相等。

    设在约束条件之下求函数的极值。满足约束条件的点是函数的条件极值点,且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程定隐函数 ,于是点就是一元函数的极限点。

    参考资料来源:百度百科--拉格朗日乘数法

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    事实上是有的。

    但首先,由拉格朗日乘数法确定的点不一定是极值点,而仅仅是取极值的必要条件。对于这一点,我们对高中的一个常见例子加以改造即可说明:

    设目标函数

    ,约束条件

    构造拉格朗日函数:

    分别求偏导得到可能取极值的点为

    ,但是显然在这个点f不取极值,x可以任意大小,从而y也可以任意大小。

    为究其原因,我们回忆这个例子的高中版本:设函数

    ,当其导函数

    的零点是0,但是在此处f并不取极值,原因就是f的二阶导数6x在0的邻域内发生了变号。因此,为了取极值的充分条件,我们还需要考察二阶导数,而这在高维空间之中也有相似之处。

    下面列出条件极值问题如何判断可以点是否为极值点,以及是极大还是极小值点的法则,亦即条件极值的充分条件。有关的证明和解说我周六考完试回来就补。定理. 设

    是定义在开集

    上并且属于

    类的函数,

    由约束方程组

    所给出的

    中的曲面,其中

    ,

    ,并且函数组

    中的任何点的秩都等于

    。 设拉格朗日函数

    中的参数已经根据取极值的必要条件求出,则此时:

    如果二次型

    对于向量

    (TSx0是曲面S在x0点出的切空间)具有确定的符号,则点

    是函数

    的极值点。

    并且,如果上述二次型在

    上正定,则

    是局部严格极小值点。反之为局部严格极大值点。如果二次型在

    上发生变好,则

    不是极值点。

    我回来了,现在开始证明:

    上述定理之中,涉及到曲面的切空间这个概念,因此,有必要对此概念进行介绍。

    首先回顾三维空间中的曲线,我们将其看作一个质点的运动轨迹,那么它的三个坐标xyz都可以表达成时间的函数

    ,那么在某个时刻

    曲线的切线的方向就是该质点的速度方向,方向向量为

    ,不妨设t0=0,则曲线的切线可以表示为:

    此处x包含了xyz三个坐标分量,简记为一个点x。

    类比空间中的参数曲线和其切线,可以大致构思出空间的参数曲面表示和其切空间的概念。试想上述曲线只有一个参数t1,假设有另一个参数t2,那么当t2变化是它描述出另一条曲线。综合t1,t2,固定t1,t2变化时就画出了一族曲线,同样的,固定t2,t1变化是也画出一族曲线,那么这些曲线就在空间中“织成了一张网”,当曲线连续变化的时候,就描述出了一个空间中的曲面。从映射的角度,我们由参数集合

    映射到了空间集合

    之中。

    但是请注意,曲面的确可以用这种参数形式来表示,但是上述的概念的提出并不是一个严谨的定义。例如,在实现t坐标转化的x坐标的过程中,你能否保证x坐标能够转化回去t坐标呢?就比如直角坐标和极坐标的互化一样。如果不存在这种互化,那是无法保证你在两种坐标体系下描述的是同一个对象。换言之,必须要保证上述的映射对于整个曲面来说,都是双射。事实上这背后确实有参数曲面的严谨定义,它由反函数定理所保证。但是此处我一来还没有完全悟透,而来对定理的证明暂无大碍,故暂且采取如此简单直观但不够严谨的解释。

    有了参数曲面的概念,联系曲线的切线的概念,曲面在某点的切空间其实就是此点所有线性无关的切向量所张成的空间。用坐标形式写出来就是如下的方程组:

    利用矩阵可以写成更为简洁的形式:

    .

    现在可以开始证明原定理:

    首先由于对于拉格朗日函数:

    后面的约束条件全是0,因此欲求f的极值只要求L的极值,在根据极值取得的必要条件(就是偏导数等于0那个:

    )求解出

    之后,

    ,那么在点

    处,我们可以对L(x)作泰勒展开:

    其中,

    ,Q称为hesse矩阵。为了书写方便,我们只取其中的一项的一般形式来表示所有项:

    利用上文提到的参数形式,由

    得:

    其中,α从1到k遍历取值。将此式代入上面的一般项得到:

    对于上述二次型,

    由于它是连续函数,则在曲面上一定存在最大最小值,不妨设为M,m。当其具有确定的符号时,不妨设为正号则m>0,负号的情况是类似的:

    因为o是无穷小量,那么当t足够靠近0得时候,这个o会足够的小直到其绝对值比m还要小,那么当t处于这样的一个范围时就可以保证上述式子为正,即:

    ,这说明x0是严格极小值点。

    但是,定理中的二次型不是

    这个吗?好像形式不一样?事实上,这两个式子只是同一对象的不同表述:如果

    是切向量,则

    满足:

    .那么对于

    之中的一个分量

    有:

    成立。这说明定理中的二次型只是证明中需要判断符号的那个二次型的一个简写,它们是同一个东西。至此,定理证毕。

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  • 定理10有一个非常重要的应用,它给我们提供了确定函数极大值极小值的方法。我们期望从单变量函数的相关知识来得出二阶导数的判定准则,所以我们先回顾一下实变量实况。如果f:R→Rf:R\to R在x0x_0处有一个局部极大...

    定理10有一个非常重要的应用,它给我们提供了确定函数极大值与极小值的方法。我们期望从单变量函数的相关知识来得出二阶导数的判定准则,所以我们先回顾一下实变量实况。

    如果 f:RR x0 处有一个局部极大或极小,并且 f x0处可微,那么 f(x0)=0 。更进一步,如果 f 二次连续可微,并且若f′′(x0)<0,那么 x0 是局部最大值,若 f′′(x0)>0 ,那么它是局部最小值。

    为了将这些事实推广到函数 f:ARnR 上,我们首先从相关定义开始。

    6 f:ARnR ,其中 A 是开集。如果存在一个x0A的邻域并且在这个邻域内 f(x0) 是最大值,即对于邻域内的所有 x,f(x0)f(x) ,我们称 f(x0) f 的局部最大值。同样的,我们可以定义f的局部最小值。如果一个点要么是 f 的局部最大值要么是最小值,那么我们称该点是极值点(extreme),如果f 在点 x0 处可微且 Df(x0)=0 ,那么我们称 x0 是驻(critical)点。

    第一个基本事实可以用下面的定理来表述。

    11 如果 f:ARnR 是可微的, A 是开集,如果x0A f 的一个极值点,那么Df(x0)=0;即 x0 是一个驻点。

    它的证明大部分与基本微积分是一样的,因为 f 图像的极值点肯定有一个水平切平面,所以这个结论直观上非常明显。然而,仅仅是驻点不能保证该点就是极值点。例如考虑函数f(x)=x3,因为 Df(0)=0 ,所以 0 是该函数的驻点,但是x>0 x3>0 ,而 x<0 x3<0 ,所以0不是极值。另一个例子是 f(x,y)=y2x2 0=(0,0) 是驻点,因为 f/x=2x,f/y=2y ,所以 Df(0,0)=0 。然而在0的任何邻域内我们可以找出使得 f 大于零与小于0的点。不是局部极值的驻点称为鞍点(saddle point),图1说明了为了用这个术语。

    对于f:ARR,我们已经说明如果 f(x)=0,f′′<0 ,那么它有局部最大值,回忆一下几何情况, f′′<0 意味着 f 是向下凹的。为了推广,下面我们引进函数g在点 x0 处海森(Hessian)的概念。

    7 如果 g:BRnR C2 类,那么 g x0处的海森定义为双线性函数 Hx0(g):Rn×RnR ,形式为 Hx0(g)(x,y)=D2g(x0)(x,y) (注意负号),从而海森仅仅是二阶偏微分的矩阵加负号。

    双线性形式,即双线性映射 B:Rn×RnR 称为正定的(positive definite),如果对于 Rn 中所有的 x0,B(x,x)>0 。称为半正定的(positive semidefinite),如果对于 Rn 中所有的 x0,B(x,x)0 。负定与半负定双线性形式定义类似。


    这里写图片描述
    图1

    接下来我们推广到多变量的情况。

    12

    1. 如果 f:ARnR 是定义在开集 A 上的C2函数,并且 x0 f 的驻点使得Hx0(f)是正定的,那么 f x0处有一个局部最大值。
    2. 如果 f x0处有一个局部最大值,那么 Hx0(f) 是半正定的。

    对于极小值的情况只需要将上面定理中的正改成负即可,注意 f 的最小值就是f的最大值。

    Hx0(f) 对标准基的矩阵是

    2fx1x12fxnx12fx1xn2fxnxn

    其中偏导数都是在 x0 处计算的。

    n=1 时,定理12 (i) 简化为单变量测试 f′′(x0)<0 。如果 f′′(x0)=0 ,那么函数有极大值或极小值或鞍点,(此时测试失效)例如 f(x)=x4,x5,x4 x0=0 处分别有最大值,鞍点与极小值,虽然他们的 f′′(x0)=0

    提及一些线性代数的知识可能比较有帮助,令 Δk 是矩阵

    2fx1x12fxkx12fx1xk2fxkxk

    的行列式,这个矩阵就是海森矩阵去掉最后 nk 行和列得到的,那么对称矩阵 Hx0(f) 是正定的,当且仅当对所有的 k=1,,n,Δk>0 ,它是半正定的当且仅当对所有 k=1,,n,Δk0 。这里我们不证明一般情况,在下面的例1中,我们证明 2×2 矩阵,下面还给出了负定的判别准则,从而对 k=1,,n ,如果 Δk>0 ,那么 f 在驻点x0处有(局部)最大值,这可能是应用定理12 的最佳方式。对任意 k 如果Δk<0,那么 f x0 处没有最大值。同样的,如果 Hx0(f) 是负定的,那么 f x0处有(局部)最小值。通过改变 Hx0(f) 的符号以及利用行列式的性质,可以得出如果 k 为奇数时Δk<0 k 为偶数时Δk>0,那么 Hx0(f) 是负定的,如果 k 为奇数时Δk0 k 为偶数时Δk0,那么 Hx0(f) 是负定的,从而当 k 为奇数时Δk<0,当 k 为偶数时Δ>0,那么 f x0处有最小值。

    如果对某些奇数 k,Δk>0 ,对某些偶数 k,Δ<0 ,那么 f x0处不可能有最小值。事实上,如果对面某些 k,Δk<0 f x0既没有最大值也没有最小值, x0 肯定是 f 的鞍点。

    这个定理在力学中也非常有用,这时f是一个系统的势能,那么最小值对应稳定态,最大值与鞍点对应不稳定态。

    1 说明矩阵

    [abbd]

    是正定的,当且仅当 a>0,adb2>0

    正定意味着

    (x,y)(0,0)[xy][abbd][xy]>0

    ax2+2bxy+dy2>0 。首先假设对于所有的 (x,y)(0,0) 该不等式均成立,令 y=0,x=1 我们得到 a>0 ,令 y=1 ,那么对所有的 x ,我们有ax2+2bx+d>0,这个函数是抛物线且在 2ax+2b=0 处有最小值(因为 a>0 ),即 x=b/a ,从而

    a(ba)2+2b(ba)+d>0

    adb2>0 。反过来可以用同样的方式来证明。

    2 研究 f(x,y)=x2xy+y2 鞍点 (0,0) 的性质。

    这里

    fx=2xy, 2fx2=2, 2fxy=1, fy=x+2y, 2fy2=2

    所以海森矩阵是

    [2112]

    这里 Δ1=2<0,Δ2=41=3>0 ,所以海森矩阵是负定的,从而我们有一个局部最小值。

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    庞特里亚金极小值原理
    1
    庞特里亚金极小值原理是在控制向量u(t)受限制的情况下,使得目标函数J取极小,从而求解最优控制问题的原理和方法,又称极大值原理。λ是协态向量,系统模型有多少个变量就有多少个协态。s和u都是省略了符号t的,代表某一时刻的最优状态和最优控制,是一个常数。利用庞特里亚金极小值原理求解最优控制问题首先需要求解协态方程,也就是λ,然后再求解最优控制u*,求解完u*之后,即可得到最优状态。
    下面以一个简单的二阶系统为例,简单说明如何用庞特里亚金极小值原理求解二阶系统的最优控制问题。

    1. 问题描述

    二阶系统的状态s为: s = [ x x ˙ ] s = \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { \dot { x } } \end{array} \right] s=[xx˙],控制量u为: u = [ x ¨ ] u = [ \ddot { x } ] u=[x¨],可以将状态s想象成x方向的位移以及x方向上的速度,将控制量u想象成x方向上的加速度,通过输入控制量来改变系统的状态。将问题定义为:试求控制u,将系统在t=2时转移到零态,并使得J取极小值。

    系统模型为:
    s ˙ = [ 0 1 0 0 ] s + [ 0 1 ] u = [ 0 1 0 0 ] [ x x ˙ ] + [ 0 1 ] x ¨ \begin{aligned} \dot { s } & = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] s + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] u = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ \dot { x } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] \ddot { x } \end{aligned} s˙=[0010]s+[01]u=[0010][xx˙]+[01]x¨
    目标函数为:
    J = 1 2 ∫ 0 2 u 2 d t J = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 } u ^ { 2 } d t J=2102u2dt

    2. 求解协态方程

    根据庞特里亚金极小值原理中的:
    λ ˙ ( t ) = − ∇ s H ( s ∗ ( t ) , u ∗ ( t ) , λ ( t ) ) \dot { \lambda } ( t ) = - \nabla _ { s } H \left( s ^ { * } ( t ) , u ^ { * } ( t ) , \lambda ( t ) \right) λ˙(t)=sH(s(t),u(t),λ(t))
    先写出哈密顿函数,然后根据哈密顿函数列出协态方程,并求解。
    哈密顿函数为:
    H = 1 2 u 2 + λ 1 s 2 + λ 2 u H = \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } s_ { 2 } + \lambda _ { 2 } u H=21u2+λ1s2+λ2u
    两个λ分别乘上对应的系统模型 s ˙ \dot { s } s˙中的两个元素s2和u,其中s2就代表s的第二行的元素(同时也是 s ˙ \dot { s } s˙中第一行的元素),也就是x方向的速度。u即为控制量(同时也是 s ˙ \dot { s } s˙中第二行的元素),这样就得到了哈密顿函数。
    将哈密顿函数分别对s1和s2(状态矩阵 s {s} s中的元素)求导,并将s和u这两个常量代入可得协态方程:
    λ ˙ 1 ( t ) = − ∂ H ∂ s 1 = 0 ⇒ λ 1 ( t ) = a 1 \dot { \lambda } _ { 1 } ( t ) = - \frac { \partial H } { \partial s _ { 1 } } = 0 \quad \Rightarrow \lambda _ { 1 } ( t ) = a _ { 1 } λ˙1(t)=s1H=0λ1(t)=a1

    λ ˙ 2 ( t ) = − ∂ H ∂ s 2 = − λ 1 ( t ) ⇒ λ 2 ( t ) = − a 1 t + a 2 \dot { \lambda } _ { 2 } ( t ) = - \frac { \partial H } { \partial s _ { 2 } } = - \lambda _ { 1 } ( t ) \Rightarrow \lambda _ { 2 } ( t ) = - a _ { 1 } t + a _ { 2 } λ˙2(t)=s2H=λ1(t)λ2(t)=a1t+a2
    通过求解上述的微分方程即可求得λ。

    3. 求解最优控制

    根据庞特里亚金极小值原理中的:
    u ∗ ( t ) = arg ⁡ min ⁡ u ( t ) H ( s ∗ ( t ) , u ( t ) , λ ( t ) ) u ^ { * } ( t ) = \arg \min _ { u ( t ) } H \left( s ^ { * } ( t ) , u ( t ) , \lambda ( t ) \right) u(t)=argu(t)minH(s(t),u(t),λ(t))

    最优的u*的选取是,当哈密顿函数中的s取最优时,能够使得哈密顿函数最小的那个u即为最优控制量。令导数等于0即可:
    ∂ H ∂ u = u + λ 2 = 0 ⇒ u = − λ 2 = a 1 t − a 2 \frac { \partial H } { \partial u } = u + \lambda _ { 2 } = 0 \quad \Rightarrow u = - \lambda _ { 2 } = a _ { 1 } t - a _ { 2 } uH=u+λ2=0u=λ2=a1ta2
    求得u的表达式之后,对u进行两次积分可以得到s1和s2(状态矩阵 s {s} s中的元素):
    s 1 = 1 6 a 1 t 3 − 1 2 a 2 t 2 + a 3 t + a 4 s 2 = 1 2 a 1 t 2 − a 2 t + a 3 \begin{array} { l } {s _ { 1 } = \frac { 1 } { 6 } a _ { 1 } t ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } a _ { 2 } t ^ { 2 } + a _ { 3 } t + a _ { 4 } } \\ { s _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } a _ { 1 } t ^ { 2 } - a _ { 2 } t + a _ { 3 } } \end{array} s1=61a1t321a2t2+a3t+a4s2=21a1t2a2t+a3

    将初始条件和终端条件代入可求得:
    u ∗ ( t ) = 9 2 t − 5 u ^ { * } ( t ) = \frac { 9 } { 2 } t - 5 u(t)=29t5

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    那么一般的曲线的切线该怎么定义呢?且看下文! \(P(x_{0},y_{0})\)和\(Q(x_{0} + \Delta x,y_{0} + \Delta y)\)分别是上图曲线上不同的两点(这意味着\(\Delta x \neq 0\)),Q可以选在P的右边也可以选在左边(这...
  • 极大似然估计法(the Principle of Maximum Likelihood )由高斯和费希尔(R.A.Figher)先后提出,是被使用最广泛的一种参数估计方法,该方法建立的依据是直观的最大似然原理。 总结起来,最大似然估计的目的就是...
  • 极大似然估计详解

    千次阅读 2020-12-22 04:46:17
    转自:https://blog.csdn.net/zengxiantao1994/article/details/72787849极大似然估计以前多次接触过极大似然估计,但一直都不太明白到底什么原理,最近在看贝叶斯分类,对极大似然估计有了新的认识,总结如下:...
  •  导数定义如下:   反映的是函数y=f(x)在某一点处沿x轴正方向的变化率。再强调一遍,是函数f(x)在x轴上某一点处沿着x轴正方向的变化率/变化趋势。直观地看,也就是在x轴上某一点处,如果f’(x)&gt;0,说明f(x...
  • 极大似然估计详解,写的太好了!

    万次阅读 多人点赞 2018-08-18 15:42:08
    极大似然估计  以前多次接触过极大似然估计,但一直都不太明白到底什么原理,最近在看贝叶斯分类,对极大似然估计有了新的认识,总结如下:   贝叶斯决策  首先来看贝叶斯分类,我们都知道经典的贝叶斯公式:...
  • 极大值还是极小值这就是二阶导数的职责了,二阶导数的符号表示曲线的弯曲方向。 2.二阶导数的例子 这里用距离、速度(距离的导数)和加速度(速度的导数)来举例。 距离: y=x2y=x^2y=x2 速度: d⁡yd⁡x=2x\frac{...
  • 什么是极大似然估计?

    千次阅读 2018-08-12 19:08:30
    ● 每周一言 坚持一定是有毅力,但有毅力不一定能坚持。 导语 统计学中,我们经常能听到...极大似然估计(maximum likelihood estimation,MLE),顾名思义,“极大”意为“最有可能的”,“似然”意为“看起来...

空空如也

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