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  • 本篇文章是高等数学中的基础性文章,我们用图形来形象化演示:函数,导数及其反导数(不定积分),拐点,极大值极小值之间的内在关系我们知道怎么定义一个不定积分:如下图,如果f(t)在(a,b)上是连续可积的,在常数a...

    本篇文章是高等数学中的基础性文章,我们用图形来形象化演示:函数,导数及其反导数(不定积分),拐点,极大值,极小值之间的内在关系

    我们知道怎么定义一个不定积分:

    如下图,如果f(t)在(a,b)上是连续可积的,在常数a和f(t)保持不变的情况下,我们就可以通过以下方法在(a,b)上得到一个全新的函数,这也是很常见的

    2cacc40c11938ad1d46872446081b0d8.png

    我们称它为特殊情况下的不定积分,因为它的上限是一个未知数,我们在这里引用这种形式,是有好处的,继续往下看

    如果f(x)是在此区间下是一个正值,f (x)就是一个有关面积的函数。这也是牛顿-莱布尼兹公式的本质原理,也是微积分入门的必要基础

    39b8ce2307b10243351c8a714e5ab58e.png

    此处的F(x)只依赖于下限常数a,因为选择不同的a值就会得到不同的函数F(x),但是不同函数F(x)之间的差与x是没有关系的,它们只相差一个常数

    如果f(x)在某个区间内为正,则F(x)(F(x)为面积)会不断增加,因为F(x)的导数就是f(x),即F(x)所表示的面积和F(x)面积下的导数f(x)一一对应,如下图所示

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    如果f(x)在某个区间内为负,则F(x)(F(x)为面积)会不断减小,同理:F(x)的导数正好与f(x)的函数图形相对应

    ee26f653302077ad475c26bb93d9e811.png

    假如(x)= 0,则x就是F的临界点。这个临界点就是书本上所描述的极大值和极小值

    如下图所示:f(x)=0时,与其相对应的F(x)取极小值,如果F(x)的二阶导数为0,该点就是F(x)的拐点。拐点就是凹凸的分界点,即f(x)的斜率等于0,下面的图形非常明显的表达了这一观点

    2165030aed203cf2e863f338fdde07b4.png

    如果f(x)的图形是一个抛物线形状,那么与它相对应的反导数F(x)图形就是一个三次函数曲线

    而拐点正好是f(x)的极小值,如下图f(x)导数等于0处的坐标值就是F(x)的拐点

    16bfea13d938f057d2201fc0f5bf0428.png

    简单明了,浅显易懂,希望对你有用

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  • 极值点的定义:在某点的一个邻域内,该点的函数值是最大值或最小值,则该点是个极大值点或极小值点。 极值点可能是一阶导数为0的点,也可能是一阶导数不存在的点。所以求极值点的时候,找出所有一阶导数为0的点和不...

    目录

    驻点的定义:(要求平滑)  y=|x|; 不存在驻点;

    极值点的定义:

    导数不存在的点也有可能是极值点

    拐点:

    一二阶导数等于零各是什么意义

    倒代换


    驻点的定义:(要求平滑)  y=|x|; 不存在驻点;

    阶导数为0的点,就是驻点。所以求驻点,就是求一阶导数为0的点。至于不可导点,当然就不可能是驻点了。

    极值点的定义:

    在某点的一个邻域内,该点的函数值是最大值或最小值,则该点是个极大值点或极小值点。

    极值点可能是一阶导数为0的点,也可能是一阶导数不存在的点。所以求极值点的时候,找出所有一阶导数为0的点和不可导点。对这些点进行进一步的分析。注意一点,一阶导数为0或一阶导数不存在只是极值点的一个必要条件。而不是充分条件。所以不能只求出一阶导数为0或不可导点,就不再进一步分析,直接认定这些点是极值点。

    导数不存在的点也有可能是极值点

    比如说两条线段组成的折线,先上后下,则最高点就是极值点,但那点不可导.
    不可导的点很容易判断,要么是那一点求导后取不到值如 lnx求导后在x=0上取不到
    要么就是分段函数中某个点向左趋近的的导数不等于向右趋近的导数.

    拐点:

    是函数凹凸变化的分界点。拐点可能是二阶导数为0或二阶导数不存在(含一阶导数不存在而导致二阶导数不存在的情况)的点。求出所有二阶导数为0或不存在点,再进一步分析。

    一二阶导数等于零各是什么意义

    一阶导数等于零:函数斜率 是0;

    二阶导数大于0==凹函数,小于0==凸函数;;等于0 

     

     

    倒代换

    倒代换是一种通过变量代换x=1/t降低问题难度或化简解题过程的数学解题方法。

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  • HYGGE 高数上册导数

    2018-07-19 22:53:00
    首先,我们要求记住一些定义及其结论:  1.设函数f(x)在x0处有n阶导数,且f’(x0)=f’’(x0)=...=f(n)(x0)=0,f(n+1)...0,f(x0)为极大值,当f(n)(x0)>0时,f(x0)为极小值;  (2)当n为奇数时,f(x)在x0处不取得极...

     

    首先,我们要求记住一些定义及其结论:

      1.设函数f(x)x0处有n阶导数,f’(x0)=f’’(x0)=...=f(n)(x0)=0,f(n+1)(x0)≠0.证明:

        (1)n为偶数时,f(x)x0处取得极值,且当f(n)(x0)<0,f(x0)为极大值,f(n)(x0)>0,f(x0)为极小值;

        (2)n为奇数时,f(x)x0处不取得极值(以上两问用带有佩亚若余项的泰勒展开式证明)

      2.求高阶导数n的方法,可以拆项,拆成一些比较基础的n阶导数可以求出来的形式,像ln(x+1),e,sin x ,cos x,x等等 ,其实对于有些不可以拆成一些基础的项的时候要用到级数,此处还没有学完,等学完再讲。

      3.导数在函数形态上的应用

      重要定理:  费马定理:设f(x)在x=x0的某邻域U(x0)内有点定义,f(x0)是f(x)的一个极大值(极小值),又设f'(x0)存在,则f'(x0)=0. 使f'(x0)=0的x=x0称为f(x)的驻点。

             罗尔定理:设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,又设f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b)使f'(ξ)=0.

             拉格朗日中值定理:设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).

                其实拉格朗日中值定理还有一个经常用到的变形,在定理条件下,设x0,x是[a,b]上的任意两点,则至少存在一点ξ介于x0与x之间,使f(x)=f(x0)+f'(ξ)(x-x0).

             柯西中值定理:设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且g'(x)≠0,x∈(a,b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使.

             泰勒定理(非常重要且好用的定理):有两种形式,第一种为成立条件弱一点的一种,常用于用于佩亚若展开式求极限,具体情况可见 »HYGGE 高数上册极限与微分    另外一种就是常用的拉格朗日泰勒展开式,定理陈诉如下:设f(x)在闭区间[a,b]有n阶连续的导数,在开区间(a.b)内有直到n+1阶导数,x0∈[a,b], x∈[a,b] 是任意两点, 则至少存在一点ξ介于x0与x之间,使       

             在这里提醒大家依据:一定要注意题目中给出的一些条件是否满足用以上三大微分中值定理,如果不满足的话,可以考虑用一下连续条件下的定理(以下定理也要非常注意使用条件).

             最常用的是:连续介值定理和连续中值定理,

              连续函数介值定理:设f(x)在闭区间[a,b]连续,且在这区间端点取不同的函数值f(a)=A ,f(b)=B, 则对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.

              其中连续中值定理是连续介值定理的特例,也是非常常用的,希望大家一起掌握。随便提一下闭区间连续函数的定理,除了介值定理之外,最大最小存在定理有时也会用到。

     

             最后进行一下总结:微分中值定理存在的价值就是将原函数f(x)与其导数联系起来,一种与一阶导数联系起来的是前三个中值定理,泰勒公式是将原函数与任意阶导数联系在一起,遇见证明题的时候有两种题型,一种是前者,一种是后者,但是千万不要局限于一定是前者还是后者,因为当遇见较难的题目时,往往我要用到前后者,还有其他的一些定理。

       4.命中率特别高的一个结论:设函数f(x)在x=0处连续且lim(x->0)   f(x)/x=A,则f(0)=0,f '(0)=0.如果不连续,只能得到前面的结论,后者得不到。

       5.设f(x)=x/(x^2-3x+1),则求f(n)(0)=________,   一看见可以因式分解立马分解,然后用基本级数的公式展开,φ(n)(x0)=n!an    

    转载于:https://www.cnblogs.com/hygge-98-areas/p/9338927.html

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  • 一.梯度 定义:设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量这向量称为函数=在点的梯度,记作,即= ... 梯度下降法求函数极小值。 二.方向导数 定义:设函数在点的某一邻域内有...

    一.梯度

    1. 定义:设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量
                                    
      这向量称为函数=在点的梯度,记作,即
                           
    2. 性质:梯度的方向是函数值增大最快的方向。相应的,负梯度的方向是函数值减小最快的方向。=> 梯度下降法求函数极小值。

    二.方向导数

    1. 定义:设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为(逆时针方向:0;顺时针方向:0),并设'(+△,+△)为上的另一点且'∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)-'两点间的距离的比值.当'沿着趋于时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数在点沿方向的方向导数,记作,即
                                    (1)
      从定义可知,当函数在点的偏导数x、y存在时,函数在点沿着轴正向=轴正向=的方向导数存在且其值依次为x、y,函数在点沿轴负向=轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.
    2. 定理  如果函数在点是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有

                                                        (2)

    其中轴到方向的转角.

        3.几何意义:方向导数是一个数,表示函数沿某一方向的变化率。

     

     

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导数极大值极小值定义