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  • 定理10有一个非常重要的应用,它给我们提供了确定函数极大值极小值的方法。我们期望从单变量函数的相关知识来得出二阶导数的判定准则,所以我们先回顾一下实变量实况。如果f:R→Rf:R\to R在x0x_0处有一个局部极大...

    定理10有一个非常重要的应用,它给我们提供了确定函数极大值与极小值的方法。我们期望从单变量函数的相关知识来得出二阶导数的判定准则,所以我们先回顾一下实变量实况。

    如果f:RRx0处有一个局部极大或极小,并且fx0处可微,那么f(x0)=0。更进一步,如果f 二次连续可微,并且若f′′(x0)<0,那么x0是局部最大值,若f′′(x0)>0,那么它是局部最小值。

    为了将这些事实推广到函数f:ARnR上,我们首先从相关定义开始。

    6f:ARnR,其中A是开集。如果存在一个x0A的邻域并且在这个邻域内f(x0)是最大值,即对于邻域内的所有x,f(x0)f(x),我们称f(x0)f的局部最大值。同样的,我们可以定义f的局部最小值。如果一个点要么是f的局部最大值要么是最小值,那么我们称该点是极值点(extreme),如果f 在点x0处可微且Df(x0)=0,那么我们称x0是驻(critical)点。

    第一个基本事实可以用下面的定理来表述。

    11如果f:ARnR是可微的,A是开集,如果x0Af的一个极值点,那么Df(x0)=0;即x0是一个驻点。

    它的证明大部分与基本微积分是一样的,因为f图像的极值点肯定有一个水平切平面,所以这个结论直观上非常明显。然而,仅仅是驻点不能保证该点就是极值点。例如考虑函数f(x)=x3,因为Df(0)=0,所以0是该函数的驻点,但是x>0x3>0,而x<0x3<0,所以0不是极值。另一个例子是f(x,y)=y2x20=(0,0)是驻点,因为f/x=2x,f/y=2y,所以Df(0,0)=0。然而在0的任何邻域内我们可以找出使得f大于零与小于0的点。不是局部极值的驻点称为鞍点(saddle point),图1说明了为了用这个术语。

    对于f:ARR,我们已经说明如果f(x)=0,f′′<0,那么它有局部最大值,回忆一下几何情况,f′′<0意味着f是向下凹的。为了推广,下面我们引进函数g在点x0处海森(Hessian)的概念。

    7 如果g:BRnRC2类,那么gx0处的海森定义为双线性函数Hx0(g):Rn×RnR,形式为Hx0(g)(x,y)=D2g(x0)(x,y)(注意负号),从而海森仅仅是二阶偏微分的矩阵加负号。

    双线性形式,即双线性映射B:Rn×RnR称为正定的(positive definite),如果对于Rn中所有的x0,B(x,x)>0。称为半正定的(positive semidefinite),如果对于Rn中所有的x0,B(x,x)0。负定与半负定双线性形式定义类似。


    这里写图片描述
    图1

    接下来我们推广到多变量的情况。

    12

    1. 如果f:ARnR是定义在开集A上的C2函数,并且x0f的驻点使得Hx0(f)是正定的,那么fx0处有一个局部最大值。
    2. 如果fx0处有一个局部最大值,那么Hx0(f)是半正定的。

    对于极小值的情况只需要将上面定理中的正改成负即可,注意f的最小值就是f的最大值。

    Hx0(f)对标准基的矩阵是

    2fx1x12fxnx12fx1xn2fxnxn

    其中偏导数都是在x0处计算的。

    n=1时,定理12(i)简化为单变量测试f′′(x0)<0。如果f′′(x0)=0,那么函数有极大值或极小值或鞍点,(此时测试失效)例如f(x)=x4,x5,x4x0=0处分别有最大值,鞍点与极小值,虽然他们的f′′(x0)=0

    提及一些线性代数的知识可能比较有帮助,令Δk是矩阵

    2fx1x12fxkx12fx1xk2fxkxk

    的行列式,这个矩阵就是海森矩阵去掉最后nk行和列得到的,那么对称矩阵Hx0(f)是正定的,当且仅当对所有的k=1,,n,Δk>0,它是半正定的当且仅当对所有k=1,,n,Δk0。这里我们不证明一般情况,在下面的例1中,我们证明2×2矩阵,下面还给出了负定的判别准则,从而对k=1,,n,如果Δk>0,那么f在驻点x0处有(局部)最大值,这可能是应用定理12 的最佳方式。对任意k如果Δk<0,那么fx0 处没有最大值。同样的,如果Hx0(f)是负定的,那么fx0处有(局部)最小值。通过改变Hx0(f)的符号以及利用行列式的性质,可以得出如果k为奇数时Δk<0k为偶数时Δk>0,那么Hx0(f)是负定的,如果k为奇数时Δk0k为偶数时Δk0,那么Hx0(f)是负定的,从而当k为奇数时Δk<0,当k为偶数时Δ>0,那么fx0处有最小值。

    如果对某些奇数k,Δk>0,对某些偶数k,Δ<0,那么fx0处不可能有最小值。事实上,如果对面某些k,Δk<0fx0既没有最大值也没有最小值,x0肯定是f的鞍点。

    这个定理在力学中也非常有用,这时f是一个系统的势能,那么最小值对应稳定态,最大值与鞍点对应不稳定态。

    1说明矩阵

    [abbd]

    是正定的,当且仅当a>0,adb2>0

    正定意味着

    (x,y)(0,0)[xy][abbd][xy]>0

    ax2+2bxy+dy2>0。首先假设对于所有的(x,y)(0,0)该不等式均成立,令y=0,x=1我们得到a>0,令y=1,那么对所有的x,我们有ax2+2bx+d>0,这个函数是抛物线且在2ax+2b=0处有最小值(因为a>0),即x=b/a,从而

    a(ba)2+2b(ba)+d>0

    adb2>0。反过来可以用同样的方式来证明。

    2研究f(x,y)=x2xy+y2鞍点(0,0)的性质。

    这里

    fx=2xy, 2fx2=2, 2fxy=1, fy=x+2y, 2fy2=2

    所以海森矩阵是

    [2112]

    这里Δ1=2<0,Δ2=41=3>0,所以海森矩阵是负定的,从而我们有一个局部最小值。

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  • 牛顿法求极大极小值

    万次阅读 2015-07-16 09:12:52
    牛顿至少有两个应用方向,1、方程的根,2、最优化。牛顿涉及到方程求导,下面的讨论均是在连续可微的前提下讨论。   1、求解方程。 并不是所有的方程都有根公式,或者根公式很复杂,导致求解困难。...

    牛顿法至少有两个应用方向,1、求方程的根,2、最优化。牛顿法涉及到方程求导,下面的讨论均是在连续可微的前提下讨论。

     

    1、求解方程。

    并不是所有的方程都有求根公式,或者求根公式很复杂,导致求解困难。利用牛顿法,可以迭代求解。

    原理是利用泰勒公式,在x0处展开,且展开到一阶,即f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)

    求解方程f(x)=0,即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0,求解x = x1=x0-f(x0)/f'(x0),因为这是利用泰勒公式的一阶展开,f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)处并不是完全相等,而是近似相等,这里求得的x1并不能让f(x)=0,只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f(x)=0,于是乎,迭代求解的想法就很自然了,可以进而推出x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),通过迭代,这个式子必然在f(x*)=0的时候收敛。整个过程如下图:

     

    2、牛顿法用于最优化

    在最优化的问题中,线性最优化至少可以使用单纯行法求解,但对于非线性优化问题,牛顿法提供了一种求解的办法。假设任务是优化一个目标函数f,求函数f的极大极小问题,可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题,这样求可以把优化问题看成方程求解问题(f'=0)。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。

    这次为了求解f'=0的根,把f(x)的泰勒展开,展开到2阶形式:

    这个式子是成立的,当且仅当 Δ无线趋近于0。此时上式等价与:

    求解:

    得出迭代公式:

    一般认为牛顿法可以利用到曲线本身的信息,比梯度下降法更容易收敛(迭代更少次数),如下图是一个最小化一个目标方程的例子,红色曲线是利用牛顿法迭代求解,绿色曲线是利用梯度下降法求解。

    在上面讨论的是2维情况,高维情况的牛顿迭代公式是:

    其中H是hessian矩阵,定义为:

     

    高维情况依然可以用牛顿迭代求解,但是问题是Hessian矩阵引入的复杂性,使得牛顿迭代求解的难度大大增加,但是已经有了解决这个问题的办法就是Quasi-Newton methond,不再直接计算hessian矩阵,而是每一步的时候使用梯度向量更新hessian矩阵的近似。

    拟牛顿法基本思想

    上一节指出,牛顿法收敛速度快,但是计算过程中需要计算目标函数的二阶偏导数,难度较大;目标函数的Hesse矩阵无法保持正定,从而令牛顿法失效。

    为了解决这两个问题,人们提出了拟牛顿法,即模拟牛顿法的改进型算法。基本思想是不用二阶偏导数而构造出可以近似Hesse矩阵的逆的正定对称阵,从而在拟牛顿的条件下优化目标函数。Hesse阵的构造方法的不同决定了不同的拟牛顿法。

    拟牛顿法——变种及其相互关系

    SR1算法

    拟牛顿法——变种及其相互关系

    SR1算法是一个非常有特色的拟牛顿算法,有许多改进的SR1算法研究。其中,SR1的一个突出优点是在极小正定二次目标函数时无需线搜索仍具有至多n步的终止性质。

    BFGS算法

    BFGS算法是BroydenFletcherGoldfarbShanno四位优化大家在1970年几乎同时从不同的优化角度提出的。从发明到现在的40多年时间里,它仍然被认为是最好的拟牛顿算法。

    拟牛顿法——变种及其相互关系

    DFP算法

    DFP算法是以DavidonFletcherPowell发明人的名字首字母命名的。

    DFP算法也是一种秩2的修正算法。推导步骤和BFGS算法是类似的,并且两种修正公式之间构成了对偶关系。记忆时候,可以只记住一种修正公式,然后利用对偶关系写出另一种。

    拟牛顿法——变种及其相互关系

    族算法

    BFGS修正公式和DFP修正公式的加权线性组合构成一类修正共识,其中含有一个参数的称为Broyden族修正公式

    拟牛顿法——变种及其相互关系

    后来人们又发展出含有两个参数的Oren族算法和含有三个参数的Huang族算法。之所以开发这些算法,目的就是为了找到一个能够超越BFGS的更优算法。然而,经过40多年的努力,这个愿望至今还没有实现。

    收敛性及进一步修正

    拟牛顿法对于一般非二次函数的收敛性,最早由Powell1971年给出。目前得到的收敛结果都是假设目标函数是凸的。对于一般的非凸目标函数,拟牛顿法的收敛性还没有统一的证明,只散见个别的案例。

    比如,当用于非凸函数极小值问题求解时,有例子表明BFGS采用精确线性搜索或者W-P搜索不收敛,而BFGS又是十分好用的算法,于是在为了克服BFGS的缺陷,又产生了不少修正算法,如MBFGSCBFGS等。


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  • 判断极值点是极大值还是极小值

    万次阅读 2018-10-18 14:40:49
    函数的二阶导数,将极值点代入,...0, 为极小值点,反之为极大值点 二级导数值=0,有可能不是极值点; ②判断极值点左右邻域的导数值的正负:左+右- 为极大值点,左-右+ 为极小值点,左右正负不变,不是极值点。...

    ①求函数的二阶导数,将极值点代入,二级导数值>0, 为极小值点,反之为极大值点
    二级导数值=0,有可能不是极值点;
    ②判断极值点左右邻域的导数值的正负:左+右- 为极大值点,左-右+ 为极小值点,左右正负不变,不是极值点。

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  • 用梯度下降法求极大值-Matlab

    千次阅读 2017-11-15 19:27:12
    目录 目录 题目 作答 建立函数文件ceshim 这是调用的命令也可以写在m文件里 输出结果 ...%%%%%%%%%%%%%% 梯度下降法求函数局部极大值@冀瑞静 %%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数:f(x,y)= % 目的:局部极大

    目录

    题目

    作业题目

    解答

    本文使用MATLAB作答

    1. 建立函数文件ceshi.m

    function [x1,y1,f_now,z] = ceshi(z1,z2)
    %%%%%%%%%%%%%% 梯度下降法求函数局部极大值%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    %   函数:f(x,y)=
    %   目的:求局部极大值和对应的极大值点坐标
    %   方法:梯度下降法
    %   理论:
    %       方向导数:偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率,但许多物理现象告诉我们,只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的,有必要研究函数沿任一指定方向的变化率。
    %       函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分,那么函数在改点沿任一方向l的方向导数存在,其值为:f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β),其中,cos(α),cos(β)是方向l的方向余弦。
    %       梯   度:是与方向导数有关联的另一个概念,梯度是一个向量,表示为:'x(x0,y0)*i+f'y(x0,y0)*j。
    %       关   系:
    %               f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β)
    %               =grad f(x0,y0)*el
    %               =|grad f(x0,y0)|*cos(θ),其中el=(cos(α),cos(β))是与方向l同方向的单位向量。
    %       变化率:函数沿某个方向的变化率指的是函数值沿这个方向变化的快慢。
    %       θ=0,el与梯度同向,函数增加最快,函数在这个方向的方向导数达到最大值,这个最大值就是梯度的模;
    %       θ=π,el与梯度反向,函数减少最快,函数在这个方向的方向导数达到最小值;
    %       θ=π/2,el与梯度方向正交,函数变化率为零。
    
    x0 = z1;
    y0 = z2;
    f_now = exp((sin(y0) - 1)^2)*cos(x0) + (x0 - y0)^2 + exp((cos(x0) - 1)^2)*sin(y0);%求解函数的极大值点,先求其函数负值的极小值点
    z=0;                     %用于记录循环次数
    f_error = 1;             %f_error为迭代差值,作为判别标准
    h = 1.0e-8;              %步长
    
    while f_error>1.0e-8     %判定标准:1.前后两次的差>1.0e-8(选用);2.迭代次数达到XX次;
    
        if (x0<-5)||(x0>0)
            break;
        end
        if ((y0<-5)||(y0>0))
            break;
        end
        f_val = f_now;
        x1 = x0 + h * (2*x0 - 2*y0 - exp((sin(y0) - 1)^2)*sin(x0) - 2*exp((cos(x0) - 1)^2)*sin(x0)*sin(y0)*(cos(x0) - 1));
        y1 = y0 + h * (2*y0 - 2*x0 + exp((cos(x0) - 1)^2)*cos(y0) + 2*exp((sin(y0) - 1)^2)*cos(x0)*cos(y0)*(sin(y0) - 1));
        f_now = exp((sin(y1) - 1)^2)*cos(x1) + (x1 - y1)^2 + exp((cos(x1) - 1)^2)*sin(y1) ;
        f_error = f_now-f_val;
        x0 = x1;
        y0 = y1;
        z = z+1;
    end
    
    end
    
    

    2. 这是调用的命令,也可以写在.m文件里

    clear
    clc
    [x1,y1,f_out] = ceshi(-1,-2);
    fprintf('%.3f\t',x1,y1,f_out); %f保留小数点后三位

    3. 输出结果

    0.000 -1.585 56.088

    这是截图
    计算结果

    题外话

    第一次发博客,开始进入计算机视觉领域,欢迎拍砖。

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  • 梯度下降法求极小值

    千次阅读 2017-12-10 21:34:41
    本文旨在将自己学习“梯度下降”过程中的问题进行整理。
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    2017-07-05 14:36:26
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  • 目录 目录题目作答1. 建立函数文件ceshi.m2. 这是调用的命令,也可以写在.m文件里3. 输出结果题外话 题目 作答 ...%%%%%%%%%%%%%% 梯度下降法求函数局部极大值@冀瑞静 %%%%%%%%%%%...
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    千次阅读 2018-04-08 19:18:39
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  • 由图①可知,当一阶导函数在某点(即驻点)处为0,二阶导函数在该点处小于0时,原函数在该驻点处取极大值; 由图②可知,当一阶导函数在某点(即驻点)处为0,二阶导函数在该点处大于0时,原函数在该驻点处取极小值...
  • Hessian矩阵在求极小值的应用

    千次阅读 2017-11-05 20:12:28
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  • 极大值原理

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    千次阅读 2018-01-03 11:42:04
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空空如也

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导数极大值极小值求法