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  • ”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。 关于极限: 牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均...

    高等数学的基本思想:
    如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。

    关于极限:
    牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均速度,让Δt无限趋近于零,得到物体的瞬时速度。

    ΔS = s2 - s1 = s的差值 ,其中s是空间的意思
    Δt = t2 - t1 = t的差值 ,其中t是时间的意思
    所以,s/t == 距离/时间 == 速度
    so,当t无限接近0时,s/t能计算出瞬时速度。

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  • 高数重学笔记-1-极限思想

    千次阅读 2018-11-07 13:05:06
    由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会...数列和函数的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷) 导数和微分 ...

    由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会比较乱

    数列的定义
    数列的极限定义
    函数定点的极限定义

    对比两者发现超级像的

    这里是趋于定点的极限

    定点左右极限和极限的关系

    无穷大定义

    无穷大时候的极限

    这个将数列和函数联系起来

    海涅(Heine)定理

    证明:https://baike.baidu.com/item/海涅定理/8843389?fr=aladdin

    数列和函数(部分区域 或者说一定邻域内)的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷)

    利用绝对值不等式--

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    导数和微分

    前奏-非常重要,是后面所有理论的基石,极限的思想

    微分的形式跟这个很像.

    跟微分定义有关

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  • 2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求...

    【考试要求】

    1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;

    2.体会极限思想;

    3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;

    4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数;

    5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;

    6.会使用导数公式表.

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    【规律方法】

    1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.

    2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.

    3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.

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    【规律方法】1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.

    2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.

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    【反思与感悟】

    1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.

    2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.

    3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.

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    大家好,这里是小张老师. 在计算数列极限中,有以下几种常用的方法:直接法、放缩法、两边夹法、阶比较法等. 下面小张老师将详细为大家介绍"放缩法".

    放缩法

    放缩法即“适当放大”. 如果我们的目标是证明 limnxn=a\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} = a,那么最直接的思路便是解不等式 xna<ϵ|x_{n} - a| < \epsilon. 这个不等式在绝大多数情况下是不可严格解出的,因此我们需要弱化这个问题. 注意到在数列极限的定义中,我们不需要严格地解出上面的不等式,只需要找到一个 NN+N \in \mathbb{N}_{+},使得当 n>Nn > N 时,不等式成立,即找不等式解集的一个子集即可.

    如果可以将 xna| x_{n} - a | 放大成 f(n)f(n),且不等式 f(n)<ϵf(n) < \epsilon 较容易解出,那么我们便得到了一种求原不等式解集的子集的方式. 当然,我们必须对 {f(n)}\{f(n)\} 做一定的限制. 所谓“适当”放大,就是在保证 {f(n)}\{f(n)\} 仍是一个无穷小量的前提下,对目标极限进行放缩:xnaf(n)| x_{n} - a | \leq f(n)(在数列有限项之后成立也可). 如果不能保证 {f(n)}\{f(n)\} 是一个无穷小量,那么就是“放缩过度”.

    综上所述

    适当放大法就是要找一个辅助数列 f(n)f(n),满足:

    • xnaf(n)| x_{n} - a | \leq f(n)
      对数列的任意项或在数列的有限项之后成立;
    • {f(n)}\{f(n)\} 仍是一个无穷小量,且证明其是无穷小量较容易,

    即不等式 f(n)<ϵf(n) < \epsilon 易于求解.


    例题

    例题 1 xn=n52nx_{n} = \frac{n^5}{2^n},证明 {xn}\{ x_{n} \} 的极限为 00.

    分析

    本题实际上是单项式 n5n^5 与指数 2n2^n 的阶的比较;由于指数的阶比多项式高,二者的比值便是一个无穷小量. 为比较 2n2^nn5n^5 的大小,我们利用二项式定理构建二者之间的联系. 将 2n2^n 展开,
    2n=(1+1)n=Cn0+Cn1++Cnn. 2^n = (1+1)^n = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \cdots + C_{n}^{n}.
    考虑其中的项 Cnk (k<n)C_{n}^{k}~(k < n). 如果将 kN+k\in\mathbb{N}_{+} 固定,那么 CnkC_{n}^{k} 可以看作关于 nnkk 次多项式. 而分子中 nn 的幂次为 55,因此只要取 k=6k=6,便可在放缩后使得分母的幂次高于分子,这是“适当”放缩的关键. 当 n>6n > 6 时,
    n52n=n52n<n5Cn6=6!,n5n(n1)(n5)=6!,n4(n1)(n5). \vert\frac{n^5}{2^n}\vert = \frac{n^5}{2^n} < \frac{n^5}{C_{n}^{6}} = \frac{6! , n^5}{n(n-1) \cdots (n-5)} = \frac{6! , n^4}{(n-1) \cdots (n-5)}.
    至此,想要解 6!n4(n1)(n5)<ϵ\frac{6! \, n^4}{(n-1) \cdots (n-5)} < \epsilon 仍然比较困难,我们需要继续对分母进行放缩. 注意到,只要将分母的幂次保持在 55,任何放缩都是“适当”的. 我们的目标是将分母变成单项式,不难想到,当 n>10n > 10 时,有
    (n1)(n5)>(n5)5>(n2)5=n525. (n-1) \cdots (n-5) > (n-5)^5 > \left(\frac{n}{2}\right)^5 = \frac{n^5}{2^5}.
    至此,6!25n<ϵ\frac{6! \, 2^5}{n} < \epsilon 可以轻松求解,放缩完毕.

    证明

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    讨论

    同学们从本题开始就应该建立起对无穷小(大)量的的概念. 本题的结论也具有一般性. 一般地,作为无穷大量,指数阶高于多项式阶,只要指数的底大于 11. 用数学语言描述就是,一个多项式数列与一个指数数列的比值是一个无穷小量. 其一般形式的证明,也利用了二项式定理.

    设指数数列为 {(1+a)n} (a>0)\{ (1+a)^n \}~(a>0),多项式数列的最高幂次为 kk,对 (1+a)n(1+a)^n 使用二项式定理,
    (1+a)n=1+Cn1a+Cn2a2++Cnn1an1+an. (1+a)^n = 1 + C_{n}^{1} a + C_{n}^{2} a^2 + \cdots + C_{n}^{n-1} a^{n-1} + a^n.
    对任意固定的 mN+m \in \mathbb{N}_{+},当 n>mn>m 时,项 CnmamC_{n}^{m} \, a^mama^m 是一个确定的系数,而 CnmC_{n}^{m} 是一个关于 nnmm 次多项式. 因此只要取 m=k+1m = k+12n2^n 便可被“适当缩小”为一个 (k+1)(k+1) 次多项式,其幂次大于 kk,因此,指数数列的阶高于多项式数列.


    下面的题目留作练习,将在下篇文章中公布答案和解析.

    练习 2xn=nnx_{n} = \sqrt[n]{n},证明 {xn}\{ x_{n} \} 的极限为 11.

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