DAY 3.
 
一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量，而是虚荣嫉妒不甘心
 


 
文章目录
 
DAY 3.
1. 利用导数定义求极限
2.判断连续与可导的关系
3.关于导数定义的证明题
4.基本复合函数求导
5. 基本高阶求导
6. 抽象函数求导
  
 

 
1. 利用导数定义求极限
 
导数的两种定义
 
$f^{\prime }(x_0)$ = ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
$f^{\prime }(x_0)$ = ${\lim }_{\Delta x\to 0}$ $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
 
解题基本用到的是凑上面两种形式的思想。
 
例题1
 求 A = ${\lim }_{\Delta x\to 0}$$\frac{f(x-\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 的极限
 
这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号 $f(x+\Delta x)$所以很显然我们要凑第二类导数的定义
 
解：
 A = ${\lim }_{\Delta x\to 0}$$\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
 
= ${\lim }_{\Delta x\to 0}$$\frac{f(x_0+(-\Delta x))-f(x_0)}{-\Delta x}$ *(-1)
 
= $f^{\prime }(x_0)$ * (-1)
 
= - $f^{\prime }(x_0)$
 
例题2
 如果$f(0)=0$ ，且 $f^{\prime }(0)$存在，求A = ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$
 
解：由题意得
 
A = ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-0}{x-0}$
 
=${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
 
=$f^{\prime }(0)$
 
例题3
 求A = ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}$
 
解：原式
 
=${\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$
 
=${\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ - ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}$
 
=$f^{\prime }(x_0)$ - ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}$
 
=$f^{\prime }(x_0)$ - (-$f^{\prime }(x_0)$)
 
=2$f^{\prime }(x_0)$
 
2.判断连续与可导的关系
 
可导一定连续，连续不一定可导
 
一般有两种题型：
 
$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}...& & (x!=x_0)\\ ...& & (x=x_0)\end{array}$$
 
例题4
 
讨论 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{x=0}\\ x^{2}sin\frac{1}{x}& \text{x!=0}\end{array}$ 的连续性与可导性
 
解：依题意得该函数的断点为 x = 0
 
则：${\lim }_{x\to 0}{x}^2\sin \frac{1}{x}$ = 0
 (DAY 1.中的一个重要结论 无穷小量*有界函数 = 0)
 由此可知该函数连续。
 而：$f^{\prime }(0)$ = ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ = ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}-0}{x-0}$ = 0
 所以该函数也可导
 
$$f(x)=\{\begin{array}{rlr}...& & (x\le x_0)\\ ...& & (x>x_0)\end{array}$$
 
例题5
 
$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{x <= 1}\\ ax+b& \text{x>1}\end{array}$ 在 x = 1处可导，求a,b
 
解：首先函数可导则一定连续
 
可得, ${\lim }_{x\to 1}a{x}^2+b=f(1)=1$ 可推 $\Rightarrow$ a + b = 1
 然后，函数可导，则左右导数相等；
 利用定义求导可得，
 $f^{\prime }(1^{-})={\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ = ${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{x^2-1}{x-1}$ = 2
 
$f^{\prime }(1^{+})={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$
 
= ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{ax+b-1}{x-1}$
 
=${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(1-b)x+b-1}{x-1}$
 
= ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(1-b)(x-1)}{x-1}$
 
= 1-b
 所以： 1 - b = 2 $\Rightarrow$ b = -1
 由于：a + b = 1 $\Rightarrow$ a = 2
 
3.关于导数定义的证明题
 
例题6
 设 f (x) 满足条件：
 
$f(x+y)=f(x)f(y);x,y\in R$
$f(x)=1+xg(x),{\lim }_{x\to 0}g(x)=1$
 证明f（x）在 R 上处处可导，且$f^{\prime }(x)=f(x)$
 
解：$f^{\prime }(x)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
 
= ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)f(\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
 
=${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x)(f(\Delta x)-1)}{\Delta x}$
 
=$f(x){\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)-1}{\Delta x}$
 
=$f(x){\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{1+\Delta xg(\Delta x)-1}{\Delta x}$
 
=$f(x){\lim }_{\Delta x\to 0}g(\Delta x)$
 
= $f(x)$
 
证毕
 
4.基本复合函数求导
 
注意牢记基本公式
 
5. 基本高阶求导
 
和例题7安排在一起
 
注意求导的先后次序，以及中间是否可以化简等，不骜述。
 
6. 抽象函数求导
 
例题7 包含第五点基本高阶求导
 
求 $y=f(x^2)$ 的 $\frac{d_y}{d_x},\frac{d^2{}_y}{d_x^2}$
 
解：
 
$\frac{d_y}{d_x}$ = $f^{\prime }(x^2)\ast 2x$ (先函数求导再中间量求导)
 
$\frac{d^2{}_y}{d_x^2}$ = $(f^{\prime }(x^2)\ast 2x{)}^{\prime }$ (乘积的求导) = $f^{\prime \prime }(x^2)\ast 2x\ast 2x+f^{\prime }(x^2)\ast 2$ = $4x^2{f}^{\prime \prime }(x^2)+2f^{\prime }(x^2)$

 

 
 

 
 
省略了2年前写此文时最后吐槽教材，教育方法上不关注本质的做法。引用《暗时间》里的一段话作为结尾：
 
 
 
        坏资料的特点是好资料的反面：上来就讲方法细节，仿佛某方法是从天上掉下来的，他们往往这样写“我们定义......我们称......我们进行以下几个步骤......”。根本不讲为什么要用这个方法，人们最初是因为面对什么问题才想到这个方法的，其间又是怎么样才想出了这么个方法的，方法背后的直观思想又是什么。实际上一个方法如果将其最终最简洁的形式直接表达出来，往往丢掉了绝大多数信息，这个丢掉的信息就是问题解决背后的思维过程。
 

由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会比较乱
 

 
 
 
对比两者发现超级像的
 
这里是趋于定点的极限
 
 
无穷大定义
 
 
这个将数列和函数联系起来
 
 
证明:https://baike.baidu.com/item/海涅定理/8843389?fr=aladdin
 
数列和函数(部分区域 或者说一定邻域内)的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷)
 
 
 
 
 
导数和微分
 
前奏-非常重要,是后面所有理论的基石,极限的思想
 
微分的形式跟这个很像.
 
 

 
 

 
 

高等数学的基本思想：
 如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
 
关于极限：
 牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度。
 
 
 
ΔS = s2 - s1 = s的差值 ，其中s是空间的意思
 Δt = t2 - t1 = t的差值 ，其中t是时间的意思
 所以，s/t == 距离/时间 == 速度
 so，当t无限接近0时，s/t能计算出瞬时速度。