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极限-导数-微分等高等数学的本质(入门总结)
2020-10-23 17:00:42”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。 关于极限: 牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均...高等数学的基本思想:
如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。关于极限:
牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均速度,让Δt无限趋近于零,得到物体的瞬时速度。ΔS = s2 - s1 = s的差值 ,其中s是空间的意思
Δt = t2 - t1 = t的差值 ,其中t是时间的意思
所以,s/t == 距离/时间 == 速度
so,当t无限接近0时,s/t能计算出瞬时速度。 -
高数重学笔记-1-极限思想
2018-11-07 13:05:06由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会...数列和函数的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷) 导数和微分 ...由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会比较乱
对比两者发现超级像的
这里是趋于定点的极限
无穷大定义
这个将数列和函数联系起来
证明:https://baike.baidu.com/item/海涅定理/8843389?fr=aladdin
数列和函数(部分区域 或者说一定邻域内)的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷)
导数和微分
前奏-非常重要,是后面所有理论的基石,极限的思想
微分的形式跟这个很像.
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被积函数中有x不能直接求导_数学一轮复习14,导数的概念及运算,注意求导法则对求导的制约...
2021-01-02 14:21:042.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求...【考试要求】
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;
2.体会极限思想;
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;
4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数;
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;
6.会使用导数公式表.
【规律方法】
1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
【规律方法】1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
【反思与感悟】
1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点,则可通过点斜式直接写方程,若已知点不是切点,则需设出切点.
3.处理与切线有关的参数问题时,一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.
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数学分析思想方法第一期:计算或证明数列极限
2020-05-28 23:13:05我们初高中学到的量都是“有限量”(虽然高中导数和定积分的定义也涉及极限,但讲授时往往不强调这一点),“有限量”的特点,即可以精准度量;而“无穷小量”则不是一个特定的数,其刻画的是一种趋向性,即当某个...大家好,这里是小张老师. 在计算数列极限中,有以下几种常用的方法:直接法、放缩法、两边夹法、阶比较法等. 下面小张老师将详细为大家介绍"放缩法".
放缩法
放缩法即“适当放大”. 如果我们的目标是证明 ,那么最直接的思路便是解不等式 . 这个不等式在绝大多数情况下是不可严格解出的,因此我们需要弱化这个问题. 注意到在数列极限的定义中,我们不需要严格地解出上面的不等式,只需要找到一个 ,使得当 时,不等式成立,即找不等式解集的一个子集即可.
如果可以将 放大成 ,且不等式 较容易解出,那么我们便得到了一种求原不等式解集的子集的方式. 当然,我们必须对 做一定的限制. 所谓“适当”放大,就是在保证 仍是一个无穷小量的前提下,对目标极限进行放缩:(在数列有限项之后成立也可). 如果不能保证 是一个无穷小量,那么就是“放缩过度”.
综上所述
适当放大法就是要找一个辅助数列 ,满足:
- ,
对数列的任意项或在数列的有限项之后成立; - 仍是一个无穷小量,且证明其是无穷小量较容易,
即不等式 易于求解.
例题
例题 1 ,证明 的极限为 .
分析
本题实际上是单项式 与指数 的阶的比较;由于指数的阶比多项式高,二者的比值便是一个无穷小量. 为比较 与 的大小,我们利用二项式定理构建二者之间的联系. 将 展开,
考虑其中的项 . 如果将 固定,那么 可以看作关于 的 次多项式. 而分子中 的幂次为 ,因此只要取 ,便可在放缩后使得分母的幂次高于分子,这是“适当”放缩的关键. 当 时,
至此,想要解 仍然比较困难,我们需要继续对分母进行放缩. 注意到,只要将分母的幂次保持在 ,任何放缩都是“适当”的. 我们的目标是将分母变成单项式,不难想到,当 时,有
至此, 可以轻松求解,放缩完毕.证明
讨论
同学们从本题开始就应该建立起对无穷小(大)量的阶的概念. 本题的结论也具有一般性. 一般地,作为无穷大量,指数阶高于多项式阶,只要指数的底大于 . 用数学语言描述就是,一个多项式数列与一个指数数列的比值是一个无穷小量. 其一般形式的证明,也利用了二项式定理.
设指数数列为 ,多项式数列的最高幂次为 ,对 使用二项式定理,
对任意固定的 ,当 时,项 中 是一个确定的系数,而 是一个关于 的 次多项式. 因此只要取 , 便可被“适当缩小”为一个 次多项式,其幂次大于 ,因此,指数数列的阶高于多项式数列.
下面的题目留作练习,将在下篇文章中公布答案和解析.
练习 2 设 ,证明 的极限为 .
- ,
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