精华内容
下载资源
问答
  • 利用导数定义求极限2.判断连续与可导的关系3.关于导数定义的证明题4.基本复合函数求导5. 基本高阶求导6. 抽象函数求导 1. 利用导数定义求极限 导数的两种定义 f′(x0)f'{(x_0)}f′(x0​) = lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x...

    DAY 3.

    一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量,而是虚荣嫉妒不甘心

    1. 利用导数定义求极限

    导数的两种定义

    1. f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f(x0) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} limxx0xx0f(x)f(x0)
    2. f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f(x0) = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0+Δx)f(x0)

    解题基本用到的是上面两种形式的思想。

    例题1
    求 A = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x − Δ x ) − f ( x ) Δ x \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{ \Delta x} Δxf(xΔx)f(x) 的极限

    这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号 f ( x + Δ x ) f(x + \Delta x) f(x+Δx)所以很显然我们要凑第二类导数的定义

    解:
    A = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x 0 − Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0Δx)f(x0)

    = lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx0 f ( x 0 + ( − Δ x ) ) − f ( x 0 ) − Δ x \frac{f(x_0 +(- \Delta x)) - f(x_0)}{ -\Delta x} Δxf(x0+(Δx))f(x0) *(-1)

    = f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0) * (-1)

    = - f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)

    例题2
    如果 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 ,且 f ′ ( 0 ) f'(0) f(0)存在,求A = lim ⁡ x → 0 f ( x ) x \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} limx0xf(x)

    解:由题意得

    A = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − 0 x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 0}{x - 0} limx0x0f(x)0

    = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} limx0x0f(x)f(0)

    = f ′ ( 0 ) f'(0) f(0)

    例题3
    求A = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} limh0hf(x0+h)f(x0h)

    解:原式

    = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) + f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) +f(x_0)- f(x_0 - h)}{h} limh0hf(x0+h)f(x0)+f(x0)f(x0h)

    = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) }{h} limh0hf(x0+h)f(x0) - lim ⁡ h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} limh0hf(x0h)f(x0)

    = f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0) - lim ⁡ h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} limh0hf(x0h)f(x0)

    = f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0) - (- f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0))

    =2 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)

    2.判断连续与可导的关系

    可导一定连续,连续不一定可导

    一般有两种题型:

    1. f ( x ) = { . . . ( x ! = x 0 ) . . . ( x = x 0 ) f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x != x_0) \\ ... & & (x = x_0) \\ \end{aligned} \right. f(x)={......(x!=x0)(x=x0)

    例题4

    讨论 f ( x ) = { 0 x=0 x 2 s i n 1 x x!=0 f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0}\\x^2sin\frac{1}{x}& \text{x!=0} \end{cases} f(x)={0x2sinx1x=0x!=0 的连续性与可导性

    解:依题意得该函数的断点为 x = 0

    则: lim ⁡ x → 0 x 2 sin ⁡ 1 x \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} limx0x2sinx1 = 0
    (DAY 1.中的一个重要结论 无穷小量*有界函数 = 0)
    由此可知该函数连续。
    而: f ′ ( 0 ) f'(0) f(0) = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} limx0x0f(x)f(0) = lim ⁡ x → 0 x 2 sin ⁡ 1 x − 0 x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0} limx0x0x2sinx10 = 0
    所以该函数也可导

    1. f ( x ) = { . . . ( x ≤ x 0 ) . . . ( x > x 0 ) f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x \le x_0) \\ ... & & (x > x_0) \\ \end{aligned} \right. f(x)={......(xx0)(x>x0)

    例题5

    f ( x ) = { x 2 x <= 1 a x + b x>1 f(x)=\begin{cases} x^2& \text{x <= 1}\\ax+b& \text{x>1} \end{cases} f(x)={x2ax+bx <= 1x>1 在 x = 1处可导,求a,b

    解:首先函数可导则一定连续

    可得, lim ⁡ x → 1 a x 2 + b = f ( 1 ) = 1 \lim_{x \to 1} ax^2 + b = f(1) = 1 limx1ax2+b=f(1)=1 可推 ⇒ \Rightarrow a + b = 1
    然后,函数可导,则左右导数相等;
    利用定义求导可得,
    f ′ ( 1 − ) = lim ⁡ x → 1 − f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} f(1)=limx1x1f(x)f(1) = lim ⁡ x → 1 − x 2 − 1 x − 1 \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} limx1x1x21 = 2

    f ′ ( 1 + ) = lim ⁡ x → 1 + f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} f(1+)=limx1+x1f(x)f(1)

    = lim ⁡ x → 1 + a x + b − 1 x − 1 \lim_{x \to 1^+} \frac{ax +b - 1}{x - 1} limx1+x1ax+b1

    = lim ⁡ x → 1 + ( 1 − b ) x + b − 1 x − 1 \lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)x +b - 1}{x - 1} limx1+x1(1b)x+b1

    = lim ⁡ x → 1 + ( 1 − b ) ( x − 1 ) x − 1 \lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)(x - 1)}{x - 1} limx1+x1(1b)(x1)

    = 1-b
    所以: 1 - b = 2 ⇒ \Rightarrow b = -1
    由于:a + b = 1 ⇒ \Rightarrow a = 2

    3.关于导数定义的证明题

    例题6
    设 f (x) 满足条件:

    1. f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ; x , y ∈ R f(x + y) = f(x)f(y) ; x,y \in R f(x+y)=f(x)f(y);x,yR
    2. f ( x ) = 1 + x g ( x ) , lim ⁡ x → 0 g ( x ) = 1 f(x) = 1+xg(x), \lim_{x \to 0} g(x) = 1 f(x)=1+xg(x),limx0g(x)=1
      证明f(x)在 R 上处处可导,且 f ′ ( x ) = f ( x ) f'(x) = f(x) f(x)=f(x)

    解: f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} f(x)=limΔx0Δxf(x+Δx)f(x)

    = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x ) f ( Δ x ) − f ( x ) Δ x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)f( \Delta x) - f(x)}{\Delta x} limΔx0Δxf(x)f(Δx)f(x)

    = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x ) ( f ( Δ x ) − 1 ) Δ x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)(f( \Delta x) - 1)}{\Delta x} limΔx0Δxf(x)(f(Δx)1)

    = f ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 f ( Δ x ) − 1 Δ x f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( \Delta x) - 1}{\Delta x} f(x)limΔx0Δxf(Δx)1

    = f ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 1 + Δ x g ( Δ x ) − 1 Δ x f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + \Delta x g(\Delta x)- 1}{\Delta x} f(x)limΔx0Δx1+Δxg(Δx)1

    = f ( x ) lim ⁡ Δ x → 0 g ( Δ x ) f(x)\lim_{\Delta x \to 0} g(\Delta x) f(x)limΔx0g(Δx)

    = f ( x ) f(x) f(x)

    证毕

    4.基本复合函数求导

    在这里插入图片描述注意牢记基本公式

    5. 基本高阶求导

    和例题7安排在一起

    注意求导的先后次序,以及中间是否可以化简等,不骜述。

    6. 抽象函数求导

    例题7 包含第五点基本高阶求导

    y = f ( x 2 ) y = f(x^2) y=f(x2) d y d x , d 2 y d x 2 \frac{d_y}{d_x}, \frac{d^2{_y}}{d_x^2} dxdy,dx2d2y

    解:

    d y d x \frac{d_y}{d_x} dxdy = f ′ ( x 2 ) ∗ 2 x f'(x^2) * 2x f(x2)2x (先函数求导再中间量求导)

    d 2 y d x 2 \frac{d^2{_y}}{d_x^2} dx2d2y = ( f ′ ( x 2 ) ∗ 2 x ) ′ (f'(x^2) * 2x)' (f(x2)2x) (乘积的求导) = f ′ ′ ( x 2 ) ∗ 2 x ∗ 2 x + f ′ ( x 2 ) ∗ 2 f''(x^2) *2x *2x + f'(x^2) *2 f(x2)2x2x+f(x2)2 = 4 x 2 f ′ ′ ( x 2 ) + 2 f ′ ( x 2 ) 4x^2 f''(x^2) + 2f'(x^2) 4x2f(x2)+2f(x2)

    展开全文
  • 导数极限的本质

    千次阅读 2013-06-14 20:42:48
    ...省略了2年前写此文时最后吐槽教材,教育...方法背后的直观思想 又是什么。实际上一个方法如果将其最终最简洁的形式直接表达出来,往往丢掉了绝大多数信息,这个丢掉的信息就是问题解决背后的思维过程。



    省略了2年前写此文时最后吐槽教材,教育方法上不关注本质的做法。引用《暗时间》里的一段话作为结尾:

            坏资料的特点是好资料的反面:上来就讲方法细节,仿佛某方法是从天上掉下来的,他们往往这样写“我们定义......我们称......我们进行以下几个步骤......”。根本不讲为什么要用这个方法,人们最初是因为面对什么问题才想到这个方法的,其间又是怎么样才想出了这么个方法的,方法背后的直观思想又是什么。实际上一个方法如果将其最终最简洁的形式直接表达出来,往往丢掉了绝大多数信息,这个丢掉的信息就是问题解决背后的思维过程。

    展开全文
  • 高数重学笔记-1-极限思想

    千次阅读 2018-11-07 13:05:06
    由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会...数列和函数的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷) 导数和微分 ...

    由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会比较乱

    数列的定义
    数列的极限定义
    函数定点的极限定义

    对比两者发现超级像的

    这里是趋于定点的极限

    定点左右极限和极限的关系

    无穷大定义

    无穷大时候的极限

    这个将数列和函数联系起来

    海涅(Heine)定理

    证明:https://baike.baidu.com/item/海涅定理/8843389?fr=aladdin

    数列和函数(部分区域 或者说一定邻域内)的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷)

    利用绝对值不等式--

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    导数和微分

    前奏-非常重要,是后面所有理论的基石,极限的思想

    微分的形式跟这个很像.

    跟微分定义有关

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • ”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。 关于极限: 牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均...

    高等数学的基本思想:
    如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科,并且计算结果误差小到难于想像,因此可以忽略不计。

    关于极限:
    牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均速度,让Δt无限趋近于零,得到物体的瞬时速度。

    ΔS = s2 - s1 = s的差值 ,其中s是空间的意思
    Δt = t2 - t1 = t的差值 ,其中t是时间的意思
    所以,s/t == 距离/时间 == 速度
    so,当t无限接近0时,s/t能计算出瞬时速度。

    展开全文
  • 微积分基础-极限导数,反导数

    千次阅读 2020-04-12 21:53:10
    导数极限 例如: 现在只有一种方法可以证明,即几何上的证明(一种指的是仅有几何,没有物理,而几何上的证明方法有多种,比如夹逼定理或此处的“极短曲线可以看作直线”等) 2.2 连续 f 在 x0 点连续,定义为 x ->...
  • 7.三角函数的极限导数 7.1 三角函数的极限 7.1.1 小数的情况 7.1.2 小数情况的问题求解 例子: 总结 例子: 例子: 例子: 例子: 例子: 例子: 7.1.3 大数的情况 例子: 使用...
  • 三阶导数是说的原函数导数的凹凸性质。 还有就是o()很有意思,这个误差很重要。 模仿游戏 、面对巨人 博士热爱的算式 推荐数学电影 : http://www.360doc.com/content/18/0908/...
  • 微分和导数的关系

    千次阅读 2020-02-09 15:03:02
    微分和导数,我在初学的时候感觉概念虽然不复杂,但是始终有点模糊,比如以下一些问题就觉得模棱两可:对于导数的链式法则, ,可以理解为 可以约去,所以两者相等。但假如有 , ,通过消去我们是否可以推出 ? ,...
  • 导数和微分有什么区别 答案在如下一副图中 导数和微分 在不同时期有不同的定义 三种微积分 牛顿和莱布尼茨时代的微积分称之为古典微积分 ...在极限微积分中先有极限再有导数后有微分。先有导数再有切线。 数列-》极
  • 微分和导数的关系是什么?

    万次阅读 多人点赞 2017-08-21 21:44:44
    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可: 对于导数链式法则, dydx=dydududx \frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \frac {du}{dx} ,可以理解为约去du du ...
  • 导数

    2019-08-20 15:39:39
    体会这种不断逼近的思想 。 瞬时速度 为什么要求瞬时速度? 举例说明:如果一个骑摩托车的人突然撞上一棵树,撞树那一瞬间的速度(瞬时速度)可以决定他的生死;当一颗子弹打中目标的时,子弹碰到目标时的速度...
  • 金融随机分析系列,测度变换,Radon-Nicodym导数
  • 微分和导数

    千次阅读 2018-06-26 09:56:44
    在初学微分和导数时,虽然感觉概念不复杂,但是我对两者的关系有点模糊,比如以下问题就觉得模棱两可:对于导数链式法则, dydx=dydududxdydx=dydududx,可以理解为约去dudu,所以等式相等。但假如有F(x,y),dydx=...
  • 作为一名过来人,我相信高等数学是几乎所有上过大学数学又学的不那么好的同志的噩梦, ... 按照我们学过的极限加减运算法则解释——和的极限等于极限的和,这个题这样做好像完全没有 问题,但...
  • 极限思想

    千次阅读 2013-11-05 21:13:18
    极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果。  极限思想是微积分的基本思想,数学...
  • 多元函数与一元函数有一个很大的区别在于定义域的不同:一元函数自变量就在x轴上,因此趋近的方向只有某点的左右两侧,因此,考察一元函数极限的时候,仅考虑左邻域和右邻域即可。但是多变量微分变得复杂,趋向方式...
  • 2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求...
  • 导数和微分的区别与联系

    千次阅读 2020-03-02 20:35:48
    Derivative(导数),又名微商,是比值。 Differential method(微分),古典意义:变化量的线性部分,是增量。 图中导数即△y△x\bm{\frac{△y}{△x}}△x△y​, △x=dx△x = dx△x=dx, 微分是 dydx\bm{\frac{dy}{...
  • 我对导数的理解是,导数是对一个函数从平均变化率到瞬时变化率的一个逼近,蕴含着极限思想。 ①三种算法(单侧导数同理) lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{x\to x_0} \frac { f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 ...
  • 深度学习基础 - 导数

    千次阅读 2019-03-14 21:51:10
    深度学习的基础 - 导数 邵盛松 斜率 (图片来自wiki) k=tan⁡θ=y2−y1x2−x1=ΔyΔx k = \tan \theta = \frac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } = \frac { \Delta y } { \Delta x } k=...
  • 接上一篇博客,导数讲完之后,来讲微分 https://blog.csdn.net/weixin_40163242/article/details/89003225 话说微分这个概念是很容易被误解的。因为它往往是和导函数在一起出现的,所以,我大一的时候,那时没怎么...
  • 我们初高中学到的量都是“有限量”(虽然高中导数和定积分的定义也涉及极限,但讲授时往往不强调这一点),“有限量”的特点,即可以精准度量;而“无穷小量”则不是一个特定的数,其刻画的是一种趋向性,即当某个...
  • 导数

    2013-03-19 16:19:01
    当自变量的增量Δx=x-x0,Δx→0时函数增量Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率). 函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示...
  • 定义:当自变量x0在上产生一个增量Δx\Delta xΔx,函数值的增量Δy\Delta yΔy与自变量的增量Δx\Delta xΔx的比值在Δx\Delta xΔx趋近于0时的比值的极限存在,该极限即为函数在x0上的导数。 什么时候我们会使用...
  • 2020-12-05 旋转矩阵导数的推导过程

    千次阅读 2020-12-05 11:35:06
    本文不讲旋转矩阵导数的证明,直接讲其中一种推导过程。 对象:姿态旋转矩阵 坐标系定义: 本体坐标系 FB\mathcal F_{B}FB​, 参考坐标系 FR\mathcal F_{R}FR​ 欧拉旋转定理: FB\mathcal F_{B}FB​ 相对于 FR\...
  • 导数与微分、梯度

    2020-10-26 12:24:35
    1、高阶、低阶、同阶、k阶、等价...2、极限->导数->微分 2.1导数的定义 f′(x)=lim⁡n→∞f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}f′(x)=n→∞lim​Δxf(x+Δx)−f
  • 优化算法笔记02:差分近似导数

    千次阅读 2018-10-07 17:15:58
    标量的导数是向量,标量的偏导数是标量; 向量的导数是矩阵,向量的偏导数是向量。   比如,函数 套一个具体的函数:,这个函数求导很简单,导数是一个三阶单位矩阵,本文只是拿它来举例说明。 此函数可以写...
  • 武忠祥:微分中值定理及导数应用 汤家凤:一元函数微分学的应用 一、微分中值定理 费马引理 罗尔定理 闭区间连续,开区间可导 对于罗尔定理,设函数在定义域内有最大值M和最小值m 1、m=M时,即函数为常函数,任...
  • 导数,微分,梯度的简单理解

    千次阅读 2019-07-23 09:45:39
    导数(Derivative),是微积分中的重要基础概念,当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限。 几何意义:导数描述了一个函数在某一点附近...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,562
精华内容 1,024
关键字:

导数极限思想