高等数学的基本思想：

如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
关于极限：

牛顿用’路程的改变量ΔS‘与’时间的改变量Δt‘之比 “” 表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度。

ΔS = s2 - s1 = s的差值 ，其中s是空间的意思

Δt = t2 - t1 = t的差值 ，其中t是时间的意思

所以，s/t  ==  距离/时间  == 速度

so，当t无限接近0时，s/t能计算出瞬时速度。

由于最近学习复变函数发现自己的高数基础很模糊,所以重新学习,其中只挑个人认为比较重要的定义定理,顺序也会比较乱





对比两者发现超级像的
这里是趋于定点的极限

无穷大定义

这个将数列和函数联系起来

证明:https://baike.baidu.com/item/海涅定理/8843389?fr=aladdin
数列和函数(部分区域 或者说一定邻域内)的极限性质 (无穷大的有没有一致不知道,毕竟分为正无穷和负无穷)




导数和微分
前奏-非常重要,是后面所有理论的基石,极限的思想
微分的形式跟这个很像.

【考试要求】
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；
2.体会极限思想；
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；
6.会使用导数公式表.
【规律方法】
1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
【规律方法】1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
【反思与感悟】
1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.
2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.
3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.

大家好，这里是小张老师. 在计算数列极限中，有以下几种常用的方法：直接法、放缩法、两边夹法、阶比较法等. 下面小张老师将详细为大家介绍"放缩法".
放缩法
放缩法即“适当放大”. 如果我们的目标是证明 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} = a$，那么最直接的思路便是解不等式 $|x_{n} - a| < \epsilon$. 这个不等式在绝大多数情况下是不可严格解出的，因此我们需要弱化这个问题. 注意到在数列极限的定义中，我们不需要严格地解出上面的不等式，只需要找到一个 $N \in \mathbb{N}_{+}$，使得当 $n > N$ 时，不等式成立，即找不等式解集的一个子集即可.
如果可以将 $| x_{n} - a |$ 放大成 $f(n)$，且不等式 $f(n) < \epsilon$ 较容易解出，那么我们便得到了一种求原不等式解集的子集的方式. 当然，我们必须对 $\{f(n)\}$ 做一定的限制. 所谓“适当”放大，就是在保证 $\{f(n)\}$ 仍是一个无穷小量的前提下，对目标极限进行放缩：$| x_{n} - a | \leq f(n)$（在数列有限项之后成立也可）. 如果不能保证 $\{f(n)\}$ 是一个无穷小量，那么就是“放缩过度”.
综上所述
适当放大法就是要找一个辅助数列 $f(n)$，满足：


$| x_{n} - a | \leq f(n)$，

对数列的任意项或在数列的有限项之后成立；
$\{f(n)\}$ 仍是一个无穷小量，且证明其是无穷小量较容易，


即不等式 $f(n) < \epsilon$ 易于求解.

例题
例题 1  $x_{n} = \frac{n^5}{2^n}$，证明 $\{ x_{n} \}$ 的极限为 $0$.
分析
本题实际上是单项式 $n^5$ 与指数 $2^n$ 的阶的比较；由于指数的阶比多项式高，二者的比值便是一个无穷小量. 为比较 $2^n$ 与 $n^5$ 的大小，我们利用二项式定理构建二者之间的联系. 将 $2^n$ 展开，

$2^n = (1+1)^n = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \cdots + C_{n}^{n}.$

考虑其中的项 $C_{n}^{k}~(k < n)$. 如果将 $k\in\mathbb{N}_{+}$ 固定，那么 $C_{n}^{k}$ 可以看作关于 $n$ 的 $k$ 次多项式. 而分子中 $n$ 的幂次为 $5$，因此只要取 $k=6$，便可在放缩后使得分母的幂次高于分子，这是“适当”放缩的关键. 当 $n > 6$ 时，

$\vert\frac{n^5}{2^n}\vert = \frac{n^5}{2^n} < \frac{n^5}{C_{n}^{6}}
= \frac{6! , n^5}{n(n-1) \cdots (n-5)}
= \frac{6! , n^4}{(n-1) \cdots (n-5)}.$

至此，想要解 $\frac{6! \, n^4}{(n-1) \cdots (n-5)} < \epsilon$ 仍然比较困难，我们需要继续对分母进行放缩. 注意到，只要将分母的幂次保持在 $5$，任何放缩都是“适当”的. 我们的目标是将分母变成单项式，不难想到，当 $n > 10$ 时，有

$(n-1) \cdots (n-5) > (n-5)^5 > \left(\frac{n}{2}\right)^5
= \frac{n^5}{2^5}.$

至此，$\frac{6! \, 2^5}{n} < \epsilon$ 可以轻松求解，放缩完毕.
证明

讨论
同学们从本题开始就应该建立起对无穷小（大）量的阶的概念. 本题的结论也具有一般性. 一般地，作为无穷大量，指数阶高于多项式阶，只要指数的底大于 $1$. 用数学语言描述就是，一个多项式数列与一个指数数列的比值是一个无穷小量. 其一般形式的证明，也利用了二项式定理.
设指数数列为 $\{ (1+a)^n \}~(a>0)$，多项式数列的最高幂次为 $k$，对 $(1+a)^n$ 使用二项式定理，

$(1+a)^n = 1 + C_{n}^{1} a + C_{n}^{2} a^2 + \cdots + C_{n}^{n-1} a^{n-1} + a^n.$

对任意固定的 $m \in \mathbb{N}_{+}$，当 $n>m$ 时，项 $C_{n}^{m} \, a^m$ 中 $a^m$ 是一个确定的系数，而 $C_{n}^{m}$ 是一个关于 $n$ 的 $m$ 次多项式. 因此只要取 $m = k+1$，$2^n$ 便可被“适当缩小”为一个 $(k+1)$ 次多项式，其幂次大于 $k$，因此，指数数列的阶高于多项式数列.

下面的题目留作练习，将在下篇文章中公布答案和解析.
练习 2 设 $x_{n} = \sqrt[n]{n}$，证明 $\{ x_{n} \}$ 的极限为 $1$.