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  • 二阶导数验证最大值最小值

    千次阅读 2019-10-08 22:32:16
    如果$\Delta$,则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值要么都大于0,要么都小于0,取决于$a$的值,当$a>0$时,$w$存在最小值,当$a$时,存在最大值。 转载于:...

    对于$w=ax^2+bxy+cy^2$,可以将其化简为:

    $$w=\frac{1}{4a}\left[4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2+\left(4ac-b^2\right)y^2\right]$$

    该式由两个平方项组成,其中$4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2\ge0$,$\left(4ac-b^2\right)y^2$的符号不确定。当两个平方项的系数都为正数的时候存在极值点,当$a\ge0$时,有极大值,当$a\le0$时,有极小值。一正一负的时候存在鞍点(saddle point),当$\left(4ac-b^2\right)y^2=0$的时候暂时不能确定。

    上式同样可以化简为:

    $$w=y^2\left[a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c\right]$$

    其中,$y^2\ge0$,$\Delta=b^2-4ac$,如果$\Delta>0$,则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值可能大于0,也可能小于0,也就意味着$w$存在鞍点;如果$\Delta<0$,则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值要么都大于0,要么都小于0,取决于$a$的值,当$a>0$时,$w$存在最小值,当$a<0$时,存在最大值。

    转载于:https://www.cnblogs.com/lengyue365/p/4929236.html

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  • 2020_2021学年高中数学第三章导数应用2.2最大值最小值问题课后作业含解析北师大版选修2_2202102051140
  • 2020_2021学年高中数学第四章导数应用2.2最大值最小值问题课时作业含解析北师大版选修1_1202102192209
  • 2020_2021学年高中数学第三章导数应用3.2.2最大值最小值问题课时素养评价含解析北师大版选修2_2202103031132
  • 函数的最大值和最小值导数教学设计.doc
  • 你好,欢迎来到我的《数学通识50讲》,这一讲我们学习如何用变化的眼光找到最优答案。今天高等数学最常见的一个应用是对...其实它最简单的形态大家都不陌生,就是一个函数的最大值最小值。由于这两个问题是对...

    你好,欢迎来到我的《数学通识50讲》,这一讲我们学习如何用变化的眼光找到最优答案。

    今天高等数学最常见的一个应用是对这种现实的问题实现最优化,比如炙手可热的机器学习,其实就是对一个目标函数实现最优化的过程。此外,金融上的结构化投资产品,商业上的博弈论,企业管理中的各种规划,其实也都是不同形式的最优化。

    那么什么是最优化?其实它最简单的形态大家都不陌生,就是求一个函数的最大值或最小值。由于这两个问题是对称的,解法类似,因此我们就以求最大值为例来说明。

    对于一个有限的集合,求最大值是一件很容易的事情,比如在计算机计算问题中就有很多寻找最大值的算法。所有那些算法的一个核心思想,就是比较大小。如果有一个元素在直接或者间接地和其它的元素对比后,它比谁都多,它就是最大值。

    这是一种寻找最大值的思想,但在一个有无限集合的函数中就不大灵了,因为你不可能穷尽所有的可能性。那么怎么办呢?这时我们在中学里就要开始学习解题技巧了。

    一般人如何求解最大值?

    最著名的解题技巧就是计算抛物线的最大值。比如一个抛物线函数是:y =-x^2+4x,它的最大值是多少?

    从直觉我们可以猜出来这个函数的最大值是存在的,因为我们至少有两个理由:

    1. 无论x是一个什么样有限的数,y都不可能是正的无穷大,而是一个有限的数;
    2. 当x趋于正无穷,或者负无穷时,y都是负无穷大。

    因此我们猜想这个函数应该是两头小,中间大,而且中间是有最大值存在的,但是真让我们找到那个最大值,又无从下手。

    很多人会代入几个数字试一试,比如让x=0,我们知道y 也等于零。如果x=1,那么y=3,增加了一些。如果x再增加到2,y会增加到4,但是再往后,y似乎就要往下走了。那么我们能说y的最大值就是4吗?把这个函数对应的曲线画在坐标上,能看出最大值就是4附近:

    7a75b64023ef8f63be57d7d9fca4bff5.png

    但是我们前面说了,在数学上我们不能通过测量得到结论,是要证明的。那么怎么证明呢?在中学里,老师会讲这样一个技巧,我把步骤放在文稿中了,大家有兴趣可以看一下:

    1. 我们把y=-x^2+4x重新组织一下,就得到y=-(x-2)^2+4。推导的过程我就省略了。
    2. 在这个式子里,我们知道(x-2)^2只可能大于零,或者等于零,因此乘以-1之后,-(x-2)^2只可能小于零,或者等于零。后面的4是个常数,不影响y的取值。
    3. 于是y的最大值就是当-(x-2)^2=0的时候,这时y=4。

    总之,老师教的这个技巧能解决一批同类的抛物线的问题,但是遇到其它的问题,这种技巧还是无能为力。比如要问下面这个函数y=x^3-12x^2+4x+8在0到15之间有没有最大值或者最小值,上面的方法就不灵了。

    b9ea4f9daf26beb5b95fdd319375d4cb.png

    因此,靠这样掌握了某个技巧考了高分,也不值得沾沾自喜,因为那种经验很难推广用来解决一般性问题。

    在伽利略之前,人类其实没有太多的最优化问题要解决。但是到了伽利略和开普勒那个年代,人们就在物理学和天文学中遇到很多最优化问题了,比如计算行星运动的近日点和远日点距离、弹道的距离、望远镜透镜曲率和放大倍数的关系等等。这时就需要系统地解决最优化问题,而不能单靠一些技巧。这个难题就留给了牛顿。

    牛顿怎么求解最大值?

    牛顿是怎么考虑这个问题的呢?他的伟大之处在于,他不像前人那样,将最优化问题看成是若干数量比较大小的问题,而看成是研究函数动态变化趋势的问题。这一点很重要。

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    怎么理解牛顿这个思想呢?我们还是从前面那个求抛物线最高点的问题讲起。为了方便起见,我们把关注点放在最高点附近的位置上,我把上面的曲线又放大画了一遍。

    我们在前面的课程讲到过,曲线瞬间变化的速率就是那一点切线的斜率,也就是它的导数。为了强化你对这个要点的理解,我特别将抛物线在最高点附近的斜率变化画出来,给你看一下:

    a6b89ae19a61788bc7750ce6636fb126.png

    在图中,上半部分就是前面说的抛物线,只是我为了让大家把曲线变化的细节看得更清楚,将它的横轴拉长了一倍。图中各种颜色的曲线,是一些点的切线。你可以看出,从左到右,抛物线的变化是由快到慢,到平缓,再到下降。而这些切线也是由陡峭变得平缓,在最高点变成了水平线,然后斜率就往下走了。

    如果量化地度量它们,在x=0这个点,切线的斜率,也就是相应点的导数是4。到x=0.5时,斜率或者说导数变成了3,然后变成了2,1,0,-1,-2,等等。因此如果我们把导数函数也画在图中,就是那根直的虚线。

    对比抛物线和它的导数(虚的直线),你是否发现了,曲线达到最高点的位置,就是切线变成水平的位置,或者说导数变为0的位置呢?

    如果你看到了这一点,恭喜你,说明你的目光很敏锐。那么这种现象是巧合么?不是!如果我们回到最大值的定义,对应导数的定义,就很容易理解这两件事情的一致性了。

    最大值的含义是说某个点a的函数值f(a)比周围点的数值都大,因此,如果我们从最大值的点往四周走一点点距离,就会发现那些点的函数值要比它小一点。在二维图上,就是和左右的点比较。

    左边的比它小,说明左边的点变化的趋势是向上,导数大于零,右边的也比它小,说明右边的点变化趋势向下,导数小于零。从大于零的数变成小于零的,中间经过导数为零的点,就是最大值所在。

    于是,寻找一个函数f(x)的最大值,就变成了一个寻找该函数的导数f’(x)等于零的问题。而后一个过程其实就是解方程,比前一个问题要容易。

    上面这种思路,就是牛顿在寻找最大值这件事情上,和前人所不同的地方。他不是直接解决那些很难的问题,而是把比较数大小的问题,变成了寻找函数变化拐点的问题,后一个问题要比前一个好解决。但是,将这两个问题等同起来,需要发明一种工具,叫做导数。

    有了导数这个工具,求最大值问题就变成了解方程的问题。这个方法的好处在于,它适用于任何函数。因此,我们不再需要针对每一种特定的函数,寻找一种解题技巧了。这也是为什么微积分是一种很强大的数学工具的原因。

    还是没有彻底解决?

    当然,我们昨天讲了,一个新的方法出来之后,常常免不了有一些破绽,用导数求最大值的方法也是如此。

    比如一个立方函数,f(x) = x^3,它的导数是f’(x) = 3x^2,显然当x=0时,它的导数变为了零。但是x=0这一点显然不是x^3最大值的点,因为我们知道立方函数的最大值最后是趋近于无穷大。

    为什么上述方法对于立方函数不管用了呢?我画一个图,大家就清楚了。

    在图中你会发现,立方函数一开始上升的斜率很大,然后逐渐变小,并且变为零。但是,在变为零以后,它没有再进一步变小进入负数的区间,而是又逐渐变大了。原因找到了,问题就好补救。

    我们只要在找到导数等于零那个点之后,看看它前后的点,是否发生了导数符号从正的到负的反转,如果发生了,它就是最大值的点,否则就不是最大值的点。这样就补救了一个漏洞。

    b9951b131453a3783a13f582284b8858.png

    用导数求最大值的方法还有其它的漏洞,比如下面这个函数。它有左右两个点,都满足导数等于零的条件,而且也都满足导数从正变成零,再变成负这个条件,但是最大值只能有一个。由于左边的那个点比右边的要高一些,因此左边的是真正的最大值,右边的是假的。

    d8ea1b5dd6fe449b2b45f0363206f3e8.png

    对于这种情况怎么办?首先,数学家们要更准确地定义什么是最大值。他们把最大值分成了两种,第一种被称为极大值,或者局部最大值,就是说只要一个点的函数值比周围都高就可以了。另一种才是我们原来理解的整个函数的最大值。

    因此,一个函数可以有多个极大值,但是只能有一个最大值。这样,谁是最大值的定义就没有矛盾了。

    但是接下来,数学家们需要给出,如何在很多的那个局部的极大值中找到最大值的方法。很遗憾,目前依然没有很好的方法系统性地解决这个问题,只能一个个比较。

    事实上,这也是今天计算机进行机器学习时遇到的一个很大的、尚未解决的问题,因为在很多时候,我们觉得经过计算机长期的训练,找到了最大值,但是后来发现所找到的不过是很多局部极大值中的一个而已。人们对于这一点的认知,后来给企业管理和创新带来了很多思考和启发。这个内容我们在最后一个模块会讲到。

    最后总结一下今天的内容。在过去,找最大值就是一个个地比较数字的大小,这就把数字变化看成是孤立的事件了,因此很难找到通用的求最大值的方法。

    牛顿等人通过考察函数变化趋势,发明了一种通过跟踪函数从低到高,再到平稳,最后再下降的变化,而求最大值的方法。这就让人类对事物的理解从静态,到动态了。这种方法的好处是,它是通用的,而不是针对具体问题的技巧。当然,这种方法有一些漏洞,因此我们要一一补上。

    到目前为止,我们关于微积分的主要思想就介绍完了,希望你通过这个工具,对世界的认识能够上到一个崭新的高度。下一讲我们会讲讲有关微积分的发明权之争,看看你从中会得到哪些启发。我们下一讲再见。——吴军《数学通识五十讲》

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  • 函数的最大值和最小值说课稿... 【教材分析】 1、本节教材的地位与作用 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会某些函数的最值,并且已...

    函数的最大值和最小值说课稿范文

      作为一名辛苦耕耘的教育工作者,通常需要准备好一份说课稿,借助说课稿可以有效提升自己的教学能力。写说课稿需要注意哪些格式呢?下面是小编整理的函数的最大值和最小值说课稿范文,希望能够帮助到大家。

    4d05dafdcb0ac94eaf6e3bda4a88a507.png

      【教材分析】

      1、本节教材的地位与作用

      本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值”,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题。这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义。

      2、教学重点

      会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值。

      3、教学难点

      高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法。

      4、教学关键

      本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点。

      【教学目标】

      根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标:

      1、知识和技能目标

      (1)理解函数的最值与极值的区别和联系。

      (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数f(x),在[a,b]上必有最大、最小值。

      (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤。

      2、过程和方法目标

      (1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值。

      (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处。

      (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值。

      3、情感和价值目标

      (1)认识事物之间的的区别和联系。

      (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题。

      (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神。

      【教法选择】

      根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的.相互作用。

      本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输。为突出重点,突破难点,这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。

      【学法指导】

      对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂活动中,充分发挥他们作为认知主体的作用。

      【教学过程】

      本节课的教学,大致按照“创设情境,铺垫导入——合作学习,探索新知——指导应用,鼓励创新——归纳小结,反馈回授”四个环节进行组织。

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    6.对数函数的图像和性质说课稿

    7.初中《函数的使用》说课稿

    幂函数的说课稿

    9.函数的单调性说课稿

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  • 2020_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.3.3最大值最小值课时素养评价含解析苏教版选修2_220210402113
  • 我想要什么我想找到一个固定点的列表,它们的值位置,以及它们是最小值还是最大值。我的功能如下:1234import numpy as npdef func(x,y):return (np.cos(x*10))**2 + (np.sin(y*10))**2方法以下是我想使用的方法:...

    我想要什么

    我想找到一个固定点的列表,它们的值和位置,以及它们是最小值还是最大值。

    我的功能如下:

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    4import numpy as np

    def func(x,y):

    return (np.cos(x*10))**2 + (np.sin(y*10))**2

    方法

    以下是我想使用的方法:

    实际上我已经在Mathematica上做了类似的事情。我将函数分一次,然后再分两次。我看一阶导数为0的点,计算它们的值和位置。然后在这些位置取二阶导数,检查它们是极小值还是极大值。

    我还想知道,是否只制作一个以x和y为单位的函数值的二维数组,并找到该数组的最大值和最小值。但这需要我知道如何精确地定义x和y网格,以便可靠地捕获函数的行为。

    对于后一种情况,我已经找到了类似这样的方法。

    我只是想知道,在Python中,哪种方法在效率、速度、准确性甚至优雅方面更有意义?

    你遗漏了数值优化方法,它介于这两种方法之间。

    在方法2中,如果我理解正确,您会将单调递增或递减函数的最后一个值解释为最大值/最小值,这似乎不像您想要的那样。如果一个用户输入函数具有这种单调区域,它也会被误解。方法1或优化方法对我来说最好。python已经为这两种方法提供了大量的工具。

    已经有一段时间了,但我认为您可以看看最陡峭、最体面的方法,它非常容易实现。还有很多实现它的python程序。

    find a list of the stationary points, of their values and locations, and of whether they are minima or maxima.

    这通常是一个无法解决的问题。方法1(符号)适用于此,但对于复杂的函数,不存在静止点的符号解(没有符号解两个方程的一般系统的方法)。符号解与辛

    对于像您的示例这样的简单函数,sympy可以正常工作。这是一个完整的例子,找到了平稳点,并根据黑森特征值对其进行分类。

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    5import sympy as sym

    x, y = sym.symbols("x y")

    f = sym.cos(x*10)**2 + sym.sin(y*10)**2

    gradient = sym.derive_by_array(f, (x, y))

    hessian = sym.Matrix(2, 2, sym.derive_by_array(gradient, (x, y)))

    到目前为止,Hessian是一个符号矩阵2:[[200*sin(10*x)**2 - 200*cos(10*x)**2, 0], [0, -200*sin(10*y)**2 + 200*cos(10*y)**2]]。接下来,我们将gradient等效为零,找到平稳点,并将它们逐个插入到hessian中。

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    13stationary_points = sym.solve(gradient, (x, y))

    for p in stationary_points:

    value = f.subs({x: p[0], y: p[1]})

    hess = hessian.subs({x: p[0], y: p[1]})

    eigenvals = hess.eigenvals()

    if all(ev > 0 for ev in eigenvals):

    print("Local minimum at {} with value {}".format(p, value))

    elif all(ev < 0 for ev in eigenvals):

    print("Local maximum at {} with value {}".format(p, value))

    elif any(ev > 0 for ev in eigenvals) and any(ev < 0 for ev in eigenvals):

    print("Saddle point at {} with value {}".format(p, value))

    else:

    print("Could not classify the stationary point at {} with value {}".format(p, value))

    最后一个条款是必要的,因为当hessian只是半定的时候,我们不知道什么样的固定点是(x**2 + y**4和x**2 - y**4在(0,0)处有相同的hessian,但行为不同)。输出:

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    16Saddle point at (0, 0) with value 1

    Local maximum at (0, pi/20) with value 2

    Saddle point at (0, pi/10) with value 1

    Local maximum at (0, 3*pi/20) with value 2

    Local minimum at (pi/20, 0) with value 0

    Saddle point at (pi/20, pi/20) with value 1

    Local minimum at (pi/20, pi/10) with value 0

    Saddle point at (pi/20, 3*pi/20) with value 1

    Saddle point at (pi/10, 0) with value 1

    Local maximum at (pi/10, pi/20) with value 2

    Saddle point at (pi/10, pi/10) with value 1

    Local maximum at (pi/10, 3*pi/20) with value 2

    Local minimum at (3*pi/20, 0) with value 0

    Saddle point at (3*pi/20, pi/20) with value 1

    Local minimum at (3*pi/20, pi/10) with value 0

    Saddle point at (3*pi/20, 3*pi/20) with value 1

    显然,solve并没有找到所有的解决方案(其中有无限多的解决方案)。考虑求解与求解集,但在任何情况下,处理无穷多的解都是困难的。用scipy进行数值优化

    Scipy提供了很多数值最小化的程序,包括蛮力(这是您的方法2;通常非常慢)。这些方法很有效,但要考虑这些要点。

    每次运行只能找到一个最小值。

    用-f替换f也可以找到最大值。

    更改搜索的起始点(minimize的参数x0)可能会产生另一个最大值或最小值。不过,你永远不会知道还有没有其他你还没有看到的极端。

    这些都找不到鞍点。

    混合策略

    使用lambdify可以将符号表达式转换为可以传递给scipy数值解算器的python函数。

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    3from scipy.optimize import fsolve

    grad = sym.lambdify((x, y), gradient)

    fsolve(lambda v: grad(v[0], v[1]), (1, 2))

    这将返回一个固定点,在本例中是[0.9424778 , 2.04203522]。这取决于最初的猜测,即(1,2)。通常(但并非总是)你会得到一个接近初始猜测的解决方案。

    与直接最小化方法相比,这有一个优点,即可以检测鞍点。不过,很难找到所有的解决方案,因为每次运行fsolve只会出现一个解决方案。

    谢谢你的回答。所以没有办法把符号和数字结合起来?比如,用符号变量将方程微分并求出设为0,然后用数值技术求解方程?

    这是可能的:见结尾的"混合策略"。

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  • 2021_2022学年新教材高中数学第5章导数及其应用5.3.3第1课时最大值最小值课时素养评价含解析苏教版选择性必修第一册
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  • 1、导数的全称是导函数,由于我们过于喜欢简称,把导数也称为导数 2、导函数的几何意义是计算曲线上任意一点的斜率 tangent、slope、 gradient,而水平的切线的斜率是0。 3、 有极大 maxima,或极小 ...
  • 紧接着课本给出了定理来描述极值点驻点的必然联系。 首先提到了费马引理,即,如果某函数在x0可导,且在x0处取得极值,那么f'x0=0,这就是定理1的大体意思。这就是可导函数取得极值的必要条件。 定理一(必要...
  • Chapter11:导数和图像

    2021-10-14 16:21:43
    11.导数和图像 一阶导数帮我们理解函数的最大值和最小值 二阶导数帮我们理解函数的凹凸性 11.1函数的极值 11.1.1 全局极值局部极值 全局极值 局部极值
  • matlab|求导数/最值

    千次阅读 2020-06-14 15:13:22
    本博文源于matlab求导数求极值最值,涉及内容极限命令求导/diff求导/一元函数一阶导数,多阶导数参数导数/函数极值最值/不给定区间最值
  • 求最小值

    2016-04-29 19:33:17
    最小值练习二1002
  • 此函数尝试使用导数的交替性质以及用户定义的阈值来快速而稳健地识别向量中的局部最大值最小值。 如代码注释中的示例所示,该函数能够在不到一秒的时间内正确识别 150 万个数据点噪声正弦波总和上的主要峰值。 ...
  • 本文介绍导数用于判断函数的单调性,凹凸性,极值函数的最大值最小值
  • 文章目录一、实验原理1、线性滤波2、非线性滤波3、标定方式二、设计思路1、线性滤波器2、 ...① 不管是低通线性滤波还是高通线性滤波原理都是一样的,用图一所示的滤波器模板进行加权处理,将最终得到的R赋给w5对...
  • 导数

    2017-07-05 14:36:26
    当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df(x0)/dx。 导数是函数的局部性质。一个函数在某...

空空如也

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