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  • 导数求最大值和最小值
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    2019-10-08 22:32:16

    对于$w=ax^2+bxy+cy^2$,可以将其化简为:

    $$w=\frac{1}{4a}\left[4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2+\left(4ac-b^2\right)y^2\right]$$

    该式由两个平方项组成,其中$4a^2\left(x+\frac{b}{2a}y\right)^2\ge0$,$\left(4ac-b^2\right)y^2$的符号不确定。当两个平方项的系数都为正数的时候存在极值点,当$a\ge0$时,有极大值,当$a\le0$时,有极小值。一正一负的时候存在鞍点(saddle point),当$\left(4ac-b^2\right)y^2=0$的时候暂时不能确定。

    上式同样可以化简为:

    $$w=y^2\left[a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c\right]$$

    其中,$y^2\ge0$,$\Delta=b^2-4ac$,如果$\Delta>0$,则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值可能大于0,也可能小于0,也就意味着$w$存在鞍点;如果$\Delta<0$,则$a\left(\frac{x}{y}\right)^2+b\left(\frac{x}{y}\right)^2+c$的值要么都大于0,要么都小于0,取决于$a$的值,当$a>0$时,$w$存在最小值,当$a<0$时,存在最大值。

    转载于:https://www.cnblogs.com/lengyue365/p/4929236.html

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    函数的最值问题是考试中经常出现的题型,那么遇到这类问题时我们应该怎么做呢?

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    高中函数求最值的方法

    1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

    2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程。由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

    3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性,再求最值。

    4、利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立。

    5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值。还有三角换元法,参数换元法。

    6、数形结合法形:如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值。求利用直线的斜率公式求形如的最值。

    7、利用导数求函数最值:首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系:若f(x)=f(-x),偶函数;若f(x)=-f(-x),奇函数。

    函数最值简介

    一般的,函数最值分为函数最小值与函数最大值。

    最小值

    设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意实数x∈I,都有f(x)≥M,②存在x0∈I。使得f(x0)=M,那么,我们称实数M是函数y=f(x)的最小值。

    最大值

    设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意实数x∈I,都有f(x)≤M,②存在x0∈I。使得f(x0)=M,那么,我们称实数M是函数y=f(x)的最大值。

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    7.1.1 分段线性插值

    所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线,这也是计算机绘制图形的基本原理。实现分段线性插值不需编制函数程序,MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下:

    interp1(x,y,xi) 一维插值

    ◆ yi=interp1(x,y,xi)

    对一组点(x,y) 进行插值,计算插值点xi的函数值。x为节点向量值,y为对应的节点函数值。如果y 为矩阵,则插值对y 的每一列进行,若y 的维数超出x 或 xi 的维数,则返回NaN。

    ◆ yi=interp1(y,xi)

    此格式默认x=1:n ,n为向量y的元素个数值,或等于矩阵y的size(y,1)。

    ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)

    method用来指定插值的算法。默认为线性算法。其值常用的可以是如下的字符串。

    ● nearest 线性最近项插值。

    ● linear 线性插值。

    ● spline 三次样条插值。

    ● cubic 三次插值。

    所有的插值方法要求x是单调的。x 也可能并非连续等距的。

    正弦曲线的插值示例:

    >> x=0:0.1:10;

    >> y=sin(x);

    >> xi=0:0.25:10;

    >> yi=interp1(x,y,xi);

    >> plot(x,y,’0’,xi,yi)

    则可以得到相应的插值曲线(读者可自己上机实验)。

    Matlab也能够完成二维插值的运算,相应的函数为interp2,使用方法与interpl基本相同,只是输入和输出的参数为矩阵,对应于二维平面上的数据点,详细的用法见Matlab联机帮助。

    7.1.2 最小二乘法拟合

    在科学实验的统计方法研究中,往往要从一组实验数据中寻找出自变量x 和因变量y之间的函数关系y=f(x) 。由于观测数据往往不够准确,因此并不要求y=f(x)经过所有的点 ,而只要求在给定点上误差按照某种标准达到最小,通常采用欧氏范数作为误差量度的标准。这就是所谓的最小二乘法。在MATLAB中实现最小二乘法拟合通常采用polyfit函数进行。

    函数polyfit是指用一个多项式函数来对已知数据进行拟合,我们以下列数据为例介绍这个函数的用法:

    >> x=0:0.1:1;

    >> y=[ -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2 ]

    为了使用polyfit,首先必须指定我们希望以多少阶多项式对以上数据进行拟合,如果我们指定一阶多项式,结果为线性近似,通常称为线性回归。我们选择二阶多项式进行拟合。

    >> P= polyfit (x, y, 2)

    P=

    -9.8108 20.1293 -0.0317

    函数返回的是一个多项式系数的行向量,写成多项式形式为:

    为了比较拟合结果,我们绘制两者的图形:

    >> xi=linspace (0, 1, 100); %绘图的X-轴数据。

    >> Z=polyval (p, xi); %得到多项式在数据点处的值。

    当然,我们也可以选择更高幂次的多项式进行拟合,如10阶:

    >> p=polyfit (x, y, 10);

    >> xi=linspace (0, 1,100);

    >> z=ployval (p, xi);

    读者可以上机绘图进行比较,曲线在数据点附近更加接近数据点的测量值了,但从整体上来说,曲线波动比较大,并不一定适合实际使用的需要,所以在进行高阶曲线拟合时,“越高越好”的观点不一定对的。

    7.2 符号工具箱及其应用

    在数学应用中,常常需要做极限、微分、求导数等运算,MATLAB称这些运算为符号运算。MATLAB的符号运算功能是通过调用符号运算工具箱 (Symbolic Math Toolbox)内的工具实现,其内核是借用Maple数学软件的。MATLAB的符号运算工具箱包含了微积分运算、化简和代换、解方程等几个方面的工具,其详细内容可通过MATLAB系统的联机帮助查阅,本节仅对它的常用功能做简单介绍。

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  • 你好,欢迎来到我的《数学通识50讲》,这一讲我们学习如何用变化的眼光找到最优答案。今天高等数学最常见的一个应用是对...其实它最简单的形态大家都不陌生,就是一个函数的最大值最小值。由于这两个问题是对...

    你好,欢迎来到我的《数学通识50讲》,这一讲我们学习如何用变化的眼光找到最优答案。

    今天高等数学最常见的一个应用是对这种现实的问题实现最优化,比如炙手可热的机器学习,其实就是对一个目标函数实现最优化的过程。此外,金融上的结构化投资产品,商业上的博弈论,企业管理中的各种规划,其实也都是不同形式的最优化。

    那么什么是最优化?其实它最简单的形态大家都不陌生,就是求一个函数的最大值或最小值。由于这两个问题是对称的,解法类似,因此我们就以求最大值为例来说明。

    对于一个有限的集合,求最大值是一件很容易的事情,比如在计算机计算问题中就有很多寻找最大值的算法。所有那些算法的一个核心思想,就是比较大小。如果有一个元素在直接或者间接地和其它的元素对比后,它比谁都多,它就是最大值。

    这是一种寻找最大值的思想,但在一个有无限集合的函数中就不大灵了,因为你不可能穷尽所有的可能性。那么怎么办呢?这时我们在中学里就要开始学习解题技巧了。

    一般人如何求解最大值?

    最著名的解题技巧就是计算抛物线的最大值。比如一个抛物线函数是:y =-x^2+4x,它的最大值是多少?

    从直觉我们可以猜出来这个函数的最大值是存在的,因为我们至少有两个理由:

    1. 无论x是一个什么样有限的数,y都不可能是正的无穷大,而是一个有限的数;
    2. 当x趋于正无穷,或者负无穷时,y都是负无穷大。

    因此我们猜想这个函数应该是两头小,中间大,而且中间是有最大值存在的,但是真让我们找到那个最大值,又无从下手。

    很多人会代入几个数字试一试,比如让x=0,我们知道y 也等于零。如果x=1,那么y=3,增加了一些。如果x再增加到2,y会增加到4,但是再往后,y似乎就要往下走了。那么我们能说y的最大值就是4吗?把这个函数对应的曲线画在坐标上,能看出最大值就是4附近:

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    但是我们前面说了,在数学上我们不能通过测量得到结论,是要证明的。那么怎么证明呢?在中学里,老师会讲这样一个技巧,我把步骤放在文稿中了,大家有兴趣可以看一下:

    1. 我们把y=-x^2+4x重新组织一下,就得到y=-(x-2)^2+4。推导的过程我就省略了。
    2. 在这个式子里,我们知道(x-2)^2只可能大于零,或者等于零,因此乘以-1之后,-(x-2)^2只可能小于零,或者等于零。后面的4是个常数,不影响y的取值。
    3. 于是y的最大值就是当-(x-2)^2=0的时候,这时y=4。

    总之,老师教的这个技巧能解决一批同类的抛物线的问题,但是遇到其它的问题,这种技巧还是无能为力。比如要问下面这个函数y=x^3-12x^2+4x+8在0到15之间有没有最大值或者最小值,上面的方法就不灵了。

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    因此,靠这样掌握了某个技巧考了高分,也不值得沾沾自喜,因为那种经验很难推广用来解决一般性问题。

    在伽利略之前,人类其实没有太多的最优化问题要解决。但是到了伽利略和开普勒那个年代,人们就在物理学和天文学中遇到很多最优化问题了,比如计算行星运动的近日点和远日点距离、弹道的距离、望远镜透镜曲率和放大倍数的关系等等。这时就需要系统地解决最优化问题,而不能单靠一些技巧。这个难题就留给了牛顿。

    牛顿怎么求解最大值?

    牛顿是怎么考虑这个问题的呢?他的伟大之处在于,他不像前人那样,将最优化问题看成是若干数量比较大小的问题,而看成是研究函数动态变化趋势的问题。这一点很重要。

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    怎么理解牛顿这个思想呢?我们还是从前面那个求抛物线最高点的问题讲起。为了方便起见,我们把关注点放在最高点附近的位置上,我把上面的曲线又放大画了一遍。

    我们在前面的课程讲到过,曲线瞬间变化的速率就是那一点切线的斜率,也就是它的导数。为了强化你对这个要点的理解,我特别将抛物线在最高点附近的斜率变化画出来,给你看一下:

    a6b89ae19a61788bc7750ce6636fb126.png

    在图中,上半部分就是前面说的抛物线,只是我为了让大家把曲线变化的细节看得更清楚,将它的横轴拉长了一倍。图中各种颜色的曲线,是一些点的切线。你可以看出,从左到右,抛物线的变化是由快到慢,到平缓,再到下降。而这些切线也是由陡峭变得平缓,在最高点变成了水平线,然后斜率就往下走了。

    如果量化地度量它们,在x=0这个点,切线的斜率,也就是相应点的导数是4。到x=0.5时,斜率或者说导数变成了3,然后变成了2,1,0,-1,-2,等等。因此如果我们把导数函数也画在图中,就是那根直的虚线。

    对比抛物线和它的导数(虚的直线),你是否发现了,曲线达到最高点的位置,就是切线变成水平的位置,或者说导数变为0的位置呢?

    如果你看到了这一点,恭喜你,说明你的目光很敏锐。那么这种现象是巧合么?不是!如果我们回到最大值的定义,对应导数的定义,就很容易理解这两件事情的一致性了。

    最大值的含义是说某个点a的函数值f(a)比周围点的数值都大,因此,如果我们从最大值的点往四周走一点点距离,就会发现那些点的函数值要比它小一点。在二维图上,就是和左右的点比较。

    左边的比它小,说明左边的点变化的趋势是向上,导数大于零,右边的也比它小,说明右边的点变化趋势向下,导数小于零。从大于零的数变成小于零的,中间经过导数为零的点,就是最大值所在。

    于是,寻找一个函数f(x)的最大值,就变成了一个寻找该函数的导数f’(x)等于零的问题。而后一个过程其实就是解方程,比前一个问题要容易。

    上面这种思路,就是牛顿在寻找最大值这件事情上,和前人所不同的地方。他不是直接解决那些很难的问题,而是把比较数大小的问题,变成了寻找函数变化拐点的问题,后一个问题要比前一个好解决。但是,将这两个问题等同起来,需要发明一种工具,叫做导数。

    有了导数这个工具,求最大值问题就变成了解方程的问题。这个方法的好处在于,它适用于任何函数。因此,我们不再需要针对每一种特定的函数,寻找一种解题技巧了。这也是为什么微积分是一种很强大的数学工具的原因。

    还是没有彻底解决?

    当然,我们昨天讲了,一个新的方法出来之后,常常免不了有一些破绽,用导数求最大值的方法也是如此。

    比如一个立方函数,f(x) = x^3,它的导数是f’(x) = 3x^2,显然当x=0时,它的导数变为了零。但是x=0这一点显然不是x^3最大值的点,因为我们知道立方函数的最大值最后是趋近于无穷大。

    为什么上述方法对于立方函数不管用了呢?我画一个图,大家就清楚了。

    在图中你会发现,立方函数一开始上升的斜率很大,然后逐渐变小,并且变为零。但是,在变为零以后,它没有再进一步变小进入负数的区间,而是又逐渐变大了。原因找到了,问题就好补救。

    我们只要在找到导数等于零那个点之后,看看它前后的点,是否发生了导数符号从正的到负的反转,如果发生了,它就是最大值的点,否则就不是最大值的点。这样就补救了一个漏洞。

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    用导数求最大值的方法还有其它的漏洞,比如下面这个函数。它有左右两个点,都满足导数等于零的条件,而且也都满足导数从正变成零,再变成负这个条件,但是最大值只能有一个。由于左边的那个点比右边的要高一些,因此左边的是真正的最大值,右边的是假的。

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    对于这种情况怎么办?首先,数学家们要更准确地定义什么是最大值。他们把最大值分成了两种,第一种被称为极大值,或者局部最大值,就是说只要一个点的函数值比周围都高就可以了。另一种才是我们原来理解的整个函数的最大值。

    因此,一个函数可以有多个极大值,但是只能有一个最大值。这样,谁是最大值的定义就没有矛盾了。

    但是接下来,数学家们需要给出,如何在很多的那个局部的极大值中找到最大值的方法。很遗憾,目前依然没有很好的方法系统性地解决这个问题,只能一个个比较。

    事实上,这也是今天计算机进行机器学习时遇到的一个很大的、尚未解决的问题,因为在很多时候,我们觉得经过计算机长期的训练,找到了最大值,但是后来发现所找到的不过是很多局部极大值中的一个而已。人们对于这一点的认知,后来给企业管理和创新带来了很多思考和启发。这个内容我们在最后一个模块会讲到。

    最后总结一下今天的内容。在过去,找最大值就是一个个地比较数字的大小,这就把数字变化看成是孤立的事件了,因此很难找到通用的求最大值的方法。

    牛顿等人通过考察函数变化趋势,发明了一种通过跟踪函数从低到高,再到平稳,最后再下降的变化,而求最大值的方法。这就让人类对事物的理解从静态,到动态了。这种方法的好处是,它是通用的,而不是针对具体问题的技巧。当然,这种方法有一些漏洞,因此我们要一一补上。

    到目前为止,我们关于微积分的主要思想就介绍完了,希望你通过这个工具,对世界的认识能够上到一个崭新的高度。下一讲我们会讲讲有关微积分的发明权之争,看看你从中会得到哪些启发。我们下一讲再见。——吴军《数学通识五十讲》

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