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  • 对数函数的导数:指数函数的导数: 2、求导数的法则(1)与差函数的导数:.由此得多项式函数导数(2)积的函数的导数:,特例[C·f(x)]'=Cf'(x)。如①已知函数的导数为,则_____(答:);②函数的导数为__________(答...

    f82f1c7e02b05a310cb681a958c2445d.png

    e6341f65469dbf0fa5e20a32785b7458.png

    1、常见函数的导数公式:

    常数函数的导数:7e97a425da01ed4cb2c8c27eb8bbc6d1.png

    幂函数的导数:11e34ba1f2979861992b803116b9a612.png

    如下:7068dbd29709fa4dc24533f930d3fb3e.png

    三角函数的导数:b05d9dafceac4c0876b617aa82dea9f7.png379be2e5f9be6cde26c5648b56d4511a.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    对数函数的导数: ec639f3042805e42982979b88a831994.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png  814bf8d4dfcb4f3caf704f43c7a465e1.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    指数函数的导数: ddb226acafeaefb988abc07b358dc60a.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png  4314575105533b6b1be632925a1fdf36.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    2、求导数的法则

    (1)和与差函数的导数:79fb8b90c54b8731a3d5631cb5b825b1.png

    由此得多项式函数导数73ee36ee52b6113c89f9985fb0194047.png 

    (2)积的函数的导数:f48b657bccb1007f8e45cb3ba0d956d2.pngf5aab05c6308348ad61d026df9041f8b.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    特例[C·f(x)]'Cf'(x)

    如①已知函数8994b3b23eca1c0d7c6c112390eaffe7.png的导数为964e88d65002ab781ce9f936cf788a3d.png,则4190c8c96cd4e88a0aaa401f3c15ade2.png_____(答:62cc52fdfc4464613d2ef61a45c2289d.png);

    函数198115c5959622b66a001b0dc932fdbb.png的导数为__________(答:556d1e21ae66e9b25f5dad01d85a0d18.png);

    ③若对任意71afabf308c6381c436b3044592e30e9.png582964eb664d437b6d9bf1bfdfcaef24.png,则56cdba058c53fc7472b8acf9eb19fe3a.png______(答:0228590477162a7c62053a554583570e.png)

    (3)商的函数的导数: 8366fed37e717e5c0e06ec759acf1c53.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    1、求下列导数

    (1)7f673657b4944de911df3ec1ccb1a58a.png

    (2)x · sin x · ln x

    (3)1aa0133e81e0c6745a6fdf7540b12dc1.png

    (4)3b4809a9b597dff2f8a338cf57af38a1.png

    (1)解析:7f673657b4944de911df3ec1ccb1a58a.png7cf7cfbb6b380c64217986ae841167c2.png

    36c50f521973d0d9dcf6760658ff11e8.png

    (2)y'(x · sin x · ln x) '(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '

              [x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )a95146bae25d344aad10909af9390208.png

    [sinx+xcosx]lnx+sinx

    总结:如遇求多个积的导数,可以逐层分组进行;求导数前的变形,目的在于简化运算;求导数后应对结果进行整理化简.

    (3)y'5b49b456bd21608dc91684cdff7bddea.png

    (4)∵3b4809a9b597dff2f8a338cf57af38a1.pngc134c67bd34d972ef53e30ffb39e4c0f.png

    y'bb9ce4c015ac94100529193b0d4a3952.png

    2、求函数的导数

     y=(2 x25 x 1)ex

     y93cb006be1f6bd8e507a0fcc473fe4d0.png

    解析: y'=(2 x25 x 1)′ex+(2 x25 x 1)(ex)′=(2x2x4)ex

    82e46903461ba5fa3bb10cf53d9b9312.png

    7ad6a76a4c67ef034c8356e4136d6fd7.png

    483ec751cd2558b7a36b194255fb893d.png

    y'e772b3ce83e89e6109012769b1f0e8c8.png

    总结: 求导数是在定义域内进行的.② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.

    3、已知曲线C3 x 42 x39 x24

    (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

    (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点?

    解析:(1)把1代入C的方程,求得=-4

    ∴切点为(1,-4).

    Y'12 x36 x218 x

    ∴切线斜率为12618=-12

    ∴切线方程为4=-12(x1),即

    y=-12 x 8

    9405b86f8cf9b3cc62bfec0ff7164313.png

    3 x 42 x9 x212 x 40

    (x 1) (x 2) (3 x 2)0

    1,-21acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png

    代入3 x 42 x 9 x 4,求得=-4320,即公共点为(1,-4)(切点),(-232),(1acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png0).

    除切点外,还有两个交点(-232)、(1acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png0).

    总结:直线和圆,直线和椭圆相切,可以用只有一个公共点来判定.一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线.因此,曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点.

    4、曲线Sx36 x 26哪一点切线的斜率最小?

    设此点为P(x0y0).证明:曲线S关于P中心对称.

    解析:y'3 x212 x 1

    6161d57ed04b7077bdedee9744e004fc.png2时,y′有最小值,故x 02

    PS知:y 0236 · 2226=-12

    即在P(2,-12)处切线斜率最小.

    Q(xy)∈S,即x36 x26

    则与Q关于P对称的点为R(4x,-24y),只需证R的坐标满足S的方程即可.

    (4x)36(4x)2(4x)6

    6448 x 12 x 36(168 x x2)+2

    =-6 x 30

    =-6 x624

    =-y24

    RS,由Q点的任意性,S关于点P中心对称.

    总结:本题考查导数的几何意义.求切点时,要将取最小值的x值代回原方程.

    5、一质点的运动方程为s(t)asint+bcost(a>0),若速度v(t)的最大值为b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png,且对任意的t0R,tt0t d12128369dc2d8f939da062477c0de2e.pngt0时速度相同,求ab的值。

    解析:v(t)s(t)acostbsint

    v(t)的最大值为b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png ∴a2+b2b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png

    又∵在tt0t d12128369dc2d8f939da062477c0de2e.pngt0时速度相同

    (a+b)(cost0sint0)0且对任意的t0Ra>0

    (a+b) 0,∴a30ca5ad77abf09cd2710c1296123a168.png,b=-30ca5ad77abf09cd2710c1296123a168.png

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    95e7a5f5fd26610ec70263ab3e01ca5a.png

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  • MATLAB提供了解决微分和积分微积分的各种方法,求解任何程度的...在下一章微分中,将计表达式的导数,并找到一个图的局部最大值和最小值。我们还将讨论求解微分方程。最后,在“整合/集成”一章中,我们将讨论积分微...

    MATLAB提供了解决微分和积分微积分的各种方法,求解任何程度的微分方程和极限计算。可以轻松绘制复杂功能的图形,并通过求解原始功能以及其衍生来检查图形上的最大值,最小值和其他固定点。

    本章将介绍微积分问题。在本章中,将讨论预演算法,即计算功能限制和验证限制属性。

    在下一章微分中,将计表达式的导数,并找到一个图的局部最大值和最小值。我们还将讨论求解微分方程。

    最后,在“整合/集成”一章中,我们将讨论积分微积分。

    计算极限

    MATLAB提供计算极限的limit函数。在其最基本的形式中,limit函数将表达式作为参数,并在独立变量为零时找到表达式的极限。

    例如,要计算函数f(x)=(x^3 + 5)/(x^4 + 7)的极限,因为x趋向于零。

    syms xlimit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    Trial>> syms x limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7)) ans = 5/7

    Shell

    limit函数落在符号计算域; 需要使用syms函数来告诉MATLAB正在使用的符号变量。还可以计算函数的极限,因为变量趋向于除零之外的某个数字。要计算 -

    b95d59c447a10cdd64e90241cba29f0c.png

    可使用带有参数的limit命令。第一个是表达式,第二个是数字 - x表示接近,这里它是a。

    例如,要计算函数f(x)=(x-3)/(x-1)的极限,因为x倾向于1。

    limit((x - 3)/(x-1),1)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    ans = NaN

    Shell

    下面再看另外一个例子,

    limit(x^2 + 5, 3)

    Shell

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    ans = 14

    Shell

    使用Octave计算极限

    以下是Octave版本的上述示例使用symbolic包,尝试执行并比较结果 -

    pkg load symbolic symbols x=sym("x");subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    ans = 0.7142857142857142857

    Shell

    验证极限的基本属性

    代数极限定理提供了极限的一些基本属性。这些属性如下 -

    dce4df287a27f1ccc569c2ffcc6ae2ac.png

    下面来考虑两个函数 -

    f(x) = (3x + 5)/(x - 3) g(x) = x^2 + 1.

    下面计算函数的极限,这两个函数的x趋向于5,并使用这两个函数和MATLAB验证极限的基本属性。

    例子

    创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

    syms x f = (3*x + 5)/(x-3);g = x^2 + 1;l1 = limit(f, 4)l2 = limit (g, 4)lAdd = limit(f + g, 4)lSub = limit(f - g, 4)lMult = limit(f*g, 4)lDiv = limit (f/g, 4)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    l1 = 17 l2 = 17 lAdd = 34 lSub = 0 lMult = 289 lDiv = 1

    Shell

    使用Octave验证极限的基本属性

    以下是Octave版本的上述示例使用symbolic包,尝试执行并比较结果 -

    pkg load symbolic symbols x = sym("x");f = (3*x + 5)/(x-3);g = x^2 + 1;l1=subs(f, x, 4)l2 = subs (g, x, 4)lAdd = subs (f+g, x, 4)lSub = subs (f-g, x, 4)lMult = subs (f*g, x, 4)lDiv = subs (f/g, x, 4)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    l1 = 17.0 l2 = 17.0 lAdd = 34.0 lSub = 0.0 lMult = 289.0 lDiv = 1.0

    Shell

    左右边界极限

    当函数对变量的某个特定值具有不连续性时,该点不存在极限。 换句话说,当x = a时,函数f(x)的极限具有不连续性,当x的值从左侧接近x时,x的值不等于x从右侧接近的极限值。

    对于x a的极限,从左侧即x接近a。 对于x> a的值,右极限被定义为x - > a的极限,从右边,即x接近a。 当左极限和右极限不相等时,极限不存在。

    下面来看看一个函数 -

    f(x) = (x - 3)/|x - 3|

    下面将显示

    d35eefc26e55138963993dffbedc2dfd.png

    不存在。MATLAB帮助我们以两种方式说明事实 -

    • 通过绘制函数图并显示不连续性。
    • 通过计算极限并显示两者都不同。

    通过将字符串“left”和“right”作为最后一个参数传递给limit命令来计算左侧和右侧的极限。

    例子

    创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

    f = (x - 3)/abs(x-3);ezplot(f,[-1,5])l = limit(f,x,3,'left')r = limit(f,x,3,'right')

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    a214baa8863ed0d3fcb0e69fd1540842.png

    显示以下输出结果 -

    Trial>> Trial>> f = (x - 3)/abs(x-3); ezplot(f,[-1,5]) l = limit(f,x,3,'left') r = limit(f,x,3,'right') l = -1 r = 1

    Shell

    MATLAB提供用于计算符号导数的diff命令。 以最简单的形式,将要微分的功能传递给diff命令作为参数。

    例如,计算函数的导数的方程式 -

    3a3160bfe72dcea41e4bd08b2e86462c.png

    例子

    创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

    syms t f = 3*t^2 + 2*t^(-2);diff(f)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    Trial>> syms t f = 3*t^2 + 2*t^(-2); diff(f) ans = 6*t - 4/t^3

    Shell

    以下是使用Octave 计算的写法 -

    pkg load symbolic symbols t = sym("t");f = 3*t^2 + 2*t^(-2);differentiate(f,t)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    ans = 6*t - 4/t^3

    Shell

    基本微分规则的验证

    下面简要说明微分规则的各种方程或规则,并验证这些规则。 为此,我们将写一个第一阶导数f'(x)和二阶导数f“(x)。

    以下是微分的规则 -

    规则 - 1

    对于任何函数f和g,任何实数a和b是函数的导数:

    h(x) = af(x) + bg(x)相对于x,由h’(x) = af’(x) + bg’(x)给出。

    规则 - 2

    sum和subtraction规则表述为:如果f和g是两个函数,则f'和g'分别是它们的导数,如下 -

    (f + g)' = f' + g' (f - g)' = f' - g'

    规则 - 3

    product规则表述为:如果f和g是两个函数,则f'和g'分别是它们的导数,如下 -

    (f.g)' = f'.g + g'.f

    规则 - 4

    quotient规则表明,如果f和g是两个函数,则f'和g'分别是它们的导数,那么 -

    69d620e4e9718c2ddf4574a7f7b05c05.png

    规则 - 5

    多项式或基本次幂规则表述为:如果y = f(x)= x^n,则 -

    38873c858b05efd053b6b82fa746fe58.png

    这个规则的直接结果是任何常数的导数为零,即如果y = k,那么为任何常数 -

    f' = 0

    规则 - 5

    chain规则表述为 - 相对于x的函数h(x)= f(g(x))的函数的导数是 -

    h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

    MATLAB

    例子

    创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

    syms x syms t f = (x + 2)*(x^2 + 3)der1 = diff(f)f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)der2 = diff(f)f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)der3 = diff(f)f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)der4 = diff(f)f = (x^2 + 1)^17der5 = diff(f)f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)der6 = diff(f)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到 以下结果 -

    f = (x^2 + 3)*(x + 2) der1 = 2*x*(x + 2) + x^2 + 3 f = (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3) der2 = (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3) f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) der3 = (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1) f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) der4 = (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2 f = (x^2 + 1)^17 der5 = 34*x*(x^2 + 1)^16 f = 1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6 der6 = -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

    Shell

    以下是对上面示例的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x=sym("x");t=sym("t");f = (x + 2)*(x^2 + 3) der1 = differentiate(f,x) f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) der2 = differentiate(f,t) f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) der3 = differentiate(f,x) f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) der4 = differentiate(f,x) f = (x^2 + 1)^17 der5 = differentiate(f,x) f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) der6 = differentiate(f,t)

    MATLAB

    指数,对数和三角函数的导数

    下表提供了常用指数,对数和三角函数的导数,

    6efc358d7247cbfdd59f4c206aa23e97.png

    例子

    创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

    syms x y = exp(x)diff(y)y = x^9diff(y)y = sin(x)diff(y)y = tan(x)diff(y)y = cos(x)diff(y)y = log(x)diff(y)y = log10(x)diff(y)y = sin(x)^2diff(y)y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)diff(y)y = exp(x)/sin(x)diff(y)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    y = exp(x) ans = exp(x) y = x^9 ans = 9*x^8 y = sin(x) ans = cos(x) y = tan(x) ans = tan(x)^2 + 1 y = cos(x) ans = -sin(x) y = log(x) ans = 1/x y = log(x)/log(10) ans = 1/(x*log(10)) y = sin(x)^2 ans = 2*cos(x)*sin(x) y = cos(3*x^2 + 2*x + 1) ans = -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2) y = exp(x)/sin(x) ans = exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

    Shell

    以下代码是上面代码的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x = sym("x"); y = Exp(x) differentiate(y,x) y = x^9 differentiate(y,x) y = Sin(x) differentiate(y,x) y = Tan(x) differentiate(y,x) y = Cos(x) differentiate(y,x) y = Log(x) differentiate(y,x) % symbolic packages does not have this support %y = Log10(x) %differentiate(y,x) y = Sin(x)^2 differentiate(y,x) y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1) differentiate(y,x) y = Exp(x)/Sin(x) differentiate(y,x)

    Shell

    计算高阶导数

    要计算函数f的较高导数,可使用diff(f,n)。

    计算函数的二阶导数公式为 -

    81607870b3da291e6f3492207bbf5446.png

    f = x*exp(-3*x);diff(f, 2)

    MATLAB

    MATLAB执行上面代码将返回以下结果 -

    ans = 9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

    Shell

    以下是使用Octave重写上面示例,代码如下 -

    pkg load symbolic symbols x = sym("x");f = x*Exp(-3*x);differentiate(f, x, 2)

    MATLAB

    例子

    在这个例子中,要解决一个问题。由给定函数y = f(x)= 3sin(x)+ 7cos(5x),来找出方程f“+ f = -5cos(2x)是否成立。

    创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

    syms x y = 3*sin(x)+7*cos(5*x); % defining the functionlhs = diff(y,2)+y; %evaluting the lhs of the equationrhs = -5*cos(2*x); %rhs of the equationif(isequal(lhs,rhs)) disp('Yes, the equation holds true');else disp('No, the equation does not hold true');enddisp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

    MATLAB

    运行文件时,会显示以下结果 -

    No, the equation does not hold true Value of LHS is: -168*cos(5*x)

    Shell

    以上是上面示例的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x = sym("x");y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x); % defining the functionlhs = differentiate(y, x, 2) + y; %evaluting the lhs of the equationrhs = -5*Cos(2*x); %rhs of the equationif(lhs == rhs) disp('Yes, the equation holds true');else disp('No, the equation does not hold true');enddisp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

    MATLAB

    查找曲线的最大和最小值

    如果正在搜索图形的局部最大值和最小值,基本上是在特定地点的函数图上或符号变量的特定值范围内查找最高点或最低点。

    对于函数y = f(x),图形具有零斜率的图上的点称为固定点。 换句话说,固定点是f'(x)= 0。

    要找到微分的函数的固定点,需要将导数设置为零并求解方程。

    示例

    要找到函数f(x)= 2x3 + 3x2 - 12x + 17的固定点

    可参考以下步骤 -

    首先输入函数并绘制图,代码如下 -

    syms x y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the functionezplot(y)

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    b986e1724ac74ef2ef68a778ee5af357.png

    以上是上面示例的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x = sym('x');y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");ezplot(y)print -deps graph.eps

    MATLAB

    我们的目标是在图上找到一些局部最大值和最小值,假设要找到图中间隔在[-2,2]的局部最大值和最小值。参考以下示例代码 -

    syms x y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17; % defining the functionezplot(y, [-2, 2])

    MATLAB

    执行上面示例代码,得到以下结果 -

    ff5f366b9fde1c3faa136b483e71ba3b.png

    以下是上面示例的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x = sym('x');y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");ezplot(y, [-2, 2])print -deps graph.eps

    MATLAB

    接下来,需要计算导数。

    g = diff(y)

    MATLAB

    MATLAB执行代码并返回以下结果 -

    g = 6*x^2 + 6*x - 12

    Shell

    以下是上面示例的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x = sym("x");y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;g = differentiate(y,x)

    MATLAB

    接下来求解导数函数g,得到它变为零的值。

    s = solve(g)

    MATLAB

    MATLAB执行代码并返回以下结果 -

    s = 1 -2

    Shell

    以下是上面示例的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x = sym("x");y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;g = differentiate(y,x)roots([6, 6, -12])

    MATLAB

    这与我们设想情节一致。 因此,要评估临界点x = 1,-2处的函数f。可以使用subs命令替换符号函数中的值。

    subs(y, 1), subs(y, -2)

    MATLAB

    MATLAB执行代码并返回以下结果 -

    ans = 10 ans = 37

    Shell

    以下是上面示例的Octave写法 -

    pkg load symbolic symbols x = sym("x");y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;g = differentiate(y,x)roots([6, 6, -12])subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

    MATLAB

    因此,在间隔[-2,2]中函数f(x)= 2x^3 + 3x^2 - 12x + 17的最小值和最大值分别为10和37。

    求解微分方程

    MATLAB提供了用于求解微分方程的dsolve命令。

    找到单个方程的解的最基本的dsolve命令形式是 -

    dsolve('eqn')

    MATLAB

    其中eqn是用于输入方程式的文本串。

    它返回一个符号解,其中包含一组任意常量,MATLAB标记C1,C2等等。

    还可以为问题指定初始和边界条件,以逗号分隔的列表遵循以下公式:

    dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)

    为了使用dsolve命令,导数用D表示。例如,像f'(t)= -2 * f + cost(t)这样的等式输入为 -

    'Df = -2*f + cos(t)'

    较高阶导数由D导数的顺序表示。

    例如,方程f"(x) + 2f'(x) = 5sin3x应输入为 -

    'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

    下面来看一个一阶微分方程的简单例子:y'= 5y。

    s = dsolve('Dy = 5*y')

    MATLAB执行代码并返回以下结果 -

    s = C2*exp(5*t)

    Shell

    再来一个二阶微分方程的例子:y“-y = 0,y(0)= -1,y'(0)= 2。

    dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

    MATLAB

    MATLAB执行代码并返回以下结果 -

    ans = exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2

    Shell

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  • 考纲原文1.导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系;...会闭区间上函数的最大值最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.知识点详解一、导数与函数...

    考纲原文

    1.导数在研究函数中的应用

    (1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

    (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

    2.生活中的优化问题

    会利用导数解决某些实际问题.

    知识点详解

    一、导数与函数的单调性

    一般地,在某个区间(a,b)内:

    (1)如果 f'(x)>0,函数f (x)在这个区间内单调递增;

    (2)如果f'(x)<0,函数f (x)在这个区间内单调递减;

    (3)如果f'(x)=0,函数f (x)在这个区间内是常数函数.

    注意:(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;

    f34ba02dadcf1528a445136a69491b64.png

    (3)函数f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)内恒成立,且 在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,在区间内的个别点处有f'(x)=0 ,不影响函数f (x)在区间内的单调性.

    二、利用导数研究函数的极值和最值

    1.函数的极值

    一般地,对于函数y=f (x),

    (1)若在点x=a处有f ′(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则称x=af (x)的极小值点, 叫做函数f (x)的极小值.

    (2)若在点x=b处有f'(b)=0,且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 ,则称x=bf (x)的极大值点, 叫做函数f (x)的极大值.

    (3)极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值.

    2.函数的最值

    函数的最值,即函数图象上最高点的纵坐标是最大值,图象上最低点的纵坐标是最小值,对于最值,我们有如下结论:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.

    设函数f(x) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:

    (1)求f(x)在(a,b)内的极值;

    (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

    3.函数的最值与极值的关系

    (1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言;

    (2)在函数的定义区间[a,b]内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者没有);

    (3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点;

    (4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

    三、生活中的优化问题

    生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.

    解决优化问题的基本思路是:

    1ee6bed2223b3ff9fe1d0a25b696f036.png

    考向分析

    考向一 利用导数研究函数的单调性

    1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式 f'(x)>0(f'(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤为:

    (1)求f ′(x);

    (2)确认f ′(x)在(a,b)内的符号;

    (3)作出结论,f'(x)>0 时为增函数,f'(x)<0时为减函数.

    注意:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

    2.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论,定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.

    3.由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法

    (1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;

    (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;

    (3)若已知f(x) 在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.

    4.利用导数解决函数的零点问题时,一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点,再利用导数判断在所给区间内的单调性,由此求解.

    考向二 利用导数研究函数的极值和最值

    1.函数极值问题的常见类型及解题策略

    (1)函数极值的判断:先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

    (2)求函数f(x)极值的方法:

    ①确定函数f(x)的定义域.

    ②求导函数f'(x).

    ③求方程f'(x)=0的根.

    ④检查 f'(x)在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x) 在这个根处取得极小值;如果f'(x) 在这个根的左、右两侧符号不变,则 fx() 在这个根处没有极值.

    (3)利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数f'(x),求方程f'(x)=0 的根的情况,得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围.

    2.求函数f (x)在[a,b]上最值的方法

    (1)若函数f (x)在[a,b]上单调递增或递减,f (a)与f (b)一个为最大值,一个为最小值.

    (2)若函数f (x)在区间(a,b)内有极值,先求出函数f (x)在区间(a,b)上的极值,与f (a)、f (b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

    (3)函数f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时,这个极值点就是最大(或最小)值点.

    注意:

    (1)若函数中含有参数时,要注意分类讨论思想的应用.

    (2)极值是函数的“局部概念”,最值是函数的“整体概念”,函数的极值不一定是最值,函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

    3.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法:

    85f61dbf10bed7662a612788c22006dc.png

    (2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.

    考向三 (导)函数图象与单调性、极值、最值的关系

    1.导数与函数变化快慢的关系:如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

    2.导函数为正的区间是函数的增区间,导函数为负的区间是函数的减区间,导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.

    考向四 生活中的优化问题

    1.实际生活中利润最大,容积、面积最大,流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点,且在极值点附近左增右减,则此时唯一的极大值就是最大值.

    2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手),将这一指标表示为自变量x的函数,利用导数或其他方法求出最值,但一定要注意自变量的取值范围.

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  • 方向导数:若u=f(x,y)在点(x0,y0)处可微分,则沿方向el=(cosα,cosβ)的导数为。 其中cos^2(α)+cos^2(β)=1。...某一点方向导数最大值,就是那一点梯度的膜,最小值则为相反数 在曲面切平面时

    方向导数:若u=f(x,y)在点(x0,y0)处可微分,则沿方向el=(cosα,cosβ)的导数为:

    其中cos^2(α)+cos^2(β)=1。在函数不存在偏导时,方向导数也可能存在,例如f(x,y)=√(x^2+y^2)在(0,0)处,不存在偏导数,但各方向方向导数存在且为1。当然,假如函数可微,那么必定有方向导数,且可用下式计算。

    对于自变量更多的函数,式子类似,都是函数对于该未知量求偏导后,乘以求导方向的单位向量中的对应项

    梯度:若函数在D内具有一阶连续偏导数,则对于D内任意一点(x0,y0),都可确定一个向量

    这个向量就叫函数在点(x0,y0)处的梯度,记作grad f(x,y)

    某一点方向导数最大值,就是那一点梯度的膜,最小值则为相反数

    在求曲面切平面时,把曲面表达式中所有非零的项放到一边,令等式另一边的0变为一个新的因变量,此时新构成的函数的梯度就是切平面的法向量。例:z=x^2-e^(xy),则新构成的式子为F(x,y,z)=x^2-e^(xy)-z,则定义域内某一点的切平面的法向量为

    (2x-y*e^(xy),-x*e^(xy),-1)

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