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  • 【高等数学】基本求导法则与导数公式
    2021-11-25 00:26:01
    • 常数和基本初等函数的导数公式
    1. ( C ) ′ = 0 (C)'=0 (C)=0
    2. ( x μ ) ′ = μ x μ − 1 (x^\mu)'=\mu x^{\mu-1} (xμ)=μxμ1
    3. ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x (\sin x)'=\cos x (sinx)=cosx
    4. ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x (\cos x)'=-\sin x (cosx)=sinx
    5. ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x (\tan x)'=\sec^2x (tanx)=sec2x
    6. ( cot ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ 2 x (\cot x)'=-\csc^2 x (cotx)=csc2x
    7. ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x (\sec x)'=\sec x\tan x (secx)=secxtanx
    8. ( csc ⁡ x ) ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x (\csc x)'=-\csc x\cot x (cscx)=cscxcotx
    9. ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a ( a > 0 , a ≠ 1 ) (a^x)'=a^x\ln a(a>0,a\ne 1) (ax)=axlna(a>0,a=1)
    10. ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x (ex)=ex
    11. ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a ( a > 0 , a ≠ 1 ) (\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1) (logax)=xlna1(a>0,a=1)
    12. ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x (\ln x)'=\dfrac{1}{x} (lnx)=x1
    13. ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)=1x2 1
    14. ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)=1x2 1
    15. ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2} (arctanx)=1+x21
    16. ( a r c c o t   x ) ′ = − 1 1 + x 2 (\newcommand{\arccot}{\mathrm{arccot}\,}\arccot x)'=-\dfrac{1}{1+x^2} (arccotx)=1+x21
    • 函数的和、差、积、商的求导法则
      u = u ( x ) , v = v ( x ) u=u(x),v=v(x) u=u(x),v=v(x)都可导,则
      (1) ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u\pm v)'=u'\pm v' (u±v)=u±v
      (2) ( C u ) ′ = C u ′ ( C 是 常 数 ) (Cu)'=Cu'(C是常数) (Cu)=Cu(C)
      (3) ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)=uv+uv
      (4) ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 ( v ≠ 0 ) (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}(v\ne 0) (vu)=v2uvuv(v=0)
    • 反函数的求导法则
      x = f ( y ) x=f(y) x=f(y)在区间 I y I_y Iy内单调、可导且 f ′ ( y ) ≠ 0 f'(y)\ne0 f(y)=0,则它的反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f1(x) I x = f ( I y ) I_x=f(I_y) Ix=f(Iy)内也可导,且 [ f − 1 ( x ) ] ′ = 1 f ′ ( y ) 或 d y d x = 1 d x d y [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}或\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} [f1(x)]=f(y)1dxdy=dydx1
    • 复合函数的求导法则
      y = f ( u ) y=f(u) y=f(u),而 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x)都可导,则复合函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]的导数为 d y d x = d y d u ⋅ d u d x 或 y ′ ( x ) = f ′ ( u ) ⋅ g ′ ( x ) \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}或y'(x)=f'(u)·g'(x) dxdy=dudydxduy(x)=f(u)g(x)
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  • 高数积分导数公式

    万次阅读 多人点赞 2018-06-05 23:49:13
    积分公式汇总导数公式导数&微分微积分有两种定义: 1、古典微积分 这是一种直观、便于理解的定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x的微小变化量,那么dy就是dx对应的y的微小变化。导数...

    积分公式汇总


    导数公式:


    导数&微分

    微积分有两种定义: 
    1、古典微积分 
    这是一种直观、便于理解的定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x的微小变化量,那么dy就是dx对应的y的微小变化。导数也就从中得到了定义:是两个微小变量的比值=dy/dx。所以导数也被称为微商。这是古典定义,可以看出是非常容易理解的。

    2、基于极限的微积分。 
    古典微积分虽然直观但是不够严谨,因此全新的微积分定义被发明了,这就是基于极限的微积分。导数首先被严格的定义为了一种极限: 
    这里写图片描述 
    然后微分在导数的基础上得到了定义:(来源于维基)

    这里写图片描述
    从定义可以看出,微分dy被定义为了一个函数,这个函数是y真实变化量ΔyΔy的一个线性近似。ΔyΔyΔxΔx是非线性关系,但是dy和ΔxΔx是线性关系。那么在点x处,且ΔxΔx趋近于0时,线性关系中的A值就是函数在x处的导数。所以有: 
    这里写图片描述 
    可以看出这里dy也可以像古典微积分定义的微分那样被理解为一个微小变化量,只不过其中的含义更深刻了

    不定积分

    不定积分的定义 
    首先明确一点,一定要区分不定积分和定积分。从概念上说,这是两个定义完全不同的东西。 
    不定积分是给定一个函数,求该函数的带有一个常数项的原函数的过程。所以不定积分的结果是一个函数。相比之下,定积分得到的结果是一个数值。

    计算不定积分的方法: 
    1、基本积分表 
    2、不定积分满足加性、齐性。(线性映射的两个性质!) 
    3、第一换元法 
    这里写图片描述 
    暂时把这个定积分看成不定积分。严格的讲,积分表达式中dx这个符号是整体的一部分,并不表示微分的概念。然而,如果把dx当做微分,根据微分的定义,进行第一换元法中的变化就是合情合理的了,因为这个过程其实是将一个微分替换为另一个微分。 
    4、第二换元法 
    第二换元法是第一换元法的相反过程。把dx分解,x可以看做是一个函数,然而x可以被变换为任何的函数,所以第二换元法更加灵活和困难。 
    5、分部积分法 
    这里写图片描述 
    这是由导数的乘法法则来的。


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  • 数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则

    万次阅读 多人点赞 2018-10-18 11:36:13
    数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则 三角函数相关运算 指数和对数函数相关运算 对数函数的强大之处在于可以变积为和,变为差,化幂为系数。在求幂指函数或某些复杂表达式的函数的导数时,将原来的函数...

    数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则



    三角函数相关运算


    指数和对数函数相关运算

    对数函数的强大之处在于可以变积为和,变商为差,化幂为系数。在求幂指函数或某些复杂表达式的函数的导数时,将原来的函数转化为对数函数后可方便求导。

     


    隐函数求导

    “如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。一般情况下无法写成y=f(x)这种格式,任何的显函数都可以转化为隐函数,但隐函数不一定能转化为显函数。隐函数求导规则是分别将等式两边对x求导,再解出dy/dx。

    例: x2 + y2 = 1,求dy/dx


    参数方程求导

     


    幂指函数求导

    幂指函数不能直接用初等函数公式求导,一般做法是两边同时取对数,再对x求导。


    某些复杂表达式函数求导

    对于某些复杂表达式函数的求导,同样先取对数后再求导。


    Maple求导

    初等函数求导

                   

                            

    隐函数求导

    参数方程函数求导

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  • 数学笔记——导数2(求导法则和高阶导数)

    万次阅读 多人点赞 2017-09-08 11:05:08
    和、差、积、求导法则  设u=u(x),v=v(x)都可导,则: (Cu)’ = Cu’, C是常数 (u ± v)’ = u’ ± v’ (uv)’ = u’v + uv’ (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2  1、2不解释,下面给出3、4的推导过程 乘法...

     

    和、差、积、商求导法则

      设u=u(x),v=v(x)都可导,则:

    1. (Cu)’ = Cu’, C是常数
    2. (u ± v)’ = u’ ± v’
    3. (uv)’ = u’v + uv’
    4. (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2

      1、2不解释,下面给出3、4的推导过程

    乘法法则的推导过程

      乘法法则可扩展:

    除法法则的推导过程

    示例1:f'(1/x)

      根据除法法则:

    示例2:f'(x-n)

      根据除法法则:

      上式结果也可直接根据幂函数求导法则得出,幂函数f(x) = Xn的导数:f’(x) = nxn-1

    示例3:(secx)’

    链式求导法则

      链式求导法则也称为复合函数求导法则。若u=g(x)在x点可导,y=f(u)在u=g(x)点可导,则y=f(g(x))在x点可导,其导数是:

      第二种写法看起来更好理解。

    示例1:y=(sinx)10求导

      这是一个典型的符合函数,内部函数是u=sinx,外部函数是y=u10,根据公式:

    示例2:sin(10x)求导

    高阶导数

      高阶导数实际上是对导数求导,也就是不断求导。

      二阶导数表示为(u’)’=u’’;三阶导数u’’’;四阶导数不能再用撇号表示了,需要使用上标u(4);n阶导数u(n)。在训练集中,上标也被表示为第几组训练集,在此我们看到,数学中的符号经常会被重用,在不同上下文中有不同的含义。

      sinx的二阶导数:(sinx)’’=(cosx)’=-sinx

      高阶导数也有不同的表示法,以三阶导数为例:

      看起来越来越乱了-_-|||

    幂函数的高阶导数

    D1xn = nxn-1

    D2xn = ( D1xn)’= (nxn-1)’=n(xn-1)’=n(n-1)(x n-2)

    D3xn = (D2xn)’ = n(n-1)(n-2)(xn-3)

    ……

    Dn-1xn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)x1

    Dnxn = n(n-1)(n-2)(n-3)…(2)(1)x0 = n!

    Dn+1xn = (n!)’ = 0

     

    高阶导数的意义

      几何意义比较容易理解,一阶导数是切线的斜率,二阶是斜率的变化率,三阶是斜率的变化率的变化率……阶数越高,刻画的变化越精细。

      物理意义是百度来的,用时间、距离、速度举例:

      位移相对于时间的一阶导数是速度,二阶导数是加速度,三阶导数是急动度(加速度的的变化率),四阶导数是什么痉挛度(不知道是不是瞎编出来的,从这开始就理解不了了)……当一辆小车尾部遭受撞击时,加速度会突然改变,小车具有急动度。汽车工程师用急动度作为评判乘客不舒适程度的指标;按照这一指标,具有恒定加速度和零急动度的人体感觉最舒适。在竞技举重中,举重运动员进行所有将杠铃举过头顶的动作时都有急动度。当轮船到达溪谷,突然减速时,轮船有急动度,因为轮船加速度的大小和方向都要改变。

    总结

      1.函数的和、差、积、商求导法则

      1)         (Cu)’ = Cu’, C是常数

      2)         (u ± v)’ = u’ ± v’

      3)         (uv)’ = u’v+ uv’

      4)         (u/v)’ = (u’v – uv’) / v2

      2.链式求导法则(复合函数求导法则)

     

      3.高阶导数

      对导数求导,u’’,u’’’,u(4)

      Dnxn = n!

      Dn+1xn = 0


        作者:我是8位的

       出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

       本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

     

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导数的商公式