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  • 高数积分导数公式

    万次阅读 2018-06-05 23:49:13
    积分公式汇总导数公式导数&微分微积分有两种定义: 1、古典微积分 这是一种直观、便于理解定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x微小变化量,那么dy就是dx对应y微小变化。导数...

    积分公式汇总


    导数公式:


    导数&微分

    微积分有两种定义: 
    1、古典微积分 
    这是一种直观、便于理解的定义。首先定义微分是微小变化量。比如函数y=f(x)中dx是x的微小变化量,那么dy就是dx对应的y的微小变化。导数也就从中得到了定义:是两个微小变量的比值=dy/dx。所以导数也被称为微商。这是古典定义,可以看出是非常容易理解的。

    2、基于极限的微积分。 
    古典微积分虽然直观但是不够严谨,因此全新的微积分定义被发明了,这就是基于极限的微积分。导数首先被严格的定义为了一种极限: 
    这里写图片描述 
    然后微分在导数的基础上得到了定义:(来源于维基)

    这里写图片描述
    从定义可以看出,微分dy被定义为了一个函数,这个函数是y真实变化量ΔyΔy的一个线性近似。ΔyΔyΔxΔx是非线性关系,但是dy和ΔxΔx是线性关系。那么在点x处,且ΔxΔx趋近于0时,线性关系中的A值就是函数在x处的导数。所以有: 
    这里写图片描述 
    可以看出这里dy也可以像古典微积分定义的微分那样被理解为一个微小变化量,只不过其中的含义更深刻了

    不定积分

    不定积分的定义 
    首先明确一点,一定要区分不定积分和定积分。从概念上说,这是两个定义完全不同的东西。 
    不定积分是给定一个函数,求该函数的带有一个常数项的原函数的过程。所以不定积分的结果是一个函数。相比之下,定积分得到的结果是一个数值。

    计算不定积分的方法: 
    1、基本积分表 
    2、不定积分满足加性、齐性。(线性映射的两个性质!) 
    3、第一换元法 
    这里写图片描述 
    暂时把这个定积分看成不定积分。严格的讲,积分表达式中dx这个符号是整体的一部分,并不表示微分的概念。然而,如果把dx当做微分,根据微分的定义,进行第一换元法中的变化就是合情合理的了,因为这个过程其实是将一个微分替换为另一个微分。 
    4、第二换元法 
    第二换元法是第一换元法的相反过程。把dx分解,x可以看做是一个函数,然而x可以被变换为任何的函数,所以第二换元法更加灵活和困难。 
    5、分部积分法 
    这里写图片描述 
    这是由导数的乘法法则来的。


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  • 数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则 三角函数相关运算 指数和对数函数相关运算 对数函数强大之处在于可以变积为和,变为差,化幂为系数。在求幂指函数或某些复杂表达式函数的导数时,将原来函数...

    数学 - 基本初等函数导数公式及求导法则



    三角函数相关运算


    指数和对数函数相关运算

    对数函数的强大之处在于可以变积为和,变商为差,化幂为系数。在求幂指函数或某些复杂表达式的函数的导数时,将原来的函数转化为对数函数后可方便求导。

     


    隐函数求导

    “如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。一般情况下无法写成y=f(x)这种格式,任何的显函数都可以转化为隐函数,但隐函数不一定能转化为显函数。隐函数求导规则是分别将等式两边对x求导,再解出dy/dx。

    例: x2 + y2 = 1,求dy/dx


    参数方程求导

     


    幂指函数求导

    幂指函数不能直接用初等函数公式求导,一般做法是两边同时取对数,再对x求导。


    某些复杂表达式函数求导

    对于某些复杂表达式函数的求导,同样先取对数后再求导。


    Maple求导

    初等函数求导

                   

                            

    隐函数求导

    参数方程函数求导

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  • 对数函数的导数:指数函数的导数: 2、求导数的法则(1)和与差函数的导数:.由此得多项式函数导数(2)积的函数的导数:,特例[C·f(x)]'=Cf'(x)。如①已知函数的导数为,则_____(答:);②函数的导数为__________(答...

    f82f1c7e02b05a310cb681a958c2445d.png

    e6341f65469dbf0fa5e20a32785b7458.png

    1、常见函数的导数公式:

    常数函数的导数:7e97a425da01ed4cb2c8c27eb8bbc6d1.png

    幂函数的导数:11e34ba1f2979861992b803116b9a612.png

    如下:7068dbd29709fa4dc24533f930d3fb3e.png

    三角函数的导数:b05d9dafceac4c0876b617aa82dea9f7.png379be2e5f9be6cde26c5648b56d4511a.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    对数函数的导数: ec639f3042805e42982979b88a831994.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png  814bf8d4dfcb4f3caf704f43c7a465e1.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    指数函数的导数: ddb226acafeaefb988abc07b358dc60a.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png  4314575105533b6b1be632925a1fdf36.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    2、求导数的法则

    (1)和与差函数的导数:79fb8b90c54b8731a3d5631cb5b825b1.png

    由此得多项式函数导数73ee36ee52b6113c89f9985fb0194047.png 

    (2)积的函数的导数:f48b657bccb1007f8e45cb3ba0d956d2.pngf5aab05c6308348ad61d026df9041f8b.pngc1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    特例[C·f(x)]'Cf'(x)

    如①已知函数8994b3b23eca1c0d7c6c112390eaffe7.png的导数为964e88d65002ab781ce9f936cf788a3d.png,则4190c8c96cd4e88a0aaa401f3c15ade2.png_____(答:62cc52fdfc4464613d2ef61a45c2289d.png);

    函数198115c5959622b66a001b0dc932fdbb.png的导数为__________(答:556d1e21ae66e9b25f5dad01d85a0d18.png);

    ③若对任意71afabf308c6381c436b3044592e30e9.png582964eb664d437b6d9bf1bfdfcaef24.png,则56cdba058c53fc7472b8acf9eb19fe3a.png______(答:0228590477162a7c62053a554583570e.png)

    (3)商的函数的导数: 8366fed37e717e5c0e06ec759acf1c53.png c1d0db2eaea65e55dd5c07be33b2491b.png

    1、求下列导数

    (1)7f673657b4944de911df3ec1ccb1a58a.png

    (2)x · sin x · ln x

    (3)1aa0133e81e0c6745a6fdf7540b12dc1.png

    (4)3b4809a9b597dff2f8a338cf57af38a1.png

    (1)解析:7f673657b4944de911df3ec1ccb1a58a.png7cf7cfbb6b380c64217986ae841167c2.png

    36c50f521973d0d9dcf6760658ff11e8.png

    (2)y'(x · sin x · ln x) '(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '

              [x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )a95146bae25d344aad10909af9390208.png

    [sinx+xcosx]lnx+sinx

    总结:如遇求多个积的导数,可以逐层分组进行;求导数前的变形,目的在于简化运算;求导数后应对结果进行整理化简.

    (3)y'5b49b456bd21608dc91684cdff7bddea.png

    (4)∵3b4809a9b597dff2f8a338cf57af38a1.pngc134c67bd34d972ef53e30ffb39e4c0f.png

    y'bb9ce4c015ac94100529193b0d4a3952.png

    2、求函数的导数

     y=(2 x25 x 1)ex

     y93cb006be1f6bd8e507a0fcc473fe4d0.png

    解析: y'=(2 x25 x 1)′ex+(2 x25 x 1)(ex)′=(2x2x4)ex

    82e46903461ba5fa3bb10cf53d9b9312.png

    7ad6a76a4c67ef034c8356e4136d6fd7.png

    483ec751cd2558b7a36b194255fb893d.png

    y'e772b3ce83e89e6109012769b1f0e8c8.png

    总结: 求导数是在定义域内进行的.② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.

    3、已知曲线C3 x 42 x39 x24

    (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

    (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点?

    解析:(1)把1代入C的方程,求得=-4

    ∴切点为(1,-4).

    Y'12 x36 x218 x

    ∴切线斜率为12618=-12

    ∴切线方程为4=-12(x1),即

    y=-12 x 8

    9405b86f8cf9b3cc62bfec0ff7164313.png

    3 x 42 x9 x212 x 40

    (x 1) (x 2) (3 x 2)0

    1,-21acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png

    代入3 x 42 x 9 x 4,求得=-4320,即公共点为(1,-4)(切点),(-232),(1acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png0).

    除切点外,还有两个交点(-232)、(1acfc86bdebb69f49fc946187d245d23.png0).

    总结:直线和圆,直线和椭圆相切,可以用只有一个公共点来判定.一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线.因此,曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点.

    4、曲线Sx36 x 26哪一点切线的斜率最小?

    设此点为P(x0y0).证明:曲线S关于P中心对称.

    解析:y'3 x212 x 1

    6161d57ed04b7077bdedee9744e004fc.png2时,y′有最小值,故x 02

    PS知:y 0236 · 2226=-12

    即在P(2,-12)处切线斜率最小.

    Q(xy)∈S,即x36 x26

    则与Q关于P对称的点为R(4x,-24y),只需证R的坐标满足S的方程即可.

    (4x)36(4x)2(4x)6

    6448 x 12 x 36(168 x x2)+2

    =-6 x 30

    =-6 x624

    =-y24

    RS,由Q点的任意性,S关于点P中心对称.

    总结:本题考查导数的几何意义.求切点时,要将取最小值的x值代回原方程.

    5、一质点的运动方程为s(t)asint+bcost(a>0),若速度v(t)的最大值为b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png,且对任意的t0R,tt0t d12128369dc2d8f939da062477c0de2e.pngt0时速度相同,求ab的值。

    解析:v(t)s(t)acostbsint

    v(t)的最大值为b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png ∴a2+b2b84916cf15fb606b1f866248b7a0b14f.png

    又∵在tt0t d12128369dc2d8f939da062477c0de2e.pngt0时速度相同

    (a+b)(cost0sint0)0且对任意的t0Ra>0

    (a+b) 0,∴a30ca5ad77abf09cd2710c1296123a168.png,b=-30ca5ad77abf09cd2710c1296123a168.png

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    3、导数与三角函数的强强联姻——一个日益兴起的命题亮点!

    95e7a5f5fd26610ec70263ab3e01ca5a.png

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  • 正弦函数求导公式 正弦函数求导公式的证明不是很容易,我只需要用这个求导公式就行了,所以就不贴出来证明了。有需要了解证明过程观众详见Stewart 《Claculus》P145页,或请数学系同学帮忙。在证明过程中...

    7b290c5cec1e11f55fbf081583e0d612.png

    欢迎光临我的专栏《微积分学习之旅》,一起学习,共同提高。

    本篇的主角是三角函数。需要提前说的是,今后若没有特别说明,基本的三角函数的角度,均采用弧度制,且定义域为全体实数。

    正弦函数的求导公式

    正弦函数求导公式的证明不是很容易,我只需要用这个求导公式就行了,所以就不贴出来证明了。有需要了解证明过程的观众详见Stewart 的《Claculus》P145页,或请数学系的同学帮忙。在证明的过程中得到了一个很有用的结论如下,可以记一下。

    例1 请求函数

    的微商(即导数)。

    余弦函数的求导公式

    正弦函数的求导公式

    正弦、余弦、正切函数这三个,是用得比较多的,剩下来的余割、正割、余切都可以求导数的商公式推导出来。把他们凑在一起热闹一点。今后记住他们,很有用的。

    444555f7e85d0e0661eefa81710c99ae.png

    例2 请对

    求导,并找出它的水平切线。

    为了求水平切线,即让

    ,由于正割不为0,所以只需要
    ,即当
    时,曲线的切线是水平的。

    例3 如图所示,一个物体在竖直弹簧下端,弹簧自原长位置被拉伸了4厘米,在 t =0 时释放弹簧。物体的位置随时间变化的函数为

    写出速度和加速度随时间的函数,并分析一下物体的运动情况。

    23231149e71cb50fb8b3c4cc669e18ca.png

    解:

    由三个函数可知,物体自最低点4cm到最高点-4cm,做周期性振动。振动周期为

    位置、速度和加速度的数值变化如下所示(只体现变化关系)。

    3a70189aab4194d321fe6926a7ea14b5.png

    例4 求极限

    解: 因为这个公式和上面的第二个很像,我们可以采用配方的方法,配出上述形式如下:

    那么

    再来一个类似的引用:


    专栏链接:

    Mr.Xiong:专栏目录-《微积分学习之旅》zhuanlan.zhihu.com
    c9de70bdbd5f1500776eab3dff6a5b7b.png
    Mr.Xiong:A-00 微积分学习再出发(一点说明)zhuanlan.zhihu.com
    4103a85f7dbc9b35d3ee5afd856facc7.png
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    2017-07-05 06:50:00
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空空如也

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导数的商公式