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  • 2018-04-25 08:40:00
    视频 23 
    第一节 导数概念
    一、两个实例
    二、导数定义
    limΔy/Δx = limf(x0+Δx ) - f(x0) /  Δx (Δx->0 ) = f'(x0)

    limf(x) - f(x0) / x - x0 (x->x0) = f'(x0)

    定义2 设函数f(x) 在x0 点左侧[x0 + Δx,x0](Δx < 0  ),他有定义
    如果极限limf(x0 +  Δx  ) /  Δx  (Δx->0-),存在,则称此极限为f(x)在x0
    点的左导数,记为f'-(x0) = limf(x0 + Δx ) - f(x0) /  Δx (Δx->x- )

    右导数 f'+(x0) = limf(x0 + Δx ) - f(x0) /  Δx (Δx->0+ )

    显然有f(x) 在x0 点 可导的充分必要条件是 f'-(x) = f'+(x0) 存在且相等

    如果f(x) 在(a,b)内可导, 且f'+(a),f'-(b),则称f(x) 在区间[a,b]内可导

    三、导数的几何意义

    由实例2曲线上的一点处的斜率问题,及导数的定义
    f'(x) = lim Δy / Δx (Δx->0 ) 可知

    Δy / Δx 割线的斜率
    f'(x0) 在几何上就表示曲线上一点P(x0,f(x0)) 上的切线 P0T 的斜率
    f'(x0) = tanα α 是切线p0T 的倾角

    由导数的几何意义,及平面解析几何关于直线方程的知识, 直线的点斜式方程
    切线方程
    y-f(x0) = f'(x0) (x - x0)

    曲线上一点p0(x0,f(x0))的法线

    法线:过P0 点 且与改点出的切线垂直的直线L,称为曲线在p0 出的法线
    已知:切线的斜率 K1 , f'(x0)
    而切线与法线是垂直的, 故 k2 = -1/f'(x0) , 其中f'(x) <> 0 ;
    法线的方程 
    y-f'(x0) = -1/f'(x0)(x-x0)

    若y=f(x),在f'(x0) = ∞,表示切线垂直于x轴,切线方程为x=x0;
    例1 :曲线 y = 1 / x^2  在P0(1,1)处的 切线方程与法线方程
    解: 先求导数y' = - x  / x^3
    y'|x=1 = -2 
    所以切线斜率 k1 = -2 
    法线斜率 k2 = 1/2

    切线方程 y-1 = -2(x-1)
    法线方程y-1 = 1/2(x-1)

    思考问题:曲线 y = f(x) 外一点 M0(x0,y0),过M0 点做曲线的切线, 怎么样求
    该切线的方程

    四、函数的可导性与连续性的关系
    如果一个函数y=f(x) 在x0 点处可导, 则f(x0) 这一点 一定是连续的。
    证明:limΔy = 0 (Δx->0)
    所以连续是可导必要条件
    定理的逆命题不成立




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    导数、微分、积分的几何理解

    一、导数

    1. 导数的定义
      设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某领域内有定义,若极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ( 1 ) \lim_{x \rightarrow x _0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad\quad\quad(1) xx0limxx0f(x)f(x0)(1) 存在,则称函数 f f f在点 x 0 x_0 x0处可导,并称该极限为函数 f f f在点 x 0 x_0 x0处的导数,记做 f ′ ( x 0 ) f&#x27;(x_0) f(x0)
      x = x 0 + Δ x , Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) x=x0+Δx,Δy=f(x0+Δx)f(x0),则 ( 1 ) (1) (1)式可改写为 lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f ′ ( x 0 ) ( 2 ) \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f&#x27;(x_0) \quad\quad\quad(2) Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)=f(x0)(2)所以,导数式函数增量 Δ y \Delta y Δy与自变量增量 Δ x \Delta x Δx之比 Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔy的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称商差),而导数 f ′ ( x 0 ) f&#x27;(x_0) f(x0)则为 f f f x 0 x_0 x0处关于 x x x变化率

    2. 导数的几何意义
      在导数的定义中已经说过,导数 f ′ ( x 0 ) f&#x27;(x_0) f(x0) f f f x 0 x_0 x0处关于 x x x变化率;所以导数的几何意义就是切线(斜率)
      对应下图,直线 P Q ′ PQ&#x27; PQ就是函数 f f f x 0 x_0 x0处的导数(切线),即 f ′ ( x 0 ) = P Q ′ f&#x27;(x_0)=PQ&#x27; f(x0)=PQ
      在这里插入图片描述

    二、微分

    1. 微分的定义
      设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)定义在点 x 0 x_0 x0的某邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内。当给 x 0 x_0 x0一个增量 Δ x , x 0 + Δ x ∈ U ( x 0 ) \Delta x,x_0+\Delta x \in U(x_0) Δx,x0+ΔxU(x0)时,相应的得到函数的增量为 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)f(x0)如果存在常数 A A A,使得 Δ y \Delta y Δy能表示成 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) ( 3 ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\quad\quad\quad(3) Δy=AΔx+o(Δx)(3)则称函数 f f f在点 x 0 x_0 x0可微,并称(3)式中的第一项 A Δ x A\Delta x AΔx f f f在点 x 0 x_0 x0处的微分,记做 d y ∣ x = x 0 = A Δ x 或 d f ( x ) ∣ x = x 0 = A Δ x \left. dy \right| _{x=x_0}=A\Delta x\quad或\quad\left. df(x) \right| _{x=x_0}=A\Delta x dyx=x0=AΔxdf(x)x=x0=AΔx由定义可见函数的微分与增量仅差一个关于 Δ x \Delta x Δx的高阶无穷小量,由于 d y dy dy Δ x \Delta x Δx的线性函数,所以当 A ≠ 0 A\neq 0 A̸=0时,也说微分 d y dy dy是增量 Δ y \Delta y Δy的线性主部。

    2. 微分的几何意义
      微分的几何意义如下图所示,当自变量由 x 0 x_0 x0增加到 x 0 + Δ x x_0+\Delta x x0+Δx时,函数增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = R Q \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=RQ Δy=f(x0+Δx)f(x0)=RQ
      微分则是在点 P P P处的切线上与 Δ x \Delta x Δx所对应的增量 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x = R Q ′ dy=f&#x27;(x_0)\Delta x=RQ&#x27; dy=f(x0)Δx=RQ
      其中, Q Q ′ QQ&#x27; QQ对应的是 o ( Δ x ) o(\Delta x) o(Δx)(高阶无穷小量),即 lim ⁡ x → x 0 Q ′ Q R Q ′ = 0 \lim_{ x \rightarrow x_0} \frac{Q&#x27;Q}{RQ&#x27;}=0 limxx0RQQQ=0
      在这里插入图片描述

    三、积分

    1. 积分的定义
      f f f是定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一个函数,对于 [ a , b ] [a,b] [a,b]的一个分割 T = { Δ 1 , Δ 2 , … , Δ n } T=\{\Delta {_1},\Delta {_2},\dots,\Delta {_n}\} T={Δ1,Δ2,,Δn},任取点 ξ i ∈ Δ i , i = 1 , 2 , … , n \xi_i \in \Delta {_i},i=1,2,\dots,n ξiΔi,i=1,2,,n,并做和式 J = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i J=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i J=i=1nf(ξi)Δxi
      称此和式为函数 f f f [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一个积分和,也称黎曼和
      定积分:
      J = ∑ i = a b f ( ξ i ) Δ x i = ∫ a b f ( x ) d x J=\sum_{i=a}^{b}f(\xi_i)\Delta x_i=\int ^b_a f(x) {\rm d}x J=i=abf(ξi)Δxi=abf(x)dx
      其中, f f f称为被积函数, x x x称为积分变量, [ a , b ] [a,b] [a,b]称为积分区间。

    2. 积分的几何意义
      由上文积分的定义可知,积分的几何意义就是求面积
      对应下图, J = ∫ x 0 + Δ x x 0 f ( x ) d x J=\int ^{x_0}_{x_0+\Delta x} f(x) {\rm d}x J=x0+Δxx0f(x)dx的几何意义就是曲线 P Q PQ PQ x x x轴围成的面积。
      在这里插入图片描述

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  • 矩阵导数定义

    千次阅读 2019-01-31 21:53:15
    导数定义: 矩阵/向量值函数对实数的导数 求导结果与函数值同型(m×n矩阵求导结果也是m×n矩阵),且每个元素就是函数值的相应分量对自变量x求导,∂f∂xij=∂fij∂x。导数可以记做∇xF或∇'F 实值函数对矩阵/向量...

    矩阵求导:本质上只不过是多元函数求导,仅仅是把函数的自变量以及求导的结果排列成了矩阵的形式,方便表达与计算而已。

    导数定义:

    1. 矩阵/向量值函数对实数的导数
    1. 求导结果与函数值同型(m×n矩阵求导结果也是m×n矩阵),且每个元素就是函数值的相应分量对自变量x求导,∂f∂xij=fij∂x。导数可以记做∇xF或∇'F
    1. 实值函数对矩阵/向量的导数
    1. 求导结果与自变量同型,且每个元素就是f对自变量的相应分量求导,∂f∂Xij=∂fxij。导数可以记做∇Xf
    2. 这是最重要的一个类别,机器学习里一般都是求标量损失函数对向量/矩阵参数的导数。
    1. δfi,jXfi,jδXi,j=tr((Xf)TδX)。向量值函数对向量的导数(雅克比矩阵)
    1. 函数 f: RnRm(n维到m维的映射),则导数fx是一个m×n维矩阵,且fxij=fixj。也可表示为∇xf
    1. 记:认为矩阵对向量、向量对矩阵、矩阵对矩阵的导数没有定义。

     

    特殊例子:

           ∇xAx=A

           ∇xx=∇xIx=I

    展开全文
  • 导数定义

    2022-03-27 09:48:16
    导数定义的第二种表达形式 导数定义的第三种表达形式 高数_Java全栈研发大联盟的博客-CSDN博客 导数的四种符号 做题中都会遇到,所以都要掌握 常见函数的导数 都要掌握 题型 例1: 用导数的定义求一...

    定义

    这三种表达式做题都会用到

    导数定义的第二种表达形式

     导数定义的第三种表达形式

    高数_Java全栈研发大联盟的博客-CSDN博客

    导数的四种符号

    做题中都会遇到,所以都要掌握

    常见函数的导数

    都要掌握

    题型  

     例1: 用导数的定义求一个函数的导数


    导数意义   

    左右导数的定义 

    结论: 在一点处可导它的充要条件是左右导数存在且相等 

    总结: 如果考察到在某点上可导的讨论的话,一般都是用这个结论,先把左导数求出来,再把右导数求出来,看看是否相等

     题型: 考查在某点上可导性

    例1 

    这种题难点在求极限的时候要用到两个重要极限或洛必达法则,肯定有技巧 


    可导与连续的关系

    定理 : 可导必连续

    可导必连续的定义

      

    得出结论: 可导必连续,但连续不一定可导 

    思考:为什么连续不一定可导?老师说可导的几何意义必须是光滑的,但连续可以是一条直线,所以直线方程是不可导的

    例题 

     

     

     

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