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  • 设区域$D$上一条曲线$z=\gamma(t),a\leq t\leq b$,设起点$\gamma(a)=z_{0}$,现有一个定义在$D$上且在$z_{0}$处全纯且$f'(z_{0})\neq0$的函数$f(z)$,我们考虑曲线$\gamma$在他映射下的像$$w=\sigma(t)=f(\gamma(t)),a...

    设区域$D$上一条曲线$z=\gamma(t),a\leq t\leq b$,设起点$\gamma(a)=z_{0}$,现有一个定义在$D$上且在$z_{0}$处全纯且$f'(z_{0})\neq0$的函数$f(z)$,我们考虑曲线$\gamma$在他映射下的像$$w=\sigma(t)=f(\gamma(t)),a\leq t\leq b$$

    那么$\sigma'(a)=f'(\gamma(a))\gamma'(a)$,因此$${\rm Arg}\sigma'(a)-{\rm Arg}\gamma'(a)={\rm Arg}f'(z_{0})$$

    这说明经过$f(z)$的变换以后,曲线$w$在$w_{0}=f(z_{0})$处切线的倾斜角与$\gamma$在$z_{0}$处的切线的倾斜角之差为${\rm Arg}f'(z_{0})$.

    因此如果有两条过$z_{0}$的曲线$z=\gamma_{1}(t),z=\gamma_{2}(t),a\leq t\leq b$且$$\gamma_{1}(a)=\gamma_{2}(a)=z_{0}$$

    那么他们在$f(z)$作用后均过点$w_{0}=f(z_{0})$,且$${\rm Arg}\sigma_{1}'(a)-{\rm Arg}\gamma_{1}'(a)={\rm Arg}\sigma_{2}'(a)-{\rm Arg}\gamma_{2}'(a)={\rm Arg}f'(z_{0})$$

    即有${\rm Arg}\sigma_{1}'(a)-{\rm Arg}\sigma_{2}'(a)={\rm Arg}\gamma_{1}'(a)-{\rm Arg}\gamma_{2}'(a)$,这说明在$f(z)$的作用下两条曲线$\gamma_{1},\gamma_{2}$在$z_{0}$处的夹角都等于他们的象集在$w_{0}$处的夹角,而且旋转方向不发生改变.

    这就说明一个全纯函数在其导数不为零的点处是保角的!

    而且根据$|\sigma'(a)|=|f'(z_{0})|\cdot|\gamma'(a)|$,该点的弧微分有个伸缩率$|f'(z_{0})|$.

    转载于:https://www.cnblogs.com/qq3232361332/p/4528255.html

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  • 关于导数与积分的几何定义

    千次阅读 2019-02-28 23:10:02
    那时,数学家何旭初先生给我们讲授原苏联菲氏微积分学教程(三卷9大本),其中函数、导数和积分概念采用传统定义,附以几何应用说明。此种定义一直沿用至今。 现在我们向全国普通投放的连环画微积分教科书,其中...

    回忆往事,1957年秋天,袁萌在南京大学数学天文系数学专业学习。美丽的校园里面到处充满了浓郁的学术氛围和鸟儿的鸣叫声。那时,数学家何旭初先生给我们讲授原苏联菲氏微积分学教程(三卷9大本),其中函数、导数和积分概念采用传统定义,附以几何应用说明。此种定义一直沿用至今。

    现在我们向全国普通投放的连环画微积分教科书,其中函数、导数与积分的几何定义与传统定义不同。函数定义为平面曲线段(序偶集合定义);导数为曲的斜率,而定积分就是曲线围成的面积。一切研究对象都是几何点的集合以及集合的集合。

    袁萌  陈启清   2月28日

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  • 视频 23 第一节 导数概念一、两个实例二、导数定义limΔy/Δx = limf(x0+Δx) - f(x0) / Δx (Δx->0) = f'(x0)limf(x) - f(x0) / x - x0 (x->x0) = f'(x0)定义2 设函数f(x) ...
    视频 23 
    第一节 导数概念
    一、两个实例
    二、导数定义
    limΔy/Δx = limf(x0+Δx) - f(x0) / Δx (Δx->0) = f'(x0)

    limf(x) - f(x0) / x - x0 (x->x0) = f'(x0)

    定义2 设函数f(x) 在x0 点左侧[x0 + Δx,x0](Δx < 0 ),他有定义
    如果极限limf(x0 + Δx ) / Δx (Δx->0-),存在,则称此极限为f(x)在x0
    点的左导数,记为f'-(x0) = limf(x0 + Δx) - f(x0) / Δx (Δx->x-)

    右导数 f'+(x0) = limf(x0 + Δx) - f(x0) / Δx (Δx->0+)

    显然有f(x) 在x0 点 可导的充分必要条件是 f'-(x) = f'+(x0) 存在且相等

    如果f(x) 在(a,b)内可导, 且f'+(a),f'-(b),则称f(x) 在区间[a,b]内可导

    三、导数的几何意义

    由实例2曲线上的一点处的斜率问题,及导数的定义
    f'(x) = lim Δy / Δx (Δx->0) 可知

    Δy / Δx 割线的斜率
    f'(x0) 在几何上就表示曲线上一点P(x0,f(x0)) 上的切线 P0T 的斜率
    f'(x0) = tanα α 是切线p0T 的倾角

    由导数的几何意义,及平面解析几何关于直线方程的知识, 直线的点斜式方程
    切线方程
    y-f(x0) = f'(x0) (x - x0)

    曲线上一点p0(x0,f(x0))的法线

    法线:过P0 点 且与改点出的切线垂直的直线L,称为曲线在p0 出的法线
    已知:切线的斜率 K1 , f'(x0)
    而切线与法线是垂直的, 故 k2 = -1/f'(x0) , 其中f'(x) <> 0 ;
    法线的方程 
    y-f'(x0) = -1/f'(x0)(x-x0)

    若y=f(x),在f'(x0) = ∞,表示切线垂直于x轴,切线方程为x=x0;
    例1 :曲线 y = 1 / x^2  在P0(1,1)处的 切线方程与法线方程
    解: 先求导数y' = - x  / x^3
    y'|x=1 = -2 
    所以切线斜率 k1 = -2 
    法线斜率 k2 = 1/2

    切线方程 y-1 = -2(x-1)
    法线方程y-1 = 1/2(x-1)

    思考问题:曲线 y = f(x) 外一点 M0(x0,y0),过M0 点做曲线的切线, 怎么样求
    该切线的方程

    四、函数的可导性与连续性的关系
    如果一个函数y=f(x) 在x0 点处可导, 则f(x0) 这一点 一定是连续的。
    证明:limΔy = 0 (Δx->0)
    所以连续是可导必要条件
    定理的逆命题不成立




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    导数的几何意义研究函数切线问题

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导数的定义及几何意义