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2014届高三数学精品复习24 导数的定义及几何意义
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导数、微分、积分的几何理解
2018-12-14 16:10:27导数、微分、积分的几何理解 导数 导数的定义 设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0的某领域内有定义,若极限limx→x0f(x)−f(x0)x−x0(1)\lim_{x \rightarrow x _0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad\...导数、微分、积分的几何理解
一、导数
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导数的定义
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0的某领域内有定义,若极限 lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 ( 1 ) \lim_{x \rightarrow x _0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad\quad\quad(1) x→x0limx−x0f(x)−f(x0)(1) 存在,则称函数 f f f在点 x 0 x_0 x0处可导,并称该极限为函数 f f f在点 x 0 x_0 x0处的导数,记做 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)。
令 x = x 0 + Δ x , Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) x=x0+Δx,Δy=f(x0+Δx)−f(x0),则 ( 1 ) (1) (1)式可改写为 lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = f ′ ( x 0 ) ( 2 ) \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0) \quad\quad\quad(2) Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)(2)所以,导数式函数增量 Δ y \Delta y Δy与自变量增量 Δ x \Delta x Δx之比 Δ y Δ x \frac{\Delta y}{\Delta x} ΔxΔy的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称商差),而导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)则为 f f f在 x 0 x_0 x0处关于 x x x的变化率。 -
导数的几何意义
在导数的定义中已经说过,导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)为 f f f在 x 0 x_0 x0处关于 x x x的变化率;所以导数的几何意义就是切线(斜率)。
对应下图,直线 P Q ′ PQ' PQ′就是函数 f f f在 x 0 x_0 x0处的导数(切线),即 f ′ ( x 0 ) = P Q ′ f'(x_0)=PQ' f′(x0)=PQ′
二、微分
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微分的定义
设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)定义在点 x 0 x_0 x0的某邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内。当给 x 0 x_0 x0一个增量 Δ x , x 0 + Δ x ∈ U ( x 0 ) \Delta x,x_0+\Delta x \in U(x_0) Δx,x0+Δx∈U(x0)时,相应的得到函数的增量为 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)−f(x0)如果存在常数 A A A,使得 Δ y \Delta y Δy能表示成 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) ( 3 ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\quad\quad\quad(3) Δy=AΔx+o(Δx)(3)则称函数 f f f在点 x 0 x_0 x0可微,并称(3)式中的第一项 A Δ x A\Delta x AΔx为 f f f在点 x 0 x_0 x0处的微分,记做 d y ∣ x = x 0 = A Δ x 或 d f ( x ) ∣ x = x 0 = A Δ x \left. dy \right| _{x=x_0}=A\Delta x\quad或\quad\left. df(x) \right| _{x=x_0}=A\Delta x dy∣x=x0=AΔx或df(x)∣x=x0=AΔx由定义可见函数的微分与增量仅差一个关于 Δ x \Delta x Δx的高阶无穷小量,由于 d y dy dy是 Δ x \Delta x Δx的线性函数,所以当 A ≠ 0 A\neq 0 A̸=0时,也说微分 d y dy dy是增量 Δ y \Delta y Δy的线性主部。 -
微分的几何意义
微分的几何意义如下图所示,当自变量由 x 0 x_0 x0增加到 x 0 + Δ x x_0+\Delta x x0+Δx时,函数增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = R Q \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=RQ Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=RQ;
而微分则是在点 P P P处的切线上与 Δ x \Delta x Δx所对应的增量 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x = R Q ′ dy=f'(x_0)\Delta x=RQ' dy=f′(x0)Δx=RQ′
其中, Q Q ′ QQ' QQ′对应的是 o ( Δ x ) o(\Delta x) o(Δx)(高阶无穷小量),即 lim x → x 0 Q ′ Q R Q ′ = 0 \lim_{ x \rightarrow x_0} \frac{Q'Q}{RQ'}=0 limx→x0RQ′Q′Q=0
三、积分
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积分的定义
设 f f f是定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一个函数,对于 [ a , b ] [a,b] [a,b]的一个分割 T = { Δ 1 , Δ 2 , … , Δ n } T=\{\Delta {_1},\Delta {_2},\dots,\Delta {_n}\} T={Δ1,Δ2,…,Δn},任取点 ξ i ∈ Δ i , i = 1 , 2 , … , n \xi_i \in \Delta {_i},i=1,2,\dots,n ξi∈Δi,i=1,2,…,n,并做和式 J = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) Δ x i J=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i J=i=1∑nf(ξi)Δxi
称此和式为函数 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一个积分和,也称黎曼和。
定积分:
J = ∑ i = a b f ( ξ i ) Δ x i = ∫ a b f ( x ) d x J=\sum_{i=a}^{b}f(\xi_i)\Delta x_i=\int ^b_a f(x) {\rm d}x J=∑i=abf(ξi)Δxi=∫abf(x)dx
其中, f f f称为被积函数, x x x称为积分变量, [ a , b ] [a,b] [a,b]称为积分区间。 -
积分的几何意义
由上文积分的定义可知,积分的几何意义就是求面积。
对应下图, J = ∫ x 0 + Δ x x 0 f ( x ) d x J=\int ^{x_0}_{x_0+\Delta x} f(x) {\rm d}x J=∫x0+Δxx0f(x)dx的几何意义就是曲线 P Q PQ PQ和 x x x轴围成的面积。
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矩阵导数定义
2019-01-31 21:53:15导数定义: 矩阵/向量值函数对实数的导数 求导结果与函数值同型(m×n矩阵求导结果也是m×n矩阵),且每个元素就是函数值的相应分量对自变量x求导,∂f∂xij=∂fij∂x。导数可以记做∇xF或∇'F 实值函数对矩阵/向量...矩阵求导:本质上只不过是多元函数求导,仅仅是把函数的自变量以及求导的结果排列成了矩阵的形式,方便表达与计算而已。
导数定义:
- 矩阵/向量值函数对实数的导数
- 求导结果与函数值同型(m×n矩阵求导结果也是m×n矩阵),且每个元素就是函数值的相应分量对自变量x求导,∂f∂xij=∂fij∂x
。导数可以记做∇xF
或∇'F
- 实值函数对矩阵/向量的导数
- 求导结果与自变量同型,且每个元素就是f对自变量的相应分量求导,∂f∂Xij=∂f∂xij
。导数可以记做∇Xf
。
- 这是最重要的一个类别,机器学习里一般都是求标量损失函数对向量/矩阵参数的导数。
- δf≈ i,j∇Xfi,jδXi,j=tr((∇Xf)TδX)
。向量值函数对向量的导数(雅克比矩阵)
- 函数 f: Rn→Rm
(n维到m维的映射),则导数∂f∂x
是一个m×n维矩阵,且∂f∂xij=∂fi∂xj
。也可表示为∇xf
。
- 记:认为矩阵对向量、向量对矩阵、矩阵对矩阵的导数没有定义。
特殊例子:
∇xAx=A
∇xx=∇xIx=I
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导数的定义
2022-03-27 09:48:16导数定义的第二种表达形式 导数定义的第三种表达形式 高数_Java全栈研发大联盟的博客-CSDN博客 导数的四种符号 做题中都会遇到,所以都要掌握 常见函数的导数 都要掌握 题型 例1: 用导数的定义求一...定义
这三种表达式做题都会用到
导数定义的第二种表达形式
导数定义的第三种表达形式
导数的四种符号
做题中都会遇到,所以都要掌握
常见函数的导数
都要掌握
题型
例1: 用导数的定义求一个函数的导数
导数意义
左右导数的定义
结论: 在一点处可导它的充要条件是左右导数存在且相等
总结: 如果考察到在某点上可导的讨论的话,一般都是用这个结论,先把左导数求出来,再把右导数求出来,看看是否相等
题型: 考查在某点上可导性
例1
这种题难点在求极限的时候要用到两个重要极限或洛必达法则,肯定有技巧
可导与连续的关系
定理 : 可导必连续
可导必连续的定义
得出结论: 可导必连续,但连续不一定可导
思考:为什么连续不一定可导?老师说可导的几何意义必须是光滑的,但连续可以是一条直线,所以直线方程是不可导的
例题
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