导数、微分、积分的几何理解

一、导数

1. 导数的定义
   设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，若极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(1)$$ 存在，则称函数$f$在点$x_0$处可导，并称该极限为函数$f$在点$x_0$处的导数，记做$f^{\prime }(x_0)$。
   令$x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$,则$(1)$式可改写为$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)(2)$$所以，导数式函数增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$之比$\frac{\Delta y}{\Delta x}$的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称商差），而导数$f^{\prime }(x_0)$则为$f$在$x_0$处关于$x$的变化率。

2. 导数的几何意义
   在导数的定义中已经说过,导数$f^{\prime }(x_0)$为$f$在$x_0$处关于$x$的变化率；所以导数的几何意义就是切线(斜率)。
   对应下图，直线$P{Q}^{\prime }$就是函数$f$在$x_0$处的导数(切线)，即$f^{\prime }(x_0)=P{Q}^{\prime }$
   

二、微分

1. 微分的定义
   设函数$y=f(x)$定义在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内。当给$x_0$一个增量$\Delta x,x_0+\Delta x\in U(x_0)$时,相应的得到函数的增量为$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$如果存在常数$A$,使得$\Delta y$能表示成$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(3)$$则称函数$f$在点$x_0$可微，并称（3）式中的第一项$A\Delta x$为$f$在点$x_0$处的微分，记做$${dy|}_{x=x_0}=A\Delta x或{df(x)|}_{x=x_0}=A\Delta x$$由定义可见函数的微分与增量仅差一个关于$\Delta x$的高阶无穷小量，由于$dy$是$\Delta x$的线性函数，所以当$A̸=0$时，也说微分$dy$是增量$\Delta y$的线性主部。

2. 微分的几何意义
   微分的几何意义如下图所示，当自变量由$x_0$增加到$x_0+\Delta x$时，函数增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=RQ$；
   而微分则是在点$P$处的切线上与$\Delta x$所对应的增量$$dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=R{Q}^{\prime }$$
   其中，$Q{Q}^{\prime }$对应的是$o(\Delta x)$（高阶无穷小量），即${\lim }_{x\to x_0}\frac{Q^{\prime }Q}{R{Q}^{\prime }}=0$
   

三、积分

1. 积分的定义
   设$f$是定义在$[a,b]$上的一个函数，对于$[a,b]$的一个分割 T = { Δ 1 , Δ 2 , … , Δ n } T=\{\Delta {_1},\Delta {_2},\dots,\Delta {_n}\} T={Δ1​,Δ2​,…,Δn​}，任取点${\xi }_i\in \Delta {}_i,i=1,2,\dots ,n$,并做和式$$J=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
   称此和式为函数$f$在$[a,b]$上的一个积分和，也称黎曼和。
   定积分：
   $J={\sum }_{i=a}^{b}f({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$
   其中，$f$称为被积函数，$x$称为积分变量，$[a,b]$称为积分区间。

2. 积分的几何意义
   由上文积分的定义可知，积分的几何意义就是求面积。
   对应下图，$J={\int }_{x_0+\Delta x}^{x_0}f(x)\mathrm{d}x$的几何意义就是曲线$PQ$和$x$轴围成的面积。
   

矩阵求导：本质上只不过是多元函数求导，仅仅是把函数的自变量以及求导的结果排列成了矩阵的形式，方便表达与计算而已。

导数定义：

1. 矩阵/向量值函数对实数的导数

1. 求导结果与函数值同型（m×n矩阵求导结果也是m×n矩阵），且每个元素就是函数值的相应分量对自变量x求导，∂f∂xij=∂fij∂x。导数可以记做∇xF或∇'F

1. 实值函数对矩阵/向量的导数

1. 求导结果与自变量同型，且每个元素就是f对自变量的相应分量求导，∂f∂Xij=∂f∂xij。导数可以记做∇Xf。
2. 这是最重要的一个类别，机器学习里一般都是求标量损失函数对向量/矩阵参数的导数。

1. δf≈ i,j∇Xfi,jδXi,j=tr((∇Xf)TδX)。向量值函数对向量的导数（雅克比矩阵）

1. 函数 f: Rn→Rm（n维到m维的映射），则导数∂f∂x是一个m×n维矩阵，且∂f∂xij=∂fi∂xj。也可表示为∇xf。

1. 记：认为矩阵对向量、向量对矩阵、矩阵对矩阵的导数没有定义。

特殊例子：

       ∇xAx=A

       ∇xx=∇xIx=I

定义

这三种表达式做题都会用到

导数定义的第二种表达形式

 导数定义的第三种表达形式

高数_Java全栈研发大联盟的博客-CSDN博客

导数的四种符号

做题中都会遇到，所以都要掌握

常见函数的导数

都要掌握

题型  

 例1: 用导数的定义求一个函数的导数

导数意义   

左右导数的定义 

结论: 在一点处可导它的充要条件是左右导数存在且相等 

总结: 如果考察到在某点上可导的讨论的话，一般都是用这个结论，先把左导数求出来，再把右导数求出来，看看是否相等

 题型: 考查在某点上可导性

例1 

这种题难点在求极限的时候要用到两个重要极限或洛必达法则，肯定有技巧 

可导与连续的关系

定理 : 可导必连续

可导必连续的定义

得出结论: 可导必连续，但连续不一定可导 

思考:为什么连续不一定可导？老师说可导的几何意义必须是光滑的，但连续可以是一条直线，所以直线方程是不可导的

例题