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  • 导数的概念定义
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    2022-03-27 09:48:16
    导数定义的第二种表达形式 导数定义的第三种表达形式 高数_Java全栈研发大联盟的博客-CSDN博客 导数的四种符号 做题中都会遇到,所以都要掌握 常见函数的导数 都要掌握 题型 例1: 用导数定义求一...

    定义

    这三种表达式做题都会用到

    导数定义的第二种表达形式

     导数定义的第三种表达形式

    高数_Java全栈研发大联盟的博客-CSDN博客

    导数的四种符号

    做题中都会遇到,所以都要掌握

    常见函数的导数

    都要掌握

    题型  

     例1: 用导数的定义求一个函数的导数


    导数意义   

    左右导数的定义 

    结论: 在一点处可导它的充要条件是左右导数存在且相等 

    总结: 如果考察到在某点上可导的讨论的话,一般都是用这个结论,先把左导数求出来,再把右导数求出来,看看是否相等

     题型: 考查在某点上可导性

    例1 

    这种题难点在求极限的时候要用到两个重要极限或洛必达法则,肯定有技巧 


    可导与连续的关系

    定理 : 可导必连续

    可导必连续的定义

      

    得出结论: 可导必连续,但连续不一定可导 

    思考:为什么连续不一定可导?老师说可导的几何意义必须是光滑的,但连续可以是一条直线,所以直线方程是不可导的

    例题 

     

     

     

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  • 高数:导数概念

    2022-04-30 11:52:12
    定义:设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0x0​ 的某邻域内有定义,如果极限 lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow ...

    某点可导及导数

    导数

    定义:设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) x 0 x_0 x0 的某邻域内有定义,如果极限
    lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)
    存在,则称 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导,并称此极限值为 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处的导数,记为 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0),或 y ′ ∣ x = x 0 y'|_{x=x_0} yx=x0,或 d y d x ∣ x = x 0 \frac{dy}{dx}|_{x=x_0} dxdyx=x0;如果该极限不存在,则称 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处不可导

    【注】常用的导数定义的等价形式:
    f ′ ( x ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f(x)=xx0limxx0f(x)f(x0)

    左导数

    设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0及其某个左邻域内有定义,若左极限
    lim ⁡ Δ x → 0 − Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)=xx0limxx0f(x)f(x0)
    存在,则称该极限值为 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处的左导数,记为 f − ′ ( x 0 ) f'_-(x_0) f(x0)

    右导数

    设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0及其某个右邻域内有定义,若右极限
    lim ⁡ Δ x → 0 + Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{\Delta x \rightarrow 0^+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} Δx0+limΔxΔy=Δx0+limΔxf(x0+Δx)f(x0)=xx0+limxx0f(x)f(x0)
    存在,则称该极限值为 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处的左导数,记为 f + ′ ( x 0 ) f'_+(x_0) f+(x0)

    【定理】 函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导的充分必要条件是它在该点处的左导数与右导数都存在且相等。

    区间可导及导数

    开区间可导

    如果 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内每一点都可导,则称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导。此时对于 ( a , b ) (a,b) (a,b)内的每一点 x x x,都对应一个导数值 f ′ ( x ) f'(x) f(x),常称 f ′ ( x ) f'(x) f(x) f ( x ) f(x) f(x) ( a , b ) (a,b) (a,b)内的导函数,简称为导数

    闭区间可导

    如果 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)可导,且 f + ′ ( a ) f'_+(a) f+(a) f − ′ ( b ) f'_-(b) f(b)都存在,则称 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可导。

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    导数的概念和求导法则
    导数的定义
    导数的四则运算法则
    基本初等函数的导数公式
    高阶导数
    导数的定义
    1 设函数y=f(x)在点x0的某一领域内有定义。当自变量x在点x0处取得增量∆x,相应的函数有增量∆y=f(x0 + ∆x) - f(x0), 如果极限

    在,则称函数f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f’(x0).

    2 导数f’(x0)反映了函数f(x)在点x0处的变化率。
    例如,导数可以计算变速直线运动在某一个时刻的瞬时速度;可以计算曲线在某一个点的切线斜率

    导数的四则运算法则
    定理:设u(x),v(x)在点x处可导,则u(x)+v(x), u(x)-v(x), u(x)*v(x),u(x)/v(x)都在x点处可导,并且:
    (1)[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)
    (2)[u(x) - v(x)]’ = u’(x) - v’(x)
    (3)[u(x) * v(x)]’ = u’(x) * v(x) + u(x) * v’(x)
    (4)[u(x) / v(x)]’ = [u’(x)*v(x) -u(x) * v’(x)] / v2(x)

    基本初等函数的导数公式
    (1)( C )’ = 0 (C为常数)
    (2)( xμ )’ = μxμ-1
    (3)( ax )’ = ax㏑a
    (4)( ex )’ = ex
    (5)( ㏒ax)’ = 1/(x*㏑a)
    (6)( ㏑x )’ = 1/x
    (7)( sin(x))’ = cos(x)
    (8)( cos(x))’ = -sin(x)
    (9)( tan(x))’ = sec2(x)
    (10)( cot(x))’ = -csc2(x)
    (11)( sec(x))’ = sec(x)*tan(x)
    (12)( csc(x))’ = -csc(x)*cot(x)

    高阶导数
    一阶导数的导数成为二阶导数。
    二阶与二阶以上的导数统称为高阶导数。
    例如:变速直线运动中的速度v(t)是路程函数s(t)对时间t的导数,而加速度a(t)是v(t)对时间t的导数,同时也是s(t) 对t的二阶导数
     

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  • 一阶导数概念

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    定义 一般定义 设有定义域和取值都在实数域中的函数y=f(x)。若f(x) 在点 的某个邻域内有定义,则当自变量x在x0处取得增量 (点 仍在该邻域内)时,相应地y取得增量 ...处的导数,记为 ...
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  • 第一节 导数概念
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