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  • 导数概念

    千次阅读 2015-07-08 07:04:33
    教学目的:理解导数概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的 物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点:导数概念,导数的几何意义 教学难点:导数定义的理解,不同形式的掌握 教学内容...

    教学目的:理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的

    物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系

    教学重点:导数的概念,导数的几何意义

    教学难点:导数定义的理解,不同形式的掌握

    教学内容:

     

    一、引例

    1.切线问题

    圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”.但是对于其它曲线,用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如,对于抛物线,在原点处两个坐标轴都符合上述定义,但实际上只有轴是该抛物线在点处的切线.下面给出切线的定义.

    设有曲线上的一点(图2-1),在点外另取上一点,作割线.当点沿曲线趋于点时,如果割线绕点旋转而趋于极限位置,直线就称为曲线在点处的切线.这里极限位置的含义是:只要弦长趋于零,也趋于零.

    现在就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题.设是曲线上的一个点(图2-2),则.根据上述定义要定出曲线在点处的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点外另取上的一点,于是割线的斜率为

    其中为割线的倾角.当点沿曲线趋于点时,.如果当时,上式的极限存在,设为,即

    存在,则此极限是割线斜率的极限,也就是切线的斜率.这里,其中是切线的倾角.于是,通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线.事实上,由以及,可见时(这时),.因此直线确为曲线在点处的切线.

    图2-2

     

    图2-1

     

                   

     

     

     

    2.质点沿直线运动的速度

    设某点沿直线运动.在直线上引入原点和单位点(即表示实数1的点),使直线成为数轴.此外,再取定一个时刻作为测量时间的零点.设动点于时刻在直线上的位置的坐标为(简称位置).这样,运动完全由某个函数

    所确定.这函数对运动过程中所出现的值有定义,称为位置函数.在最简单的情形,该动点所经过的路程与所花的时间成正比.就是说,无论取哪一段时间间隔,比值

     

    经过的路程

    所花的时间

    总是相同的.这个比值就称为该动点的速度,并说该点作匀速运动.如果运动不是匀速的,那么在运动的不同时间间隔内,比值①会有不同的值.这样,把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了,而需要按不同时刻来考虑.那么,这种非匀速运动的动点在某一时刻(设为)的速度应如何理解而又如何求得呢?

    首先取从时刻这样一个时间间隔,在这段时间内,动点从位置移动到.这时由①式算得的比值

     

    可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度.如果时间间隔选得较短,这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻的速度.但对于动点在时刻的速度的精确概念来说,这样做是不够的,而更确切地应当这样:令,取②式的极限,如果这个极限存在,设为,即,这时就把这个极限值称为动点在时刻的(瞬时)速度.

    二、导数的定义

    1.函数在一点处的导数与导函数

    定义  设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量处取得增量(点仍在该邻域内)时,相应地函数取得增量;如果之比当时的极限存在,则称函数在点可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即

     

    也可记作.

    函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在.

    导数的定义式③也可取不同的形式,常见的有

     

     

        2.求导举例

    例 1  求函数为常数)的导数.

    解:,即.这就是说,常数的导数等于零.

    例 2  求函数为正整数)在处的导数.

    解:

    把以上结果中的换成,即.

    更一般地,对于幂函数为常数),有.这就是幂函数的导数公式.利用这公式,可以很方便地求出幂函数的导数,例如:

    时,)的导数为

    ,即

    时,)的导数为

    ,即

    例 3  求函数的导数

    解:

              

    即                              

    这就是说,正弦函数的导数是余弦函数.

    用类似的方法,可求得,这就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数.

    例 4  求函数)的导数.

    解:

    即                              

    这就是指数函数的导数公式.特殊地,当时,因,故有

    上式表明,以为底的指数函数的导数就是它自己,这是以为底的指数函数的一个重要特性.

    例 5  

    解:

       

    3、单侧导数

    根据函数在点处的导数的定义,是一个极限,而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等,因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限

    都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数右导数,记作,即

    现在可以说,函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等.

    如果函数在开区间内可导,且都存在,就说在闭区间上可导.

    例 6  

    解:

    =1

    三、导数的几何意义

    是曲线点的切线斜率;

    路程对时间的导数时刻的速度;

    在抽象情况下,表示点变化的快慢

    四、函数的可导性与连续性的关系

    定理  如果函数在点处可导,则函数在该点必连续.

    证:

    =0

    点处连续是可导的必要条件,而不是充分条件.

    例 7  讨论在点连续性与可导性

    解:

     不连续,即不可导.

    例 8  讨论在点连续性与可导性

    解:

     可导,当然在点连续.

    例 9  讨论

    解:

        连续

    不可导.

     

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  • 导数概念中的易错题

    2020-12-01 11:53:24
    导数概念中的易错题 作者:小海考研人 一道易错的题目,不要忽视导数的定义,往往定义是最容易忽视的,有关导数的定义问题是考研的重中之重! 有一个常见问题,如下: lim⁡n→∞f(x+1n)−f(x)1n=A \lim _{n \right...

    导数概念中的易错题

    作者:小海考研人

    一道易错的题目,不要忽视导数的定义,往往定义是最容易忽视的,有关导数的定义问题是考研的重中之重!

    有一个常见问题,如下:
    limnf(x+1n)f(x)1n=A \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)}{\frac{1}{n}}=A
    f(x)f(x) 在点 xx 处的导数是 AA

    这句话是错误的,当然首先要明确,在考研里只要出现 nn,都默认正整数。

    具体解析可以参考 b 站 UP 主 MATH-IDEA 的视频

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  • 一阶导数概念

    千次阅读 2019-04-13 22:55:18
    定义 一般定义 设有定义域和取值都在实数域中的函数y=f(x)。若f(x) 在点 的某个邻域内有定义,则当自变量x在x0处取得增量 (点 仍在该邻域内)时,相应地y取得增量 ...处的导数,记为 ...

    定义

    一般定义

    设有定义域和取值都在实数域中的函数y=f(x)。若f(x) 在点

      

    的某个邻域内有定义,则当自变量x在x0处取得增量

      

    (点

      

    仍在该邻域内)时,相应地y取得增量

      

    ;如果

      

      

    之比当

      

    时的极限存在,则称函数y=f(x) 在点

      

    可导,并称这个极限为函数 y=f(x)在点

      

    处的导数,记为

      

    ,即: [3] 

    对于一般的函数,如果不使用增量的概念,函数f(x)在点x0处的导数也可以定义为:当定义域内的变量x趋近于x0 时,也可记作

      

    或者

      

    的极限。也就是说,

    几何意义

    当函数定义域和取值都在实数域中的时候,导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点。当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线。[1] 

    若曲线为一函数y=f(x)的图像,那么割线PP0的斜率为:

    当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时

      

    ,则P0T的斜率

      

    为:

    上式与一般定义中的导数定义完全相同,也就是说

      

    ,因此,导数的几何意义即曲线y=f(x)在点

     

    处切线的斜率


      

    图1.几何意义图1.几何意义

    性质

    单调性

    一阶导数表示的是函数的变化率,最直观的表现就在于函数的单调性

    图2.单调性图2.单调性

    定理:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶导数,那么:

    (1)若在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递增;

    (2)若在(a,b)内f’(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形单调递减;

    (3)若在(a,b)内f'(x)=0,则f(x)在[a,b]上的图形是平行(或重合)于x轴的直线,即在[a,b]上为常数。 [3] 

    在右图可以直观的看出:函数的导数就是一点上的切线的斜率。当函数单调递增时,斜率为正,函数单调递减时,斜率为负。

    导数与微分

    微分也是一种线性描述函数在一点附近变化的方式。微分和导数是两个不同的概念。但是,对一元函数来说,可微与可导是完全等价的。可微的函数,其微分等于导数乘以自变量的微分dx,换句话说,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。 [3] 

    可导的条件

    如果一个函数定义域为全体实数,即函数在实数域上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先,要使函数f在一点可导,那么函数一定要在这一点处连续。换言之,函数若在某点可导,则必然在该点处连续。

    可导的函数一定连续,不连续的函数一定不可导。

    例子

    欲求函数

    在x=3处的导数。可以先求出其导函数:

    其中第二项使用了复合函数的求导法则,而第三项则使用了乘积的求导法则。求出导函数后,再将x=3代入,得到导数为:

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  • 衍生几何 我的noob示例,使用极限定义(即,直到割线〜tan线之前的近似值)以几何方式解释导数概念
  • 导数的形式: 二.导数的性质: 三.导数在间断点是否可导的充要条件: ----------------------------------------------------------------习题----- 求分段函数中分段点的导数,先要证明该处导数是否存在。 ...

    一.导数的形式:在这里插入图片描述
    二.导数的性质:
    在这里插入图片描述
    三.导数在间断点是否可导的充要条件:
    在这里插入图片描述

    ----------------------------------------------------------------习题-----
    在这里插入图片描述
    求分段函数中分段点的导数,先要证明该处导数是否存在。
    在这里插入图片描述

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  • 导数定义的两种形式;左、右导数的概念导数几何意义,会求曲线的切线方程;函数的可导性与连续性之间的关系。
  • 函数一致性导数定义

    千次阅读 2017-10-16 07:22:07
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    2021-05-31 10:23:37
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  • 数学笔记——导数1(导数的基本概念)

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空空如也

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