马同学：https://www.zhihu.com/question/28684811

这篇博客并没有让我明白什么是导数，现阶段我只能强行记住：导数是与变元个数相关的，变元的个数会构成不同维度的空间，一个变元就是一元函数，构成了一维空间，那么这个空间中某一点的导数只能取得左右两个方向，就是我们常说的左导数和右导数，如果左右导数相等且该点的函数值能取得，则该点可导；两个变元就是二元函数，构成了二维空间，那么这个空间中的某一点导数可以取得2个变元构成的平面内的所有方向（比如说xy平面内，以原点向外的360度方向），就是我们常说的方向导数，如果各个方向的导数都存在且该点的函数值能取得，所有的方向导数都共面则该点“可导”（实际上多元函数没有可导这个概念，只有偏导数，偏微分和全微分这些概念。而这里的“可导”是指可微分）。如果这里不理解，可以参考博客：https://blog.csdn.net/u013066730/article/details/83147774

多元函数在某点可导，但不连续



 在某点存在偏微分，但全微分不存在

参考博客：https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962



我们考察这个函数在 点的全微分和偏微分的情况。

 与 的交线是：



 

平面与曲面所交曲线与 轴重合：

 



在 点的微分（切线）很明显，就是交线（ 轴）自身，因此关于 的偏微分存在。

但是 与 的交线是：

 



在 点形成了一个尖点，很显然此时的微分不存在：

 



因此，全微分不存在。

在初学微分和导数时，虽然感觉概念不复杂，但是我对两者的关系有点模糊，比如以下问题就觉得模棱两可：

对于导数链式法则， dydx=dydududx\frac {dy}{dx} = \frac {dy}{du} \frac {du}{dx}dxdy​=dudy​dxdu​，可以理解为约去$du$，所以等式相等。但假如有F(x,y)，dydx=−∂F/∂x∂F/∂yF(x,y)，\frac {dy}{dx} = -\frac {\partial F  /  \partial x}{\partial F  /  \partial y}F(x,y)，dxdy​=−∂F/∂y∂F/∂x​ ，通过消去$\partial F$，我们是否可以推出 dydx=−dydx\frac {dy}{dx} = - \frac {dy}{dx}dxdy​=−dxdy​？


∫abdydxdx  ⟹  ∫abdy  ⟹  y∣ab\int _ a^ b  \frac {dy}{dx}dx   \implies   \int _ a^ b dy   \implies y \rvert _ a^ b∫ab​dxdy​dx⟹∫ab​dy⟹y∣ab​，这里实实在在地消去了$dx$。


$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv$，然后说$dudv$太小了，所以忽略掉，得到微分的乘法法则：$d(uv)=udv+vdu$，难道 $udv$和$vdu$ 不小？

我当时脑子一片混乱，到底$dx$、$du$、$dv$是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的地方不可以消去？其实在各个历史时期，导数和微分的定义是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史中寻找答案。
我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对$y=f(x)$这样的一元函数。


1. 古典微积分
牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采用莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看维基百科。
1.1 为什么会出现导数？
导数不是牛顿和莱布尼兹发明的，他们之前的数学家已经对曲线的切线进行了研究。在解决曲面（一维函数是曲线，即一维曲面）下面积时，牛顿和莱布尼兹确定了导数的定义。
在微积分出现之前，曲线下的面积是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成无数个矩形面积之和。

直觉告诉我们，如果$n$越大，则这个近似越准确：

这时，无穷小量$dx$（$\Delta x$是把曲线底分成n份的间隔长度）出现了。无穷小量$dx$是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。
在当时的观点下，无穷小量$dx$到底是什么也是有争论的，有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为无穷小量$dx$是真实存在的。
在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。
1.2 导数的古典定义
在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：

割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。

有了切线之后，我们进一步定义导数：

从这张图得出导数的定义：f′(x)=dydxf'(x) =\frac{dy}{dx}f′(x)=dxdy​，而 $dx$ 和 $dy$ 被称为 $x$ 和 $y$ 的微分，都是无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。
1.3 无穷小量导致的麻烦
上节的图实际上是矛盾的：

所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。
无穷小量的麻烦还远远不止这一些， x2x^2x2的导数是这样计算的：

仔细看运算过程， 无穷小量$dx $先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，也就是说$dx$先被当作非0的量，又被当作了0。这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。
无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1吗？
无穷小量还违反了阿基米德公理，这个才是更严重的缺陷。康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。
一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。
1.4 对于古典微积分的总结

切线：通过割线和无穷小量定义了切线。


导数：通过切线和无穷小量定义了导数，导数是曲线在某点处切线的斜率，导数的值等于微商。


微分：微分是微小的增量，即无穷小量。



2. 基于极限重建微积分
莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直想要拼命修补，但是这个问题到200年后，19世纪极限概念的清晰之后，才得到解决。解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限的概念重新建立微积分。
2.1 极限
现在都是用 $ϵ-\delta$ 语言描述极限：

可以看到，极限的描述并没有用到无穷小量$dx$。
2.2 导数的极限定义

用极限重新严格定义，导数已经脱离了微商的概念。此时，导数应该被看成一个整体。
不过我们仍然可以去定义什么是微分。说到这里，真是有点剧情反转，古典微积分是先定义微分再有的导数，极限微积分却是先定义导数再有的微分。

从Δy=f′(x0)Δx+aΔx\Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta xΔy=f′(x0​)Δx+aΔx得出， $\Delta y$由两部分组成，通过图来观察一下几何意义：

dy=f′(x)Δxdy=f'(x)\Delta xdy=f′(x)Δx，这是 $dy$的定义。
令函数$f(x)$的一个函数为$y=x$（用线性函数去逼近原函数），f′(x)=1f'(x) = 1f′(x)=1， $y=x⟹dy=1\Delta x⟹dx=\Delta x$，这是$dx$的定义。
最后我们得到 dy=f′(x)dx  ⟹  dydx=f′(x)dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x)dy=f′(x)dx⟹dxdy​=f′(x)：

2.3 对于极限微积分的总结

导数：导数被定义为一个极限，其几何意义是曲线变化率。导数值是一个常数，是一个常量。开区间内的导数值集合起来，就成为导函数。


微分：微分是函数的局部线性近似，就是一个线性函数，局部看起来很接近原函数，导数是这个线性函数的系数。其意义是变化的具体数值，是一个变量。


切线：有了导数之后，就可以确定切线。



3. 疑问的解答
微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。
3.1 古典微积分与极限微积分的对比

古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。


古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。


古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。


古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。


古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。


古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。

古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。
3.2 疑问的解答
之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。

dydx=dydududx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}dxdy​=dudy​dxdu​ ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个 du 实际上是不同的函数。


∫abdydxdx\int _a^ b \frac{dy}{dx}dx∫ab​dxdy​dx古典微积分中， $dx$确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的，而极限微积分中，∫abdx\int _ a^ b dx∫ab​dx是求黎曼和，我们可以把 ∫ab\int _ a^ b∫ab​当作左括号， $dx$当作右括号，就好比 $(2+6)=8$ ，计算完毕之后，括号自然就消失了。


$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv$在古典微积分中这么计算没有错误，只是 dudv 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。

实际上，古典微积分已经被摒弃了。我们应该重新从极限的角度去认识微积分。
3.3 古典微积分的用处
我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。
并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们可以继续借用他的符号来描述微积分。

4. 无穷小量的逆袭
有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数，即超实数。
基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（基于没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。

5. 多元函数的微分
多元函数$f(x,y)$在(x0，y0)(x_0，y_0)(x0​，y0​)处可微（可全微分），也就是说$f(x,y)$可以在(x0，y0)(x_0，y_0)(x0​，y0​)处，找到唯一的线性函数逼近，这个线性函数就叫做全微分函数。
全微分函数在分量上的系数叫做偏导数，是其一个属性。
转自知乎：微分和导数的关系是什么？两者的几何意义有什么不同？为什么要定义微分 ?

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先简短地回答下我对“什么是导数”的认识：导数是用来找到“线性近似”的数学工具。
下面我来解释一下，为什么我是这样认为的。
在我学习微积分的过程中，我对导数的认知经历了三次变化：
导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度
导数是用来找到“线性近似”的数学工具
导数是线性变换
我认为第一种认知比较片面，在多元函数的情况下甚至是错误的。第二种认知更接近微积分的本质，第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。
因为种种原因，我们的学习都是从第一种认知开始的。我会在本文分别介绍一下这三种认知。最后会通过第三种认知回答“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面(此平面即切平面)？”
1 导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度
微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具(大师就是这么厉害)。
因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数(牛顿称之为“流数”)。
在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求瞬时速度：
同理，求加速度的话就是求速度对于时间的变化率，这里就不赘述了。学习物理的一般习惯把导数看作变化率。
还可以顺便得到了切线的斜率：
我们一般是上面这样的学习过程，所以我们认为，导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度，还可以是切线的斜率。
1.1 但是！
把导数看作是变化率、是切线的斜率，在一元函数的时候是正确的，但是，敲黑板，说但是了哈。
在二元函数中，比如这样一个曲面上的一点 
 ：
在曲面上可以做无数条过 
 点的曲线(图上随便画了三根)：
把导数看作是变化率、是切线的斜率，在多元函数中是片面的，甚至是不正确的。
我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。
顺便说一下，把导数继续看作变化率，切线的斜率，可以得到偏导数、方向导数、全导数.
2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具
讲这个之前，我们要先理解微积分的基本思想。这个思想在我的很多回答中都提到了，这里简单的阐述下。
2.1 微积分的基本思想
微积分的基本思想是“以直代曲”：
“以直代曲”的意思就是，切线可以在切点附近很好的近似曲线：
我觉得下面这幅图也挺有意思，如果在曲线上多选几个点，都作出附近的切线，我们可以透过切线看到曲线的轮廓：
这里我希望给你一个直观印象，切线可以在切点附近很好的近似曲线。如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等，还会通过代数发现这一事实。
2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具
因为“以直代曲”是微积分的基础，所以我们首要任务就是要找到这个“直”，也就是切线，也就是所谓的“线性近似”。导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。
我们来看看，在一元函数中：
因此，在一元函数中，我们把导数看作斜率，可以找到我们想要的“线性近似”(切线)，但是在二元中，我们需要新的技术手段。
3 导数是线性变换
3.1 二元函数的“线性近似”
导数最主要的目的是找到“线性近似”，在一元函数的时候是要找到切线，在二元函数的时候是要找到一个切平面
一个平面是没有斜率的概念的，因此我们不能把导数继续看作斜率了，我们需要别的方法来找到这个切平面。
3.2 线性变换
对线性代数不熟悉的话，可以先看下我之前的回答什么是仿射变换？。下面就会用到大量的线性代数基础知识，我不再进行解释了。
还是从一元的时候开始推：
上图的 
 指向右边，实际上求出的 
 是右导数，我换个方向就可以求出左导数：
如果 
 ，相当于左右导数相等，我们就称为此点可导。
二元函数的时候， 
 有无数的方向(不像一元的时候只有左右两边)：
我们把这些 
 分别记为 
 ，那它们的切线分别为：
导数分别就是 
 (可以理解这些都是方向导数)。
导数：如果有 
 ，那么此点可导，此点导数即为 
 。
为什么 
 就是导数？ 
 不是还没有完成找到切平面的任务吗？
3.3 通过导数 
 来找到切平面
首先，所有的 
 肯定是共面的：
因为此点可导，即所有的 
 的导数都是 
 ，所以变换后的结果也共面(线性变换的特点是，变换前是共面的，变换后也是共面的)：
看看动画吧(可以旋转视角来观察)：
对所有的 
 的都进行 
 变换，实际上就得到了切平面：
至此，导数完成了找到“线性近似”的任务。这里也很自然的回答了“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面(此平面即切平面)？”
注意，有一点需要特别说明的是，因为矢量的起始点要求是在原点，但是我上面把起始点放在 
 点了，所以实际上是仿射变化，所以实际上 
 ，其中 
 仍然是导数。

显然，我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线。因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊。
函数y=f(x)不就是告诉我们：给定一个x，就有一个y跟它对应么？现在我们是给定一个点(假设横坐标为x)，就有一个斜率dy/dx跟它对应。显然，这也是个函数，这个函数就叫导函数，简称导数。
在中学的时候，我们通常在函数f(x)的右上角加上一撇表示这个函数的导数，那么现在这两种情况就都表示导数：
所以，导数f’(x)就可以表示横坐标为x的地方对应切线的斜率，它表示曲线在这一点上的倾斜程度。如果导数f’(x)的值比较大，曲线就比较陡，f’(x)比较小，曲线就比较平缓。于是，我们就可以用导数来描述曲线的倾斜程度了。
这还是我们前面说的抛物线，它的函数图像是这样的：
求函数的导数，就是求函数在每一点切线的斜率，而切线就是曲线上两个相距无穷小的点确定的直线。
那就好说了，我们假设曲线上有一个横坐标为x的点，那么，跟它距离无穷小的点的横坐标就是x+dx，由于这个点也在曲线f(x)=x²上，所以它的纵坐标就是(x+dx)²，即：
然后，我们用这两个点的纵坐标之差f(x+dx)-f(x)除以横坐标之差(x+dx)-x就能算出x点的切线斜率。因为这个x是任意取的，所以得到的结果就是任意点的切线斜率，那么这就是导数了：
到这一步都很简单，接下来就有问题了：这上面和下面的dx到底能不能约掉？
我们知道，除数是不能为0的，如果你想分子分母同时除以一个数，就必须保证这个数不是0。现在我们是想除以dx，这个dx就是我们前面定义的无穷小量，它无限接近于0却又不等于0。
所以，似乎我们姑且把它当作一个非零的量直接给约掉，那么导数上下同时除以dx就成了这样：
这个式子看起来简洁了一些，但是后面还是拖了一个小尾巴dx。
2x是一个有限的数，一个有限的数加上一个无穷小量，结果是多少？似乎还是应该等于这个具体的数。比如，100加上一个无穷小，结果应该还是100，因为如果等于100.00…0001那就不对了，无穷小肯定比你所有能给出的数还小啊，那么也肯定必须比0.00…001还小。
所以，我们似乎又有充足的理由把2x后面的这个dx也给去掉，就像丢掉一个等于0的数一样，这样最终的导数就可以简单地写成这样：
大家看这个导数，当x越来越大(x>0)的时候，f(x)’的值也是越来越大的。而导数是用来表示函数的倾斜程度的，也就是说，当x越来越大的时候，曲线就越来越陡，这跟图像完全一致。
所以，我们通过约掉一个(非零的)dx，再丢掉一个(等于零的)dx得到的导数f(x)’=2x竟然是正确的。
但是这逻辑上就很奇怪了：一个无限趋近于0的无穷小量dx到底是不是0？如果是0，那么为什么可以让分子分母同时除以它来约分；如果不是0，那又为什么可以把它随意舍弃？
总不能同时等于零又不等于零吧？你又不是薛定谔家的无穷小量。
数学不是变戏法，怎么能这么随意呢？于是，这个无穷小量就又招来了一堆批判。为什么说“又”呢？因为我在前面讲积分的时候就说了一次，在这里就体现得更明显了，眼见第二次数学危机大兵压境~