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  • 小波分解和小波包分解
    千次阅读
    2020-12-10 11:38:35

    这篇文章介绍了小波分解和小波包分解。

    小波分解(wavelet transform)

    小波

    傅里叶变换的基本方程是sin和cos,小波变换的基本方程是小波函数(basic wavelet),不同的小波在波形上有较大的差异,相似的小波构成一个小波族(family)。小波具有这样的局部特性:只有在有限的区间内取值不为0。这个特性可以很好地用于表示带有尖锐, 不连续的信号。

    小波变换

    α=WTfα=WTf 其中αα 表示变换得到的小波系数,W是正交矩阵。ff 是输入信号。

    正交矩阵构造

    特定的小波函数(basic wavelet)由一组特定的小波滤波系数(wavelet filter coefficients)构成。当选定了小波函数,其对应的那组小波滤波器系数就知道。用小波滤波器系数构造不同维度的低通滤波器和高通滤波器(下面的例子中W就是由这些系数构造出来的)。低通滤波器可以看作为一个平滑滤波器(smoothing filter)。这两个滤波器,低通和高通滤波器,又分别被称为尺度(scaling)和小波滤波器(wavelet filter)。一旦定义好了这两个滤波器,通过递归分解算法(也称为金字塔算法(pyramid algorithm),树算法(tree algorithm)将得到水平多分辨率表示的信号。

    树算法

    原始信号通过低通滤波器得到低频系数 (approximate coefficients), 通过高通滤波器得到高频系数(detail coefficients)。把第一层的低频系数作为信号输入,又得到一组approximate coefficients和detail coefficients。再把得到的approximate coefficients作为信号输入,得到第二层的approximate coefficients和detail coefficients。以此类推,直到满足设定的分级等级。最大的分解等级为log2Nlog2N.

    用数学表达就是:

    原始信号可看做0级低频系数 a0=(f0,f1,...,fn)a0=(f0,f1,...,fn);

    那么am=G∗am−1am=G∗am−1, dm=Ham−1dm=Ham−1, G,H 分别表示低通滤波器和高通滤波器,用矩阵表示。

    信号的重构

    am−1=G∗am+H∗dmam−1=G∗am+H∗dm G∗G∗,H∗H∗为G,H 的共轭矩阵。

    例子:使用Haar小波做离散小波变换

    Haar小波是最简单的小波函数。归一化的小波滤波器系数只有两个c0=12−−√=0.7071c0=12=0.7071, c1=−0.7071c1=−0.7071. 低通滤波器由0.7071,0.7071组成,高通滤波器由0.7071,-0.7071组成,用矩阵G和H表示,矩阵的维度由信号的长度决定。

    分解的结果

    小波包分解(wavelet packet transform)

    简单理解就是每一层分解得到的系数都要再分解,不像小波分解那样只有低频系数会再分解。同样以Haar小波为例子。

    分解结果

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    1.需要用到的小波工具箱中的三个函数cwt(),centfrq(),scal2frq() COEFS = cwt(S,SCALES,'wname') 该函数实现连续小波变换,其中S为输入信号,SCALES为尺度,wname为小波名称。 FREQ = centfrq('wname') 该...

     一、绘制原理:

    1.需要用到的小波工具箱中的三个函数cwt(),centfrq(),scal2frq()

    COEFS = cwt(S,SCALES,'wname')

    该函数实现连续小波变换,其中S为输入信号,SCALES为尺度,wname为小波名称。

     

    FREQ = centfrq('wname')

    该函数求以wname命名的母小波的中心频率。

     

    F = scal2frq(A,'wname',DELTA)

    该函数能将尺度转换为实际频率,其中A为尺度,wname为小波名称,DELTA为采样周期。

     

    2.尺度与频率之间的关系

    设a为尺度,fs为采样频率,Fc为小波中心频率,则a对应的实际频率Fa为

    Fa=Fc*fs/a

    显然,根据采样定理,为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2),尺度范围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中,只需取尺度足够大即可。

     

    3.尺度序列的确定

    由上式可以看出,为使转换后的频率序列是一等差序列,尺度序列必须取为以下形式:

    c/totalscal, c/(totalscal-1), ...,c/2,c

    其中,totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长度(通常需要预先设定好),c为一常数。

    而尺度c/totalscal所对应的实际频率应为fs/2,于是可得

    c=2*Fc*totalscal

    于是可得到所需的尺度序列。

     

    4.时频图的绘制

    确定了小波基和尺度后,就可以用cwt求小波系数coefs(系数是复数时要取模),然后用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f,最后结合时间序列t,用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。

     

    二、应用例子

    下面给出一实际例子来说明小波时频图的绘制。所取仿真信号是由频率分别为50Hz和100Hz的两个正弦分量所合成的信号。

    % 小波时频分析
    
    clc
    
    clear all
    
    close all
    
    % 原始信号
    
    fs=1000;
    
    f1=50;
    
    f2=100;
    
    t=0:1/fs:1;
    
    s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);
    
    figure
    
    plot(t, s)
    
    % 连续小波变换
    
    wavename='cmor3-3';
    
    totalscal=256;
    
    Fc=centfrq(wavename); % 小波的中心频率
    
    c=2*Fc*totalscal;
    
    scals=c./(1:totalscal);
    
    f=scal2frq(scals,wavename,1/fs); % 将尺度转换为频率
    
    coefs=cwt(s,scals,wavename); % 求连续小波系数
    
    figure
    
    imagesc(t,f,abs(coefs));
    
    set(gca,'YDir','normal')
    
    colorbar;
    
    xlabel('时间 t/s');
    
    ylabel('频率 f/Hz');
    
    title('小波时频图');

    说明:

    在这个例子中,最好选用复的morlet小波,其它小波的分析效果不好,而且morlet小波的带宽参数和中心频率取得越大,时频图上反映的时频聚集性越好。

     

    与其他时频分析对比,如短时傅里叶变换时频图

     

    小结:

    高频时小波效果好,因为小波在高频处分辨率可以自动调整,分辨率高。

    代码:

    % 时频分析
    
    clc
    
    clear all
    
    close all
    
    % 原始信号
    
    fs=1000;
    
    f1=50;
    
    f2=100;
    
    t=0:1/fs:1;
    
    s = sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);%+randn(1, length(t));
    
    % s = chirp(t,20,0.3,300);
    
    s = chirp(t,20,1,500,'q');
    
    figure
    
    plot(t, s)
    
    % 连续小波变换时频图
    
    wavename='cmor3-3';
    
    totalscal=256;
    
    Fc=centfrq(wavename); % 小波的中心频率
    
    c=2*Fc*totalscal;
    
    scals=c./(1:totalscal);
    
    f=scal2frq(scals,wavename,1/fs); % 将尺度转换为频率
    
    coefs=cwt(s,scals,wavename); % 求连续小波系数
    
    figure
    
    imagesc(t,f,abs(coefs));
    
    set(gca,'YDir','normal')
    
    colorbar;
    
    xlabel('时间 t/s');
    
    ylabel('频率 f/Hz');
    
    title('小波时频图');
    
    % 短时傅里叶变换时频图
    
    figure
    
    spectrogram(s,256,250,256,fs);
    
    % 时频分析工具箱里的短时傅里叶变换
    
    f = 0:fs/2;
    
    tfr = tfrstft(s');
    
    tfr = tfr(1:floor(length(s)/2), :);
    
    figure
    
    imagesc(t, f, abs(tfr));
    
    set(gca,'YDir','normal')
    
    colorbar;
    
    xlabel('时间 t/s');
    
    ylabel('频率 f/Hz');
    
    title('短时傅里叶变换时频图');





     

    使用命令行执行连续小波分析

    这个例子是一个包含噪声的正弦波

    1. 加载信号

    load noissin

    可以使用whos显示信号信息

    whos

    Name

    Size

    Bytes

    Class

    noissin

    1x1000

    8000

    double

    2. 执行连续小波变换

    c = cwt(noissin,1:48,'db4');

    函数cwt的参数分别为分析的信号、分析的尺度和使用的小波。返回值c包含了在各尺度下的小波系数。对于这里,c是一个48x1000的矩阵,每一行与一个尺度相关。

    3. 绘制小波系数

    cwt函数可以接受第四个参数,来指定函数在执行结束后是否绘制连续小波变换系数的绝对值。另外还可以接受更多的参数来定义显示的不同特性,详见cwt函数。如下面的语句绘制系数结果

    c = cwt(noissin,1:48,'db4','plot');

    4. 选择分析的尺度

    cwt函数的第二个参数可以设定任意小波分析的尺度,只要这些尺度满足如下要求

    l 所有尺幅必须为正实数

    l 尺度的增量必须为正

    l 最高的尺度不能超过由信号决定的一个最大值

    如下面的代码可以执行从2开始的偶数尺度计算

    c = cwt(noissin,2:2:128,'db4','plot');

    显示结果如下

    这幅图像很明确的表示出了信号的周期性。

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