一、 二元关系

---

$n$ 元关系 :

元素 都是 有序 $n$ 元组的集合 ;

$n$ 元关系示例 :

3 元关系 : F 1 = { < 1 , 2 , 3 > , < a , b , c > , < 数 学 , 物 理 , 化 学 > } F_1 = \{ <1, 2, 3> , <a, b, c> , <数学 , 物理 , 化学> \} F1​={<1,2,3>,<a,b,c>,<数学,物理,化学>}

$F_1$ 是 $3$ 元关系 , 其每个元素都是 有序 $3$ 元组 ;

4 元关系 : F 2 = { < 1 , 2 , 3 , 4 > , < a , b , c , d > , < 语 文 , 数 学 , 物 理 , 化 学 > } F_2 = \{ <1, 2, 3, 4> , <a, b, c, d> , <语文 , 数学 , 物理 , 化学> \} F2​={<1,2,3,4>,<a,b,c,d>,<语文,数学,物理,化学>}

$F_2$ 是 $4$ 元关系 , 其每个元素都是 有序 $4$ 元组 ;

上述有序 $n$ 元组 , 个数相同 , 元素性质可以不同 ;

二、 二元关系记法

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如果 $F$ 是二元关系 ( $F$ 是有序 $2$ 元组集合 )

则有 :

$<x,y>\in F$

$\iff$

$x与y有F关系$

$\iff$

$xFy$

二元关系记法 :

① 中缀记法 ( infix ) : $xFy$

② 前缀记法 ( prefix ) : $F(x,y)$ , 或 $Fxy$

③ 后缀记法 ( suffix ) : $<x,y>\in F$ , 或 $xyF$

如 : $2<5$ , $2$ 小于 $5$ ;

① 中缀记法 ( infix ) : $2<5$

② 前缀记法 ( prefix ) : $<(2,5)$

③ 后缀记法 ( suffix ) : $<2,5>\in <$

三、 A 到 B 的二元关系

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$A$ 到 $B$ 的二元关系概念 :

$A\times B$ 的 任意子集 是 $A$ 到 $B$ 的二元关系

$\iff$

$R\subseteq A\times B$

$\iff$

$R\in P(A\times B)$

$A$ 到 $B$ 的二元关系 其中可能有 $1$ 个集合 , $2$ 个集合 , $\cdots$ , $n$ 个集合 ;

四、 A 到 B 的二元关系个数

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$A$ 到 $B$ 的二元关系个数 :

$|A|=m$ , $|B|=n$

$A$ 集合元素个数 $m$ 个 , $B$ 集合元素个数 $n$ 个 ;

有序对个数 : $|A\times B|=mn$

二元关系 个数 : $|P(A\times B)=2^{mn}|$ , 即 上述 $mn$ 个有序对总集合的 幂集 个数 ;

$A$ 到 $B$ 的二元关系个数 = $A\times B$ 幂集个数 = $2^{mn}$ 个

五、 A 到 B 的二元关系举例

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A = { a 1 , a 2 } A = \{a_1, a_2\} A={a1​,a2​} , B = { b } B = \{ b \} B={b}

$A$ 集合 与 $B$ 集合的卡氏积是 :

A × B = { ∅ , { < a 1 , b > } , { < a 2 , b > } } A \times B = \{ \varnothing, \{ <a_1 , b> \} , \{ <a_2 , b> \} \} A×B={∅,{<a1​,b>},{<a2​,b>}}

分析 : 其中有 $3$ 个有序对 , 其二元关系个数有 $2^{2\times 1}=4$ 个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有 $0$ 个有序对的个数 $0$ 个 , $1$ 个有序对的个数 $2$ 个 , $2$ 个有序对个数 $1$ 个 ;

$A$ 集合 到 $B$ 集合的 二元关系 : 有 $4$ 个 ;

$R_1=\varnothing$ , $a_1$ 与 $b$ 没有关系 , $a_2$ 与 $b$ 没有关系 ;

R 2 = { < a 1 , b > } R_2 = \{ <a_1 , b> \} R2​={<a1​,b>} , $a_1$ 与 $b$ 有关系 , $a_2$ 与 $b$ 没有关系 ;

R 3 = { < a 2 , b > } R_3 = \{ <a_2 , b> \} R3​={<a2​,b>} , $a_1$ 与 $b$ 有关系 , $a_2$ 与 $b$ 没有关系 ;

R 4 = { < a 1 , b > , < a 2 , b > } R_4 = \{ <a_1 , b> , <a_2, b> \} R4​={<a1​,b>,<a2​,b>} , $a_2$ 与 $b$ 有关系 , $a_1$ 与 $b$有关系 ;

$B$ 集合 与 $A$ 集合的卡氏积是 :

A × B = { ∅ , { < b , a 1 > } , { < b , a 2 > } } A \times B = \{ \varnothing, \{ <b, a_1 > \} , \{ <b, a_2 > \} \} A×B={∅,{<b,a1​>},{<b,a2​>}}

分析 : 其中有 $3$ 个有序对 , 其二元关系个数有 $2^{2\times 1}=4$ 个 , 即 上述 有序对集合的幂集 , 分别是 有 $0$ 个有序对的个数 $0$ 个 , $1$ 个有序对的个数 $2$ 个 , $2$ 个有序对个数 $1$ 个 ;

$B$ 集合 到 $A$ 集合的 二元关系 : 有 $4$ 个 ;

$R_5=\varnothing$ , $b$ 与 $a_1$ 没有关系 , $b$ 与 $a_2$ 没有关系 ;

R 6 = { < b , a 1 > } R_6 = \{ <b, a_1 > \} R6​={<b,a1​>} , $b$ 与 $a_1$ 有关系 , $b$ 与 $a_2$ 没有关系 ;

R 7 = { < b , a 2 > } R_7 = \{ <b, a_2> \} R7​={<b,a2​>} ,$b$ 与 $a_1$ 没有关系 , $b$ 与 $a_2$ 有关系 ;

R 8 = { < b , a 1 > , < b , a 2 > } R_8 = \{ <b, a_1 > , <b, a_2> \} R8​={<b,a1​>,<b,a2​>} , $b$ 与 $a_1$ 有关系 , $b$ 与 $a_2$ 有关系 ;

#include <stdio.h>

int a, b; //定义变量

int main()

{

void fun(int c, int d); //声明函数

printf(“请输入两个整数（中间用空格相隔）:”);

scanf("%d %d", &a, &b);

x1(a, b);

return 0;

}

void fun(int c, int d) //定义函数

{

int e = 0;
int num[100];
int g;

for (g = a; g < b; g++) //寻找符号要求的数值

{

if (g % 7 == 0 && g % 11 != 0)

{

num[e]=g;
e++;

}

else if (g % 7 != 0 && g % 11 == 0)

{

num[e]=g;
e++;

}

}

for (g = 0; g < e; g++) //输出结果与个数
{
printf("%d “,num[g]);
}
printf(”\n个数为：");
printf("%d",e);
}

实验1

（1）实验目的

通过该实验，让学生复习巩固C语言中的循环结构、循环控制条件、分支结构和数组/链表、函数的调用等有关内容，体会到用数组存储集合时，需要记录集合元素的个数，否则输出结果会出现数据越界现象。

（2）实验内容

通过键盘，分别输入两个数据元素类型为正整数的集合A和B，以负数输入为结束条件，输出两个集合的交、并、差。

（3）实验要求

从程序完善性上考虑，集合元素输入时，要有检查元素重复的功能，每个集合中不允许有重复的元素。集合可以用数组也可以用链表存储。

实现交、并、差运算时，分别把代码写成函数的形式，即实现交运算的函数，实现并运算的函数，实现差运算的函数，在主函数中分别调用三个函数。

使用菜单形式对应各个操作，应允许用户反复查看结果，想结束程序时，输入负数结束，使其编成一个完整的小软件。菜单参考示例如下：

1—输入集合A和B
2—求集合A交B
3—求集合A并B
4—求集合A-B
退出，输入一个负数！

（4）验收/测试用例

输入： A={1,2,3,4,5} B={3,4,5,6,7}

要注意输入的过程中，每输入一个元素都要检查输入的这个元素是否和前面的元素重复，如果重复，要求用户重新输入当前元素。

验收测试时要测试这种重复的情况。

输出 A交B={3， 4， 5} A并B={1，2，3，4，5，6，7} A-B={1, 2}

重点： 数组或线性表的使用
难点： 去重操作和函数调用

一、设计思想

1. 首先在main函数中设置while循环，打印菜单，switch分支判断输入，在分支中调用相应函数完成功能。

2. 设置全局变量 input_a[99]、input_b[99]存储相应集合，int i,int m 集合元素个数（至于为什么要用全局变量，不用局部变量，全局变量生存周期随程序，下面打印集合等功能更加方便）

3. 声明函数
   3.1 输入集合函数
   3.2 求并集
   3.3 求交集
   3.4 求差集
   3.5 打印集合

4. 其中比较复杂的地方
   4.1 选用全局变量而不是成员变量
   4.2 求集合并集函数功能实现

二、主要源代码

# include<iostream>
# include<stdio.h>
# include<stdlib.h>
using namespace std;

int in_a();
int in_b();



int jiao_a_b();
int bing_a_b();
int cha_a_b();


//定义全局变量 
int input_a[99] = {0};
int input_b[99] = {0};



//集合A、B的元素下标 
int i = 0;
int m = 0;



int main()
{
	
	int n = 1;//退出菜单的标记 
	
	while(n){
		int s;
		cout<<"====欢迎使用集合运算小工具~~===="<<endl;
		cout<<"++输入对应数字指令实现相应功能++"<<endl;
		cout<<"********1---输入集合A和B********"<<endl;
		cout<<"********2---求集合A交B********"<<endl;
		cout<<"********3---求集合A并B********"<<endl;
		cout<<"********4---求集合A差B********"<<endl;
		cout<<"********5---输出集合A、B******"<<endl; 
		cout<<"*****输入一个负数退出程序~*****"<<endl;
		
		cout<<"请输入指令：\n";
		
		scanf("%d",&s);
		switch(s){
			case 1:
				system("cls");
				cout<<"输入集合A和B"<<endl;
				in_a();
				in_b();
				break;
			case 2:
				system("cls");
				cout<<"求集合A交B"<<endl;
				jiao_a_b();
				printf("\n");
				break;
			case 3:
				system("cls");
				cout<<"求集合A并B"<<endl;
				bing_a_b();
				printf("\n");
				break;
			case 4:
				system("cls");
				cout<<"求集合A差B"<<endl;
				cha_a_b();
				printf("\n");
				break;
			case 5:
				system("cls");
				cout<<"输出集合A、B"<<endl;
				//输出集合A 
				printf("集合A："); 
				for(int  k = 0; k <i;k++){
					printf("%d ",input_a[k]);
				}
				printf("\n");
				//输出集合B 
				printf("集合B："); 
				for(int  k = 0; k <m;k++){
					printf("%d ",input_b[k]);
				}
				printf("\n");
				
				break; 
			default:
				system("cls");
				if(s<0){
					n = 0;
					cout<<"程序退出成功，欢迎下次使用~~"<<endl; 
					break;
					
				}
				
				else
					cout<<"您输入的指令有误，请重新输入~"<<endl;
			 
		}
		
		
	}
	
}

//1. 输入集合a函数 
int in_a(){	
	int num;
	//集合a的输入 
	cout<<"请输入集合a,以负数为结束的记号结束输入~"<<endl;
	while(scanf("%d",&num) > 0  && getchar() != '\n'){
		i++;
		if(i == 1)
			input_a[i-1] = num;
		else{
			for(int y = 0;y <= i-2; y++){
				//判断输入的数和前面的是否相等 
				if(num != input_a[y]){
					input_a[i-1] = num;
				}
				else{
					printf("你输入的集合a含重复的元素,请重新输入集合a~\n");
					i = 0;
					in_a(); 
				}
	
			}		
		}		
	}
}



//2. 输入集合b函数 
int in_b(){


	int num;

	//集合b的输入 
	cout<<"请输入集合b,以负数为结束的记号结束输入~" <<endl;
	while(scanf("%d",&num) > 0  && getchar() != '\n'){
		m++;
		if(m == 1)
			input_b[m-1] = num;
		else{
			for(int y = 0;y <= m-2;y++){
				if(num != input_b[y]){
					input_b[m-1] = num;
				}
				else{
					printf("你输入的集合b含重复的元素,请重新输入集合b~\n");
					m = 0;
					in_b(); 
					 
					
				}
			}
			
			
		}
		
	}
 
} 

//3. 交函数 
int jiao_a_b(){
	printf("集合A交B为：");
	for(int k = 0; k < i;k++){
		for(int j = 0; j< m;j++){
			if(input_a[k] == input_b[j]){
				printf("%d ",input_a[k]);
			}
		}
	}
	printf("\n");

	
	
}
//4. 并函数 
int bing_a_b(){
	int t = 0;
	printf("集合A并B为：");
	for(int k = 0; k < i;k++){
		printf("%d ",input_a[k]);
		
	}
	for(int j = 0;j< m;j++){
		for(int k = 0;k<i;k++){
			if(input_b[j] != input_a[k]){
				t++;
			}
			
		}
		if(t == i)
			printf("%d ",input_b[j]);
		
			t = 0;
		
	}
	
	printf("\n");
	
	
}

//5. 差函数 
int cha_a_b(){
	int t = 0;
	printf("集合A差B为：");
	for(int k = 0; k < i;k++){
		for(int j = 0; j< m;j++){
			if(input_a[k] != input_b[j])
				t++;
		}
		if(t == m)
			printf("%d ",input_a[k]);
			
		t = 0;
	}
	printf("\n");
	
}

部分截图

求并集的原理调试图

就是使用t记录B集合内的某元素是否和A中的每一个元素都不同（A中共i个元素），不同就输出

三、实验总结

1. 巩固了菜单小程序的总体体系（while + switch + 功能函数）
2. 查阅学习了C中全局变量和局部变量的区别，参考：http://c.biancheng.net/view/1858.html
3. 熟悉了while(scanf(…) != EOF){…}等语法操作
4. 求并集函数和求差集函数采用 计数判断 法

• 求并集：先打印A集合全部，然后嵌套循环判断集合B的元素，是否计数为5
  （找出和A中完全不等的元素）打印
• 求交集：嵌套判断A集合中多余B集合的元素，是否计数为5（找出A中独有的元素）打印