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  • 给定两整数 nk,返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。 一、题目要求 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ] 二、算法示例 Swift var res = [[Int]]...

    给定两个整数 n 和 k,返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

    一、题目要求
    	输入: n = 4, k = 2
    	输出:
    	[
    	  [2,4],
    	  [3,4],
    	  [2,3],
    	  [1,2],
    	  [1,3],
    	  [1,4],
    	]
    
    二、示例算法
    ① Swift
    • 因结果集合全是由小到达排序的方式,所以不用考虑去重复,因此流程变得简单多了;
    • 用一个数组t来记录目前已经访问数据、如果数组中的元素数量等于 k 意味着找到了一组答案,存到 res 中;
    • 每次递时记录数据时起始元素为 t 数组中最后一个+1,并判断剩余未遍历的数据的数据是否还够用;
    • 如果不够用了,直接没有必要继续向下遍历直接返回。
    	var res = [[Int]]()
        func bt(_ n:Int, _ count:Int, _ t:[Int]){
            let tLen = t.count
            if tLen == count {
                res.append(t);
                return;
            }
            
            let minT = t.count > 0 ? t.last!+1 : 1
            if minT > n || n-minT+1 < count-tLen {
            	return;
            }
            var tmp = t
            
            for i in minT ... n {
                tmp.append(i)
                bt(n,count,tmp)
                tmp.removeLast()
            }
        }
        
        func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
            let tmp = [Int]()
            bt(n, k, tmp)
            return res
        }
    
    ② Java
    • Java实现:既然是树形问题上的深度优先遍历,因此首先画出树形结构。例如输入:n = 4, k = 2,我们可以发现如下递归结构:
      • 如果组合里有 1 ,那么需要在 [2, 3, 4] 里再找 1 个数;
      • 如果组合里有 2 ,那么需要在 [3, 4] 里再找 1 个数。
      • 注意:这里不能再考虑 1,因为包含 1 的组合,在第 1 种情况中已经包含。
      • 依次类推(后面部分省略),以上描述体现的 递归 结构是:在以 n 结尾的候选数组里,选出若干个元素。画出递归结构如下图:

    在这里插入图片描述

    • 说明:
      • 叶子结点的信息体现在从根结点到叶子结点的路径上,因此需要一个表示路径的变量 path,它是一个列表,特别地,path 是一个栈;
      • 每一个结点递归地在做同样的事情,区别在于搜索起点,因此需要一个变量 start ,表示在区间 [begin, n] 里选出若干个数的组合。
    • Java 算法一:
    	public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
            List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
            if (k <= 0 || n < k) {
                return res;
            }
            // 从 1 开始是题目的设定
            Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
            dfs(n, k, 1, path, res);
            return res;
        }
    
        private void dfs(int n, int k, int begin, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
            // 递归终止条件是:path 的长度等于 k
            if (path.size() == k) {
                res.add(new ArrayList<>(path));
                return;
            }
    
            // 遍历可能的搜索起点
            for (int i = begin; i <= n; i++) {
                // 向路径变量里添加一个数
                path.addLast(i);
                // 下一轮搜索,设置的搜索起点要加 1,因为组合数理不允许出现重复的元素
                dfs(n, k, i + 1, path, res);
                // 重点理解这里:深度优先遍历有回头的过程,因此递归之前做了什么,递归之后需要做相同操作的逆向操作
                path.removeLast();
            }
        }
    
    • Java 算法二:
    	public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
            List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
            if (k <= 0 || n < k) {
                return res;
            }
            Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
            dfs(n, k, 1, path, res);
            return res;
        }
    
        private void dfs(int n, int k, int begin, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
            if (path.size() == k) {
                res.add(new ArrayList<>(path));
                return;
            }
            for (int i = begin; i <= n; i++) {
                path.addLast(i);
                System.out.println("递归之前 => " + path);
                dfs(n, k, i + 1, path, res);
                path.removeLast();
                System.out.println("递归之后 => " + path);
            }
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            Solution solution = new Solution();
            int n = 5;
            int k = 3;
            List<List<Integer>> res = solution.combine(n, k);
            System.out.println(res);
        }
    
    • 优化:分析搜索起点的上界进行剪枝
    • 上面的代码,搜索起点遍历到 n,即:递归函数中有下面的代码片段:
    	// 从当前搜索起点 begin 遍历到 n
    	for (int i = begin; i <= n; i++) {
    	    path.addLast(i);
    	    dfs(n, k, i + 1, path, res);
    	    path.removeLast();
    	}
    
    • 事实上,如果 n = 7,k = 4,从 5 开始搜索就已经没有意义了,这是因为:即使把 5 选上,后面的数只有 6 和 7,一共就 3 个候选数,凑不出 4 个数的组合。因此,搜索起点有上界,这个上界是多少,可以举几个例子分析。
    • 分析搜索起点的上界,其实是在深度优先遍历的过程中剪枝,剪枝可以避免不必要的遍历,剪枝剪得好,可以大幅度节约算法的执行时间。
    • 下面的图片绿色部分是剪掉的枝叶,当 n 很大的时候,能少遍历很多结点,节约了时间。

    在这里插入图片描述

    • 容易知道:搜索起点和当前还需要选几个数有关,而当前还需要选几个数与已经选了几个数有关,即与 path 的长度相关。举几个例子分析:
    • 例如:n = 6 ,k = 4:
      • path.size() == 1 的时候,接下来要选择 3 个数,搜索起点最大是 4,最后一个被选的组合是 [4, 5, 6];
      • path.size() == 2 的时候,接下来要选择 2 个数,搜索起点最大是 5,最后一个被选的组合是 [5, 6];
      • path.size() == 3 的时候,接下来要选择 1 个数,搜索起点最大是 6,最后一个被选的组合是 [6];
    • 再如:n = 15 ,k = 4:
      • path.size() == 1 的时候,接下来要选择 3 个数,搜索起点最大是 13,最后一个被选的是 [13, 14, 15];
      • path.size() == 2 的时候,接下来要选择 2 个数,搜索起点最大是 14,最后一个被选的是 [14, 15];
      • path.size() == 3 的时候,接下来要选择 1 个数,搜索起点最大是 15,最后一个被选的是 [15];
    • 结论:搜索起点的上界 + 接下来要选择的元素个数 - 1 = n。
    • 接下来要选择的元素个数 = k - path.size(),整理得到:
    	搜索起点的上界 = n - (k - path.size()) + 1
    
    • 因此我们的剪枝过程就是:把 i <= n 改成 i <= n - (k - path.size()) + 1 :
    	public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
            List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
            if (k <= 0 || n < k) {
                return res;
            }
            Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
            dfs(n, k, 1, path, res);
            return res;
        }
    
        private void dfs(int n, int k, int index, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
            if (path.size() == k) {
                res.add(new ArrayList<>(path));
                return;
            }
    
            // 只有这里 i <= n - (k - path.size()) + 1 与参考代码 1 不同
            for (int i = index; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
                path.addLast(i);
                dfs(n, k, i + 1, path, res);
                path.removeLast();
            }
        }
    
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  • 概率论与数理统计

    2021-10-07 18:33:21
    一、古典概型开始引入概率论的基本概念 古典概型,全称古典概率模型,也叫等可能模型,是人们最早研究的概率,也是学习概率论的起点。古典概型通过随机实验获得结果,而古典概率研究的问题有两重要特点:结果...

    一、从古典概型开始引入概率论的基本概念

    古典概型,全称古典概率模型,也叫等可能模型,是人们最早研究的概率,也是学习概率论的起点。古典概型通过随机实验获得结果,而古典概率研究的问题有两个重要特点:结果有限,可能性一致。

    1、结果有限,指的是实验能出现所有结果是有限个,比如抛硬币只能产生正反2种结果,扔骰子会得到一至六点共6种结果。

    2、可能性一致,是它另一个名字等可能模型的得名的原因,所有结果的可能性相等,例如抛硬币出现正、反应的可能性是一样的,扔骰子每个点数1~6出现的可能性也是一样的。

    既然每种结果有限,且每种结果的可能性也相等,那么古典概率的计算就可以视为所求情况下事件的结果个数除以所有可能的结果个数(概率=该情况下的结果个数/所有可能的结果个数),例如抛硬币总共可能有两种结果(个数=2),正面为1种可能,那么出现正面的概率为1/2,这也与现实相符。

    掷骰子也类似,总共可能产生6种结果,那么其中1种的概率就是1/6,但掷骰子可以涉及到一些更复杂的情况,比如我要求的不是某一具体点数的概率,而是点数为奇数的概率,那该如何计算呢?

    结果是这样的,掷出“1”“3”“5”点三种可能均满足奇数点数这个条件,即所有满足条件的结果个数有3个,用3除以所有结果数6得到1/2,点数为奇数的概率是1/2。

    以所有结果1到6位一个集合,奇数个结果用黄色标出

    我们可以看出“点数为奇数”这个结果是由三个更基本的结果“1”“3”“5”点组成的,这种不可再分的最基本结果叫做基本事件,或者叫样本点。而“点数为奇数”则称为这种由许多个基本事件所组成的事件叫做随机事件。有了基本事件,和基本事件组成的随机事件,我们就可以进一步说明一下随机事件的一些特殊情况,比如我们规定一个随机事件为“掷出点数为1~6任一点”,那么这个随机事件就包括了所有6种可能结果,6/6=1,这个随机事件就100%必然发生,因为我们称其为必然事件。而如果规定一个随机事件“点数为7”那么这种可能属于所有可能的任一种,为0,0/6还等于0也就是说这是不可能事件。

    总结一下出现的几个概念:古典概型、随机实验、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件。串在一起就是:古典概型进行随机实验,导致随机事件,随机事件由基本事件组成,也可能等于基本事件。概率=事件包含基本事件的个数/所有可能产生基本事件的个数 。

    此外刚才讲过基本事件的另一个名称叫样本点,样本点是集合论的说法,所有可能的情况即所有基本事件加在一起,也就是所有样本点的集合叫做样本空间,样本空间英文简写Ω。随机事件用大写字母表示如A,刚才的公式也可写成:概率=A包含样本点的个数/Ω包含样本点的个数。

    二、无限结果的几何概型

    古典概型的结果是有限的,那么有没有无限个结果的情况呢,答案是有,这就涉及到另一种概型,几何概型。举个实际例子,在(0,1)区间上随机抽取两个数u,v,满足v平方>u的概率是多少?这就是一个几何概型问题,数轴上任何一个区间上显然都有无限多个实数,那么这种情况该怎么处理?其实总思路还是不变的,即用满足条件的可能性除以所有可能性。u、v所有可能的结果在0<v<1,0<u<1区间上相当于围成了一个四边形面积,而要满足方程v平方>u的结果除此之外还多一个条件就是v平方>u,是之前那个四边形面积的一部分,两个面积相比,就相当于概率=满足条件的可能性/所有可能性了,与古典概型有所不同但又殊途同归。由于常常需要作图求面积属于几何方法,无限结果的概率类型因而得名几何概型。

    三、概率的统一和公理化定义。

    古典概型和几何概型是现代概率论出现前的两大分支,到了近代逐渐有人想把它们统一起来,俄国数学科尔莫洛夫在1933年首先将两种概型抽象化,提出了一个公理化定义,即概率是一个特殊的映射。

    我们先说说什么叫映射,比起映射多数人肯定更熟悉一个跟映射类似的概念--函数,函数是每个自变量x的值都按一定对应法则唯一对应一个因变量y的值,简单说就是x和y一一对应。映射也类似,但区别是映射的内容可以不是数而是任意元素,所以自变量x的值可以是“硬币正面朝上”“明天下雨”之类的内容,可以写成诸如f(“正面朝上”)=1/2之类的。科尔莫洛夫也说了这是一个特殊的映射,因为该映射要满足三个条件(1)不能为负数(2)以整个样本空间为自变量后对应取值=1即可能性是100%(3)具有可列可加性。

    概率是满足这三个条件的特殊映射,我们之前讲过事件一般用大写字母A、B、C等表示,而概率则用P表示,所以这个映射如取值为A就可写成P(A),根据定义P(A)最高可能性为100%,最低为0,所以 0<P(A)<1 ,同样如果P(A)能取一个具体数字如1/2则可写成诸如P(A)=1/2等等。

    四、概率的函数化与随机变量

    虽然概率可以被定义为映射,但映射的使用有很多局限。如果能用函数表示概率,我们就能用求导、图像等函数方法来研究概率的性质,中学所讲的正态分布图像就是概率转化成函数后得来的,所以把概率从映射再转化为函数很有必要,其实就是把因变量数字化,例如把“明天下雨”“正面朝上”这些随机事件转化为数字,然后再对应概率值,实现这个过程就要引入一个新概念----随机变量,即把样本空间中的每一个基本事件(样本点)都转化为一个唯一对应的实数,这就叫做随机变量。

    随机变量用大写的X、Y、Z等字母表示,随机变量如何选择、以及用随机变量构造一个什么样的函数取决于我们要解决的实际问题,例如一个很常见的“备货问题”:用之前卖出货物的概率计算每周准备多少货物才能既不缺货也不滞销。随机变量的选取不一定用基本事件,但最好和数字相关,比如备货问题中选每周卖出的货物数量作为随机变量。

    上面这个例子中随机变量X的取值就是每周卖出的货物数量0到6,对应其相应的概率,最右一列则为累积概率,可以看出存货4个就足以应对近0.95即95%的情况,所以4个是个合理的备货数字,存货问题得以解决。存货问题中我们不是用随机变量对应概率的函数解决,而是用最右边的累积概率解决的,事实上多数情况下我们要用的都是这个累加概率,把随机变量的概率累加在一起有个专门的名字---分布函数(Cumulative Distribution Function,CDF),这以后就是我们最常用的函数,而用随机变量直接对应概率则称为分布律或分布列。

    五、从随机变量到分布函数与分布列

    下面就举个分布列与相应分布函数的例子,在下图这个最简单的例子中X=1、2、3分别对应了概率1/4、1/2、1/4,分布列的写法一般如下所示列成表格(左下),随机变量直接对应概率形成的函数作图是离散的点函数(左上),为了方便观看有时画成柱状图(右上),而概率累加形成的分布函数(CDF)是个分段函数(右下),空心圈是分段函数的间断点,最终累加的结果为1。

    随机变量的取值是非常关键的,选对了取值很多问题都会变得很直观,比如进行一次概率=p的独立重复试验(伯努利实验),有“成功”“失败”两种结果,设“成功”的值为1(即成功1次),“失败”的值为0(可以理解为失败就是成功0次)。分布列如下:

    这就是《概率论与数理统计》中必背的(0,1)分布了。(0,1)分布进行了一次试验,如果我进行了n次试验,那么在刚才那个结论基础上,成功次数除了0和1之外,还可能是2、3、4...一直到n,再列出来就太多了,我们可以把它写成一个通项公式,设成功的次数0,1,2...n为k,则概率值=p的k次方乘以(1-p)的n-k次方再乘以所有可能的排列组合。如下所示:

    这就是二项分布,与之类似的还有几何分布,但几何分布跟几何概型无关,以上这几种分布都是一个个点组成,即离散的,它们是古典概型的延伸,而真正的无限结果的几何概型在函数化后产生的是连续型分布。

    未完待续结尾有点草率,最后发个这次讲的知识结构。

    发布于 2020-08-16

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  • 数理统计】神奇的P值

    千次阅读 多人点赞 2019-06-29 13:46:21
    工作中经常会通过AB Test帮助做产品决策,简单说就是为产品制作两(A/B)或多(A/B/C/...)版本,在同一时间维度,分别让不同组的用户群随机的访问这些版本,收集各群组的用户的数据,最后分析评估出最好版本...

    AB Test

    工作中经常会通过AB Test帮助做产品决策,简单说就是为产品制作两个(A/B)或多个(A/B/C/...)版本,在同一时间维度,分别让不同组的用户群随机的访问这些版本,收集各群组的用户的数据,最后分析评估出最好版本正式采用。

    比如下面的例子,A组看到红色的标题栏,B组看到绿色的标题栏,采集的数据可能每个组有多少比例的用户点击了标题栏。我们希望得到的结果是更多的用户点击,所以B组以37%胜出,最终决定采用绿色的标题栏。

    ABTest

    但直接比百分比是不是合理呢?举个简单的例子,A组有10个人看到的界面2个人点击(点击率2/10=20%),B组只有5个人看到2个人点击(点击率2/5=40%),B组就直接以40%胜出吗?显然我们需要更有力的证据说明B的胜出是充分的。这里通常用的方法就是P值。

     

    P值和显著性检验

    继续上面的例子:A组(control组):10个人看到2个人点击,点击率0.2;B组(experiment组):5个人看到2个人点击,点击率0.4。

    首先我们先假设B组没有任何作用,或者说,用户根本没有注意到颜色的变化,B的数据完全是在原来的基础上随机得到的。这里,“原来的”也就是20%的概率。也就是说,我们先假设在每个人会有20%概率点击的情况下,计算出现5个人中2个人点击的概率,可以通过二项概率公式计算:

    Cn,k表示在n个人中选出2个人的组合数。举个例子,5个人:A,B,C,D,E,出现A,B点击且C,D,E不点击的概率为0.2*0.2*0.8*0.8*0.8=0.2^2*0.8^3,同理出现只有A,C点击的概率也为0.2^2*0.8^3。所以,最终出现5个人中2个人点击的概率为所有情况加起来即C5,2*0.2^2*0.8^3:

    所以,在B组没有任何效果的假设下,我们有接近0.2的概率得到5个人中2个人点击的情况。这里求得的0.2048就是P值。

    通常,我们选P<0.05的时候拒绝原假设,即认为B组有效果。换句话说,如果P值非常非常小,比如0.0001,即“B组没有任何效果”的假设下只有0.0001的概率会出现B的数据。运用小概率原理:小概率事件在一次实验中几乎不可能发生,我们认为原假设是不合理的,即“B组没有任何效果”的假设是不成立的(B组里一定发成了不同寻常的事情!)。

    有点晕的地方可能是怎么用0.4(2/5)?即B组的实际点击率。我的理解是B组首先要通过显著性检验,也就是我们上面的P值检验。如果P值很大,结果“不显著”,那么0.4根本没有任何意义,因为这完全可能是统计误差得到的。只有P值很小的情况下,才认为0.4>0.2的比较是有意义的。

    理解P值的计算可以在一定程度上帮助我们理解为什么“不显著”,比如(如果试验真的有效果)通常增加试验样本数是有用的,因为样本小的情况下P值通常很大。极端的例子,如果样本只有1个,那么P值只能是0.2或者0.8,任何结果都“不显著”。再比如上面的例子:5个人中2个人点击是不显著的,但是500个人200个人点击就很显著了。因为在原假设20%概率下出现500个人200点击的概率很小很小。

     

    二项概率公式

    第一次看到P值的时候,我的点完全集中在了二项概率公式上面。虽然直观的解释很容易理解,但这里隐藏的一个结果就是所有的概率之和为1,即:

    验证的了一下,真的为1:

    是不是很神奇!好奇宝宝忍不住翻出了当年的数学书:

    居然只有一句话带过了,而且自己还留了笔记“用数学归纳法证明”,太“不显然”了!

    试着重新证明一遍。所谓归纳法,就是首先n=1的时候是成立,然后假设n的时候成立,尝试证明n+1成立,即:

    证明过程如下:

    嗯,你可能注意到了,这里有个Cn+1,k的展开:Cn+1,k = Cn,k + Cn,k-1,从排列组合的意义上解释就是,从n+1个人中选k个人的组合数,等于从n个人中选k的组合数(一定不选某个人),加上从n个人中选k-1个人的组合组(一定选了某个人)。如果要证明,也是可以直接推出来的:

    看来我的数学还没有完全还给老师!(◍•ᴗ•◍)

     

    参考资料

    p-value:https://www.baidu.com/link?url=RQaT38MszwZl3ycAsI-Zfl0DAX6htO9u8QkTwLv4drOv6LElHrXFZlu-1fjGbpyn&wd=&eqid=e0e1eccf000ab515000000025d16faeb

    《概率论与数理统计》:https://book.douban.com/subject/2256637/

     

    展开全文
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    第1-8讲单元测验期末考试-2019冬模拟测验
    第9-15讲单元测验测验1
    第16-26讲单元测验测验2
    第27-34讲单元测验测验3
    第35-37讲单元测验
    第38-43讲单元测验
    第44-53讲单元测验
    第54-60讲单元测验

    1.设随机变量X的分布函数为,密度函数为 F ( x ) = { 1 − a c − x 2 , x > 0 0 , x ≤ 0 F(x)=\begin{cases}1-ac^{-\frac{x}{2}},x>0\\0,x\le0\end{cases} F(x)={1ac2x,x>00,x0, 则以下选项正确的是

    编号选项
    A P ( 1 < X < 2 ) = F ( 1 ) − F ( 2 ) P(1<X<2)=F(1)-F(2) P(1<X<2)=F(1)F(2)
    B α = 1 2 \alpha=\frac{1}{2} α=21
    C P ( X > 1 ) = 1 − e − 0.5 P(X>1)=1-e^{-0.5} P(X>1)=1e0.5
    D α = 1 \alpha=1 α=1

    2.某项比赛有3名评委,设每个评委每次做出公正评定的概率均为90%;如果每场比赛至少有2人做出公正评定称这场比赛是公正的,现有3场比赛,假设每个评委在每场比赛中的决定是独立的。则至少有2场比赛是公正的概率是

    编号选项
    A0.9991
    B0.8195
    C在0.9972~0.9977之间
    D在0.8196~0.9719之间

    3.设某团队共有6个人,其中1人工作年限不到1年(甲型),3人工作年限为1到5年(乙型),2人工作年限超过5年(丙型),现随机不放回选3人,则以下选项错误的是

    编号选项
    A甲乙丙型各1人的概率为3/10
    B乙型1人丙型2人的概率为3/20
    C甲型1人丙型2人的概率为1/20
    D甲型1人乙型2人的概率为3/10

    4.设X,Y相互独立,服从相同分布,概率密度函数为 f ( x ) { x 2 , 0 < x < 2 0 , o t h e r w i s e f(x)\begin{cases}\frac{x}{2},0<x<2\\0,otherwise\end{cases} f(x){2x,0<x<20,otherwise, Z = X 2 Z=X^2 Z=X2,则以下选项正确的是

    编号选项
    A P ( X > Y ) = 0.5 P(X>Y)=0.5 P(X>Y)=0.5
    B 0 < x < 4 0<x<4 0<x<4时, Z Z Z的分布函数 F Z ( z ) = z 2 F_Z(z)=\frac{z}{2} FZ(z)=2z
    C P ( X + Y > 2 ) = 0.5 P(X+Y>2)=0.5 P(X+Y>2)=0.5
    D P ( X > 1 ) < P ( Y < 1 ) P(X>1)<P(Y<1) P(X>1)<P(Y<1)

    5.设X的分布律为 P ( X = k ) = c ∗ 0. 6 k P(X=k)=c*0.6^k P(X=k)=c0.6k,k=1,2,… 则以下选项正确的是

    编号选项
    A P ( X = 1 ) = 2 5 P(X=1)=\frac{2}{5} P(X=1)=52
    B P ( X = 1 ) = 9 10 P(X=1)=\frac{9}{10} P(X=1)=109
    C c = 3 8 c=\frac{3}{8} c=83
    D P ( X = 2 ) = 27 50 P(X=2)=\frac{27}{50} P(X=2)=5027

    6.有甲乙两盒,甲盒有2个红球,2个白球,乙盒有2个红球,1个白球,从甲盒中不放回取2球放入乙盒,再从乙盒中同时取出2球,则从乙盒中取到的都是红球的概率为

    编号选项
    A在0.30~0.33之间.
    B在0.35~0.45之间.
    C小于0.2.
    D在0.21~0.29之间.

    7.若随机变量X的密度函数为 f ( x ) = { 0.2 , − 1 < x < 0 , 0.5 , 0 < ≤ x < 1 , 0.3 , 1 ≤ x < 2 , 0 , o t h e r w i s e , f(x)=\begin{cases}0.2,-1<x<0,\\0.5,0<\le x<1,\\0.3,1\le x<2,\\0,otherwise,\end{cases} f(x)=0.2,1<x<0,0.5,0<x<1,0.3,1x<2,0,otherwise,, F ( x ) F(x) F(x)是X的分布函数,则以下选项错误的有

    编号选项
    A当1<x<2时,F(x)=0.3 x+0.4.
    B当1<x<2时, F ( x ) = 0.3 x + 0.2 F(x)=0.3x+0.2 F(x)=0.3x+0.2.
    C当1<x<2时,F(x)=1.
    DX是连续型随机变量.

    8.设随机变量(X,Y)在由(1,1),(0,1),(1,0)为顶点围成的三角形内均匀分布,则以下选项正确的有

    编号选项
    A当0<x<1时,X的边际概率密度函数为 f ( x ) = 2 x f(x)=2x f(x)=2x.
    B在{Y=0.6}条件下,X在区间(0.4, 1)上服从均匀分布.
    CX与Y的边际分布函数相同.
    DX与Y不独立.

    9.设随机变量X~N(-2,4), 则以下选项正确的有

    编号选项
    AP(X<0)=P(X>-4)
    BX/2~N(-1,1)
    C(X+2)/2~N(0,1).
    D2X+4~N(0,16)

    10.设随机变量X~N(4,4),其密度函数为f(x),分布函数为F(x). 则以下选项正确的有

    编号选项
    A F ( x ) = ϕ ( x − 4 2 ) , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) F(x)=\phi(\frac{x-4}{2}),x\in(-\infty,+\infty) F(x)=ϕ(2x4),x(,+)
    B P ( X > 4 ) = 0.5 P(X>4)=0.5 P(X>4)=0.5
    C f ( x ) = 1 8 π c − ( x − 4 ) 2 8 , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) f(x)=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}c^{-\frac{(x-4)^2}{8}},x\in(-\infty,+\infty) f(x)=8π 1c8(x4)2,x(,+)
    D P ( X < 8 ) = ϕ ( 2 ) P(X<8)=\phi(2) P(X<8)=ϕ(2)

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