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  • 初等数学常用公式.pdf

    2020-03-30 17:22:33
    初等数学常用公式;
  • 关于初等数学高等数学的认识,学习数学的根本。以及数学教与学的讨论
  • 高数里面涉及的所有的函数和初等函数的图像
  • 考研高等数学讲义 数学知识点清清楚楚如数列的极限 我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 ⑴、数列:若按照一定的法则,有第一个数 a1,第二个数 a2,„,依次排列下去,使得任何一个正整 数 n 对应着...
  • 高等数学ppt课件 1-3初等函数
  • 2021黑龙江统招专升本高等数学基础习题,主要针对高中数学基础较差的同学来强化训练,高等数学提分最重要的就是刷题,注意错题等。
  • 教案课程名称初等数学研究课程编号94081207学院专业年级数学与应用数学任课教师教师所在单位数学科学学院山东师范大学初等数学研究教案---------------------------------
  • 文章目录数学边界前言定位知识边界的起因我对知识边界的认识地图认识圆圈认识数学边界初中数学(萌芽)高中数学(常量数学、初等数学)大学数学(变量数学、高等数学)研究生数学总结 定位知识边界的起因 在初二那会...

    数学边界

    前言

    这几天对比考研的高等数学和行测的数学运算,再结合我之前所认为的知识边界概念。对数学进行简单分级。

    定位知识边界的起因

    在初二那会我就想定位知识的领域,但是奈何初中水平体会不了也看不懂之后的知识结构,大三那会我也想定位知识的领域和边界,但是没有进行下去。今天我把我那未完成的工作做一个了结。

    大三写的初稿:细述科学1——知识脉络。可惜定位太大,搜集资料太难。

    大三写的另外一个角度的初稿:但是总觉得不满意就没发。

    image-20201006104709067

    这段时间写博客的时候也常常回顾自己对知识的认识。积累了一段时间,今天打算开个头。

    我对知识边界的认识

    地图认识

    知识都是相互关联的。就像地图,大地图包含小地图。基础通用学科包含专业细化学科。

    知识世界就像现实世界,我们认识世界需要地图。在显示世界有星座图、有世界地图、有中国地图、有北京市地图。在知识世界也也一样,有自然科学的地图、有数学的地图、有微积分的地图;

    知识就像一块迷雾区域,书本就像地图,当我们拿地图去走这些迷雾区域的时候就可以点亮这片区域,进而掌握知识。

    在知识的这一片迷雾区域,我觉得有四个大的区域,分别是数学、美学、管理学、情绪学;然后在这四个大区域中还有他们各自的衍生区域,数学区域有理性自然科学(物理、化学、生物学)、美学区域有感性自然科学(音乐、美术、语言)、管理学有理性社会科学(历史、经济、政治)、情绪学有感性社会科学(心理学、行为学)。

    本来有人认为知识应该划分为自然科学和社会科学。但是自然科学好找共性,社会科学不好找共性,只是笼而统之说是社会演变过程中诞生的学科就是社会科学。找不到共性就不好统一,知识就是破碎不连贯的,这样不好形成知识体系,不便追本溯源。

    于是我根据已有的社会科学,我按照它们不同的共性将其划分为三类。(情绪学没有基础学科,就是一个概念)

    • 一类是美学,包括音乐、美术、语言;
    • 一类是情绪学,包括哲学、心理学、行为学;
    • 一类是管理学,包括经济学、法学、史学;

    美学的本质是一种期待,当人对一种有规律的事情做出了预期,并且这个事情还达到这个预期,人的大脑就会产生多巴胺,进而会产生一种满足感。美学通过视觉(美术)、听觉(音乐)、文字(语言、文学)来让人满足这种期待。应用场景有古代就有的音乐、美术、文学和现在的影视。但是本质一直没变。就是让人产生一种期待,然后符合这种期待。

    情绪学是一门控制自身以及他人情绪的学科。原理也是基于期待的。当某一件事情符合人的期望,人就会产生正面的情感,如果不符合人的期望,人就会产生负面的情感。美学可以控制这种期待,进而掌握人的情绪。应用场景有用鼓动性的话与图片鼓动人们购物或者选举。

    管理学一门研究如何完成特定期待的学科。通过一系列计划与决策、组织与合作、监督与改进来协调有限资源做到目标。

    某种角度说,社会科学是一门研究人的期望的科学。

    贪婪与侥幸是一种期望;趋利避害是一种期望;

    圆圈认识

    从认识的探索程度划分,知识像一个圆圈。中间部分是大多数人能接触到的,边缘部分是顶端人接触的;

    从中国受教育程度来看,如果把人类探索知识的领域画个圈,初中知识的人在中间的一大块,然后高中知识比初中知识再大一圈,接着大学知识比高中知识又大一圈,最后硕士研究生就是在快靠近边缘的那批人,博士研究生就是突破边缘的那批人。

    换一种小说的话来说,初中阶段是炼体期,吊打普通人类,高中阶段是筑基期,吊打普通炼体期,大学阶段是金丹期,吊打筑基期,研究生阶段就是元婴期。上层的知识可以降维打击下层。

    用游戏的话来说,初中阶段是新手期,大家都在新生村,刷语数英、政史地、理化生的技能点。技能点及格后,一部分人直接开始走高职,开始职业之路;还有一部分人走高中继续刷技能点,然后读大学,开始走职业之路;

    这些职业很有意思。有书生职业,笔写春秋;有画师职业,绘画,搞宣传;有程序员,编程,搞开发;有财务,理财,投资;各行各业都有各自的一套技能体系。

    随着人类社会的发展,知识领域这个圈势必会越来越大,知识细分也会越来越细。

    数学边界

    言归正传,太大的涉及面太广,不太好一次性写好,所以我以小见大。从数学的角度来认识知识。

    我打算按照初中数学、高中数学、大学数学、研究生数学这四个阶段的数学来划分数学边界。列举各阶段的数学的内容和天花板,同时也找这个天花板领域最灿烂的那批数学家作为参考。

    下文有一部分是我大三时候写的,但是没写链接,内容不好考究,可能有错误的地方,一切以权威为准。

    我但是按阶段、代表人物、内容三部分写。

    初中数学(萌芽)

    萌芽时期(公元前5世纪):建立自然数的概念,创造了简单的计算法,认识简单的几何图形;算术与几何尚未分开;

    代表人物:毕达哥拉斯

    约公元前580-约前500年。

    因为向往东方的智慧,经过万水千山,游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国——巴比伦印度,以及埃及(有争议),吸收了美索不达米亚文明和印度文明的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想,并和他的信徒们组成了一个所谓“毕达哥拉斯学派”的政治和宗教团体。

    代表作:黄金分割、有理数(根号二)、勾股定理

    代表人物:欧几里得

    参考文章:欧几里得(古希腊数学家几何之父)

    约公元前330年-公元前275年。

    在欧几里德以前,古希腊人已经积bai累了大量du的几何知识,并开始用逻辑推理的方法去证明zhi一些几何命题的结论。欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理,写下《几何原本》一书,标志着欧氏几何学的建立。这部划时代的著作共分13卷,465个命题。其中有八卷讲述几何学,包含了现今中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要,或者其对诸定理的出色证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的公理化方法。

    代表人物:阿基米德

    参考文章:阿基米德(古希腊哲学家、数学家、物理学家)

    公元前287年-前212年。

    阿基米德对数学和物理的发展做出了巨大的贡献,为社会进步和人类发展做出了不可磨灭的影响,即使牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感,他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”,文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。

    代表作:浮力原理、杠杆原理、机械原理、几何学;方法论;

    代表人物:斐波那契(1175-1250)

    代表作:计算之书、斐波那契数;引入阿拉伯数字;

    高中数学(常量数学、初等数学)

    常量数学(初等数学)时期(公元17世纪):形成了初等数学的主要分支:算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果,构成高中数学的主要内容。

    内容:

    1.集合与函数(指、对、幂)

    2.几何与解析几何(直线、圆、坐标)

    3.算法、统计与概率

    4.三角函数与平面向量

    5解三角形、数列与不等式

    6.逻辑用语、圆锥曲线与空间向量

    代表人物:笛卡尔

    1596-1650

    代表作:解析几何;坐标系;几何学;

    大学数学(变量数学、高等数学)

    变量数学(高等数学)时期(公元19 世纪):如解析几何、微积分、微分方程,高等代数、概率论等,构成了大学数学的主要内容。

    大学数学的主体是微积分。

    代表人物:艾萨克·牛顿

    1643年-1727年

    代表作:万有引力、三大运动定理、微积分、金本位

    代表人物:伯努利

    1667-1748

    代表作:微积分学、微分方程、变分法、统计学;

    代表人物:欧拉

    1707年-1783年

    代表作:无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理;

    代表人物:拉格朗日(1736-1813)

    代表人物:柯西(1789-1857)

    内容:

    1.高数:函数与极限、导数与微分、中值定理与导数应用、不定积分、定积分、定积分应用、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数。广泛用于物理领域。

    2.线代:行列式(计算)、矩阵(等价、降秩、求逆)、向量空间(线性相关、标准正交基)、线性方程组、矩阵的相似对角化(求正交矩阵、特征值)、二次型(正负定、特征向量)广泛用于图像处理的计算中。

    3.概率论与数理统计:概率论基本知识(贝叶斯公式)、随机变量及其分布(概率密度函数)、多维随机变量及其分布(条件概率密度)、随机变量的数字特征(数学期望与方差)、大数定律及中心极限定理、样本及抽样分布、参数估计(最大似然估计)、假设检验(U检验法)、方差分析。广泛用于大数据分析领域。

    4.离散数学:命题逻辑、谓词逻辑、几何与关系、函数、图论。广泛用于人工智能。

    5.机器学习:强化学习、深度学习、迁移学习。广泛用于人工智能。

    研究生数学

    现代数学时期(19世纪70年代 ):康托的“集合论”(点集拓扑学);柯西的“数学分析”(高级微积分);希尔伯特的“公理化体系”;高斯的“非欧几何”; “抽象代数”(线性代数);黎曼开创的“现代微分几何”等

    代表人物:高斯

    1777年-1855年

    代表作品:最小二乘法、标准正态分布;微分几何学;

    卡尔.皮尔逊(1857-1936):统计学权威,一枝独秀(9世纪末到20世纪20年代初期)。大样本的数理统计的巅峰,体系核心是矩法。在大样本的数理统计上大放异彩。

    费歇尔(1890-1962):与卡尔.皮尔逊争锋相对。将眼光放在小样本的数理统计上,继卡尔.皮尔逊之后的统计学大佬。是20世纪成就最大的统计学家,是以卡尔.皮尔逊为代表的旧统计学,朝向以他为代表的新统计学的转变中的关键人物。

    奈曼(1894-1981):年轻时对纯数学有强烈的兴趣并有很高的素养。1926年会见了费歇尔,在卡尔.皮尔逊那里进修了一年,最后离开,对那里的统计学表示失望,认为没有多少数学。奈曼格外重视统计学中数学严格性的观点。1938年4月应美国加州伯克利大学数学系的招聘担任该系教师。这成了美国统计学发展以及他个人的转折点。

    图灵(1912-1964):图灵验算、密码学、人工智能、计算机领域;

    内容:

    数论:按照研究方法来说,可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。

    几何拓扑学:属于几何学的范畴,内容有哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等

    射影几何是研究图形的射影性质,即它们经过射影变换后,依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。应用于绘图学、建筑学与绘画。

    视觉效果应用:构成上的美观(黄金比例)、构成上的合理(透视图)、色彩搭配;

    总结

    今天初略整理一下。以后再完善。

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  • 山东大学非数学专业高等数学...广义地说,初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。
  • 高等数学(电子版).doc

    2020-04-29 12:59:54
    高等数学(电子版).doc 考研数学一教程目 录 一、函数与极限 2 1、集合的概念 2 2、常量与变量 3 2、函数 4 3、函数的简单性态 4 4、反函数 5 5、复合函数 6 6、初等函数 6 7、双曲函数及反双曲函数 7 8、数列的极限...
  • 2021黑龙江统招专升本高等数学基础习题,主要针对高中数学基础较差的同学来强化训练,高等数学提分最重要的就是刷题,注意错题等。
  • 2. 基本初等函数 (幂函数) 3. 整幂函数与根式函数 4. 双曲函数与“广义双曲函数” 5. 指数函数 6. 对数函数 7. 指数与对数运算法则 8. 三角函数 9. 反正弦函数(反余弦...

     

    1. 问题引入

     

    2. 基本初等函数 (幂函数)

     

    3. 整幂函数与根式函数

     

    4. 双曲函数与“广义双曲函数”

     

    5. 指数函数

     

    6. 对数函数

     

    7. 指数与对数运算法则

     

    8. 三角函数

     

    9. 反正弦函数(反余弦函数)

     

    10. 三角函数与其反三角函数的复合

     

    展开全文
  • 高等数学大一下

    2018-05-01 22:50:20
    广义地说,初等数学之外的数学都是高等数学,也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的,将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。 通常认为,高等数学是由微...
  • 高等数学教案

    2017-12-12 16:41:06
    高等数学教案标准参考格式、函数的定义和性质,初等函数的定义和性质
  • 高等数学 · 第一章 函数

    千次阅读 多人点赞 2019-05-16 18:46:28
    高等数学·第一章 函数 第一节 实数 第二节 函数的定义及其表示 第三节 函数的几种特性 第四节 反函数和复合函数 第五节 初等函数 第六节 总结

    第一节 实数

    一、实数的定义

    有理数与无理数统称为 实数 ,全体实数组成的数集成为实数集,用 R R R 表示;用 Q Q Q 表示有理数集, Z Z Z 表示整数集, N N N 表示自然数集。
    实数

    二、区间和领域

    区间

    1. 列举法: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = \{ 1,2,3,4 \} A={1,2,3,4}
    2. 属性法: A = { n ∣ n 是 小 于 5 的 正 整 数 } A = \{ n | n是小于5的正整数\} A={nn5} B = { x ∣ 1 &lt; x &lt; 2 } B = \{ x | 1 \lt x \lt 2 \} B={x1<x<2}

    像这样由数轴上的“一段”连续的点构成的数集,我们称之为区间,记为 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)这是开区间
    如果数集为: C = { y ∣ 1 ≤ y ≤ 2 } C = \{ y | 1 \le y \le 2 \} C={y1y2},那么记为 [ 1 , 2 ] [1,2] [1,2]这是闭区间

    邻域

    我们经常会运用一种特殊的开区间 ( α − δ , α + δ ) (\alpha - \delta, \alpha + \delta) (αδ,α+δ),我们称这个开区间为点 α \alpha α 的邻域,记为 U ( α , δ ) U(\alpha,\delta) U(α,δ),即
    U ( α , δ ) = ( α − δ , α + δ ) U(\alpha, \delta) = (\alpha - \delta, \alpha + \delta) U(α,δ)=(αδ,α+δ)

    称点 α \alpha α 为邻域的中心, δ \delta δ为邻域的半径。

    有时候,我们只考虑点 α \alpha α 邻近的点,而不考虑点 α \alpha α ,即考虑点集 { x ∣ α − δ &lt; x &lt; α 且 α &lt; x &lt; α + δ } \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \} {xαδ<x<αα<x<α+δ},我们称这个点集为点 α \alpha α 的 “去心邻域”,记为 U ∘ ( α , δ ) {U^\circ(\alpha,\delta)} U(α,δ),即
    U ∘ = { x ∣ α − δ &lt; x &lt; α 且 α &lt; x &lt; α + δ } U^\circ = \{ x | \alpha - \delta \lt x \lt \alpha 且 \alpha \lt x \lt \alpha + \delta \} U={xαδ<x<αα<x<α+δ}

    三、绝对值

    x x x 是一实数,用 ∣ x ∣ |x| x x x x 的绝对值,其定义如下:
    ∣ x ∣ = { x x ≥ 0 , − x x &lt; 0. |x| = \begin{cases} x &amp; \quad x \ge 0, \\ -x &amp; \quad x \lt 0. \end{cases} x={xxx0,x<0.

    ∣ x ∣ |x| x 的几何意义是 x x x 到原点的距离。显然, ∣ x − y ∣ |x-y| xy 表示点 x x x 与点 y y y 之间的距离。

    绝对值有以下性质:设 x , y x,y x,y 是实数,则

    1. ∣ x ∣ ≥ 0 , |x| \ge 0, x0, 当且仅当 x = 0 x = 0 x=0 时才有 ∣ x ∣ = 0 ; |x| = 0; x=0;
    2. ∣ − x ∣ = ∣ x ∣ ; |-x| = |x|; x=x;
    3. ∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣ ; |xy| = |x||y|; xy=xy;
    4. a &gt; 0 , ∣ x ∣ &lt; a a \gt 0, |x| \lt a a>0,x<a 当且仅当 − a &lt; x &lt; a ; -a \lt x \lt a; a<x<a;
    5. − ∣ x ∣ ≤ x ≤ ∣ x ∣ ; -|x| \le x \le |x|; xxx;
    6. ∣ x + y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ; |x + y| \le |x| + |y|; x+yx+y;
    7. ∣ x − y ∣ ≥ ∣ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ ∣ ≥ ∣ x ∣ − ∣ y ∣ . |x - y| \ge ||x| - |y|| \ge |x| - |y|. xyxyxy.
      以上性质均可通过其他性质证明,基本上直接运用。

    例题

    1、已知不等式 ∣ 2 x + 1 x − 1 ∣ &lt; 1 |\frac {2x + 1} { x - 1}| \lt 1 x12x+1<1,求 x x x的取值范围。
    解析: − 4 &lt; x &lt; 2 / 3 -4 \lt x \lt {^2/_3} 4<x<2/3,通过性质四,再分段求解即可。

    第二节 函数的定义及其表示法

    一、常量与变量

    有些量在所考虑问题的过程中始终不变,保持定量,这些量我们称之为常量;而有些量在所考虑问题的过程中是变化的,他们刻在一定的范围内取不同的值,这些量我们称之为变量

    二、函数的定义

    x , y x,y xy是两个变量, x x x 的变化范围是实数集 D D D.如果对于任何的 x ∈ D x \in D xD,按照一定的法则都有唯一确定的 y y y 值与之对应,则称变量 y y y 是变量 x x x 的函数,记为 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x),称D是函数的定义域,x 为自变量,y为因变量.

    对于一个确定的 x 0 ∈ D x_0 \in D x0D,与之对应的 y 0 = f ( x 0 ) y_0 = f(x_0) y0=f(x0) 称为函数 y y y 在点 x 0 x_0 x0 处的函数值,全体函数值的几何称为函数 y y y 的值域,记为 f ( D ) f(D) f(D) ,即
    f ( D ) = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } f(D) = \{ y | y = f(x), x \in D \} f(D)={yy=f(x),xD}

    函数的两要素:定义域和对应法则
    “两个函数相等”意味着这两个函数的定义域相同,对应法则也相同。

    常用的函数表示法:

    1. 公式法——分段函数
    2. 图像法
    3. 表格法

    函数的定义域

    一般地,自然定义域应如此讨论:

    1. 分式的分母不能为零
    2. 开偶次方的被开方式子不能为负
    3. 当方幂的指数是无理数或含有变数时,方底的式子应为正
    4. 对数符号后的式子(真数)不能为负
    5. 反正弦、反余弦符号后式子的绝对值不能大于1
    6. 有限个函数由四则运算得到的新函数, 其定义域是各函数定义域的交集

    参考例题

    1. 计算题 : 求函数 f ( x ) = 1 x + 1 arcsin ⁡ e x f(x) = \cfrac {1}{x + 1} \arcsin e^x f(x)=x+11arcsinex 的定义域.
      [解析] :

      • x + 1 x + 1 x+1 作为分母不应该为 0 0 0.
      • 因为要考虑 arcsin ⁡ x \arcsin x arcsinx 的定义域, 所以 e x ∈ [ − 1 , 1 ] e ^ x \in [-1,1] ex[1,1]

      计算求两者区间的交集就好.

    第三节 函数的几种特性

    1. 有界性 : ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)| \le M f(x)M
    2. 单调性 :
      1. 单调递增 : 如果 x 1 , x 2 ∈ I , x 1 &lt; x 2 x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2 x1,x2I,x1<x2 , 都存在 f ( x 1 ) &lt; f ( x 2 ) f(x_1) &lt; f(x_2) f(x1)<f(x2)
      2. 单调递减 : 如果 x 1 , x 2 ∈ I , x 1 &lt; x 2 x_1,x_2 \in I, x_1 \lt x_2 x1,x2I,x1<x2 , 都存在 f ( x 1 ) &gt; f ( x 2 ) f(x_1) \gt f(x_2) f(x1)>f(x2)
    3. 奇偶性
      1. 偶函数 : 对于定义域中的任意 x x x , 都存在 f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(x)=f(x)
      2. 奇函数 : 对于定义域中的任意 x x x , 都存在 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x) = -f(x) f(x)=f(x)

      其中,对于对于两个在定义域内有定义的函数 :
      1. 两个偶函数之和,之积为偶函数
      2. 两个奇函数之和为奇函数,之积为偶函数
      3. 一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数

    4. 周期性 : 必然存在 f ( x + T ) = f ( x ) f(x+T) = f(x) f(x+T)=f(x)
      例如 y = sin ⁡ x , y = cos ⁡ x , y = tan ⁡ x , y = cot ⁡ x 均 为 周 期 函 数 . y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x 均为周期函数. y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx.

    第四节 反函数和复合函数

    一、反函数

    函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的定义域为 D D D,至于为 f ( D ) f(D) f(D). 若对任何 y ∈ f ( D ) y \in f(D) yf(D), 在 D D D 内有唯一确定的 x x x 使 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x), 则称这样形成的函数 x x x y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 的反函数,记为 x = f − 1 ( y ) x = f^{-1}(y) x=f1(y), 相应地,也称函数 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 是直接函数(原函数).

    对于反函数 x = f − 1 ( y ) x = f^{-1}(y) x=f1(y), 定义域是 f ( D ) f(D) f(D), 值域是 D D D,
    1. 单调函数具有反函数
    2. 原函数与反函数关于 y = x y = x y=x 对称

    参考例题

    1. y = e x − e − x 2 y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} y=2exex 的反函数
      【解析】由 y = e x − e − x 2 ⇒ 2 y = e x − e − x y = \cfrac {e^x - e^{-x}} {2} \Rightarrow 2y = e^x - e^{-x} y=2exex2y=exex,等式两边乘以 e x e^x ex 可得:
      ( e x ) 2 − 2 y e x − 1 = 0 (e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0 (ex)22yex1=0
      解关于 e x e^x ex 的二次方程,得 e x = y ± y 2 + 1 . e^x = y \pm \sqrt {y^2 + 1}. ex=y±y2+1 .
      由于 e x ≥ 0 e^x \ge 0 ex0, 所以只取 e x = y + y 2 + 1 e^x = y + \sqrt{y^2 + 1} ex=y+y2+1 .从而
      x = l n ( y + y 2 + 1 ) . x = ln(y + \sqrt{y^2 + 1}). x=ln(y+y2+1 ).
      故反函数为 y = l n ( x + x 2 + 1 ) . y = ln(x + \sqrt{x^2 + 1}). y=ln(x+x2+1 ).

    二、复合函数

    函数 y = f ( u ) , u ∈ D u , u = φ ( x ) , x ∈ D x . y = f(u), u \in D_u, u = \varphi(x), x \in D_x. y=f(u),uDu,u=φ(x),xDx. 如果函数 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 的值域 φ ( D ) \varphi(D) φ(D) 包含在函数 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) 的定义域 D u D_u Du, 即 φ ( D x ) ⊂ D u \varphi(D_x) \subset D_u φ(Dx)Du, 那么,对任何 x ∈ D x \in D xD. 有 u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 与之对应,又有 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) u u u 对应,从而对于任何 x ∈ D x \in D xD, 有确定的 y y y 与之对应,形成 y y y x x x 的函数,记为 y = f ( φ ( x ) )    ( x ∈ D x ) y = f(\varphi(x))\ \ (x \in D_x) y=f(φ(x))  (xDx) , 称之为是由 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u) u = φ ( x ) u = \varphi(x) u=φ(x) 复合而成的复合函数. y y y 是因变量, x x x 是自变量, 称 u u u中间变量.

    参考例题

    1. 计算题: 已知 f ( 1 + x ) = x 2 f(1+x) = x^2 f(1+x)=x2, 求 f ( x ) f(x) f(x).
      [解析] : 令 1 + x = u 1+x = u 1+x=u, 则 f ( u ) = ( u − 1 ) 2 f(u) = (u-1)^2 f(u)=(u1)2, 所以 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 f(x) = (x - 1)^2 f(x)=(x1)2.

    第五节 初等函数

    1. 基本初等函数
      • 常值函数 ( y = c y = c y=c)
      • 幂函数 ( y = x 2 y = x^2 y=x2)
      • 指数函数 ( y = a x y = a^x y=ax)
      • 对数函数 ( y = l o g a x y = log_ax y=logax)
      • 三角函数 ( { y = sin ⁡ x y = cos ⁡ x y = tan ⁡ x y = cot ⁡ x \begin{cases} y = \sin x \\ y = \cos x \\ y = \tan x \\ y = \cot x \\ \end{cases} y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx)
      • 反三角函数 ( { y = arcsin ⁡ x y = arccos ⁡ x y = arctan ⁡ x y = a r c c o t   x \begin{cases} y = \arcsin x \\ y = \arccos x \\ y = \arctan x \\ y = arccot \ x \end{cases} y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccot x)(与对应的三角函数互为反函数)
    2. 初等函数
      由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算构成,并且在其定义域内具有统一的解析表达式的函数,称为初等函数.
    3. 非初等函数
      代表性的例子 : 分段函数

    第六节 总结

    第一章小结与要求

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    再复习一下吧,初中的东西,对于解高数有用。

    1. 什么是配方法呢?
      由例子引出:求x2-6x-7=0中x的值。
    • 将方程式化成一般形式:x2-6x=7
    • 将二次项的系数变为1,这里的二次项系数本来就是1,这步可省
    • 方程两边同时加上一次项系数的一半.x2-2x3+32=7+32
    • 左边化成完全平方的形式,右面化成一个常数。(x-3)2=16
    • 开平方求解即得。
      看了配方法的步骤,绝对是似普相识。思路就是转变成完全平方的形式。

    相关知识点:

    基本初等函数的恒等变形公式:

    • ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} (a+b)(ab)=a2b2

    • ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 (a \pm b)^{2}=a^{2}\pm2 a b+b^{2} (a±b)2=a2±2ab+b2

    • ( a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 a b 2 ± b 3 (a \pm b)^{3}=a^{3} \pm 3 a^{2} b+3 a b^{2} \pm b^{3} (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

    • ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 3 + b 3 (a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)=a^{3}+b^{3} (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3

    • ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a 3 − b 3 (a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)=a^{3}-b^{3} (ab)(a2+ab+b2)=a3b3

    • ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b (x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,主要应用于十字相乘法分解因式,这部分详见《2020-1-9初等数学复习之一元二次方程的解法》。

    分式的变形:将一个分式化为几个真分式之和(待定系数法)

    什么是待定系数法呢?还是由例子引出:
    1 ( 3 x + 2 ) ( x − 2 ) = A 3 x + 2 + B x − 2 \frac{1}{(3 x+2)(x-2)}=\frac{A}{3 x+2}+\frac{B}{x-2} (3x+2)(x2)1=3x+2A+x2B,求A=?B=?,这种形式就是待定系数法。

    • 先设出函数的解析式:如上式表达式
    • 根据条件确定解析式中的未知数: 1 ( 3 x + 2 ) ( x − 2 ) = A 3 x + 2 + B x − 2 = A ( x − 2 ) + B ( 3 x + 2 ) ( 3 x + 2 ) ( x − 2 ) \frac{1}{(3 x+2)(x-2)}=\frac{A}{3 x+2}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(3 x+2)}{(3 x+2)(x-2)} (3x+2)(x2)1=3x+2A+x2B=(3x+2)(x2)A(x2)+B(3x+2),由于分母相同,所以分子 ( A + 3 B ) x + ( − 2 A + 2 B ) = 1 (A+3 B) x+(-2 A+2 B)=1 (A+3B)x+(2A+2B)=1,右边一次项式为0,建立方程组: { A + 3 B = 0 ⋯ ⋯ ( 1 ) − 2 A + 2 B = 1 ⋯ ⋯ ( 2 ) \left\{\begin{array}{l}A+3 B=0 \cdots \cdots(1) \\ -2 A+2 B=1 \cdots \cdots(2)\end{array}\right. {A+3B=0(1)2A+2B=1(2)
    • 根据方程组就可求得未知数。A=1/8,B=-3/8.

    待定系数法其实是一种思想:先预设存在这样的系数使得等式成立,然后建立方程求解是一个验证的过程.在多项式中也有应用,详见《初等数学复习之方程和方程组(多项式的待定系数法)》后面的规律:
    如果各项系数和为0,则必含有因式(x-1)
    如:X³-4x²+2x+1 各项系数为1-4+2+1=0,则分解式中必含(x-1)那么分解式可以写成(x-1)(x2+ax+b)的形式;展开解析式X³-4x²+2x+1=x³+(a-1)x²+(b-a)x-b,得到a-1=-4,b-a=2,b=-1,求得a=-3,b=-1

    如果奇次项系数和与偶次项系数和相等,则必含有因式(x+1)
    如:X³+2x²+5x+4,奇次项1+5,偶次项2+4
    X³+2x²+5x+4=(x+1)(x²+ax+b)=X³+(a+1)x²+(a+b)x+b
    a+1=2,a+b=5,解得,a=1,b=4

    根式的变形:对于含有根式的分式,将其分子或分母有理化,去掉根号

    根据恒等变形公式,可以推导出有理化公式:
    ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b (a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^{2}-b (a+b )(ab )=a2b
    ( a + b ) ( a − b ) = a − b (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b (a +b )(a b )=ab
    ( a 3 + b 3 ) ( a 2 3 − a b 3 + b 2 3 ) = a + b (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})\left(\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)=a+b (3a +3b )(3a2 3ab +3b2 )=a+b
    ( a 3 − b 3 ) ( a 2 3 + a b 3 + b 2 3 ) = a − b (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})\left(\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{a b}+\sqrt[3]{b^{2}}\right)=a-b (3a 3b )(3a2 +3ab +3b2 )=ab

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