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  • 高等数学知识框架易到难,底层上层, 首先说说前置知识。高等数学的前置知识是初等函数,即高中数学讲的内容; 然后讲讲核心内容。高等数学的核心内容是求极限、求微分、求积分。 最后讲讲应用。高等数学的...

    高等数学知识框架初步

    按照高聚合、低耦合的思路规划高等数学;让高等数学知识框架从易到难,从底层到上层,

    首先说说前置知识。高等数学的前置知识是初等函数,即高中数学讲的内容;

    然后讲讲核心内容。高等数学的核心内容是求极限、求微分、求积分。

    最后讲讲应用。高等数学的应用包括几何应用等应用、中值定理、多元微分学、无穷级数。

    按学习路线

    顺序依次为:极限计算、求导计算、微分计算、微积分的应用、中值定理、多元微分学。

    计算问题解决了,应用问题都好说。

    一、极限理论体系

    前言

    经过一段时间的学习,写写对高等数学中极限的认识。

    仅现阶段个人的见解,请各位辩证理解

    初等函数是高等函数的基础。高等函数是初等函数的进一步发展;

    高等函数的核心是微积分,微积分的基础是极限;

    在极限中一般使用极限的性质(一般性质、存在性质、无穷小性质、运算性质)证明极限和求极限;

    函数极限计算中,常用的是七种未定式的转换以及泰勒公式;

    函数极限计算的关键词有:未定式、无穷比阶、洛必达法则、变现积分求导、泰勒公式、脱帽戴帽等;

    数列极限计算的关键词有:归结原则、递推式、单调有界准则、夹逼准则等;

    联系函数展开式(泰勒展开式)以及数列递推式,引出无穷级数。

    省略了数列极限的证明、函数的连续性以及间断点等知识;主要突出计算。牢牢把握住高等数学的三大计算。

    初等数学

    为高等数学的前置知识。主要有集合与函数(指数、对数、幂函数)、立体几何与平面几何、算法初步与概率和统计、三角函数和平面向量、数列与不等式;

    参考:高中数学知识点总结(最全版)、张宇30讲

    反函数、复合函数;

    函数的四种特性:有界性、单调性、奇偶性、周期性;

    直角坐标系下的图像

    幂函数、指数函数、对数函数、三角函数;

    图像变换

    极坐标系下的图像

    心型线(外摆线)、玫瑰线、阿基米德螺线、伯努利双扭线;

    摆线(平摆线)、星型线(内摆线)

    常见基础知识

    数列:等差数列、等比数列、常见数列;

    三角函数:基本关系、诱导公式、和差公式、积化和差、和差化积、万能公式;

    指数、队数运算法则

    一元二次方程、因式分解、阶乘

    常用不等式

    函数的性质以及数形结合在导数的几何应用中经常使用到;

    常见基础知识在极限、求导、积分的计算中经常用到。

    数列极限与函数极限

    数列极限偏证明,常用存在性质;函数极限偏计算,常用到运算性质;

    概念

    数列极限证明、函数极限证明

    一般性质

    唯一性、(局部)有界性、(局部)保号性(衍生出脱帽法)

    存在性质

    夹逼准则、单调有界准则(魏氏准则);

    无穷小性质

    无穷小比阶、常见等价无穷小

    运算性质

    数列极限的归结原则

    极限运算性质

    洛必达法则

    泰勒公式

    面对极限计算(如七种未定式),直接使用极限的基本性质一个一个试;高中的常见基础知识要烂熟于心;

    无穷级数

    数项级数判敛

    正项级数:收敛原则、比较判别法、比较判别法的极限形式、比值判别法、根值判别法

    交错级数:莱布尼兹判别法

    任意项级数:绝对收敛、条件收敛;

    幂级数的收敛域

    阿贝尔定理

    结论1

    结论2

    函数展开问题

    幂级数求和问题

    傅里叶级数(展开式、迪利克雷收敛定理)

    总结

    唯一核心是函数极限的计算。不过初等数学是其计算基础,必须掌握。无穷级数中的幂级数展开式就是泰勒公式,给函数极限计算带来了便利,需要了解。

    函数极限的计算,一个是计算要过关,另一个就是极限的性质要掌握。

    二、一元微分学理论体系

    前言

    求导是高等数学三大计算的第二大计算,是极限计算和积分计算的承前启后部分。

    一元微分学理论体系

    定义以及性质

    导数:定义

    微分:定义、微分不变性

    求导工具

    基本求导公式

    四则运算

    复合函数运算

    反函数运算

    求导类型

    幂指函数(对数求导)

    参数方程

    高阶导数

    变限积分求导

    总结

    微分部分内容许多,有几何应用(三点两性一线)、中值定理。

    三、一元积分学理论体系

    前言

    积分是高等数学三大计算的第三大计算,是计算量最大的一个计算。还讲导数部分内容综合起来。

    一元积分理论体系

    概念

    不定积分:祖孙三代的奇偶性和周期性

    定积分:基本型、放缩型、变量型;

    变限积分:求导公式

    反常积分:敛散性

    性质

    不定积分:保号性

    定积分:区间长度、线性性质、可加(拆)性、保号性、估值定理、积分中值定理;

    解不定积分(四大积分法)

    基本积分公式

    凑微分法

    换元法

    分部积分法

    有理函数积分

    解定积分

    牛顿-莱布尼兹公式

    区间再现公式

    华里士公式

    补充

    直接、拆分、换元、换序

    求偏导

    总结

    求积分。

    四、微积分的应用

    前言

    微分的应用、积分的应用、微分方程

    微分的应用

    三点两性一线

    相关变化率

    曲率

    积分的应用

    面积、体积、平均值

    抽水做功

    平面上的曲边梯形的形心坐标公式

    弧长

    微分方程

    一阶微分方程的求解

    变量可分离型

    可化为变量可分离型

    一阶线性微分方程

    伯努利方程

    二阶可降阶微分方程

    不含未知函数y

    不含自变量x

    高阶线性微分方程的求解

    二阶常系数齐次线性微分方程的通解

    二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

    应用

    牛顿第二定律

    变化率问题

    五、中值定理

    中值定理

    函数

    有界与最值定理

    介值定理

    平均值定理

    零点定理

    导数

    费马定理

    罗尔定理

    拉格朗日中值定理

    柯西中值定理

    泰勒公式

    积分

    积分中值定理

    零点问题与微分不等式

    零点问题

    零点定理(证存在性)

    单调性(证唯一性)

    罗尔原话

    实系数奇次方程至少有一个实根

    微分不等式

    用函数性态证明不等式

    用常数变量化证明不等式

    用中值定理证明不等式

    积分等式与积分不等式

    积分等式

    用中值定理

    用夹逼准则

    用积分法

    积分不等式

    用函数的单调性

    用拉格朗日中值定理

    用泰勒公式

    用积分法

    六、多元微分学

    前言

    多元微积分的基础知识、多元微分学、多元积分学、三重积分和曲线曲面积分

    多元微积分基础知识

    向量代数

    向量的运算:数量积和向量积

    向量的方向角、方向余弦:stokes公式

    空间平面与直线

    平面方程:一般式、点法式、三点式、截距式

    直线方程:一般式、点向式、参数式、两点式

    位置关系:点到平面、直线、平面、直线与平面

    空间曲线与曲面

    空间曲线:一般式、参数式、空间曲线在坐标面上的投影

    空间曲面:曲面方程、二次曲面、柱面、旋转曲面

    多元函数微分学的几何应用

    空间曲线的切线与法平面

    空间曲面的切平面与法线

    场论初步

    方向导数

    梯度

    方向导数与梯度的关系

    散度、旋度

    多元函数微分学

    基本概念

    极限、连续、偏导数

    可微、偏导数的连续性

    多元函数微分法则

    链式求导规则

    隐函数存在定理

    多元函数的极值最值

    概念

    无条件极值:隐函数、显函数

    条件极值与拉格朗日乘数法:闭区域边界上、闭区域上

    多重积分

    概念

    对称性:普通、轮换

    计算

    直角坐标系

    极坐标系

    极值互化

    积分次序

    二重三重积分、曲线曲面积分

    二重三重积分与第一型曲线曲面积分

    概念、性质

    对称性:普通、轮换

    计算

    基础方法:化为定积分

    技术方法:对称性、形心公式的逆用

    应用

    空间曲面求面积:用第一型曲面积分

    空间物体的重心、形心:三重积分

    第二型曲线曲面积分

    第二型曲线积分:场、概念、性质

    平面第二型曲线积分的计算:化为定积分,格林公式;

    空间第二型曲线积分的计算:斯托克斯公式

    第二型曲面积分:向量场、概念、性质

    第二型曲面积分的计算:化为二重积分、高斯公式

    总结

    认识是多角度反复的。

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  • 数学普及

    2009-09-01 23:34:00
    最近遇到几个同校的老师,聊天...从小学到大学12年数学,学习的数学知识和数学思想从初等数学到高等数学也应不少吧,难道这些知识不是数学家们研究的成果吗,这实际上就是数学研究吧。诚然当代数学研究的就更为理论化和

          最近遇到几个同校的老师,聊天中问起我“数学论文写什么呀?你们又不需要做试验!”,“试验数据处理的方差分析好难呀”等等之类。言外之意好像一切自然科学都需要做试验,不做试验就没什么可做了似的。注意,他们可是大学教师呀。从小学到大学12年数学,学习的数学知识和数学思想从初等数学到高等数学也应不少吧,难道这些知识不是数学家们研究的成果吗,这实际上就是数学研究吧。诚然当代数学研究的就更为理论化和专门化,委实难为行外人道。大部分人是不是只顾学习数学知识而很少反思呢?数学之所以为数学的本质特征是什么,数学能够干什么,数学的局限性等等。也许对数学多问几个为什么,对于数学的感觉就不是那么陌生和遥不可及啦。数学就在我们的日常生活中,就在我们的科研工作中,就在我们的教学当中,数学就在我们身边!这可能与数学教育中只顾做题的应试教育有关,悲哀呀!数学教育工作者在日常的数学教学当中不失时机地穿插讲授一些数学史和数学思想不失为好的办法。专门开一门数学史的课也是好办法,不过这个操作起来困难会多一些。数学建模竞赛可能是另外一个普及数学的好途径,自举办伊始在学生中影响力愈来愈大,确实起到了应有之作用。不过最近这些年也有功利化倾向,为获奖而建模,学生的普及面并不广,毕竟参赛的人数很有限。在这里数学工作者还是有很多事情可做的。我觉得只有有了数学应用的大的需求,数学才能发挥更大的好的作用,数学研究才变得更为有价值,才不至于走入“为了数学而数学”的泥沼而深陷不出。数学普及任重而道远,需所有数学工作者的努力努力再努力!

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  • 高等数学的作用

    2013-02-18 13:26:00
    网络上搜索的一个介绍,感觉比较好,就转发这里了,但是原来的作者不知是谁了,实在抱歉】 高等数学的作用 实际上,今天我们的生活已经完全离不开数学。甚至可以这么说,没有高等数学 的发展,就不会有今天的...

    【从网络上搜索的一个介绍,感觉比较好,就转发到这里了,但是原来的作者不知是谁了,实在抱歉】

    高等数学的作用

    实际上,今天我们的生活已经完全离不开数学。甚至可以这么说,没有高等数学 的发展,就不会有今天的现代社会。

    也许很多人会怀疑这点,那么我就来稍微介绍一下现在高等数学的各主要学科的“用处”。

    初等数学就不说了,

    一些如离散数学、运筹学、控制论等纯粹就是为了应用而发展起来的分支也不说了,

    重点介绍基础方面的。

    数学分析:主要包括微积分和级数理论。

    微积分是高等数学的基础,应用范围非常广,基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中,傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域,包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等,电子产品的制造离不开它。

    实变函数(实分析):数学分析的加强版之一。主要应用于经济学等注重数据分析的领域。

    复变函数(复分析):数学分析加强版之二。应用很广的一门学科,在航空力学、流体力学、固体力学、信息工程、电气工程等领域都有广泛的应用,所以工科学生都要学这门课的。

    高等代数,主要包括线形代数和多项式理论。

    线形代数可以说是目前应用很广泛的数学分支,数据结构、程序算法、机械设计、电子电路、电子信号、自动控制、经济分析、管理科学、医学、会计等都需要用到线形代数的知识,是目前经管、理工、计算机专业学生的必修课程。

    高等几何:包括空间解析几何、射影几何、球面几何等,主要应用在建筑设计、工程制图方面。

    分析学、高等代数、高等几何是近代数学的三大支柱。

    微分方程:包括常微分方程和偏微分方程,重要工具之一。流体力学、超导技术、量子力学、数理金融、材料科学、模式识别、信号(图像)处理、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等领域都需要它。

    泛函分析:主要研究无限维空间上的函数。因为比较抽象,在技术上的直接应用不多,一般应用于连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等理论。

    近世代数(抽象代数):主要研究各种公理化抽象代数系统的。技术上没有应用,物理上用得比较多,尤其是其中的群论。

    拓扑学:研究集合在连续变换下的不变性。在自然科学中应用较多,如物理学的液晶结构缺陷的分类、化学的分子拓扑构形、生物学的DNA的环绕和拓扑异构酶等,此外在经济学中也有很重要的应用。

    泛函分析、近世代数、拓扑学是现代数学三大热门分支。

    非欧几何:主要应用在物理上,最著名的是相对论。

    数论:曾经被认为是数学家的游戏、唯一不会有什么应用价值的分支。著名的哥德巴赫猜想就是数论里的。现在随着网络加密技术的发展,数论也找到了自己用武之地——密码学。前几年破解MD5码的王小云就是数论出身。

    到目前为止,数学的所有一级分支都已经找到了应用领域,从自然科学、社会科学、工程技术到信息技术,数学的影响无处不在。如果没有高等数学在二十世纪的发展,我们平时所玩的电脑、上的网络、听的mp3、用的手机都不可能存在。当然,一般的普通大众是没必要了结这些艰深抽象的东西,但是它们的存在和发展却是必需的,总要有一些人去研究这些。

     

    学,就是算术,

    小学直接面对数字,计算,1+1=2之类的东东,

    初中有了代数和方程,实际上就是用一个字母来代表一个数,这个数的具体值可以是未知的。

    高中,主要研究未知数的对应变化关系,即函数。

    大学,更进一步,研究函数值的变化规律,比如导数就是函数的变化率。

    最后泛函就是研究不同函数之间的变化关系了。

     

    数学是从具体到抽象,再抽象的过程,从自然数到集合,从集合到群,从群到拓扑,从拓扑到流形。只要你有时间,都能看懂,必竟数学家也是人,人脑是肉长的。肉长的人脑能想到的东西也就这点了。最难的还是数论,一个哥德巴赫猜想,整了三百年,没人想出来怎么证。搞数论,人脑估计不够用了。

    转载于:https://www.cnblogs.com/sdgxbooy/archive/2013/02/18/8902361.html

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  • 数学的发展过程

    2021-02-10 18:54:11
    数学的发展过程 数学的发展历时几千年,甚至几万年之久,小学时学的是几千年前的数学文明的成果, ...数学的进步源于从初等数学高等数学演变的过程之中。 从小学大学的数学内容如下所示: ...

    数学的发展过程

    数学的发展历时几千年,甚至几万年之久,小学时学的是几千年前的数学文明的成果,
    中学学习的数学也是五百年到一千几百年前的数学成果。大学阶段学习的数学
    是近几百年来的数学成果。同一个问题,用高等的数学往往比初等的数学更容易解决问题。
    甚至只能用高等的数学来解决。

    数学的进步源于从初等数学向高等数学演变的过程之中。
    从小学到大学的数学内容如下所示:

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  • 1. 从初等函数到高等数学 一元线性函数 在中学的初等数学里,把函数f(x)=kx+bf(x)=kx+bf(x)=kx+b (k,bk,bk,b是不变量),称为一元线性函数,因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条线,就...
  • 问题F: 一个国家拥有健康,可持续的高等教育...德国美国日本澳大利亚,我们环顾世界各地,我们看到了各种国家的高等教育方式,每个国家不仅教育自己的学生,而且每年都吸引大量的国际学生. .这些国家的高等
  • 问题F: 一个国家拥有健康,可持续的高等...德国美国日本澳大利亚,我们环顾世界各地,我们看到了各种国家的高等教育方式,每个国家不仅教育自己的学生,而且每年都吸引大量的国际学生. .这些国家的高等教育
  • ----九年的时间,主要是建立对数学的基本认知,还有培养学习兴趣为主,而高中大学阶段,则主要学习更高级的技术,高中学习传统的初等数学部分,而大学学习微积分出现之后的高等数学部分. ----如果单单内容划分方面来...
  • (三)浅入深出,注重启发我们的教材识数开始,以集合作纽带,把学生逐步带五大基本函数中去,为高等数学的学习做好循序渐进的铺垫。考虑来自不同国家的留学生的数学基础的差异,在每一节的最后设“想一想”,...
  • 这些书籍多与环论有关,基础近代结果基本齐全。熊全淹认为,教学实践是实际,教材建设也是实际,并且还是最直接的实际,教材主要写思想,绝不是简单的材料堆积。不论翻译,还是校订,他总为读者着想。遇有疑难处...
  • 初等代数最简单的一元一次方程开始,初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线性...
  • 另一方面,高中阶段的“初等数学”过渡大学阶段的“高等数学”,中间需要一个思维转变和理解进阶的过程。这个过程延续的时间可长可短,完全取决于个人的能力和努力。因此,如何通过学好这三门基础...
  • 初等代数最简单的一元一次方程开始,初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线性...
  • 本书是为综合性大学和师范院校数学系的数理统计课以及高等院校数理统计专业大学生、研究生和教师进修班的数理统计基础课提供一种教材,也可供工科等非数学类学生选作此课程的教材或参考书。具备初等微积分、矩阵论...
  • 1. 从初等函数到高等数学 一元线性函数 在中学的初等数学里,把函数f(x)=kx+bf(x)=kx+bf(x)=kx+b (k,bk,bk,b是不变量),称为一元线性函数,因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条线,就...
  • 初等数学中,例如二次函数的最小值(最大值)求解问题就是一个典型的极值问题,了大学,我们可以从高等数学的知识中知道,对于任何一个连续函数来说,它的极值点一定是导数为零的点。 1.2、推广多元函数 ...
  • FW:理解矩阵(二)

    2011-01-10 14:48:00
    我们学习微积分的时候,总会有人照本宣科地告诉你,初等数学是研究常量的数学,是研究静态的数学,高等数学是变量的数学,是研究运动的数学。大家口口相传,差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思...
  • 泛函分析教案

    2012-10-11 09:12:39
    数学分析的教学进程对计算机、物理、化学、生物、地理、电教、电子、经济学等文理学科高等数学课程的教学产生直接、重要的影响。 数学分析不仅在内容上为后继课程的学习提供了必要的基础知识,而且它所体现的分析...
  • 高等数学→已知未知数,求方程(数据中获得结论) 那么今天就里面最简单的线性回归(Simple linear regression)开始学起 最简单的理解就是通过一些列运算的初中我们学的y=kx+b 第一步,描述数据(数据可视化) 比如...
  • 初等代数最简单的一元一次方程开始,初等代数一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线性...
  • 复变函数->概述

    2020-11-27 11:09:37
    高等数学主要研究函数 一元函数是实数集实数集的映射 复变函数就是复数集复数集的映射 整数有理数实数复数 数系的扩充与方程求解密切相关 解方程 x2=2,x^{2}=2,x2=2, 发现无理数 ; 解方程 x2=−1,x^{2}...
  • matlab中文help.rar

    2019-09-16 21:54:58
    这里汇集了大量计算的算法,范围从初等函数如:求和,正弦,余弦和复数的算术运算,复杂的高等函数如:矩阵求逆,矩阵特征值,贝塞尔(Bessel)函数和快速傅立叶变换等。 MATLAB语言. 这是一种高水平的矩阵/数组...

空空如也

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从初等数学到高等数学