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  • 代价函数和损失函数

    2020-08-03 21:05:46
    代价函数和损失函数 代价函数就是用于找到最优解的目的函数,这也是代价函数的作用。 损失函数(Loss Function )是定义在单个样本上的,算的是一个样本的误差。 代价函数(Cost Function )是定义在整个训练集上的...

    代价函数和损失函数

    代价函数就是用于找到最优解的目的函数,这也是代价函数的作用。

    损失函数(Loss Function )是定义在单个样本上的,算的是一个样本的误差。
    代价函数(Cost Function )是定义在整个训练集上的,是所有样本误差的平均,也就是损失函数的平均。
    目标函数(Object Function)定义为:最终需要优化的函数。等于经验风险+结构风险(也就是Cost Function + 正则化项)。

    当我们有了一个数据集,针对这个数据集,我们有了一个学习目标或者说学习任务,我们需要选择出一个合适的假设模型空间,然后定制合适的策略得到我们需要的那个准确的模型,这就得到了我们的损失函数

    损失函数=模型假设空间+模型选择策略

    代价函数举例:

    在线性回归中我们有一个像这样的训练集,𝑚代表了训练样本的数量,比如 𝑚 = 47。而我们的假设函数,也就是用来进行预测的函数,是这样的线性函数形式:ℎ𝜃(𝑥) = 𝜃0 + 𝜃1𝑥。接下来我们会引入一些术语我们现在要做的便是为我们的模型选择合适的参数(parameters)𝜃0 和 𝜃1,在房价问题这个例子中便是直线的斜率和在𝑦 轴上的截距。我们选择的参数决定了我们得到的直线相对于我们的训练集的准确程度,模型所预测的值与训练集中实际值之间的差距(下图中蓝线所指)就是建模误差(modeling error)

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  • 一:损失函数代价函数,目标函数定义 首先给出结论: 损失函数(Loss Function )是定义在单个样本上的,...关于目标函数和代价函数区别还有一种通俗的区别: 目标函数是最大化或者最小化,而代价函数是最小化 ...

    一:损失函数,代价函数,目标函数定义

    首先给出结论:

    损失函数(Loss Function )是定义在单个样本上的,算的是一个样本的误差。

    代价函数(Cost Function )是定义在整个训练集上的,是所有样本误差的平均,也就是损失函数的平均。

    目标函数(Object Function)定义为:最终需要优化的函数。等于经验风险+结构风险(也就是Cost Function + 正则化项)。

    关于目标函数和代价函数的区别还有一种通俗的区别:

    目标函数是最大化或者最小化,而代价函数是最小化

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  • 损失函数代价函数区别

    千次阅读 2019-10-24 16:35:56
    损失函数(Loss function):是定义在单个训练样本上的,也就是就算一个样本的误差,比如我们想要分类,就是预测的类别实际类别的区别,是一个样本的哦,用L表示。 代价函数(Cost function):是定义在整个训练集...

    各种损失函数的优缺点详解

    损失函数或者代价函数的目的是:衡量模型的预测能力的好坏。

    损失函数(Loss function):是定义在单个训练样本上的,也就是就算一个样本的误差,比如我们想要分类,就是预测的类别和实际类别的区别,是一个样本的哦,用L表示。

    代价函数(Cost function):是定义在整个训练集上面的,也就是所有样本的误差的总和的平均,也就是损失函数的总和的平均,有没有这个平均其实不会影响最后的参数的求解结果。

    模型在训练阶段会拟合出一个函数,其中的函数是包含参数的。

    损失函数或者代价函数越小越好,也就说明预测值和标签的值越接近,模型的预测能力越强。但是如何才能让损失函数或者代价函数的值得到优化,换句话说,优化的就是模型拟合出的函数参数,通过寻找合适参数实现模型的预测能力变强的梦想,如何寻找优秀的参数值,那就需要梯度下降出场解救模型能力。

    左侧就是梯度下降法的核心内容,右侧第一个公式为假设函数,第二个公式为损失函数。

    左侧 表示假设函数的系数,为学习率。;右侧是模型拟合出来的函数,其中\theta _{0}\theta _{1}是模型的参数,经过训练集每次训练模型得到的,梯度更新通过梯度下降法实现。

    对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法,关键在于求出代价函数的导数,即:

    梯度下降的目的:寻找拟合函数参数的最优值。

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  • 代价函数损失函数,目标函数区别

    万次阅读 多人点赞 2018-07-15 12:15:43
    一:损失函数代价函数,目标函数定义首先给出结论:损失函数(Loss Function )是定义在单个样本上的,算的是一个样本的误差。代价函数(Cost Function )是定义在整个训练集上的,是所有样本误差的平均,也就是...

    代价函数,代价函数也被称为平方误差函数,有时也被称为平方误差代价函数,之所以要出误差的平方和,是因为误差平方代价函数对于大多数问题,特别是回归问题,都是一个合理的选择。

    一:损失函数,代价函数,目标函数定义

    首先给出结论:

    损失函数(Loss Function )是定义在单个样本上的,算的是一个样本的误差。

    代价函数(Cost Function )是定义在整个训练集上的,是所有样本误差的平均,也就是损失函数的平均。

    目标函数(Object Function)定义为:最终需要优化的函数。等于经验风险+结构风险(也就是Cost Function + 正则化项)。

    关于目标函数和代价函数的区别还有一种通俗的区别:

    目标函数是最大化或者最小化,而代价函数是最小化

    举个例子解释一下:(图片来自Andrew Ng Machine Learning公开课视频)

    上面三个图的函数依次为f_{1}(x) ,f_{2}(x) ,f_{3}(x) 。我们是想用这三个函数分别来拟合Price,Price的真实值记为Y 。

    我们给定x ,这三个函数都会输出一个f(X) ,这个输出的f(X) 与真实值Y 可能是相同的,也可能是不同的,为了表示我们拟合的好坏,我们就用一个函数来度量拟合的程度,比如:

    L(Y,f(X)) = (Y-f(X))^2 ,这个函数就称为损失函数(loss function),或者叫代价函数(cost function)(有的地方将损失函数和代价函数没有细分也就是两者等同的)。损失函数越小,就代表模型拟合的越好

    那是不是我们的目标就只是让loss function越小越好呢?还不是。

    这个时候还有一个概念叫风险函数(risk function)。风险函数是损失函数的期望,这是由于我们输入输出的(X,Y) 遵循一个联合分布,但是这个联合分布是未知的,所以无法计算。但是我们是有历史数据的,就是我们的训练集,f(X) 关于训练集的平均损失称作经验风险(empirical risk),即\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i})) ,所以我们的目标就是最小化\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i})) ,称为经验风险最小化

    到这里完了吗?还没有。

    如果到这一步就完了的话,那我们看上面的图,那肯定是最右面的f_3(x) 的经验风险函数最小了,因为它对历史的数据拟合的最好嘛。但是我们从图上来看f_3(x)肯定不是最好的,因为它过度学习历史数据,导致它在真正预测时效果会很不好,这种情况称为过拟合(over-fitting)。

    为什么会造成这种结果?大白话说就是它的函数太复杂了,都有四次方了,这就引出了下面的概念,我们不仅要让经验风险尽量小,还要让结构风险尽量小。。这个时候就定义了一个函数J(f) ,这个函数专门用来度量模型的复杂度,在机器学习中也叫正则化(regularization)。常用的有L_1 ,L_2 范数。

    到这一步我们就可以说我们最终的优化函数是:min\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))+\lambda J(f) ,即最优化经验风险和结构风险,而这个函数就被称为目标函数

    结合上面的例子来分析:最左面的f_1(x) 结构风险最小(模型结构最简单),但是经验风险最大(对历史数据拟合的最差);最右面的f_3(x) 经验风险最小(对历史数据拟合的最好),但是结构风险最大(模型结构最复杂);而f_2(x) 达到了二者的良好平衡,最适合用来预测未知数据集。

    二:详解代价函数

    什么是代价函数

    假设有训练样本(x, y),模型为h,参数为θ。h(θ) = θTx(θT表示θ的转置)。

    (1)概况来讲,任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ),如果有多个样本,则可以将所有代价函数的取值求均值,记做J(θ)。因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质:

    • 对于每种算法来说,代价函数不是唯一的;
    • 代价函数是参数θ的函数;
    • 总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏,代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, y);
    • J(θ)是一个标量;

    (2)当我们确定了模型h,后面做的所有事情就是训练模型的参数θ。那么什么时候模型的训练才能结束呢?这时候也涉及到代价函数,由于代价函数是用来衡量模型好坏的,我们的目标当然是得到最好的模型(也就是最符合训练样本(x, y)的模型)。因此训练参数的过程就是不断改变θ,从而得到更小的J(θ)的过程。理想情况下,当我们取到代价函数J的最小值时,就得到了最优的参数θ,记为:

    例如,J(θ) = 0,表示我们的模型完美的拟合了观察的数据,没有任何误差。

    (3)在优化参数θ的过程中,最常用的方法是梯度下降,这里的梯度就是代价函数J(θ)对θ1, θ2, ..., θn的偏导数。由于需要求偏导,我们可以得到另一个关于代价函数的性质:

    • 选择代价函数时,最好挑选对参数θ可微的函数(全微分存在,偏导数一定存

    经过上面的描述,一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求:能够评价模型的准确性,对参数θ可微。 

    (1)在线性回归中,最常用的是均方误差(Mean squared error),即

    m:训练样本的个数;

    hθ(x):用参数θ和x预测出来的y值;

    y:原训练样本中的y值,也就是标准答案

    上角标(i):第i个样本

    (2)在逻辑回归中,最常用的是代价函数是交叉熵(Cross Entropy),交叉熵是一个常见的代价函数,在神经网络中也会用到。

    回到线性回归模型中,训练集和代价函数如下图

    如果我们还用J(θ)函数做为逻辑回归模型的代价函数,用H(x) = g(θ^T * x),曲线如下图所示

    发现J(θ)的曲线图是"非凸函数",存在多个局部最小值,不利于我们求解全局最小值

    因此,上述的代价函数对于逻辑回归是不可行的,我们需要其他形式的代价函数来保证逻辑回归的代价函数是凸函数。

    这里我们先对线性回归模型中的代价函数J(θ)进行简单的改写

    用Cost(h(x), y) = 1/2(h(x) - y)^2 代替

    在这里我们选择对数似然损失函数做为逻辑回归模型的代价函数,Cost函数可以表示如下

    分析下这个代价函数

    (1). 当y=1的时候,Cost(h(x), y) = -log(h(x))。h(x)的值域0~1,-log(h(x))的曲线图,如下

    从图中可以看出

    1. h(x)的值趋近于1的时候,代价函数的值越小趋近于0,也就是说预测的值h(x)和训练集结果y=1越接近,预测错误的代价越来越接近于0,分类结果为1的概率为1
    2. 当h(x)的值趋近于0的时候,代价函数的值无穷大,也就说预测的值h(x)和训练集结果y=1越相反,预测错误的代价越来越趋于无穷大,分类结果为1的概率为0

    (2). 当y=0的时候, Cost(h(x), y) = -log(1-h(x))。h(x)的值域0~1,-log(1-h(x))的曲线图,如下

    从图中可以看出

    1. h(x)的值趋近于1的时候,代价函数的值趋于无穷大,也就是说预测的值h(x)和训练集结果y=0越相反,预测错误的代价越来越趋于无穷大,分类结果为0的概率为1-h(x)等于0
    2. 当h(x)的值趋近于0的时候,代价函数的值越小趋近于0,也就说预测的值h(x)和训练集结果y=0越接近,预测错误的代价越来越接近于0,分类结果为0的概率为1-h(x)等于1

    为了统一表示,可以把Cost(h(x), y)表达成统一的式子,根据前面J(θ)的定义,J(θ)等于

    特别说明: 

    1. 当y=1的时候,第二项(1-y)log(1-h(x))等于0 

    2. 当y=0的时候,ylog(h(x))等于0

    从上面2点可以看出,J(θ)表达式符合前面定义

    根据线性回归求代价函数的方法,可以用梯度下降算法求解参数θ

    从上图可以看出,θj更新和线性回归中梯度下降算法的θj更新一致,差别的是假设函数h(x)不同 

    符号说明同上 

    (3)学习过神经网络后,发现逻辑回归其实是神经网络的一种特例(没有隐藏层的神经网络)。因此神经网络中的代价函数与逻辑回归中的代价函数非常相似:

     :http://blog.csdn.net/chenguolinblog/article/details/52305257

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    千次阅读 2018-04-21 19:31:48
    目标函数、损失函数代价函数http://www.cnblogs.com/Belter/p/6653773.html注:代价函数(有的地方也叫损失函数,Loss Function)在机器学习中的每一种算法中都很重要,因为训练模型的过程就是优化代价函数的过程...
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空空如也

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代价函数和损失函数的区别