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  • 代入法解二元一次方程组_精美学习课件ppt
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    递归方程组解的渐进阶的求法——代入法

    用这个办法既可估计上界也可估计下界。如前面所指出,方法的关键步骤在于预先对解答作出推测,然后用数学归纳法证明推测的正确性。

    例如,我们要估计T(n)的上界,T(n)满足递归方程:

    img115.gif

    其中img109.gif是地板(floors)函数的记号,img113.gif表示不大于n的最大整数。

    我们推测T(n)=O(nlog n),即推测存在正的常数C和自然数n0,使得当n≥n0时有:

    T(n)≤Cnlog n (6.2)

    事实上,取n0=22=4,并取

    img76.gif

    那么,当n0n≤2n0时,(6.2)成立。今归纳假设当2k-1n0n≤2kn0k≥1时,(1.1.16)成立。那么,当2kn0n≤2k+1n0时,我们有:

    img114.gif

    即(6.2)仍然成立,于是对所有nn0,(6.2)成立。可见我们的推测是正确的。因而得出结论:递归方程(6.1)的解的渐近阶为O(nlogn)。

    这个方法的局限性在于它只适合容易推测出答案的递归方程或善于进行推测的高手。推测递归方程的正确解,没有一般的方法,得靠经验的积累和洞察力。我们在这里提三点建议:

    (1) 如果一个递归方程类似于你从前见过的已知其解的方程,那么推测它有类似的解是合理的。作为例子,考虑递归方程:

    img116.gif

    右边项的变元中加了一个数17,使得方程看起来难于推测。但是它在形式上与(6.1)很类似。实际上,当n充分大时

    img117.gifimg118.gif

    相差无几。因此可以推测(6.3)与(6.1)有类似的上界T(n)=O(nlogn)。进一步,数学归纳将证明此推测是正确的。

    (2)从较宽松的界开始推测,逐步逼近精确界。比如对于递归方程(6.1),要估计其解的渐近下界。由于明显地有T(n)≥n,我们可以从推测T(n)=Ω(n)开始,发现太松后,把推测的阶往上提,就可以得到T(n)=Ω(nlog n)的精确估计。

    (3)作变元的替换有时会使一个末知其解的递归方程变成类似于你曾见过的已知其解的方程,从而使得只要将变换后的方程的正确解的变元作逆变换,便可得到所需要的解。例如考虑递归方程:

    img119.gif

    看起来很复杂,因为右端变元中带根号。但是,如果作变元替换m=logn,即令n=2m,将其代入(6.4),则(6.4)变成:

    img99.gif

    m限制在正偶数集上,则(6.5)又可改写为:

    T(2m)=2T(2m/2)+m

    若令S(m)=T(2m),则S(m)满足的递归方程:

    S(m)=2S(m/2)+m

    与(6.1)类似,因而有:

    S(m)=O(m1og m),

    进而得到T(n)=T(2m)=S(m)=O(m1ogm)=O(lognloglogn) (6.6)

    上面的论证只能表明:当(充分大的)n是2的正偶次幂或换句话说是4的正整数次幂时(6.6)才成立。进一步的分析表明(6.6)对所有充分大的正整数n都成立,从而,递归方程(6.4)解的渐近阶得到估计。

    在使用代入法时,有三点要提醒:

    (1)记号O不能滥用。比如,在估计(6.1)解的上界时,有人可能会推测T(n)=O(n),即对于充分大的n,有T(n)≤Cn ,其中C是确定的正的常数。他进一步运用数学归纳法,推出:

    img100.gif

    从而认为推测T(n)=O(n)是正确的。实际上,这个推测是错误的,原因是他滥用了记号O ,错误地把(C+l)nCn等同起来。

    (2)当对递归方程解的渐近阶的推测无可非议,但用数学归纳法去论证又通不过时,不妨在原有推测的基础上减去一个低阶项再试试。作为一个例子,考虑递归方程

    img101.gif

    其中img102.gif是天花板(floors)函数的记号。我们推测解的渐近上界为O(n)。我们要设法证明对于适当选择的正常数C和自然数n0,当nn0时有T(n)≤Cn。把我们的推测代入递归方程,得到:

    img103.gif

    我们不能由此推断T(n)≤Cn,归纳法碰到障碍。原因在于(6.8)的右端比Cn多出一个低阶常量。为了抵消这一低阶量,我们可在原推测中减去一个待定的低阶量b,即修改原来的推测为T(n)≤Cn-b 。现在将它代人(6.7),得到:

    img104.gif

    只要b≥1,新的推测在归纳法中将得到通过。

    (3)因为我们要估计的是递归方程解的渐近阶,所以不必要求所作的推测对递归方程的初始条件(如T(0)、T(1))成立,而只要对T(n)成立,其中n充分大。比如,我们推测(6.1)的解T(n)≤Cnlogn,而且已被证明是正确的,但是当n=l时,这个推测却不成立,因为(Cnlogn)|n=1=0而T(l)>0。

    转载于:https://www.cnblogs.com/tongzhiyong/archive/2007/04/08/704887.html

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  • 迭代法解方程

    2019-04-25 22:11:17
    问题描述: 使用迭代法求解方程组初始值为0,0,0 问题分析: 将方程组的各个未知数分别...迭代法解方程组 输入: 输入题目参数 #include<cstdio> double x=0,y=0,z=0; void fact(double x1,double x2,dou...

    问题描述:
    使用迭代法求解方程组初始值为0,0,0
    在这里插入图片描述
    问题分析:
    将方程组的各个未知数分别移到等式左边,并且未知数前面的所有参数化为1,再改成迭代式得:

    在这里插入图片描述
    然后将初始值代入迭代方程组,通过多次运行解出答案
    注意:
    求解时方程组必须收敛,收敛条件判断详见:
    https://wk.baidu.com/view/767df21e2f60ddccda38a06f

    迭代法解方程组
    

    输入:

    输入题目参数
    
    #include<cstdio>
    double x=0,y=0,z=0;
    void fact(double x1,double x2,double x3) {
     x=0.2*x2+0.1*x3+0.3;
     y=0.2*x1+0.1*x3+1.5;
     z=0.2*x1+0.4*x2+2;
    }
    int main() {
     int count =20;
     while(count--) {
      printf("x1=%lf\nx2=%lf\nx3=%lf\n",x,y,z);
      fact(x,y,z);
     }
     return 0;
    }

    输出:

    x1=1.000000
    x2=2.000000
    x3=3.000000
    
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  • 本节课是邢学清老师在开学后在...代入消元二元一次方程组的基本方法之一,它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程,将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,然后代入另一个方程,...

    本节课是邢学清老师在开学后在初二年级进行的一次公开课,初中学段所有的老师均参加了此次听评论课活动

    本节课的授课内容是北师大版八年级上册第五章第二节求解一元一次方程——代入消元法,要求学生能利用消元思想熟练的解二元一次方程组。代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一,它要求从两个方程中选择一个系数比较简单的方程,将它转换成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式,然后代入另一个方程,求出这个未知数的值,最后将这个未知数的值代入已变形的那个方程,求出另一个未知数的值.在求出方程组的解之后,可以对求出的解进行检验,这样可以防止和纠正方程变形和计算过程中可能出现的错误.二元一次方程组的解法,其本质思想是消元,体会“化未知为已知”的化归思想.

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    本节课邢老师主要通过讨论的“牛和马所驮重物的问题”问题,列出二元一次方程组,回顾七年级第一学期学习的一元一次方程,让学生思考此类问题的解决也可通过一元一次方程,通过二元一次方程组和一元一次方程的对比,发现二者之间的区别和联系导入本课,通过这样的回顾和对比,培养学生养成时时回顾已有知识的习惯,并在回顾的过程中学会思考和质疑,通过质疑,自然地引出我们要研究和解决的问题,通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法,从中体会到解方程组中“消元”的本质,让学生成为课堂的主体,从而便于提高教学质量。

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    接下来,通过两道计算题,例题讲解由易到难,鼓励学生通过自主探索与交流获得求解,在求解过程中让学生进一步体会“代入消元”的基本思路,熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程,并能对二元一次方程组的解进行检验。

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    课后的教研活动中,本组教师积极的参与了听评课,每位老师都将自己的收获与疑惑进行了交流,思维碰撞火花,肆意挥洒,构成了一幅美妙的画卷,新老教师针对本节课进行细致的点评,在教学过程中,切实把握了教学的重难点,完成了教学目标,教研给每一位老师提供了一个沟通交流的机会,及时解决教学中的问题,不断地提高教学中的问题。

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    北师大包头附校

    ●文字:邢学清●

    ● 图片:左婷 ●

    ● 排版:高悦 ●

    ● 审核:左婷 ●

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  • 级数法解勒让德方程

    2021-02-25 17:01:21
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    将这3个级数代入方程

    化简

    进一步化简第2,3项

    原方程最终化简为

    得到

    化简第一项

    再代入方程

    这个方程成立需满足

    因此得到递推关系

     

    *《量子化学理论基础》 –陈念陔,高坡,乐征宇 p32

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  •   高斯消元是将方程组中的一方程的未知数用含有另一未知数的代数式表示,并将其代入到另一方程中,这就消去了一未知数,得到一;或将方程组中的一方程倍乘某个常数加到另外一方程中去,也可达到消去一未知数的...
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  • 我们先来搞清楚什么是代入消元法,将方程组中的一个方程的某一个未知数,用关于另一个未知数的代数式表示出来然后将它带入到另一个方程中,从而转化为解一元一次方程方程组的这种解法叫做代入消元法,简称代入法。...
  • 代入消元公开课

    2021-01-20 18:23:58
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  • 最后从下往上依次代入求解。至于主元的选择,最简单的就是从第一行开始依次选取主对角线上的元素,但是这样做的有一点需要注意就是如果主元非常小,就可能除了之后产生非常大的数字,可能产生精度的损失。所以每一次...
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  • #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath>... 解决思路:循环 中间值慢慢逼近 就行 代入 0 和10 分别大于小于0 即可 时间:2021年4月3

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