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  • C语言计算行列式以及代数余子式的函数 欢迎使用Markdown编辑器 你好! 这是你第一次使用 Markdown编辑器 所展示的欢迎页。如果你想学习如何使用Markdown编辑器, 可以仔细阅读这篇文章,了解一下Markdown的基本语法...

    C语言计算行列式以及代数余子式的函数

    #include<stdio.h>
    #define N 50
    double algebraic_cofactor(double P[N][N],int m,int a,int b);
    double determinant(double P[N][N],int m);
    
    void main()
    {
    	double P[N][N];//待求矩阵
    	int m,a,b;
    }
    
    //求代数余子式;m为阶数;a、b分别为元素所在的行与列
    double algebraic_cofactor(double P[N][N],int m,int a,int b)
    {	
    	int i,j,x,z;
    	double sum;
    	if(m<2) printf("输入错误,矩阵小于2阶");
    	else if(m==2) sum=P[m-a][m-b];
    	else
    	{
    		double Q[N][N]={0};
    		x=0;
    		for(i=0;i<m;i++)//创造一个m-1阶的矩阵(除去所求元素所在的行和列)
    		{
    			if(i==a-1) continue;
    			z=0;
    			for(j=0;j<m;j++)
    			{
    				if(j==b-1) continue;
    				Q[x][z]=P[i][j];
    				z++;
    			}
    			x++;
    		}
    		sum=determinant(Q,m-1);//求行列式
    	}
    	if((a+b)%2!=0) sum*=-1;
    	return sum;
    }
    
    //求行列式;m为阶数
    double determinant(double P[N][N],int m)
    {
    	int k;
    	double sum=0;
    	for(k=0;k<m;k++)
    	{
    		if(P[0][k]==0) continue;
    		else sum+=algebraic_cofactor(P,m,1,k+1)*P[0][k];//求代数余子式
    	}
    	return sum;
    }
    

    主要思路是通过代数余子式函数与行列式函数相互调用求解,由此可拓展出矩阵求逆的函数:

    void main()
    {
    	double P[N][N];//待求矩阵
    	double Q[N][N];//待求逆矩阵
    	int m,a,b;
    }
    
    //求逆矩阵;m为阶数
    void inverse_matrix(double P[N][N],double Q[N][N],int m)
    {
    	int i,j,k,l;
    	double A,B;
    	A=determinant(P,m);
    	if(A!=0) 
    	{
    		for(i=0;i<m;i++)
    			for(j=0;j<m;j++)
    				Q[i][j]=algebraic_cofactor(P,m,i+1,j+1);//计算伴随矩阵
    		B=1/A;
    		matrix_X_num(Q,B,m,m);
    		transpose(Q);//矩阵转置
    	}
    	else printf("错误:矩阵不可逆");
    }
    
    //矩阵转置
    void transpose(double P[N][N])
    {
    	double T[N][N];
    	int i,j;
    	for(i=0;i<N;i++)
    		for(j=0;j<N;j++)
    			T[j][i]=B[i][j];
    	for(i=0;i<N;i++)
    		for(j=0;j<N;j++)
    			B[i][j]=T[i][j];
    }
    
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  • 正确的求解代数余子式的方法

    千次阅读 2020-06-29 11:24:50
    需要计算出每个位置的代数余子式 常见的做法均是套用A×A∗=∣A∣×IA\times A^*=|A|\times IA×A∗=∣A∣×I的等式求解,这种做法在模意义下矩阵rank(A)=n−1rank(A)=n-1rank(A)=n−1时不能正确得出伴随矩阵 以下给...

    前言

    在联合省选day2t3中,存在一种使用行列式求导来计算生成树边权和的方法。需要计算出每个位置的代数余子式
    常见的做法均是套用A×A=A×IA\times A^*=|A|\times I的等式求解,这种做法在模意义下矩阵rank(A)=n1rank(A)=n-1时不能正确得出伴随矩阵
    以下给出正确的求解伴随矩阵的方法

    代数余子式

    nn阶方阵A=(ai,j)A=(a_{i,j}),定义ai,ja_{i,j}的余子式Mi,jM_{i,j}为将iijj列划去后的行列式,ai,ja_{i,j}的代数余子式Ai,jA_{i,j}(1)i+jMi,j(-1)^{i+j}M_{i,j}

    伴随矩阵

    Ai,jA_{i,j}为代数余子式矩阵,我们定义
    A=(Aij)T A^*=(A_{ij})^{\mathrm T}
    AA^*为矩阵AA的伴随矩阵

    我们存在一个结论,即
    A×A=A×A=A×In A\times A^*=A^*\times A=|A|\times I_n
    其中InI_nnn阶单位矩阵,A|A|为矩阵AA的行列式

    计算

    rank(A)=nrank(A)=n,则A1A^{-1}是良定义的,可以直接用A=A×A1A^*=|A|\times A^{-1}来进行计算。

    rank(A)n2rank(A)\leq n-2,不难发现任意n1n-1阶子式行列式均为00,故A=OA^*=O,其中OO为空矩阵

    我们只需要特殊考虑rank(A)=n1rank(A)=n-1的情况

    不妨设AA的列向量组为c1,c2cnc_1,c_2\cdots c_n,由其线性相关,可以得到存在一组不全为00的系数q1,q2qnq_1,q_2\cdots q_n,满足qici=0\sum q_ic_i=0。不妨假设qc0q_c\not =0

    考虑同行两余子式Mr,iM_{r,i}Mr,cM_{r,c}的关系(在此后的表述中,Mr,iM_{r,i}可能为矩阵,也可能为该矩阵的行列式。视语境而定)。不失一般性地令i<ci<c,对于i>ci>c的情况是同理推导的

    若我们将Mr,iM_{r,i}的第c1c-1列向前置换至第ii列,同时原本第[i,c2][i,c-2]列向后循环移位。我们能够得到与Mr,cM_{r,c}十分相似的一个矩阵。唯一的不同在于Mr,iM_{r,i}的第ii列为原本的第cc列去掉行rr,而Mr,cM_{r,c}的第ii列为原本的第ii列去掉行rr

    我们构造新矩阵MM',将Mr,iM_{r,i}(循环移位后)的第ii列乘上qcq_c,将Mr,cM_{r,c}的第ii列乘上qiq_i,令MM'为这两个矩阵的和。这里两个矩阵的和的计算方式是这样的:将唯一不同的两列求和,其他所有的列照写。
    由行列式的性质,不难发现有
    M=(1)ci1qcMr,i+qiMr,c |M'|=(-1)^{c-i-1}q_c|M_{r,i}|+q_i|M_{r,c}|
    若我们将MM'的其他列乘上原本对应的列ccqcq_c,再加到MM'的第ii列上,行列式不变。而第ii列全为00,此时可以证明M=0|M'|=0,因而有
    (1)ciqcMr,i=qiMr,cMr,i=qiqc(1)ciMr,c(1)r+iMr,i=qiqc(1)ci+r+iMr,cAr,i=qiqcAr,c (-1)^{c-i}q_c|M_{r,i}|=q_i|M_{r,c}|\\ |M_{r,i}|=\frac{q_i}{q_c}(-1)^{c-i}|M_{r,c}|\\ (-1)^{r+i}|M_{r,i}|=\frac{q_i}{q_c}(-1)^{c-i+r+i}|M_{r,c}|\\ A_{r,i}=\frac{q_i}{q_c}A_{r,c}
    通过对i>ci>c的情况加以分析,不难发现,上述结论仍然成立。故有
    Ar,i=qiqcAr,c A_{r,i}=\frac{q_i}{q_c}A_{r,c}
    对于行向量组的分析,也是相似的。

    对于一组行向量p=(p1p2pn)p=(p_1p_2\cdots p_n),列向量q=(q1q2qn)q=(q_1q_2\cdots q_n),我们求出这样的两个向量使得pA=0,Aq=0pA=0,Aq=0。不妨设pr,qc0p_r,q_c\not =0,就有
    Ai,j=piqjprqcAr,c A_{i,j}=\frac{p_iq_j}{p_rq_c}A_{r,c}
    求解向量p,qp,q,代数余子式Ar,cA_{r,c}均可以在Θ(n3)\Theta(n^3)的时间内用高斯消元法求解。综上所述,求解一个矩阵的伴随矩阵的时间复杂度为Θ(n3)\Theta(n^3)

    代码

    调用Mat::get_adjoint_matrix(a,n)即可求解nn阶矩阵aa的伴随矩阵
    可以在这里验证你的代码
    https://vjudge.net/problem/OpenJ_POJ-C19J

    const int MAXN=35;
    const int MAXM=152505;
    const int mod=998244353;
    inline void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
    inline void dl(int &x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
    inline int pow_mod(int a,int b)
    {
    	int ret=1;
    	for(;b;b>>=1,a=1LL*a*a%mod)if(b&1)ret=1LL*ret*a%mod;
    	return ret;
    }
    struct matrix{int m[MAXN][MAXN];matrix(){memset(m,0,sizeof(m));}};
    namespace Mat
    {
    	int A[MAXN][MAXN],B[MAXN][2*MAXN];matrix mat_ret,mat_lin;
    	int dat(const matrix &a,int n)
    	{
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];
    		int ret=1;
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			int u=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(A[j][i]){u=j;break;}
    			if(u!=i){for(int j=i;j<=n;j++)swap(A[u][j],A[i][j]);ret=1LL*ret*(mod-1)%mod;}
    			if(!A[i][i])return 0;int Iv=pow_mod(A[i][i],mod-2);
    			for(int j=i+1;j<=n;j++)
    			{
    				int temp=1LL*A[j][i]*Iv%mod;
    				for(int k=i;k<=n;k++)dl(A[j][k],1LL*A[i][k]*temp%mod);
    			}ret=1LL*ret*A[i][i]%mod;
    		}return ret;
    	}
    	matrix mat_inv(const matrix &a,int n)
    	{
    		memset(B,0,sizeof(B));
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[i][j]=a.m[i][j];
    		for(int i=1;i<=n;i++)B[i][i+n]=1;
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			int u=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(B[j][i]){u=j;break;}
    			for(int j=1;j<=2*n;j++)swap(B[i][j],B[u][j]);
    			if(!B[i][i])continue;int Iv=pow_mod(B[i][i],mod-2);
    			for(int j=i+1;j<=n;j++)
    			{
    				int temp=1LL*B[j][i]*Iv%mod;
    				for(int k=i;k<=2*n;k++)dl(B[j][k],1LL*B[i][k]*temp%mod);
    			}
    		}
    		for(int i=n;i>=1;i--)
    		{
    			int Iv=pow_mod(B[i][i],mod-2);
    			for(int j=i;j<=2*n;j++)if(B[i][j])B[i][j]=1LL*B[i][j]*Iv%mod;
    			for(int j=i-1;j>=1;j--)if(B[j][i])
    			{
    				int Z=B[j][i];
    				for(int k=i;k<=2*n;k++)if(B[i][k])dl(B[j][k],1LL*B[i][k]*Z%mod);
    			}
    		}
    		memset(mat_ret.m,0,sizeof(mat_ret.m));
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
    			mat_ret.m[i][j]=B[i][j+n];
    		return mat_ret;
    	}
    	int calculate_r(const matrix &a,int n)
    	{
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];int ret=0;
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			if(!A[i][i])
    			{
    				int u=-1;
    				for(int j=i+1;j<=n;j++)if(A[j][i]){u=j;break;}
    				if(u==-1)continue;
    				for(int j=i;j<=n;j++)swap(A[i][j],A[u][j]);
    			}++ret;int Iv=pow_mod(A[i][i],mod-2);
    			for(int j=i+1;j<=n;j++)
    			{
    				int temp=1LL*A[j][i]*Iv%mod;
    				for(int k=i;k<=n;k++)dl(A[j][k],1LL*A[i][k]*temp%mod);
    			}
    		}return ret;
    	}
    	matrix get_adjoint_matrix_full(const matrix &a,int n)
    	{
    		matrix Iv=mat_inv(a,n);int Z=dat(a,n);
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
    			mat_ret.m[j][i]=1LL*Iv.m[i][j]*Z%mod;
    		return mat_ret;
    	}
    	
    	
    	int us[MAXN][MAXN],Inv[MAXN];
    	VI insert(VI Z,int n,int id)
    	{
    		VI bel(n+1,0);bel[id]=1;bel[0]=-1;
    		for(int i=n;i>=1;i--)if(Z[i])
    		{
    			if(!A[i][i])
    			{
    				for(int j=i;j>=1;j--)A[i][j]=Z[j];Inv[i]=pow_mod(A[i][i],mod-2);
    				for(int j=1;j<=n;j++)us[i][j]=bel[j];
    				return bel;
    			}
    			int temp=1LL*Inv[i]*Z[i]%mod;
    			for(int j=i;j>=1;j--)dl(Z[j],1LL*A[i][j]*temp%mod);
    			for(int j=1;j<=n;j++)dl(bel[j],1LL*us[i][j]*temp%mod);
    		}bel[0]=0;return bel;
    	}
    	VI get_G(const matrix &a,int n,int opt)
    	{
    		VI ret;
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];
    		if(opt)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[j][i]=A[i][j];
    		else for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[i][j]=A[i][j];
    		
    		memset(A,0,sizeof(A));memset(us,0,sizeof(us));
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			VI Z(n+1,0);
    			for(int j=1;j<=n;j++)Z[j]=B[j][i];
    			ret=insert(Z,n,i);
    			if(ret[0]!=-1)return ret;
    		}assert(false);
    	}
    	matrix get_adjoint_matrix_one(const matrix &a,int n)
    	{
    		VI Q=get_G(a,n,0);
    		VI P=get_G(a,n,1);
    		int c=-1,r=-1;
    		for(int i=1;i<=n;i++)if(Q[i]){c=i;break;}assert(c!=-1);
    		for(int i=1;i<=n;i++)if(P[i]){r=i;break;}assert(r!=-1);
    		
    		for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=r)for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=c)
    			mat_lin.m[i-(i>r)][j-(j>c)]=a.m[i][j];
    		int Ivq=pow_mod(Q[c],mod-2),Ivp=pow_mod(P[r],mod-2);
    		int Iv=1LL*Ivq*Ivp%mod;
    		mat_ret.m[r][c]=dat(mat_lin,n-1);
    		if((r+c)&1)mat_ret.m[r][c]=mod-mat_ret.m[r][c];
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
    		{
    			int val=1LL*P[i]*Q[j]%mod*Iv%mod*mat_ret.m[r][c]%mod;
    			mat_ret.m[i][j]=val;
    		}return mat_ret;
    	}
    	
    	matrix get_adjoint_matrix(const matrix &a,int n)
    	{
    		int Z=calculate_r(a,n);
    		if(Z==n)return get_adjoint_matrix_full(a,n);
    		else if(Z==n-1)return get_adjoint_matrix_one(a,n);
    		else
    		{
    			memset(mat_ret.m,0,sizeof(mat_ret.m));
    			return mat_ret;
    		}
    	}
    }
    
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  • * 求可逆矩阵使用代数余子式的形式 * @author imlilu * */ public class InverseMatrix { /*** * 求行列式的算法 * @param value 需要算的行列式 * @return 计算的结果 */ public static double m
    import java.text.DecimalFormat;
    
    /**
     * 求可逆矩阵使用代数余子式的形式
     * @author imlilu
     *
     */
    public class InverseMatrix {
    
    	/***
    	 * 求行列式的算法
    	 * @param value 需要算的行列式
    	 * @return 计算的结果
    	 */
    	public static double mathDeterminantCalculation(double[][] value) throws Exception{
    		if (value.length == 1) {
    			//当行列式为1阶的时候就直接返回本身
    			return value[0][0];
    		}else if (value.length == 2) {
    			//如果行列式为二阶的时候直接进行计算
    			return value[0][0]*value[1][1]-value[0][1]*value[1][0];
    		}
    		//当行列式的阶数大于2时
    		double result = 1;
    		for (int i = 0; i < value.length; i++) {       
    			//检查数组对角线位置的数值是否是0,如果是零则对该数组进行调换,查找到一行不为0的进行调换
    			if (value[i][i] == 0) {
    				value = changeDeterminantNoZero(value,i,i);
    				result*=-1;
    			}
    			for (int j = 0; j <i; j++) {
    				//让开始处理的行的首位为0处理为三角形式
    				//如果要处理的列为0则和自己调换一下位置,这样就省去了计算
    				if (value[i][j] == 0) {
    					continue;
    				}
    				//如果要是要处理的行是0则和上面的一行进行调换
    				if (value[j][j]==0) {
    					double[] temp = value[i];
    					value[i] = value[i-1];
    					value[i-1] = temp;
    					result*=-1;
    					continue;
    				}
    				double  ratio = -(value[i][j]/value[j][j]);
    				value[i] = addValue(value[i],value[j],ratio);
    			}
    		}
    		DecimalFormat df = new DecimalFormat(".##");
    		return Double.parseDouble(df.format(mathValue(value,result)));
    	}
    	
    	/**
    	 * 计算行列式的结果
    	 * @param value
    	 * @return
    	 */
    	public static double mathValue(double[][] value,double result) throws Exception{
    		for (int i = 0; i < value.length; i++) {
    			//如果对角线上有一个值为0则全部为0,直接返回结果
    			if (value[i][i]==0) {
    				return 0;
    			}
    			result *= value[i][i];
    		}
    		return result;
    	}
    	
    	/***
    	 * 将i行之前的每一行乘以一个系数,使得从i行的第i列之前的数字置换为0
    	 * @param currentRow 当前要处理的行
    	 * @param frontRow i行之前的遍历的行
    	 * @param ratio 要乘以的系数
    	 * @return 将i行i列之前数字置换为0后的新的行
    	 */
    	public static double[] addValue(double[] currentRow,double[] frontRow, double ratio)throws Exception{
    		for (int i = 0; i < currentRow.length; i++) {
    			currentRow[i] += frontRow[i]*ratio;
    		}
    		return currentRow;
    	}
    	
    	/**
    	 * 指定列的位置是否为0,查找第一个不为0的位置的行进行位置调换,如果没有则返回原来的值
    	 * @param determinant 需要处理的行列式
    	 * @param line 要调换的行
    	 * @param row 要判断的列
    	 */
    	public static double[][] changeDeterminantNoZero(double[][] determinant,int line,int row)throws Exception{
    		for (int j = line; j < determinant.length; j++) {
    			//进行行调换
    			if (determinant[j][row] != 0) {
    				double[] temp = determinant[line];
    				determinant[line] = determinant[j];
    				determinant[j] = temp;
    				return determinant;
    			}
    		}
    		return determinant;
    	}
    	
    	/**
    	 * 求传入的矩阵的逆矩阵
    	 * @param value 需要转换的矩阵
    	 * @return 逆矩阵
    	 * @throws Exception 
    	 */
    	public static double[][] getInverseMatrix(double[][] value,double result) throws Exception{
    		double[][] transferMatrix = new double[value.length][value[0].length];
    		//计算代数余子式,并赋值给|A|
    		for (int i = 0; i < value.length; i++) {
    			for (int j = 0; j < value[i].length; j++) {
    				transferMatrix[j][i] =  mathDeterminantCalculation(getNewMatrix(i, j, value));
    				if ((i+j)%2!=0) {
    					transferMatrix[j][i] = -transferMatrix[j][i];
    				}
    				transferMatrix[j][i] /= result; 
    				DecimalFormat df = new DecimalFormat(".##");
    				transferMatrix[j][i] = Double.parseDouble(df.format(transferMatrix[j][i]));
    			}
    		}
    		return transferMatrix;
    	}
    	
    	/**
    	 * 转换为代数余子式
    	 * @param row 行
    	 * @param line 列
    	 * @param matrix 要转换的矩阵
    	 * @return 转换的代数余子式
    	 */
    	public static double[][] getNewMatrix(int row,int line,double[][] matrix){
    		double[][] newMatrix = new double[matrix.length-1][matrix[0].length-1];
    		int rowNum = 0,lineNum = 0;
    		for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
    			if (i == row){
    				continue;
    			}
    			for (int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
    				if (j == line) {
    					continue;
    				}
    				newMatrix[rowNum][lineNum++%(matrix[0].length-1)] = matrix[i][j];
    			}
    			rowNum++;
    		}
    		return newMatrix;
    	}
    	
    	public static void main(String[] args) {
    //		double[][] test = {{2,1,1},{3,1,2},{1,-1,0}};
    //		double[][] test = {{3,-2,0,0},{5,-3,0,0},{0,0,3,4},{0,0,1,1}};
    		double[][] test = {{0,0,0,1,2},{0,0,0,2,3},{1,1,0,0,0},{0,1,1,0,0},{0,0,1,0,0}};
    		double result;
    		try {
    			double[][] temp = new double[test.length][test[0].length];
    			for (int i = 0; i < test.length; i++) {
    				for (int j = 0; j < test[i].length; j++) {
    					temp[i][j] = test[i][j];
    				}
    			}
    			//先计算矩阵的行列式的值是否等于0,如果不等于0则该矩阵是可逆的
    			result = mathDeterminantCalculation(temp);
    			if (result == 0) {
    				System.out.println("矩阵不可逆");
    			}else {
    				System.out.println("矩阵可逆");
    				//求出逆矩阵
    				double[][] result11 = getInverseMatrix(test,result);
    				//打印逆矩阵
    				for (int i = 0; i < result11.length; i++) {
    					for (int j = 0; j < result11[i].length; j++) {
    						System.out.print(result11[i][j]+"	");						
    					}
    					System.out.println();
    				}
    			}
    		} catch (Exception e) {
    			e.printStackTrace();
    			System.out.println("不是正确的行列式!!");
    		}
    	}
    	
    	
    }
    

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  • 行列式公式和代数余子式

    千次阅读 2019-05-21 06:55:43
    接下来介绍行列式的第2个公式,即用代数余子式(cofactors)表示的公式,某个元素 的代数余子式为 (去掉i行j列之后的n-1矩阵)。因此用代数余子式表示行列式的思想就是将原行列式不断分解为小的代数余子式,直至分解...

    前一篇介绍了行列式(determinant)的10个性质,且简单阐述了如何用消元法求行列式。今天简单介绍求解行列式的2个一般公式,先看第一个公式,以最简单的2*2矩阵为例,对行列式的求法如下:

    整个求解思想就是尽量将矩阵化为对角矩阵,每次取一行,逐渐化简矩阵,在化简过程中,有很多矩阵出现零行或零列,行列式变为0,我们用上述方法对3*3矩阵计算行列式,去掉那些行列式为0的项,得到

    从上面的两个例子我们可看出在化简过程中行列式不为0的那些项有一定的特点:它们每行及每列上均有一个元素,因为如果某行或某列上没有元素,就会得到全0,且被保留下的这些行列式非零项的个数也是有规律的,以3*3矩阵为例,第一行有3种可能性,第二行有2种可能性,因为第2行的元素要避开第一行已确定元素的行和列,第3行有1种可能性,因此非零行列式的个数为6。这种方法下行列式的公式可概括为:   ,这个式子表示一共有n!项相加,每一项里面取第1行的,第2行的 ,以此类推,   是1…n的线性组合。

    接下来介绍行列式的第2个公式,即用代数余子式(cofactors)表示的公式,某个元素 的代数余子式为(去掉i行j列之后的n-1矩阵)。因此用代数余子式表示行列式的思想就是将原行列式不断分解为小的代数余子式,直至分解到一阶为止。

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  • 最近高数课在上线性代数,二阶的还能口算,三阶的有点麻烦,想陆陆续续地把公式都用C来实现。因为二阶的行列式如果用C来写就是一句话:val=det[0][0]*det[1][1]-det[0][1]*det[1][0];太简单了这...
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    2019-09-04 11:14:46
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  • 矩阵的行列式的计算-余子式

    千次阅读 2019-07-04 14:02:09
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  • 本节为线性代数复习笔记的第一部分,行列式的概念与计算,主要包括:行列式的几何意义,行列式的展开计算(余子式,代数余子式),行列式的性质,特殊的五个行列式以及克拉默法则。
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  • 机器学习之重温线性代数

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    目录一、矩阵的基本概念和意义...行列式按行(列)展开,代数余子式4.行列式的应用:克莱姆法则(Cramer′sruleCramer's\quad ruleCramer′srule)4.矩阵逆的引入4.1 矩阵的逆的常用性质以及特殊矩阵的逆4.2 特殊矩阵的逆4.
  • 本节为线性代数复习笔记的第二部分,矩阵的概念与计算(1),主要包括:行列式的几何意义,行列式的展开计算(余子式,代数余子式),行列式的性质,特殊的五个行列式以及克拉默法则。 1. 欢迎扫描二维码关注微信...
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    千次阅读 2019-05-19 21:38:59
    行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的矩阵 得到的余子式Mij以i为列,j为行的顺序,且(-1) 次方Aij(称为代数余字式Aij) 组成A*伴随矩阵。 称为矩阵A 的伴随矩阵,简称伴随阵。 例题...
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  • 线性代数之矩阵常见名词

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  • 矩阵(三)

    2020-06-07 14:15:57
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  • 本节为线性代数复习笔记的第二部分,矩阵的概念与计算(1),主要包括:行列式的几何意义,行列式的展开计算(余子式,代数余子式),行列式的性质,特殊的五个行列式以及克拉默法则。 1. 欢迎扫描二维码关注微信...
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    千次阅读 2015-09-12 23:26:06
    最近花了一段时间去温习矩阵的基础算法,要去敲代码的时候才发现原来以前的线性代码全都白学了,没有去用没有去实现的结果就等于什么都没用。  自己为了练习实现了一些矩阵的基础算法,算是一个温习,一条条罗列...

空空如也

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代数余子式的算法