前言
在联合省选day2t3中，存在一种使用行列式求导来计算生成树边权和的方法。需要计算出每个位置的代数余子式

常见的做法均是套用$A\times A^*=|A|\times I$的等式求解，这种做法在模意义下矩阵$rank(A)=n-1$时不能正确得出伴随矩阵

以下给出正确的求解伴随矩阵的方法
代数余子式
给$n$阶方阵$A=(a_{i,j})$，定义$a_{i,j}$的余子式$M_{i,j}$为将$i$行$j$列划去后的行列式，$a_{i,j}$的代数余子式$A_{i,j}$为$(-1)^{i+j}M_{i,j}$
伴随矩阵
若$A_{i,j}$为代数余子式矩阵，我们定义

$A^*=(A_{ij})^{\mathrm T}$

$A^*$为矩阵$A$的伴随矩阵
我们存在一个结论，即

$A\times A^*=A^*\times A=|A|\times I_n$

其中$I_n$为$n$阶单位矩阵，$|A|$为矩阵$A$的行列式
计算
若$rank(A)=n$，则$A^{-1}$是良定义的，可以直接用$A^*=|A|\times A^{-1}$来进行计算。
若$rank(A)\leq n-2$，不难发现任意$n-1$阶子式行列式均为$0$，故$A^*=O$，其中$O$为空矩阵
我们只需要特殊考虑$rank(A)=n-1$的情况
不妨设$A$的列向量组为$c_1,c_2\cdots c_n$，由其线性相关，可以得到存在一组不全为$0$的系数$q_1,q_2\cdots q_n$，满足$\sum q_ic_i=0$。不妨假设$q_c\not =0$
考虑同行两余子式$M_{r,i}$与$M_{r,c}$的关系（在此后的表述中，$M_{r,i}$可能为矩阵，也可能为该矩阵的行列式。视语境而定）。不失一般性地令$i<c$，对于$i>c$的情况是同理推导的
若我们将$M_{r,i}$的第$c-1$列向前置换至第$i$列，同时原本第$[i,c-2]$列向后循环移位。我们能够得到与$M_{r,c}$十分相似的一个矩阵。唯一的不同在于$M_{r,i}$的第$i$列为原本的第$c$列去掉行$r$，而$M_{r,c}$的第$i$列为原本的第$i$列去掉行$r$
我们构造新矩阵$M'$，将$M_{r,i}$（循环移位后）的第$i$列乘上$q_c$，将$M_{r,c}$的第$i$列乘上$q_i$，令$M'$为这两个矩阵的和。这里两个矩阵的和的计算方式是这样的：将唯一不同的两列求和，其他所有的列照写。

由行列式的性质，不难发现有

$|M'|=(-1)^{c-i-1}q_c|M_{r,i}|+q_i|M_{r,c}|$

若我们将$M'$的其他列乘上原本对应的列$c$的$q_c$，再加到$M'$的第$i$列上，行列式不变。而第$i$列全为$0$，此时可以证明$|M'|=0$，因而有

$(-1)^{c-i}q_c|M_{r,i}|=q_i|M_{r,c}|\\
|M_{r,i}|=\frac{q_i}{q_c}(-1)^{c-i}|M_{r,c}|\\
(-1)^{r+i}|M_{r,i}|=\frac{q_i}{q_c}(-1)^{c-i+r+i}|M_{r,c}|\\
A_{r,i}=\frac{q_i}{q_c}A_{r,c}$

通过对$i>c$的情况加以分析，不难发现，上述结论仍然成立。故有

$A_{r,i}=\frac{q_i}{q_c}A_{r,c}$

对于行向量组的分析，也是相似的。
对于一组行向量$p=(p_1p_2\cdots p_n)$，列向量$q=(q_1q_2\cdots q_n)$，我们求出这样的两个向量使得$pA=0,Aq=0$。不妨设$p_r,q_c\not =0$，就有

$A_{i,j}=\frac{p_iq_j}{p_rq_c}A_{r,c}$

求解向量$p,q$，代数余子式$A_{r,c}$均可以在$\Theta(n^3)$的时间内用高斯消元法求解。综上所述，求解一个矩阵的伴随矩阵的时间复杂度为$\Theta(n^3)$
代码
调用Mat::get_adjoint_matrix(a,n)即可求解$n$阶矩阵$a$的伴随矩阵

可以在这里验证你的代码

https://vjudge.net/problem/OpenJ_POJ-C19J
const int MAXN=35;
const int MAXM=152505;
const int mod=998244353;
inline void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
inline void dl(int &x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
inline int pow_mod(int a,int b)
{
	int ret=1;
	for(;b;b>>=1,a=1LL*a*a%mod)if(b&1)ret=1LL*ret*a%mod;
	return ret;
}
struct matrix{int m[MAXN][MAXN];matrix(){memset(m,0,sizeof(m));}};
namespace Mat
{
	int A[MAXN][MAXN],B[MAXN][2*MAXN];matrix mat_ret,mat_lin;
	int dat(const matrix &a,int n)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];
		int ret=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int u=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(A[j][i]){u=j;break;}
			if(u!=i){for(int j=i;j<=n;j++)swap(A[u][j],A[i][j]);ret=1LL*ret*(mod-1)%mod;}
			if(!A[i][i])return 0;int Iv=pow_mod(A[i][i],mod-2);
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
			{
				int temp=1LL*A[j][i]*Iv%mod;
				for(int k=i;k<=n;k++)dl(A[j][k],1LL*A[i][k]*temp%mod);
			}ret=1LL*ret*A[i][i]%mod;
		}return ret;
	}
	matrix mat_inv(const matrix &a,int n)
	{
		memset(B,0,sizeof(B));
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[i][j]=a.m[i][j];
		for(int i=1;i<=n;i++)B[i][i+n]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int u=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(B[j][i]){u=j;break;}
			for(int j=1;j<=2*n;j++)swap(B[i][j],B[u][j]);
			if(!B[i][i])continue;int Iv=pow_mod(B[i][i],mod-2);
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
			{
				int temp=1LL*B[j][i]*Iv%mod;
				for(int k=i;k<=2*n;k++)dl(B[j][k],1LL*B[i][k]*temp%mod);
			}
		}
		for(int i=n;i>=1;i--)
		{
			int Iv=pow_mod(B[i][i],mod-2);
			for(int j=i;j<=2*n;j++)if(B[i][j])B[i][j]=1LL*B[i][j]*Iv%mod;
			for(int j=i-1;j>=1;j--)if(B[j][i])
			{
				int Z=B[j][i];
				for(int k=i;k<=2*n;k++)if(B[i][k])dl(B[j][k],1LL*B[i][k]*Z%mod);
			}
		}
		memset(mat_ret.m,0,sizeof(mat_ret.m));
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
			mat_ret.m[i][j]=B[i][j+n];
		return mat_ret;
	}
	int calculate_r(const matrix &a,int n)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];int ret=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(!A[i][i])
			{
				int u=-1;
				for(int j=i+1;j<=n;j++)if(A[j][i]){u=j;break;}
				if(u==-1)continue;
				for(int j=i;j<=n;j++)swap(A[i][j],A[u][j]);
			}++ret;int Iv=pow_mod(A[i][i],mod-2);
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
			{
				int temp=1LL*A[j][i]*Iv%mod;
				for(int k=i;k<=n;k++)dl(A[j][k],1LL*A[i][k]*temp%mod);
			}
		}return ret;
	}
	matrix get_adjoint_matrix_full(const matrix &a,int n)
	{
		matrix Iv=mat_inv(a,n);int Z=dat(a,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
			mat_ret.m[j][i]=1LL*Iv.m[i][j]*Z%mod;
		return mat_ret;
	}
	
	
	int us[MAXN][MAXN],Inv[MAXN];
	VI insert(VI Z,int n,int id)
	{
		VI bel(n+1,0);bel[id]=1;bel[0]=-1;
		for(int i=n;i>=1;i--)if(Z[i])
		{
			if(!A[i][i])
			{
				for(int j=i;j>=1;j--)A[i][j]=Z[j];Inv[i]=pow_mod(A[i][i],mod-2);
				for(int j=1;j<=n;j++)us[i][j]=bel[j];
				return bel;
			}
			int temp=1LL*Inv[i]*Z[i]%mod;
			for(int j=i;j>=1;j--)dl(Z[j],1LL*A[i][j]*temp%mod);
			for(int j=1;j<=n;j++)dl(bel[j],1LL*us[i][j]*temp%mod);
		}bel[0]=0;return bel;
	}
	VI get_G(const matrix &a,int n,int opt)
	{
		VI ret;
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];
		if(opt)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[j][i]=A[i][j];
		else for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[i][j]=A[i][j];
		
		memset(A,0,sizeof(A));memset(us,0,sizeof(us));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			VI Z(n+1,0);
			for(int j=1;j<=n;j++)Z[j]=B[j][i];
			ret=insert(Z,n,i);
			if(ret[0]!=-1)return ret;
		}assert(false);
	}
	matrix get_adjoint_matrix_one(const matrix &a,int n)
	{
		VI Q=get_G(a,n,0);
		VI P=get_G(a,n,1);
		int c=-1,r=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)if(Q[i]){c=i;break;}assert(c!=-1);
		for(int i=1;i<=n;i++)if(P[i]){r=i;break;}assert(r!=-1);
		
		for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=r)for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=c)
			mat_lin.m[i-(i>r)][j-(j>c)]=a.m[i][j];
		int Ivq=pow_mod(Q[c],mod-2),Ivp=pow_mod(P[r],mod-2);
		int Iv=1LL*Ivq*Ivp%mod;
		mat_ret.m[r][c]=dat(mat_lin,n-1);
		if((r+c)&1)mat_ret.m[r][c]=mod-mat_ret.m[r][c];
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			int val=1LL*P[i]*Q[j]%mod*Iv%mod*mat_ret.m[r][c]%mod;
			mat_ret.m[i][j]=val;
		}return mat_ret;
	}
	
	matrix get_adjoint_matrix(const matrix &a,int n)
	{
		int Z=calculate_r(a,n);
		if(Z==n)return get_adjoint_matrix_full(a,n);
		else if(Z==n-1)return get_adjoint_matrix_one(a,n);
		else
		{
			memset(mat_ret.m,0,sizeof(mat_ret.m));
			return mat_ret;
		}
	}
}

1.因为代数余子式Aij与对应元素aij毫无关系，所以可以改变代数余子式对应行或列的元素的值，使其刚好为代数余子式的系数，此时，代数余子式之和等于新的行列式的值

例：



求A31+2*A32+3*A33

解：因为代数余子式对应的是第三行所有元素，系数依次为1，2，3，所以把A的第三行直接改为1，2，3，得到新的行列式B



可见，新的行列式值为-14，所以原式等于-14

2.第i行（或列）的元素，分别乘以第j行（或列）的元素所对应的代数余子式，之和为0（i！=j），即对于n阶行列式



其实，这个可以看作是1的变体。因为采用方法一，将第j行（或列）改为第i行（或列）的元素后，新的矩阵中有两行一摸一样，必定不满秩，值必定为0

目录
第一章 行列式
$A$组
3.$\begin{vmatrix}1&3&9&27\\1&-1&1&-1\\2&4&8&16\\1&-2&4&-8\end{vmatrix}=$（  ）。
$(A)240;$
$(B)480;$
$(C)-240;$
$(D)-480.$
$B$组
5.设$\bm{A}$是$n(n\geqslant2)$阶方阵，$|\bm{A}|=3$，则$|(\bm{A}^*)^*|=$（  ）。
$(A)3^{(n-1)^2};$
$(B)3^{n^2-1};$
$(C)3^{n^2-n};$
$(D)3^{n-1};$
14.计算行列式$\begin{vmatrix}x+1&x&x&\cdots&x\\x&x+\cfrac{1}{2}&x&\cdots&x\\x&x&x+\cfrac{1}{3}&\cdots&x\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\x&x&x&\cdots&x+\cfrac{1}{n}\end{vmatrix}$。
$C$组
1.设$D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}&0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{k1}&\cdots&a_{kk}&0&\cdots&0\\0&\cdots&0&b_{11}&\cdots&b_{1m}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0&b_{m1}&\cdots&b_{mm}\end{vmatrix},D_1=\begin{vmatrix}0&\cdots&0&a_{11}&\cdots&a_{1k}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0&a_{k1}&\cdots&a_{kk}\\b_{11}&\cdots&b_{1m}&0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{m1}&\cdots&b_{mm}&0&\cdots&0\end{vmatrix}$，若$D\ne D_1$，则（  ）。
$(A)k,m$均为奇数；
$(B)k,m$均为偶数；
$(C)k$为奇数，$m$为偶数；
$(D)k$为偶数，$m$为奇数。
4.行列式$D_{n+1}=\begin{vmatrix}a^n&(a+1)^n&\cdots&(a+n)^n\\a^{n-1}&(a+1)^{n-1}&\cdots&(a+n)^{n-1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a&a+1&\cdots&a+n\\1&1&\cdots&1\end{vmatrix}=$______。
7.设$\bm{A}$为奇数阶矩阵，且$\bm{AA}^\mathrm{T}=\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{E},|\bm{A}|>0$，则$|\bm{A}-\bm{E}|=$______。
11.计算行列式$\begin{vmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{vmatrix}$。
第二章 余子式和代数余子式的计算
$C$组
4.$\bm{A}$为$n(n\geqslant3)$阶非零实矩阵，$A_{ij}$为$|\bm{A}|$中元素$a_{ij}$的代数余子式，证明：
（1）$a_{ij}=A_{ij}\Leftrightarrow\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{E}$，且$|\bm{A}|=1$；
写在最后

第一章 行列式
$A$组
3.$\begin{vmatrix}1&3&9&27\\1&-1&1&-1\\2&4&8&16\\1&-2&4&-8\end{vmatrix}=$（  ）。
$(A)240;$
$(B)480;$
$(C)-240;$
$(D)-480.$
解  这是$4$阶行列式，将第三行提出公因子，该行列式实际上是由数字$3,-1,2,-2$升幂排列构造的范德蒙行列式，可利用公式直接定值，即

$\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}1&3&9&27\\1&-1&1&-1\\2&4&8&16\\1&-2&4&-8\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1&3&3^2&3^3\\1&-1&(-1)^2&(-1)^3\\1&2&2^2&2^3\\1&-2&(-2)^2&(-2)^3\end{vmatrix}\\
=&2\times(-2-3)\times(-2+1)\times(-2-2)\times(2-3)\times(2+1)\times(-1-3)=-480.
\end{aligned}$

  故选$(D)$。（这道题主要利用了范德蒙行列式求解）
$B$组
5.设$\bm{A}$是$n(n\geqslant2)$阶方阵，$|\bm{A}|=3$，则$|(\bm{A}^*)^*|=$（  ）。
$(A)3^{(n-1)^2};$
$(B)3^{n^2-1};$
$(C)3^{n^2-n};$
$(D)3^{n-1};$
解  因为$|\bm{A}|=3$，故$\bm{A}$可逆，则$(\bm{A}^*)(\bm{A}^*)^*=|\bm{A}^*|\bm{E},(\bm{A}^*)^*=|\bm{A}^*|(\bm{A}^*)^{-1}=|\bm{A}^*|\cfrac{\bm{A}}{|\bm{A}|}=|\bm{A}|^{n-2}\bm{A},|(\bm{A}^*)^*|=||\bm{A}|^{n-2}\bm{A}|=|\bm{A}|^{(n-2)n}|\bm{A}|=|\bm{A}|^{n^2-2n+1}=3^{(n-1)^2}$。（这道题主要利用了矩阵的性质求解）
14.计算行列式$\begin{vmatrix}x+1&x&x&\cdots&x\\x&x+\cfrac{1}{2}&x&\cdots&x\\x&x&x+\cfrac{1}{3}&\cdots&x\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\x&x&x&\cdots&x+\cfrac{1}{n}\end{vmatrix}$。
解

$\begin{aligned}
D_n&=\begin{vmatrix}x+1&x&x&\cdots&x\\x&x+\cfrac{1}{2}&x&\cdots&x\\x&x&x+\cfrac{1}{3}&\cdots&x\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\x&x&x&\cdots&x+\cfrac{1}{n}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x+1&x&x&\cdots&x\\-1&\cfrac{1}{2}&0&\cdots&0\\-1&0&\cfrac{1}{3}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\-1&0&0&\cdots&\cfrac{1}{n}\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}1+\left(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^ni\right)x&x&x&\cdots&x\\0&\cfrac{1}{2}&0&\cdots&0\\0&0&\cfrac{1}{3}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&\cfrac{1}{n}\end{vmatrix}=\cfrac{1}{n!}\left[1+\cfrac{n(n+1)}{2}x\right].
\end{aligned}$

（这道题主要利用了行列式变换求解）
$C$组
1.设$D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}&0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{k1}&\cdots&a_{kk}&0&\cdots&0\\0&\cdots&0&b_{11}&\cdots&b_{1m}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0&b_{m1}&\cdots&b_{mm}\end{vmatrix},D_1=\begin{vmatrix}0&\cdots&0&a_{11}&\cdots&a_{1k}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&\cdots&0&a_{k1}&\cdots&a_{kk}\\b_{11}&\cdots&b_{1m}&0&\cdots&0\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{m1}&\cdots&b_{mm}&0&\cdots&0\end{vmatrix}$，若$D\ne D_1$，则（  ）。
$(A)k,m$均为奇数；
$(B)k,m$均为偶数；
$(C)k$为奇数，$m$为偶数；
$(D)k$为偶数，$m$为奇数。
解  由类似$\begin{vmatrix}\bm{A}&\bm{O}\\\bm{O}&\bm{B}\end{vmatrix}$和$\begin{vmatrix}\bm{O}&\bm{A}\\\bm{B}&\bm{O}\end{vmatrix}$的行列式定值法，可推得计算公式$\begin{vmatrix}\bm{A}&\bm{O}\\\bm{O}&\bm{B}\end{vmatrix}=|\bm{A}||\bm{B}|,\begin{vmatrix}\bm{O}&\bm{A}\\\bm{B}&\bm{O}\end{vmatrix}=(-1)^{km}|\bm{A}||\bm{B}|$，故选$(A)$。（这道题主要利用了分块矩阵求解）
4.行列式$D_{n+1}=\begin{vmatrix}a^n&(a+1)^n&\cdots&(a+n)^n\\a^{n-1}&(a+1)^{n-1}&\cdots&(a+n)^{n-1}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a&a+1&\cdots&a+n\\1&1&\cdots&1\end{vmatrix}=$______。
解  将行列式$D_{n+1}$第$n+1$行依次与相邻的上一行进行交换，经过$n$次交换后，换到第$1$行。完全类似，$D_{n+1}$的第$n$行经过$n-1$次相邻两行交换，换到第$2$行，如此共进行了$n+(n-1)+\cdots+2+1=\cfrac{n(n+1)}{2}$次行交换后，$D_{n+1}$化为范德蒙行列式。

$\begin{aligned}
D_{n+1}&=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\a&a+1&\cdots&a+n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a^{n-1}&(a+1)^{n-1}&\cdots&(a+n)^{n-1}\\a^n&(a+1)^n&\cdots&(a+n)^n\end{vmatrix}\\
&=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\prod\limits_{0\leqslant j<i\leqslant n}[(a+i)-(a+j)]\\
&=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\prod\limits_{0\leqslant j<i\leqslant n}(i-j)\\
&=(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}n!(n-1)!\cdots2!.
\end{aligned}$

（这道题主要利用了范德蒙行列式求解）
7.设$\bm{A}$为奇数阶矩阵，且$\bm{AA}^\mathrm{T}=\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{E},|\bm{A}|>0$，则$|\bm{A}-\bm{E}|=$______。
解  $|\bm{A}-\bm{E}|=|\bm{A}-\bm{AA}^\mathrm{T}|=|\bm{A}(\bm{E}-\bm{A}^\mathrm{T})|=|\bm{A}||(\bm{E}-\bm{A})^\mathrm{T}|=|\bm{A}||\bm{E}-\bm{A}|$。由$\bm{AA}^\mathrm{T}=\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{E}$，可知$|\bm{A}|^2=1$。又由$|\bm{A}|>0$，可知$|\bm{A}|=1$。又$\bm{A}$为奇数阶矩阵，故$|\bm{E}-\bm{A}|=|-(\bm{A}-\bm{E})|=-|\bm{A}-\bm{E}|$，故有$|\bm{A}-\bm{E}|=-|\bm{A}-\bm{E}|$，于是$|\bm{A}-\bm{E}|=0$。（这道题主要利用了矩阵变换求解）
11.计算行列式$\begin{vmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{vmatrix}$。
解

$\begin{aligned}
&\begin{vmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{vmatrix}^2=\left|\begin{bmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{bmatrix}\right|\\
=&\begin{vmatrix}a^2+b^2+c^2+d^2&0&0&0\\0&a^2+b^2+c^2+d^2&0&0\\0&0&a^2+b^2+c^2+d^2&0\\0&0&0&a^2+b^2+c^2+d^2\end{vmatrix}\\
=&(a^2+b^2+c^2+d^2)^4
\end{aligned}$

  观察可知原行列式中$a^4$的系数为$1$，故原式$=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$。（这道题主要利用了矩阵乘法求解）
第二章 余子式和代数余子式的计算
$C$组
4.$\bm{A}$为$n(n\geqslant3)$阶非零实矩阵，$A_{ij}$为$|\bm{A}|$中元素$a_{ij}$的代数余子式，证明：
（1）$a_{ij}=A_{ij}\Leftrightarrow\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{E}$，且$|\bm{A}|=1$；
解  当$a_{ij}=A_{ij}$时，有$\bm{A}^\mathrm{T}=\bm{A}^*$，则$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{A}^*\bm{A}=|\bm{A}|\bm{E}$。由于$\bm{A}$为$n$阶非零实矩阵，即$a_{ij}$不全为零，所以$\mathrm{tr}(\bm{AA}^\mathrm{T})=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\displaystyle\sum\limits_{j=1}^na_{ij}^2>0$。而$\mathrm{tr}(\bm{AA}^\mathrm{T})=\mathrm{tr}(|\bm{A}|\bm{E})=n|\bm{A}|$，这说明$|\bm{A}|>0$，在$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=|\bm{A}|\bm{E}$两边取行列式，得$|\bm{A}|^{n-2}=1$，于是$|\bm{A}|=1$，故$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{E}$。

  反之，若$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{E}$且$|\bm{A}|=1$，则$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=|\bm{A}|\bm{E}=\bm{E}$且$\bm{A}$可逆，于是，$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{A}=\bm{A}^*\bm{A},\bm{A}^\mathrm{T}=\bm{A}^*$，即$a_{ij}=A_{ij}$。（这道题主要利用了矩阵变换求解）
写在最后
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用余子式、代数余子式和伴随

			来求逆矩阵
			
（注意：也去看看 用行运算来求逆矩阵 和 矩阵计算器。）
			
 
			
我们可以这样去求逆矩阵:
			

				
一、求余子式矩阵，
				
二、转成代数余子式矩阵，
				
三、转成伴随矩阵，
				
四、乘以 1/行列式。
			
			
最好是用实例来解释！
例子：求 A 的逆：

-要做四步。全都是简单的算术，但有很多计算，所以要小心，不要犯错！
 			
一、余子式矩阵


第一步是造一个 “余子式矩阵”。这步有最多计算。
为矩阵的每个元素：
				

					
不使用在本行与本列的元素
					
计算剩下来的值的行列式
				
把行列式的结果放进一个矩阵（"余子式矩阵"）
					
行列式
					
2×2 矩阵（2行和2列）的行列式很容易：ad-bc
							（3×3 矩阵会比较复杂，。。。。。。）
					
					

						

							
想：十字乘法
								

									
蓝色 代表 正 （+ad），
									
红色 代表 负 （-bc）
							


计算


这是"余子式矩阵"的头两个和最后两个计算（留意我不使用在元素本行和本列的值，只用剩下来的值来算行列式）：

这是整个矩阵的计算程序：


二、代数余子式矩阵


这个容易！把"纵横交错"排列的正负号放在"余子式矩阵"上。换句话说，我们需要每隔一个格改变正负号，像这样：

三、伴随
			
"转置" 以上的矩阵。。。。。。就是沿对角线对调元素的位置（在对角线上的元素不变）：


四、乘以 1/行列式


求原本的矩阵的行列式。这不困难，因为在求"余子式矩阵"时我们已经计算了局部的行列式。




所以：把顶行的每个元素乘以其"余子式"的行列式：			


 行列式 = 3×2 - 0×2 + 2×2 = 10 


现在把伴随矩阵乘以 1/行列式：




大功告成！


把这答案与在 用初等行运算来求逆矩阵 里求的逆矩阵比较一下。是不是一样？你喜欢哪个方法？


较大的矩阵


求更大的矩阵的逆矩阵都是用同样的方法（例如 4×4 和 5×5等），可是，真的要做很多很多的计算！


4×4 矩阵要做 16个 3×3 行列式。所以通常是用电脑来做（例如 矩阵计算器。）


结论


为每个元素，计算不在其本行或本列 的值 的行列式 来构成余子式矩阵
       		
把纵横交错排列的正负号放在"余子式矩阵"上以形成代数余子式矩阵
       		
转置矩阵以成为伴随矩阵
       		
乘以 1/行列式 以成为逆矩阵