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  • 代数余子式的计算方法
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    2020-06-29 11:24:50

    前言

    在联合省选day2t3中,存在一种使用行列式求导来计算生成树边权和的方法。需要计算出每个位置的代数余子式
    常见的做法均是套用 A × A ∗ = ∣ A ∣ × I A\times A^*=|A|\times I A×A=A×I的等式求解,这种做法在模意义下矩阵 r a n k ( A ) = n − 1 rank(A)=n-1 rank(A)=n1时不能正确得出伴随矩阵
    以下给出正确的求解伴随矩阵的方法

    代数余子式

    n n n阶方阵 A = ( a i , j ) A=(a_{i,j}) A=(ai,j),定义 a i , j a_{i,j} ai,j的余子式 M i , j M_{i,j} Mi,j为将 i i i j j j列划去后的行列式, a i , j a_{i,j} ai,j的代数余子式 A i , j A_{i,j} Ai,j ( − 1 ) i + j M i , j (-1)^{i+j}M_{i,j} (1)i+jMi,j

    伴随矩阵

    A i , j A_{i,j} Ai,j为代数余子式矩阵,我们定义
    A ∗ = ( A i j ) T A^*=(A_{ij})^{\mathrm T} A=(Aij)T
    A ∗ A^* A为矩阵 A A A的伴随矩阵

    我们存在一个结论,即
    A × A ∗ = A ∗ × A = ∣ A ∣ × I n A\times A^*=A^*\times A=|A|\times I_n A×A=A×A=A×In
    其中 I n I_n In n n n阶单位矩阵, ∣ A ∣ |A| A为矩阵 A A A的行列式

    计算

    r a n k ( A ) = n rank(A)=n rank(A)=n,则 A − 1 A^{-1} A1是良定义的,可以直接用 A ∗ = ∣ A ∣ × A − 1 A^*=|A|\times A^{-1} A=A×A1来进行计算。

    r a n k ( A ) ≤ n − 2 rank(A)\leq n-2 rank(A)n2,不难发现任意 n − 1 n-1 n1阶子式行列式均为 0 0 0,故 A ∗ = O A^*=O A=O,其中 O O O为空矩阵

    我们只需要特殊考虑 r a n k ( A ) = n − 1 rank(A)=n-1 rank(A)=n1的情况

    不妨设 A A A的列向量组为 c 1 , c 2 ⋯ c n c_1,c_2\cdots c_n c1,c2cn,由其线性相关,可以得到存在一组不全为 0 0 0的系数 q 1 , q 2 ⋯ q n q_1,q_2\cdots q_n q1,q2qn,满足 ∑ q i c i = 0 \sum q_ic_i=0 qici=0。不妨假设 q c ≠ 0 q_c\not =0 qc=0

    考虑同行两余子式 M r , i M_{r,i} Mr,i M r , c M_{r,c} Mr,c的关系(在此后的表述中, M r , i M_{r,i} Mr,i可能为矩阵,也可能为该矩阵的行列式。视语境而定)。不失一般性地令 i < c i<c i<c,对于 i > c i>c i>c的情况是同理推导的

    若我们将 M r , i M_{r,i} Mr,i的第 c − 1 c-1 c1列向前置换至第 i i i列,同时原本第 [ i , c − 2 ] [i,c-2] [i,c2]列向后循环移位。我们能够得到与 M r , c M_{r,c} Mr,c十分相似的一个矩阵。唯一的不同在于 M r , i M_{r,i} Mr,i的第 i i i列为原本的第 c c c列去掉行 r r r,而 M r , c M_{r,c} Mr,c的第 i i i列为原本的第 i i i列去掉行 r r r

    我们构造新矩阵 M ′ M' M,将 M r , i M_{r,i} Mr,i(循环移位后)的第 i i i列乘上 q c q_c qc,将 M r , c M_{r,c} Mr,c的第 i i i列乘上 q i q_i qi,令 M ′ M' M为这两个矩阵的和。这里两个矩阵的和的计算方式是这样的:将唯一不同的两列求和,其他所有的列照写。
    由行列式的性质,不难发现有
    ∣ M ′ ∣ = ( − 1 ) c − i − 1 q c ∣ M r , i ∣ + q i ∣ M r , c ∣ |M'|=(-1)^{c-i-1}q_c|M_{r,i}|+q_i|M_{r,c}| M=(1)ci1qcMr,i+qiMr,c
    若我们将 M ′ M' M的其他列乘上原本对应的列 c c c q c q_c qc,再加到 M ′ M' M的第 i i i列上,行列式不变。而第 i i i列全为 0 0 0,此时可以证明 ∣ M ′ ∣ = 0 |M'|=0 M=0,因而有
    ( − 1 ) c − i q c ∣ M r , i ∣ = q i ∣ M r , c ∣ ∣ M r , i ∣ = q i q c ( − 1 ) c − i ∣ M r , c ∣ ( − 1 ) r + i ∣ M r , i ∣ = q i q c ( − 1 ) c − i + r + i ∣ M r , c ∣ A r , i = q i q c A r , c (-1)^{c-i}q_c|M_{r,i}|=q_i|M_{r,c}|\\ |M_{r,i}|=\frac{q_i}{q_c}(-1)^{c-i}|M_{r,c}|\\ (-1)^{r+i}|M_{r,i}|=\frac{q_i}{q_c}(-1)^{c-i+r+i}|M_{r,c}|\\ A_{r,i}=\frac{q_i}{q_c}A_{r,c} (1)ciqcMr,i=qiMr,cMr,i=qcqi(1)ciMr,c(1)r+iMr,i=qcqi(1)ci+r+iMr,cAr,i=qcqiAr,c
    通过对 i > c i>c i>c的情况加以分析,不难发现,上述结论仍然成立。故有
    A r , i = q i q c A r , c A_{r,i}=\frac{q_i}{q_c}A_{r,c} Ar,i=qcqiAr,c
    对于行向量组的分析,也是相似的。

    对于一组行向量 p = ( p 1 p 2 ⋯ p n ) p=(p_1p_2\cdots p_n) p=(p1p2pn),列向量 q = ( q 1 q 2 ⋯ q n ) q=(q_1q_2\cdots q_n) q=(q1q2qn),我们求出这样的两个向量使得 p A = 0 , A q = 0 pA=0,Aq=0 pA=0,Aq=0。不妨设 p r , q c ≠ 0 p_r,q_c\not =0 pr,qc=0,就有
    A i , j = p i q j p r q c A r , c A_{i,j}=\frac{p_iq_j}{p_rq_c}A_{r,c} Ai,j=prqcpiqjAr,c
    求解向量 p , q p,q p,q,代数余子式 A r , c A_{r,c} Ar,c均可以在 Θ ( n 3 ) \Theta(n^3) Θ(n3)的时间内用高斯消元法求解。综上所述,求解一个矩阵的伴随矩阵的时间复杂度为 Θ ( n 3 ) \Theta(n^3) Θ(n3)

    代码

    调用Mat::get_adjoint_matrix(a,n)即可求解 n n n阶矩阵 a a a的伴随矩阵
    可以在这里验证你的代码
    https://vjudge.net/problem/OpenJ_POJ-C19J

    const int MAXN=35;
    const int MAXM=152505;
    const int mod=998244353;
    inline void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
    inline void dl(int &x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
    inline int pow_mod(int a,int b)
    {
    	int ret=1;
    	for(;b;b>>=1,a=1LL*a*a%mod)if(b&1)ret=1LL*ret*a%mod;
    	return ret;
    }
    struct matrix{int m[MAXN][MAXN];matrix(){memset(m,0,sizeof(m));}};
    namespace Mat
    {
    	int A[MAXN][MAXN],B[MAXN][2*MAXN];matrix mat_ret,mat_lin;
    	int dat(const matrix &a,int n)
    	{
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];
    		int ret=1;
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			int u=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(A[j][i]){u=j;break;}
    			if(u!=i){for(int j=i;j<=n;j++)swap(A[u][j],A[i][j]);ret=1LL*ret*(mod-1)%mod;}
    			if(!A[i][i])return 0;int Iv=pow_mod(A[i][i],mod-2);
    			for(int j=i+1;j<=n;j++)
    			{
    				int temp=1LL*A[j][i]*Iv%mod;
    				for(int k=i;k<=n;k++)dl(A[j][k],1LL*A[i][k]*temp%mod);
    			}ret=1LL*ret*A[i][i]%mod;
    		}return ret;
    	}
    	matrix mat_inv(const matrix &a,int n)
    	{
    		memset(B,0,sizeof(B));
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[i][j]=a.m[i][j];
    		for(int i=1;i<=n;i++)B[i][i+n]=1;
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			int u=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(B[j][i]){u=j;break;}
    			for(int j=1;j<=2*n;j++)swap(B[i][j],B[u][j]);
    			if(!B[i][i])continue;int Iv=pow_mod(B[i][i],mod-2);
    			for(int j=i+1;j<=n;j++)
    			{
    				int temp=1LL*B[j][i]*Iv%mod;
    				for(int k=i;k<=2*n;k++)dl(B[j][k],1LL*B[i][k]*temp%mod);
    			}
    		}
    		for(int i=n;i>=1;i--)
    		{
    			int Iv=pow_mod(B[i][i],mod-2);
    			for(int j=i;j<=2*n;j++)if(B[i][j])B[i][j]=1LL*B[i][j]*Iv%mod;
    			for(int j=i-1;j>=1;j--)if(B[j][i])
    			{
    				int Z=B[j][i];
    				for(int k=i;k<=2*n;k++)if(B[i][k])dl(B[j][k],1LL*B[i][k]*Z%mod);
    			}
    		}
    		memset(mat_ret.m,0,sizeof(mat_ret.m));
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
    			mat_ret.m[i][j]=B[i][j+n];
    		return mat_ret;
    	}
    	int calculate_r(const matrix &a,int n)
    	{
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];int ret=0;
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			if(!A[i][i])
    			{
    				int u=-1;
    				for(int j=i+1;j<=n;j++)if(A[j][i]){u=j;break;}
    				if(u==-1)continue;
    				for(int j=i;j<=n;j++)swap(A[i][j],A[u][j]);
    			}++ret;int Iv=pow_mod(A[i][i],mod-2);
    			for(int j=i+1;j<=n;j++)
    			{
    				int temp=1LL*A[j][i]*Iv%mod;
    				for(int k=i;k<=n;k++)dl(A[j][k],1LL*A[i][k]*temp%mod);
    			}
    		}return ret;
    	}
    	matrix get_adjoint_matrix_full(const matrix &a,int n)
    	{
    		matrix Iv=mat_inv(a,n);int Z=dat(a,n);
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
    			mat_ret.m[j][i]=1LL*Iv.m[i][j]*Z%mod;
    		return mat_ret;
    	}
    	
    	
    	int us[MAXN][MAXN],Inv[MAXN];
    	VI insert(VI Z,int n,int id)
    	{
    		VI bel(n+1,0);bel[id]=1;bel[0]=-1;
    		for(int i=n;i>=1;i--)if(Z[i])
    		{
    			if(!A[i][i])
    			{
    				for(int j=i;j>=1;j--)A[i][j]=Z[j];Inv[i]=pow_mod(A[i][i],mod-2);
    				for(int j=1;j<=n;j++)us[i][j]=bel[j];
    				return bel;
    			}
    			int temp=1LL*Inv[i]*Z[i]%mod;
    			for(int j=i;j>=1;j--)dl(Z[j],1LL*A[i][j]*temp%mod);
    			for(int j=1;j<=n;j++)dl(bel[j],1LL*us[i][j]*temp%mod);
    		}bel[0]=0;return bel;
    	}
    	VI get_G(const matrix &a,int n,int opt)
    	{
    		VI ret;
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]=a.m[i][j];
    		if(opt)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[j][i]=A[i][j];
    		else for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)B[i][j]=A[i][j];
    		
    		memset(A,0,sizeof(A));memset(us,0,sizeof(us));
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			VI Z(n+1,0);
    			for(int j=1;j<=n;j++)Z[j]=B[j][i];
    			ret=insert(Z,n,i);
    			if(ret[0]!=-1)return ret;
    		}assert(false);
    	}
    	matrix get_adjoint_matrix_one(const matrix &a,int n)
    	{
    		VI Q=get_G(a,n,0);
    		VI P=get_G(a,n,1);
    		int c=-1,r=-1;
    		for(int i=1;i<=n;i++)if(Q[i]){c=i;break;}assert(c!=-1);
    		for(int i=1;i<=n;i++)if(P[i]){r=i;break;}assert(r!=-1);
    		
    		for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=r)for(int j=1;j<=n;j++)if(j!=c)
    			mat_lin.m[i-(i>r)][j-(j>c)]=a.m[i][j];
    		int Ivq=pow_mod(Q[c],mod-2),Ivp=pow_mod(P[r],mod-2);
    		int Iv=1LL*Ivq*Ivp%mod;
    		mat_ret.m[r][c]=dat(mat_lin,n-1);
    		if((r+c)&1)mat_ret.m[r][c]=mod-mat_ret.m[r][c];
    		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)
    		{
    			int val=1LL*P[i]*Q[j]%mod*Iv%mod*mat_ret.m[r][c]%mod;
    			mat_ret.m[i][j]=val;
    		}return mat_ret;
    	}
    	
    	matrix get_adjoint_matrix(const matrix &a,int n)
    	{
    		int Z=calculate_r(a,n);
    		if(Z==n)return get_adjoint_matrix_full(a,n);
    		else if(Z==n-1)return get_adjoint_matrix_one(a,n);
    		else
    		{
    			memset(mat_ret.m,0,sizeof(mat_ret.m));
    			return mat_ret;
    		}
    	}
    }
    
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  • 讲述了利用代数余子式计算行列式的原理,用递归的方式用C语言实现了行列式的计算。

    目录

    1.代数余子式计算行列式的原理 

    二阶行列式计算

    三阶行列式计算

    按定义计算

    2.代码实现

    输入矩阵main

    行列式的计算Det

    余子式Cof

    3.该方法的不足


    1.代数余子式计算行列式的原理 

    注意:行列式一定是方阵!

    二阶行列式计算

    杀戮法:

    二阶行列式的计算方法非常简单,主对角线元素相乘—副对角线元素相乘,故又称杀戮法。

    三阶行列式计算

    划线法:

     划线法如下图所示

    按定义计算

    计算行列式时,可以将其按行或列展开进行计算

    以三阶行列式为例:

    将行列式A按第一行展开:

    其中,Aij为aij的代数余子式(i为行号,j为列号),例如:A11为a11的代数余子式。

     代数余子式的计算方法:

    其中,(-1)^(i+j)表示为-1的i+j次方,用来决定代数余子式的正负,Mij为余子式。

    余子式:

    行列式去其i行j列,剩下的元素组成一个新的行列式,该矩阵为aij的余子式。

    例如,a11的余子式为:

     去其第一行第一列,剩下的元素按照现有的排列组合成新的行列式。

     在计算行列式的值时,我们可以选择0多的那一行和那一列进行展开,大大缩减计算量。

    2.代码实现

    核心思想:

    当我们求高阶行列式的值时,可以利用求代数余子式的方式将求高阶行列式逐步转换为求低阶行列式的问题。利用递归的思想可以解决此类问题,将大事化小,小事化了。

    输入矩阵main

    在C语言中,矩阵可以利用二维数组数组将其存储起来。

    当然用数组存放矩阵也有其缺陷:数组的大小是不可以改变的。在没学动态规划之前,可以根据使用的大小开辟足够大的内存空间,以此来应对该问题。

    在输入行列式的时候,还需要确定其阶数n才能进行计算。

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    #include<assert.h>
    
    #define COL 10//为二维数组开辟的最大内存
    int main()
    {
    	int arr[COL][COL] = { 0 };
    	int i = 0, j = 0;
    	int n = 0;//阶数
    	printf("行列式阶数:>");
    	scanf("%d", &n);
    	printf("请输入行列式:>\n");
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		for (j = 0; j < n; j++)
    		{
    			scanf("%d", &arr[i][j]);
    		}
    	}
    	printf("%d", Det(arr, n));
    }

    行列式的计算Det

    因为1阶行列式不用计算,就是其本身,而3阶、2阶的行列式又可以根据划线法和杀戮法计算,这里可以将递归的条件设置为n>3,只有四阶及以上的行列式才进行递归,四阶以下的行列式直接计算得出结果。

    • 在行列式计算前,为了保证数组的安全性,在接收数组的时候加上const,保证数组在函数内部无法修改。
    • 行列式的阶数只有大于等于1时才有意义,在函数开头利用assert断言n是否大于0:条件为真函数运行,条件为假assert则会报警告,assert需包含头文件。
    int Cof(const int arr2[COL][COL], int i, int n);//声明:计算行列式
    
    //计算行列式
    int Det(const int arr[COL][COL], int n)
    {
    	assert(n > 0);
    	int sum = 0;
    	int i = 0;
    	if (n == 1)//1阶行列式直接得出结果
    	{
    		sum = arr[0][0];
    	}
    	else if (n == 2)
    	{
    		sum = arr[0][0] * arr[1][1] - arr[0][1] * arr[1][0];//杀戮法求解
    	}
    	else if (n == 3)
    	{
    		sum = arr[0][0] * arr[1][1] * arr[2][2]
    			+ arr[0][1] * arr[1][2] * arr[2][0]
    			+ arr[1][0] * arr[2][1] * arr[0][2]
    			- arr[0][2] * arr[1][1] * arr[2][0]
    			- arr[0][1] * arr[1][0] * arr[2][2]
    			- arr[1][2] * arr[2][1] * arr[0][0];//划线法求解
    	}
    	else
    	{
    		for (i = 0; i < n; i++)//按第一行展开
    		{
    			if (arr[0][i] != 0)//展开项不为0才计算
    			{
    				sum += ((int)pow(-1, i + 2)) * arr[0][i] * (Cof(arr, i, n));//2阶以上继续递归		
    			}
    			else
    				sum += 0;//展开项为0
    		}
    	}
    	return sum;
    }

    余子式Cof

    接收Det函数传过来的二维数组,取其行列,剩下的元素组成新的二维数组再传给Det函数。两个函数相互调用,直到阶数小于4。

    int Det(const int arr[COL][COL], int n);//声明:计算代数余子式
    
    //找到余子式
    int Cof(const int arr[COL][COL], int i, int n)
    {
    	assert(n > 0);
    	int k = 0;
    	int j = 0;
    	int arr2[COL][COL] = { 0 };
    	for (k = 0; k < n - 1; k++)//去除0行i列,剩下的组成新的矩阵
    	{
    		for (j = 0; j < n - 1; j++)
    		{
    			if (j < i)
    			{
    				arr2[k][j] = arr[k + 1][j];
    			}
    			else
    			{
    				arr2[k][j] = arr[k + 1][j + 1];
    			}
    		}
    	}
    	return Det(arr2, n - 1);
    }

    3.该方法的不足

    尽管我们设置了很多方法来避免无用的递归

    • 展开项为0则不进行计算
    • 3阶以下行列式直接计算

    但是如果求高阶的行列式还是有所不足:假如求10阶行列式,则需要递归10!/  6=604,800次,深度递归最终导致程序运行的非常缓慢。

    展开全文
  • 代数余子式之和计算技巧

    万次阅读 多人点赞 2020-05-13 11:23:16
    1.因为代数余子式Aij与对应元素aij毫无关系,所以可以改变代数余子式对应行或列的元素的值,使其刚好为代数余子式的系数,此时,代数余子式之和等于新的行列式的值 例: 求A31+2*A32+3*A33 解:因为代数余子式...

    1.因为代数余子式Aij与对应元素aij毫无关系,所以可以改变代数余子式对应行或列的元素的值,使其刚好为代数余子式的系数,此时,代数余子式之和等于新的行列式的值

    例:

    求A31+2*A32+3*A33

    解:因为代数余子式对应的是第三行所有元素,系数依次为1,2,3,所以把A的第三行直接改为1,2,3,得到新的行列式B

    可见,新的行列式值为-14,所以原式等于-14

    2.第i行(或列)的元素,分别乘以第j行(或列)的元素所对应的代数余子式,之和为0(i!=j),即对于n阶行列式

    其实,这个可以看作是1的变体。因为采用方法一,将第j行(或列)改为第i行(或列)的元素后,新的矩阵中有两行一摸一样,必定不满秩,值必定为0

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     permutation.h

    /***********************************/
    /*
    Nonstandard Permutation header
    Copyright (C) 2021---@情久小羊,#Free
    There is no data error check
    */
    /***********************************/
    #pragma once
    #include<initializer_list>
    #include <xutility>
    #include <xstring>
    #include<vector>
    #include <stdexcept>
    using std::vector;
    using std::initializer_list;
    class Permutation {
    	int rank;//n阶行列式
    	vector<vector<int>>data;
    public:
    	Permutation(int rank, vector<vector<int>> data) {
    		if (data.size() != rank)throw std::range_error("行列式大小异常");
    		for (int i = 0; i < data.size(); ++i) {
    			if (data.at(i).size() != rank)throw std::range_error("行列式大小异常");
    		}
    		this->data = data;
    		this->rank = rank;
    	}
    	Permutation(int rank, initializer_list<int>data_list) {
    		if (data_list.size() != rank * rank)throw std::range_error("行列式大小异常");
    		vector<int>v;
    		for (auto i = data_list.begin(); i != data_list.end(); ++i) {
    			v.push_back(*i);
    			if (v.size() == rank) {
    				this->data.push_back(v);
    				v.clear();
    			}
    		}
    		this->rank = rank;
    	}
    	void print_permutation() {
    		for (auto i = this->data.begin(); i != this->data.end(); ++i) {
    			for (auto j = i->begin(); j != i->end(); ++j) {
    				cout << *j << " ";
    			}
    			cout << '\n';
    		}
    	}
    	//计算余子式
    	Permutation cal_Cofactor(int row,int col) {
    		vector<int>row_data; vector<vector<int>>temp_data;
    		for (int i = 0; i < this->rank; ++i) {
    			if (i == row - 1)continue;
    			for (int j = 0; j < this->rank; ++j) {
    				if (j == col - 1)continue;
    				row_data.push_back(this->data.at(i).at(j));
    			}
    			temp_data.push_back(row_data);
    			row_data.clear();
    		}
    		return Permutation(this->rank - 1, temp_data);
    	}
    	//递归通过代数余子式计算
    	int calculate() {
    		int n = 0;
    		if (this->rank == 1)return this->data.at(0).at(0);
    		for (int i = 0; i < this->rank; ++i) {
    			n += this->data.at(0).at(i) * pow(-1, i + 2) * this->cal_Cofactor(1, i + 1).calculate();
    		}
    		return n;
    	}
    };

     \left| \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots& x_{1n} \\ x_{2_1} & x_{22} & \cdots &x_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 3 & 3 & \cdots & x_{nn} \end{array} \right|

    \sum_{i=1}^nx_{1i}A_{1i}\\

    然后继续递归得到结果

     main.cpp

    #include"permutation.h"
    int main() {
       cout<< Permutation(4,
            { 3, -1, 0, 7,
              1, 0, 1, 5,
              2, 3, -3, 1,
              0, 0, 1, -2}).calculate()<<'\n';
    
        cout << "~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~" << '\n';
        Permutation(1, { 1 }).print_permutation();
        return 0;
        
    }

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代数余子式的计算方法