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  • 3.逻辑代数基本定理 ①代入定理:在任何一个包含A的逻辑式中,若以另外一个逻辑式代入式子中A的位置,则等式依然成立 ②反演定理:如果一个表达式想要取反,那么就在这个表达式中将原变量变为反变量,将反变量变为...

    一.逻辑运算

    当二进制代码表示不同的逻辑状态时,可以按照一定的规则进行推理运算

    1.三种基本的逻辑关系

    ①与
    在这里插入图片描述
    ②或
    在这里插入图片描述
    ③非
    在这里插入图片描述
    ④几种常用的复合逻辑运算
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.逻辑代数的基本公式和常用公式

    ①基本公式
    在这里插入图片描述①基本公式
    在这里插入图片描述

    3.逻辑代数的基本定理

    ①代入定理:在任何一个包含A的逻辑式中,若以另外一个逻辑式代入式子中A的位置,则等式依然成立
    ②反演定理:如果一个表达式想要取反,那么就在这个表达式中将原变量变为反变量,将反变量变为原变量即可。

    4.逻辑函数及其表示方法

    如果以逻辑变量为输入,运算结果为输出,则输入变量的值确定以后,输出的取值也会随之而定。输入输出之间是一种函数关系
    注:在二值逻辑中,输入输出都只有两种取值可能,非零即一。

    1.逻辑函数的两种标准表达形式
    ①最小项之和:
    最小项M,其中M是乘积项,它包含N个因子,N个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次

    最小项的编号:
    在这里插入图片描述
    最小项的性质:在输入变量任意一个取值下,有且仅有一个最小项的值为1.
    全体最小项之和为1.
    任何两个最小项之积为0
    两个相邻的最小项之和可以合并,消掉一对因子,只留下一个公共因子。
    注:相邻指的仅一个变量不同的两项。

    ②最大项之积
    最大项:
    M是相加项,它包含了N个因子,N个变量均以原变量或者反变量的形式在M中出现一次。
    其实最小项与最大项是可以相互进行转变的,转变的方式就是摩根定理。

    5.逻辑函数的化简

    逻辑函数的最简形式:最简与或
    包含的乘积项已经最少,每个乘积项的因子也最少称为最简的与或逻辑式。

    ①卡诺图化简法:
    实质:将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表达出来
    以2的N次方分别代表N变量的所有最小项,并且将他们排列成矩阵,而且使得几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的(只有一个变量不同),这样就得到表示N变量全部最小项的卡诺图。

    在这里插入图片描述
    用卡诺图化简函数:
    依据:具有相邻的最小项可以合并,消去不同的因子,并且在卡诺图中,最小项的相邻可以直观的从图中反映出来。
    合并最小项的原则:
    两个相邻的最小项可以合并成一项,消去一对因子;
    四个排成矩形的相邻最小项可以合并成一项,消去两对因子;
    八个相邻的最小项可以合并为一项,消去三对因子;

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    数字电路基础知识——数字逻辑代数(逻辑代数公式、卡洛图的运用、Q-M法化简(列表法))
    本节主要介绍逻辑代数的公式、及逻辑函数的化简、包括公式法化简、卡洛图化简、Q-M列表法化简。重点需要知道前面两种的方法,第三种可以了解,能够帮助自己更深的了解逻辑相邻项的理解

    一、逻辑代数的三个基本运算

    逻辑代数中最基本的三个运算:与、或、非
    基本的函数关系如下:
    在这里插入图片描述

    二、逻辑代数的基本定律
    1. 基本公式

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    比较重要的是后面三个定律:

    1. 反演律(德摩根律)
      使用此定律可以将乘积项和项打开。
      具体规则是 × 变++变×原变量变反变量,反变量变原变量
    2. 吸收律
      重点知道这个:A+A’B=A+B、A+AB=A、A(A+B)=A
      A+A’B
      =A+AB+A’B
      =A+B(A+A’)
      =A+B
    3. 冗余律
      AB+A’C+BC=AB+A’C
      AB+A’C+BC
      =AB+A’C+(A+A’)BC
      =AB+A’C+ABC+A’BC
      =AB+ABC+A’C+A’BC
      =AB(1+C)+A’C(1+B)
      =AB+A’C
    2. 基本定理
    1. 代入定理
      任何一个逻辑式代入原来式中所有的相同变量的位置,等式仍然成立。

    2. 反演定理

    3. 对偶定理
      若两逻辑等式相等,则他们的对偶式也相等
      对偶定理主要在某些情况下,证明某式成立时,可以通过证明其对偶式成立来简化证明。
      如:
      Y=A(B+C),则YD=A+BC
      Y=(AB+CD)’,则YD=((A+B)(C+D))’
      Y=AB+(C+D)’,则YD=(A+B)(CD)’
      在这里插入图片描述

    三、逻辑函数的两种标准式
    1. 最小项
      n个变量的最小项是含n个变量的与项,其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。
      通常用mi表示各项。
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      如:对于下面的逻辑表达式:
      在这里插入图片描述

    2. 最大项
      n个变量的最大项是含n个变量的或项,其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次。
      通常用Mi表示各项。

    3. 最大项和最小项的性质
      n变量的全部最小项之和恒为1,全部最大项之积恒为0.
      任意两个最小项之积恒为0,任意两个最大项之和恒为1.
      n变量的每一个最小项或者最大项有n个相邻项(相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量,其余因子均相同,又称逻辑相邻项

    四、逻辑函数的卡洛图化简

    公式法化简逻辑函数其实就是用上面的公式来化简。
    主要介绍一下卡洛图化简。

    1. 相邻项
      首先需要知道相邻项的概念,即两个最小项只有一个因子互为反变量,其余因子均相同,又称逻辑相邻项
    2. 卡洛图
      把任意两个逻辑上相邻的最小项变为几何中的相邻,做到逻辑相邻和几何相邻
      2变量卡洛图:由代表四个最小项的四个方格组成:
      在这里插入图片描述
      三变量卡洛图由8个最小项组成,需要注意的是最小项编码和格雷码的编码类似,即相邻位置或者首尾是逻辑相邻。:
      在这里插入图片描述
      四变量如下(一般卡洛图的化简至多四-五个变量):
      在这里插入图片描述
    3. 逻辑函数在卡洛图的表示
      在这里插入图片描述
      如:
      在这里插入图片描述
    4. 卡洛图最小项合并规则
      任何两个为一的相邻最小项可以合并为一项,并消去一个变量(消去的是互为反变量的因子,保留公因子)
      在这里插入图片描述
      任何四个为一的相邻最小项(可以是循环相邻)可以合并为一项,并消去两个变量
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    5. 图形法化简的基本步骤

    第一、将函数化为最小项之和的形式,然后做函数的卡洛图,确定卡洛图方格矩阵
    第二、画卡洛圈(要遵循卡洛圈最少,最大的原则)
    第三、写逻辑表达式(相同变量留下,不同变量去掉)

    五、Q-M法化简逻辑函数(奎恩-麦克拉斯基),也叫列表化简法

    卡洛图法化简虽然比较直观,简单,但是也有自身的缺点,如当逻辑变量大于五个之后,会变得很困难。
    而公式法化简虽然虽然不受变量数量的影响,但是化简过程并没有固定、通用的步骤。所以也很难借助计算机辅助进行化简。
    本节介绍一下Q-M法化简,本质上也是通过相邻最小项消去多余因子,来求逻辑函数的
    在这里插入图片描述
    先将函数表达式用最小项之和的形式表示:
    如下面的函数表达式:

    1. Y=Σm(0,3,4,5,6,7,8,10,11)
    2. 将其按照一个个数一次排列分组,如下:
      在这里插入图片描述
    3. 合并相邻的最小项
      即将上表中每一组的每一个最小项与相邻组所有的最小项逐一比较,若仅有一个因子不同,则可以合并,并消去不同的因子。如下,例如罪域m0和m4仅尤一位不一样,所以这一位可以合并为0-00,同时将上表中可以合并的用“对号”表示,不能合并的用Pi表示。
      按照同样的方法,可以在次合并下面左边的一列,可以合并的用“对号”表示,不能合并的用Pi表示。
      在这里插入图片描述
      因此经过以上的并向合并,留下了没有合并过的最小项Pi,所以就包含了函数Y的全部最小项,因此,可以表示为:
      Y=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7
      需要注意的是上面的表达式并不一定是最简结果,将所有Pi列成如下表格。

    在这里插入图片描述
    上表格中的m5、m6、m8都是只在Pi中只出现了一次所以最小项一定包含P1和P4,所以选取了这两项之后,以及包含了m4、m5、m6、m7、m8、m10这六个,除去之后剩下的m0、m3、m11如下表所示:

    mi 0 3 11
    P2 ×
    P3 ×
    P5 ×
    P6 × ×
    P7 ×

    现在就是化简上面的结果了,因为P2和P3都有m0,因此可以去任何一项作为最简项。
    对于P5、P6、P7,由于P5和P7行的所有项均包含在P6中,因此P6包含了P5、P7的所有最小项,故将P5、P7删掉。因此最终的结果是:
    Y=P1+P4+P3+P6

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  • 2.逻辑代数基本定理----化简时比较好用 3.化简逻辑函数时几个关键的公式(A'代表A的非) 4.格雷码与二进制的转换 5.线性反馈移位寄存器LSFR 1.常用门电路图 2.逻辑代数基本定理----化简时比较好用 反演...

    复习一下数字电路,下次就省事直接看自己写的了。

    目录

    1.常用门电路图

    2.逻辑代数的基本定理----化简时比较好用

    3.化简逻辑函数时几个关键的公式(A'代表A的非)

    4.格雷码与二进制的转换

    5.线性反馈移位寄存器LSFR


    1.常用门电路图

                                  

    2.逻辑代数的基本定理----化简时比较好用

    反演定理:对于任意一个逻辑式 Y,若将其中所有的“ •“ 换成“+ ” ,“+ ”换成“ • ” ,0换成 1,1换成 0 ,原变量换成反变量,反变量换成原变量,则得到的结果就是Y'。

    对偶定理:对于任意一个逻辑式 Y,若将其中所有的“ •“ 换成“+ ” ,“+ ”换成“ • ” ,0换成 1,1换成 0 ,得到的公式仍然成立,且称为Y的对偶式Yd.为了证明两个逻辑式相等 , 也可以通过证明它们的对偶式相等来完成.

    3.化简逻辑函数时几个关键的公式(A'代表A的非)

    公式化简法化简逻辑函数

    A+BC=(A+B)·(A+C)利用此公式可得A+A'B=A+B
    A·(A+B)=A
    AB+A'C+BCxxx=AB+A'C 即:
    若两个乘积项中分别包含 A和A'两个因子,而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时, 则第三个乘积项是多余的, 可以消去。

    (A+B)'=A'B'

    卡诺图化简法

    (1)注意画卡诺图采用的编码是格雷码 
    (2) A+A=A即圈起来的可以有重叠的部分
    (3)最上与最下,最左与最右 是可以合并的
    (4)0比较少时可以合并0得到Y'。

    4.格雷码与二进制的转换

    二进制--->格雷码方法:高位不变(高位补0,异或后等价于不变),从低位开始相邻两位异或

     

    格雷码--->二进制:高位不变,从高位往低位异或,注意箭头

     5.线性反馈移位寄存器LSFR

     例如F(x)=x4+x+1是指c4,c1和c0为1,画出来的框图如下。

     

     m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称。 它是由带线性反馈的移存器产生的周期最长的序列。由上例可见, 一般来说, 一个n级线性反馈移存器可能产生的最长周期等于(2^n-1)。且其初始状态除了全0都可以。

     

    参考资料
    [1] 数字电子技术基础,阎石。

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