马上要开始一大波夏令营面试了，前不久thu叉院的一面问到了概率分布，没有准备好，用了一周左右的时间断断续续的复习了一下线性代数，后面再概率论吧，主要总结了一些基础知识，概念和性质。
 

 
文章目录
 
一、行列式-计算方法与重要性质
二、矩阵的秩，特征值与特征多项式
三、逆，奇异，正交，伴随，实对称，正定矩阵
四、向量组与线性相关（无关）
五、线性方程组的解，与秩的关系
六、二次型的基本内容和重要结论

 
一、行列式-计算方法与重要性质
 
$$\text{行列式定义}$$
 行列式的定义依赖于逆序数与全排列，需要注意的是，行列式只是方阵的概念。
 
 
 
$$\text{行列式计算以及性质}$$
 行列式的计算除了直接用定义以外，可以使用如下性质进行计算的简化。
 
 
 
1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型
 2、交换行列式中的两行（列），行列式变号（交换）
 3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。（倍乘）（注：矩阵是全部元素都乘，都提取）
 4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。（倍加）
 5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。
 6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0
 
 
 
$$\text{行列式重要公式}$$
 

 拉普拉斯展开式中，m，n分别是A,B矩阵的阶数。
 
 
$$\text{方阵的行列式}$$
 
$|A^T|=|A|$
$|kA|=k^n|A|$
$|AB|=|A||B|$
$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$，A是n阶矩阵。
$|A{|}^{-1}=|A^{-1}|$
A的行列数是A所有特征值的乘积。
 
 
相关博文：
 
 
 
https://blog.csdn.net/xuejianbest/article/details/85051344utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-baidujs-2
 https://blog.csdn.net/xuejianbest/article/details/85050784?ops_request_misc=&request_id=&biz_id=102&utm_term=%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2allsobaiduweb~default-6-85050784
 https://blog.csdn.net/wuxintdrh/article/details/98424632?ops_request_misc=&request_id=&biz_id=102&utm_term=%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F%E7%9A%84%E4%B8%BB%E8%A6%81%E5%85%AC%E5%BC%8F&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2allsobaiduweb~default-0-98424632
 
 
二、矩阵的秩，特征值与特征多项式
 
矩阵的特征值刻画矩阵的奇异性、反映矩阵所有对角元素的结构、刻画矩阵的正定性。
 
 
$$\text{秩}$$
 一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
 
如果A中，存在一个i阶子式不为0，且所有i+1阶子式对应的行列式值为0，那么r(A)=i（所谓的i阶子式即在矩阵中人去一个i*i的方阵）
 
求矩阵的秩时，除了利用定义法和上面的观察法，主要是通过性质，经过初等变换，矩阵秩不变。若A可逆，则r(AB)=r(BA)=r(B)
 
 
$$\text{特征值与特征向量}$$
 
 物理意义：我们可以将矩阵看成是一个力的混合体，但需要注意的是，这个力的混合体中各个力是相互独立的！即特征向量之间线性无关，是无法做力的合成（这里只是假设其无法合成，有更好的解释以后会补充）的。其中力的个数为矩阵的秩，力的大小为特征值的大小，力的方向即为特征向量的方向。
 
详细解释见深度理解矩阵的奇异值，特征值
 
$$\text{特征多项式}$$
 A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多项式。当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。
 
 
 
$$\text{特征值相关的重要性质}$$
 
设$A$是n阶矩阵，${\lambda }_1,..,{\lambda }_n$是矩阵$A$的特征值，那么我们有如下两条性质$1:\sum {\lambda }_i=\sum a_{ii}，2:\prod {\lambda }_i=|A|$。
不同特征值对应的特征向量线性无关。
实对阵矩阵$A$的不同特征值${\lambda }_i$所对应的特征向量${\alpha }_i$必然正交。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
下三角矩阵，上三角矩阵，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素。
 
三、逆，奇异，正交，伴随，实对称，正定矩阵
 
$$\text{理解矩阵}$$
 一片很好的文章，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
 
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。这就是线性代数中所说的坐标变换。
 
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）
 
 
$$\text{矩阵的逆以及计算}$$
 
设$A$是$n$阶矩阵，如果存在$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=E(单位矩阵)$成立，那么称$A$为可逆矩阵或者非奇异矩阵。
 
求出逆矩阵的3种手算方法：
 
待定系数法：对矩阵$A$，直接设一个全为未知数的矩阵$B$，使得$AB=E$，解方程得到$B$的所有值。
伴随矩阵法、A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j 行第i 列的代数余子式。
初等变换法（初等行变化用的比较多），将矩阵$A$，增广为$A|E$的形式，通过初等变化将其变为$E{A}^{-1}$。
 
这三种方法百度百科讲的无比清楚
 
 
$$\text{奇异矩阵和非奇异矩阵}$$
 以下内容来自于这里
 
首先需要说明的值奇异矩阵和非奇异矩阵都是针对方阵而言的。奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。
 
 
 
非奇异矩阵的英文是nonsingular matrices，从对应的英文单词nonsingular上来讲，singular有一个含义是单数的，那么nonsingular是非单数，与非奇异矩阵的性质对上了，即有矩阵A，矩阵B，满足条件:AB=BA=I，I是一个单元矩阵，那么矩阵A和矩阵B均为非奇异矩阵。非奇异，即A不是单个的，是成对的。
 
 
奇异矩阵的判定方法：
 
 
 
行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；
 
 
非奇异矩阵的判定方法：
 
 
 
一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
 一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
 一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n。
 (R(A)<n则行列式为0) 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。**
 
 
 
$$\text{正交矩阵及其性质}$$
 如果：$A{A}^T=E$（E为单位矩阵，$A^T$表示“矩阵A的转置矩阵”。）或$A^{T}A=E$，则$n$阶实矩阵$A$称为正交矩阵。
 
正交矩阵的性质：
 
 
 
1)$A^T$是正交矩阵
 2)$A$的各行是单位向量且两两正交
 3)$A$的各列是单位向量且两两正交
 4)$|A|=1$或-1
 
 
 
$$\text{实对称矩阵}$$
 
 
 
如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。
 主要性质：
 1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
 2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
 3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
 4.若A具有k重特征值λ0　必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r(λ0E-A)至多为n-k，其中E为单位矩阵。
 
 
 
$$\text{正定，半正定矩阵定义与重要性质}$$
 
 
 
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
 
 
（1）广义定义：设$M$是$n$阶方阵，如果对任何非零向量$z$，都有${\mathbf{z}}^{\mathbf{T}}\mathbf{M}\mathbf{z}>0$，其中$z^T$ 表示$z$的转置，就称$M$为正定矩阵。
 
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
 
（2）狭义定义：一个$n$阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有$z^{T}Mz>0$。其中$z^T$表示$z$的转置。
 
 
重要性质：
 
正定矩阵有以下性质 ：
 （1）正定矩阵的行列式恒为正；
 （2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
 （3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
 （4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；
 （5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。
 
 
等价命题：
 
对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
 （1）A是正定矩阵；
 （2）A的一切顺序主子式均为正；
 （3）A的一切主子式均为正；
 （4）A的特征值均为正；
 （5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
 （6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
 （7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R [3] 。
 
 
判定方法：
 
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
 （1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
 （2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
 
四、向量组与线性相关（无关）
 
$$\text{线性无关的定义}$$
 在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。
 
线性相关(Linear dependent)与线性无关(Linear independent)对于理解子空间的基，子空间的维数，以及矩阵的秩等等是重要的.
 
数学定义：
 
如果线性空间X中的向量组${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,...,{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}$存在如下线性关系：
 
$${\mathbf{k}}_1{\mathbf{x}}_1+{\mathbf{k}}_2{\mathbf{x}}_2+,...,+{\mathbf{k}}_{\mathbf{j}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}=0,$$
 
其中$k_1,...,k_j$为不全为零的实数.则称${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,...,{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}$线性相关.如果只有当$k_1,...,k_j$全为零时才满足上式,则称${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,...,{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}$线性无关.
 
 
$$\text{向量组的秩}$$
 通俗的说，就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数，假设这一组有5个向量，踢出两个垃圾，还剩3个。
 
那么这个向量组的秩就是3。那什么是垃圾向量呢？就是能被别人线性表示的向量。比如说向量α1能被α2和α3线性表示，也就是它的工作能被别人取代。那么α1就是垃圾向量！
 
正式定义：
 
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0.向量组α1，α2，···，αs的秩记为R{α1，α2，···，αs}或rank{α1，α2，···，αs}。
 
极大线性无关组：
 
 
 
极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数（基数）相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都与它的极大线性无关组等价。特别地，当S等于V且V是有限维线性空间时，S的秩就是V的维数。–百度百科
 
 
五、线性方程组的解，与秩的关系
 
先给出两个写的很好的blog，1，2，然后结合他俩&书总结一下。
 
$$\text{线性方程组什么时候无解？多个解？唯一解?}$$
 $$非齐次线性方程组$$
 非齐次线性方程组:化简后的有效方程组个数小于未知数个数，有多个解。
 非齐次线性方程组:化简后的有效方程组个数等于未知数个数，有唯一解。
 非齐次线性方程组:化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程，则无解 。
 
下面从左到右依次是原方程，增广矩阵（非齐次线性方程组，就是方程组的等式右边不为0的方程组，系数加上方程等式右边的矩阵，叫做增广矩阵），以及化简后的增广矩阵，化简后的方程组。
 
 这样，x2可以通过x3来表示，x1也可以通过x3来表示，这样x3就叫做自由变量，x3可以取任意值。所以x1,x2,x3就有无穷多个解。即化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解
 
 
$$齐次线性方程组$$
 
齐次线性方程组，就是方程组的等式右边全部是0的方程组，只有系数矩阵，不需要增广矩阵，所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况，那么显然，齐次线性方程组的秩与其系数矩阵的秩肯定是相等（因为增广了一列0，不影响秩的，也就是说它肯定有解。这个也好理解，零向量肯定是他的解嘛。关键问题在于，它什么时候会有非零解。
 
对于Ax=0的齐次线性方程组，列出其系数矩阵（不需要增广矩阵），使用高斯消元法化简，化为阶梯形矩阵，化简后，判断有效方程组个数是否小于未知数个数，
 
如果有效方程组个数小于未知数个数，叫做有非零解（多个解）
 如果等于，叫做只有零解（唯一解）
 
 
$$\text{通过矩阵的秩判断线性方程组的解}$$
 线性方程组什么时候无解，有多个解，唯一解？
 
对于非齐次线性方程组，用矩阵的秩r(A)来判断
 
对线性方程组进行初等变换（高斯消元法），化为最简型（阶梯形）矩阵，
 
考查系数矩阵$r(A)$，增广矩阵$r(A,b)$，以及方程组未知数个数$n$
 
如果系数矩阵的秩$r(A)$小于增广矩阵的秩$r(A,b)$，$r(A)<r(A,b)$，那么方程组无解$r(A)<r(A,b)$，那么方程组无解，即$b$不能由$A$的列向量线性表出；
如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数，$r(A)=r(A,b)<n$，那么方程组有多个解$r(A)=r(A,b)<n$，那么方程组有多个解。
如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数，$r(A)=r(A,b)=n$，那么方程组有唯一解$r(A)=r(A,b)=n$，那么方程组有唯一解。
 
对于齐次线性方程组，用行列式的值 detA来判断。
 
 
不存在无解的情况
 
 
$r(A)<n$时，等价于$A$的列向量线性相关，那么方程的数目小于未知数的数目，一定有非零解。
 
 
$r(A)=n$，即$|A|\ne 0$，$A$满秩，则只有零解（只有唯一解）
 
 
设齐次方程组系数矩阵的秩$r(A)=r<n$，则$Ax=0$的基础解系由$n-r(A)$个线性无关的解向量所构成。
 
 
 
$$\text{线性方程组的求解}$$
 写出系数矩阵 -> 行初等变换为行简化矩阵 -> 求基础解系 -> 写出通解
 
这个例子还不错，就是增广矩阵不断的进行初等变换，化为行最简矩阵（在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。）
 
 然后每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称之为自由变量。对自由变量$x_1,...,x_k$依次取1，其余取0时求得的解向量即方程的一个解向量，有多少个自由变量，就能求出多少解向量。总结一下：
 
 
对非齐次线性方程组而言：
 
 
六、二次型的基本内容和重要结论
 
$$\text{二次型的定义}$$
 
 
 
二次型（quadratic-form）：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
 
 
二次型是n个变量上的二次齐次多项式。下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式：（注意齐次这个定义很重要，每一项都是二次的，而不是二次函数可以有一次项，可以有常数项。）
 

 将上面的多项式写成矩阵的形式：
 $$f(x_1,x_2,...,x_i)={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$$
 其中$\mathbf{A}=[a_{ij}]$且${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$是一个对称矩阵，那么称$A$是二次型的矩阵，秩$r(A)$称为二次型的秩，记为$r(f)$
 
 
$$\text{标准形，规范形，正定二次型}$$
 
标准形：如果二次型中只含有变量的平方项。
规范形：在标准形中，各平方项的系数为1，-1，0。
正负惯性指数:在二次型$x^{T}Ax$的标准形中，正平方项的个数称为二次型的正惯性指数，负平方项的系数称为二次型的负惯性指数。
正定二次型：对二次型$x^{T}Ax$，如果对任何$x\ne 0$，恒友$x^{T}Ax>0$，则称二次型是正定二次型，且实对称矩阵$A$是正定矩阵。

http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》
 
$\text{第一章 群}$
 
$\text{§}1.1运算及关系$
 
抽象代数的研究对象是代数体系，即带有运算的集合，例如群、环、域。本书假定读者已经了解集合与映射的基本知识，下面仅介绍一下映射的嵌入与开拓、映射的交换图以及直积集合的概念。
 $定义1.1.1设A_0是集合A的非空子集，定义A_0到A的映射i如下$
 $i(x)=x,\forall x\in A_0$
 $则i称为A_0到A的嵌入映射。$
 
$定义1.1.2设A_0是集合A的非空子集，f是A_0到集合B的映射，若有A到B的映射g,使$
 $g(x)=f(x),\forall x\in A_0.$
 $则称g为f的开拓映射,称f为g在A_0上的限制映射,并记$
 $f=g{|}_{A_0}.$
 直观上，开拓映射是把一个映射的定义域扩大；限制映射是把一个映射的定义域缩小。从这个意义上说，嵌入映射是把一个恒等映射值域所在的集合扩大。嵌入映射一定是单射，不一定是满射。开拓映射既不一定是单射，也不一定是满射。
 $定义1.1.3一个映射如果能表成某几个映射的连续作用(也称映射的乘积)的结果，$
 $又能表成另几个映射的连续作用的结果，例如有f_3{f}_2{f}_1=g_2{g}_1,就可有下边的示意图:$
 
 $则称上图为映射的交换图.$
 $例1设f是A_0到B的映射，A_0是A的子集，i是A_0到A的嵌入映射，g是A到B的映射，$
 $且g是f的开拓映射，则下面的图是交换图:即有g\cdot i=f。$
 
 $定义1.1.4设A，B是两个集合，则称$
 
    
     
      
       
       
        A
       
       
        ×
       
       
        B
       
       
        =
       
       
        {
       
       
        (
       
       
        a
       
       
        ,
       
       
        b
       
       
        )
       
       
        ∣
       
       
        a
       
       
        ∈
       
       
        A
       
       
        ,
       
       
        b
       
       
        ∈
       
       
        B
       
       
        }
       
      
      
       \qquad A \times B = \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \rbrace
      
     
    A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}
 $为A与B的直积集合$
 $类似的，可以定义有限多个(k个)集合的直积集合:$
 
    
     
      
       
        
         A
        
        
         1
        
       
       
        ×
       
       
        ⋯
       
       
        ×
       
       
        
         A
        
        
         k
        
       
       
        =
       
       
        {
       
       
        (
       
       
        
         a
        
        
         1
        
       
       
        ,
       
       
        ⋯
        
       
        ,
       
       
        
         a
        
        
         k
        
       
       
        )
       
       
        ∣
       
       
        
         a
        
        
         i
        
       
       
        ∈
       
       
        
         A
        
        
         i
        
       
       
        ,
       
       
        i
       
       
        =
       
       
        1
       
       
        ,
       
       
        ⋯
        
       
        ,
       
       
        k
       
       
        }
       
      
      
       A_1 \times \cdots \times A_k = \lbrace (a_1, \cdots, a_k) | a_i \in A_i, i = 1, \cdots, k \rbrace
      
     
    A1​×⋯×Ak​={(a1​,⋯,ak​)∣ai​∈Ai​,i=1,⋯,k}
 我们要研究的是带有运算的集合，对于数集中的运算，例如加法和乘法运算，我们是熟悉的。他们的本质都在于，由数集中的一个元素，可以按照某种法则唯一地确定数集中的一个元素。在线性代数中我们又学习到线性空间中的“数乘”运算，其本质在于，由数集中的一个元素和向量集中的一个元素，按照某种法则，可以唯一地确定向量中的一个元素。
 现在我们把上述本质抽象出来，利用集合、直积集合和映射的概念，来定义“代数运算”这一概念。
 $定义1.1.5设A，B，D均是非空集合，则A\times B到D的任一映射f，称为A与B到D的一个代数运算。$
 $这就是说，若由a\in A,b\in B,则(a,b)\in A\times B，f((a,b))=d\in D，即a与b唯一地确定d，我们就说a与b运算的结果是d。$
 $为简单，常记f((a,b))为a\circ b,于是上面的运算就写成a\circ b=d。为了区别不同的运算法则，我们有时也把代数运算的符号“\circ ”改记为“+”或“\times ”，于是就有了$
 $3+5=8和3\times 5=15$
 $的写法，也有了“加法”、“乘法”以及“数乘”等关于运算的叫法。在乘法或数乘等运算$
 $中，我们常常把符号“\circ ”省去，记a\circ b为ab。$
 $例2设V是n维欧氏空间，\mathbb{R}是实数集，则求V中两个向量\alpha ,\beta 的内积，就是V与V到$
 $\mathbb{R}的一个代数运算。$
 
    
     
      
       
        
         例
        
        
         3
        
        
       
       
        设
       
       
        A
       
       
        =
       
       
        {
       
       
        1
       
       
        ,
       
       
        2
       
       
        }
       
       
        ,
       
       
        B
       
       
        =
       
       
        {
       
       
        1
       
       
        ,
       
       
        2
       
       
        }
       
       
        ,
       
       
        D
       
       
        =
       
       
        {
       
       
        奇
       
       
        ,
       
       
        偶
       
       
        }
       
       
        ，
       
       
        f
       
       
        是
       
       
        一
       
       
        个
       
       
        A
       
       
        ×
       
       
        B
       
       
        到
       
       
        D
       
       
        的
       
       
        映
       
       
        射
       
       
        如
       
       
        下
       
       
        :
       
      
      
       {\color{blue}例3 \quad}设A=\lbrace 1, 2 \rbrace, B = \lbrace 1, 2 \rbrace, D = \lbrace 奇, 偶 \rbrace，f 是一个A \times B 到D的映射如下:
      
     
    例3设A={1,2},B={1,2},D={奇,偶}，f是一个A×B到D的映射如下:
 $(1,1)\to 奇，(2,2)\to 奇$
 $(1,2)\to 奇，(2,1)\to 偶$
 $它也是一个A与B到D的代数运算。$
 $当A、B都是有限集合的时候，A与B到D的代数运算，我们常用一个表来说明，$
 $叫做“运算表”。$
 $例3的运算表为\begin{array}{lcc}\circ & 1& 2\\ 1& 奇& 奇\\ 2& 偶& 奇\end{array}$
 $(这里，竖行中的“1,2”，指A中的元素；横行中的“1,2”，指B中的元素)$
 通常较多用到的代数运算，是A=B=D时的情形，即A与A到A的代数运算，也称为A中的“ $二元运算$ ” 或 “$运算$”。此时也说“$集合A，对于该运算是封闭的$”。一个集合中，可以有一种运算，也可以有多种运算。我们感兴趣的运算，常常是满足某种规律的运算，例如针对一种运算而言的结合律和交换律，针对两种运算而言的分配律。他们都是数集中相应运算规律的推广。
 $定义1.1.6设集合A中有一种二元运算“\circ ”，如果$
 $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),\forall a,b,c\in A,$
 $则称该运算满足结合律。$
 $定义1.1.7设集合A有一种二元运算“\circ ”，如果$
 $a\circ b=b\circ a,\forall a,b\in A$
 $则称该运算满足交换律。$
 $定义1.1.8设集合A中有两种代数运算“\circ ”和“+”，如果$
 $a\circ (b+c)=a\circ b+a\circ c,\forall a,b,c\in A,$
 $则称该运算满足“\circ 对+的左分配律”，简称满足左分配律。$
 $类似可定义右分配律，左右统称为分配律。$
 $例4设\mathbb{Z}是全体整数的集合，\mathbb{Z}中的二元运算是数的减法,则该运算既不满足结合律,$
 $也不满足交换律。$
 $例5设{\mathbb{C}}^{n\times n}是复数域上全体n(n\ge 2)阶方阵的集合，{\mathbb{C}}^{n\times n}中有两种运算，$
 $一种是矩阵的加法，一种是矩阵的乘法。加法运算即满足结合律，又满足$
 $交换律；乘法运算满足结合律，不满足交换律；乘法对加法满足分配律，$
 $加法对乘法不满足分配律。$
 $结合律的一个重要作用是使表达式a_1\circ a_2\circ \cdots \circ a_n有意义，因为这时无论怎么$
 $样加括号，运算的结果都是一样的，这给我们带来了方便，抽象代数中研究的$
 $运算都满足结合律。$
 $交换律的一个重要作用是使等式(ab{)}^n=a^n{b}^n成立。抽象代数中研究的运算有的$
 $满足交换律，有的不满足交换律。$
 $分配律的一个重要作用是使一个集合中的两种元素之间产生一种联系。$
 抽象代数在研究集合时，有时要把集合分成一些子集来讨论。这时就要用到集合的分类，而集合的分类又和“等价关系”密切相关。为了讲清楚“等价关系”，我们先来介绍“关系”的概念。
 我们知道实数集合“大于”、“小于”、“等于”这些关系，也知道n阶复方阵集合中“相等”、“相似”这些关系。下面我们把他们的本质抽象出来。
 如果有一种性质R,使集合A中任意两个元素a,b,或者有性质R，或者没有性质R，二者必居其一，我们就说“$R给定了A中的一个关系$”。当a,b有性质R时，称a与b有关系，记为$aRb$;当a,b没有性质R时，称a与b没有关系，记为$a\cancel{R}b$。
 有性质R的a,b如果记为(a, b)，就是直积集合 $A\times A$ 中的一个元素，全体这样的(a, b),就构成了 $A\times A$的一个子集，不妨把这个子集仍记为R，于是
 $aRb\leftrightarrow (a,b)\in R.$
 这样，我们就可以用$A\times A$的一个子集，来刻画$A$中的一个关系。
 $定义1.1.9设A是一个非空集合，R是A\times A的一个子集，a,b\in A,若(a,b)\in R,$
 $则称a与b有关系R,记为aRb,且称R为A的一个关系(二元关系)。在不致引起混淆$
 $时，aRb也可记为a\sim b。$
 $例6实数集\mathbb{R}中的“\le ”关系，可以用\mathbb{R}\times \mathbb{R}中的子集R_1来刻画；实数集\mathbb{R}中的“=”关系，可以用\mathbb{R}\times \mathbb{R}中的子集R_2来刻画。$
 
 实数集中的“=”关系，可以总结推广为一般集合中的等价关系。
 $定义1.1.10若集合A的一个关系R满足$
 $①反身性：aRa,\forall a\in A;$
 $②对称性：aRb⟹bRa,\forall a,b\in A;$
 $③传递性：aRb,bRc⟹aRc,\forall a,b,c\in A.$
 $则称关系R为A的一个等价关系。$
 $例7实数集中的“\le "关系不是等价关系，因为不满足对称性。$
 $例8n阶复方阵集合中的“相合”是等价关系，“相似”也是等价关系。$
 $可见，同一集合中可以有多种不同的等价关系。$
 $定义1.1.11若将集合A分成一些非空子集，每个子集称为A的一个类，$
 $使得A的每一个元素属于且仅属于一个类，则称这些类的全体为集合A$
 $的一个分类，也称为A的一个划分。$
 $定理1.1.1集合A的一个分类决定A的一个等价关系。$
 $证我们利用A的分类来定义A的一个关系R，然后证明R是等价关系。$
 $定义:当且仅当a与b同在一类时，aRb。据定义知这样的R是A的一个关系，$
 $又因为a\in A,a与a同在一类,所以R满足反身性；$
 $a,b\in A,若aRb,表明a与b同在一类，则b与a也同在一类，所以bRa,即R满足对称性;$
 $a,b,c\in A,若aRb,bRc,表明a与b同在一类，b与c同在一类，则a与c同在一类,所以aRc，$
 $即R满足传递性。$
 $据定义1.1.10，R是A的一个等价关系。$
 在给出下一个定理之前，我们先给出由等价关系派生出来的三个概念:等价类，商集合和自然映射。
 $定理1.1.1集合A的一个分类决定A的一个等价关系。$
 $证我们利用A的分类来定义A的一个关系R，然后证明R是等价关系。$
 $定义:当且仅当a与b同在一类时，aRb。据定义知这样的R是A的一个关系，$
 $又因为a\in A,a与a同在一类,所以R满足反身性；$
 $a,b\in A,若aRb,表明a与b同在一类，则b与a也同在一类，所以bRa,即R满足对称性;$
 $a,b,c\in A,若aRb,bRc,表明a与b同在一类，b与c同在一类，则a与c同在一类,所以aRc，$
 $即R满足传递性。$
 $据定义1.1.10，R是A的一个等价关系。$
 在给出下一个定理之前，我们先给出由等价关系派生出来的三个概念:等价类，商集合和自然映射。
 
    
     
      
       
        
         定
        
        
         义
        
        
         1.1.12
        
        
       
       
        设
       
       
        集
       
       
        合
       
       
        A
       
       
        中
       
       
        有
       
       
        等
       
       
        价
       
       
        关
       
       
        系
       
       
        R
       
       
        ,
       
       
        a
       
       
        ∈
       
       
        A
       
       
        ,
       
       
        则
       
       
        A
       
       
        中
       
       
        与
       
       
        a
       
       
        有
       
       
        关
       
       
        系
       
       
        (
       
       
        也
       
       
        称
       
       
        与
       
       
        a
       
       
        等
       
       
        价
       
       
        )
       
       
        的
       
       
        所
       
       
        有
       
       
        元
       
       
        素
       
       
        的
       
       
        集
       
       
        合
       
       
        {
       
       
        b
       
       
        ∈
       
       
        A
       
       
        ∣
       
       
        b
       
       
        R
       
       
        a
       
       
        }
       
       
        ,
       
       
        称
       
       
        为
       
       
        a
       
       
        所
       
       
        在
       
       
        的
       
       
        
         等
        
        
         价
        
        
         类
        
       
       
        ,
       
       
        记
       
       
        为
       
       
        
         a
        
        
         ˉ
        
       
       
        ,
       
       
        a
       
       
        称
       
       
        为
       
       
        这
       
       
        个
       
       
        等
       
       
        价
       
       
        类
       
       
        的
       
       
        
         代
        
        
         表
        
        
         元
        
       
       
        。
       
      
      
       {\color{blue}定义1.1.12 \quad}设集合A中有等价关系R, a \in A,则A中与a有关系(也称与a等价)的所有元素的集合\lbrace b \in A | bRa \rbrace,称为a所在的{\color{blue}等价类},记为\bar a,a称为这个等价类的{\color{blue}代表元}。
      
     
    定义1.1.12设集合A中有等价关系R,a∈A,则A中与a有关系(也称与a等价)的所有元素的集合{b∈A∣bRa},称为a所在的等价类,记为aˉ,a称为这个等价类的代表元。
 $从以上定义及等价类的传递性易知，若aRb,则\bar{a}=\bar{b},即等价的两个元素所在的等价类是同一个，因此，同一个等价类可以有不同的$
 $代表元。这使我们在讨论有关等价类的问题时，经常要注意说明，所讨论的内容$
 $虽然形式上与等价类的代表元有关，实质上却与之无关。$
 $定义1.1.13设集合A中有等价关系R，则以R为前提的所有等价类$
 
    
     
      
       
        (
       
       
        重
       
       
        复
       
       
        的
       
       
        只
       
       
        取
       
       
        一
       
       
        个
       
       
        )
       
       
        的
       
       
        集
       
       
        合
       
       
        {
       
       
        
         a
        
        
         ˉ
        
       
       
        }
       
       
        ,
       
       
        称
       
       
        为
       
       
        A
       
       
        对
       
       
        R
       
       
        的
       
       
        
         商
        
        
         集
        
        
         合
        
       
       
        ,
       
       
        记
       
       
        为
       
       
        A
       
       
        /
       
       
        R
       
       
        。
       
      
      
       (重复的只取一个)的集合 \lbrace \bar a \rbrace,称为A对R的 {\color{blue}商集合},记为A / R。
      
     
    (重复的只取一个)的集合{aˉ},称为A对R的商集合,记为A/R。
 $我们注意到，等价类\bar{a}是A的子集合，却是A/R的元素。$
 $一个集合通过等价关系，在新的层次上产生出与原集合有联系的新的集合$
 $--商集合，这也反映出等价关系不同于一般二元关系的重要性。$
 $定义1.1.14设集合A中有等价关系R,则映射\pi :A\to A/R,$
 $\pi (a)=\bar{a},\forall a\in A$
 $称为A到A/R的自然映射。$
 $自然映射一定是满射，但却不一定是单射。$
 $定理1.1.2集合A的一个等价关系决定A的一个分类。$
 $证记A中的等价关系为R，容易证明,R决定的商集合A/R，就是A的一个分类。$
 $事实上，商集合的全体等价类(重复的只取一个)的集合，每个等价类是A的一个子集，$
 $也是A的一个“类”，A中的每一个元素a属于一个类\bar{a},以下证明a仅属于\bar{a},便完成证明。$
 $若还有a\in \bar{b},则据定义1.1.12，aRb,即a与b等价,而等价的两个元素所在的等价类是$
 $同一个，所以\bar{b}=\bar{a}.$
 
$定理1.1.1与定理1.1.2表明，对一个集合A，给定等价关系与给定分类，$
 $是同一件事的两种不同表现形式。$
 $比等价关系更进一步的是二元关系是同余关系。$
 $定义1.1.15设集合A中有二元运算“\circ ”，如果A的一个等价关系R在该运算下仍然保持，即$
 $aRb,cRd⟹(a\circ c)R(b\circ d),\forall a,b,c,d\in A$
 $则称R为A关于运算“\circ ”的一个同余关系。此时，a所在的等价类\bar{a},也叫作a的同余类。$
 $例9设\mathbb{Z}为整数集，0\ne m\in \mathbb{Z},在\mathbb{Z}中定义关系R为$
 $aRb⟺m|(a-b),$
 $则R关于\mathbb{Z}中的加法和乘法都是同余关系.$
 $此例中的关系R，也称为“以m为模的模等关系”,aRb在初等整数论中记为$
 $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m),称为“对模m，a与b模等”或“模m，a与b同余”$
 $例10$ 是${\mathbb{P}}^{n\times n}$是数域$\mathbb{P}$上所有$n(n\ge 2)$阶方阵的集合，在$\mathbb{P}$中定义关系R为:
 $ARB⟺|A|=|B|$
 则R关于${\mathbb{P}}^{n\times n}$中的加法运算不是同余关系，R关于${\mathbb{P}}^{n\times n}$中的乘法运算是同余关系。设R是集合A中关于运算“$\circ$”的同余关系，则因同余关系是等价关系，所以可以产生新的集合A/R，又因同余关系在运算“$\circ$”下仍然保持，所以可以在A/R中产生一种与A中运算“$\circ$”有联系的运算“$\bar{\circ }$”：
 $\bar{a}\bar{\circ }\bar{b}=\overline{a\circ b},\forall a,b\in A.$
 要说明上面的规定确实是A/R中的一个二元运算，就要说明等号右边的元素，确实是被等号左边有次序的两个元素 $\bar{a},\bar{b}$ 唯一确定的。即等价类的运算不仅归结为代表元的运算，而且不依赖于代表元的选择。这当且仅当该等价关系是同余关系时是正确的。作为提示，请读者重温定义1.1.13之前的那句话。

数据库-——关系代数的除法运算及易错示例
 
除法运算
 
大概数据库中关系运算复杂点的也就是除法运算了，这也可能是很多入门新手数据库学习中遇到的第一个障碍。
 接着我们来理清一下。
 
除法//话不多说，直接开莽
 
我们先创建两个表格，一个学生表，一个S1表。
 
学生表：
 **
 S1:
 
 
R÷S1=学生表中年龄为19的学生信息的新表格，但这个新表格中的字段不包括年龄。
 
答案如下：
 
 懂了没?是不是很清晰！
 不懂？没事我们再来举例！
 
依旧是这个学生表，但我们S1换成一个具有两个字段的S2
 
S2:
 
 那结果就是在学生表中，/同时/满足S2所有条件的学生信息，但没有S2中的字段的新表。如下图：
 
学生÷S2
 
 现在让我们来理解一下书中的定义。
 
书中的定义
 

 这个式子我一开始看的时候也是脑壳一懵，不要慌！我们来慢慢解析。
 
首先tr为求象集。
 
于是我们引入象集的概念：
 
在学生表中，每个分量值都会有它的象集。
 
如学生表：
 
 001的象集：{（张三，19，计算机）}
 计算机的象集：{（001，张三，19），（002，李冰，21），（004，王华，21）}
 
所以，象集的本质是一次选择运算和一次投影运算。
 
S2:
 
 所以学生表上学号和姓名的分量的象集为：
 （001，张三）象集为（19，计算机）
 （002，李四）象集为（20，管理）
 （003，李冰）象集为（21，计算机）
 （004，王华）象集为（21，计算机）
 
年龄和系名在S2上的投影为：
 （21，计算机）
 显然只有（003，李冰）和（004，王华）的象集包含投影（21，计算机）
 
所以学生÷S2：
 
 再结合到公式上看，应该可以理解公式了。
 
这应该够清楚了吧，希望对你们有所帮助！

 
 
 一.线性映射及其运算(9.1)
 1.线性映射的定义与性质
 (1)线性映射的定义:
 
 (2)一些线性映射的例子:
 
 
 
 
 
 
注:例7中的$k$不一定是数,但习惯上仍然称该线性变换为数乘变换
 
 
 
 
命题1:对任何线性映射$f\in Hom(V,U)$和恒等变换${\mathcal{I}}_V\in Hom(V,V),{\mathcal{I}}_U\in Hom(U,U)$,有$f{\mathcal{I}}_V={\mathcal{I}}_{U}f=f$
 
 
 
(3)线性映射的性质:
 
 
 
由于线性映射只比同构映射少了双射这个条件,因此只要某个同构映射的性质的证明不需要用到单射/满射的条件,那么线性映射就也具有该性质
 
 
 
 
性质1:$Ꭿ(0)=0^{\prime }$,其中$0^{\prime }$是$V^{\prime }$的零向量
 
 
 
 
性质2:对$\forall \alpha \in V,Ꭿ(-\alpha )=-Ꭿ(\alpha )$
 
 
 
 
性质3:$Ꭿ(k_1{\alpha }_1+...+k_s{\alpha }_s)=k_1Ꭿ({\alpha }_1)+...+k_sᎯ({\alpha }_s)(3)$
 
 
 
 
性质4:$Ꭿ$把$V$中线性相关的向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2...{\alpha }_s$映成$V^{\prime }$中线性相关的向量组$Ꭿ({\alpha }_1),Ꭿ({\alpha }_2)...Ꭿ({\alpha }_s)$
 注意:$Ꭿ$有可能把$V$中线性无关的向量组映成$V^{\prime }$中线性相关的向量组
 
 
 
 
性质5:如果$V$是有限维的,且${\alpha }_1,{\alpha }_2...{\alpha }_n$是$V$的1个基,那么对于$V$中任一向量$\alpha =a_1{\alpha }_1+a_2{\alpha }_2+...+a_n{\alpha }_n$,有$$Ꭿ(\alpha )=a_1Ꭿ({\alpha }_1)+a_2Ꭿ({\alpha }_2)+...+a_nᎯ({\alpha }_n)(4)$$
 
 
 
 
 
 
性质6:$\sigma$是$V$到$V^{\prime }$的1个同构映射当且仅当$Ꭿ$是$V$到$V^{\prime }$的1个可逆的线性映射
 
 
2.线性映射的存在性:
 
 
 
定理1:设$V,V^{\prime }$都是域$F$上的线性空间,且$V$是有限维的;在$V$中取1个基${\alpha }_1,{\alpha }_2...{\alpha }_n$,在$V^{\prime }$中任意取$n$个向量${\gamma }_1...{\gamma }_n$(其中可以有相同的),令$$\begin{gathered} Ꭿ:V\to V^{\prime } \\ a=\sum _{i=1}^n{a}_i{\alpha }_i\mapsto \sum _{i=1}^n{a}_i{\gamma }_i(6) \end{gathered}$$
 
 
 
3.投影
 (1)投影:
 
 
 
 
定理2:设$V$是域$F$上的1个线性空间,$U,W$是$V$的2个子空间,且$$V=U\oplus W(7)$$任取$\alpha \in V$,设$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2({\alpha }_1\in U,{\alpha }_2\in W)$,令$$\begin{gathered} P_U:V\to V \\ \alpha \mapsto {\alpha }_1(8) \end{gathered}$$则$P_U$是$V$上的1个线性变换,称$P_U$是平行于$W$在$U$上的投影,$P_U$满足:$$$P_U(\alpha )=\{\begin{array}{l}\alpha 当\alpha \in U\\ 0当\alpha \in W\end{array}(9)$$满足(9)式的$V$上的线性变换是唯一的
 
 类似地,定义$P_W(\alpha )={\alpha }_2$,则$P_W$也是$V$上的1个线性变换,称为平行于$U$在$W$上的投影
 投影是很重要的1类线性变换
 
 
 
 
投影的性质:$P_U^2=P_U,P_W^2=P_W,P_U{P}_W=P_W{P}_U=0(10)$
 
 
 
 
(2)幂等变换:
 
 (3)正交:
 
 4.线性映射的运算
 
 (1)线性映射的乘法:
 
 
 
也成为线性映射的合成或复合
 
 即:设$Ꭿ\in Hom(V,U),\mathcal{B}\in Hom(U.W)$,则$(\mathcal{B}Ꭿ)(a)=\mathcal{B}(Ꭿ(a))(a\in V)$,称$\mathcal{B}Ꭿ$为$\mathcal{B}$与$Ꭿ$的复合或合成或乘法
 
 
 
(2)线性映射的逆映射:
 
 
 
 
定理3:映射$f:A\to B$可逆的充要条件是:$f$是双射
 
 推论:线性映射$Ꭿ\in Hom(V,V^{\prime })$可逆的充要条件是:$Ꭿ$是同构映射;从而$A^{-1}\in Hom(V^{\prime },V)$是同构映射
 
 
(3)线性映射的线性运算:
 
 
 (4)线性映射的幂:
 
 5.线性映射的整体结构
 (1)代数:
 
 
 
 
注:$Hom(V,V)$中的单位元是恒等变换$\mathcal{I}$
 
 

 (2)线性映射的多项式:
 
 (3)投影的性质:
 
 
 
命题2:设$U,W$是域$F$上线性空间$V$的2个子空间,且$V=U\oplus W$,则平行于$W$在$U$上的投影$P_U$与平行于$U$在$W$上的投影$P_W$是正交的幂等变换,且它们的和等于恒等变换
 
 
 注:前半部分的证明参见 一.3.(1) 部分
 
 
 
 
命题3:设$V$是域$F$上的线性空间,$Ꭿ,\mathcal{B}$是$V$上正交的幂等变换,且$Ꭿ+\mathcal{B}=\mathcal{I}$,则$V=ImᎯ\oplus Im\mathcal{B}$,且$Ꭿ$是平行于$Im\mathcal{B}$在$ImᎯ$上的投影,$\mathcal{B}$是平行于$ImᎯ$在$Im\mathcal{B}$上的投影
 
 
 
 
 
命题2和命题3结合在一起,利用线性变换的运算刻画了投影的特征性质
 
 
(4)镜面反射与对合变换:
 
 
 (5)平移与幂零变换:
 
 
 二.线性映射的核与象(9.2)
 1.线性映射的核与象
 (1)概念:
 
 (2)性质:
 
 
 
命题4:设$Ꭿ$是域$F$上线性空间$V$到$V^{\prime }$的1个线性映射,则$KerᎯ$是$V$的1个子空间,$ImᎯ$是$V^{\prime }$的1个子空间
 
 
 
(3)利用核与象判断$Ꭿ$的性质:
 
 
 
命题5:设$Ꭿ$是域$F$上线性空间$V$到$V^{\prime }$的1个线性映射,则
 ①$Ꭿ$是单射当且仅当$KerᎯ=0$
 ②$Ꭿ$是满射当且仅当$ImᎯ=V^{\prime }$
 
 
 
2.核与象的关系
 
 (1)结构关系:
 
 
 
定理4:设$Ꭿ$是域$F$上线性空间$V$到$V^{\prime }$的1个线性映射,令$$\begin{gathered} \sigma :V/KerᎯ\to ImᎯ \\ \alpha +KerᎯ\to Ꭿ\alpha \end{gathered}$$则$\sigma$是$V/KerᎯ$到$ImᎯ$的1个同构映射,从而$V/KerᎯ\cong ImᎯ(2)$
 
 
 
(2)维数公式:
 
 
 
定理5:设$V,V^{\prime }$都是域$F$上的线性空间,且$V$是有限维的,设$Ꭿ$是$V$到$V^{\prime }$的1个线性映射,则$KerᎯ,ImᎯ$都是有限维的,且$$dim(KerᎯ)+dim(ImᎯ)=dim(V)(3)$$
 
 当$V$是有限维的线性空间时,$V$到$V^{\prime }$的线性映射$Ꭿ$的核的维数也称为$Ꭿ$的零度;$Ꭿ$的象$ImᎯ$的维数称为$Ꭿ$的秩,记作$rank(Ꭿ)$
 
 
 
(3)线性映射的维数公式的一些应用:
 
 
 
 
定理6:设$V,V^{\prime }$都是域$F$上的$n$维线性空间,且$Ꭿ$是$V$到$V^{\prime }$的1个线性映射,则$Ꭿ$是单射当且仅当$Ꭿ$是满射
 
 推论1:设$Ꭿ$是域$F$上有限维线性空间$V$上的1个线性变换,则$Ꭿ$是单射当且仅当$Ꭿ$是满射
 
 
 
 
 
通过通过线性映射的维数公式证明齐次线性方程组的解空间的维数公式:
 
 
 
3.通过核与象研究线性空间的结构
 (1)将线性空间分解成核与象:
 
 
 
 
命题6:设$Ꭿ$是域$F$上线性空间$V$上的1个线性变换,如果$Ꭿ$是$V$上的幂等变换,那么$$V=ImᎯ\oplus KerᎯ(12)$$
 
 
 
 
 
推论1:设$V=U\oplus W$,用$P_U$表示平行于$W$在$U$上的投影,则$$U=Im{P}_U,W=Ker{P}_U$$
 
 
 
 
 
 
推论2:设$V$是域$F$上的线性空间,则$V$的任一子空间$U$是平行于$U$的1个补空间在$U$上的投影$P_U$的象
 
 
 
 
 
推论3:设$V$是域$F$上的线性空间,则$V$的任一子空间$W$是平行于$W$在$W$的1个补空间上的投影的核
 
 
 
(2)余核:
 
 
 
 
命题7:设$Ꭿ$是域$F$上线性空间$V$到$V^{\prime }$的1个线性映射,则$Ꭿ$是满射当且仅当$CokerᎯ=0$