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  • 第五讲 求代数方程的近似根(解) 问题背景和实验目的 相关概念 对分法 对分法 对分法收敛性 迭代法 迭代法的收敛性 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法的加速 牛顿迭代法 牛顿法迭代公式 ...
  • Matlab 求代数方程及近似解求代数方程的近似根(解) hjTang@xidian.edu.cn 问题背景和实验目的 相关概念 对分法 对分法 对分法收敛性 迭代法 迭代法的收敛性 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 ...

    Matlab 求代数方程及近似解

    求代数方程的近似根(解) hjTang@xidian.edu.cn 问题背景和实验目的 相关概念 对分法 对分法 对分法收敛性 迭代法 迭代法的收敛性 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法收敛性判断 迭代法的加速 松弛迭代法 Altken 迭代法 Altken 迭代法 牛顿迭代法 牛顿法迭代公式 牛顿法迭代公式 Matlab 解方程函数 其他 Matlab 相关函数 * * 近似求解代数方程 解方程(代数方程)是最常见的数学问题之一,也是众多应用领域中不可避免的问题之一。 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程,但如果在任意给定的精度下,能够解出方程的近似解,则可以认为求解问题已基本解决,至少可以满足实际需要。 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法:对分法,迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。 如果 f(x) 是一次多项式,称上面的方程为线性方程;否则称之为非线性方程。 线性方程 与 非线性方程 基本思想 将有根区间进行对分,判断出解在某个分段内,然后再对该段对分,依次类推,直到满足给定的精度为止。 适用范围 求有根区间内的 单根 或 奇重实根。 数学原理:介值定理 设 f(x) 在 [a, b] 上连续,且 f(a) f(b)<0,则由介值定理可得,在 (a, b) 内至少存在一点 ? 使得 f(?)=0。 具体步骤 设方程在区间 [a,b] 内连续,且 f(a)f(b)<0,给定精度要求 ? ,若有 |f(x)| ,则 x 就是我们所需要的 f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。 ... ... 收敛性分析 设方程的根为 x* ? (ak , bk ) ,又 ,所以 0(k ?) 对分法总是收敛的 但对分法的收敛速度较慢 通常用来试探实根的分布区间, 或给出根的一个较为粗糙的近似。 根据上面的算法,我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 {[ak , bk ]} ,在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程: 从某个近似根 x0 出发,计算 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 若 收敛,即 ,假设 ?(x) 连续,则 收敛性分析 即 注:若得到的点列发散,则迭代法失效! 定义: 定理 2:如果定理 1 的条件成立,则有如下估计 如果存在 x* 的某个 邻域 ? =(x*-? , x* +? ), 使得对 ? x0 ? ? 开始的迭代 xk+1 = ?(xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 定理 1: 设 x* =?(x*),的某个邻域 ? 内连续,且对 ?x?? 都有 |?’(x)|?q< 1, 则对 ?x0? ?,由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列都收敛。 定理 3: 已知方程 x =?(x),且 (1) 对 ? x?[a, b],有 ?(x)?[a, b]; 对 ? x?[a, b],有|?’(x)|?q< 1; 则对 ?x0?[a, b] ,由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列都收敛,且 q 越小,迭代收敛越快 ?’(x*) 越小,迭代收敛越快 以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较困难,在实际应用中,我们常用下面不严格的判别方法: 当有根区间 [a, b] 较小,且对某一 x0?[a, b] ,|?’(x0)| 明显小于 1 时,则我们就认为迭代收敛 设迭代 xk+1 = ?(xk) ,第 k 步和第 k+1 步得到的近似根分别为 xk 和 ?(xk) ,令 其中 wk 称为加权系数或权重。得新迭代 xk+1 = ?(xk) 加权系数 wk 的确定:令 ?’(x)=0 得 松弛法迭代公式: 松弛法具有较好的加速效果,甚至有些不收敛的迭代,加速后也能收敛。 缺点:每次迭代需计算导数 Altken迭代法 用 差商 近似 微商 设 x* 是方程的根,则由中值定理可得 Altken迭代公式 k = 0, 1, 2, ... ... Altken 法同样具有较好的加速效果 令: 基本思想: 用线性方程来近似非线性方程,即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为 牛顿迭代公式 k = 0, 1, 2, ... ... 牛顿法的收敛速度 令 牛顿法至少二阶局部收敛 当 f

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  • CT技术与图像重建CT技术概念传统X射线原理CT技术原理X射线强度衰减与图像重建的数学原理图像重建的代数模型常用算法中心线法面积法中心法的简化形式 CT技术概念 传统X射线原理 使得无法分辨透明度和无法分辨数量 CT...

    CT技术概念

    传统X射线原理

    在这里插入图片描述
    使得无法分辨透明度和无法分辨数量

    CT技术原理

    在这里插入图片描述
    CT技术:在不同深度的断面上,从各个角度用探测器接收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线**。

    X射线强度衰减与图像重建的数学原理

    I:线l:线I:射线强度 \quad l:物质在射线方向的厚度
    I0:μ:线I_0:入射强度 \quad μ:物质对射线的衰减系数

    • 射线强度与衰减率成正比dIdl=μI\frac{dI}{dl}=-μI从而可以得出I=I0eμlI=I_0e^{-μl}
    • 射线沿直线L穿行,穿过由不同衰减系数的物质组成的非均匀物体(人体器官)。
      在这里插入图片描述μl=Lμ(x,y)dlμl=\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}l
      \qquad↓
      I=I0exp(Lμ(x,y)dl)I=I_0exp(-\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}l)
      \qquad↓
      Lμ(x,y)d=I0I\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}=㏑\frac{I_0}{I}

    II得到μ(x,y)μ(x,y)函数,从而分析此处的物质是什么(反映人体器官大小、形状、密度的图像)。

    数学原理:
    Pf(L)=Lμ(x,y)dlP_f(L)=\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}l(拉东变换)
    而所求的问题是求拉东变换的逆变换。
    Q在这里插入图片描述

    FQ(q)Qq线L线Pf(L)qF_Q(q):与Q相距q的直线L的线积分P_f(L)对所有的q的平均值

    实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分)

    图像重建的代数模型

    m个像素(j=1,……,m),n束射线(i=1,…,n)
    每个像素对射线的衰减系数是常数。
    在这里插入图片描述
    μjjμ_j:像素j的衰减系数
    Δlj线j穿Δl_j:射线在j中的穿行长度
    J(Li)线Li穿jJ(L_i):射线L_i穿过的像素j的集合
    (I0/I)Li㏑(I_0/I):L_i的强度测量数据

    可以将积分公式转化成求和公式
    在这里插入图片描述

    常用算法

    (I0/I)=bi,μj=xj㏑(I_0/I)=b_i,μ_j=x_j设像素的边长和射线的宽度均为σ
    在这里插入图片描述

    中心线法

    aij线Li线jlijσa_{ij}表示射线L_i的中心线在像素j内的长度l_{ij}与σ之比

    j=1maijxj=bi,i=1,2,...,n\sum_{j=1}^{m}a_{ij}x_j=b_i,i=1,2,...,n

    可以写成线性方程组Ax=bAx=b

    面积法

    aij线Lijsijσ2a_{ij}射线L_i在像素j内的面积s_{ij}与像素面积σ^2之比

    中心法的简化形式

    假设射线的宽度为零,间距σ
    aij=1:ja_{ij}=1:表示经过像素j内任意一点
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    根据A和b,由Ax=b确定像素的衰减系数向量x,
    m和n很大且m>n,方程有无穷多解+测量误差和噪声
    Ax+e=bAx+e=b
    在x和e满足的最优准则下估计x

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  • 捅了一个大坑,谁能想到从简简单单的解代数方程出发最后会走向抽象代数(近世代数)呢?但是作为连续几期的延续,出于完整性考虑,还是要进一步发掘。本期先讨论置换的一些性质并引入置换群,最后引入一般的群的概念。...

    0cfa81098913bd40a82561e68f901d30.png捅了一个大坑,谁能想到从简简单单的解代数方程出发最后会走向抽象代数(近世代数)呢?但是作为连续几期的延续,出于完整性考虑,还是要进一步发掘。本期先讨论置换的一些性质并引入置换群,最后引入一般的群的概念。

    所谓的置换是指这样一种符号运算(它的严格定义在后面群的概念引出时再给出):

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    置换的乘积

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    注意置换的乘法不一定满足交换律。而且置换的这种运算是很简单的——有点像消消乐。【难以将这种运算过程描述出来,仔细看看应该能看懂】

    置换满足结合律:对任意三个置换s,t,v,有

    (st)v=s(tv)

    恒等置换

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    记为I.

    由前几期内容知,根的对称多项式是指在n!种置换作用下都不变的多项式,而非对称多项式是指在有些置换下会变的多项式。

    8497a2e979f03bfd57e6a5b1be6ecd3d.png

    总结一下上述性质:

    (1)G种任意两个置换按规定的运算后结果仍在G中;

    (2)规定的运算(置换乘积运算规则)满足结合律;

    (3)G中含有恒等置换,与G中任何置换运算结果仍是该置换;

    (4)G中每一置换在G中必有一逆置换。

    满足上述要求的置换集合称为置换群。

    推论:使得某一多项式(或有理函数)不变的置换全体构成一置换群。

    置换群只是一种特殊的群。

    【关于置换群更多的性质和有趣的点会在“群”中给出,这样更加合理】

    “群”

    首先需要了解一些基本要素。【我都快不认识这个“群”字了】

    数->集合:集合在朴素集合论和公理化集合论的定义是不一样的,前者指由一些元素组成;后者指具有某种特定性质事物的总体。

    二元运算·:·认为是集合G上的二元运算。也称为群的乘法。对两个元素作二元运算,得到的新元素仍然属于该集合,称为封闭性。四则运算均是二元运算。

    单位元:0和1被抽象成单位元,0为加法单位元,1为乘法单位元。单位元与其他元素相结合时,不改变该元素。有些集合不存在单位元,如正整数集合没有加法单位元。

    逆元素:对于加法,a的逆元素是-a;对于乘法,a的逆元素是倒数a^-1

    结合律:

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    交换律:改变二元运算符两边的元素不影响结果。应当说,结合律是更一般的规律。

    群的定义:

    集合G及其上的二元运算 · 如果满足:

    (1)结合律成立;(2)存在单位元【幺元】;(3)G上每个元素a均有逆元。

    则称(G,·)为群。

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    原群是一种基本的代数结构,只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合,即封闭性。

    半群,满足结合律的代数结构。V=,其中二元运算 · 是可结合的,即(a·b)·c=a·(b·c),则称V是半群。

    幺半群在半群的基础上,还需要满足存在单位元。也称“含幺半群”。

    群要满足封闭性、结合律、单位元、逆元。

    阿贝尔群(交换群)在群的基础上二元运算满足交换律。

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    自然数全体对通常的加法运算不构成群;全体整数对通常的加法运算构成群;全体实数对通常的乘法运算不构成群。【想想为什么】

    群的性质

    (a)如果群G的元素个数有限,称G为有限群,其元素个数称为G的阶。

    (b)对称群(置换群):

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    易得S2是阿贝尔群,n≥3时,Sn不是阿贝尔群。Sn是n!阶有限群。

    (c)子群

    设G为群,如果H是G的子集,且对G的乘法运算【不局限于通常的乘法】构成群,则称H是G的子群。

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    【想想看】全体整数对加法运算所成的群中,偶数全体是它的一个子群,但是奇数全体却不构成一个子群。

    检验子群可验证以下几点:如要验证H为G的子群,(1)1在H中;(2)H中逆元存在;(3)H中运算满足封闭性。

    对于任意群G,{1}和G均是G的子群,称为G的平凡子群。【这里的1是指单位元】

    (d)轮换

    对称群除了以

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    的形式表示外,还可以用另外一种方式表示。

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    特别地,2轮换称为对换。

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    显然成立的是:

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    任意置换均可写为两两不相交轮换的乘积。

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    任一轮换均可表为对换的乘积。

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    如果置换是偶数个对换的乘积,则称该置换为偶置换;如果是奇数个对换的乘积,则称为奇置换。

    (e)Sn中所有偶置换构成的群称为n阶交错群,记为An

    An为有限群,阶为n!/2


     (f)循环群

    一群的所有元素均由其某一元素的连乘积(乘幂)构成。

    (g)群的阶数必能被其子群阶数所整除(子群阶数是群的阶数的因子)。

    (h)使得S^p=I中最小的正整数p称为S的周期。一群的阶数必能被其任一元素的周期整除。


    (i)不变子群(正规子群)

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    (j)拉格朗日定理

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    推论:素数阶群必为循环群。

    拉格朗日定理是群论中第一个重要的定理。

    若群G中任何元素阶为1或2,则G为阿贝尔群。

    循环群必为阿贝尔群。

    非阿贝尔群最小阶数为6.

    (k)没有非平凡正规子群的群称为单群

    A2、A3是单群,A4不是单群,是正规子群。

    极大不变子群:若H是G的不变子群,且G中没有包含H的非平凡不变子群,则称H是G的极大不变子群。

    设G是群,H是G的一个极大不变子群,K是H的一个极大不变子群。。。最后一个是恒等元I,这一群列称为G的合成群列。

    G, H, K, ... , I

    群G的合成群列阶数分别为n,n1,n2,...,1.则称正整数列n/n1,n1/n2,n2/n3...为群G的组合因数。

    组合因数都为素数的群称为可解群。

    当n>4时,对称群Sn均不可解。立刻推出高于四次的一般代数方程不可用代数方法求解。

    关于群的知识还有很多,在近世代数(抽象代数)中都可以学习,我们的介绍只到这里,其他的有兴趣的可以自己去学习。因为我们的出发点还是从解代数方程出发的,到这里的时候不应该完全地扩展为整个近世代数内容,理由是绝大部分近世代数内容是有自己的体系的,与我们强调的(最后需要解决的)伽罗瓦理论关系不大。换句话说,我们的终极目的是瞻仰伽罗瓦理论,最后提及一下著名的尺规作图问题。

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    我一直相信知识需要满足原创、可分享、非盈利、开放的特点。

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  • 线性代数基本概念

    2020-09-14 23:18:49
    文章目录线性代数基本概念1. 矩阵基本概念2. 行列式3. 可逆矩阵4. 数量积、向量积5. 线性相关性和矩阵的秩6. 线性方程组7. 向量空间及向量的正交性8 方阵的特征值和相似对角化9. 二次型 线性代数基本概念 1. 矩阵...

    线性代数基本概念

    1. 矩阵基本概念

    m行n列矩阵 Am×nA_{m\times n}

    n阶方阵 An×nA_{n\times n},左上角到右下角为主对角线,右上角到左下角为副对角线,位于主对角线上元素称为对角元

    对角矩阵 diag(a11,a22,a33,,ann)diag(a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_nn) 。还有上三角矩阵,下三角矩阵。对角元全为1的方阵为单位矩阵

    若矩阵A和矩阵B的行数和列数相同,则称矩阵A和B为同型矩阵。若A和B同型并且对应元素相同,则A=B。

    有方程Ax=bAx=b增广矩阵[A,b][A,b]

    转置矩阵 ATA^T(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T

    对称矩阵 A=ATA=A^T反称矩阵 A=ATA=-A^T

    行向量 aTa^T列向量 aa

    分块矩阵 用若干条横竖线将矩阵A分成许多小子矩阵

    常用的分块方法

    1. A
    2. A=[a1,a2,,an]A=[a_1,a_2,\cdots,a_n]
    3. A=[b1Tb2TbnT]A=\begin{bmatrix}b_1^T\\b_2^T\\\cdots\\b_n^T\end{bmatrix}

    A=[A11A12A21A22] A=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22}\\ \end{bmatrix}

    矩阵初等变换

    初等行变换

    • 对调行变换 rirjr_i\leftrightarrow r_j
    • 倍乘行变换
    • 倍加行变换 rj+krir_j+k r_i

    初等列变换初等行变换统称为初等变换。

    A和B等价 A经过有限次初等变换成B,称A和B等价或者A和B相抵。

    初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

    定理 对于任意方阵A,只用有限次倍加行变换或者有限次倍加列变换都能将A化为上三角矩阵。

    定理 对于任何m×nm\times n非零矩阵A,必能用初等变换将它化为F=[EsOOO]F=\begin{bmatrix}E_s&O\\O&O\end{bmatrix}。F称为A的等价相抵型。

    2. 行列式

    余子阵A(i,j) 从方阵Am×nA_{m\times n}中去掉aija_{ij}所在的第i行,第j列所余下的n-1阶方阵。

    方阵A的行列式 A\vert A\vert或者det(A)=k=1nak1(1)k+1A(k,1)det(A)=\sum_{k=1}^n a_{k1}(-1)^{k+1}A(k,1)

    代数余子式 Aij=(1)i+jdet(A(i,j))A_{ij}=(-1)^{i+j}det(A(i,j))

    行列式的性质

    • AT=A\vert A^T\vert=\vert A\vert
    • 行列式可以在任意一行或者一列展开
    • 行列式的线性性质
      • a1,,kaj,,an=ka1,,aj,,an\vert a_1,\cdots,ka_j,\cdots,a_n\vert=k\vert a_1,\cdots,a_j,\cdots,a_n\vert
      • a1,,aj+b,,an=a1,,aj,,an+a1,,b,,an\vert a_1,\cdots,a_j+b,\cdots,a_n\vert=\vert a_1,\cdots,a_j,\cdots,a_n\vert+\vert a_1,\cdots,b,\cdots,a_n\vert
    • 倍加行列变换不改变行列式的值
    • 对调行列变换使行列式值*-1
    • 行列式某一列的每个元素乘以另一列对应元素的代数余子式之和为零

    分块三角行列式
    ACOB=AB \begin{vmatrix} A&C\\ O&B\\ \end{vmatrix} =\vert A\vert\vert B\vert
    设A和B为n阶方阵,则称AB=AB\vert AB\vert = \vert A\vert\vert B\vert

    3. 可逆矩阵

    可逆矩阵 对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B,使得AB=BA=EAB=BA=E,则称A或者B为可逆矩阵,并且A1=BA^{-1}=B

    定理 若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的。

    伴随矩阵
    A=[A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn] A^*=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\ A_{12}&A{22}&\cdots &A_{n2}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn} \end{bmatrix}
    定理 设A为方阵,则AA=AA=AEAA^*=A^*A=\vert A\vert E

    方阵A可逆的充要条件为A0\vert A\vert\not=0。并且当A可逆时,A1=1A,A1=AA\displaystyle \vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert},A^{-1}=\frac{A^*}{\vert A\vert}

    对于方阵A,若A=0\vert A\vert=0,称为奇异矩阵。若A0\vert A\vert\not=0,称为非奇异矩阵

    若方阵AB满足AB=EAB=E,则A和B都可逆,并且A1=BA^{-1}=B并且B1=AB^{-1}=A

    若A和B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且(AB)1=B1A1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

    4. 数量积、向量积

    两个向量的数量积是一个数,记作ab=abcosθ\vec a\cdot \vec b=\vert\vec a\vert\vert \vec b\vert cos\theta

    叉乘积a×b=[ijkaxayazbxbybz]\vec a\times \vec b=\begin{bmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{bmatrix}

    5. 线性相关性和矩阵的秩

    对于向量组a1,a2,,an,ba_1,a_2,\cdots,a_n,b,若存在n个数k1,k2,,knk_1,k_2,\cdots,k_n,使得b=k1a1+k2a2++knanb=k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_na_n,则称向量b可由向量a1,a2,,ana_1,a_2,\cdots,a_n线性表示

    若存在n个不全为0的数k1,k2,,knk_1,k_2,\cdots,k_n,使得k1a1+k2a2++knan=0k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_na_n=0,则称该向量组线性相关

    当且仅当k1,k2,,knk_1,k_2,\cdots,k_n全为零时,才使k1a1+k2a2++knan=0k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_na_n=0成立,则称该向量组线性无关

    定理 向量组a1,a2,,ana_1,a_2,\cdots,a_n线性相关的充要条件为该向量组中至少有一个向量能被其他向量线性表示。

    在向量组V中,若有含r个向量的子向量组线性无关,并且V中任何含r+1个向量的向量组都线性相关,则把r称为向量组V的秩

    若向量组V的秩为r,则V中含r个线性无关的子向量组称为极大无关组

    向量组V中每个向量都可由其极大无关组唯一的线性表示。

    设A为m×nm\times n矩阵,1<=k<=min{m,n}1<=k<=min\{m,n\},由矩阵A的任意k个行和任意k个列相交处的k2k^2个元素按照原来的相对位置所构成的方阵叫做矩阵A的k阶子阵,其行列式叫做矩阵A的k阶子式

    矩阵A中非奇异子阵的最高阶数称为A的秩,记作r(A)r(A)

    矩阵秩的性质

    • r(AT)=r(A)r(A^T)=r(A)
    • r(A)r(A)=A的行秩=A的列秩
    • 初等变换不改变矩阵的秩
    • A的秩为r\leftrightarrow A与F=[ErOOO]F=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\\\end{bmatrix}等价,说明存在可逆矩阵P,QP,Q,使得PAQ=FPAQ=F
    • Am×n,Bs×t,Cm×tA_{m\times n},B_{s\times t},C_{m\times t}矩阵,则
      • r([AOOB])=r(A)+r(B)r(\begin{bmatrix}A&O\\O&B\\\end{bmatrix})=r(A)+r(B)
      • r([ACOB])>=r(A)+r(B)r(\begin{bmatrix}A&C\\O&B\\\end{bmatrix})>=r(A)+r(B)
    • Am×kA_{m\times k},Bk×nB_{k\times n}, 则r(A)+r(B)k<=r(AB)<=min{r(A),r(B)}r(A)+r(B)-k<=r(AB)<=min\{r(A),r(B)\}

    若A为方阵,当r(A)=nr(A)=n时,A称为满秩矩阵

    若向量组I:b1,b2,,bnI:b_1,b_2,\cdots,b_n中每个向量能够被向量组II:a1,a2,,anII:a_1,a_2,\cdots,a_n线性表示,则称向量组II能够被向量组IIII线性表示。如果向量组II和向量组IIII能够互相线性表示,则称之为等价向量组

    6. 线性方程组

    定理 m×nm\times n齐次线性方程组Ax=0Ax=0只有零解的充要条件为r(A)=nr(A)=n,存在非零解的充要条件为r(A)<nr(A)<n

    定理Ax=bAx=bm×nm\times n非齐次线性方程组,则

    • Ax=bAx=b有解\leftrightarrowr([A,b])=r(A)r([A,b])=r(A)
    • Ax=bAx=b有唯一解r([A,b])=r(A)=n\leftrightarrow r([A,b])=r(A)=n

    线性方程组解的性质

    齐次线性方程组Ax=0Ax=0的解集为S的极大无关组称为该齐次方程组的基础解系。若v1,v2,,vnv_1,v_2,\cdots,v_n为齐次方程组Ax=0Ax=0的解,则k1v1+k2v2++knvnk_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_nAx=0Ax=0的解。

    uu为非齐次线性方程组Ax=bAx=b的解,vvAx=0Ax=0的解,则u+vu+vAx=bAx=b的解。

    非齐次线性方程组Ax=bAx=b的两个解u1u_1u2u_2的差u1u2u_1-u_2Ax=0Ax=0的解。

    u1,u2,,usu_1,u_2,\cdots,u_s为齐次线性方程组Ax=bAx=b的解,则

    • k1u1+k2u2++ksusk_1u_1+k_2u_2+\cdots+k_su_sAx=0Ax=0的解,则k1+k2++kn=0k_1+k_2+\cdots+k_n=0
    • k1u1+k2u2++ksusk_1u_1+k_2u_2+\cdots+k_su_sAx=bAx=b的解,则k1+k2++kn=1k_1+k_2+\cdots+k_n=1

    定理 齐次线性方程组Ax=0Ax=0的解集S的秩为r(S)=nr(A)r(S)=n-r(A),即Ax=0Ax=0的基础解系所含向量的个数为nr(A)n-r(A),其中n为未知数的个数,即A的列数。

    Am×nA_{m\times n},则r(ATA)=r(AAT)=r(A)r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)

    设u为非齐次线性方程组Ax=bAx=b的一个已知解,v1,v2,,vnrv_1,v_2,\cdots,v_{n-r}Ax=0Ax=0的基础解系,则Ax=bAx=b的通解为x=k1v1+k2v2++knvnx=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_n

    7. 向量空间及向量的正交性

    设V为n元向量的集合,如果V非空,并且对于向量的线性运算封闭,即对任意的v1V,v2V,kRv_1\in V,v_2\in V,k\in R,都有v1+v2V,kv1Vv_1+v_2\in V,kv_1\in V,则称V是一个向量空间

    齐次线性方程组Ax=0Ax=0的所有解向量构成的集合S是一个向量空间,称之为齐次线性方程组的解空间

    a1,a2,,ama_1,a_2,\cdots,a_m是m个已知的n元向量,则集合V={v=j=1mxjajx1,x2,,xnR}V=\{v=\sum_{j=1}^mx_ja_j|x_1,x_2,\cdots,x_n\in R\}是一个向量空间,将之称为由向量a1,a2,,ana_1,a_2,\cdots,a_n所生成的向量空间。通常记作V=span{a1,a2,,an}V=span\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}

    V1V_1V2V_2是两个向量空间。若V1V2V_1\subseteq V_2,则称V1V_1V2V_2子空间

    V1V2V_1\subseteq V_2V2V1V_2\subseteq V_1,则称这两个向量空间相等,记作V1=V2V_1=V_2

    向量空间V的一个极大无关组称为V的一个。V的秩称为V的维数,记为dim(V)dim(V)。若dim(V)=rdim(V)=r,则称V为r维向量空间

    定理 设V是n维向量空间,m<n,则V中任一线性无关的向量组v1,v2,,vmv_1,v_2,\cdots,v_m都可扩充为V的一个基。

    a1,a2,,ana_1,a_2,\cdots,a_n是n维向量空间V的一个基,对任意向量bVb\in V,把满足b=x1a1+x2a2++xnanb=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n的有序数x1,x2,,xnx_1,x_2,\cdots,x_n叫做向量b在这个基下的坐标x=[x1,x2,,xn]T\vec x = [x_1,x_2,\cdots,x_n]^T称为向量b\vec b在这个基下的坐标向量

    a1,a2,,ana_1,a_2,\cdots,a_n为n维向量空间V的一个基,称为旧基,则V的另外一个基称为新基

    [b1,b2,,bn]=[a1,a2,,an]P[b_1,b_2,\cdots,b_n]=[a_1,a_2,\cdots,a_n]P

    称P为从旧基[a1,a2,,an][a_1,a_2,\cdots,a_n]到新基[b1,b2,,bn][b_1,b_2,\cdots,b_n]过渡矩阵

    a=[a1,a2,,an]T,b=[b1,b2,,bn]T\vec a=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T,\vec b = [b_1,b_2,\cdots,b_n]^T是两个实向量,$\vec a \vec b的**内积** 记作(\vec a,\vec b),规定(\vec a,\vec b)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n。也可以用矩阵运算表示内积(\vec a,\vec b)=a^Tb$。

    定义了内积的向量空间称为欧式空间

    实向量a=[a1,a2,,an]T\vec a=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T长度,也称为范数,记作a\Vert \vec a\Vert,规定a=a12+a22++an2\Vert \vec a\Vert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}

    a=1\Vert \vec a\Vert=1时,a\vec a单位向量;对于非零向量a\vec a,称aa\displaystyle \frac{\vec a}{\Vert\vec a\Vert}a\vec a单位化向量

    a0,b0\vec a\not=0,\vec b\not=0时,θ=arccos(a,b)ab\theta = arccos\frac{(\vec a,\vec b)}{\Vert \vec a\Vert\Vert b \Vert}称为向量a\vec a和向量b\vec b的夹角

    并且定义当θ=0\theta=0时,即aTb=0a^Tb=0时,称向量a\vec a和向量b\vec b正交

    由两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称为标准化正交向量组

    定理 正交向量一定线性无关。

    施密特正交化 将一组线性无关的向量组转化为正交向量组。

    假设a1,a2,,ana_1,a_2,\cdots,a_n是一个线性无关的向量组
    {b1=a1bj=aji=1j1biTajbi2bi(j=2,3,,m) \begin{cases} b_1=a_1\\ b_j=a_j-\sum_{i=1}^{j-1}\frac{b_i^Ta_j}{\Vert b_i^2\Vert}b_i(j=2,3,\cdots,m) \end{cases}
    b1,b2,,bnb_1,b_2,\cdots,b_n为正交向量组。然后将之单位化,bi=bibi\displaystyle b_i=\frac{b_i}{\vert b_i\vert}

    若实方阵A满足ATA=EA^TA=E,则称A为正交矩阵

    正交矩阵的性质

    A,B为同阶正交矩阵

    • A可逆,且A1=ATA^{-1}=A^T
    • ATA^T为正交矩阵,A1A^{-1}也为正交矩阵。
    • AB为正交矩阵
    • A=1 or 1\vert A \vert=1\ or\ -1

    实方阵A为正交矩阵的充要条件为AA的列向量组为标准正交向量组。

    8 方阵的特征值和相似对角化

    设A为n阶方阵,λ\lambda为变量,把λEA=0\vert\lambda E-A\vert=0的根称为A的特征值(单根称为单特征值,重根称为重特征值)。

    λi\lambda_i是A的特征值,则齐次线性方程组(λiEA)x=0(\lambda_i E-A)x=0的非零解向量称为A的对应于λi\lambda_i特征向量。将λiEA=0\vert\lambda_i E-A\vert=0称为A的特征方程

    性质 n阶方阵A在复数域内有且只有n个特征值(k重特征值有k个)。

    λEA=λntr(A)λn1++(1)nA\vert\lambda E-A\vert=\lambda^n-tr(A)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n\vert A \vert 称为特征多项式

    tr(A)tr(A)称为A的,等于A的n个对角元之和。

    若n阶方阵A的特征值为λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n,则

    • tr(A)=λ1+λ2++λntr(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n
    • λ1λ2λn=A\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=\vert A\vert

    推论

    • 方阵A可逆,则λ1λ2λn=A0\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=\vert A\vert \not=0,则λ10,λ20,,λn0\lambda_1\not=0,\lambda_2\not=0,\cdots,\lambda_n\not=0
    • 设A为n阶方阵,则λ\lambda为A的特征值且ppλ\lambda对应的特征向量\leftrightarrowλ\lambda和n元非零向量pp满足Ap=λpAp=\lambda p
    • λ\lambda是方阵A的特征值,p是对应的特征向量,k是正整数,则λk\lambda^kAkA^k的特征值,p仍是对应的特征向量。
    • 可以验证f(A)p=f(λ)pf(A)p=f(\lambda)p
    • λ\lambda为可逆矩阵A的特征值,p是对应的特征向量,则λ1\lambda^-1Aλ1\vert A\vert\lambda^{-1}分别是A1A^{-1}AA^*的特征值,p仍然是对应的特征向量。
    • 方阵ATA^T和A的特征值相同。
    • λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是方阵A的互异特征值,则它们分别对应的特征向量p1,p2,,pnp_1,p_2,\cdots,p_n一定线性无关。
    • λ1,λ2,,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n是方阵A的互异特征值,pi1,pi2,,pirip_{i1},p_{i2},\cdots,p_{ir_i}λi\lambda_i对应的线性无关的特征向量,则p11,p12,p13,,pmrmp_{11},p_{12},p_{13},\cdots,p_{mr_m}线性无关。

    设A,B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P,使得P1AP=BP^{-1}AP=B,则称A和B相似P1APP^{-1}AP称为对A进行相似变换,P称为相似变换矩阵

    如果相似变换矩阵P是正交矩阵,则称A和B正交相似P1AP=BP^{-1}AP=B为对A进行正交相似变换

    • AA和B相似,则AkA^kBkB^k相似
    • 若A和B相似,则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值、行列式及迹均相同。

    如果A能够和对角矩阵相似,则称A可相似对角化。若A可相似对角化,则存在可逆矩阵P,能使PAP1=ΛPAP^{-1}=\Lambda

    实对称矩阵A的特征值都是实数。

    定理 实对称矩阵A的相似特征值λ\lambdaμ\mu分别对应的特征向量p和q一定正交。

    定理 对于任意n阶实对称矩阵A,都存在正交矩阵Q,使得Q1AQ=diag(λ1,λ2,,λn)Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)

    9. 二次型

    Am×nA_{m\times n}x=[x1,x2,,xn]Tx=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^Tf(x)=xTAxf(x)=x^TAx二次型f(x)f(x)的矩阵

    对于n元二次型f(x)=xTAxf(x)=x^TAx,若对任意n元非零向量x都有f(x)>0f(x)>0,则称该二次型为正定二次型。若对任意n元非零向量x都有f(x)<0f(x)<0,则称该二次型为负定二次型,称A为负定矩阵

    实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为A的各阶顺序主子式都大于0。

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空空如也

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