多元一次方程组，又称为线性代数方程组。在数值分析领域里有很多算法都会用到线性代数方程组的求解，比如三次样条曲线拟合时用到的插值算法。求解线性代数方程组可以用高斯消元法，高斯消元法是一种代数的方法，其主要思想是通过对系数矩阵进行行变换，将方程组的系数矩阵由对称矩阵变为三角矩阵，从而达到消元的目的，最后通过回代逐个获得方程组的解。这和手工求解多元一次线性方程组的解体思想是一致的，类似于各种公式法求解方程的方式。
 
 
这一课我们介绍两种常用的迭代法求解方程组，分别是雅可比迭代法（Jacobi）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss–Seidel）。迭代法不仅可以求解线性方程组，还可以求解非线性方程组，并且迭代法的算法实现简单，便于用硬件逻辑实现，在数值分析领域中得到了广泛的应用。通过这两种迭代法的算法实现过程，大家可以进一步理解迭代法的本质。
 
 
雅可比迭代法
 
雅克比迭代法以普鲁士著名数学家雅可比的名字命名，其原理很简单，迭代计算公式也很简单。雅可比迭代法只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵 A 保持不变，便于用多线程并行计算的方式优化效率。对于 n 阶线性方程组 Ax=b，假如其系数矩阵 A 是非奇异矩阵，且对角线元素非 0，就可以证明雅可比迭代过程是收敛的。 
 
先来看看雅可比迭代法迭代关系式的推导过程，对于 n 阶方程组：
 
 
沿对角线依次选取 $x{1}, x{2}, … x{n}

 
微分代数方程(DAE)的Matlab 解法
 
微分代数方程(DAE)的Matlab解法
 
所谓微分代数方程，是指在微分方程中，某些变量满足某些代数方程的约束。假
 
设微分方程的更一般形式可以写成
 
前面所介绍的ODEs数值解法主要针对能够转换为一阶常微分方程组的类型，故
 
DAE就无法使用前面介绍的常微分方程解法直接求解，必须借助DAE的特殊解法。
 
其实对于我们使用Matlab求解DAE时，却没有太大的改变只需增加一个Mass
 
参数即可。描述f(t,x)的方法和普通微分方程完全一致。
 
注意：ode15i没法设置Mass属性，换句话说除了ode15i外其他ode计算器都
 
可以求解DAEs问题
 
1.当M(t,y)非奇异的时候，我们可以将微分方程等效的转换为
 
y'=inv(M)*f(t,y)，此时就是一个普通的ODE(当然我们可以将它当成DAEs处
 
理)，对任意一个给定的初值条件都有唯一的解
 
2.当m(t,y)奇异时，我们叫它为DAEs(微分代数方程)，DAEs问题只有在同时提
 
供状态变量初值y0和状态变量一阶导数初值py0，且满足M(t0,y0)*yp0=f(t0,y0)
 
时才有唯一解，假如不满足上面的方程，DAEs解算器会将提供的y0和py0作为
 
猜测初始值，并重新计算与提供初值最近的封闭初值
 
3.质量矩阵可是一个常数矩阵(稀疏矩阵)，也可以是一个自定义函数的输出。但
 
是ode23s只能求解Mass是常数的DAEs
 
4.对于Mass奇异的DAEs问题，特别是设置MassSingular为yes时，只能ode15s
 
和ode23t解算器
 
5.对于DAE我们还有几个参数需要介绍
 
a.Mass：质量矩阵，不说了，这个是DAE的关键，后面看例子就明白了
 
b.MStateDependence：质量矩阵M(t,y)是否是y的函数，可以选择
 
none|{weak}|strong，none表示M与y无关，weak和strong都表示与y相关
 
c.MvPattern：注意这个必须是稀疏矩阵，S(i,j)=1表示M(t,y)的第i行中任意
 
元素都与第j个状态变量yi有关，否则为0
 
d.MassSingular：设置Mass矩阵是否奇异，当设置为yes时，只能使用ode15s
 
和ode23t
 
e.InitialSlope：状态变量的一阶导数初值yp0，和y0具有相同的size，当使
 
用ode15s和ode23t时，该属性默认为0
 
下面我们以实例说明，看下面的例子，求解该方程的数值解
 
【解】
 
真是万幸，选取状态变量和求状态变量的一阶导数等，微分方程转换工作，题目
 
已经帮我们完成。
 
可是细心的网友会发现，最后一个方程不是微分方程而是一个代数方程(这就是
 
为什叫DAE的原因)，其实我们可以将它视为对三个状态变量的约束。
 
(1)用矩阵形式表示出该DAEs
 
(2)编写Matlab代码
 
复制内容到剪贴板
 
代码:
 
odefun=@(t,x)[-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);
 
2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);
 
x(1)+x(2)+x(3)-1];%微分方程组
 
M=[1 0 0;0 1 0;0 0 0];%质量矩阵
 
options=odeset('mass',M);%对以DAE问题，mass属性必须设置
 
x0=[0.8;0.1;0.1];%初值
 
[t,x]=ode15s(odefun,[0 20],x0,options);%这里好像不能使用ode45
 
figure('numbertitle','off','name','DAE demo—by Matlabsky')
 
plot(t,x)
 
legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)')
 
在介绍隐式ODEs时，我们说了ode15i也可以求解DAEs，原理就是将约束看成
 
一个隐式，好，下面我们看看，验证下所说的：
 
复制内容到剪贴板
 
代码:
 
odefun=@(t,x,dx)[dx(1)+0.2*x(1)-x(2)*x(3)-0.3*x(1)*x(2);
 
dx(2)-2*x(1)*x(2)+5*x(2)*x(3)+2*x(2)^2;
 
x(1)+x(2)+x(3)-1];
 
%状态变量初值，题目中给出
 
x0=[0.8;0.1;0.1];
 
%该初值全部给定，按理说应该全部为1，但是记住方程中有一个约束，故其实
 
只有两个独立初值
 
x0_fix=[1;0;1];%随意一个改为0都可以，比如[0;1;1]或者[1;1;0]
 
%状态变量一阶微分初值，题

Matlab之代数方程求解：极限、渐进线、导数
 
 
 
 
 
目录
 
极限、渐进线、导数
 
1、求趋于常量的极限
 
2、利用limit(f, inf)命令无穷极限
 
3、获得渐进线
 
4、导数计算
 

 
 
 
 
极限、渐进线、导数
 
1、求趋于常量的极限
 
(1)案例limit(f)命令属于符号计算，因此确保使用syms 命令告诉MATLAB你使用的是哪个符号变量。
 
syms x
 
f = (2*x + 1)/(x-2);  g = x^2 + 1;
 
F1 = limit(f,3);   %当x趋近a时的f(x)d的极限，语法是limit(f,a)
 
F2 = limit(g,3);
 
%接着，验证两个函数乘积的极限等于两个函数各自极限的乘积
 
A=F1*F2;  k=limit(f*g,3);  
 
isequal(A,k)  %调用isequal (A,B)命令检查两个量是否相等，若不相等isequal返回0
 
(2)求函数在某点左右极限limit(f,x,a,'left')的案例
 
syms x
 
f = (x - 3)/abs(x - 3);  %已知该函数不存在极限；
 
ezplot(f,[-1,5])        %通过函数图像看极限存在情况，可知仅存在左右极限
 
a = limit(f,x,3,'left') %limit(f,x,a,'left')命令求a点的左极限
 
b = limit(f,x,3,'right')
 
isequal(a,b)  %调用isequal(A,B)命令判断左右极限是否相等,即该点是否存在
 
 
 
2、利用limit(f, inf)命令无穷极限
 
syms x
 
limit(sqrt(x^2+x)-x,inf)  %计算趋于正无穷大时的极限；
 
limit((5*x^3 + 2*x)/(x^10 + x + 7),-inf)  %计算趋于负无穷大时的极限；
 
limit(1/abs(x))             %计算得出无穷大的极限
 
 
 
 
 
 
 
3、获得渐进线
 
limit命令可以用来获得函数的渐近线
 
syms x
 
f = 1/(x*(x-1));
 
%第一步是找出函数突然增大的点。这可以通过解分母的根求得
 
g=x*(x-1);  s=solve(g) %得到了根就知道了渐进线的位置
 
ezplot(f)            %绘制函数图象
 
hold on        %hold on命令告诉MATLAB，还要为图象再添加一些材料：
 
plot(double(s(1))*[1 1], [-1 2],'--') %因根存在变量s中，访问s(1)和s(2)，且绘制渐进线；
 
plot(double(s(2))*[1 1], [-1 2],'--')
 
hold off
 
 
 
 
 
4、导数计算
 
(1)求一阶、高阶函数
 
syms t 
 
g=sin(10*t);  diff(g)    %求一阶函数的导数diff(f)；
 
f=t*exp(-3*t);diff(f,2) %求高阶函数的导数diff(f,n)；
 
(2)案例综合应用：diff返回求导结果，接着把结果赋给另一个变量继续使用；
 
如求是方程的解么？
 
syms t
 
y = 3*sin(t)+7*cos(5*t);
 
f = -5*cos(2*t);  %输入微分方程的右边，
 
a = diff(y,2)+y; %输入微分方程的左边(将第一个函数Y带入)，我们创建另一个变量：
 
isequal(a,f)      %判断是否相等
 
(3)求函数在区间[0,2]的最小、大值；
 
subs(f, x, z)表示将新值z替换符号表达式f中的变量x；如题subs(f,0)等价于f(0)
 
syms x
 
f = x^3-3*x^2+3*x;
 
ezplot(f, [0 2])
 
g = diff(f) %要找出区域内最小、大值，求一阶导数g并找出等于零的点
 
pretty(g)   %pretty命令让表达式更好看一些：使函数式更接近手写，如3*x^2 - 6*x + 3变为3x2-6x+3
 
s = solve(g)  %让一阶导数g为零求根，一阶导得出2个根即原函数大约应该3个根
 
subs(f,0), subs(f,1), subs(f,2) %继续通过计算函数在临界点x=0、1、2的值来证明
 
%由于f(2)返回最大值，我们可以得到x=2 时函数f取得最大值的结论。另外，我们还可以计算导数在这三个点的值并绘制它：
 
subs(g,0),subs(g,1),subs(g,2) %求出一阶导函数在x=0、1、2的值
 
h=diff(g)   %求二阶导数并让它等于零，得到导数的临界点
 
solve(h)    %由于g''>0 ，我们可以下结论x=1是本区间的最小值？？？？
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
目录
 
$B$组
6.已知线性方程组$$\{\begin{array}{l}b{x}_1-a{x}_2=-2ab,\\ -2c{x}_2+3b{x}_3=bc,\\ c{x}_1+a{x}_3=0,\end{array}$$则（  ）。
$(A)$当$a,b,c$为任意实数时，方程组均有解；
$(B)$当$a=0$时，方程组无解；
$(C)$当$b=0$时，方程组无解；
$(D)$当$c=0$时，方程组无解。
11.设线性方程组$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+a{x}_3=0,\\ x_1+2x_2+x_3=0,\\ x_1-x_2+a{x}_3=0\end{array}$$与方程$x_1-2x_2+3x_3=1$有公共解，则$a=$______。
13.设线性方程组${\mathbf{A}}_{3\times 4}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解${\mathbf{\xi }}_1=[1,-1,2{]}^{\mathrm{T}}$，$\mathbf{\alpha }$是$3$维列向量，方程$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$有特解${\mathbf{\eta }}_1=[1,-2,1,3{]}^{\mathrm{T}}$，则方程组$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$的通解是______。
19.设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是互不相同的实数，且$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& \cdots & a_1^{n-1}\\ 1& a_2& a_2^2& \cdots & a_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& a_n& a_n^2& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$，求线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解。
22.已知${\mathbf{\eta }}_1=[-3,2,0{]}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\eta }}_2=[-1,0,-2{]}^{\mathrm{T}}$，是线性方程组$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=2,\\ x_1+2x_2-x_3=1,\\ 2x_1+x_2+x_3=-4\end{array}$的两个解向量，求方程组的通解，并确定参数$a,b,c$。
25.已知方程组$(I)\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2-3x_4=1,\\ -7x_2+3x_3+x_4=-3\end{array}$及方程组$(II)$的通解为$k_1[-1,1,1,0{]}^{\mathrm{T}}+k_2[2,-1,0,1{]}^{\mathrm{T}}+[-2,3,0,0{]}^{\mathrm{T}}$，其中$k_1,k_2$为任意常数。求方程组$(I),(II)$的公共解。
  
$C$组
2.设$\mathbf{A}$是$n$阶矩阵，对于齐次线性方程组$(I){\mathbf{A}}^n\mathbf{x}=0$和$(II){\mathbf{A}}^{n+1}\mathbf{x}=0$，现有命题
$(1)(I)$的解必是$(II)$的解；
$(2)(II)$的解必是$(I)$的解；
$(3)(I)$的解不一定是$(II)$的解；
$(4)(II)$的解不一定是$(I)$的解。
其中正确的是（  ）。
$(A)(1)(4);$
$(B)(1)(2);$
$(C)(2)(3);$
$(D)(3)(4).$
6.设$\mathbf{A}$是$3\times 3$矩阵，${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$是互不相同的$3$维列向量，且都不是方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解，记$\mathbf{B}=[{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3]$，且满足$r(\mathbf{A}\mathbf{B})<r(\mathbf{A}),r(\mathbf{A}\mathbf{B})<r(\mathbf{B})$。则$r(\mathbf{A}\mathbf{B})$等于（  ）。
$(A)0;$
$(B)1;$
$(C)2;$
$(D)3.$
9.证明：非齐次线性方程组$(I)$有解的充要条件是齐次方程组$(II)$的任意一组解必满足方程组$(III)$，其中$(I):\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}(II):\{\begin{array}{l}{a}_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2+\cdots +a_{1n}{y}_n=0,\\ a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2+\cdots +a_{2n}{y}_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{y}_1+a_{m2}{y}_2+\cdots +a_{mn}{y}_n=0,\end{array}(III):b_1{y}_1+b_2{y}_2+\cdots +b_m{y}_m=0$。
15.设$n$阶矩阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$乘积可交换，${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1}$和${\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$分别是方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$与$\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的一个基础解系，且对于$n$阶矩阵$\mathbf{C},\mathbf{D}$，满足$r(\mathbf{C}\mathbf{A}+\mathbf{D}\mathbf{B})=n$。证明：
（1）$r\left(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]\right)=n$且${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1},{\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$线性无关；
（2）${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1},{\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$是方程组$\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的一个基础解系。
  
  
写在最后

 
$B$组
 
6.已知线性方程组$$\{\begin{array}{l}b{x}_1-a{x}_2=-2ab,\\ -2c{x}_2+3b{x}_3=bc,\\ c{x}_1+a{x}_3=0,\end{array}$$则（  ）。
$(A)$当$a,b,c$为任意实数时，方程组均有解；
$(B)$当$a=0$时，方程组无解；
$(C)$当$b=0$时，方程组无解；
$(D)$当$c=0$时，方程组无解。
 
解  当$a=0$或$b=0$或$c=0$时，方程组均有解，且系数行列式$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}b& -a& 0\\ 0& -2c& 3b\\ c& 0& a\end{array}\right|=-5abc$。
   当$abc\ne 0$时，由克拉默法则知，方程组有解，且当$abc=0$时方程组也有解，故$a,b,c$为任意实数时，方程组均有解。（这道题主要利用了克拉默法则求解）
 
11.设线性方程组$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+a{x}_3=0,\\ x_1+2x_2+x_3=0,\\ x_1-x_2+a{x}_3=0\end{array}$$与方程$x_1-2x_2+3x_3=1$有公共解，则$a=$______。
 
解  由题设，齐次方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+a{x}_3=0,\\ x_1+2x_2+x_3=0,\\ x_1-x_2+a{x}_3=0\end{array}$与方程$x_1-2x_2+3x_3=1$有公共解，对于非齐次线性方程而言，公共解不可能为零解，因此，该齐次方程组也必有非零解，因此，方程组的系数矩阵的秩小于$3$，也即系数行列式为零，即$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& 2& 1\\ 1& -1& a\end{array}\right|=2(1-a)=0$，解得$a=1$。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
 
13.设线性方程组${\mathbf{A}}_{3\times 4}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解${\mathbf{\xi }}_1=[1,-1,2{]}^{\mathrm{T}}$，$\mathbf{\alpha }$是$3$维列向量，方程$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$有特解${\mathbf{\eta }}_1=[1,-2,1,3{]}^{\mathrm{T}}$，则方程组$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$的通解是______。
 
解  $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解$\Rightarrow r(\mathbf{A})=3\Rightarrow r([\mathbf{A},\mathbf{\alpha }])=3\Rightarrow r([\mathbf{A},\mathbf{\alpha }])=r([\mathbf{A},\mathbf{\alpha }|\mathbf{b}])=3$。
   方程组$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$的通解形式为$k\mathbf{\xi }+\mathbf{\eta }$，其中$k\mathbf{\xi }$是$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=0$的通解，$\mathbf{\eta }$是$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$的特解。
   已知$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$有特解${\mathbf{\eta }}_1=[1,-2,1,3{]}^{\mathrm{T}}$。另一个特解可取${\mathbf{\eta }}_2=[1,-2,2,0{]}^{\mathrm{T}}$。
   故$[\mathbf{A},\mathbf{\alpha }]\mathbf{x}=\mathbf{b}$有通解$k({\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2)+{\mathbf{\eta }}_1=k[0,-1,-1,3{]}^{\mathrm{T}}+[1,-2,1,3{]}^{\mathrm{T}}$或$k({\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2)+{\mathbf{\eta }}_2=k[0,-1,-1,3{]}^{\mathrm{T}}+[1,-1,2,0{]}^{\mathrm{T}}$，其中$k$是任意常数。（这道题主要利用了构造通解求解）
 
19.设$a_1,a_2,\cdots ,a_n$是互不相同的实数，且$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& \cdots & a_1^{n-1}\\ 1& a_2& a_2^2& \cdots & a_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& a_n& a_n^2& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$，求线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的解。
 
解  因$a_1,a_2,\cdots ,a_n$互不相同，故由范德蒙行列式知，$|\mathbf{A}|=\ne 0$，根据克拉默法则，方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有唯一解，且$x_i=\frac{|{\mathbf{A}}_i|}{|\mathbf{A}|}i=1,2,\cdots ,n$，其中，$|{\mathbf{A}}_i|$是$\mathbf{b}$代换$|\mathbf{A}|$中的第$i$列所得的行列式，有$|{\mathbf{A}}_1|=|\mathbf{A}|,|{\mathbf{A}}_i|=0,i=2,3,\cdots ,n$，故$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的唯一解为$\mathbf{x}=[1,0,0,\cdots ,0{]}^{\mathrm{T}}$。（这道题主要利用了克拉默法则求解）
 
22.已知${\mathbf{\eta }}_1=[-3,2,0{]}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\eta }}_2=[-1,0,-2{]}^{\mathrm{T}}$，是线性方程组$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=2,\\ x_1+2x_2-x_3=1,\\ 2x_1+x_2+x_3=-4\end{array}$的两个解向量，求方程组的通解，并确定参数$a,b,c$。
 
解  对应齐次方程组有解$\mathbf{\xi }={\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2=[-2,2,2{]}^{\mathrm{T}}$或$[-1,1,1{]}^{\mathrm{T}}$，故对应齐次方程组的基础解系至少有一个非零向量，故$r(\mathbf{A})=r\left(\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\right]\right)=r([\mathbf{A}|\mathbf{b}])=r\left(\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 1\end{array}& \begin{array}{c}2\\ 1\\ -4\end{array}\end{array}\right]\right)⩽2$。
   又显然应有$r(\mathbf{A})=r([\mathbf{A}|\mathbf{b}])⩾2$，从而$r(\mathbf{A})=r([\mathbf{A}|\mathbf{b}])=2$，故方程组有通解$k[-1,1,1{]}^{\mathrm{T}}+[-3,2,0{]}^{\mathrm{T}}$，其中$k$为任意常数，将${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2$代入第一个方程，得$-3a+2b=2,-a-2c=2$，解得$a=-2-2c,b=-2-3c$，$c$为任意常数，可以验证：当$a=-2-2c,b=-2-3c,c$任意时，$r(\mathbf{A})=r([\mathbf{A}|\mathbf{b}])=2$。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
 
25.已知方程组$(I)\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2-3x_4=1,\\ -7x_2+3x_3+x_4=-3\end{array}$及方程组$(II)$的通解为$k_1[-1,1,1,0{]}^{\mathrm{T}}+k_2[2,-1,0,1{]}^{\mathrm{T}}+[-2,3,0,0{]}^{\mathrm{T}}$，其中$k_1,k_2$为任意常数。求方程组$(I),(II)$的公共解。
 
解  将方程组$(II)$的通解$k_1[-1,1,1,0{]}^{\mathrm{T}}+k_2[2,-1,0,1{]}^{\mathrm{T}}+[-2,3,0,0{]}^{\mathrm{T}}$，代入方程组$(I)$，得$\{\begin{array}{l}(-2-k_1+2k_2)+3(-3+k_1-k_2)-3k_2=1,\\ -7(-3+k_1-k_2)+3k_1+k_2=-3,\end{array}$化简得$k_1=2k_2+6$。将上述关系式代入$(II)$的通解，得方程组$(I),(II)$的公共解为$[-2-(2k_2+6)+2k_2,-3+2k_2+6-k_2,2k_2+6,k_2{]}^{\mathrm{T}}=[-8,k_2+3,2k_2+6,k_2{]}^{\mathrm{T}}$。（这道题主要利用了代入变量求解）
 
$C$组
 
2.设$\mathbf{A}$是$n$阶矩阵，对于齐次线性方程组$(I){\mathbf{A}}^n\mathbf{x}=0$和$(II){\mathbf{A}}^{n+1}\mathbf{x}=0$，现有命题
$(1)(I)$的解必是$(II)$的解；
$(2)(II)$的解必是$(I)$的解；
$(3)(I)$的解不一定是$(II)$的解；
$(4)(II)$的解不一定是$(I)$的解。
其中正确的是（  ）。
$(A)(1)(4);$
$(B)(1)(2);$
$(C)(2)(3);$
$(D)(3)(4).$
 
解  当${\mathbf{A}}^n\mathbf{x}=0$时，易知${\mathbf{A}}^{n+1}\mathbf{x}=\mathbf{A}({\mathbf{A}}^n\mathbf{x})=0$，故$(I)$的解必是$(II)$的解，也即$(1)$正确，$(3)$不正确。
   当${\mathbf{A}}^{n+1}\mathbf{x}=0$时，假设${\mathbf{A}}^n\mathbf{x}\ne 0$，则有$\mathbf{x},\mathbf{A}\mathbf{x},\cdots ,{\mathbf{A}}^n\mathbf{x}$均不为零向量，可以证明这种情况下$\mathbf{x},\mathbf{A}\mathbf{x},\cdots ,{\mathbf{A}}^n\mathbf{x}$是线性无关（按定义证，依次左乘${\mathbf{A}}^n,{\mathbf{A}}^{n-1},\cdots ,\mathbf{A}$即可得证）的。由于$\mathbf{x},\mathbf{A}\mathbf{x},\cdots ,{\mathbf{A}}^n\mathbf{x}$均为$n$维向量，而$n+1$个$n$维向量必定是线性相关的，矛盾。故假设不成立，因此必有${\mathbf{A}}^n\mathbf{x}=0$。可知$(II)$的解必是$(I)$的解，故$(2)$正确，$(1)$不正确。（这道题主要利用了反证法求解）
 
6.设$\mathbf{A}$是$3\times 3$矩阵，${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$是互不相同的$3$维列向量，且都不是方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解，记$\mathbf{B}=[{\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3]$，且满足$r(\mathbf{A}\mathbf{B})<r(\mathbf{A}),r(\mathbf{A}\mathbf{B})<r(\mathbf{B})$。则$r(\mathbf{A}\mathbf{B})$等于（  ）。
$(A)0;$
$(B)1;$
$(C)2;$
$(D)3.$
 
解  已知${\mathbf{\beta }}_i(i=1,2,3)$都不是$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解，即$\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{O},r(\mathbf{A}\mathbf{B})⩾1$。又$r(\mathbf{A}\mathbf{B})<r(\mathbf{A})$，则矩阵$\mathbf{B}$不可逆（若$\mathbf{B}$可逆，则$r(\mathbf{A}\mathbf{B})=r(\mathbf{A})$，与$r(\mathbf{A}\mathbf{B})<r(\mathbf{A})$矛盾），$r(\mathbf{B})⩽2$，从而$r(\mathbf{A}\mathbf{B})<r(\mathbf{B})⩽2$，即$r(\mathbf{A}\mathbf{B})⩽1$，从而有$r(\mathbf{A}\mathbf{B})=1$。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
 
9.证明：非齐次线性方程组$(I)$有解的充要条件是齐次方程组$(II)$的任意一组解必满足方程组$(III)$，其中$(I):\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}(II):\{\begin{array}{l}{a}_{11}{y}_1+a_{12}{y}_2+\cdots +a_{1n}{y}_n=0,\\ a_{21}{y}_1+a_{22}{y}_2+\cdots +a_{2n}{y}_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{y}_1+a_{m2}{y}_2+\cdots +a_{mn}{y}_n=0,\end{array}(III):b_1{y}_1+b_2{y}_2+\cdots +b_m{y}_m=0$。
 
解  设矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n},\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^{\mathrm{T}},\mathbf{y}=[y_1,y_2,\cdots ,y_m{]}^{\mathrm{T}},\mathbf{b}=[b_1,b_2,\cdots ,b_m{]}^{\mathrm{T}}$，则方程组$(I),(II),(III)$的矩阵形式分别是$(I):\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b},(II):{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=0,(III):{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=0$。
   必要性：如果方程组$(I)$有解，则$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$两边同时转置，有${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$。
   设$y$是方程组$(II)$的任一解，则${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=0$。于是${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=({\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})\mathbf{y}={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y})={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}0=0$，所以方程组$(II)$的任一解$\mathbf{y}$满足方程组$(III)$。
   充分性：将方程组$(II)$和$(III)$联立起来，记为方程组$(IV)$，其矩阵形式为$(IV):\left[\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\mathbf{y}=0$。
   如果方程组$(II)$的任一解$y$满足方程组$(III)$，即${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=0,{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=0$，则方程组$(II),(IV)$同解。于是方程组$(II)$和$(IV)$系数矩阵的秩相等，即$r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})=r\left(\left[\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\right)$。
   由此可知，矩阵$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$的最后一行${\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}$可由${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$的$n$个行向量线性表示。不妨设$\mathbf{A}=[{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n]$，则${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{\alpha }}_n^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$，所以存在一组数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，使得$x_1{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}+x_2{\mathbf{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n^{\mathrm{T}}={\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}$，两边同时转置得$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{b}$，即$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，由此方程组$(I)$有解。（这道题主要利用了矩阵转置求解）
 
15.设$n$阶矩阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$乘积可交换，${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1}$和${\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$分别是方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$与$\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的一个基础解系，且对于$n$阶矩阵$\mathbf{C},\mathbf{D}$，满足$r(\mathbf{C}\mathbf{A}+\mathbf{D}\mathbf{B})=n$。证明：
 
（1）$r\left(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]\right)=n$且${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1},{\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$线性无关；
 
解  因为$n=r(\mathbf{C}\mathbf{A}+\mathbf{D}\mathbf{B})=r\left([\mathbf{C},\mathbf{D}]\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]\right)⩽r\left(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]\right)⩽n$，所以$r\left(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]\right)=n$。
   由$r\left(\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]\right)=n$知方程组$\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right]\mathbf{x}=0$只有零解，即$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$与$\mathbf{B}\mathbf{x}=0$无非零公共解，又${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1}$和${\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$分别为$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$与$\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的基础解系，于是${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1},{\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$线性无关。
 
（2）${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1},{\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$是方程组$\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的一个基础解系。
 
解  显然${\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{\eta }}_i=0,i=1,2,\cdots ,r_2$，又$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$，所以${\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{\xi }}_i=0,i=1,2,\cdots ,r_1$，故${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1},{\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$是方程组$\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的$r_1+r_2$个线性无关的解向量。
   又$r(\mathbf{A}\mathbf{B})⩾r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})-n=(n-r_1)+(n-r_2)-n=n-(r_1+r_2)$，所以$\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的基础解系中至多有$n-[n-(r_1+r_2)]=r_1+r_2$个解向量，从而${\mathbf{\xi }}_1,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_{r_1},{\mathbf{\eta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{r_2}$为$\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{x}=0$的一个基础解系。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
 
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