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- B组
- 6.已知线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧bx1−ax2=−2ab,−2cx2+3bx3=bc,cx1+ax3=0,则( )。
(A)当a,b,c为任意实数时,方程组均有解;
(B)当a=0时,方程组无解;
(C)当b=0时,方程组无解;
(D)当c=0时,方程组无解。 - 11.设线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+ax3=0,x1+2x2+x3=0,x1−x2+ax3=0与方程x1−2x2+3x3=1有公共解,则a=______。
- 13.设线性方程组A3×4x=b有唯一解ξ1=[1,−1,2]T,α是3维列向量,方程[A,α]x=b有特解η1=[1,−2,1,3]T,则方程组[A,α]x=b的通解是______。
- 19.设a1,a2,⋯,an是互不相同的实数,且A=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1a1a2⋮ana12a22⋮an2⋯⋯⋯a1n−1a2n−1⋮ann−1⎦⎥⎥⎥⎤,x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤,b=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1⎦⎥⎥⎥⎤,求线性方程组Ax=b的解。
- 22.已知η1=[−3,2,0]T,η2=[−1,0,−2]T,是线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax1+bx2+cx3=2,x1+2x2−x3=1,2x1+x2+x3=−4的两个解向量,求方程组的通解,并确定参数a,b,c。
- 25.已知方程组(I){x1+3x2−3x4=1,−7x2+3x3+x4=−3及方程组(II)的通解为k1[−1,1,1,0]T+k2[2,−1,0,1]T+[−2,3,0,0]T,其中k1,k2为任意常数。求方程组(I),(II)的公共解。
- C组
- 2.设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(II)An+1x=0,现有命题
(1)(I)的解必是(II)的解;
(2)(II)的解必是(I)的解;
(3)(I)的解不一定是(II)的解;
(4)(II)的解不一定是(I)的解。
其中正确的是( )。
(A)(1)(4);
(B)(1)(2);
(C)(2)(3);
(D)(3)(4). - 6.设A是3×3矩阵,β1,β2,β3是互不相同的3维列向量,且都不是方程组Ax=0的解,记B=[β1,β2,β3],且满足r(AB)<r(A),r(AB)<r(B)。则r(AB)等于( )。
(A)0;
(B)1;
(C)2;
(D)3. - 9.证明:非齐次线性方程组(I)有解的充要条件是齐次方程组(II)的任意一组解必满足方程组(III),其中(I):⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm,(II):⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11y1+a12y2+⋯+a1nyn=0,a21y1+a22y2+⋯+a2nyn=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1y1+am2y2+⋯+amnyn=0,(III):b1y1+b2y2+⋯+bmym=0。
- 15.设n阶矩阵A,B乘积可交换,ξ1,⋯,ξr1和η1,⋯,ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系,且对于n阶矩阵C,D,满足r(CA+DB)=n。证明:
- (1)r([AB])=n且ξ1,⋯,ξr1,η1,⋯,ηr2线性无关;
- (2)ξ1,⋯,ξr1,η1,⋯,ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系。
- 写在最后
B组
6.已知线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧bx1−ax2=−2ab,−2cx2+3bx3=bc,cx1+ax3=0,则( )。
(A)当a,b,c为任意实数时,方程组均有解;
(B)当a=0时,方程组无解;
(C)当b=0时,方程组无解;
(D)当c=0时,方程组无解。
解 当a=0或b=0或c=0时,方程组均有解,且系数行列式∣A∣=∣∣∣∣∣∣b0c−a−2c003ba∣∣∣∣∣∣=−5abc。
当abc=0时,由克拉默法则知,方程组有解,且当abc=0时方程组也有解,故a,b,c为任意实数时,方程组均有解。(这道题主要利用了克拉默法则求解)
11.设线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+ax3=0,x1+2x2+x3=0,x1−x2+ax3=0与方程x1−2x2+3x3=1有公共解,则a=______。
解 由题设,齐次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+ax3=0,x1+2x2+x3=0,x1−x2+ax3=0与方程x1−2x2+3x3=1有公共解,对于非齐次线性方程而言,公共解不可能为零解,因此,该齐次方程组也必有非零解,因此,方程组的系数矩阵的秩小于3,也即系数行列式为零,即∣∣∣∣∣∣11112−1a1a∣∣∣∣∣∣=2(1−a)=0,解得a=1。(这道题主要利用了矩阵的秩求解)
13.设线性方程组A3×4x=b有唯一解ξ1=[1,−1,2]T,α是3维列向量,方程[A,α]x=b有特解η1=[1,−2,1,3]T,则方程组[A,α]x=b的通解是______。
解 Ax=b有唯一解⇒r(A)=3⇒r([A,α])=3⇒r([A,α])=r([A,α∣b])=3。
方程组[A,α]x=b的通解形式为kξ+η,其中kξ是[A,α]x=0的通解,η是[A,α]x=b的特解。
已知[A,α]x=b有特解η1=[1,−2,1,3]T。另一个特解可取η2=[1,−2,2,0]T。
故[A,α]x=b有通解k(η1−η2)+η1=k[0,−1,−1,3]T+[1,−2,1,3]T或k(η1−η2)+η2=k[0,−1,−1,3]T+[1,−1,2,0]T,其中k是任意常数。(这道题主要利用了构造通解求解)
19.设a1,a2,⋯,an是互不相同的实数,且A=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1a1a2⋮ana12a22⋮an2⋯⋯⋯a1n−1a2n−1⋮ann−1⎦⎥⎥⎥⎤,x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤,b=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1⎦⎥⎥⎥⎤,求线性方程组Ax=b的解。
解 因a1,a2,⋯,an互不相同,故由范德蒙行列式知,∣A∣==0,根据克拉默法则,方程组Ax=b有唯一解,且xi=∣A∣∣Ai∣i=1,2,⋯,n,其中,∣Ai∣是b代换∣A∣中的第i列所得的行列式,有∣A1∣=∣A∣,∣Ai∣=0,i=2,3,⋯,n,故Ax=b的唯一解为x=[1,0,0,⋯,0]T。(这道题主要利用了克拉默法则求解)
22.已知η1=[−3,2,0]T,η2=[−1,0,−2]T,是线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax1+bx2+cx3=2,x1+2x2−x3=1,2x1+x2+x3=−4的两个解向量,求方程组的通解,并确定参数a,b,c。
解 对应齐次方程组有解ξ=η1−η2=[−2,2,2]T或[−1,1,1]T,故对应齐次方程组的基础解系至少有一个非零向量,故r(A)=r⎝⎛⎣⎡a12b21c−11⎦⎤⎠⎞=r([A∣b])=r⎝⎛⎣⎡a12b21c−1121−4⎦⎤⎠⎞⩽2。
又显然应有r(A)=r([A∣b])⩾2,从而r(A)=r([A∣b])=2,故方程组有通解k[−1,1,1]T+[−3,2,0]T,其中k为任意常数,将η1,η2代入第一个方程,得−3a+2b=2,−a−2c=2,解得a=−2−2c,b=−2−3c,c为任意常数,可以验证:当a=−2−2c,b=−2−3c,c任意时,r(A)=r([A∣b])=2。(这道题主要利用了矩阵的秩求解)
25.已知方程组(I){x1+3x2−3x4=1,−7x2+3x3+x4=−3及方程组(II)的通解为k1[−1,1,1,0]T+k2[2,−1,0,1]T+[−2,3,0,0]T,其中k1,k2为任意常数。求方程组(I),(II)的公共解。
解 将方程组(II)的通解k1[−1,1,1,0]T+k2[2,−1,0,1]T+[−2,3,0,0]T,代入方程组(I),得{(−2−k1+2k2)+3(−3+k1−k2)−3k2=1,−7(−3+k1−k2)+3k1+k2=−3,化简得k1=2k2+6。将上述关系式代入(II)的通解,得方程组(I),(II)的公共解为[−2−(2k2+6)+2k2,−3+2k2+6−k2,2k2+6,k2]T=[−8,k2+3,2k2+6,k2]T。(这道题主要利用了代入变量求解)
C组
2.设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(II)An+1x=0,现有命题
(1)(I)的解必是(II)的解;
(2)(II)的解必是(I)的解;
(3)(I)的解不一定是(II)的解;
(4)(II)的解不一定是(I)的解。
其中正确的是( )。
(A)(1)(4);
(B)(1)(2);
(C)(2)(3);
(D)(3)(4).
解 当Anx=0时,易知An+1x=A(Anx)=0,故(I)的解必是(II)的解,也即(1)正确,(3)不正确。
当An+1x=0时,假设Anx=0,则有x,Ax,⋯,Anx均不为零向量,可以证明这种情况下x,Ax,⋯,Anx是线性无关(按定义证,依次左乘An,An−1,⋯,A即可得证)的。由于x,Ax,⋯,Anx均为n维向量,而n+1个n维向量必定是线性相关的,矛盾。故假设不成立,因此必有Anx=0。可知(II)的解必是(I)的解,故(2)正确,(1)不正确。(这道题主要利用了反证法求解)
6.设A是3×3矩阵,β1,β2,β3是互不相同的3维列向量,且都不是方程组Ax=0的解,记B=[β1,β2,β3],且满足r(AB)<r(A),r(AB)<r(B)。则r(AB)等于( )。
(A)0;
(B)1;
(C)2;
(D)3.
解 已知βi(i=1,2,3)都不是Ax=0的解,即AB=O,r(AB)⩾1。又r(AB)<r(A),则矩阵B不可逆(若B可逆,则r(AB)=r(A),与r(AB)<r(A)矛盾),r(B)⩽2,从而r(AB)<r(B)⩽2,即r(AB)⩽1,从而有r(AB)=1。(这道题主要利用了矩阵的秩求解)
9.证明:非齐次线性方程组(I)有解的充要条件是齐次方程组(II)的任意一组解必满足方程组(III),其中(I):⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm,(II):⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11y1+a12y2+⋯+a1nyn=0,a21y1+a22y2+⋯+a2nyn=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯am1y1+am2y2+⋯+amnyn=0,(III):b1y1+b2y2+⋯+bmym=0。
解 设矩阵A=(aij)m×n,x=[x1,x2,⋯,xn]T,y=[y1,y2,⋯,ym]T,b=[b1,b2,⋯,bm]T,则方程组(I),(II),(III)的矩阵形式分别是(I):Ax=b,(II):ATy=0,(III):bTy=0。
必要性:如果方程组(I)有解,则Ax=b两边同时转置,有bT=xTAT。
设y是方程组(II)的任一解,则ATy=0。于是bTy=(xTAT)y=xT(ATy)=xT0=0,所以方程组(II)的任一解y满足方程组(III)。
充分性:将方程组(II)和(III)联立起来,记为方程组(IV),其矩阵形式为(IV):[ATbT]y=0。
如果方程组(II)的任一解y满足方程组(III),即ATy=0,bTy=0,则方程组(II),(IV)同解。于是方程组(II)和(IV)系数矩阵的秩相等,即r(AT)=r([ATbT])。
由此可知,矩阵[ATbT]的最后一行bT可由AT的n个行向量线性表示。不妨设A=[α1,α2,⋯,αn],则AT=⎣⎢⎢⎢⎡α1Tα2T⋮αnT⎦⎥⎥⎥⎤,所以存在一组数x1,x2,⋯,xn,使得x1α1T+x2α2T+⋯+xnαnT=bT,两边同时转置得x1α1+x2α2+⋯+xnαn=b,即Ax=b,由此方程组(I)有解。(这道题主要利用了矩阵转置求解)
15.设n阶矩阵A,B乘积可交换,ξ1,⋯,ξr1和η1,⋯,ηr2分别是方程组Ax=0与Bx=0的一个基础解系,且对于n阶矩阵C,D,满足r(CA+DB)=n。证明:
(1)r([AB])=n且ξ1,⋯,ξr1,η1,⋯,ηr2线性无关;
解 因为n=r(CA+DB)=r([C,D][AB])⩽r([AB])⩽n,所以r([AB])=n。
由r([AB])=n知方程组[AB]x=0只有零解,即Ax=0与Bx=0无非零公共解,又ξ1,⋯,ξr1和η1,⋯,ηr2分别为Ax=0与Bx=0的基础解系,于是ξ1,⋯,ξr1,η1,⋯,ηr2线性无关。
(2)ξ1,⋯,ξr1,η1,⋯,ηr2是方程组ABx=0的一个基础解系。
解 显然ABηi=0,i=1,2,⋯,r2,又AB=BA,所以ABξi=0,i=1,2,⋯,r1,故ξ1,⋯,ξr1,η1,⋯,ηr2是方程组ABx=0的r1+r2个线性无关的解向量。
又r(AB)⩾r(A)+r(B)−n=(n−r1)+(n−r2)−n=n−(r1+r2),所以ABx=0的基础解系中至多有n−[n−(r1+r2)]=r1+r2个解向量,从而ξ1,⋯,ξr1,η1,⋯,ηr2为ABx=0的一个基础解系。(这道题主要利用了矩阵的秩求解)
写在最后
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