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$B$组
6.已知线性方程组$\begin{cases}bx_1-ax_2=-2ab,\\-2cx_2+3bx_3=bc,\\cx_1+ax_3=0,\end{cases}$则（  ）。
$(A)$当$a,b,c$为任意实数时，方程组均有解；
$(B)$当$a=0$时，方程组无解；
$(C)$当$b=0$时，方程组无解；
$(D)$当$c=0$时，方程组无解。
11.设线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+ax_3=0,\\x_1+2x_2+x_3=0,\\x_1-x_2+ax_3=0\end{cases}$与方程$x_1-2x_2+3x_3=1$有公共解，则$a=$______。
13.设线性方程组$\bm{A}_{3\times4}\bm{x}=\bm{b}$有唯一解$\bm{\xi}_1=[1,-1,2]^\mathrm{T}$，$\bm{\alpha}$是$3$维列向量，方程$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$有特解$\bm{\eta}_1=[1,-2,1,3]^\mathrm{T}$，则方程组$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$的通解是______。
19.设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是互不相同的实数，且$\bm{A}=\begin{bmatrix}1&a_1&a^2_1&\cdots&a_1^{n-1}\\1&a_2&a^2_2&\cdots&a_2^{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&a_n&a^2_n&\cdots&a_n^{n-1}\end{bmatrix},\bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\bm{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}$，求线性方程组$\bm{Ax}=\bm{b}$的解。
22.已知$\bm{\eta}_1=[-3,2,0]^\mathrm{T},\bm{\eta}_2=[-1,0,-2]^\mathrm{T}$，是线性方程组$\begin{cases}ax_1+bx_2+cx_3=2,\\x_1+2x_2-x_3=1,\\2x_1+x_2+x_3=-4\end{cases}$的两个解向量，求方程组的通解，并确定参数$a,b,c$。
25.已知方程组$(I)\begin{cases}x_1+3x_2-3x_4=1,\\-7x_2+3x_3+x_4=-3\end{cases}$及方程组$(II)$的通解为$k_1[-1,1,1,0]^\mathrm{T}+k_2[2,-1,0,1]^\mathrm{T}+[-2,3,0,0]^\mathrm{T}$，其中$k_1,k_2$为任意常数。求方程组$(I),(II)$的公共解。
$C$组
2.设$\bm{A}$是$n$阶矩阵，对于齐次线性方程组$(I)\bm{A}^n\bm{x}=\bm{0}$和$(II)\bm{A}^{n+1}\bm{x}=\bm{0}$，现有命题
$(1)(I)$的解必是$(II)$的解；
$(2)(II)$的解必是$(I)$的解；
$(3)(I)$的解不一定是$(II)$的解；
$(4)(II)$的解不一定是$(I)$的解。
其中正确的是（  ）。
$(A)(1)(4);$
$(B)(1)(2);$
$(C)(2)(3);$
$(D)(3)(4).$
6.设$\bm{A}$是$3\times3$矩阵，$\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3$是互不相同的$3$维列向量，且都不是方程组$\bm{Ax}=\bm{0}$的解，记$\bm{B}=[\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3]$，且满足$r(\bm{AB})<r(\bm{A}),r(\bm{AB})<r(\bm{B})$。则$r(\bm{AB})$等于（  ）。
$(A)0;$
$(B)1;$
$(C)2;$
$(D)3.$
9.证明：非齐次线性方程组$(I)$有解的充要条件是齐次方程组$(II)$的任意一组解必满足方程组$(III)$，其中$(I):\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\end{cases}(II):\begin{cases}a_{11}y_1+a_{12}y_2+\cdots+a_{1n}y_n=0,\\a_{21}y_1+a_{22}y_2+\cdots+a_{2n}y_n=0,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}y_1+a_{m2}y_2+\cdots+a_{mn}y_n=0,\end{cases}(III):b_1y_1+b_2y_2+\cdots+b_my_m=0$。
15.设$n$阶矩阵$\bm{A},\bm{B}$乘积可交换，$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1}$和$\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$分别是方程组$\bm{Ax}=\bm{0}$与$\bm{Bx}=\bm{0}$的一个基础解系，且对于$n$阶矩阵$\bm{C},\bm{D}$，满足$r(\bm{CA}+\bm{DB})=n$。证明：
（1）$r\left(\begin{bmatrix}\bm{A}\\\bm{B}\end{bmatrix}\right)=n$且$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1},\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$线性无关；
（2）$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1},\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$是方程组$\bm{ABx}=\bm{0}$的一个基础解系。
写在最后

$B$组
6.已知线性方程组$\begin{cases}bx_1-ax_2=-2ab,\\-2cx_2+3bx_3=bc,\\cx_1+ax_3=0,\end{cases}$则（  ）。
$(A)$当$a,b,c$为任意实数时，方程组均有解；
$(B)$当$a=0$时，方程组无解；
$(C)$当$b=0$时，方程组无解；
$(D)$当$c=0$时，方程组无解。
解  当$a=0$或$b=0$或$c=0$时，方程组均有解，且系数行列式$|\bm{A}|=\begin{vmatrix}b&-a&0\\0&-2c&3b\\c&0&a\end{vmatrix}=-5abc$。

  当$abc\ne0$时，由克拉默法则知，方程组有解，且当$abc=0$时方程组也有解，故$a,b,c$为任意实数时，方程组均有解。（这道题主要利用了克拉默法则求解）
11.设线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+ax_3=0,\\x_1+2x_2+x_3=0,\\x_1-x_2+ax_3=0\end{cases}$与方程$x_1-2x_2+3x_3=1$有公共解，则$a=$______。
解  由题设，齐次方程组$\begin{cases}x_1+x_2+ax_3=0,\\x_1+2x_2+x_3=0,\\x_1-x_2+ax_3=0\end{cases}$与方程$x_1-2x_2+3x_3=1$有公共解，对于非齐次线性方程而言，公共解不可能为零解，因此，该齐次方程组也必有非零解，因此，方程组的系数矩阵的秩小于$3$，也即系数行列式为零，即$\begin{vmatrix}1&1&a\\1&2&1\\1&-1&a\end{vmatrix}=2(1-a)=0$，解得$a=1$。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
13.设线性方程组$\bm{A}_{3\times4}\bm{x}=\bm{b}$有唯一解$\bm{\xi}_1=[1,-1,2]^\mathrm{T}$，$\bm{\alpha}$是$3$维列向量，方程$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$有特解$\bm{\eta}_1=[1,-2,1,3]^\mathrm{T}$，则方程组$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$的通解是______。
解  $\bm{Ax}=\bm{b}$有唯一解$\Rightarrow r(\bm{A})=3\Rightarrow r([\bm{A},\bm{\alpha}])=3\Rightarrow r([\bm{A},\bm{\alpha}])=r([\bm{A},\bm{\alpha}|\bm{b}])=3$。

  方程组$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$的通解形式为$k\bm{\xi}+\bm{\eta}$，其中$k\bm{\xi}$是$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{0}$的通解，$\bm{\eta}$是$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$的特解。

  已知$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$有特解$\bm{\eta}_1=[1,-2,1,3]^\mathrm{T}$。另一个特解可取$\bm{\eta}_2=[1,-2,2,0]^\mathrm{T}$。

  故$[\bm{A},\bm{\alpha}]\bm{x}=\bm{b}$有通解$k(\bm{\eta}_1-\bm{\eta}_2)+\bm{\eta}_1=k[0,-1,-1,3]^\mathrm{T}+[1,-2,1,3]^\mathrm{T}$或$k(\bm{\eta}_1-\bm{\eta}_2)+\bm{\eta}_2=k[0,-1,-1,3]^\mathrm{T}+[1,-1,2,0]^\mathrm{T}$，其中$k$是任意常数。（这道题主要利用了构造通解求解）
19.设$a_1,a_2,\cdots,a_n$是互不相同的实数，且$\bm{A}=\begin{bmatrix}1&a_1&a^2_1&\cdots&a_1^{n-1}\\1&a_2&a^2_2&\cdots&a_2^{n-1}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&a_n&a^2_n&\cdots&a_n^{n-1}\end{bmatrix},\bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix},\bm{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}$，求线性方程组$\bm{Ax}=\bm{b}$的解。
解  因$a_1,a_2,\cdots,a_n$互不相同，故由范德蒙行列式知，$|\bm{A}|=\ne0$，根据克拉默法则，方程组$\bm{Ax}=\bm{b}$有唯一解，且$x_i=\cfrac{|\bm{A}_i|}{|\bm{A}|}i=1,2,\cdots,n$，其中，$|\bm{A}_i|$是$\bm{b}$代换$|\bm{A}|$中的第$i$列所得的行列式，有$|\bm{A}_1|=|\bm{A}|,|\bm{A}_i|=0,i=2,3,\cdots,n$，故$\bm{Ax}=\bm{b}$的唯一解为$\bm{x}=[1,0,0,\cdots,0]^\mathrm{T}$。（这道题主要利用了克拉默法则求解）
22.已知$\bm{\eta}_1=[-3,2,0]^\mathrm{T},\bm{\eta}_2=[-1,0,-2]^\mathrm{T}$，是线性方程组$\begin{cases}ax_1+bx_2+cx_3=2,\\x_1+2x_2-x_3=1,\\2x_1+x_2+x_3=-4\end{cases}$的两个解向量，求方程组的通解，并确定参数$a,b,c$。
解  对应齐次方程组有解$\bm{\xi}=\bm{\eta}_1-\bm{\eta}_2=[-2,2,2]^\mathrm{T}$或$[-1,1,1]^\mathrm{T}$，故对应齐次方程组的基础解系至少有一个非零向量，故$r(\bm{A})=r\left(\begin{bmatrix}a&b&c\\1&2&-1\\2&1&1\end{bmatrix}\right)=r([\bm{A}|\bm{b}])=r\left(\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}a&b&c\\1&2&-1\\2&1&1\end{matrix}&\begin{matrix}2\\1\\-4\end{matrix}\end{array}\right]\right)\leqslant2$。

  又显然应有$r(\bm{A})=r([\bm{A}|\bm{b}])\geqslant2$，从而$r(\bm{A})=r([\bm{A}|\bm{b}])=2$，故方程组有通解$k[-1,1,1]^\mathrm{T}+[-3,2,0]^\mathrm{T}$，其中$k$为任意常数，将$\bm{\eta}_1,\bm{\eta}_2$代入第一个方程，得$-3a+2b=2,-a-2c=2$，解得$a=-2-2c,b=-2-3c$，$c$为任意常数，可以验证：当$a=-2-2c,b=-2-3c,c$任意时，$r(\bm{A})=r([\bm{A}|\bm{b}])=2$。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
25.已知方程组$(I)\begin{cases}x_1+3x_2-3x_4=1,\\-7x_2+3x_3+x_4=-3\end{cases}$及方程组$(II)$的通解为$k_1[-1,1,1,0]^\mathrm{T}+k_2[2,-1,0,1]^\mathrm{T}+[-2,3,0,0]^\mathrm{T}$，其中$k_1,k_2$为任意常数。求方程组$(I),(II)$的公共解。
解  将方程组$(II)$的通解$k_1[-1,1,1,0]^\mathrm{T}+k_2[2,-1,0,1]^\mathrm{T}+[-2,3,0,0]^\mathrm{T}$，代入方程组$(I)$，得$\begin{cases}(-2-k_1+2k_2)+3(-3+k_1-k_2)-3k_2=1,\\-7(-3+k_1-k_2)+3k_1+k_2=-3,\end{cases}$化简得$k_1=2k_2+6$。将上述关系式代入$(II)$的通解，得方程组$(I),(II)$的公共解为$[-2-(2k_2+6)+2k_2,-3+2k_2+6-k_2,2k_2+6,k_2]^\mathrm{T}=[-8,k_2+3,2k_2+6,k_2]^\mathrm{T}$。（这道题主要利用了代入变量求解）
$C$组
2.设$\bm{A}$是$n$阶矩阵，对于齐次线性方程组$(I)\bm{A}^n\bm{x}=\bm{0}$和$(II)\bm{A}^{n+1}\bm{x}=\bm{0}$，现有命题
$(1)(I)$的解必是$(II)$的解；
$(2)(II)$的解必是$(I)$的解；
$(3)(I)$的解不一定是$(II)$的解；
$(4)(II)$的解不一定是$(I)$的解。
其中正确的是（  ）。
$(A)(1)(4);$
$(B)(1)(2);$
$(C)(2)(3);$
$(D)(3)(4).$
解  当$\bm{A}^n\bm{x}=\bm{0}$时，易知$\bm{A}^{n+1}\bm{x}=\bm{A}(\bm{A}^n\bm{x})=\bm{0}$，故$(I)$的解必是$(II)$的解，也即$(1)$正确，$(3)$不正确。

  当$\bm{A}^{n+1}\bm{x}=\bm{0}$时，假设$\bm{A}^n\bm{x}\ne\bm{0}$，则有$\bm{x},\bm{Ax},\cdots,\bm{A}^n\bm{x}$均不为零向量，可以证明这种情况下$\bm{x},\bm{Ax},\cdots,\bm{A}^n\bm{x}$是线性无关（按定义证，依次左乘$\bm{A}^n,\bm{A}^{n-1},\cdots,\bm{A}$即可得证）的。由于$\bm{x},\bm{Ax},\cdots,\bm{A}^n\bm{x}$均为$n$维向量，而$n+1$个$n$维向量必定是线性相关的，矛盾。故假设不成立，因此必有$\bm{A}^n\bm{x}=\bm{0}$。可知$(II)$的解必是$(I)$的解，故$(2)$正确，$(1)$不正确。（这道题主要利用了反证法求解）
6.设$\bm{A}$是$3\times3$矩阵，$\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3$是互不相同的$3$维列向量，且都不是方程组$\bm{Ax}=\bm{0}$的解，记$\bm{B}=[\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\bm{\beta}_3]$，且满足$r(\bm{AB})<r(\bm{A}),r(\bm{AB})<r(\bm{B})$。则$r(\bm{AB})$等于（  ）。
$(A)0;$
$(B)1;$
$(C)2;$
$(D)3.$
解  已知$\bm{\beta}_i(i=1,2,3)$都不是$\bm{Ax}=\bm{0}$的解，即$\bm{AB}\ne\bm{O},r(\bm{AB})\geqslant1$。又$r(\bm{AB})<r(\bm{A})$，则矩阵$\bm{B}$不可逆（若$\bm{B}$可逆，则$r(\bm{AB})=r(\bm{A})$，与$r(\bm{AB})<r(\bm{A})$矛盾），$r(\bm{B})\leqslant2$，从而$r(\bm{AB})<r(\bm{B})\leqslant2$，即$r(\bm{AB})\leqslant1$，从而有$r(\bm{AB})=1$。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
9.证明：非齐次线性方程组$(I)$有解的充要条件是齐次方程组$(II)$的任意一组解必满足方程组$(III)$，其中$(I):\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\end{cases}(II):\begin{cases}a_{11}y_1+a_{12}y_2+\cdots+a_{1n}y_n=0,\\a_{21}y_1+a_{22}y_2+\cdots+a_{2n}y_n=0,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{m1}y_1+a_{m2}y_2+\cdots+a_{mn}y_n=0,\end{cases}(III):b_1y_1+b_2y_2+\cdots+b_my_m=0$。
解  设矩阵$\bm{A}=(a_{ij})_{m\times n},\bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^\mathrm{T},\bm{y}=[y_1,y_2,\cdots,y_m]^\mathrm{T},\bm{b}=[b_1,b_2,\cdots,b_m]^\mathrm{T}$，则方程组$(I),(II),(III)$的矩阵形式分别是$(I):\bm{Ax}=\bm{b},(II):\bm{A}^\mathrm{T}\bm{y}=\bm{0},(III):\bm{b}^\mathrm{T}\bm{y}=0$。

  必要性：如果方程组$(I)$有解，则$\bm{Ax}=\bm{b}$两边同时转置，有$\bm{b}^\mathrm{T}=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{A}^\mathrm{T}$。

  设$y$是方程组$(II)$的任一解，则$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{y}=\bm{0}$。于是$\bm{b}^\mathrm{T}\bm{y}=(\bm{x}^\mathrm{T}\bm{A}^\mathrm{T})\bm{y}=\bm{x}^\mathrm{T}(\bm{A}^\mathrm{T}\bm{y})=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{0}=0$，所以方程组$(II)$的任一解$\bm{y}$满足方程组$(III)$。

  充分性：将方程组$(II)$和$(III)$联立起来，记为方程组$(IV)$，其矩阵形式为$(IV):\begin{bmatrix}\bm{A}^\mathrm{T}\\\bm{b}^\mathrm{T}\end{bmatrix}\bm{y}=\bm{0}$。

  如果方程组$(II)$的任一解$y$满足方程组$(III)$，即$\bm{A}^\mathrm{T}\bm{y}=\bm{0},\bm{b}^\mathrm{T}\bm{y}=0$，则方程组$(II),(IV)$同解。于是方程组$(II)$和$(IV)$系数矩阵的秩相等，即$r(\bm{A}^\mathrm{T})=r\left(\begin{bmatrix}\bm{A}^\mathrm{T}\\\bm{b}^\mathrm{T}\end{bmatrix}\right)$。

  由此可知，矩阵$\begin{bmatrix}\bm{A}^\mathrm{T}\\\bm{b}^\mathrm{T}\end{bmatrix}$的最后一行$\bm{b}^\mathrm{T}$可由$\bm{A}^\mathrm{T}$的$n$个行向量线性表示。不妨设$\bm{A}=[\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_n]$，则$\bm{A}^\mathrm{T}=\begin{bmatrix}\bm{\alpha}_1^\mathrm{T}\\\bm{\alpha}_2^\mathrm{T}\\\vdots\\\bm{\alpha}_n^\mathrm{T}\end{bmatrix}$，所以存在一组数$x_1,x_2,\cdots,x_n$，使得$x_1\bm{\alpha}_1^\mathrm{T}+x_2\bm{\alpha}_2^\mathrm{T}+\cdots+x_n\bm{\alpha}_n^\mathrm{T}=\bm{b}^\mathrm{T}$，两边同时转置得$x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+\cdots+x_n\bm{\alpha}_n=\bm{b}$，即$\bm{Ax}=\bm{b}$，由此方程组$(I)$有解。（这道题主要利用了矩阵转置求解）
15.设$n$阶矩阵$\bm{A},\bm{B}$乘积可交换，$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1}$和$\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$分别是方程组$\bm{Ax}=\bm{0}$与$\bm{Bx}=\bm{0}$的一个基础解系，且对于$n$阶矩阵$\bm{C},\bm{D}$，满足$r(\bm{CA}+\bm{DB})=n$。证明：
（1）$r\left(\begin{bmatrix}\bm{A}\\\bm{B}\end{bmatrix}\right)=n$且$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1},\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$线性无关；
解  因为$n=r(\bm{CA}+\bm{DB})=r\left([\bm{C},\bm{D}]\begin{bmatrix}\bm{A}\\\bm{B}\end{bmatrix}\right)\leqslant r\left(\begin{bmatrix}\bm{A}\\\bm{B}\end{bmatrix}\right)\leqslant n$，所以$r\left(\begin{bmatrix}\bm{A}\\\bm{B}\end{bmatrix}\right)=n$。

  由$r\left(\begin{bmatrix}\bm{A}\\\bm{B}\end{bmatrix}\right)=n$知方程组$\begin{bmatrix}\bm{A}\\\bm{B}\end{bmatrix}\bm{x}=\bm{0}$只有零解，即$\bm{Ax}=\bm{0}$与$\bm{Bx}=\bm{0}$无非零公共解，又$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1}$和$\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$分别为$\bm{Ax}=\bm{0}$与$\bm{Bx}=\bm{0}$的基础解系，于是$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1},\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$线性无关。
（2）$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1},\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$是方程组$\bm{ABx}=\bm{0}$的一个基础解系。
解  显然$\bm{AB\eta}_i=\bm{0},i=1,2,\cdots,r_2$，又$\bm{AB}=\bm{BA}$，所以$\bm{AB\xi}_i=\bm{0},i=1,2,\cdots,r_1$，故$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1},\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$是方程组$\bm{ABx}=\bm{0}$的$r_1+r_2$个线性无关的解向量。

  又$r(\bm{AB})\geqslant r(\bm{A})+r(\bm{B})-n=(n-r_1)+(n-r_2)-n=n-(r_1+r_2)$，所以$\bm{ABx}=\bm{0}$的基础解系中至多有$n-[n-(r_1+r_2)]=r_1+r_2$个解向量，从而$\bm{\xi}_1,\cdots,\bm{\xi}_{r_1},\bm{\eta}_1,\cdots,\bm{\eta}_{r_2}$为$\bm{ABx}=\bm{0}$的一个基础解系。（这道题主要利用了矩阵的秩求解）
写在最后
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为了迎合各初中朋友的需求，我自己出了比较经典的一些代数题。这些题目可以帮助初中生们巩固基础并拓展思维。题目是由知识点排序，并尽量做到基础题和难题结合。其中有的题目可能已经到高中甚至竞赛的难度。作为一个大学生，我认为很多知识会对将来有更大的帮助。有的思想会在高中和大学一直出现，而这些思想是初中生就能够理解的. 这些题目知识点设计：证明，绝对值，方程，分式，函数，不等式，概率，以及最后的拓展导数. 基本涵盖了初中所有的代数知识点.

用法：

1.对于初一或者初二的学生，应当自己尝试和挑战这些题目。由于题目按知识进度分类，应当和课内进度保持一致。很多题目需要长时间思考，初一和初二的学生正好时间比较充裕可以独立思考解决锻炼思维。

2.对于初三准备中考的学生，可以当作查漏补缺并挑战难题。如有不会做的题目在时间不充裕的时候可以直接联系作者得到提示和答案。
由于时间有限，本人无法写出所有解答。所以需要各位一起合作完成解答制作。如果您有成功解决的题目并愿意分享解答，请联系文档中的邮箱或qq，并附上您想在解答中出现的名字。直接手写拍照也可以。如果解答正确将会直接附在本文下方。谢谢！

题目文档地址: 初中代数练习合集

完整题目:

内容小结 

$矩阵的初等变换与线性方程组\left \{ \begin{array}{l} 3.1 矩阵的初等变换  \\ 3.2矩阵的秩 \\ 3.3线性方程组的解 \\ 3.4初等方阵 \end{array} \right.$

3.1 矩阵的初等变换 

$\left \{ \begin{array}{l} 概念 \left \{ \begin{array}{l} 1.对换矩阵的i.j两行(列) \\ 2.用k\neq0乘矩阵的第i行(列) \\ 3.把某i行(列)的k倍加到另一行(列)的对应元素上去 \end{array} \right. \\ 性质 \left \{ \begin{array}{l} 1.初等变换不改变矩阵的秩 \\ 2.对A经过有限次初等变换得到B,则A等价B \end{array} \right. \\ 用途 \left \{ \begin{array}{l} 1.求逆(A | E) \stackrel{行变换}{\sim} ( E | A^{-1}) \quad \left( \left. \begin{array}{l} A \\ E \end{array} \right. \right) \stackrel{列变换}{\sim} \left( \left. \begin{array}{l} E \\ A^{-1} \end{array} \right. \right) \\ 2.求矩阵A的秩、最简形、标准形 \end{array} \right. \end{array} \right.$

3.2矩阵的秩 

$\left \{ \begin{array}{l} 概念 \left \{ \begin{array}{l} k阶子式 \\ 秩:矩阵非零子式的最高阶数 \end{array} \right. \\ 性质 \left \{ \begin{array}{l} 零矩阵的秩为零. \\ R(A) = R(A^T) \\ 若B可逆,则R(AB) = R(A) \\ R(A + B) \leq R(A) + R(B) \\ R(AB) \leq min\lbrace(R(A), R(B) \rbrace \\ R(AB) \geq R(A) + R(B) - n \\ 若AB = 0,则R(A) + R(B) \leq n \end{array} \right. \end{array} \right.$

3.3线性方程组的解 

$\left \{ \begin{array}{l} Ax = 0 \left \{ \begin{array}{l} Ax = 0:有非零解 \leftrightarrow R(A) < n \\ 求解 \left \{ \begin{array}{l} 1.化系数矩阵为最简形 \\ 2.找到等价方程组 \\ 3.写通解 \end{array} \right. \end{array} \right. \\ Ax = b \left \{ \begin{array}{l} Ax = b有解 \leftrightarrow R(A) = R(B) \\ 求解 \left \{ \begin{array}{l} 1.把增广矩阵B化为最简形 \\ 2.找到等价方程组 \\ 3.写通解 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right.$

$Ax = 0解的结构$ 

$Ax = 0有唯一零解 \Longleftrightarrow R(A) = r = n$ 

$Ax = 0有无穷多个非零解 \Longleftrightarrow R(A) = r < n$ 

$其通解可表为: \\  
x = k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} \\  
其中\xi_1,\xi_2, \cdots, \xi_{n-r}为方程组的基础解系.$

$Ax = b解的结构$ 

$Ax = b无解 \Longleftrightarrow R(A) \neq R(B)$ 

$Ax = b有解 \Longleftrightarrow R(A) =R(B) = r$ 

$1)当r = n时,方程组有唯一解. \\  
2)当r < n时,方程组有无穷多解.且其通解可表为:\\  
x = k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r} + \eta^{*} \\  
其中\xi_1,\xi_2, \cdots, \xi_{n-r}为方程组的基础解系. \\  
\eta^{*}为方程组的一个特解.$

3.4初等方阵 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 概念{对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵三种初等变换对应三种初等方阵 性质⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 初等方阵都是可逆矩阵,其逆仍然是同种初等矩阵.对A m×n 矩阵实施一次行初等变换,相当于对A左乘一个