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  • 代数是什么?

    2019-10-03 13:55:13
    给定一个集合元素,在上面定义结合运算,我们称这种结构叫一个代数体系,简称代数。 “代数”义为用符号代替数,本质上一个抽象过程:从具体、确定数到抽象、未定数。这第一步抽象。当我们把注意力...

    研究包含未知变量的表达式的运算规则和过程的数学。

     

    给定一个集合的元素,在上面定义结合运算,我们称这种结构叫一个代数体系,简称代数。

     

    “代数”义为用符号代替数,本质上是一个抽象过程:从具体的、确定的数到抽象的、未定的数。这是第一步抽象。当我们把注意力集中于所研究对象的运算和运算律,而忽略所代之“数”的具体类别时,完成了进一步的抽象

     

    既然如此,运算对象具体是什么已经不重要了。重要的是能对它做什么运算,以及这些运算遵循什么运算律。

    这时,代数所代之就不是狭义的数,而是具有某些运算并满足某些运算律的一些对象了

     

    https://www.zhihu.com/question/50576405?sort=created

     

     

    1+2叫做算术;

    a+b叫做代数;

    f(a)⊙f(b)叫做高等代数。

    不确定也不需确定的因素越来越多,解决力却越来越强。

    代数,无数胜有数,无招胜有招,无可破,故无所不破(当然是一种理想啦),问你怕未?

     

    https://www.zhihu.com/question/50576405?sort=created

     

    代数最早是一个消元的技巧,后来发展成了研究多项式根的学科。而在群被发明以后,代数就变成了在集合上做运算。universal algebra研究的代数是带有各种运算的集合。这些运算的数量可以是无穷的,也不一定要符合什么交换律结合律。

     

    https://www.zhihu.com/question/50576405?sort=created

     

    代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程(组)的通用解法及其性质的数学分支。

     

    由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。

     

     

    代数式概念的形式与发展经历了一个漫长的历史发展过程,13世纪,斐波那契(Fibonacci,L.)就开始采用字母表示运算对象,但尚未使用运算符号,韦达(Viete,F.)于 1584-1589年间,引入数学符号系统,使代数成为关于方程的理论,因而人们普遍认为他是代数式的创始人,笛卡儿(Descartes,R.)对韦达的字母用法作了改进,用拉丁字母表中前面的字母 a,b,c,... 表示已知数,用末尾的一些字母 x,y,z,... 表示未知数,莱布尼茨(Leibniz,G,W.)对各种符号记法进行了系统研究,发展并完善了代数式的表示方法。 [1]

    转载于:https://www.cnblogs.com/feng9exe/p/10615717.html

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  • 什么是代数

    2017-12-25 19:10:00
    首先,给出通用的李代数的定义。  李代数由一个集合V,一个数域F和一个二元运算[]组成。如果它们满足以下几条性质,称(V,F,[])为一个李代数,记作g。 封闭性∀X,Y∈V,[XY]∈V 双线性∀X,Y,Z∈V,a,b∈F, [aX+...

     对于SO(3)SE(3),李代数可定义于李群的正切空间上,描述了李群中元素局部性质,分别把它们记作小写的so(3)se(3)。首先,给出通用的李代数的定义。

      李代数由一个集合V,一个数域F和一个二元运算[]组成。如果它们满足以下几条性质,称(V,F,[])为一个李代数,记作g。

    • 封闭性 X,YV,[XY]V
    • 双线性 X,Y,ZV,a,bF,
      [aX+bY,Z]=a[XZ]+b[YZ]      [Z,aX+bY]=a[ZX]+b[ZY]
       
    • 自反性 XV,[XX]=0
    • 雅可比等价 X,Y,ZV,[X,[YZ]]+[Z,[YX]]+[Y,[ZX]]

      从表面上来看,李代数所需要的性质还是挺多的。其中二元运算被称为李括号。相比于群中的较为简单的二元运算,李括号表达了两个集合元素的差异。它不要求结合律,而满足反对称性,以及元素和自己做李括号之后为零的性质。作为类比,三维向量R3上定义的叉积×是一种李括号,因此g=(R3,R,×)构成了一个李代数。

    三维旋转群与对应的李代数
      SO(3)对应的李代数是定义在R3上的向量,我们记作ϕ。根据前面的推导,每个ϕ都可以生成一个反对称矩阵:

     

      在此定义下,两个向量ϕ1,ϕ2的李括号为:[ϕ1,ϕ2]=Φ1Φ2Φ2Φ1

         由于ϕ 与反对称矩阵关系很紧密,在不引起歧义的情况下,就说so(3)的元素是3维向量或者3维反对称矩阵,不加区别:

    so(3)={Φ=ϕR3×3|ϕR3}

      至此,我们已清楚了so(3)so(3)的结构。它们是一个由三维向量组成的集合,每个向量对应到一个反对称矩阵,可以表达旋转矩阵的导数。

    转载于:https://www.cnblogs.com/wongyi/p/8110794.html

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  • 01-向量究竟是什么? 物理观点 向量是空间中一个有向箭头 决定这个向量是它长度和所指方向 因为长度+方向唯一地确定一个向量,因此物理学观点中描述向量是自由向量,可以自由平移一个向量且保持该...

    01-向量究竟是什么?


    物理观点

    • 向量是空间中的一个有向箭头
    • 决定这个向量的是它的长度和所指的方向
    • 因为长度+方向唯一地确定一个向量,因此物理学的观点中描述的向量是自由向量,可以自由平移一个向量且保持该向量不变。

    CS观点

    • 向量是有序的数字列表
    • 在实际问题中我们往往会使用一串数字对问题进行描述和建模,且数字之间是严格有序的
    • 向量其实就是列表的另一种表达,且向量的维度就是列表的长度

    数学家观点

    • 向量可以是任何事物,只要两个被定义为向量的事物的加法与数乘运算有意义。

    线性代数对向量的抽象

    • 每次讲述到向量及其相关概念时,先预想一个在坐标系中经过原点的带箭头的线段
    • 有序列表——设想一个坐标系,原点则是所有向量的凝聚的核心,向量坐标就是有序列表,它是用来指导如何从原点到达箭头所在坐标点

    向量的加法运算

    在这里插入图片描述
    向量加法运算——“首尾相接,首尾连”这是在线性代数中唯一出现的可以让向量离开原点的情形。
    理解:把每个向量都看做是一种特定的运动,即在空间中朝着某个方向迈出一定距离在这里插入图片描述
    某一个点先沿着向量1运动,之后再沿着向量2运动,其效果和该点从初始位置沿着向量1与2的和运动没有差异。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    向量的数乘运算

    • 向量的数乘运算就相当于对向量进行放缩
      运算方式即对每一个分量分别乘上缩放系数

    视频:https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=2

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  • 向量的定义 从物理专业学生的视角看: 向量空间中的箭头 决定一个向量的:它的长度和它所指的方向 从计算机专业学生的视角看: 向量有序的数字列表 向量不过“列表”一个花哨的说法 向量的维度等于“列表”...

    引入一些数作为坐标是一种鲁莽的行为 ——赫尔曼·外尔
    The introduction of numbers as coordinates is an act of violence - Hermann Weyl

    向量的定义

    • 从物理专业学生的视角看:
      向量是空间中的箭头
      决定一个向量的是:它的长度和它所指的方向
    • 从计算机专业学生的视角看:
      向量是有序的数字列表
      向量不过是“列表”一个花哨的说法
      向量的维度等于“列表”的长度
    • 从数学专业学生的视角看:
      向量可以是任何东西,只需要保证:两个向量相加及数字与向量相乘是有意义的即可
      向量加法和向量乘法贯穿线性代数始终
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    向量的加法和数乘

    • 向量加法

    在这里插入图片描述
    这个向量加法的定义差不多是线性代数唯一允许向量离开原点的情形。
    why?
    把每个向量看作一种特定的运动,即在空间中朝着某个方向迈出一定距离。如果你先沿着第一个向量运动,然后再按照第二个向量所描述的运动方式运动,总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异。
    矩阵的加法就是对应元素相加。

    • 向量乘法:
      缩放 Scaling 向量与标量相乘就是将向量中的每个分量与标量相乘。
      标量==数字
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  • 1 概述与定义1.1 内积空间概述内积空间线性代数理论中重要组成部分,而想要理解它,最好先问自己两个问题:一我们为什么需要这个东西(即引入内积空间motivation);二内积空间能为我们带来什么(即关注其...
  • (9)、 在 中定义内积为 @跟锦数学微信公众号若 , 则 . 曲阜师范大学2005参考解答(5)、 设 维欧氏空间 一组标准正交基, 若 , 且 , . 则 长度为 .A. B. C. 曲阜师范大学2005参考解答(8)、 设 维欧氏空间 ...
  • 因此,决定写一个线性代数的系列,来记录自己重读线性代数的过程,与同道中人共勉。 既然我们谈到线性代数,那么什么是线性代数呢? 一句话:线性代数关于有限维向量空间中线性映射的学科。 上面的定义有两个...
  • 《领域驱动设计15年》第8章作者:Scott Wlaschin[1]译者:封小武校审:覃宇、伍斌4. 用代数数据类型来建模万事俱备,现在我们可以...描述中有三种不同特定于领域基本类型,我们先定义三种类型:type OrderId ...
  • 从局部到整体研究代数结构常用方法。通常用等价关系将一个集合分成一些不相交子集和并集。群可以通过陪集关系,把一个群G分解成一些子集合并集,并且这些子集合互不相交。从而可以从局部到整体地研究群...
  • 1. 矩阵的k阶子式 2. 若矩阵的某个低阶子式全为零,则其更高阶的子式也全为零(用反证法证明) ...3. 矩阵的秩的定义(满秩矩阵、...备注:找了一圈,发现Excel中似乎没有提供求解矩阵的秩的函数,不知是什么原...
  • 上一篇文章中,我们介绍了线性代数的基本概念,熟悉了行列式的基本定义及其性质,还了解了线性方程组的解的结构。这次我们按照约定来讲讲线性相关性和矩阵吧~线性相关决定矩阵的秩、是否可逆、映像和内核维度等等,...
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  • 事实上,大部分人的问题不是在于第一次看行列式看不懂或不理解它的定义,而是学完了整本线性代数之后不知道行列式的作用和本质啥:多数教材认为我们中的绝大多数人在毕业之后 对线性代数知识的最多的使用仅仅用....
  • 这门课的重要性不言而言,它是解释线性代数的来源以及它可以怎么用的重点,而在学校里面,我们只能够学到它的定义和计算方式。 1 向量是什么? 1.1问题 向量是什么? 学物理的说是空间的一个箭头,学计算机的...
  • 1. 线性代数的两种认知 数值层面,这大部分课程中的教学内容,能解决计算、应用问题。但却不是最本质的内容,它在给定法则下的运算。 几何层面。这个角度的线性代数可能更为接近本质,能帮助我们更好的认识...
  • 数据库关系代数 关系代数符号整体把握 下面来分点看看常见关系代数及运用 1. 并运算,交运算,差运算 这个应该很简单,直接上图吧,...下面关于对笛卡尔积运算简单定义(如果嫌定义,直接看图) ( 数据中一
  • 在学习机器学习知识的时候,我们会进行...线性代数的第一个作用就是能够将具体事物抽象为数学对象。其实对于线性代数来说,我们可以对它做一个简单的定义。所谓线性代数是什么?就是数量和结构的一个组合,也就是说...
  • 从哪来,为什么这样定义,也许你觉得很突兀,如果你愿意接受它,对于理解叉积来说会很方便。一切始于这个函数,首先这个函数线性,所以我们可以用对偶性思想来思考这个问题。一旦知道他线性,我们就可以用矩阵...
  • 其实一直都没有搞懂为什么矩阵怎么个定义,为什么要变换,偶然看到一篇转载文感觉十分深刻,希望帮助做数据朋友一点帮助,深度好文 原文出处:https://blog.csdn.net/qq_37175369/article/details/80916641 今天...
  • 抽象代数基础

    2019-03-20 21:00:00
    本文没有什么实际性的内容,都一些基本定义 代数的发展历程 算术(arithmetic) 算术数学中最古老的部分,算术的最大特点关注具体数字 初等代数(elementary algebra) 初等代数古老算术的推广和发展,在...
  • 我们发现的李代数向量场的李代数的Drinfeld倍数。 更具体地说,我们证明遵循YM Feynman规则的运动学分子满足Jacobi身份的一种形式,因为YM三次顶点定义的括号的Jacobiator被YM四次顶点的贡献所抵消。 然后,我们...
  • 矩阵的秩这知识的要求就是要理解:1、什么是秩?2、怎么求秩?本篇一片普普通通的介绍线性代数中秩的概念 和知识点,比较适合读者预习。1、什么是k阶子式?下面举一个二阶子式的例子:2、引出...3、矩阵秩的定义:...
  • b站-线性代数的本质 这个系列的视频将可视化应用到线性代数几何意义的教学上,解释了很多之前在课堂上被强行定义但是不知道原理的线性代数常识:矩阵究竟有什么几何意义?为什么行列式绝对值等于面积(2d)或体积...
  • 线性代数

    2018-07-25 15:50:00
    线性代数这门课主要描述这样问题, 如何解多元一次方程组,即一个线性方程式...为什么要研究一次线性方程组,因为他等价于线性系统,而线性系统非常通用和重要系统 什么叫linear system,如下定义 ...
  • 一、向量组线性相关性定义二、向量组线性相关性判定三、相关结论课后作业线性代数目录线性代数001|前言线性代数002|劝学篇.什么是学习?线性代数003|劝学篇.为什么要学习?线性代数004|劝学篇.如何学习?线性...
  • 但是结果很可能学生并非真正理解为什么矩阵乘法要如此定义。也并不知叉积与行列式有所关联,或者特征值究竟代表了什么?大部分时候学生对于矩阵数值操作驾轻就熟。但是对于潜在几何直观知之甚少。在数值水平.....
  • 什么是线性代数? 在深度学习中,线性代数是一个非常有用数学工具,提供同时操作多组数值方法。它提供多种可以放置数据结构,如向量(vectors)和矩阵(matrices, 即spreadsheets)两种结构,并定义了一系列加减...

空空如也

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