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  • 数据库中关系代数是什么 什么是关系代数? (What is Relational Algebra?) Every database management system must define a query language to allow users to access the data stored in the database. ...

    数据库中关系代数是什么

    Every database management system must define a query language to allow users to access the data stored in the database. Relational Algebra is a procedural query language used to query the database tables to access data in different ways.

    每个数据库管理系统都必须定义一种查询语言,以允许用户访问存储在数据库中的数据。 关系代数是一种过程查询语言,用于查询数据库表以不同方式访问数据。

    In relational algebra, input is a relation(table from which data has to be accessed) and output is also a relation(a temporary table holding the data asked for by the user).

    在关系代数中,输入是一个关系(必须从中访问数据的表),而输出也是一个关系(一个保存用户要求的数据的临时表)。

    Introduction to Relational Algebra

    Relational Algebra works on the whole table at once, so we do not have to use loops etc to iterate over all the rows(tuples) of data one by one. All we have to do is specify the table name from which we need the data, and in a single line of command, relational algebra will traverse the entire given table to fetch data for you.

    关系代数可一次在整个表上工作,因此我们不必使用循环等来遍历数据的所有行(元组)。 我们要做的就是指定要从中获取数据的表名,并且在单行命令中,关系代数将遍历整个给定表以为您获取数据。

    The primary operations that we can perform using relational algebra are:

    我们可以使用关系代数执行的主要运算是:

    1. Select

      选择

    2. Project

      项目

    3. Union

      联盟

    4. Set Different

      设置不同

    5. Cartesian product

      笛卡尔积

    6. Rename

      改名

    选择运算(σ) (Select Operation (σ))

    This is used to fetch rows(tuples) from table(relation) which satisfies a given condition.

    这用于从满足给定条件的表(关系)中获取行(元组)。

    Syntax: σp(r)

    语法: σ p (r)

    Where, σ represents the Select Predicate, r is the name of relation(table name in which you want to look for data), and p is the prepositional logic, where we specify the conditions that must be satisfied by the data. In prepositional logic, one can use unary and binary operators like =, <, > etc, to specify the conditions.

    其中, σ表示选择谓词, r是关系的名称(要在其中查找数据的表名), p是介词逻辑,我们在其中指定数据必须满足的条件。 在介词逻辑中,可以使用一元二进制运算符(例如=<>等)来指定条件。

    Let's take an example of the Student table we specified above in the Introduction of relational algebra, and fetch data for students with age more than 17.

    让我们以上面在关系代数简介中指定的Student表为例,并获取年龄大于17 岁的 学生的数据。

    σage > 17 (Student)

    σ age > 17 (Student)

    This will fetch the tuples(rows) from table Student, for which age will be greater than 17.

    这将从表Student中获取元组(行),其年龄将大于17

    You can also use, and, or etc operators, to specify two conditions, for example,

    您还可以使用and or etc运算符来指定两个条件,例如,

    σage > 17 and gender = 'Male' (Student)

    σ age > 17 and gender = 'Male' (Student)

    This will return tuples(rows) from table Student with information of male students, of age more than 17.(Consider the Student table has an attribute Gender too.)

    这将返回“ 学生”表中的元组(行),其中包含年龄大于17岁的男学生的信息(考虑“学生”表也具有“ Gender属性。)

    项目运作(∏) (Project Operation (∏))

    Project operation is used to project only a certain set of attributes of a relation. In simple words, If you want to see only the names all of the students in the Student table, then you can use Project Operation.

    项目操作仅用于投影关系的特定属性集。 简而言之,如果您只想在“ 学生”表中看到所有学生的姓名 ,则可以使用“项目操作”。

    It will only project or show the columns or attributes asked for, and will also remove duplicate data from the columns.

    它只会投影或显示所需的列或属性,还将从列中删除重复的数据。

    Syntax: A1, A2...(r)

    语法: A1, A2... (r)

    where A1, A2 etc are attribute names(column names).

    其中A1,A2等是属性名称(列名称)。

    For example,

    例如,

    Name, Age(Student)

    Name, Age (Student)

    Above statement will show us only the Name and Age columns for all the rows of data in Student table.

    上面的语句仅向我们显示Student表中所有数据行的NameAge列。

    联盟运作(∪) (Union Operation (∪))

    This operation is used to fetch data from two relations(tables) or temporary relation(result of another operation).

    此操作用于从两个关系(表)或临时关系(另一个操作的结果)中获取数据。

    For this operation to work, the relations(tables) specified should have same number of attributes(columns) and same attribute domain. Also the duplicate tuples are autamatically eliminated from the result.

    为了执行此操作,指定的关系(表)应具有相同数量的属性(列)和相同的属性域。 同样,从结果中自动删除重复的元组。

    Syntax: A ∪ B

    语法: A ∪ B

    where A and B are relations.

    其中A和B是关系。

    For example, if we have two tables RegularClass and ExtraClass, both have a column student to save name of student, then,

    例如,如果我们有两个表RegularClassExtraClass ,它们都有一个列Student来保存Student的名称,那么,

    Student(RegularClass) ∪ ∏Student(ExtraClass)

    Student (RegularClass) ∪ ∏ Student (ExtraClass)

    Above operation will give us name of Students who are attending both regular classes and extra classes, eliminating repetition.

    通过上述操作,我们可以为参加常规课程和额外课程的学生取名,从而避免重复学习。

    设置差异(-) (Set Difference (-))

    This operation is used to find data present in one relation and not present in the second relation. This operation is also applicable on two relations, just like Union operation.

    此操作用于查找以一种关系存在而不以第二种关系存在的数据。 就像联合运算一样,该运算也适用于两个关系。

    Syntax: A - B

    语法: A - B

    where A and B are relations.

    其中A和B是关系。

    For example, if we want to find name of students who attend the regular class but not the extra class, then, we can use the below operation:

    例如,如果我们要查找参加普通班而不是额外班级的学生的姓名,则可以使用以下操作:

    Student(RegularClass) - ∏Student(ExtraClass)

    Student (RegularClass) - ∏ Student (ExtraClass)

    笛卡尔积(X) (Cartesian Product (X))

    This is used to combine data from two different relations(tables) into one and fetch data from the combined relation.

    这用于将来自两个不同关系(表)的数据组合为一个,并从组合关系中获取数据。

    Syntax: A X B

    语法: AXB

    For example, if we want to find the information for Regular Class and Extra Class which are conducted during morning, then, we can use the following operation:

    例如,如果我们想查找早晨进行的常规班和额外班的信息,则可以使用以下操作:

    σtime = 'morning' (RegularClass X ExtraClass)

    σ time = 'morning' (RegularClass X ExtraClass)

    For the above query to work, both RegularClass and ExtraClass should have the attribute time.

    为了使以上查询正常工作, RegularClassExtraClass都应具有属性time

    重命名操作(ρ) (Rename Operation (ρ))

    This operation is used to rename the output relation for any query operation which returns result like Select, Project etc. Or to simply rename a relation(table)

    此操作用于重命名返回查询(如Select,Project等)的任何查询操作的输出关系。或者仅重命名关系(表)

    Syntax: ρ(RelationNew, RelationOld)

    语法: ρ(RelationNew, RelationOld)

    Apart from these common operations Relational Algebra is also used for Join operations like,

    除了这些常见的运算,关系代数还用于Join运算,例如,

    • Natural Join

      自然加入

    • Outer Join

      外连接

    • Theta join etc.

      Theta连接等

    翻译自: https://www.studytonight.com/dbms/relational-algebra.php

    数据库中关系代数是什么

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  • 线性代数定义

    千次阅读 2018-04-13 10:09:48
    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。 线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量...

    标量:

    一个标量就是一个单独的数,将会用斜体表示标量,通常被赋予小写的变量名称。

    向量:

    向量是有序的数字组成的数组,我们可以通过索引拿到任何一个数,同时我们将向量看作成一个空间点的坐标,如


    向量在空间中表示为一条线段并且是有方向的,代表了向量的长度和方向

    运算:

    (1)加法

    (2)乘法

    两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0

    向量空间:

    加法和数量乘法,依然可以用有向线段来解释,对于这样一个附加加法与数量乘法运算的世界,我们成为向量空间。

    张量

    在某些情况下,我们讨论的坐标超过两维的数组。一般地,一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网格中,我们称为张量。

    基底

    如,

    作为基准的一组向量就叫做基底,沿着各个基准向量向量走的步数叫做坐标。基底(e1,e2),成员e1,e2就是基向量。

    对于一组向量(e1,。。。,en),构成基底的条件为:

    (1)任何向量v都可以表示为


    (2)这种表示方法是唯一的

    矩阵

    1.定义:

    由nxn个数aij构成的n行n列的数表A,也

    2.运算:

    (1)矩阵的加法

    (2)数与矩阵的乘法

    (3)矩阵与矩阵的乘法

    3.矩阵的转置:将矩阵的行和列互换称为矩阵的转置

    4.对称矩阵:

    设A为n阶方阵,如果满足A^T=A,即aij=aji,那么A称为对称矩阵,简称对称阵

    5.正交矩阵:

    如果AA^T=I,I为单位矩阵,则A^T为A的正交矩阵,且A^T=A^-1。

    而在向量中,x^Ty=0,那么说明向量x和向量y是相互正交。如果2个范数都是非0数,这两个向量之间的夹角是90度。

    6.线性方程组

    Ax=b --> 

    7.单位矩阵

    主对角线的值是1,其余都是0;

    8.逆矩阵

    A^-1A=E -->A^-1则为逆矩阵,E为单位矩阵

    向量组的线性相关和线性无关

    给定向量组,如果存在不全为0的数,,使得


    则称向量组A是线性相关的,否则是线性无关的。

    秩的定义:

    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。

    线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    性质:

    (1)向量组线性相关的充分必要条件是它构成的矩阵的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m;

    (2)若向量组组线性相关,则向量组也线性相关。反言之,向量组B线性无关,则A也线性无关。

    (3)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量向量个数m时一定线性相关。特别地,n+1个n维向量一定线性相关。

    (4)设向量组线性无关,而向量组,b线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示是唯一的。

    (5)向量组的秩等于它的行向量组的秩,也等于它的列向量组的秩。

    (6)最大无关组(矩阵中的秩的列向量就是一个极大无关组)

    设向量组是向量组A的一个部分组,满足

    (i)向量组A0线性无关。

    (ii)向量组A的任一向量都能有向量组A0线性表示。

    那么向量组A0是A的一个最大无关组。

    (7)向量组b能由向量组a线性表示的充分必要条件是R(a)=R(b)

    范数:

    衡量一个向量的大小,而在机器学习中,范数是衡量向量的大小。典型的是:L0、L1、L2;单位矩阵的范数为1.

    行列式

    行列式,记作det(A),是方阵A映射到实数的函数。行列式等于矩阵特征值的乘机。行列式的绝对值可以用来衡量矩阵乘法后扩大或者缩小了多少。行列式值为1时,表明转换后的空间体积不变。行列式为0时,表明该矩阵别压缩成了一条直线,没有了空间体积。





    参考文献

    线性代数-同济大学

    深度学习

    https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%A7%A9


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  • 代数基本定义

    千次阅读 2020-10-22 16:58:00
    代数基本定义一般线性群特殊线性群阶i 次单位根群周期群,无扭群,混合群子群中心元素,无中心群,中心循环群循环群,生成元 一般线性群 GLn(k)GL_n(k)GLn​(k):数域FFF上所有nnn阶可逆矩阵的集合,关于矩阵的乘法...

    一般线性群

    G L n ( k ) GL_n(k) GLn(k):数域 F F F上所有 n n n阶可逆矩阵的集合,关于矩阵的乘法作成群,这个群叫做一般线性群,当 n > 1 n>1 n>1时,这个群不是交换群

    特殊线性群

    S L n ( K ) SL_n(K) SLn(K):数域 F F F上所有行列式等于 1 1 1 n n n 阶矩阵的集合,则 S L n ( F ) SL_n(F) SLn(F) 关于矩阵的乘法作成群,这个群叫做特殊线性群。当 n > 1 n>1 n>1 ,这个群也不是交换群

    G G G 的一个元素 a a a,使得
    a m = e a^m =e am=e
    的最小的正整数 m m m 叫做 a a a 的阶。若是这样的一个 m m m 不存在,我们说, a a a 是无限阶的。
    a a a 的阶用符号 ∣ a ∣ |a| a表示

    i 次单位根群

    U i U_i Ui ( i i i 是正整数)是全体 i i i 次单位根对普通乘法作成的群,这个群叫做 i i i 次单位根群。

    周期群,无扭群,混合群

    1. 若群 G G G 中每个元素的阶有限,则称 G G G 为周期群
    2. G G G 中除 e e e 外,其余元素的阶均无限,则称 G G G 为无扭群
    3. 既不是周期群也不是无扭群的群称为混合群

    子群

    一个群 G G G 的一个非空子集 H H H 叫做 G G G 的一个子群,假如 H H H 对于 G G G 的乘法来说做成一个群,用符号 H ≤ G H\le G HG表示

    中心元素,无中心群,中心

    1. G G G 是一个群, G G G 中元素 a a a 如果同 G G G 中每个元素都可交换,则称 a a a 是群 G G G 的一个中心元素。
    2. 若群 G G G 的中心元素只有 e e e 时,称 G G G 为无中心群。
    3. G G G 的全体中心元素作成的集合 C ( G ) C(G) C(G) G G G 的一个子群,成为 G G G 的中心

    循环群

    < M > <M> <M> 为群 G G G中由子集 M M M 生成的子群,并把 M M M 叫做这个子群的生成系。

    循环群,生成元

    G = < a > G=<a> G=<a> ,则称 G G G 为由 a a a 生成的一个循环群,并称 a a a G G G 的一个生成元。

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  • 多数高中生学习矩阵和矩阵乘法,但是他们往往不知道为什么矩阵乘法是这样工作的。 添加矩阵很简单: 只需添加相应的条目。 然而,矩阵乘法并不是这样工作的,对于一个不理解矩阵背后理论的人来说,这种矩阵相乘的...

      多数高中生学习矩阵和矩阵乘法,但是他们往往不知道为什么矩阵乘法是这样工作的。

      添加矩阵很简单: 只需添加相应的条目。 然而,矩阵乘法并不是这样工作的,对于一个不理解矩阵背后理论的人来说,这种矩阵相乘的方法可能看起来非常不自然和奇怪。

      为了真正理解矩阵,我们把它们看作是更大图景的一部分。 矩阵表示空间之间的函数,称为向量空间,也不是任何函数,而是线性函数。 这实际上就是线性代数关注矩阵的原因。

      关于矩阵的两个基本事实是: 每个矩阵表示一个线性函数每个线性函数表示一个矩阵

      因此,实际上在矩阵和线性函数之间存在双射。 我们将说明,乘法矩阵对应于对它们所表示的函数进行合成。接下来,我们将研究矩阵有什么好处,以及为什么线性代数首先兴起。

      最有可能的是,如果你在高中学过代数,你会看到下面这些东西:

    \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}.

    你的高中代数老师可能告诉你这是一个“矩阵” 然后你学习了如何用矩阵做事情。 例如,你可以相加两个矩阵,操作相当直观:

    \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}.

    你也可以减去矩阵,它的工作原理类似。 你可以用一个数字乘以一个矩阵:

    2 \times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}.

    然后,当你学习如何乘法矩阵时,一切似乎都错了:

      也就是说,要找到乘积的第  i 行, j 列中的条目,你看第一个矩阵的第i行,第二个矩阵的第 j列,你把它们的相应数字相乘,然后你把结果加起来,得到那个位置的条目。

      在上面的例子中,第一行和第二列的条目结果是 4,因为第一个矩阵的第一行是(2, 1),第二个矩阵的第二列是(2, 0)。 此外,这意味着矩阵乘法甚至不是交换的! 如果我们按照上面的乘法顺序4 = 2 \times 2 + 1 \times 0计算,那我们可以计算如下另外一个矩阵相乘进行学习,例如

     

    为什么矩阵乘法不像加法和减法那样工作? 如果乘法是这样运算的,那么除法到底是怎么运算的呢? 这篇文章的目的就是回答这些问题。

    为理解矩阵乘法为什么是这样工作的,有必要理解矩阵实际上是什么。 但是在我们开始之前,让我们简单的看一下为什么我们首先关心矩阵。

    矩阵最基本的应用是求解线性方程组。

    一个线性方程是所有变量单独出现而没有幂的方程; 它们不会相乘或相乘,也没有有趣的函数。 线性方程组的一个例子是

    2x +y = 3 \\ 4x + 3y = 7

      这个系统的解是x = 1, y = 1。 这样的方程式看似简单,但在生活中却很容易出现。

      例如,假设有两个朋友 舒克 和 贝塔 去买糖果。 舒克 买了2块巧克力和1袋彩虹糖,花了3块钱; 而 贝塔 买了4块巧克力和3袋彩虹糖,花了7块钱。 如果我们想知道巧克力棒和彩虹糖的价格,我们可以设定一块巧克力棒的价格 x,设定一包彩虹糖的价格 y,变量满足上述线性方程组。 因此我们可以很简单的推断出,一块巧克力和一包彩虹糖都要1块钱。 这个系统特别容易解决,因为人们可以猜测和检查的解决方案,但一般来说,用变量和方程式代来解决类似问题,会更困难些。 这就是矩阵的用武之地! 请注意,到了矩阵乘法,上面的线性方程组可以改写为

    \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}.

    如果我们能找到一个矩阵 A,它是矩阵\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}的逆矩阵,那么如果我们将 A 同时乘在方程的两边,将左边的\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} 约掉,右边增一个 A,我们就能得到

    \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}.

      矩阵的应用远远超出了这个简单的问题,但是现在我们将把它作为我们的动机。 让我们回到理解矩阵是什么。 为了理解矩阵,我们必须知道向量是什么。 向量空间是一个具有特定的集合,而向量是向量空间的元素。 现在,为了技术上的简单性,我们将只使用实数上的向量空间,也称为实向量空间(real vector space。 一个真正的向量空间,基本上就是你想构成的空间。 例如线是一维实向量空间,x-y 平面是二维实向量空间,三维空间是三维实向量空间,等等。

      如果你在学校学过矢量,那么你可能很熟悉把它们想象成箭头,你可以把它们加在一起,乘以一个实数,等等,但是把矢量加在一起的结果是不同的。 这听起来熟悉吗? 应该是的。 这就是矩阵的工作原理,这不是巧合。

    关于空间向量最重要的事实是它们总是有基的。 向量空间的基础是一组向量,这样空间中的任何向量都可以写成这些向量的线性组合。 如果v_1, v_2, v_3是你的基础向量(即每个维度上的一段单位向量),那么av_1 + bv_2 + cv_3是一个线性组合,如果a,b,c是实数,将也可以表示在这个向量空间中的任何一个向量。 一个具体的例子如下: x-y 平面的(1,0), (0,1)是基础向量。 那么任何向量的形式都可以写成

    所以我们确实有一个基础! 这不是唯一可能的基础。 事实上,在我们的基础上的向量,甚至不必是垂直的! 例如,矢量(1,0), (1,1)构成了基础,因为我们可以写

    \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = (a-b) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

    现在,线性映射只是两个向量空间之间的一个函数,碰巧是线性的。 线性是一个非常好的性质。

    如果下列两个属性成立,那么函数f就是线性的:

    f(x+y) = f(x) + f(y) \\ f(ax) = af(x)

      例如,该函数f(x)= x ^ 2在实线限定上不是线性的,因为f(x + y)=(x + y)^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 2xyf(x)+ f(y)= x ^ 2 + y ^ 2。现在,我们将迄今为止所讨论的所有想法联系在一起:矩阵,基础和线性变换。即矩阵是线性变换的表示,你可以通过查看矩阵基础的作用来弄清楚如何写下矩阵。要理解第一个陈述,我们需要了解为什么第二个陈述是正确的。这个想法是任何向量都是基向量的线性组合,因此您只需要知道线性变换如何影响每个基向量。这是因为,由于函数是线性的,如果我们有一个v可以写成线性组合的任意向量v = av_1 + bv_2 + cv_3,那么

    f(v)= f(av_1 + bv_2 + cv_3)= af(v_1)+ bf(v_2)+ cf(v_3)。

    请注意,值F(V)完全由值决定f(v_1),f(v_2),f(v_3),因此我们需要完全定义线性变换所需的所有信息。矩阵在哪里?那么,一旦我们选择线性变换的域和目标的基础,矩阵的列将表示函数下的基矢量的图像。例如,假设我们有一个F映射\ mathbb {R} ^ 3到的线性变换\ mathbb {R} ^ 2,意味着它采用三维向量并吐出二维向量。现在F只是一些抽象的功能,我们无法在纸上写下来。让我们为我们的域(3空间)和目标(2空间或平面)选择基础。一个不错的选择是v_1 =(1,0,0),v_2 =(0,1,0),v_3 =(0,0,1)前者和w_1 =(1,0),w_2 =(0,1)对于后者。我们需要知道的是如何F影响v_1,v_2,v_3,目标的基础是f(v_1),f(v_2),f(v_3)具体地写下价值观。中号我们函数的矩阵将是一个2乘3的矩阵,其中3列被索引,v_1,v_2,v_32行被索引w_1,w_2。我们需要记下的中号就是价值观f(v_1),f(v_2),f(v_3)。具体来说,让我们说吧

    f(v_1)= 2w_1 + 4w_2 \\ f(v_2)= w_1  -  w_2 \\ f(v_3)= w_2。

    然后相应的矩阵将是

    \ begin {pmatrix} 2&1&0 \\ 4&-1&1 \ end {pmatrix}。

    这样做的原因是矩阵乘法的设计使得如果将矩阵乘以向量乘以除一世-th条目中的1之外的全零,则结果只是一世矩阵的第-列。你可以自己检查一下。因此我们知道矩阵中号在应用于(相乘)基矢量时可以正常工作。而且矩阵满足相同的性质的线性变换,即M(x + y)= Mx + MyM(ax)= aMx,其中X,Y的载体和一个为实数。因此中号适用于所有向量,因此它是正确的表示F。请注意,如果我们为基向量选择了不同的向量,则矩阵看起来会有所不同。因此,矩阵不是自然的,因为它们取决于我们选择的基础。

    现在,最后回答一开始提出的问题。为什么矩阵乘法按照它的方式工作?让我们来看看我们在开始时使用的两个矩阵:A = \ begin {pmatrix} 2&1 \\ 4&3 \ end {pmatrix}B = \ begin {pmatrix} 1&2 \\ 1&0 \ end {pmatrix}。我们知道,它们分别对应于线性函数在飞机上,让我们称他们FG分别。乘法矩阵对应于组成  它们的函数。因此,做ABx型F(G(X))任何向量相同X。为了确定矩阵AB应该是什么样子,我们可以看到它如何影响基矢量w_1 =(1,0),w_2 =(0,1)。我们有

    所以第一列AB应该是(3,7),和

    f(g(w_2))= f(2w_1)= 2f(w_1)= 2(2w_1 + 4w_2)= 4w_1 + 8w_2

    所以第二列AB应该是(4,8)。实际上,这与我们在开始时通过矩阵乘法得到的答案一致!虽然这根本不是一个严格的证明,因为它只是一个例子,它捕捉了矩阵乘法就是这样的原因。

    现在我们已经了解矩阵乘法如何以及为什么按照它的方式工作,矩阵划分如何工作?您可能熟悉功能反转。 函数的F是一个函数G,使得f(g(x))= x = g(f(x))所有函数X。由于矩阵的乘法对应于函数的组合,所以只有矩阵的乘法逆是相应函数的组合逆才有意义。这就是为什么不是所有矩阵都有乘法逆。有些函数没有组合反转!例如,线性函数F映射\ mathbb {R} ^ 2\ mathbb {R}定义由f(x,y)= x + y不具有逆,因为许多矢量被映射到相同的值(什么会˚F^ { -  1}(0)是?(0,0)(1,-1)?)。这对应于1×2矩阵\ begin {pmatrix} 1&1 \ end {pmatrix}没有乘法逆的事实。因此,如果存在,则除以矩阵乙只是乘以乙^ { -  1}。有用于计算矩阵求逆的算法,但我们会将其保存为另一篇文章

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  • 线性代数之所以在数据分析中占有重要地位,使因为线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化,可视化的渠道,它让数据样式变得非常明晰,并让你大致了解特定运算的意义。另一方面,线性代数为物理学家和...
  • 线性代数基础概念与重要定义汇总

    千次阅读 多人点赞 2020-06-01 11:07:28
    行列式定义\color{red}\textbf{行列式定义}行列式定义 行列式的定义依赖于逆序数与全排列, 行列式计算以及性质\color{red}\textbf{行列式计算以及性质}行列式计算以及性质 行列式的计算除了直接用定义以外,可以...
  • 和为二维向量 点乘定义 代数方式: 几何方式: 证明:
  • 什么是代数

    千次阅读 2017-12-25 19:10:00
    对于SO(3)和SE(3),李代数定义于李群的正切空间上,描述了李群中元素局部性质,分别把它们记作小写的so(3)和se(3)。首先,给出通用的李代数定义。  李代数由一个集合V,一个数域F和一个二元运算[]组成。如果...
  • 《线性代数》中文版

    2018-12-05 13:02:11
    便于读者理解相关的定义及原理,增强了读者学习的兴趣。 习题安排错落有致。每一节的后面给出大量的习题,各章后面还有测试题,使学生有更多的演练机会,达到触类旁通的效果。 紧密结合数学工具MATL AB。每章的后面...
  • 离散数学上机内容,判断一个代数系统是否是群
  • 代数什么?

    2019-10-03 13:55:13
    给定一个集合的元素,在上面定义结合运算,我们称这种结构叫一个代数体系,简称代数。 “代数”义为用符号代替数,本质上是一个抽象过程:从具体的、确定的数到抽象的、未定的数。这是第一步抽象。当我们把注意力...
  • 专门的关系运算记号的引入学生关系数据库3.1 选择3.2 投影(Projection)3.3 连接(Join)3.3.1 定义3.3.2 两种常用的连接运算3.3.3 例子3.3.4 悬浮元祖(Dangling tuple)3.3.5 外连接(Outer Join)3.4 除运算总结 ...
  • 线性代数中单位向量的定义Linear algebra is the branch of mathematics concerning linear equations by using vector spaces and through matrices. In other words, a vector is a matrix in n-dimensional space...
  • 参考 :数学----向量点积公式推导 工具:mathtype 试用版 几何定义推导代数定义 注意:这里有个前提是,已知在几何定义得出的结论:a·b=|a||b|cosα
  • 群的定义2.3. 子群、生成子群2.4 变换群、同构2.5 循环群2.6. 子群的陪集2.7. 正规子群、商群2.8. 同态基本定理 1. 半群 1.1. 若干基本概念 1.2. 半群与幺半群的概念 有限半群 (S,∘)(S,\circ)(S,∘) 为一个有限...
  • 高等代数习题集

    2018-10-08 17:20:42
    俄罗斯高等数学习题集,想学习高等代数并且想要学好的同学可以关注一下哦!
  • 线性代数中方程Ax=b的A究竟是什么?! 线性代数里面的很多矩阵都是用大写的英文表示的,而往往这些表示都是有具体意义的。一个无意的机会让我发现线性代数中最常见的方程Ax=b中的A居然也是有意义的:就是英文Any...
  •           \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,设“◦”是非空集合S 上的一个二元代数运算,则称二元组(S, ◦) 为一个(有一个代数运算的)代数系。 一、集合上的二元运算 定义: 二元运算的定义:         ...
  • 线性代数的几何实质

    2021-01-07 00:26:56
    摘要:由于学业的专注点原因,许多人对线性代数的理解尚停留在代数计算方面,而并不能理解一些定义和法则是从何而来以及线性代数的本源意义。在此意义上,本文不失为一个较直观的线代入门。 Part 1 线性空间的概念 ...
  • 代数拓扑基础讲义 出版时间:2014年版 丛编项: 高等学校教材 内容简介  《代数拓扑基础讲义/高等学校教材》是参照1980年5月在上海举行的高等学校理科数学、力学、天文学教材编审委员会扩大会议上讨论并审订的...
  • 抽象代数简明教程 出版时间:2014年版 内容简介  《抽象代数简明教程》第1章在复数域内讨论数域扩张理论,在数域的特殊情况下引出了Galois群的概念。第2、3章建立了群、环、域的概念,介绍了群论和环论的基本理论。...
  • 线性代数

    千次阅读 多人点赞 2019-05-17 17:15:19
    在网上看到的一篇文章,看了以后感触颇深。 线性代数课程,无论你从行列式入手...极不直观的定义,接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上,再把那一列减过来,折腾得那叫一个热...
  • σ代数

    2021-02-04 14:23:55
    直接定义 设 Γ\GammaΓ 是由集合X中一些子集所构成的集合族(也叫做集类),且满足下述条件: (1)X∈ΓX∈\GammaX∈Γ; (2)若 A∈гA∈гA∈г,则 AAA 的补集 Ac∈...我们首先定义集代数,然后通过集代数定义 σ\s
  • 数据库知识点3——关系模型之关系代数

    千次阅读 多人点赞 2019-01-22 00:11:41
    关系模型之关系代数 1. 关系代数之基本操作:并、差、积、选择、投影、(更名) 2. 关系代数之扩展操作 :交、θ-连接、自然连接 3. 关系代数之组合与应用训练  4. 关系代数之复杂扩展操作(选学):除、外连接...
  • 线性代数常用名词详解1

    千次阅读 2020-12-17 22:18:20
    线性代数常用名词详解 vector 向量 对于x,y,z是向量,c,d为常数 x+y=y+x x+(y+z)=(x+y)+z x+0=x c(x+y)=(cx)+(cy) c(dy)=(cd)y xy=yx (cx)y=c(xy) x*(y+z)=xy+xz matrix 矩阵 对于矩阵A,B,C,c为常数 A(BC)=(AB...
  • Heyting代数是一类重要的代数。我们指出Heyting代数定义中的某个条件可略去,从而简化定义。
  • 直观理解σ代数

    千次阅读 2020-02-22 22:04:36
    σ代数定义为满足: 1.包含空集∅; 2.对集合的补运算封闭; 3.对集合的可列并运算封闭。 三条性质的Ω幂集的子集,暂记为S。 a.由性质1,2可以推出Ω∈S。 b.集合的运算有这样的基本关系:C(C(A)∪C(B)) = A ∩ B. ...
  • 形象理解线性代数(一)——什么是线性变换?

    万次阅读 多人点赞 2018-11-19 15:52:17
    在之前学习线性代数的时候,我们总是说矩阵乘以向量就是对其进行了线性变换,而且我们可以很容易的计算出结果,但是我们并不知道其在形象的几何角度有什么意义。于是我们可以这样来理解: 首先,向量可以有三种表示...
  • 本文用与传统体系迥然不同的方法证明了外积的向量法定义与坐标法定义等价。从而介绍了解析几何向量代数部份的两种新体系。

空空如也

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代数的定义是什么