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手表定理
2006-12-08 17:35:00手表定理是指一个人有一只表时,可以知道现在是几点钟,而当他同时拥有两只表时却无法确定准确的时间。两只表并不能告诉一个人更准确的时间,反而会让看表的人失去对准确时间的信心。这就是著名的“手表定理”。手表...手表定理是指一个人有一只表时,可以知道现在是几点钟,而当他同时拥有两只表时却无法确定准确的时间。两只表并不能告诉一个人更准确的时间,反而会让看表的人失去对准确时间的信心。这就是著名的“手表定理”。手表定理的提出者是英国心理学家P•萨盖,因此手表定理也就萨盖定理。启示:道理很简单,越简单的道理理解起来越深刻。手表定理中包含了三层关键要素:目标——为什么需要手表?拿手表的目的是为了知道时间。标准,手段,工具,途经——手表是衡量是件的标准,手段,工具和途径。潜意识,价值观——只有准确的手表才能提示我们准确的时间,手表到底准不准,在没有更标准的参照系时,就来自于我们对手表的信心,来自于心理暗示,即潜意识,价值观。以上三个层次是有内在因果的。如果没有知道时间的需要,也就不需要有手表,如果没有潜意识的暗示,我们也没有信心相信某一只手表是准确的。当然,没有值得信任的手表,要知道准确的时间就无从谈起。现实生活中,有悖手表定理的无异乎目标的紊乱,标准和手段的紊乱,价值观的紊乱。我有一个女同学,个人条件和家庭背景都很好,现在快40岁了,还是单身。她并不拒绝男友,这些年来她身边也出现过一见钟情的,也有过“慢火煲出来”的“白马王子”,但就是没有一个陪他一起走上红地毯。因为她把结婚看得太神圣了,以至于她不希望她的“王子”有一些瑕疵,于是每每有“王子”通过了她的久经考验之后,她还要把他带给一个又一个的亲朋好友来品头论足,只到有一个人说出了“王子”的瑕疵,她就抛弃了他。从一个又一个的现象我们来看本质。她找一个又一个的人来看她的“白马王子”,从她的本意是想听到每一个人的赞美声,但从实际过程来看,如果没有听到这个“王子”的瑕疵,她会不停地带他去见更多的人,直到有人说出了瑕疵。她就是没有明白一个道理,她的“王子”一直被人看下去的时候,一定会有人指出瑕疵的,指出瑕疵就是一定会被废掉的。其实,不同的人实际是拿着“不同的手表”“度量”同一个对象——“王子”,不同的人有不同的审美观和价值观,导致他们“手上的表”肯定是不一样的。我也见过这样的老板,他在招高级管理人员的时候就有点像我的这个女同学,他要让很多的人来面试他已经选中的人,直到有人说出他的不好,他就没信心聘用这个新人了。所以他一直也找不到合适的高级管理人员。我的一个客户告诉我,他买了所有余示维出的光碟,也买了他见到过的所有曾仕强的光碟,李践的碟他也买过两套。周末有时间他还会去参加各种形形式式的管理培训。但实际工作中遇到的问题,解决不好的依然解决不好,他问我为什么。我说,他们几个人的管理主张是完全不一样的几个派系,你把他们混在一起便是一锅粥。等于你买了几只手表,每只手表遵循不同的标准,而这个老板自己也还不知道自己到底处在“哪个时区”。反映出这个老板的学习是盲目的,对自己的价值取向和文化取向还没有清楚的认识,对这些名家的教诲,只能凭借自己消化后为我所用,简单化的模仿会表里不一,“穿西装戴草帽”,管理过程难成系统。价值观是基础,目标是导向。有了清晰的不动摇的价值观,有了明确的目标,中间的问题会迎刃而解。所有的问题都是出在这两端的摇摆不定上,要么干脆不清楚自己要达到什么目的,也不清楚自己究竟认同什么,要么就是没有主心骨,太受别人意见和环境变化的驱使。手表定理启示我们,你手上有几只手表的时候,你要做的就是选择其中较信赖的一只(你的价值观所认同的那一只),尽力校准它,并以此作为你的标准,听从它的指引行事。记住尼采的话:“兄弟,如果你是幸运的,你只需有一种道德而不要贪多,这样,你过桥更容易些。”手表定理在企业经营管理方面还给我们一种非常直观的启发,就是对同一个人或同一个组织的管理不能同时采用两种不同的方法,不能同时设置两个不同的目标。甚至每一个人不能由两个人来同时指挥,否则将使这个企业或这个人无所适从。我见过不少这样的家族企业,还有几个朋友创业的公司。这些家族成员和创业的股东常常在公司内部摆不准自己的位置,从心里总把自己以“老板”而自居,于是少不了对外聘管理干部的指手画脚,给人家工作的开展形成了障碍。华为公司是一个成功的企业,这跟老板任正非的作风有很大关系。任老大出生行伍,说一不二,雷厉风行。他在公司内部强调,公司在引进新管理体系的时候,要先僵化,后优化,再固化。他对公司干部们解释说:5年之内不许你们进行幼稚创新,顾问们说什么,用什么方法,即使认为他不合理,也不允许你们动。5年以后,把人家的系统用好了,我可以授权你们进行最局部的改动。至于结构性改动,那是10年之后的事。 -
泰勒定理的奇闻轶事
2021-01-07 04:56:43头目心存怀疑,拿着枪,手指扣着扳机,对准他。 手榴弹也在他的面前晃动。头目说:好吧,那么一个函数作泰勒展开到第 n 项之后,你就把误差项算出来。如果你算对了,就放你一条生路,否则就立刻枪毙。于是塔姆... -
再谈SG函数和SG定理
2017-08-28 15:18:33首先通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何...今天考了一道博弈论的题,让我重新复习一下SG定理吧。
首先通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。我们知道对于最普通最一般的NIM取石子来说,所有石子个数异或起来如果为0,那么先手必败,如果不为0那么先手必胜。
具体证明如下:
1、最后的游戏状态必然是所有石子个数为0,也可以看成所有石子异或为0。
2、假如现在所有石子异或起来为J,我们用Ai表示第i堆石子个数,总共n堆。那么就有A1^A2^A3……^An=j,我们把j二进制表示,则A中必有一个数最高位与j的最高位同为1(位数一样),不然j的那个1是哪来的?然后我们令这个数是Am,所以Am^j必然小于Am,显然最高位被消掉变小了。我们可以取石子把Am变成Am^j,那么对于原式就是A1^A2^……^An^j=j^j=0;
3、如果异或起来为0,那么如果任意拿掉石子,新的异或一定不为0,这个证明十分简单,留给读者解决。(偷懒~)所以当异或不为0的时候,都可以通过操作让它变成0,所以显然就有了上面那个结论。
那么现在我们上重头。
对于一个大的游戏,我们把它看成是多个小的游戏,比如这个取石子,我们把它看成是n个小的游戏。
现在我们单独考虑一个游戏,也就是一堆石子如何解决。
我们规定一个对于集合的操作mex,表示最小的不属于该集合的非负整数。
举几个栗子:mex{0,1,2}=3,mex{1,2,3}=0,mex{0,1,3}=2;我们再定义SG函数:SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继 }。
什么叫y是x的后继?我们用普通的NIM游戏举个栗子。假如有一堆石子个数为x,普通的NIM游戏可以取任意个,但不能一个不取,所以x的后继就是0~x-1,所以y取值0~x-1。
有一个结论就是普通的取石子SG(x)=x。我们考虑SG函数的性质,我们把游戏看成一个图,那么其实就是一个点在这张图上面跑,当这个点走到0的时候它就走不动了。SG值为0时,表示当前点为必败点,因为它下面的SG值都大于0。SG值大于0,当前点是必胜点,因为它可以走到一个点的SG值为0。
所以得到结论SG值为0就是必败,SG大于0就是必胜。我们已经考虑完了单个游戏,那么我们考虑把游戏合起来考虑。
合起来的游戏其实相当于n个点同时在这张图上面跑。
这里还有一个SG函数的性质,如果SG(x)=y,那么它可以走到的后继的SG值有0-y-1,参考它的定义。这里是不是有点熟悉?这不就相当于最普通的NIM取石子吗?可以取任意个,但不能一个不取。我们把SG值看成石子个数,那么整个游戏的SG值就是子游戏的SG值异或的和。至此我们可以得到对于这类题,普遍的解法了。先打出SG函数找规律然后异或就完了。
给出一个找SG函数的模板:(其实就是模拟SG函数的定义)
int f[N],SG[N],S[N]; void getSG(int n){ int i,j; memset(SG,0,sizeof(SG)); for(i = 1; i <= n; i++){ memset(S,0,sizeof(S)); for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++) S[SG[i-f[j]]] = 1; for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ SG[i] = j; break; } } }
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2020 杭电第九场 1003 Slime and Stones 扩展威佐夫博弈 betty定理
2020-08-21 01:40:002020 杭电第九场 1003 Slime and ...他是这样的一种博弈:有两堆各若干个物品,两个人轮流拿物品,有两种拿取的方式, 一:在一堆中拿任意多个物品, 二:在两堆中拿相同多的物品。 最后取光者得胜。 威佐夫博弈就是题2020 杭电第九场 1003 Slime and Stones 扩展威佐夫博弈 betty定理
题目
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6869
题意
有两堆石子,有两种拿取的方式,一:在一堆中拿任意多个石子,二:在两堆中拿相差不能超过k的石子。
题解
首先,我们了解一下威佐夫博弈。
他是这样的一种博弈:有两堆各若干个物品,两个人轮流拿物品,有两种拿取的方式,
一:在一堆中拿任意多个物品,
二:在两堆中拿相同多的物品。
最后取光者得胜。威佐夫博弈就是题目中k==0的特殊情况,那我们先讨论这种特殊情况吧。
我们简单分析一下,会发现一些局面是先手必败的。比如说(0, 0),再比如(1, 2)。
我们简单分析一下(1, 2),先手有4种策略。
1、首先他可以取走第一堆,那么后手可以取完第二堆,显然后手获胜。
2、他也可以在第二堆当中取1个,这时剩下(1, 1),后手会同时取完,同样是后手获胜。
3、第三种是他取走第二堆,后手可以取完第一堆,后手获胜。
4、第四种是他在第一堆和第二堆当中同时取走一个,这时第二堆剩下一个,后手胜。那么,这些必败的状态之间有什么规律呢? 我们怎么找到这个规律,并且找到解呢?
分析
我们可以枚举几个必败的状态:(0, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7),(6,10)…
我们观察一下这些状态,可以找到两条规律。我们假设从小到大排的第k个必败状态是(x, y),并且x < y。我们可以发现y = x + k。也就是说必败状态两个数的差值是递增的,这也说明了每一个必败状态的差值都各不相同。
其实这是很容易证明的,我们用反证法,假设(a, a+k), (b, b+k)都是必败状态,并且a < b。那么先手在面临(b, b+k)的时候,只需要在两堆当中同时取走b-a个石子,那么给后手的局面就是(a, a+k)。对于后手来说,这是一个必败的局面,这就和(b, b+k)先手必败矛盾,所以不存在两个必败局面的差值相等。
我们也可以作图分析,我们把两堆石子的数量看成是坐标轴上的一个点。
所以游戏就变成了:棋盘上有一个点,每次每个人可以将它向下、向左或者向左下移动若干个格子,不能移动的人输,终止节点显然是原点。我们根据上面的逻辑把必败点都染色,可以得到下面这张图:
到这里,我们距离解法已经很接近了,现在剩下的问题是,我们如何根据x和y的取值快速判断它们是否构成一个必败局面呢?也就是说我们能不能找出一个通项公式 ,对于第k个必败局面,它的坐标是(Xk,Yk)呢?求解
为了写出通项公式,我们需要引入Betty定理。
设a和b是两个正无理数,并且
记P={[a* n]|n∈N+} , Q={[b* m]|m∈N+}。则P∩Q = Ø,P∪Q = N+(其中[]符号表示取整数部分)
第二个证明,这个更加清晰一点:
我们花了这么大力气来证明Betty定理就是为了用的,因为我们发现必败状态的通项和Betty定理序列很像。我们不妨假设存在这样的a, b同时满足Betty定理与必败状态的性质:
算出来接下来就讨论一下k=1的情况吧
首先写一下必败态,(1,3)(2,6)(4,10)(5,13)(7,17)…
我们也可以发现他们直接的差值也是递增的,而且是2 4 6 8 10…的递增。
那么我们这个公式不就可以写成 [an]+2n=[bn] 了吗?
化简一下得到 [(a+2)n] = [bn] 然后带入betty定理。得到:
是不是很容易就可以看出来了,如果k等于其他数,结果就为
别高兴的太早了。。。我们接下来该计算不同k的情况下,a是多少了
我们直接计算通项公式中的a
得到
好了,大难题结束了,怎么判断给出的两个数是不是必败态呢?
bool lose(int a,int b,int k) { if(b<a) a^=b^=a^=b; int n = (b-a)/(k+1); double x = (1-1.0*k+sqrt(1.0*k*k+2.0*k+5.0))/2.0; int ans = n*x; if(ans==a) return true; else return false; }
由于精度问题,我们只判断a是不精确的,所以我们也需要判断b,两个条件会更精准
得到
AC代码
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<algorithm> #include<vector> #include<map> #include<set> #include<queue> #include<stack> using namespace std; #define ll long long #define ld long double #define INF 0x3f3f3f3f #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define PI acos(-1) const int maxn = 5e5+5; const ll mod = 1e9+9; const double eps = 1e-6L; bool lose(ll a,ll b,ll k)//由于精度问题,需要判断两个条件更精准 { if(a>b) swap(a,b); ll n=b-a; n/=(k+1); ld tmp=sqrt(1.0*k*k+2.0*k+5); ld x=(1.0-k+tmp)/2.0,y=(3.0+k+tmp)/2.0; if((ll)(x*n)==a&&(ll)(y*n)==b) return true; else return false; } int main() { int T=1; scanf("%d",&T); while(T--) { ll a,b,k; scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&k); if(a>b) swap(a,b); if(lose(a,b,k)) puts("0"); else puts("1"); } return 0; }
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爱好数学的国王【唯一分解定理】
2018-12-13 21:32:07题目描述 Z 国的国王是一个非常爱好数学的国王。一天他对着他的那些大臣说:“素数...为了奖励他那帮管理有方的大臣,他决定把全部的 N 元奖金平均分配给其中的 K 位大臣,但酷爱数学的国王要求这 K 位大臣每人拿...题目描述
Z 国的国王是一个非常爱好数学的国王。一天他对着他的那些大臣说:“素数真是一种神奇的正整数,除了1和它本身外,不能被其他任何正整数整除,2是最小的素数,有无穷多个啊……它还有一个美妙的名字:质数,……数学多么有趣啊……”。
Z 国今年风调雨顺,百姓丰衣足食。为了奖励他那帮管理有方的大臣,他决定把全部的 N 元奖金平均分配给其中的 K 位大臣,但酷爱数学的国王要求这 K 位大臣每人拿到的奖金必须是个素数。哪个大臣能够解决这个数学问题,国王就把奖金给这个大臣和另外的 K-1 人。
大臣们都想自己获得更多的奖金,所以希望分得奖金的大臣人数 K 越少越好。机智的大臣请来了“编程大侠”来帮忙解决这个问题。国王的间谍得知了这个情况后向国王汇报了大臣的行为。国王早就听说“编程大侠”的厉害,于是决定问 T 次这个问题,来试探一下
“编程大侠”的真正实力。输入
输入共T+1行。
第1行一个整数T,表示国王问了T次。
接下来T行每行一个整数N,表示国王打算分配给大臣的总奖金。输出
输出共T行。
第i行一个整数K,表示最少多少位大臣来平分输入中对应的全部奖金。如果找不到满足国王要求的分配办法,请输出“0”(输出时不包含双引号)。国王共问了 3 次。
第一次国王说:“我们总共有 3 元奖金”。“编程大侠”说:“最少分配给 1 位大臣,他可以获得所有奖金,即 3 元,因为 3 是一个素数”。
第二次国王说:“我们总共有 4 元奖金”。“编程大侠”说:“最少分配给 2 位大臣,他们每人可以获得 2 元奖金,因为 2 是一个素数”。
第三次国王说:“我们总共有 100 元奖金”。“编程大侠”说:“最少分配给 20 位大臣,他们每人可以获得 5 元奖金,因为 5 是一个素数”。分析:
1.根据国王的问法与分配方法,可以肯出,可以整除的那个最大的素数。
2.根据唯一分解定理,任何一个大于1的数都可以表示出,几个连续质数的乘积。
3.所以可以将这个数 的质因数从小到大乘起来,保留他的积,最后用n除以他的积,即为最大的素数。
4.代码也增加了一个输出,输出该数的乘积表示 比如120=2*2*2*3*5,用来验证唯一分解定理。
#include <stdio.h> #include <algorithm> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> using namespace std; int vis[(int)(1e6+5)]; int prime[(int)(1e6+5)]; int main(){ int cnt=0; for(int i=2;i<=1e6;i++) if(!vis[i]) { prime[++cnt]=i; for(int k=2*i;k<=1e6;k+=i) vis[k]=1; } int m,n; int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%d",&n); int a[50000]; int ans=0; m=1; int z=n; for(int i=1;i<=cnt;i++) { while(n%prime[i]==0) { n/=prime[i]; if(n!=1) m*=prime[i]; a[++ans]=prime[i]; } if(n==1) break; } for(int i=1;i<=ans;i++) { if(i!=ans) printf("%d*",a[i]); else printf("%d",a[i]); } printf("\n%d\n",z==1?0:m); } return 0; }
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2015-05-25 10:55:24你那个初等解法就是加几个麻烦的字母让人觉得高尚,其实就是Steiner的变形,当时他试图拿这个错误的证明赚杂志社的钱。 我这个初等解法才是正确的。 ![图片说明]... -
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hihocoder #1698 假期计划 (排列组合+费马小定理+乘法逆元)
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