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  • 最优化问题简介

    千次阅读 2016-02-23 15:17:12
     一年多学习以来,无论是前面学习压缩感知,还是这半年学习机器学习,一直离不开最优化,比如压缩感知的基追踪类重构算法,核心问题就是一个优化问题,而机器学习中的很多算法也需要最优化的知识,比如支持向量机...

    转自:彬彬有礼的专栏

    题目:最优化问题简介

            一年多学习以来,无论是前面学习压缩感知,还是这半年学习机器学习,一直离不开最优化,比如压缩感知的基追踪类重构算法,核心问题就是一个优化问题,而机器学习中的很多算法也需要最优化的知识,比如支持向量机算法。看来必须得把最优化的基本内容学习一下了,不求理解的有多么深,至少要知道怎么用。其实前面已经写过一篇与最优化相关的内容了,就是《压缩感知中的数学知识:凸优化》这篇。

            从本篇起,开始学习一些有关最优化的基础知识,重点是了解概念和如何应用。本篇是参考文献第1.1节的一个摘编或总结,主要是把一些概念集中起来,可以随时查阅。

    1、一般形式

            最优化问题的数学模型的一般形式为(以下称为最优化数学模型):

    其中为连续函数,通常还要求连续可微。称为决策变量目标函数约束函数等式约束不等式约束,并记等式约束的指标集不等式约束的指标集分别是英文单词minimize(极小化)subject to(受约束)的缩写。

    2、概念

            如果点满足最优化数学模型中的所有约束条件就称为可行点(Feasible Point),所有可行点的全体称为可行域(Feasible Region),用表示。在一个可行点考虑不等式约束,如果有,就称不等式约束在点考虑不等式约束是有效约束起作用约束(active constraint),并称可行点位于约束的边界;如果有,就称不等式约束在点无效约束不起作用约束(inactive constraint);对于一个可行点,如果没有一个不等式约束是有效的,就称是可行域的内点,不是内点的可行点就是可行域的边界点。显然在边界点至少有一个不等式约束是有效约束,当存在等式约束时,任何可行点都要满足等式约束,因此不可能是等式约束的内点。
            如果一个可行点满足,则称为最优化问题的全局最优解(或总体最优解);如果可行点满足,则称为最优化问题的严格全局最优解(或严格总体最优解);对于可行点,如果存在一个邻域使得成立,则称为最优化问题的局部最优解,其中是一个小的正数;对于可行点,如果存在一个邻域使得成立,则称为最优化问题的严格局部最优解。如下图所示,点是严格全部极小解,则是局部极小解,其中是严格局部极小解,而是非严格局部极小解。(注:附近有一段线是水平的)


            一般常见的最优化方法只适用于确定最优化问题的局部最优解,有关确定全局最优解的最优化方法属于最优化问题的另一个领域——全局最优化。然而,如果最优化问题的目标函数是凸的,而可行域是凸集,则问题的任何最优解(不一定唯一)必是全局最优解,这样的最优化问题又称为凸规划。进一步,对于凸集上的严格凸函数的极小化问题,存在唯一的全局最优解。

    3、分类

    1)约束最优化问题

            只要在问题中存在任何约束条件,就称为约束最优化问题

            只有等式约束时,称为等式约束最优化问题,数学模型为:

            只有不等式约束时,称为不等式约束最优化问题,数学模型为:


            既有等式约束,又有不等式约束,则称为混合约束优化问题(或一般约束优化问题);

            把简单界约束优化问题称为盒式约束优化问题(或有界约束优化问题),数学模型为:

    2)无约束最优化问题

            如果问题中无任何约束条件,则称为无约束最优化问题,数学模型为:

    3)连续与离散最优化问题

            决策变量的取值是连续的,称为连续最优化问题

            决策变量的取值是离散的,称为离散最优化问题,又称为组合最优化问题。如整数规划、资源配置、邮路问题、生产安排等问题都是离散最优化问题的典型例子,求解难度比连续最优化问题更大。

    4)光滑与非光滑最优化问题

            如果最优化数学模型中的所有函数都连续可微,则称为光滑最优化问题

            只要有一个函数非光滑,则相应的优化问题就是非光滑最优化问题

    5)线性规划问题

            对于连续光滑最优化问题,如果最优化数学模型中的所有函数都是决策变量的线性函数,则称为线性规划问题。线性规划问题的一般形式为:


    其中。矩阵向量形式为


    其中


    6)二次规划问题

            对于连续光滑最优化问题,如果最优化数学模型中的目标函数是决策变量的二次函数,而所有约束都是决策变量的线性函数,则称为二次规划问题。二次规划问题的一般形式为:

    其中为纯量,阶对称矩阵。如果为半正定矩阵,则称此规划为凸二次规划,否则为非凸规划。对于非凸规划,由于存在比较多的驻点,求解比较困难。

    7)非线性最优化问题

            只要最优化数学模型中的函数有一个关于决策变量是非线性的,则称为非线性最优化问题

            非线性最优化问题是最一般的最优化问题,而线性规划和二次规划问题却是相当重要的特殊的最优化问题,因为在实际中形成的许多最优化问题都是线性规划问题或二次规划问题,而且在用迭代法求非线性最优化问题的最优解时我们常常用线性规划或二次规划来局部近似原非线性最优化问题,并通过求所得近似问题的最优解来对已有最优解的估计进行改进。

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  • 最优化学习 约束优化问题

    万次阅读 2021-06-02 00:01:47
    约束优化问题约束优化问题约束优化最优解的特征 约束优化问题 (P)min⁡f(x)(P) \min f(x)(P)minf(x)s.t. gi(x)⩽0,i=1,…ms.t. \text{ }g_{i}(x) \leqslant 0, i=1, \ldots \mathrm{m}s.t. gi​(x)⩽0,i=1...

    全部笔记的汇总贴:最优化学习目录


    约束优化问题

    (P)minf(x)(P) \min f(x)s.t. gi(x)0,i=1,ms.t. \text{ }g_{i}(x) \leqslant 0, i=1, \ldots \mathrm{m}hi(x)=0,i=1,.ph_{i}(x)=0, i=1, \ldots . p

    非光滑无约束优化问题有时可重构成光滑的约束问题
    在这里插入图片描述

    约束优化最优解的特征

    minf(x),xR2\min f(x),x\in R^{2}s.t. g1(x)0s.t. \text{ } g_{1}(x)\leqslant 0g2(x)0g_{2}(x)\leqslant 0g3(x)0g_{3}(x)\leqslant 0

    已知xx^{*}是局部最优解
    实际起作用的约束函数g1(x),g2(x)g_{1}(x),g_{2}(x)
    g1(x)=g2(x)=0g_{1}\left(x^{*}\right)=g_{2}\left(x^{*}\right)=0
    不起作用的约束函数g3(x)g_{3}(x)
    g3(x)<0g_{3}(x) < 0

    我们观察xx^{*}有以下特点
    {f(x)=λ1g1(x)+λ2g2(x)λ1,λ20\left\{\begin{array}{l}-\nabla f\left(x^{*}\right)=\lambda_{1} \nabla g_{1}\left(x^{*}\right)+\lambda_{2} \nabla g_{2}\left(x^{*}\right) \\ \lambda_{1}, \lambda_{2} \geqslant 0\end{array}\right.
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    接下来会介绍最优解的一阶必要条件 KKT条件

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  • Lingo解决最优化问题

    千次阅读 2019-09-30 08:14:01
    目录 Lingo解决优化问题 前言 一、优化模型介绍 二、运输问题 2.1 问题描述 2.2 问题分析 2.2 优化模型构建 2.3 模型求解 2.4 求解结果 三、待更新 ...

    Lingo解决优化问题

    @

    前言

    前面,我们已经对Lingo有了一定的了解,但是要想真正的熟悉Lingo在解决优化问题中的强大之处,还需要不断加强相关训练,本文主要是使用Lingo来解决优化问题,该文的主要目的有以下三点:

    • 希望能够提升自己对Lingo的相关操作并加强对优化问题的思维模式
    • 方便日后对Lingo核心操作的回顾
    • 希望每一位到来的朋友能够有所收获

    若您对Lingo的安装及基本操作不是很了解,可暂且移步:Lingo安装Lingo基本操作

    一、优化模型介绍

    优化模型主要有三个基本要素:决策变量、目标函数、约束条件。其一般形式如下:

    $$
    opt     f(x) \
    s.t     h_i(x)=0, i=1,2,\cdots,m \
    g_j(x)\leq0, j=1,2,\cdots,l
    $$

    $opt$ 是“optimize”的缩写,表示“最优化”,一般为 $min$ 或 $max$,$f(x)$ 表示目标函数,$s.t.$ 是“subject to”的缩写“受约束于”,$h_i(x), g_i(x)$ 则表示约束条件,其中 $x$ 表示优化模型的决策变量。

    二、运输问题

    2.1 问题描述

    Question:有三个生产地和四个销售地,其生产量、销售量及单位运费如表所示,求总运费最少的运输方案以及总运费。

    faedab64034f78f0fcf571d074310a55b3191c12.jpg

    2.2 问题分析

    由题意,我们不难看出优化模型的决策变量是每个生产地向各个销售地运输的货量,即 $s_{ij}$。运输的总费用由各个产地向各个销售地运输所需费用之和,一个产地可以向多个销售地运输货物,一个销售地亦可接受多个产地的货物,所以可知优化模型中的目标函数是运输的总费用,即 $W=\sum^3_{i=1}\sum^4_{j=1}s_{ij}x_{ij}$。除此之外,该目标函数受到两个限制,即优化模型的约束条件:

    • 生产地限制:每个生产地的运输量理应小于产生量,$\sum_{j=1}^4s_{ij}\leq a_i$
    • 销售地限制:每个销售地接受的货物理应等于销售量,$\sum_{i=1}^3x_{ij}=b_j$

    2.2 优化模型构建

    有以上问题分析,为求出总运费最小的方案,我们可以构建该问题的优化模型如下:

    $$
    min     \sum^3_{i=1}\sum^4_{j=1}s_{ij}x_{ij} \
    s.t.     \sum_{j=1}^4s_{ij}\leq a_i ;; \sum_{i=1}^3x_{ij}=b_j  ; s_{ij}\geq0  ;
    $$

    2.3 模型求解

    求解的Lingo代码如下:

    sets:
    supply/1..3/: s;  !定义运输集,集中的每个元素都有对应的属性,即运输量s;
    demand/1..4/: d;    !定义需求集,集中的每个元素都有对应的属性,即需求量d;
    link(supply, demand): p, x; !定义link衍生集,每个元素中都有两个属性,运费p,运输量x;
    endsets
    
    data:
    s = 30 25 21;   !定义数据集s,表示生产量;
    d = 15 17 22 12;    !定义数据集d,表示销售量;
    p = 6 2 6 7     !定义数据集p,表示生产地向销售地所对应的运费;
        4 9 5 3
        8 8 1 5;
    enddata
    
    min = @sum(link(i,j): p(i,j)*x(i,j));   !目标函数;
    @for(supply(i): @sum(demand(j): x(i,j)) <= s(i));   !生产地限制约束条件;
    @for(demand(j): @sum(supply(i): x(i,j)) = d(j));    !销售地限制约束条件;

    2.4 求解结果

    运行如上所示Lingo程序,我们可以得到如下结果:

    f2deb48f8c5494ee6a0fd73a20f5e0fe99257ee0.jpg

    通过上图展示,我们可以得到运输的最佳方案以及最小运费161个单位。运输方案图示如下:

    4e4a20a4462309f7d17476317f0e0cf3d7cad6fe.jpg

    三、待更新

    转载于:https://www.cnblogs.com/LiT-26647879-510087153/p/9721064.html

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  • 最优化问题-线性优化(LP)

    万次阅读 多人点赞 2017-07-01 19:10:11
    这里最优化问题的讨论,主要指在给定某个确认的目标函数以及该函数的自变量的一些约束条件,求函数的最大或最小值的问题,通用的数学表达式: 目标函数 : f(x) f(x) 约束条件 : s.t.g(x)≤0,h(x)=0 s.t. g(x) \leq...

    这里最优化问题的讨论,主要指在给定某个确认的目标函数以及该函数的自变量的一些约束条件,求函数的最大或最小值的问题,通用的数学表达式:

    1. 目标函数 :
      f(x)
    2. 约束条件 :
      s.t.g(x)0,h(x)=0
    3. 求解:
      minf(x)maxf(x)

    根据约束条件以及目标函数性质不同,最优化问题求解的思路也有很大的不同,其中无约束优化问题的方法是基础,而带约束优化问题则在一定条件下可以转化为无约束优化问题来求解。

    名词解释 (Terminology)

    凸函数 (convex function) [1] 定义:

    f(tx1+(1t)x2)tf(x1)+(1t)f(x2)

    x1,x2X,t[0,1]

    线性优化最优解 (LP - Linear Programming)

    当优化问题满足以下条件时,
    1) 线性目标函数 (linear objective function)
    2) 线性约束条件 (linear constraints)
    3) 自变量大于零

    我们称该优化问题为线性优化问题(LP - Linear Programming) , 数学表达式为[3]:

    Linear_Programming_Mathematic

    在这我们更关注如何通过计算程序/代码解决线性优化问题, 主流思路是单纯形算法 (Simplex Algorithm) [4] [George Dantzig, 1947], 该算法的基本思路是,
    1) 为待求解目标函数和约束条件添加宽松变量(slack varibles),使其成为等式
    2) 设定 m个 (m < n, n 为待求解自变量)主成分变量 (basis)
    3) 将n-m个非主成分变量设置为零,解出m个主成分值
    4) 从该m个主成分极值(extreme point) 移到下一个主成分极值
    5) 最优解为可行域中的极值点(extreme point)

    具体例子, 膳食问题 (The Diet Problem) 表述已知人体所需元素列表

    N1,...,Nn
    , 在给定多样食物
    F1,...,Fm
    ,和对应每样食物的单元价格为
    b1,...,bm
    , 以及每样食物单元F_i所对应的人体所需元素N_j 含量
    aij
    , 为满足人体日常对各种元素需求
    cj
    , 并最小化日常开销

    1) 目标函数:

    b1y1+...+bmym=(bTY)

    2) 约束条件:
    i=0maijyicj

    3) 求解:
    min(bTY)

    问题具体化 (例子中的数据没有任何实际意义,可以为任何整数),假设人体所需元素有钙(480),锌(160),钠(1190), 市场上含有该元素的材料有红豆 (单价13),猪肉(单价23), 其中每种单位材料对应元素含量见下表:

    红豆 猪肉
    5 15
    4 4
    35 20

    1) 目标函数

    13x+23y

    2) 约束条件
    5x+15y4804x+4y16035x+20y1190
    解法[2]:
    Step One - 添加宽松变量 (slack variable)
    这里写图片描述 图中a, b, c 为宽松变量, z 为待求解目标值;

    Step Two - 设置主成分变量,初始化时以宽松变量为主成分,即a, b, c, 并初始化非主成分元素为0, x=0, y=0, z=0, 求解得a,b,c分别为480, 160, 1190,该点一定为可行域极点;

    Step Three - 随机选取待求解等式中的非主成分变量{x, y},如y, 后将y作为主成分成员,移除任意一个主成分成员{a, b, c}, 如a, 非主成分x, a为0,主成分变量y=32, b=32, c=550, z=736
    这里写图片描述

    Step Four - 重复主成分替换过程,将x移入主成分, {x, y, b},非主成分 {a, c, z}=0, 得x=12, y=28, z=800, c=110;
    这里写图片描述

    Step Five 何时停止?当第一行的系数全不为零, 因为a,c 大于等于0,z=800-a-c, z小于等于800,即为最优解
    步骤 主成分 非主成分
    Step One a=480,b=160,c=1190 x,y=0
    Step Two y=32,b=32,c=550 x,a=0
    Step Three x=12,y=28,c=110 a,b=0

    代码部分:

    # -*- encoding: utf-8 -*-
    import re, sys
    import numpy as np
    import copy
    
    class SimplexAlgorithm(object):
        """
        Implement of Simplex Algorithm
        """
    
        def __init__(self, A, b, c):
            """
            A = constraint Matrix
            I = slack Matrix
            b = constraint 
            c = objective coefficient
            """
            A = np.array(A)
            b = np.array(b)
            c = np.array(c)
            assert len(A.shape) == 2
            assert A.shape[0] == len(b)
            assert A.shape[1] == len(c)
            M = A.shape[0]
            N = len(c)
    
            a = []
            for i in range(M):
                _temp = []
                for j in range(N):
                    _temp.append(A[i, j])
    
                # I part
                _I = [0] * M
                _I[i] = 1.
    
                # b Part
                _b = [b[i]]
    
                _temp += _I + _b 
                a.append(_temp)
    
            # c part
            a.append(list(c) + [0] * (M + 1))
            print "Construct Matrix: "
            for ele in a:
                print "\t".join([str(ent) for ent in ele])
            print "---------"
    
            self.matrix = a
            self.N = N
            self.M = M
    
        def pivot(self, x, y):
            """
            """
            for i in range(self.M + 1):
                for j in range(self.M + self.N + 1):
                    if (x != i and j != y):
                        self.matrix[i][j] -= self.matrix[x][j] * self.matrix[i][y] / self.matrix[x][y]
    
            # zero out column y
            for i in range(self.M + 1):
                if (i != x): self.matrix[i][y] = 0.0
    
            # scale row x
            for j in range(self.M + self.N + 1):
                if (j != y): self.matrix[x][j] /= self.matrix[x][y]
    
            self.matrix[x][y] = 1.
    
        def solve(self):
            """
            """
            while True:
                p, q = 0, 0
                for q in range(self.M + self.N + 1):
                    if (self.matrix[self.M][q] > 0): break # positive objective coefficient
                if (q >= self.M + self.N): break
    
                for p in range(self.M):
                    if self.matrix[p][q] > 0: break
    
                for i in range(p+1, self.M):
                    if self.matrix[i][q] > 0:
                        # min ratio test
                        if (self.matrix[i][self.M + self.N] / self.matrix[i][q] < 
                            self.matrix[p][self.M + self.N] / self.matrix[p][q]):
                            p = i
    
                self.pivot(p, q)
            return self.matrix
    
    if __name__ == "__main__":
        reload(sys)
        sys.setdefaultencoding("utf-8")
    
        # value should be float type
        A = [[5., 15.], [4., 4.], [35., 20.]]
        c = [13., 23.]
        b = [480., 160., 1190.]
    
        instance = SimplexAlgorithm(A, b, c)
        res = instance.solve()
    
        print "Result: "
        for ele in res:
            print "\t".join([str(ent) for ent in ele])

    1 https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
    2 https://www.cs.princeton.edu/~rs/AlgsDS07/22LinearProgramming.pdf
    3 https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming
    4 https://en.wikipedia.org/wiki/Simplex_algorithm

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    万次阅读 多人点赞 2019-06-17 10:17:48
    我们要求解的最优化问题的形式如下: min f(x)s.t.gi(x)&gt;0,i=1,...,mhj(x)=0,j=1,...,n \begin{aligned} min \ f(x) \\ s.t.\quad g_i(x)&amp; \gt 0, i = 1,...,m\\ \quad h_j(x)&amp; = ...
  • 一、最优化问题的分类 最优化问题可以分为一下三类: &lt;1&gt;无约束的优化问题,可以写成:   对于第&lt;1&gt;类的优化问题,常常使用的方法就是Fermat定理,即使用求取f(x)的导数,然后令其...
  • 优化问题综述(四)有约束最优化算法

    万次阅读 2018-09-04 14:27:42
    最优化问题的三种情况 无约束条件:梯度下降法等(前面的文章已经有详细的描述) 等式约束条件:解决方法是消元法或者拉格朗日法。 不等式约束条件:一般用KKT(Karush Kuhn Tucker)条件对偶求解 等式约束条件...
  • 凸优化问题凸优化问题及其标准形式标准形式介绍最优化的取值----局部极值,或者全局极值标准形式中的隐式约束Implicit constraint可行域feasibility问题凸优化问题局部最小值和全局最小值的问题可微函数的最优性条件...
  • 无约束最优化问题

    万次阅读 2012-12-12 17:08:56
    和自然语言处理没什么关系,不过如果你听说过最大熵模型、条件随机场,并且知道它们在自然语言处理中被广泛应用,甚至你明白其核心的参数训练算法中有一种叫LBFGS,那么本文就是对这类用于解无约束优化算法的Quasi-...
  • 最优化问题广泛的存在于社会生产活动当中,我们一直努力寻求更高效、更准确的解决方式来应对这类问题。通常,最优化问题可以表述为一种数学规划的形式,对于变量在可行域中的不同组合进行搜索,以得到目标函数的最优...
  • Excel求解最优化问题(有具体步骤)

    千次阅读 2019-12-16 21:56:22
    此处是典型的最优化问题:设种植x公顷粮食,y公顷大米。约束条件为以下三个不等式: (1)x+y  (2) 120x+210y  (3) 3500x+1000y 优化目标函数:max(1.3*3500x+2*1000y) # 接下来利用excel解决...
  • [最优化]不等式约束的优化问题求解

    万次阅读 2018-06-08 16:31:23
    不等式约束的优化问题求解 与前文讨论的只含等式约束的优化问题求解类似,含不等式约束的优化问题同样可以用拉格朗日乘子法进行求解 对于一般形式的优化问题: minimizef(x)subject&nbsp;toh(x)=0g(x)≤0...
  • ipopt是一个解决非线性规划最优化问题的工具集,当然,它也可以用于解决线性规划问题的求解。它提供了c/c++接口,非常易于使用。
  • 最优化问题—非线性规划(一)

    千次阅读 2020-05-25 20:25:30
    最优化问题—非线性规划(一) 1. 非规划模型的引入和形式描述 1.1 一个非规划的例子 在之前的文章中,我们主要介绍了线性规划模型。其实,在我们建模的过程中,更多的是非规划的问题。我们下面从一个问题进入: 设第...
  • 最优化理论算法

    千次阅读 多人点赞 2018-12-22 21:05:14
    1 预备知识 1.1 最优化问题 1.1.1最优化问题的数学模型一般形式为:  目标函数  s.t 约束条件 ...
  • 最优化方法:六、约束最优化方法

    千次阅读 2018-07-25 10:55:56
    前面我们已经讨论无约束问题最优化方法,但实际碰到的问题常常是存在约束的。一般的约束最优化问题的数学模型为: minf(X)s.t.{gi(X)≥0,&nbsp;&nbsp;i=1,2,⋯,l,hj(X)=0,&nbsp;&nbsp;j=1,2,⋯,m...
  • 当然,有些时候(或者说大部分时候)数据并不是线性可分的,这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在(不过关于如何处理这样的问题我们后面会讲),这里先从简单的情形开始推导,就假设数据都是线性可分的,亦即...
  • 如何用Python解决最优化问题

    千次阅读 2019-05-29 08:00:00
    看书的时候刚好发现一个案例——要求优化投放广告渠道的资源,以最大化产品咨询量。现有5个广告投放渠道,分别是日间电视、夜间电视、网络媒体、平面媒体、户外广告,每个渠道的效果...
  • 常用最优化方法

    千次阅读 2018-05-18 14:14:15
    熟悉机器学习的童鞋都知道,优化方法是其中一个非常重要的话题,最常见的情形就是利用目标函数的导数通过多次迭代来求解无约束最优化问题。实现简单,coding方便,是训练模型的必备利器之一。 2. 几个数学概念 1)...
  • Lingo解决优化问题

    千次阅读 多人点赞 2018-08-30 17:15:02
    前面,我们已经对Lingo有了一定的了解,但是要想真正的熟悉Lingo在解决优化问题中的强大之处,还需要不断加强相关训练,本文主要是使用Lingo来解决优化问题,该文的主要目的有以下三点: 希望能够提升自己对Lingo...
  • 在约束最优化问题中,常常利用拉格朗日对偶性(Lagrange duality)将原始问题转换为对偶问题,通过解对偶问题而得到原始问题的解。该方法应用在许多统计学习方法中,例如最大熵模型和支持向量机。对于等式约束的优化...
  • 这个领域困难的问题之一是作业车间调度问题(Job-shop Scheduling Problem, JSP),该问题中,一组机器需处理一组工件,每个工件由一系列具有先后顺序约束的工序形成,每个工序只需要一台机器,机器一直可用,可以...
  • 什么是凸优化问题

    千次阅读 2015-10-21 17:09:45
    ...数学中最优化问题的...凸优化问题是指是闭合的凸集合且是上的凸函数的最优化问题,这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。 其中,是凸集是指对集合中的任意两点,有,即任意两点的连
  • 优化问题

    千次阅读 2017-10-15 17:14:58
    数学中最优化问题

空空如也

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