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  • 【算法分析与设计】二分查找平均查找长度的求解
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    2020-04-29 09:42:05

    问题描述

    对于长度为 9 9 9 的顺序存储的有序表 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

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  • 二分查找的平均查找长度

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    二分查找的平均查找长度二分查找的平均查找长度进行简单分析。 向作出假设:要查找的元素在数组内,数组长度 nnn. 约定对长度 nnn 的数组,平均查找长度为随机变量 CnC_nCn​,随机变量 InI_nIn​ 定义如下 ...

    二分查找的平均查找长度

    对二分查找的平均查找长度进行简单分析。

    向作出假设:要查找的元素在数组内,数组长度为 n n n. 约定对长度为 n n n 的数组,平均查找长度为随机变量 C n C_n Cn,随机变量 I n I_n In 定义如下

    I n = { 1 要 查 找 的 关 键 字 是 这 个 长 度 为 n 的 数 组 的 中 间 的 关 键 字 0 o t h e r w i s e , I_n=\left\{ \begin{matrix} 1 & 要查找的关键字是这个长度为 n 的数组的中间的关键字\\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{matrix} \right., In={10notherwise,

    那么

    C n = I n + ( 1 − I n ) ( C n / 2 + 1 ) , C_n=I_n+(1-I_n)(C_{n/2}+1), Cn=In+(1In)(Cn/2+1),

    取其期望值

    E ( C n ) = 1 n + ( 1 − 1 n ) E ( C n / 2 + 1 ) < 1 n + 1 + E ( C n / 2 ) , E(C_n)=\frac1n+\left(1-\frac1n\right)E(C_{n/2}+1)<\frac1n+1+E(C_{n/2}), E(Cn)=n1+(1n1)E(Cn/2+1)<n1+1+E(Cn/2),

    展开

    E ( C n ) = 1 + ⋯ + 2 ⌊ log ⁡ n ⌋ n + ⌊ log ⁡ n ⌋ + c = Θ ( log ⁡ n ) . E(C_n)=\frac{1+\cdots+2^{\lfloor\log{n}\rfloor}}n+\lfloor\log{n}\rfloor+c=\Theta(\log {n}). E(Cn)=n1++2logn+logn+c=Θ(logn).

    简单分析,还有很多不完备的地方。

    展开全文
  • 首先要明白,二分查找是建立在有序数组的基础上的。 二分查找主要有递归和非递归两种算法实现 /** * 二分查找的递归和非递归实现 * * @author ht * */ public class BinarySearch { public static void ...

    首先要明白,二分查找是建立在有序数组的基础上的。

    二分查找主要有递归和非递归两种算法实现

    /**
     * 二分查找的递归和非递归实现
     * 
     * @author ht
     *
     */
    public class BinarySearch {
    	public static void main(String[] args) {
    		Arr a = new Arr(10);
    		a.addNum(1);
    		a.addNum(3);
    		a.addNum(6);
    		a.addNum(7);
    		a.addNum(9);
    		a.addNum(10);
    		a.addNum(13);
    		a.addNum(15);
    		a.addNum(16);
    		a.addNum(18);
    		a.addNum(20);
    		System.out.println(a.searchNum(16));// 递归
    		System.out.println(a.search(a.arr, a.arr.length, 13));// 非递归
    	}
    }
    
    class Arr {
    	int[] arr;
    	int size;
    	int index;
    	int low;
    	int mid;
    	int high;
    
    	public Arr(int size) {
    		this.size = size;
    		arr = new int[size];
    		index = 0;
    		low = 0;
    		high = size - 1;
    		mid = (low + high) / 2;
    	}
    
    	public void addNum(int num) {
    		if (index < size) {
    			arr[index++] = num;
    		}
    	}
    
    	// 递归算法
    	public int searchNum(int num) {
    		if (high < low) {
    			System.out.println("查找的数不存在!");
    			return -1;
    		}
    		if (arr[mid] == num) {
    			// return mid;//返回下标
    			return num;// 返回值
    		} else if (arr[mid] > num) {
    			high = mid - 1;
    			mid = (low + high) / 2;
    			return searchNum(num);
    		} else if (arr[mid] < num) {
    			low = mid + 1;
    			mid = (low + high) / 2;
    			return searchNum(num);
    		}
    		return -1;
    	}
    
    	// 非递归
    	public int search(int arr[], int n, int key) {
    		int low = 0, high = n - 1;
    		int mid;
    		while (low <= high) {
    			mid = (low + high) / 2;
    			if (arr[mid] == key)
    				// return mid;//返回下标
    				return arr[mid];// 返回值
    			if (arr[mid] < key)
    				low = mid + 1;
    			else
    				high = mid - 1;
    		}
    		return -1;
    	}
    }

    二分查找的平均查找长度分为两种情况,一种是成功查找到时的平均查找长度,一种是查找失败时的平均查找长度。

    实例分析

    数据:长度为9的有序数组{1,3,5,6,9,12,18,25,26}

    查找成功时的平均查找长度

    首先根据二分查找的算法,将有序数组转换成二叉树搜索树的形式,然后每一层的数据的个数乘以所在层数后累加,最后除以数据数即可。

    查找失败时的平均查找长度

    而对于查找失败的平均查找长度来说,需要为所有的结点补充左右子结点。然后计算各层子结点数与层数乘积后的累加和,最后除以补充的子结点数即可。

    展开全文
  • [图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/201809/02/1535857919_486663.png)其中有一个不懂的地方是什么Ctn-1失败情况x对应的查找长度为d,然后Ctn中成功情况x对应的查找长度d-2?如果可以的话能结合比较树...
  • ![图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/201809/02/1535874247_557957.png)![图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/201809/02/1535874275_196729.png)![图片说明]...。。能给我讲解一下吗
  • 二分查找】详细图解

    万次阅读 多人点赞 2021-04-24 15:59:45
    二分查找 文章目录二分查找1. 简介2. 例子3. 第一种写法(左闭右闭)3.1 正向写法(正确演示)3.2 反向写法(错误演示)4. 第二种写法(左闭右开)4.1 正向写法(正确演示)4.2 反向写法(错误演示)5. 总结 写在前面...

    在这里插入图片描述

    二分查找

    写在前面:

    (一)二分法的思想十分容易理解,但是二分法边界处理问题大多数人都是记忆模板,忘记模板后处理边界就一团乱(👁:“我懂了”, ✋ :"你懂个🔨"​)因为我此前也是记忆模板,所以现在想通过一边学习,一边将所学记录成博客教出去(费曼学习法),希望以后能自己推导出边界如何处理,而不仅仅是记忆模板。欢迎一起交流学习,如有看法不一样之处也欢迎留言一起讨论!

    (二)我主要解释了二分法的左闭右闭区间,左闭右开区间两种写法,并且每个写法都举了相应的反例,范围写错的话可能会出现的错误等…

    1. 简介

    故事分享🏬:

    有一天小明到图书馆借了 N 本书,出图书馆的时候,警报响了,于是保安把小明拦下,要检查一下哪本书没有登记出借。小明正准备把每一本书在报警器下过一下,以找出引发警报的书,但是保安露出不屑的眼神:你连二分查找都不会吗?于是保安把书分成两堆,让第一堆过一下报警器,报警器响;于是再把这堆书分成两堆…… 最终,检测了 logN 次之后,保安成功的找到了那本引起警报的书,露出了得意和嘲讽的笑容。于是小明背着剩下的书走了。 从此,图书馆丢了 N - 1 本书。

    保安怎么知道只有一本书📖没有登记出借,万一全部都没有登记呢​?

    这个故事其实说出了二分查找需要的条件

    • 用于查找的内容逻辑上来说是需要有序的
    • 查找的数量只能是一个,而不是多个

    比如在一个有序的数组并且无重复元素的数组中,例如[1, 2, 3, 4, 5, 6],需要查找3的位置就可以使用二分查找。

    在二分查找中,目标元素的查找区间的定义十分重要,不同的区间的定义写法不一样

    因为查找的区间是不断迭代的,所以确定查找的范围十分重要,主要就是左右区间的开和闭的问题,开闭不一样,对应的迭代方式也不一样,有以下两种方式:

    • 左闭右闭[left, right]

    • 左闭右开[left, right)

    2. 例子

    这是一个使用二分查找的例题

    题目如下:

    给定一个 n 个元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target ,写一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1。

    示例一:

    输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
    输出: 4
    解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

    示例二:

    输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
    输出: -1
    解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

    提示:

    • 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
    • n 将在 [1, 10000]之间。
    • nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

    出自704. 二分查找 - 力扣(LeetCode) (leetcode-cn.com)

    二分法的思想很简单,因为整个数组是有序的,数组默认是递增的。

    • 首先选择数组中间的数字和需要查找的目标值比较
    • 如果相等最好,就可以直接返回答案了
    • 如果不相等
      • 如果中间的数字大于目标值,则中间数字向右所有数字都大于目标值,全部排除
      • 如果中间的数字小于目标值,则中间数字向左所有数字都小于目标值,全部排除

    二分法就是按照这种方式进行快速排除查找的

    tips:

    不用去纠结数组的长度是奇数或者偶数的时候,怎么取长度的一半,以下说明,可以跳过。

    当数组的长度为奇数的时候

    是奇数的情况很简单,指向中间的数字很容易理解,如果需要查找的数字为29

    因为29大于中间的数字大于11,所以左边的所有数字全部排除

    当数组的长度为偶数的时候

    这个时候中间的数字两边的数字数量就不一样了(刚开始学习二分法的时候我经常纠结这个问题,和另外一个长度除2得到的是最中间的数吗的问题,我相信不止我一个人纠结过……但其实这是同一个问题,每次长度除2,如果长度为奇数,得到的中间的数字两边数字数量相同,如果长度为偶数就为上图中间的数字两边的相差为 1)

    但是千万不要一直纠结中间的数字两边的数字数量不一样这个问题,因为:

    • 两边数量不一样是一定会出现的情况
    • 但是这种情况并不影响我们对中间数字和目标数字大小关系的判断
      • 只要中间数字大于目标数字,就排除右边的
      • 只要中间数字小于目标数字,就排除左边的

    所以数组长度是偶数还是奇数这个真的不重要,不影响怎么排除的问题,无非是多排除一个数字或者少排除一个数字

    • 真正影响的是中间那个数字到底该不该加入下一次的查找中,也就是边界问题

    3. 第一种写法(左闭右闭)

    二分法最重要的两个点:

    • while循环中 left 和 right 的关系,到底是 left <= right 还是 left < right
    • 迭代过程中 middle 和 right 的关系,到底是 right = middle - 1 还是 right = middle

    3.1 正向写法(正确演示)

    第一种写法:每次查找的区间在[left, right](左闭右闭区间),根据查找区间的定义(左闭右闭区间),就决定了后续的代码应该怎么写才能对。因为定义 target 在[left, right]区间,所以有如下两点:

    • 循环条件要使用while(left <= right),因为当(left == right)这种情况发生的时候,得到的结果是有意义的
    • if(nums[middle] > target) , right 要赋值为 middle - 1, 因为当前的 nums[middle] 一定不是 target ,需要把这个 middle 位置上面的数字丢弃,那么接下来需要查找范围就是[left, middle - 1]

    代码如下:

    int search(int nums[], int size, int target) //nums是数组,size是数组的大小,target是需要查找的值
    {
        int left = 0;
        int right = size - 1;	// 定义了target在左闭右闭的区间内,[left, right]
        while (left <= right) {	//当left == right时,区间[left, right]仍然有效
            int middle = left + ((right - left) / 2);//等同于 (left + right) / 2,防止溢出
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1;	//target在左区间,所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1;	//target在右区间,所以[middle + 1, right]
            } else {	//既不在左边,也不在右边,那就是找到答案了
                return middle;
            }
        }
        //没有找到目标值
        return -1;
    }
    

    下面图解算法的实现过程,建议将代码复制到一个文本编辑器中,边看代码边看图。或者我直接准备了图片,保存下来打开看就好了。

    首先看一个数组,需要对这个数组进行操作。需要对33进行查找的操作,那么target 的值就是33

    • 首先,对 left 的值和 right 的值进行初始化,然后计算 middle 的值
      • left = 0, right = size - 1
      • middle = (left + (right - left) / 2 )
    • 比较 nums[middle] 的值和 target 的值大小关系

      • if (nums[middle] > target),代表middle向右所有的数字大于target
      • if (nums[middle] < target),代表middle向左所有的数字小于target
      • 既不大于也不小于就是找到了相等的值
    • nums[middle] = 13 < target = 33,left = middle + 1

    • 见下图:

    • 循环条件为 while (left <= right)

    • 此时,left = 6 <= right = 11,则继续进行循环

    • 当前,middle = left + ((right - left) / 2),计算出 middle 的值

    • 计算出 middle 的值后,比较 nums[middle] 和 target 的值,发现:

      • nums[middle] = 33 == target = 33,找到目标

    3.2 反向写法(错误演示)

    对应第一种正向的写法,我们把循环条件修改看看会发生什么事

    • 原查找区间 [left, right]
    • 原循环条件是 while (left <= right)

    修改后题目对应的条件:

    • 查找区间不变,仍然是[left, right]
    • 查找数字为27 (target = 27)
    • 循环条件修改为while (left < left)

    代码:

    int search(int nums[], int size, int target) 
    {
        int left = 0;
        int right = size - 1;	
        while (left < right) {	//left <= right 修改为 left < right,其他不变
            int middle = left + ((right - left) / 2);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1;
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1;
            } else {	
                return middle;
            }
        }
        //没有找到目标值
        return -1;
    }
    

    代码图片,边看模拟过程边看代码哦!

    好了,现在开始用图片模拟过程

    • 初始化一个数组,计算 middle 的值
    • 根据计算的 middle 值确定 nums[middle]
    • 因为nums[middle] = 13 < target = 27,所以left = middle + 1
    • 继续计算 middle 的值
    • 因为 nums[middle] = 33 > target = 27,所以 right = middle - 1
    • 接着计算 middle 的值
    • 因为 nums[middle] = 22 < target = 27,此时 left = middle + 1,此时 left = right,而循环条件为while (left < right),所以还未找到27 的情况下算法就跳出了循环,返回 -1

    4. 第二种写法(左闭右开)

    4.1 正向写法(正确演示)

    第二种写法:每次查找的区间在 [left, right),(左闭右开区间), 根据区间的定义,条件控制应该如下:

    • 循环条件使用while (left < right)
    • if (nums[middle] > target), right = middle,因为当前的 nums[middle] 是大于 target 的,不符合条件,不能取到 middle,并且区间的定义是 [left, right),刚好区间上的定义就取不到 right, 所以 right 赋值为 middle。

    代码如下:

    int search(int nums[], int size, int target)
    {
    	int left = 0;
    	int right = size; //定义target在左闭右开的区间里,即[left, right)
    	while (left < right) {	//因为left = right的时候,在[left, right)区间上无意义
    		int middle = left + ((right - left) / 2);
    		if (nums[middle] > target) {
    			right = middle; //target 在左区间,在[left, middle)中 
    		} else if (nums[middle] < target) {
    			left = middle + 1;
    		} else {
    			return middle;
    		}
    	} 
        // 没找到就返回-1
    	return -1;
    }
    

    代码图片:保存下来边看代码边看图片演示过程

    • 需要查找的值为3

    第一步是初始化 left 和 right 的值,然后计算 middle 的值

    • left = 0, right = size
    • 循环条件while (left < right)

    因为是左闭右开区间,所以数组定义如下:

    • 计算 middle 的值,
    • 比较 nums[middle] 和 target 的大小:因为 nums[middle] = 22 > target = 3
    • 所以 right = middle
    • 符合循环的条件,接着计算 middle 的值
    • 比较 nums[middle] 和 target 的大小:因为 nums[middle] = 9 > target = 3
    • 所以 right = middle
    • 符合循环的条件,继续计算 middle 的值
    • 比较 nums[middle] 和 target 的大小关系:因为nums[middle] = 0 < target = 3
    • 所以 left = middle + 1

    在这里插入图片描述

    • 符合循环条件,接着计算 middle 的值
    • 比较 nums[middle] 和 target 的关系:nums[middle] = 3 == target = 3
    • 成功找到 target

    4.2 反向写法(错误演示)

    对应第二种正确的写法,照样把循环条件修改,看会发生什么事

    正确的写法中条件为:

    • 查找原区间 [left, right)
    • 循环条件为 while (left < right)

    修改后题目对应的条件:

    • 查找区间不变,仍然是 [left, right)

    • 循环条件修改为:while (left <= right)

    • 查找的数字为26(数组中不存在这个数字!!!

    代码:

    int search(int nums[], int size, int target)
    {
    	int left = 0;
    	int right = size; 
    	while (left <= right) {	//条件left < right 修改为 left <= right
    		int middle = left + ((right - left) / 2);
    		if (nums[middle] > target) {
    			right = middle; 
    		} else if (nums[middle] < target) {
    			left = middle + 1;
    		} else {
    			return middle;
    		}
    	} 
        // 没找到就返回-1
    	return -1;
    }
    

    代码图片:(记得边看边保存图片代码边看图片演示哦!)

    以下是演示全过程:

    • 同样,开始初始化一个数组
    • 先计算 middle 的值
    • 判断 nums[middle] 和 target 的大小关系:nums[middle] = 22 < target = 26
    • left = middle + 1 (其实这里nums[left] 已经等于27,26不可能找到,接下去就看算法是否能够知道数组中不存在26并且返回-1 了)
    • 符合循环条件,计算 middle 的值
    • 判断 nums[middle] 和 target 的大小关系:nums[middle] = 57 > target = 26
    • right = middle
    • 满足循环条件,接着计算 middle 的值
    • 比较 nums[middle] 和 target 的大小关系:nums[middle] = 33 > target = 26
    • right = middle
    • 符合循环条件,继续计算 middle 的值
    • 比较 nums[middle] 和 target 大小关系,因为 nums[middle] = 27 > target = 26,
    • 所以 right = middle,自此,left 和 right 相遇,但是循环条件被我们修改成 while (left <= right) 会接着做循环
    • 接下来就是死循环

    • 因为 middle = left + ((right - left) / 2),当 left = right 的时候,middle 的值不会继续改变

    • middle 不继续改变,由于right = middle,right 也不会改变,所以三个数字自此开始不会继续改变

    • 循环条件 while (left <= right) 却仍然满足,不会跳出循环

    • 死循环……

    5. 总结

    二分法最重要的两个点,就是循环条件和后续的区间赋值问题

    因为两者是相互联系,相互影响的,所以就需要两者统一,如果两者不统一,就会出现问题

    所以循环条件和赋值问题必须统一,也就是循环不变量。

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  • Round17—顺序查找、二分查找

    千次阅读 2019-11-09 16:37:15
    知识点: 知道什么是顺序查找,什么是二分查找,知道判定树,知道二分查找的最大比较次数是 单选题: 2-1已知一个长度为16的...2-2用二分查找从100个有序整数中查找某数,最坏情况下需要比较的次数是:(2分) ...
  • 二分查找过程可用二叉树来描述:  这样的二叉树称为判定树。 外部结点即查找失败对应的结点,是虚拟的 n个关键字:内部结点n个,外部结点n+1个 怎么画判定树? 例如给出11个数据元素的有序表:(2,3,10,15,...
  • 静态查找表——基于线性表的查找法 动态查找表——基于树表的查找法 哈希表——计算式查找法 基本概念 查找表 由同一类型的数据元素(记录)构成的集合。 查找的定义 给定一个值 key,在含有 n 个记录的表中找出...
  • 查找算法之顺序查找和二分查找

    千次阅读 2020-05-24 23:30:24
    1.顺序查找 代码如下: #include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; const int maxn = 110; int arr[maxn]; int SequenceSearch(int arr[],int key, int n); int main(){ int n,key...
  • 二分查找法最大最小比较次数

    千次阅读 2019-09-10 11:11:21
    说说「二分查找法」。
  • 作为一种最直观的查找方法,其基本思想是线性表的一端开始,逐个检查关键字是否满足给定的条件。若查找到某个元素的关键字满足给定条件,则查找成功,返回该元素在线性表中的位置;若已经查找到表另一端,但还没有...
  • 二分查找算法及其变种详解

    千次阅读 多人点赞 2019-02-15 21:11:47
    二分查找(Binary Search)算法,也叫折半查找算法,它的思想非常简单,在生活中随处可见(比如:猜字游戏),但这看似简单的算法,实际却没那么容易掌握透彻。 二分查找针对的是一个有序的数据集合,查找思想有点...
  • 请实现有重复数字的升序数组的二分查找: 给定一个 元素有序的(升序)整型数组 nums 和一个目标值 target ,写 一个函数搜索 nums 中的 target,如果目标值存在返回下标,否则返回 -1 示例1 输入 [1,2,4,4,5],4 ...
  • private static final double PROCISION =0.0000000001;... //二分查找,已知 :sqrt(2)约等于1.414,要求不使用Math库,精确到小数点后10位 System.out.println(Math.sqrt(2)); double value=sq...
  • 项目背景: 一个文件获取10万笔... *如果源数据是有序的,则二分查找法效率高  *如果源数据是无序的,则顺序查找法效率高 原因: 1、字符串排序非常耗时 2、二分查找法需要先排序 执行结果 ------------...
  • 二分查找&三分查找

    千次阅读 2019-07-12 21:37:11
    二分查找&三分查找 二分查找(折半查找)是查找算法中一种有效的算法:输入一个有序序列(数组)和一个元素,如果该元素包含在改有序序列中,则返回其位置,若不存在,则返回**-1**(或NULL)。 二分查找的...
  • C++ 模板函数 二分查找

    千次阅读 2018-12-30 21:49:54
    二分查找也称对半查找,是一种很常用的,高效率的搜索算法,时间复杂度O(log N)。该算法假定要查找的数据已经升序排序完毕。算法的思路比较简单,在这里主要是作为一个C++模板函数的一次练习。 下面是百度百科上对...
  • 二分查找与判定树

    万次阅读 2016-05-10 15:07:04
    二分查找是一种效率比较高的查找算法,但是它依赖于数组有序的存储,二分查找的过程可以用二叉树来形容描述:把当前查找区间的中间位置上的结点作为根,左子表和右子表中的结点分别作为根节点的左子树和右子树。...
  • 《二分枚举》简单01 —— LeetCode 704. 二分查找

空空如也

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以二分查找方法从长度为12

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