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  • 如果集合A上的关系R满足以下三个属性, 则称为等价关系:关系R是自反的, 即aRa∀a∈A。关系R是对称的, 即aRb⟹bRa关系R是传递的, 即aRb和bRc⟹aRc。示例:设A = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), ...

    如果集合A上的关系R满足以下三个属性, 则称为等价关系:

    关系R是自反的, 即aRa∀a∈A。

    关系R是对称的, 即aRb⟹bRa

    关系R是传递的, 即aRb和bRc⟹aRc。

    示例:设A = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3 , 3), (4、2), (4、4)}。

    证明R是一个等价关系。

    解:

    自反的:关系R自反为(1, 1), (2, 2), (3, 3)和(4, 4)∈R.

    对称的:关系R是对称的, 因为无论何时(a, b)∈R, (b, a)也属于R.

    例子:(2, 4)∈R⟹(4, 2)∈R.

    可传递的:关系R是可传递的, 因为无论何时(a, b)和(b, c)属于R, (a, c)也属于R。

    例如:(3, 1)∈R和(1, 3)∈R⟹(3, 3)∈R.

    因此, 由于R是自反的, 对称的和可传递的, 因此R是等价关系。

    注1:如果R1和R2是等价关系, 则R1∩R2也是等价关系。

    例如:A = {1, 2, 3} R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} R2 = {(1, 1), (2、2), (3、3), (2、3), (3、2)}R1∩R2 = {(1、1), (2、2), (3、3)}

    注2:如果R1和R2是等价关系, 则R1∪R2可能是也可能不是等价关系。

    例如:A = {1, 2, 3} R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} R2 = {(1, 1), (2、2), (3、3), (2、3), (3、2)}R1∪R2 = {(1、1), (2、2), (3、3), (1、2), (2、1), (2、3), (3、2)}

    因此, 自反或对称是等价关系, 但可传递可能是也可能不是等价关系。

    逆关系

    令R为从集合A到集合B的任何关系。R-1表示的R的逆是从B到A的关系, 它由那些有序对组成, 这些对在反向时属于R, 即:

    R-1 = {(b, a): (a, b) ∈ R}

    范例1:A = {1, 2, 3} B = {x, y, z}

    解:R = {((y, y), (1, z), (3, y)R-1 = {{(y, 1), (z, 1), (y, 3)}显然(R-1 )-1 = R

    注1:R-1的域和范围等于R的范围和域。

    示例2:R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (3, 2)} R-1 = {(1, 1 ), (2、2), (3、3), (2、1), (3、2), (2、3)}

    注2:如果R是等价关系, 则R-1始终是等价关系。

    示例:令A = {1, 2, 3} R = {((1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} R-1 = { (1、1), (2、2), (3、3), (2、1), (1、2)} R-1是等价关系。

    注3:如果R是对称关系, 则R-1 = R, 反之亦然。

    示例:设A = {1, 2, 3} R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) } R-1 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 2), (3, 2), (2, 3)}

    注4:逆序法律(SOT)-1 = T-1或S-1(ROSOT)-1 = T-1或S-1或R-1。

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  • 等价关系

    千次阅读 2015-08-21 02:03:30
    定义:集合S上的关系≡\equiv ,...可以使用等价关系将集合S划分为等价类,S的两个元素x和y属于同一等价类,当且仅当≡\equiv ,例如,12个编号为0至11元素: 0≡\equiv 4,3≡\equiv 1,6≡\equiv 10,8≡\equiv 9,7≡\

    定义:集合S上的关系 ,称为S上为等价关系,当且仅当它在S上是对称的,自反的,传递的。
    例如:

    • x=x
    • x=y意味着y=x
    • x=y且y=z意味着x=z
      可以使用等价关系将集合S划分为等价类,S的两个元素x和y属于同一等价类,当且仅当 ,例如,有12个编号为0至11元素:
      0 4,3 1,6 10,8 9,7 4,6 8,3 5,2 11,11 0
      那么根据关系 的自反性,对称性和传递性的结果,可以归为以下几个等价类:
      {0, 2, 4, 7, 11};{1, 3, 5};{6, 8, 9, 10}.
      如果用二维数组去表示其等价关系,不仅会浪费大量空间,还需相当的时间去寻找两个等价元素之间的第三个等价元素。那么我们可以考虑用链表来去查找等价类的元素,来减少时间和空间复杂度,其用链表设计查找等价类的结构如图:
      算法
      代码实现:
    #include <iostream>
    #include<stdlib.h>
    #include<stdio.h>
    //等价关系最大范围(0-MAX_SIZE)其中不包括MAX_SIZE
    #define MAX_SIZE 24
    #define IS_FULL(ptr) (!(ptr))
    //标记输出过
    #define FALSE 0
    //标记没有输出过
    #define TRUE 1
    typedef struct node *node_pointer;
    //存储结构
    struct node
    {
       int data;
       node_pointer link;
    };
    using namespace std;
    int main()
    {
       //存储元素是否输出过的标记
       int out[MAX_SIZE];
       //每个等价元素链表的头结点
       node_pointer seq[MAX_SIZE];
       node_pointer x,y,top;
       int i,j,n;
       //输入其元素范围[0,n)
       printf("Enter the size(<=%d) ",MAX_SIZE);
       scanf("%d",&n);
       //初始化操作
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          out[i]=TRUE;
          seq[i]=NULL;
       }
       printf("Enter a pair of numbers (-1 -1 to quit):" );
       //循环输入等价关系的元素对
       scanf("%d%d",&i,&j);
       while(i>=0)
       {
          x=(node_pointer)malloc(sizeof(node));
          if(IS_FULL(x))
          {
             fprintf(stderr,"the memory is full\n");
             exit(1);
          }
          //插入到第i个链表的前端
          x->data=j;
          x->link=seq[i];
          seq[i]=x;
          x=(node_pointer)malloc(sizeof(node));
          if(IS_FULL(x))
          {
             fprintf(stderr,"the memory is full\n");
             exit(1);
          }
          //插入到第j个链表的前端
          x->data=i;
          x->link=seq[j];
          seq[j]=x;
          printf("Enter a pair of numbers (-1 -1 to quit):" );
          scanf("%d%d",&i,&j);
       }
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          //判断是否输出
          if(out[i])
          {
             printf("\nNew class:%5d",i);
             out[i]=FALSE;
             //查找剩下的等价结点
             x=seq[i];
             top=NULL;
             for(;;)
             {
                //输出链表的等价元素
                while(x)
                {
                   j=x->data;
                   if(out[j])
                   {
                      printf("%5d",j);
                      out[j]=FALSE;
                      //使其链表结点的指针方向反向
                      y=x->link;
                      x->link=top;
                      top=x;
                      x=y;
                   }
                   else
                   {
                      x=x->link;
                   }
                }
                if(!top) break;
                //查找第top->data个等价链表的元素
                x=seq[top->data];
                top=top->link;
             }
          }
       } 
    }

    分析:seq和out初始化的时间开销为O(n),输入等价对时,其时间开销是常量,故该阶段为的时间总开销为O(m+n),在第二阶段中,每个节点至多放入链栈一次,由于只有2m个节点,并且for循环n次,故该阶段的时间开销是O(m+n),因此总的计算时间开销是O(m+n).其算法空间的开销是O(m+n).

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  • 文章目录等价关系、等价类与划分等价关系的定义等价类等价类的性质集合的划分商集等价关系与划分的一一对应 等价关系的定义 定义:设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系。...

    等价关系、等价类与划分

    等价关系的定义


    定义:设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系。设R是一 个等价关系,若<x,y> ∈R ,称x等价于y,记作x~y。

    (即R同时满足自反性、对称性、传递性,则R为A上的等价关系)

    例1:

    设A={1,2...,8},如下定义A上的关系R:
    R={<x,y>|x,y≡∈A∧x≡y(mod3)}, 其中x≡y(mod3)叫做x与y模3相等(即x除以3的余数与y除以3的余数相等)
    
    R={ <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>,   <1,4>,<1,7>,<4,1>,<4,7>,<7,1>,<7,4>,<2,5>,<2,8>,<5,2>,<5,8>,<8,2>,<8,5>,<3,6>,<6,3>}
    因为∀x∈A,有x≡x(mod3)
    ∀x,y∈A,有x≡y(mod3),则有y≡x(mod3)
    ∀x,y,z∈A,有x≡y(mod3),y≡z(mod3)则有x≡z(mod3)
    同时满足自反性、对称性、传递性,所以R为A上的等价关系
    以下为R的关系图
    

    在这里插入图片描述

    例2:

    设S={a,b,c},定义S上的关系R=Is∪{<a,b>,<b,a>},R是否是S上的等价关系?(注:Is中的s为I的下标)
    
    正确答案:是
    
    

    等价类

    定义:设R为非空集合A上的等价关系, ∀x∈A,令[x]R = { y | y∈A∧xRy }
    称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简记为[x]。

    例3:

    求例1中等价关系的等价类。
    
    等价类:
    	[1]=[4]=[7]={1,4,7}
        [2]=[5]=[8]={2,5,8}
        [3]=[6]={3,6}
    

    等价类的性质

    设R是非空集合A上的等价关系, 则

    (1) ∀x∈A, [x] 是A的非空子集

    (2) ∀x, y∈A, 如果 x R y, 则 [x]=[y]

    (3) ∀x, y∈A, 如果 x在这里插入图片描述 y, 则 [x]与[y]不交

    (4) ∪{ [x] | x∈A}=A,即所有等价类的并集就是A

    例4:

    A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类:
     [1]=[4]=[7]={1,4,7},      
     [2]=[5]=[8]={2,5,8},      
     [3]=[6]={3,6}
          以上3 类两两不交;   
           {1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6} = {1,2, … ,8}
    
    

    例5:

    设S={a,b,c},定义S上的等价关系R=Is∪{<a,b>,<b,a>},
    则[a]=?[b]=?[c]=?
    
    [a]={a,b}
    [b]={a,b}
    [c]={c}
    

    集合的划分

    定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π ⊆ P(A)) 满足下面条件:
    (1) Ø ∉ π

    (2) ∀x∀y (x,y∈π∧x≠y→x∩y= Ø)

    (3) ∪π=A

    称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块。

    例6:

    设A={a, b, c, d}, 
    给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下:
          π1= { {a, b, c}, {d} },
          π2= { {a, b}, {c}, {d} }
          π3= { {a}, {a, b, c, d} },
          π4= { {a, b}, {c} }
          π5= { Ø,{a, b}, {c, d} }, 
          π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
      
    π1,π2是A的划分,其他都不是A的划分。
    

    商集

    定义:设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = { [x]R | x∈A }

    例7:

     A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为:
          A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }
          A关于恒等关系和全域关系的商集为:
                  A/IA = { {1},{2}, … ,{8}}
                  A/EA = { {1, 2, … ,8} }
    
    

    例8:

    设S={a,b,c},定义S上的等价关系R=Is∪{<a,b>,<b,a>},
    则S/R=?
    
    正确答案:{{a,b},{c}}
    

    等价关系与划分的一一对应

    商集 A/R 就是 A 的一个划分;

    例如: A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为:
    A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} },它就是A的一个划分

    不同的商集对应于不同的划分;

    任给 A 的一个划分π, 如下定义 A 上的关系 R:

    R = {<x,y> | x,y∈A∧x 与 y 在π的同一划分块中},则 R 为 A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集是π。

    例9:

    求出A={1,2,3}上所有的等价关系
    求解思路:先求出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系。(如下图)
    
    π1对应于全域关系 EA
    π2对应等价关系 R2={<2,3>,<3,2>}∪IA
    π3对应等价关系 R3 ={<1,3>,<3,1>}∪IA
    π4对应等价关系 R4={<1,2>,<2,1>}∪IA
    π5  对应于恒等关系 IA
    (注:以上所出现的IA,A为I的下标)
    

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  • 9.5 等价关系

    2021-02-05 22:21:20
    9.5 等价关系 等价关系 定义: 定义在集合A上的关系如果是自反,对称和传递的,则该关系称为等价关系。 自反,对称和传递的定义见这里 元素等价 如果集合A中两个关系是被等价关系关联的,则称它们是等价的,记做 ...

    9.5 等价关系

    等价关系

    定义:

    定义在集合A上的关系如果是自反,对称和传递的,则该关系称为等价关系。

    自反,对称和传递的定义见这里

    元素等价

    如果集合A中两个关系是被等价关系关联的,则称它们是等价的,记做 a ~ b

    等价类

    在 一 个 集 合 A 中 , 所 有 a 的 等 价 元 素 组 成 的 子 集 合 叫 做 a 的 等 价 类 , 记 做 [ a ] R , 有 时 候 也 可 以 把 下 标 R 去 掉 , 写 作 [ a ] 在一个集合A中,所有a的等价元素组成的子集合叫做a的等价类,记做 \left[ a\right]_R,有时候也可以把\\ 下标R去掉,写作[a] Aaa[a]RR[a]

    例如,对于正整数集合,R为a=-b或者a=b。7的等价类就是[7]={7,-7}


    等价关系划分集合

    假 设 集 合 A 中 的 关 系 R 是 等 价 的 , a 和 b 具 有 以 下 形 式 : 1 a R b 2 [ a ] = [ b ] 3 [ a ] ∩ [ b ] ≠ ∅ 中 的 任 何 一 个 时 , 都 可 以 证 明 另 外 两 个 。 假设集合A中的关系R是等价的,a和b具有以下形式:\\ \begin{array}{ll} 1 & a R b\\ 2 & [a]=[b]\\ 3 & [a] \cap [b] \neq \emptyset \end{array}\\ 中的任何一个时,都可以证明另外两个。 ARab123aRb[a]=[b][a][b]=

    这个证明我自己想的,没有抄书上。
    假 设 a , b ∈ A , 且 ( a , b ) ∈ R , 因 为 R 是 等 价 关 系 , 所 以 ( b , a ) ∈ R , 同 理 , ( a , a ) ∈ R , ( b , b ) ∈ R 。 所 以 [ a ] = [ b ] , [ a ] ∩ [ b ] ≠ ∅ 假设 a,b \in A,且 (a,b) \in R,因为R是等价关系,所以(b,a) \in R,同理,(a,a) \in R,(b,b)\in R。\\ 所以 [a]=[b], [a] \cap [b] \neq \emptyset a,bA(a,b)RR(b,a)R(a,a)R,(b,b)R[a]=[b],[a][b]=
    简单来说就是如果一个集合存在等价关系,则我们可以使用该等价关系来划分集合。同时,如果集合可以划分成几部分,我们也可以找到一个等价关系来使其中的各部分符合该关系。

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  • 等价类与边界值

    2021-09-27 20:19:49
    设R是定义在集合A上的等价关系,与A中一个元素a关系的所有元素的集合叫做a的等价类。等价类应用十分广泛,如在编程语言中,我们使用等价类来判定标识符是不是表示同一个事物。 ​ 在软件工程中,是把所有可能输入...
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  • 等价 偏序和全序

    2018-11-14 07:06:39
    等价 偏序和全序

空空如也

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以下关系不是等价关系的有