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  • 以下关系不是等价关系的有
    2022-06-12 21:20:30

     

     

    区别:偏序关系是反对称的,而等价关系是对称的

    以下为完整定义:

    1.偏序关系:

    设 R 为非空集合 A 上的关系,若 R 是自反的、反对称的、传递的,则称 R 为 A 上的偏序关系。

    2.等价关系:

    定义:设 R 为非空集合 A 上的关系,若 R是自反的、对称的和传递的,则称 R 为 A 上的等价关系。

     

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  • 等价关系、等价类与划分

    千次阅读 2021-07-13 17:52:28
    文章目录等价关系、等价类与划分等价关系的定义等价类等价类的性质集合的划分商集等价关系与划分的一一对应 等价关系的定义 定义:设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系。...

    等价关系、等价类与划分

    等价关系的定义


    定义:设R为非空集合上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系。设R是一 个等价关系,若<x,y> ∈R ,称x等价于y,记作x~y。

    (即R同时满足自反性、对称性、传递性,则R为A上的等价关系)

    例1:

    设A={1,2...,8},如下定义A上的关系R:
    R={<x,y>|x,y≡∈A∧x≡y(mod3)}, 其中x≡y(mod3)叫做x与y模3相等(即x除以3的余数与y除以3的余数相等)
    
    R={ <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>,   <1,4>,<1,7>,<4,1>,<4,7>,<7,1>,<7,4>,<2,5>,<2,8>,<5,2>,<5,8>,<8,2>,<8,5>,<3,6>,<6,3>}
    因为∀x∈A,有x≡x(mod3)
    ∀x,y∈A,有x≡y(mod3),则有y≡x(mod3)
    ∀x,y,z∈A,有x≡y(mod3),y≡z(mod3)则有x≡z(mod3)
    同时满足自反性、对称性、传递性,所以R为A上的等价关系
    以下为R的关系图
    

    在这里插入图片描述

    例2:

    设S={a,b,c},定义S上的关系R=Is∪{<a,b>,<b,a>},R是否是S上的等价关系?(注:Is中的s为I的下标)
    
    正确答案:是
    
    

    等价类

    定义:设R为非空集合A上的等价关系, ∀x∈A,令[x]R = { y | y∈A∧xRy }
    称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简记为[x]。

    例3:

    求例1中等价关系的等价类。
    
    等价类:
    	[1]=[4]=[7]={1,4,7}
        [2]=[5]=[8]={2,5,8}
        [3]=[6]={3,6}
    

    等价类的性质

    设R是非空集合A上的等价关系, 则

    (1) ∀x∈A, [x] 是A的非空子集

    (2) ∀x, y∈A, 如果 x R y, 则 [x]=[y]

    (3) ∀x, y∈A, 如果 x在这里插入图片描述 y, 则 [x]与[y]不交

    (4) ∪{ [x] | x∈A}=A,即所有等价类的并集就是A

    例4:

    A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类:
     [1]=[4]=[7]={1,4,7},      
     [2]=[5]=[8]={2,5,8},      
     [3]=[6]={3,6}
          以上3 类两两不交;   
           {1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6} = {1,2, … ,8}
    
    

    例5:

    设S={a,b,c},定义S上的等价关系R=Is∪{<a,b>,<b,a>},
    则[a]=?[b]=?[c]=?
    
    [a]={a,b}
    [b]={a,b}
    [c]={c}
    

    集合的划分

    定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π ⊆ P(A)) 满足下面条件:
    (1) Ø ∉ π

    (2) ∀x∀y (x,y∈π∧x≠y→x∩y= Ø)

    (3) ∪π=A

    称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块。

    例6:

    设A={a, b, c, d}, 
    给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下:
          π1= { {a, b, c}, {d} },
          π2= { {a, b}, {c}, {d} }
          π3= { {a}, {a, b, c, d} },
          π4= { {a, b}, {c} }
          π5= { Ø,{a, b}, {c, d} }, 
          π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
      
    π1,π2是A的划分,其他都不是A的划分。
    

    商集

    定义:设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = { [x]R | x∈A }

    例7:

     A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为:
          A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }
          A关于恒等关系和全域关系的商集为:
                  A/IA = { {1},{2}, … ,{8}}
                  A/EA = { {1, 2, … ,8} }
    
    

    例8:

    设S={a,b,c},定义S上的等价关系R=Is∪{<a,b>,<b,a>},
    则S/R=?
    
    正确答案:{{a,b},{c}}
    

    等价关系与划分的一一对应

    商集 A/R 就是 A 的一个划分;

    例如: A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为:
    A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} },它就是A的一个划分

    不同的商集对应于不同的划分;

    任给 A 的一个划分π, 如下定义 A 上的关系 R:

    R = {<x,y> | x,y∈A∧x 与 y 在π的同一划分块中},则 R 为 A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集是π。

    例9:

    求出A={1,2,3}上所有的等价关系
    求解思路:先求出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系。(如下图)
    
    π1对应于全域关系 EA
    π2对应等价关系 R2={<2,3>,<3,2>}∪IA
    π3对应等价关系 R3 ={<1,3>,<3,1>}∪IA
    π4对应等价关系 R4={<1,2>,<2,1>}∪IA
    π5  对应于恒等关系 IA
    (注:以上所出现的IA,A为I的下标)
    

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  • 集合论—等价关系与偏序关系

    千次阅读 多人点赞 2019-06-29 09:20:14
    等价关系 等价关系的定义 定义:设RRR为非空集合AAA上的关系,若RRR是自反的、对称的和传递的,则称RRR为AAA上的等价关系。对任何x,y∈Ax,y\in Ax,y∈A,若&lt;x,y&gt;∈R&lt;x,y&gt;\in R<x,y...

    等价关系

    等价关系的定义

    定义:设 R R R为非空集合 A A A上的关系,若 R R R是自反的、对称的和传递的,则称 R R R A A A上的等价关系。对任何 x , y ∈ A x,y\in A x,yA,若 &lt; x , y &gt; ∈ R &lt;x,y&gt;\in R <x,y>R,则记作 x ∼ y x\sim y xy

    例:

    1. 若有 A = { 1 , 2 , . . . , 8 } A=\{1,2,...,8\} A={1,2,...,8} R = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≡ y ( m o d 3 ) } R=\{&lt;x,y&gt;|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\} R={<x,y>x,yAxy(mod3)}。则 R R R A A A上的等价关系。
    2. 动物按种属进行分类后,“具有相同种属”的关系是动物集合上的等价关系。
    3. 集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系。
    等价类

    R R R是非空集合 A A A上的等价关系,则 A A A上互相等价的元素构成了 A A A的若干个子集,称作等价类。

    等价类的一般定义:设 R R R是非空集合 A A A上的等价关系,对任意的 x ∈ A x\in A xA,令 [ x ] R = { y ∣ y ∈ A , x R y } [x]_R=\{y|y\in A, x\text{R}y\} [x]R={yyA,xRy}则称 [ x ] R [x]_R [x]R x x x关于 R R R的等价类,简称 x x x的等价类,简记为 [ x ] [x] [x]

    例如:若有 A = { 1 , 2 , . . . , 8 } A=\{1,2,...,8\} A={1,2,...,8} R = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≡ y ( m o d 3 ) } R=\{&lt;x,y&gt;|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\} R={<x,y>x,yAxy(mod3)},有等价类: [ 1 ] = [ 4 ] = [ 7 ] = { 1 , 4 , 7 } [1]=[4]=[7]=\{1,4,7\} [1]=[4]=[7]={1,4,7} [ 2 ] = [ 5 ] = [ 8 ] = { 2 , 5 , 8 } [2]=[5]=[8]=\{2,5,8\} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [ 3 ] = [ 6 ] = { 3 , 6 } [3]=[6]=\{3,6\} [3]=[6]={3,6}等价类具有如下性质:
    R R R是非空集合 A A A上的等价关系,对任意的 x , y ∈ A x,y\in A x,yA,下面的结论成立。

    1. [ x ] ≠ ∅ [x]\neq\varnothing [x]̸=,且 [ x ] ⊆ A [x]\subseteq A [x]A
    2. x R y x\text{R}y xRy,则 [ x ] = [ y ] [x]=[y] [x]=[y]
    3. x ̸ R y x\not \text{R}y x̸Ry,则 [ x ] ∩ [ y ] = ∅ [x]\cap[y]=\varnothing [x][y]=
    4. ⋃ x ∈ A [ x ] = A \bigcup_{x\in A}[x]=A xA[x]=A.

    其中,(1)表明任何等价类都是集合 A A A的非空子集;(2)和(3)表明在 A A A中任取两个元素,它们的等价类或是相等,或是不交;(4)表示所有等价类的并集就是 A A A.

    商集

    定义:设 R R R是非空集合 A A A上的等价关系,以 R R R的不交等价类为元素的集合称作 A A A R R R下的商集,记作 A / R A/R A/R A / R = { [ x ] R   ∣   x ∈ A } A/R=\{[x]_R\ |\ x\in A\} A/R={[x]R  xA}例如:
    1、若有 A = { 1 , 2 , . . . , 8 } A=\{1,2,...,8\} A={1,2,...,8} R = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≡ y ( m o d 3 ) } R=\{&lt;x,y&gt;|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\} R={<x,y>x,yAxy(mod3)},有商集: A / R = { { 1 , 4 , 7 } , { 2 , 5 , 8 } , { 3 , 6 } } A/R=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6\}\} A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}

    2、非空集合 A A A上的全域关系 E A E_A EA A A A上的等价关系,对任意 x ∈ A x\in A xA [ x ] = A [x]=A [x]=A,商集 A / E A = { A } A/E_A = \{A\} A/EA={A}

    划分与划分块

    A A A是非空集合,若存在一个 A A A的子集族 π ( π ⊆ P ( A ) ) \pi(\pi \subseteq P(A)) π(πP(A))满足以下条件:

    1. ∅ ∉ π \varnothing \notin \pi /π
    2. π \pi π中任意两个元素不交
    3. π \pi π中所有元素的并集等于 A A A,则称 π \pi π A A A的一个划分,且称 π \pi π中的元素为划分块

    例:考虑集合 A = { a , b , c , d } A=\{a,b,c,d\} A={a,b,c,d},则:

    1. { { a } , { b , c } , { d } } \{\{a\}, \{b,c\},\{d\}\} {{a},{b,c},{d}}
    2. { { a , b , c , d } } \{\{a,b,c,d\}\} {{a,b,c,d}}
    3. { { a , b } , { c } , { a , d } } \{\{a,b\}, \{c\},\{a,d\}\} {{a,b},{c},{a,d}}
    4. { ∅ , { a , b } , { c , d } } \{\varnothing, \{a,b\}, \{c,d\}\} {,{a,b},{c,d}}
    5. { { a } , { b , c } } \{\{a\},\{b,c\}\} {{a},{b,c}}

    中(1)、(2)是 A A A的划分;(3)不是 A A A的划分,因为子集 { a , b } \{a,b\} {a,b} { a , d } \{a,d\} {a,d}有交;(4)不是 A A A的划分,因为 ∅ \varnothing 在其中;(5)不是 A A A的划分,因为所有子集的并集不为 A A A.

    由商集和划分的定义不难看出若有 A A A上的二元关系 R = { &lt; x , y &gt;   ∣   x , y ∈ π } R=\{&lt;x,y&gt;\ |\ x,y \in\pi\} R={<x,y>  x,yπ},则可证明 R R R A A A上的等价关系,称为有划分 π \pi π所诱导的等价关系,且该等价关系的商集为 π \pi π。所以集合 A A A上的等价关系与集合 A A A的划分是一一对应的。

    偏序关系

    在介绍偏序关系之前先了解一下什么是全序关系:
    全序集的定义: &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq&gt; <A,>为偏序集,若对任意的 x , y ∈ A x,y\in A x,yA x x x y y y都可比,则称 ≼ \preccurlyeq A A A上的全序关系,且称 &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq&gt; <A,>为全序集。

    例如: { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } \{1,2,3,4,5\} {1,2,3,4,5}上的 ⩽ \leqslant 关系就是全序关系,而整除关系就不是全序关系。

    偏序关系的定义

    R R R为非空集合 A A A上的关系,若 R R R是自反的、反对称的、传递的,则称 R R R A A A上的偏序关系。简称偏序,记作 ≼ \preccurlyeq

    ≼ \preccurlyeq A A A上的偏序关系,若有有序对 &lt; x , y &gt; &lt;x,y&gt; <x,y>属于偏序 ≼ \preccurlyeq ,可记作 x ≼ y x\preccurlyeq y xy,读作 x x x小于等于 y y y,不过这里的“小于等于”不是指数的大小,而是指它们在偏序中的位置先后。

    例如在集合 A = { 1 , 2 , 3 } A=\{1,2,3\} A={1,2,3}中,偏序 ≼ \preccurlyeq A A A上的大于等于关系,则: ≼ = { &lt; 3 , 3 &gt; , &lt; 3 , 2 &gt; , &lt; 3 , 1 &gt; , &lt; 2 , 2 &gt; , &lt; 2 , 1 &gt; &lt; 1 , 1 &gt; } \preccurlyeq = \{&lt;3,3&gt;,&lt;3,2&gt;,&lt;3,1&gt;,&lt;2,2&gt;,&lt;2,1&gt;&lt;1,1&gt;\} ={<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1><1,1>}那么就有 3 ≼ 2 3\preccurlyeq 2 32 3 ≼ 1 3\preccurlyeq 1 31等,它们分别表示 &lt; 3 , 2 &gt; ∈ ≼ &lt;3,2&gt;\in\preccurlyeq <3,2> &lt; 3 , 1 &gt; ∈ ≼ &lt;3,1&gt;\in\preccurlyeq <3,1>

    偏序集

    偏序集定义:一个集合 A A A A A A上的偏序关系 R R R一起称作偏序集,记作 &lt; A , R &gt; &lt;A,R&gt; <A,R>

    可比与盖住:
    &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq&gt; <A,>为偏序集,对于任意的 x , y ∈ A x,y\in A x,yA,若果 x ≼ y x\preccurlyeq y xy y ≼ x y\preccurlyeq x yx成立,则称 x x x y y y是可比的,若 x ≺ y x\prec y xy(即 x ≼ y ∧ x ≠ y x\preccurlyeq y \land x\neq y xyx̸=y),且不存在 z ∈ A z\in A zA使得 x ≺ z ≺ y x\prec z\prec y xzy,则称 y y y盖住 x x x

    例如: &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq &gt; <A,>是偏序集,其中 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } A=\{1,2,3,4,5\} A={1,2,3,4,5} ≼ \preccurlyeq 是整除关系。

    那么对任意 x ∈ A x\in A xA都有 1 ≼ x 1\preccurlyeq x 1x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的;但是2与3相互不能整除,所以2和3是不可比的:。

    对于1和2来说, 1 ≺ 2 1\prec 2 12,并且不存在 z ∈ A z\in A zA使得1整除 z z z并且 z z z整除2,所以2盖住1,同样的有4盖住2,但4不盖住1因为有 1 ≺ 2 ≺ 4 1\prec 2\prec 4 124

    显然的,若 x x x y y y不可比,则一定不会有 x x x盖住 y y y或反之。

    哈斯图

    对于又穷的偏序集 &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq&gt; <A,>可以用哈斯图来描述。在哈斯图中,每一个节点表示 A A A中的一个元素,节点位置按它们在偏序集中的次序从低向上排列。若 y y y盖住 x x x则在 x y xy xy之间连一条直线。

    例如: &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq &gt; <A,>是偏序集,其中 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } A=\{1,2,3,4,5\} A={1,2,3,4,5} ≼ \preccurlyeq 是整除关系,则该偏序集的哈斯图为:
    hast
    由哈斯图不能看出全序集的哈斯图是一条直线,因此,全序集也称做线序集

    元与界

    &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq&gt; <A,>为偏序集, B ⊆ A B\subseteq A BA

    1. ∃ y ∈ B \exists y\in B yB,使得 ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) \forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x) x(xByx)成立,则称 y y y B B B的最小元。
    2. ∃ y ∈ B \exists y\in B yB,使得 ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) \forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y) x(xBxy)成立,则称 y y y B B B的最大元。
    3. ∃ y ∈ B \exists y\in B yB,使得 ¬ ∃ x ( x ∈ B ∧ x ≺ y ) \lnot\exist x(x\in B\land x\prec y) ¬x(xBxy)成立,则称 y y y B B B的极小元。
    4. ∃ y ∈ B \exists y\in B yB,使得 ¬ ∃ x ( x ∈ B ∧ y ≺ x ) \lnot\exist x(x\in B\land y\prec x) ¬x(xByx)成立,则称 y y y B B B的极大元。

    &lt; A , ≼ &gt; &lt;A,\preccurlyeq&gt; <A,>为偏序集, B ⊆ A B\subseteq A BA

    1. ∃ y ∈ A \exist y\in A yA,使得 ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) \forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y) x(xBxy)成立,则称 y y y B B B的上界。
    2. ∃ y ∈ A \exist y\in A yA,使得 ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) \forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x) x(xByx)成立,则称 y y y B B B的下界。
    3. C = { y   ∣   ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) } C=\{y\ |\ \forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)\} C={y  x(xBxy)},则称 C C C的最小元为 B B B的上确界(最小上界)
    4. C = { y   ∣   ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) } C=\{y\ |\ \forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x)\} C={y  x(xByx)},则称 C C C的最大元为 B B B的下确界(最大下界)
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  • 集合等价关系

    2021-04-18 09:45:57
    如果集合A上的关系R满足以下三个属性, 则称为等价关系:关系R是自反的, 即aRa∀a∈A。关系R是对称的, 即aRb⟹bRa关系R是传递的, 即aRb和bRc⟹aRc。示例:设A = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), ...

    如果集合A上的关系R满足以下三个属性, 则称为等价关系:

    关系R是自反的, 即aRa∀a∈A。

    关系R是对称的, 即aRb⟹bRa

    关系R是传递的, 即aRb和bRc⟹aRc。

    示例:设A = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3 , 3), (4、2), (4、4)}。

    证明R是一个等价关系。

    解:

    自反的:关系R自反为(1, 1), (2, 2), (3, 3)和(4, 4)∈R.

    对称的:关系R是对称的, 因为无论何时(a, b)∈R, (b, a)也属于R.

    例子:(2, 4)∈R⟹(4, 2)∈R.

    可传递的:关系R是可传递的, 因为无论何时(a, b)和(b, c)属于R, (a, c)也属于R。

    例如:(3, 1)∈R和(1, 3)∈R⟹(3, 3)∈R.

    因此, 由于R是自反的, 对称的和可传递的, 因此R是等价关系。

    注1:如果R1和R2是等价关系, 则R1∩R2也是等价关系。

    例如:A = {1, 2, 3} R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} R2 = {(1, 1), (2、2), (3、3), (2、3), (3、2)}R1∩R2 = {(1、1), (2、2), (3、3)}

    注2:如果R1和R2是等价关系, 则R1∪R2可能是也可能不是等价关系。

    例如:A = {1, 2, 3} R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} R2 = {(1, 1), (2、2), (3、3), (2、3), (3、2)}R1∪R2 = {(1、1), (2、2), (3、3), (1、2), (2、1), (2、3), (3、2)}

    因此, 自反或对称是等价关系, 但可传递可能是也可能不是等价关系。

    逆关系

    令R为从集合A到集合B的任何关系。R-1表示的R的逆是从B到A的关系, 它由那些有序对组成, 这些对在反向时属于R, 即:

    R-1 = {(b, a): (a, b) ∈ R}

    范例1:A = {1, 2, 3} B = {x, y, z}

    解:R = {((y, y), (1, z), (3, y)R-1 = {{(y, 1), (z, 1), (y, 3)}显然(R-1 )-1 = R

    注1:R-1的域和范围等于R的范围和域。

    示例2:R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3), (3, 2)} R-1 = {(1, 1 ), (2、2), (3、3), (2、1), (3、2), (2、3)}

    注2:如果R是等价关系, 则R-1始终是等价关系。

    示例:令A = {1, 2, 3} R = {((1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} R-1 = { (1、1), (2、2), (3、3), (2、1), (1、2)} R-1是等价关系。

    注3:如果R是对称关系, 则R-1 = R, 反之亦然。

    示例:设A = {1, 2, 3} R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) } R-1 = {(1, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 2), (3, 2), (2, 3)}

    注4:逆序法律(SOT)-1 = T-1或S-1(ROSOT)-1 = T-1或S-1或R-1。

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