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  • 空集是任何集合的子集对吗

    千次阅读 2021-01-14 10:49:20
    空集是任何集合的子集对吗2019-11-17 13:45:45文/颜雨空集是指不含任何元素集合空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。接下来给大家分享具体的内容,供参考。空集是任何集合的子集吗空集是指不含任何...

    空集是任何集合的子集对吗2019-11-17 13:45:45文/颜雨

    空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。接下来给大家分享具体的内容,供参考。

    空集是任何集合的子集吗

    空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。空集不是无;它是内部没有元素的集合。用符号Ø或者{ }表示。

    0是一个数,不是集合;{0}是一个集合,集合只有0这个元素;Ø是一个集合,但是不含任何元素;{Ø}是一个非空集合,集合只有空集这个元素。

    当两圆相离时,它们的公共点所组成的集合就是空集;当一元二次方程的根的判别式值△<0时,它的实数根所组成的集合也是空集。

    空集的性质

    对任意集合A,空集是A的子集:∀A:Ø⊆A;

    对任意集合A,空集和A的并集为A:∀A:A∪Ø=A;

    对任意非空集合A,空集是A的真子集:∀A,,,若A≠Ø,则Ø真包含于A。

    对任意集合A,空集和A的交集为空集:∀A,A∩Ø=Ø;

    对任意集合A,空集和A的笛卡尔积为空集:∀A,A×Ø=Ø;

    空集的唯一子集是空集本身:∀A,若A⊆Ø⊆A,则A=Ø;∀A,若A=Ø,则A⊆Ø⊆A。

    空集的元素个数(即它的势)为零;

    特别的,空集是有限的:|Ø|=0;

    对于全集,空集的补集为全集:CUØ=U。

    子集的定义

    如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或B⊇A,读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。即:∀a∈A有a∈B,则A⊆B。

    如果集合A是B的子集,且A≠B,即B中至少有一个元素不属于A,那么A就是B的真子集,可记作:A⊊B。符号语言:若∀a∈A,均有a∈B,且x∈B使x∉A,则A⊊B。

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  • 展开全部一、空集是任何集合的子集。例如:就和比钱多少一样,e68a843231313335323631343130323136353331333366303831谁的钱少谁就是子集,一样的互为子集。A是空集,就相当于没钱。1、如果B集合身上有10块钱,那A...

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    一、空集是任何集合的子集。

    例如:就和比钱多少一样,e68a843231313335323631343130323136353331333366303831谁的钱少谁就是子集,一样的互为子集。

    A是空集,就相当于没钱。

    1、如果B集合身上有10块钱,那A就是B的子集;

    2、如果B也是个空集,身上也没钱,则A和B两个互为子集(A是B的子集,B也是A的子集)。

    所以不管B有没有钱(任何集合),空集A都是B的子集。

    二、空集是任何非空集合的真子集。

    例如:还是比钱多少,谁钱少谁就是真子集。

    A是空集,就相当于没钱。

    1、如果B集合身上有10块钱,那A就是B的真子集;

    2、如果B也是个空集,身上也没钱,则A和B两个互为子集(A是B的子集,B也是A的子集)。

    (注意:一样没钱的是互为子集!不是真子集!)

    所以只要B有钱(非空集合),空集A都是B的真子集。

    扩展资料:

    真子集与子集的区别:

    1、子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相等;

    2、真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等。

    例1:所有亚洲国家组成的集合是地球上所有国家组成的集合的真子集;所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集(即N⊊Z);{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}。

    例2:设全集X为{1, 2, 3},它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅;它的真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能为{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。

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  • 一、 真子集 、 二、 空集 、 三、 全集 、 四、 幂集 、 五、 集合元素个数 、 六、 求幂集步骤 、





    一、 真子集



    真子集 :

    描述 : A , B A , B A,B 两个集合 , 如果 A A A 集合 是 B B B 集合的子集 , 并且 A ≠ B A \not= B A=B , 则称 A A A B B B 的真子集 , B B B 真包含 A A A ;

    记作 : A ⊂ B A \subset B AB

    符号化表示 : A ⊂ B A \subset B AB ⇔ \Leftrightarrow A ⊆ B ∧ A ≠ B A \subseteq B \land A \not= B ABA=B



    非真子集 :

    描述 : A A A 集合 不是 B B B 集合的真子集 ;

    记作 : A ⊄ B A \not\subset B AB

    符号化表示 : A ⊄ B A \not\subset B AB ⇔ \Leftrightarrow ∃ x ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∧ A ≠ B \exist x ( x \in A \land x \not\in B ) \land A \not= B x(xAxB)A=B

    ( 存在元素 x x x 是集合 A A A 的元素 , 不是集合 B B B 的元素 , 并且 A , B A , B A,B 不相等 , 则 A A A 不是 B B B 的真子集 )



    真包含关系 性质 :

    反自反性 : A ⊄ A A \not\subset A AA

    反对称性 : 如果 A ⊂ B A \subset B AB , 那么 B ⊄ A B \not\subset A BA

    传递性 : 如果 A ⊂ B A \subset B AB , 并且 B ⊂ C B \subset C BC , 那么 A ⊂ C A \subset C AC





    二、 空集



    空集描述 : 没有任何元素的集合 , 称为空集合 , 简称为 空集 ;

    记作 : ∅ \varnothing


    空集示例 : A = { x ∣ x 2 + 1 = 0 ∧ x ∈ R } A = \{ x | x^2 + 1 = 0 \land x \in R \} A={xx2+1=0xR}

    R R R 是实数集合 , 上述 x x x 明显无解 , 集合也为空集 ;


    空集定理 : 空集是一切集合的子集 ;

    空集推论 : 空集是唯一的 ;





    三、 全集



    全集 : 限定所讨论的集合 , 都是某个集合的子集 , 则称该集合为全集 , 记作 E E E ;


    全集不唯一 : 全集只是相对于讨论问题的范畴 , 不唯一 , 不能讨论范畴之外的情况 ;


    全集示例 : 讨论 [0, 1] 区间上的实数性质 , 取全集为 [0, 1] 上的所有实数 ;

    ( 讨论其它区间的数 , 也可以取其它的区间作为全集 )





    四、 幂集



    幂集描述 : A A A 是一个集合 , A A A 集合的全体子集组成的集合 称为 A A A 的幂集 ;

    记作 : P ( A ) P(A) P(A)

    符号化表述 : P ( A ) = { x ∣ x ⊆ A } P(A) = \{ x | x \subseteq A \} P(A)={xxA}





    五、 集合元素个数



    集合元素个数 :

    0 0 0 元集 : ∅ \varnothing

    1 1 1 元集 : 含有 1 1 1 个元素的集合 , 又称为 单元集 ;

    2 2 2 元集 : 含有 2 2 2 个元素的集合 ;

    ⋮ \vdots

    n n n 元集 : 含有 n n n 个元素的集合 ; ( n ≥ 1 n \geq 1 n1 )



    有穷集 : ∣ A ∣ |A| A 表示集合 A A A 中的元素个数 , 如果 A A A 集合中的元素个数是 有限数 时 , 那么称该 A A A 集合为有穷集 , 或 有限集 ;



    幂集个数定理 : 集合 A A A 中的 元素个数 ∣ A ∣ = n |A| = n A=n , 则 A A A幂集个数 ∣ P ( A ) ∣ = 2 n |P(A)| = 2^n P(A)=2n ;





    六、 求幂集步骤



    求幂集步骤 : 求 集合 A A A 的幂集 , 需要按照顺序求 A A A 集合中 由低到高元的所有子集 , 再将这些子集组成集合 ;

    低到高元的所有子集 : 0 0 0 元集 , 1 1 1 元集 , 2 2 2 元集 , ⋯ \cdots , n n n 元集 ;


    集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b , c \} A={a,b,c}

    0 0 0 元集 : ∅ \varnothing

    1 1 1 元集 : { a } \{ a \} {a} , { b } \{ b \} {b} , { c } \{ c \} {c}

    2 2 2 元集 : { a , b } \{ a, b \} {a,b} , { a , c } \{ a, c \} {a,c} , { b , c } \{ b, c \} {b,c}

    3 3 3 元集 : { a , b , c } \{ a, b, c \} {a,b,c}

    集合 A A A 的幂集是 :

    P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } } P(A) = \{ \varnothing , \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ b, c \} , \{ a, b, c \} \} P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

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  • 判断集合元素是否空的两种方式

    千次阅读 2019-10-22 22:55:48
    其中 isEmpty()方法的作用是:当集合中不存在任何元素时,返回true userList.size()方法的作用是:获取当前集合元素个数。 所以,判断当前元素是否空可以这样写: 第一种方式 boolean empty = user...

    测试代码如下:

     List<User> userList = new ArrayList<>();
          //生成三个user对象
          User user = new User();
          user.setName("朱大炮");
          user.setSex("男");
          User user1 = new User();
          user1.setSex("女");
          user1.setName("经香琼");
          User user2 = new User();
          user2.setName("北风光");
          user2.setSex("男");
          //向集合中添加user
          userList.add(user);
          userList.add(user1);
          userList.add(user2);
          System.out.println(userList);
          System.out.println(userList.isEmpty());
          System.out.println(userList.size());
    

    其中 isEmpty()方法的作用是:当集合中不存在任何元素时,返回true

    userList.size()方法的作用是:获取当前集合的元素个数。

    所以,判断当前元素是否为空可以这样写:

    第一种方式
    boolean empty = userList.isEmpty();
         if (empty){
           //当元素为空时,执行这里面的代码
         }else{
          //当元素不为空时,执行这里面的代码
         }
    
    
    第二种方式
     int size = userList.size();
         if(size == 0){
          //当元素为空时,执行这里面的代码
         }else{
          //当元素不为空时,执行这里面的代码
         }
    
    题外

    今天在使用struts2框架接受页面参数时,无论使用isEmpty还是使用size控制台都空指针异常,关键代码如下

     private List<User> userList1;
     public List<User> getUserList1() {
      return userList1;
     }
    
     public void setUserList1(List<User> userList1) {
      this.userList1 = userList1;
     }
    

    使用这段代码,如果

    1. 页面没有传值过来,userList1为空;
    2. 页面传值过来,就会有一个ArrayList的对象引用

    经过我的跟踪调试,有值时strut2内部会自动实例化ArrayList类并把页面的值传入。无值时不进行操作。
    因为我没有传值过去,所以userList1实际上是没有值的。此时我无论使用isEmpty还是使用size都是无作用的
    在理解了之后在此进行记录。

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空空如也

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以空集为元素的集合