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  • 1. 基本问题说明集合基本问题主要包括:集合概念相关问题和以集合为背景创新问题。相关必备知识结构图如下(详见相关文章):1) 集合概念问题无论是在选择或填空题中还是在解答题中,都可能会涉及与集合...

    1. 基本问题说明

    集合”的基本问题主要包括:集合概念相关的问题和以集合为背景的创新问题。相关的必备知识的结构图如下(详见相关文章):

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    1) 集合概念问题

    无论是在选择或填空题中还是在解答题中,都可能会涉及与集合概念有关的一簇基本问题,比如判断集合和/或元素是否合规、表示集合、求解集合关系及运算、求解二维集合,等等。

    它们或者是作为独立的题型,或者是与其它基础应用组合在一起出题。如果是前者,则多半属于送分题J。

    2) 集合创新问题

    高中数学创新题是一个持续关注的话题。高中中,时不时会来上一道题。由于集合自身适合用来定义的特点,使其成为创新点之一。

    在某些集合题目中,出题人会给出一个新定义(如新概念、新运算等),然后围绕它进行题设(设问)。

    2. 解决问题的一般方法(即基本技能)

    1)求解集合概念问题的方法与要领

    ① 判断集合和/或元素是否合规

    (1) 此基本问题会出现在集合有关的客观题、以及验证(检查)求解出的集合的是否合规

    (2) 要领——利用三要素“确定性、互异性、无序性”来判定

    (3) 互异性检查是易错点——易疏忽

    ② 表示集合

    (1) 此基本问题多见于将求得的解(集)以恰当的集合形式表示出来,或考查对已知集合的含义的正确理解

    (2) 要领:自然语言、列举法和描述法;要熟知各方法特点及其适用情形

    ③ 求解集合关系及运算

    (1) 常出现的题型有:判断几个集合的关系、求几个集合的并集(或交集、补集等)、或者根据集合关系或运算结果反过来求集合或集合的元素

    (2) 要领:熟练掌握和运用集合的基本关系和运算的定义和性质

    (3) 空集是易错点——易忘或理解不到位

    (4) 集合的理解是易错点——未理解集合元素的数学意义

    ④ 求二维集合

    (1) 二维集合:该集合元素为成对的数据,如(e1,e2);除此之外,二维集合的基本关系和运算的定义和性质与一维集合是一样的。

    (2) 要领:熟练掌握和运用集合的基本关系和运算的定义和性质

    2)求解集合创新问题的方法与要领

    ① 要领:分析、理解新定义(包括相关的概念、性质和约束)及其(数学方面的)实质意义或作用;

    ② 一般方法:结合集合的基础知识和特性,将新定义转化为等效的数学操作、思路或方法来求解。

    3. 典型示例

    例1 集合A={x|x^2-(a+2)x+2a+1=0}, 求集合中所有元素之和。

    解:依题意,只需分析x^2-(a+2)x+2a+1=0有解的情况,所以:

    (提示:集合中方程两个解要满足互异性)

    当=0时,解得a=0或4,所以x1=x2=-(a+2)/2=-1或-3,

    当>0时,有x1+x2 = a+2,

    综上,所求集合中所有元素之和为-1、-3或a+2。

    讲解:

    ① 不要忘记对集合的元素进行互异性判断和验证;舍去重复的。

    ② 举一反三:已知集合A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若A=B,试求x,y的值。

    例2集合M={m|10/(m+1) ∈Z,m∈Z}的子集个数。

    解:依题意, 集合M={m|10/(m+1)∈Z,m∈Z}中,10的因子有:

    -10,-5,-2,-1,1,2,5,10,

    所以可能的m为:

    m=-11,-6,-3,-2,0,1,4,9,

    即M={-11,-6,-3,-2,0,1,4,9},共8个元素,

    所以M的子集个数为:

    2^8=256个。

    讲解:

    ① 一般地,正确理解集合的意义和已知条件是解题关键。本题已知式10/(m+1)实质上是利用能被10整出的各因子得到m的集合——快速理解到这点是解本题的关键。

    又例如:{x|y = 1/x^2}本质上是y=1/x^2定义域,{y|y = 1/x^2}本质上是y=1/ x^2值域。

    举一反三:{x|y = √x}、{y|y = √x}的实质意义?

    ② 举一反三:已知A={x丨x=28m+20n,m、n∈Z},B={x丨x=12m+18n,m、n∈Z}。求属于A∩B的最小正整数,并分别求出一组此时在集合A和B中的m、n的值。

    例3 已知A={x|-3≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a+3},B是A的子集,求实数a的取值范围。

    解:∵B是A的子集,讨论:

    当B=时,a+1>2a+3, 得a

    当B非空时,a+1≤2a+3,得a≥-2,

    由a+1≥-3,2a+1≤5,解得a≥-4 且a≤2,

    综上所述,实数a的取值范围为上述两种情况的并集,得:

    a≤2

    讲解

    ① 本题中有些同学可能会遗漏空集的情况。

    ② 在考虑子集时,记住“空集是任意集合子集,是任意非空集合真子集”。

    ③ 集合本身也可作为另一个集合的元素;空集也如此。

    例4 设集合A是N*的某个有限子集,集合S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},集合T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A}.则下列说法中正确的是(其中|M|表示集合M中元素个数)()

    A.|S|>|T|, B.|S|=|T|, C.|S|<|T|, D.不能确定

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    讲解:

    ① 本题以集合为背景的客观题,涉及集合概念基础应用相关的几个基本问题,包括二维集合相关的求解、表示、基本关系等,属基础题。

    例5 若集合A具有以下性质:

    (1) 0∈A,1∈A ;

    (2) 若x、y∈A,则x-y∈A;且x≠0时,1/x∈A,则称集合A是“好集”.

    (Ⅰ)分别判断集合B={1,0,-1}、有理数集Q是否是“好集”,并说明理由;

    (Ⅱ)设集合A是“好集”,求证:若x、y∈A,则x+y∈A;

    (Ⅲ)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由。

    命题p:若x、y∈A,则必有xy∈A;

    命题q:若x、y∈A,且x≠0,则必有y/x∈A;

    解:(Ⅰ) 因为-1∈B,1∈B,而-1-1=-2∈B,集合B不是“好集”。

    又因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,

    且x≠0时,1/x∈Q,

    所以有理数集Q是“好集”。

    (Ⅱ)因为集合A是“好集”,所以0∈A,

    又y∈A,则0-y∈A,即-y∈A,

    所以x-(-y)∈A ,即x+y∈A。

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    讲解:

    ① 本题是一道以集合为背景的新定义题型——新定义了一个概念“好集”。熟练掌握集合概念基础应用、集合创新基础应用以及建议逻辑(命题)概念的基础应用是准确地解答本题的前提。

    ② 从上述解题过程可知,这类题还是可以出得具有相当难度和复杂度的。根据上述解题过程可知,解题一般思路为:

    (1) 首先得看懂定义,抓住其本质,比如本题的定义实质是给出一种集合,里面有两个特定元素,而且集合中的元素满足两个约束关系;

    (2) 然后,围绕新定义进行求解或证明问题。比如本题的求解过程中,各种运算或关系并不复杂,而最关键的是围绕定义所给的特定元素及其约束关系来展开解题思路,因为所给求解问题都得符合新定义要求。

    例6 如图所示的Venn图中,A,B是非空集合,定义集合A#B为阴影部分表示的集合.A=(0,2),B=(1,+∞),则A#B=______.

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    解:(提示:根据图所示的阴影部分所表示的集合的元素属于集合A但不属于集合B,即求A∩CRB;因此可根据交集的定义和补集的定义即可求得)依题意,

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    讲解:

    ① 本题是一道以集合为背景的新定义题型——新定义了一种结合运算“#”。本题主要考查了集合表示之Venn图,集合关系和运算之求解等集合概念基础应用中的内容,属于基础题。

    ② 解答本题的关键在于理解新定义的运算的实际意义——即领会其本质。

    例7若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:

    ① X属于τ,属于τ;

    ② τ中任意多个元素的并集属于τ;

    ③ τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.

    已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:

    ①τ={,{a},{c},{a,b,c}};

    ②τ={,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};

    ③τ={,{a},{a,b},{a,c}};

    ④ τ={,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.

    其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是.

    解:①τ={,{a},{c},{a,b,c}}中

    而{a}∪{c}={a,c}τ,故①不是集合X上的拓扑的集合τ;

    ②τ={,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}中

    满足:①X属于τ,属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此②是集合X上的拓扑的集合τ;

    ③τ={,{a},{a,b},{a,c}}

    而{a,b}∪{a,c}={a,b,c}τ,故③不是集合X上的拓扑的集合τ;

    ④τ={,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.

    满足:①X属于τ,属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此④是集合X上的拓扑的集合τ;

    故答案为②④.

    讲解:

    ① 本题是一道以集合为背景的新定义题型——新定义了一个新概念“集合X上的一个拓扑τ”。本题属基础题,考查学生集合概念以及对新概念的理解、分析和运用能力。

    ② 解题一般方法

    其中对新定义的概念的准确理解是解题的前提,而其解题诀窍在于紧扣概念的定义和性质——或者把它们看作待求证问题的约束,论述其是否满足;或者把它们看作待求证问题的已知条件,由此推导出结果,等等。

    因此,解题一般方法为:首先,关键是正确理解新定义 – 按需画图,并枚举几个特殊值来辅助理解;然后用枚举或排列组合法求解。

    例8 设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A,B都是U的子集,若A∩B={1,3,5},则称A,B为“理想配集”,记作[A,B].这样的“理想配集”[A,B]共有几个?

    解:由A∩B={1,3,5}, U={1,2,3,4,5,6},说明2,4,6只能出现在A或者B或者AB中都不出现3种情况:

    ∴2,4,6每个都有3种选择

    ∴共有3×3×3=27种可能

    讲解:

    ① 正确理解题中定义的概念“理想配集”及其实质意思,然后将其转化为熟知的数学概念或模型来进行求解。本题实质是求解一个排列组合问题,而问题的背景为集合元素。

    ② 举一反三:集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若x-1A,x+1A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是______。

    本文小结:

    ① 本文主要论述了集合的基本问题——集合概念相关问题与集合为背景的创新问题的求解一般方法和要领。这类题一般不太难,要求不失分。

    ② 集合概念相关问题中,注意三要素的符合性检查、忽略空集、理解集合的数学意义等易错点。

    ③ 集合为背景的创新问题中,一方面,扎实的集合基础知识是必备的;另一方面,正确理解和应用新定义是解题关键。事实上,新定义这种题型本身就决定了不易出难题,反而看上去复杂、冗长的题设的审题对有些不够耐心、细心的同学有些挑战。

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  • 在c#集合列表众多扩展方法中,Any方法和All方法是比较常用。 Any语义:任意一个元素满足条件则...当集合是空集情况,Any方法和All方法,会忽略条件判断语句,以空集的意义返回判断结果。 即:当集合为空集时...

    在c#集合列表的众多扩展方法中,Any方法和All方法是比较常用。

    Any语义:任意一个元素满足条件则返回true,否则返回fase;

    All语义:所有元素满足条件则返回true,否则返回false

    但是,如果集合本身是空集,即集合元素个数为0,可能会对使用者的正常逻辑产生混淆

    当集合是空集的情况,Any方法和All方法,会忽略条件判断语句,以空集的意义返回判断结果。

    即:当集合为空集时:Any方法返回false,All方法返回true。

    这对新手来说是一个不小的坑,下面是测试代码

     List<string> list = new List<string>();
      var b1 = list.All(c => false);  //输出 true
      var b2 = list.All(c => false);//输出 true
      var b3 = list.Any(c => true)//;输出 false
      var b4 = list.Any(c => false);//输出 false

     

     

     

     

     

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  • 集合的基本概念

    千次阅读 2018-05-27 12:56:41
    1.幂集准确定义是: 设X是一个非空集合,由X的一切子集(包括空集,X自身)为元素形成的集合称为X的幂集.例如,有n个元素形成的集合的幂集共有2的n次方个元素,而且每一个元素都是一个集合.2.开集开集,是拓扑学里最基本的...

    1.幂集

    准确定义是:
    设X是一个非空集合,由X的一切子集(包括空集,X自身)为元素形成的集合称为X的幂集.
    例如,有n个元素形成的集合的幂集共有2的n次方个元素,而且每一个元素都是一个集合.
    2.开集
    开集,是拓扑学里最基本的概念之一。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为球心的小球包含于A,则称A是度量空间X中的一个开集。
    满足x^2+y^2=r^2的点着蓝色。满足x^2+y^2<r^2的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集闭集


    3.子集族

    就是该集合中符合一定规则的某些子集的集合
    比如G={1,2,3},包含1这个元素的子集有{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}
    则G中包含1这个元素的子集族={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}}


    4.有限集

    有限集合是由有限个元素组成的集合,也称有穷集合。例如,由北京、天津、上海三个直辖市组成的集合,由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合,叫做单元素集合,至少含有一个元素的集合叫做非空集合,不含任何元素的集合叫做空集,空集只有一个,一般用希腊字母Φ(或{})来表示。例如,如果一个集合是以某班的某次数学测验不及格的学生为元素,而事实上全班学生在该次数学测验中成绩都及格,那么这个集合就是一个空集Φ。在集合论中,约定空集Φ为有限集合, 空集是一切集合的子集。

    5.指标集

           设I是一个非空集合,若任给i∈I,A_i都是一个集合,则{A_i:i∈I}是一个集合族,I称为这个集合族的指标集。任何集合族都可以用指标集来描述.集合族也可以用不同的指标集来描述.集合族自身也可以作为自身的指标集.

    6.加标集族


    7.【离散数学】单射、满射和双射的定义、区别 - CSDN博客

    参考:

    有限集合_百度百科


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  • 对于一个集合为元素的栈,初始时栈为空。 输入的命令有如下几种: PUSH:将空集{}压栈 DUP:将栈顶元素复制一份压入栈中 UNION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取并集,将结果压栈 INTERSECTION:先进行两...

    题目大意:

    对于一个以集合为元素的栈,初始时栈为空。

    输入的命令有如下几种:

    PUSH:将空集{}压栈

    DUP:将栈顶元素复制一份压入栈中

    UNION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取集,将结果压栈

    INTERSECTION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取集,将结果压栈

    ADD:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B中,先出栈的集合(如A先)加入到后出栈的集合,将结果压栈

    输出每一步操作后栈顶集合的元素的个数。

    题目详细信息见传送门

     

    思路如下:

    对于集合的集合,我们很难直接表示,因此,我们可以换一种想法,既然集合的集合难以表示,我们就只需要给每种集合一个唯一的ID就可以了,这样,集合中的元素就可以通过ID来表示。一个集合就可以表示为一个set<int>

    在这里,我们使用STL中的set进行表示,就会容易很多,加入栈中的元素也就可以是int类型了

    在进行操作时,我们可以用map将每种集合与对应的ID关联起来,这样做既可以完成查找ID的任务,还可以同时判定是否出现了新的集合。

    我们可以用vector作为存储每种集合的cache,这样,每当map中没有相应的ID时,我们就向vector中加入一个set<int>元素,并将下标作为ID进行唯一的标识。

    使用vector将set存储起来的好处是,反过来我们也可以用ID查询到对应的set,这样,通过map和vector,我们实现了set 到ID 的双射

    最后,输出栈顶集合的size属性,即可。

     

    代码如下:

     1     //UVA12096 集合栈计算机 
     2     #include<cstdio>
     3     #include<iostream>
     4     #include<algorithm>//set_union等函数定义在这里 
     5     #include<vector>
     6     #include<set>
     7     #include<map>
     8     #include<stack>
     9     
    10     #define ALL(x) x.begin(),x.end()
    11     #define INS(x) inserter(x,x.begin()) //注意宏的括号和inserter 
    12     
    13     using namespace std;
    14     
    15     typedef set<int> Set;
    16     map<Set,int> IDCache;
    17     vector<Set> setCache;
    18     int t,n;
    19     char cmd[10];
    20     int getID(Set s){
    21         if(IDCache.count(s))return IDCache[s];
    22         setCache.push_back(s);  //将新集合加入Setcache 
    23         return IDCache[s]=setCache.size()-1;//将ID加入map ,同时返回新分配的ID值 
    24     }
    25     
    26     int main(){
    27         scanf("%d",&t);
    28         while(t--){
    29             scanf("%d",&n);
    30 //            setCache.clear(); 
    31             stack<int> s;
    32             while(n--){
    33                 scanf(" %s",&cmd);
    34                 if(cmd[0]=='P')s.push(getID(Set()));
    35                 else if(cmd[0]=='D')s.push(s.top());
    36                 else{
    37                     Set s1=setCache[s.top()];s.pop();
    38                     Set s2=setCache[s.top()];s.pop();
    39                     Set x;
    40                     if(cmd[0]=='U')set_union(ALL(s1),ALL(s2),INS(x));
    41                     if(cmd[0]=='I')set_intersection(ALL(s1),ALL(s2),INS(x));
    42                     if(cmd[0]=='A'){ x=s2; x.insert(getID(s1)); }
    43                     s.push(getID(x));
    44                 }
    45                 printf("%d\n",setCache[s.top()].size());
    46             }
    47             puts("***");
    48         }
    49     }

     

    注意:

      第30行的setCache.clear()是必须注释掉的,因为如果存在这一句,那么vector就会清空,但是对应的map却没有清空,就会出现wa的情况。

      从另一个角度说,只需要map和vector始终保持一致那么set和ID 的双射关系就不会发生改变,此时我们就不需要将map和vector清空,因为不影响后续操作的结果。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/luruiyuan/p/5782852.html

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  • 则字母a、b、c三个字母所组成的集合的所有子集可如下表示: 0 0 0–>空集 0 0 1–>[c] 0 1 0–>[b] 1 0 0–>[a] 0 1 1–>[b,c] 1 0 1–>[a,c] 1 1 0–>[a,b] 1 1 1–>[a,b,c]
  • UVa 12096 集合栈计算机

    2018-09-15 10:30:00
    对于一个集合为元素的栈,初始时栈为空。 输入的命令有如下几种: ​ PUSH:将空集{}压栈 ​ DUP:将栈顶元素复制一份压入栈中 ​ UNION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取并集,将结果压栈 ​ INTERSECTION:...
  • 对于一个集合为元素的栈,初始时栈为空。 输入的命令有如下几种: PUSH:将空集{}压栈 DUP:将栈顶元素复制一份压入栈中 UNION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取并集,将结果压栈 INTERSECTION:先进行两次弹...
  • 慢慢体会到,在学习或者解决一个问题的时候,首先要尽量理解透问题本身涉及到的相关概念,再去进一步分析解决...在数学学科上集合的分类空集 有一类特殊的集合,它不包含任何元素,如{x|x∈R x²+1=0} ,称之...
  • 在一个集合的子集中,集合的元素只有出现和不出现两种状态,以集合{1,2,3}为例,其中一个子集{1,2}状态为1出现,2出现,3不出现。由此可以空集为根节点,每一层有选择与不选择两个分支,向下进行深度搜索,...
  • 对于一个集合为元素的栈,初始时栈为空。 输入的命令有如下几种: PUSH:将空集{}压栈 DUP:将栈顶元素复制一份压入栈中 UNION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取并集,将结果压栈 INTERSECTION...
  • 对于一个集合为元素的栈,初始时栈为空。 输入的命令有如下几种: PUSH:将空集{}压栈 DUP:将栈顶元素复制一份压入栈中 UNION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取并集,将结果压栈 INTERS...
  • S ={“A”,“B”,“C”}例,集合中包含三个元素,那么让S对应3个位长二进制数,在子集中取1,不在子集中取0,即: 111(7)->A B C 110(6)->A B 101(5)->A C 100(4)->A 011(3)->B C 010(2)->B
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    2020-09-29 06:33:59
    査找表是一种集合逻辑结构查找 核心运算同时包括其它运算的数据结 构 6.1.1集合的基本概念 集合:由任意一些可分辨的对象构成的整 体例如,所有整数放在一起构成一个集合, 称为整数集空集是不含任何元素的集合...
  • 对于一个集合为元素的栈,初始时栈为空。 输入的命令有如下几种: PUSH:将空集{}压栈 DUP:将栈顶元素复制一份压入栈中 UNION:先进行两次弹栈,将获得的集合A和B取并集,将结果压栈 INTERSECTION:先进行两次弹...
  • (2)数组下标1时,看数组下标1的前面的串也就是"a"的前缀和后缀都为空集,共有元素的长度0,将0加1得:next[1]=1; (3)数组下标2时,看数组下标2的前面的串也就是"ab"的前缀的集合为{a},后缀的集合为{b},
  • // HashSet散列形式存放集合各个元素 Set set1 = new HashSet(); System.out.print("--Is the set1 empty? --"); System.out.println(set1.isEmpty());// 集合是否为空集 // 各一个集合添加一些...
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  • 定义分子类(Molecule)作为基类,包含集合elements和weight作为其属性,用初始化函数,将elements初始化为空集,weight初始化为None;定义show_weight 方法,该方法用print函数打印输出分子量weight;定义show_...
  • 5-1 求差集

    2020-03-20 15:52:47
    【问题描述】两个集合的差集定义如下: 集合A、B的差集,由所有属于A但不属于B的元素构成。 输入两个集合A、B,每个集合中元素都是自然数...输出元素的顺序与原有集合A输入的顺序一致。 如果A、B的差集为空集,则不...
  • 求差集

    千次阅读 2018-12-04 13:18:27
    【问题描述】两个集合的差集定义如下: 集合A、B的差集,由所有属于A但不属于B的元素构成。 输入两个集合A、B,每个集合中元素都是自然数...输出元素的顺序与原有集合A输入的顺序一致。 如果A、B的差集为空集,则不...
  • 题目描述:求含n个元素的集合的幂集。 例:A={1,2,3},则A的幂集{{1,2,3},{1,2},{1, 3},{2,3},{1},{2},{3},{}} 解题思路:求幂集的过程可看成是依次对集合A中的元素进行取或舍的过程。 1. 选择合适...
  • MIPS汇编 求差集

    2017-11-19 19:25:32
    【问题描述】两个集合的差集定义如下: 集合A、B的差集,由所有属于A但不属于B的元素构成。 输入两个集合A、B,每个集合中元素都是自然数。...输出元素的顺序与原有集合A输入的顺序一致。 如果A、B的差集为空集,则不输
  • Description 给你一个复数集合{Aj+i*Bj},保证Aj和Bj都是整数,初始为空集。 每次会给你如下两种操作中一种...”,如果有元素"x+iy"形式显示集合中模值最大复数,然后将该元素集合中删除,之后在第二行显...
  • 查找表(Search Table)是由同一类型的数据元素构成的集合, 它是一种查找"核心", 同时包括其他运算的非常灵活的数据结构 规定空集不含有任何元素, 记∅(数学符号: 空集) 查找就是从大量数据元素中找出某个指定的...

空空如也

空空如也

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以空集为元素的集合