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  • 数组中的一个特别要素通过下标来访问。数组提供了一种将有联系的信息分组的便利方法。 注意:如果你熟悉C/C++,请注意, Java数组的工作原理与它们不同。 1、数组不是集合只能保存同种类型的多个原始类型...
  • 知识点梳理:1、两个集合之间的包含关系——子集、真子集与全集(1)子集、真子集定义1:对于两个集合与,如果...任何一个集合是它本身的子集;(3)判定是的子集,即判定“任意”.定义2:对于两个集合A与B,如果且,那...
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    知识点梳理:

    1、两个集合之间的包含关系——子集、真子集与全集

    (1)子集、真子集

    定义1:对于两个集合与,如果集合的任何一个元素都属于集合,那么集合叫作集合

    子集,记作:或(读作:包含于或包含)

    注1:(1)有两种可能:①中所有元素是中的一部分元素;②与是中的所有元素都相同;(2)空集是任何集合的子集;任何一个集合是它本身的子集(3)判定是的子集,即判定“任意”.

    定义2:对于两个集合A与B,如果且,那么叫做集合等于集合,记作=(读作集合等于集合

    );注2:(1)如果两个集合所含的元素完全相同,那么这两个集合相等;[来源:学|科|网]

    (2)判定,即判定“任意,且任意”.定义3:对于两个集合与,如果,并且中至少有一个元素不属于,那么集合叫做的真子集,记作:或,读作真包含于或真包含.注2:(1)空集是任何非空集合的真子集,

    (3)子集与真子集符号的方向

    (4)易混符号:①“”与“”②与

    2、两个集合的运算关系——交集、并集、补集

    (1)交集

    定义:由所有属于集合

    的元素所组成的集合,叫做集合,记作,即根据定义可知是由集合的公共元素组成的集合,如果集合没有公共元素,则,这一条可以看成是对定义的补充,所以又有了

    (2)并集

    定义:由所有属于集合

    或属于集合的元素所组成的集合,叫做集合与集合的并集,记为,即

    (3)补集

    n 全集定义

    如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,记作

    U。

    [说明]①在研究集合与集合之间关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时,有时把实数集R看作全集U,有时把有理数集Q看作全集U,有时把正整数集合看作全集U。

    n 补集定义

    一般地,设U为全集,A是U的一个子集(即A

    U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A在全集U中的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈u,且

    x

    A},读作“A补”。

    举例说明:解决某些数学问题时,如果

    把实数集看作是全集U,那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合

    补集的性质

    ① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu(CuA)=A

    [说明]A的补集是相对于全集而言的,补集的叙述要完整,必须指明是在某个全集中的补集。

    4、运算律

    (1)根据交集和补集的定义容易知道,交集与并集满足交换律,即

    (2)根据子集和真子集的定义易知包含关系满足传递性,即若

    (3)交集运算满足结合律,即

    (4)

    典型例题

    例1、已知集合

    _________

    例2、已知全集,且,求

    例3、设全集

    例4、若集合A=

    ,当全集U分别取下列集合时,写出CuA。(补充)

    ① U=

    ② U=

    ③U=

    例5、设U={a,b,c,d,e},A={a,b},B={b,c,d},

    ① 求CuA∩CuB,Cu(A∩B),Cu(A∪B)

    ,CuA∪CuB

    ②从上述结论中,你发现有什么结论?

    ③对任意的集合A,B,请你用集合的图示法说明是否有以上结论

    巩固练习

    (1)U={高一(1)班的所有学生},A={高一(1)班的女生},B={高一(1)班的学生干部},求A,B,

    的补集并说明其实际意义。(课本P15习题1.3(3))

    (2) 若U={三角形},B={锐角三角形},则CuB=

    (3)若U={1,2,4,8},A=ø,则CuA=

    (4)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CuA={5},则a=

    (5) 已知A={0,2,4},CuA={-1,1},CuB={-1,0,2},求B=

    (6)设、,集合,则( )

    (7)定义集合运算:,设,,则集合

    的所有元素之和为( )

    (8)若、、为三个集合,,则一定有( )

    (9)已知,,若,则实数

    (10)设为全集,是的三个非空子集,且,则下面论断正确的是( )

    (11)设,对任意实数恒成立,则下列关系中成立的是( )

    (12)已知A={x∣x+4x=0 },B={ x∣x+2(a+1)x+a-1=0}

    1) 若A

    B=B,求a的值

    2) 若A

    B=B,求a的值

    课后练习

    一、选择:

    1、设集合

    M=

    ,

    R,

    R

    ,N=

    R,

    R

    ,则集合

    中元

    素的个数为 (

    )

    (A)1

    (B)2 (C)3 (D)4

    2、已知集合M={x|x2+14x+48<0},S={x|2a2+ax-x2<0},若M S,则实数a∈ ( )

    A.

    B.[-3,6] C.

    D.

    3、设全集U={(x,y

    )|x、y∈R},集合M={(x,y)|

    =1| N={(x,y)|y≠x+1}那么M∪N的补集等于( )

    A.0

    B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y=x+1}

    4、设集合

    ,那么“

    ”是“

    ”的(

    )

    A.充分而

    不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

    5、设P和Q是两个集合,定义集合

    =

    ,如果

    那么

    等于( )

    A.{x|0

    } B.{x|0

    XK]

    二、填空:

    6、设集合

    A={5,

    },集合B={

    ,

    }.若A

    B={2},则A

    B=

    7、设非空集合A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x+3,x

    A}

    , C={z|z= x

    ,x

    A },且B∩

    C

    =C,则实数a的取值范围 。[来源:Z#xx#k.Com]

    8、定义差集:M-N={x|x

    M,且x

    N},若M={2,4,6,8,10

    }

    N={1,2,3,4,

    5},则M-(M-N)=

    9、集合M={(x,y)│y

    =

    ,x,y∈R},N={(x,y)│x=

    1,y∈

    R},则M∩N=_______

    10、设集合M={x│m≤x≤m+

    },N={x│n-

    ≤x≤n},且M,N都是集合I={x│0≤x≤1}的子集。如果把b-a称为集合{x│a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度“的最小值是_____________

    ______

    三、解答

    11、已知A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-3x+2=0},且A∪B=B,求p、q的关系或p、q

    的值。[来源:学科网ZXXK]

    12、已知集合

    求实数

    的取值范围。

    [来源:学科网ZXXK]

    13、已知集合

    ,集合

    ,若

    ,求实数

    的取值

    范围。

    14、已知集合

    ,集

    ⑴若

    ,求正数

    的取值范围;⑵若

    ,求正数

    的取值范围

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  • 知识点梳理:1、两个集合之间的包含关系——子集、真子集与全集(1)子集、真子集定义1:对于两个集合与,如果...任何一个集合是它本身的子集;(3)判定是的子集,即判定“任意”.定义2:对于两个集合A与B,如果且,那...
    a2205cd17dcbb080d0bb8350e7fb336b.png

    知识点梳理:

    1、两个集合之间的包含关系——子集、真子集与全集

    (1)子集、真子集

    定义1:对于两个集合与,如果集合的任何一个元素都属于集合,那么集合叫作集合

    子集,记作:或(读作:包含于或包含)

    注1:(1)有两种可能:①中所有元素是中的一部分元素;②与是中的所有元素都相同;(2)空集是任何集合的子集;任何一个集合是它本身的子集(3)判定是的子集,即判定“任意”.

    定义2:对于两个集合A与B,如果且,那么叫做集合等于集合,记作=(读作集合等于集合

    );注2:(1)如果两个集合所含的元素完全相同,那么这两个集合相等;[来源:学|科|网]

    (2)判定,即判定“任意,且任意”.定义3:对于两个集合与,如果,并且中至少有一个元素不属于,那么集合叫做的真子集,记作:或,读作真包含于或真包含.注2:(1)空集是任何非空集合的真子集,

    (3)子集与真子集符号的方向

    (4)易混符号:①“”与“”②与

    2、两个集合的运算关系——交集、并集、补集

    (1)交集

    定义:由所有属于集合

    的元素所组成的集合,叫做集合,记作,即根据定义可知是由集合的公共元素组成的集合,如果集合没有公共元素,则,这一条可以看成是对定义的补充,所以又有了

    (2)并集

    定义:由所有属于集合

    或属于集合的元素所组成的集合,叫做集合与集合的并集,记为,即

    (3)补集

    n 全集定义

    如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,记作

    U。

    [说明]①在研究集合与集合之间关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时,有时把实数集R看作全集U,有时把有理数集Q看作全集U,有时把正整数集合看作全集U。

    n 补集定义

    一般地,设U为全集,A是U的一个子集(即A

    U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A在全集U中的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈u,且

    x

    A},读作“A补”。

    举例说明:解决某些数学问题时,如果

    把实数集看作是全集U,那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合

    补集的性质

    ① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu(CuA)=A

    [说明]A的补集是相对于全集而言的,补集的叙述要完整,必须指明是在某个全集中的补集。

    4、运算律

    (1)根据交集和补集的定义容易知道,交集与并集满足交换律,即

    (2)根据子集和真子集的定义易知包含关系满足传递性,即若

    (3)交集运算满足结合律,即

    (4)

    典型例题

    例1、已知集合

    _________

    例2、已知全集,且,求

    例3、设全集

    例4、若集合A=

    ,当全集U分别取下列集合时,写出CuA。(补充)

    ① U=

    ② U=

    ③U=

    例5、设U={a,b,c,d,e},A={a,b},B={b,c,d},

    ① 求CuA∩CuB,Cu(A∩B),Cu(A∪B)

    ,CuA∪CuB

    ②从上述结论中,你发现有什么结论?

    ③对任意的集合A,B,请你用集合的图示法说明是否有以上结论

    巩固练习

    (1)U={高一(1)班的所有学生},A={高一(1)班的女生},B={高一(1)班的学生干部},求A,B,

    的补集并说明其实际意义。(课本P15习题1.3(3))

    (2) 若U={三角形},B={锐角三角形},则CuB=

    (3)若U={1,2,4,8},A=ø,则CuA=

    (4)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CuA={5},则a=

    (5) 已知A={0,2,4},CuA={-1,1},CuB={-1,0,2},求B=

    (6)设、,集合,则( )

    (7)定义集合运算:,设,,则集合

    的所有元素之和为( )

    (8)若、、为三个集合,,则一定有( )

    (9)已知,,若,则实数

    (10)设为全集,是的三个非空子集,且,则下面论断正确的是( )

    (11)设,对任意实数恒成立,则下列关系中成立的是( )

    (12)已知A={x∣x+4x=0 },B={ x∣x+2(a+1)x+a-1=0}

    1) 若A

    B=B,求a的值

    2) 若A

    B=B,求a的值

    课后练习

    一、选择:

    1、设集合

    M=

    ,

    R,

    R

    ,N=

    R,

    R

    ,则集合

    中元

    素的个数为 (

    )

    (A)1

    (B)2 (C)3 (D)4

    2、已知集合M={x|x2+14x+48<0},S={x|2a2+ax-x2<0},若M S,则实数a∈ ( )

    A.

    B.[-3,6] C.

    D.

    3、设全集U={(x,y

    )|x、y∈R},集合M={(x,y)|

    =1| N={(x,y)|y≠x+1}那么M∪N的补集等于( )

    A.0

    B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y=x+1}

    4、设集合

    ,那么“

    ”是“

    ”的(

    )

    A.充分而

    不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

    5、设P和Q是两个集合,定义集合

    =

    ,如果

    那么

    等于( )

    A.{x|0

    } B.{x|0

    XK]

    二、填空:

    6、设集合

    A={5,

    },集合B={

    ,

    }.若A

    B={2},则A

    B=

    7、设非空集合A={x|-2≤x≤a}, B={y|y=2x+3,x

    A}

    , C={z|z= x

    ,x

    A },且B∩

    C

    =C,则实数a的取值范围 。[来源:Z#xx#k.Com]

    8、定义差集:M-N={x|x

    M,且x

    N},若M={2,4,6,8,10

    }

    N={1,2,3,4,

    5},则M-(M-N)=

    9、集合M={(x,y)│y

    =

    ,x,y∈R},N={(x,y)│x=

    1,y∈

    R},则M∩N=_______

    10、设集合M={x│m≤x≤m+

    },N={x│n-

    ≤x≤n},且M,N都是集合I={x│0≤x≤1}的子集。如果把b-a称为集合{x│a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度“的最小值是_____________

    ______

    三、解答

    11、已知A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-3x+2=0},且A∪B=B,求p、q的关系或p、q

    的值。[来源:学科网ZXXK]

    12、已知集合

    求实数

    的取值范围。

    [来源:学科网ZXXK]

    13、已知集合

    ,集合

    ,若

    ,求实数

    的取值

    范围。

    14、已知集合

    ,集

    ⑴若

    ,求正数

    的取值范围;⑵若

    ,求正数

    的取值范围

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  • 集合分为两类,第一类集合的特征: 集合本身又是集合中的元素。 属于第一类的例如:所有集合所组成的集合,应该一个递归定义: ...特征,就是它本身不存在于它的子集中(不是它的任何一个元素),也就是说它不是..

    集合分为两类,第一类集合的特征是: 集合本身又是集合中的元素。

    属于第一类的例如:所有集合所组成的集合,应该是一个递归定义,具有自吞性:

    第二类集合的特征是,集合本身不是集合的元素,属于第二类的例如:直线上点的集合,所有的男人的集合等等,这种没有自吞性的形式比较普遍:

     

    OK,问题来了,如果现在有一个集合A,是所有第二类集合构成的集合,也就是其集合中的元素本身也是集合,而且这个集合是第二类集合,那么它属于哪一类呢?

    首先,我们假设它属于第二类,既然它属于第二类,所以它一定满足第二类的
    特征,就是它本身不存在于它的子集中(不是它的任何一个元素),也就是说它不是第二类集合,但这显然和前提,也就是,集合本身是第二类集合相矛盾!

    那么,就再次假设它属于第一类,既然它属于第一类,所以它也一定满足第一类的特征,就是它本身存在于它的子集中(是它其中的某一个集合元素),根据定义它的元素都是第二类集合,它属于它其中的某个元素,也就表示它是第二类集合,这样又与题设发生了矛盾.

                  

    总之,这是个无解的问题!要不怎么叫做悖论呢?

    更通俗的提法可以看理发师悖论,理发师悖论突出了本质,但是缺少了理论说明和推导,这里用集合论的方法理解,可以映射到理发师悖论的理解上。

    理发师悖论的内容是,很早以前的一个村庄里,只有一个理发师,他规定只给而且一定给不给自己理发的人理发,这就引出了一个问题,“他该不该给自己理发?”

    如果他给自己理发,那它就是给自己理发的人,按道理他就不应该给自己理发,可是如果他不给自己理发,那他就属于不给自己理发的人,所以他就应该要给自己理发。

    这样,无论从哪个前提开始,都推出了这个前提的否命题,根据排中律,命题和否命题只能有一个成立,不可能同时成立,形成悖论。

    上面是通俗理解,用集合论的观点来分析

      设A={x|x表示这个村子所有可以自己给自己理发的人}

      设B={y|y标识这个村子里不能自己给自己理发的人}

       C={理发师|这个村子唯一一个理发师,而且只给集合B的人理发nata}

    那么C属于A还是属于B呢?

    如果C属于A, 那么C不应该属于A, 如果C属于B,又会推出C不属于B.

    这个理发师真纠结!

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  • Java 集合

    2021-03-22 13:09:36
    什么是集合 数组其实就是一个集合,集合实际上就是一个容器,可以容纳其他类型的数据 集合是一个容器,是一个载体,一次容纳多个对象 集合当中不能存储基本数据类型,集合也不能...假设这是一个集合存的不是基本

    什么是集合

    1.

    数组其实就是一个集合,集合实际上就是一个容器,可以容纳其他类型的数据

    集合是一个容器,是一个载体,一次容纳多个对象


    2.

    集合当中不能存储基本数据类型,集合也不能直接存储java对象,集合当中存储的是java对象的内存地址(或者说集合中存储的是引用)


    那为什么能往数组里添加值?
    :list.add(100) //自动装箱成Integer,再将Integer添加进集合
    注意
    :集合在java中本身是一个容器,是一个对象
    :集合中任何数据都储存的是"引用"


    假设这是一个集合,它存的不是基本数据类型,也不是对象,而是内存地址 去指向对象
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    集合也是一个对象,也有内存地址


    3.

    java中每一个不同的集合,底层都会对应不同的数据结构,往不同的数据结构当中存储元素,等于将元素放到了不同数据结构当中
    .

    什么是数据结构?

    数据存储的结构就是数据结构,不同的数据结构存储数据的方法不同

    :数组、二叉树、链表、哈希表
    以上都是常见的数据结构
    往不同的集合上放数据会放到不同的数据结构里(使用不同的集合等于使用了不同的数据结构)


    在集合 你不需要精通数据结构

    因为在java已经帮你实现了数据结构,只需要掌握怎么用,在什么情况下用哪种集合
    new ArrayList();创建一个集合,底层是数组
    new LinkedList (); 创建一个集合,底层是链表
    new TrreeSet();创建一个集合,底层是二叉树


    所有集合都在java JDK哪个包下?

    所有集合类和集合接口都在java.util.* 包下


    java集合分为两大类

    一类是单个方式存储元素
    单个方式存储元素,这一集合超级父接口:java.util.Collection

    :Collection
    一类是以键值的方式存储元素
    以键值方式存储元素,这一集合超级父接口:java.util.Map

    :Map
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  • java 对象的集合

    2018-10-08 16:03:55
    数组中的一个特别要素通过下标来访问。数组提供了一种将有联系的信息分组的便利方法。 注意:如果你熟悉C/C++,请注意, Java数组的工作原理与它们不同。 1、数组不是集合只能保存同种类型的多个原始类型...
  • 一个集合的行为很像一个无值的字典的键,但是还支持额外的操作。集合只能包含不可变的对象类型,列表和字典以及可变集合不能嵌入到集合中。和其他容器类型一样,集合支持用 in 和 not in 操作符检查成员,由 len()...
  • Scala集合操作

    2020-11-23 21:16:15
    不可变集合,指的是集合内的元素一但初始化就无法进行改变,任何集合的改变都要生成一个新的集合 scala.collection.immutable 在这个包下,无须手动导包 可变集合,指的是集合本身可以动态变化,且集合提供了 改变...
  • JAVA集合基础知识

    2020-08-02 20:07:40
    集合在java中本身是一个容器,是一个对象。 ​ 集合任何时候存储的都“引用”。 二、集合的结构 ​ 在java中集合分为两大类,一类单个方式存储元素:他们的超级父类接口:java.util.Collection; ​ ...
  • java集合

    2021-01-14 10:22:54
    0,ArrayList :动态数组说白了,底层就是一个数组来存储数据。 1、存储的Object类型的元素,所以任何数据都可以装进去。 2、长度可以动态改变的,如果长度不够,集合本身会动态自动扩容。 3、存储元素有序的,...
  • 2.7集合set

    2019-04-02 09:46:00
    集合是无序的,不重复的数据集合,里面的元素是可哈希的(不可变类型),但是集合本身是不可哈希(所以集合做不了字典的键)的。以下是集合最重要的两点:  去重,把一个列表变成集合,就自动去重了。  关系测试...
  • 程序员学习 集合

    2015-04-07 15:35:51
    collection Collection 接口用于表示任何对象或元素组。想要尽可能以常规方式处理一组元素时,就使用这一接口。...并且它本身是一个接口。它定义了作为集合所应该拥有的一些方法。如下: 注意: 集合必须只有对象
  • 进入学习第二阶段(如果熟悉这些基本知识,面试前需要回顾的话可以跳到第三阶段总结) 1.2 Collection 1.2.1 常用方法 Collection 接口用于表示任何对象或...并且它本身是一个接口。它定义了作为集合所应该拥有
  • 集合Collection学习笔记

    2020-08-18 15:49:27
    collectionjava.util在包中,是一个用来存放java对象的容器 注意 集合只能存放引用类型对象。比如存入int数据,会自动装箱成Integer存放。 集合存放的对象的应用,而非对象本身。对象本身
  • Java中集合

    2014-12-01 15:03:00
    一、Collection Collection 接口用于表示任何...并且它本身是一个接口。它定义了作为集合所应该拥有的一些方法。如下:注意:集合必须只有对象,集合中的元素不能基本数据类型。 Collection 接口支持如添...
  • 1.2 Collection 1.2.1 常用方法 Collection 接口用于表示任何对象或元素...并且它本身是一个接口。它定义了作为集合所应该拥有的一些方法。如下: 注意: 集合必须只有对象,集合中的元素不能基本数据类型。
  • 1.2 Collection 1.2.1 常用方法 Collection 接口用于表示任何对象或元素组。...并且它本身是一个接口。它定义了作为集合所应该拥有的一些方法。如下: 注意: 集合必须只有对象,集合中的元素不能...
  • 集合类(四)

    千次阅读 2016-05-23 16:35:22
    Collection 1、常用方法 ...并且它本身是一个接口。它定义了作为集合所应该拥有的一些方法。如下: 注意: 集合必须只有对象,集合中的元素不能基本数据类型。 Collection接口支持如添加和除去等基
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    2018-09-26 10:48:24
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    热门讨论 2012-09-11 11:31:29
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空空如也

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任何一个集合是它本身的