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  • 任何树都是连通图
    2022-05-09 08:39:44

    A:由n-1条权值最小的边构成的子图

    B:由n-1条权值之和最小的的边构成的子图

    C:由n-1条权值之和最小的边构成的连通子图

    D:由n个顶点构成的极小连通子图,且边的权值之和最小

    我选C

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  • 这个数据结构相比队列、栈、来说算是复杂多了,关于的问题也多如牛毛,先来看一下常见的问题: 若无向 `G` 中含7个顶点,要想保证 `G` 在任何情况下连通的,则需要的边数最少是几条...

    前言

    图这个数据结构相比队列、栈、树来说算是复杂多了,关于图的问题也多如牛毛,先来看一下常见的问题:

    若无向图 G 中含7个顶点,要想保证图 G 在任何情况下都是连通的,则需要的边数最少是几条?

    回答这种问题一定要注意细节,找到关键的点,不然一定会掉到坑里的。这个题关键点有以下几个:

    • 7个顶点
    • 任何条件下连通
    • 最少几条边

    其中第1点和第3点不容易出错,比较容易出现问题的是第2点,要想保证任何条件下连通,意思给定边数以后无论怎么连都能通?

    先说下答案是16,至于为什么,我们后面先复习一下图相关的概念再慢慢解释,因为此刻的我连什么是强联通图都忘了~

    一些概念

    • :是由顶点V集和边E集构成,边表示了与之相连的两点间的关系,因此图可以表示成G = (V, E)
    • 有向图:是指图中的两个顶点从A到B和从B到A的含义是不同的,我们认为两点的关系是有方向的,则称其为有向图
    • 无向图:是指两点间的连接线无方向无关,这种图叫做无向图
    • 连通性:从图中一个顶点到达另一顶点,若存在至少一条路径,则称这两个顶点是连通着的
    • 连通图:在无向图中,如果任意两个顶点之间都能够连通,则称此无向图为连通图
    • 完全图:在无向图中,如果任意两个顶点之间都边直接相连,则称此无向图为完全图
    • 连通分量:若无向图不是连通图,但图中存在某个子图符合连通图的性质,则称该子图为连通分量
    • 强连通图:在有向图中,若任意两个顶点之间包含至少来回两条通路,则称此有向图为强连通图
    • 有向完全图:在有向图中,如果任意两个顶点之间都有相反的两条弧直接相连,则称此有向图为有向完全图
    • 强连通分量:若有向图不是强连通图,但图中存在某个子图符合强连通图的性质,则称该子图为强连通分量

    关于题目的解释

    这是一个无向图,要想在任何情况下都连通,那考虑极端情况就是孤立一个顶点,让尽可能多的边连接剩余的顶点,那会构成一个 n-1 个顶点的完全图,然后再考虑加一条边把剩下的孤立顶点连起来,这样得到的边数是 N = 5+4+3+2+1 + 1 = 16,用组合数表示就是

    C n − 1 2 + 1 = ( n − 1 ) ∗ ( n − 2 ) / 2 + 1 C^2_{n-1} + 1= (n-1) * (n-2) / 2 + 1 Cn12+1=(n1)(n2)/2+1

    题目变型

    • 若无向图 G 中含7个顶点,要想保证图 G 在是连通的,至少需要几条边?

      答案6条,即 (n-1)

    • 一个包含7个顶点的无向图 G 为完全图,那么它共有几条边?

      答案21条,即 n * (n-1) / 2

    • 若有向图 G 中含7个顶点,要想保证图 G 在是强连通的,至少需要几条弧?

      答案7条,即 n,也就是形成一个环

    • 一个包含7个顶点的有向图 G 为完全图,那么它共有几条弧?

      答案42条,即 n * (n-1)

    补充两个图例

    • 完全图,特点是任何两个顶点都有直接的边相连
    A
    B
    C
    D
    E
    • 强连通图,任意两点间都有路径可达
    A
    B
    C
    D
    E
    F

    总结

    • 解答关于图的问题可以从概念入手,更要注意题目中至多、至少、任何等字眼
    • 弄清楚连通图、完全图、连通分量、强联通图、强连通分量等概念,迷糊的时候可以画一画
    • 使用mermaid语法画的图确实不怎么好看,不过它强在了描述性的语言

    ==>> 反爬链接,请勿点击,原地爆炸,概不负责!<<==

    那些看似漫不经心的成功,其实都是蓄谋已久;那些你以为的驾轻就熟,其实都是有备而来。一个人越活越好的样子应该是不沮当下,不弃未来。你要相信,所有的事与愿违或许都是惊喜的铺垫,所有的坚持不懈终将得到岁月的奖赏~

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  • 如果 G 是有向图,那么连接 i 和 j 的路径中所有的边必须同向。...如果此图是有向图,则称为强连通图(注意:需要双向有路径)。今天叶子为大家分享的是【连通图、连通分量与强连通图、强连通分量】...

    目录

    什么是连通图?

    什么是连通分量?

    那什么是极大连通子图呢?联想到的极小连通子图又是什么呢?

    强连通图

    强连通分量

    ”强强“在那里—连通图和强连通图的区别?

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            【数据结构-Java语言描述】

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    前言

    对连通图的理解

    图论中,连通图基于连通的概念。

    在一个 无向图G 中,若从顶点 i 到顶点 j 有路径相连(当然从j到i也一定有路径),则称i和j是连通的。

    如果 G 是有向图,那么连接 i j 的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。如果此图是有向图,则称为强连通图(注意:需要双向都有路径)。图连通性的是图的基本性质。


    一、什么是连通图?

    连通:在无向图中,若从顶点u到顶点v有路径,则称u和v是连通的。

    图中从⼀个顶点到达另⼀顶点,若存在⾄少⼀条路径,则称这两个顶点是连通着的。例如图 1 中,虽然 V1 和 V3 没有直接关联,但从 V1 到 V3 存在两条路径,分别是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3,因此称 V1 和 V3 之间是连通的。

      二、什么是连通分量?

    若⽆向图不是连通图,但图中存储某个⼦图符合连通图的性质,则称该⼦图为连通分量
    图中部分顶点和边构成的图为该图的⼀个⼦图,但这⾥的⼦图指的是图中"最⼤"的连通⼦图(也称"极⼤连通⼦图")。

    若无向图为非连通图,则图中各个极大连通子图称为此图的连通分量。

    2.1 、那什么是极大连通子图呢?联想到的极小连通子图又是什么呢?

    1. 首先先明确两个概念,无向图和有向图;其次,明确一个概念极大连通子图,可以存在于无向图中,也可以存在于有向图中;

    2. 但要知道,极小连通子图只存在于连通的无向图中,不存在于不连通的无向图和有向图中

    •  也就是说,极大连通子图和极小连通子图适用条件是不一样的,尽管它们看起来貌似很接近。

    无向图中的极大连通子图

    无向图中的极大连通子图也叫连通分量

    无向图可以分成两种类型:连通的无向图、不连通的无向图

    •  连通的无向图只有一个极大连通子图,即它本身,因为不存在另一个连通的子图包含的点和边比它本身还要多,所以叫作极大连通子图。
    • 不 连通的无向图可以拆分为若干个连通的无向图,如果我们在拆分时注意把能连通的点边都放在一个连通子图中,使这个连通子图足够大,以至于再多包含一个点或边它就变成不连通的了,我们称这个连通子图为极大连通子图,也叫连通分量。

    极小连通子图

    极小连通子图只存在于连通的无向图中,也就是说该图中只有一个连通分量(极大连通子图),之所以说它极小,是因为极小连通子图只要求包含图中所有顶点及其比顶点数量少一个的边(且不能成环),也就是说如果给极小连通子图任意两个顶点间加入一条边,则必有环。

    这里的极大和极小不是指一个意思,不要弄混了,极大连通子图是讨论连通分量的,极小连通子图是讨论生成树的。


    下面举几个图例,让大家看看,深入了解一下连通分量:

    如图 3 所⽰,虽然图 a 中的⽆向图不是连通图,但可以将其分解为 3 个"最⼤⼦图"(图 b ),它们都满⾜连通图的性质,因此都是连通分量。

    看了这么多图例,你学会了吗?能在图中找出连通分量了吗?

    需要注意的是,连通分量的提出是以"整个⽆向图不是连通图"为前提的,因为如果⽆向图是连通图,则其⽆法分解出多个最⼤连通⼦图,因为图中所有的顶点之间都是连通的。


    三、强连通图

    1.  如果一个有向图G,对于其中任意两个顶点v,u,都存在从v到u以及从u到v的有向路径,则称G为强连通图。而在一个不是强连通图的有向图G中,若其中两个顶点u、v在两个方向上都存在有向路径,则称u和v强连通。

    2.  强连通图:在有向图中,若任意两个顶点 均连通(一条有向路径),则称该图是强连通图。

    3.  有向图中,若任意两个顶点 Vi 和 Vj,满⾜从 Vi 到 Vj 以及从 Vj 到 Vi 都连通,也就是都含有⾄少⼀条通路,则称此有向图为强连通图。如图 4 所⽰就是⼀个强连通图。

    四、强连通分量

    1. 在有向图中,如果从任意一个顶点出发,都能通过图中的边到达图中的每一个顶点,则称之为强连通图。一张有向图的顶点数 极大的强连通子图 称为强连通分量。

    2. 而有向图G的极大强连通子图S,即添加任意顶点都会导致S失去强连通的属性,则称S为G的强连通分量。

    3. 强连通分量:有向图中的极大强连通子图强连通图只有一个强连通分量,即其本身

    4. 与此同时,若有向图本⾝不是强连通图,但其包含的 最⼤连通⼦图具有强连通图的性质,则称该⼦图为强连通分量。整个有向图虽不是强连通图,但其含有两个强连通分量。


    ”强强“在那里—连通图和强连通图的区别?

    • 需求不同:强连通图说的是有向图,连通图说的是无向图。连通图只存在于无向图中,而强连通图通常存在于有向图中。
    • 概念不同:
      •  在一幅无向图中,任何两个顶点之间可以相通,则该图就是连通图。
      • 在一幅有向图中,任意两对顶点都可以相通,那么该图就是强连通图。

     可以这样说,连通图是在⽆向图 的基础上对图中顶点之间的连通做了更⾼的要求,⽽强连通图是在有向图 的基础上对图中顶点的连通做了更⾼的要求。


    写到最后

    ❣️四季轮换,已经数不清凋零了多少叶

    ❣️愿我们往后能向心而行,一路招摇胜!

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  • (数据结构)连通图

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    连通图(无向图):任意两个顶点之间能够连通 图 2 连通图示意图 图 2 中,因为此无向图中任意两顶点之间是连通的,故此图就是一个连通图 连通分量:若无向图不是连通图,但图中存储某...

    图存储结构分类之连通图

    连通:图中从一个顶点到达另一顶点,若存在至少一条路径,则称这两个顶点是连通着的

     

    图 1 顶点之间的连通状态示意图

            图 1 中,虽然 V1 和 V3 没有直接关联,但从 V1 到 V3 存在两条路径 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3,因此称 V1 和 V3 是连通的

    连通图(无向图):任意两个顶点之间都能够连通

    图 2 连通图示意图

            图 2 中,因为此无向图中任意两顶点之间都是连通的,故此图就是一个连通图

    连通分量:若无向图不是连通图,但图中存储某个子图符合连通图的性质,则称该子图为连通分量

            此前的文章中提到过,由图中部分顶点和边构成的图为该图的一个子图,但此篇文章的子图指的是图中最大的连通子图(极大连通子图)

    图 3 连通分量示意图

            图 3 中,由于左侧的无向图不是连通图,所以可以将其分解为 3 个最大子图(右侧),且它们都满足连通图的性质,因此都是连通分量

    强连通图

    有向图中,若任意两个顶点 V_{i}V_{j},满足从 V_{i} 到 V_{j} 以及从 V_{j} 到 V_{i} 都连通,也就是都含有至少一条通路,则称此有向图为强连通图(如下图 4)

    图 4 强连通图

     强连通分量:若有向图不是强连通图,但其包含的最大连通子图具有强连通图的性质,则称该子图为强连通分量

    图 5 强连通分量

             图 5 中,整个有向图不是强连通图,但其含有两个强连通分量

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